2012年安徽高考数学试题(理科)

5.甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶 5 次，两人成绩的条形统计图如图所示，则
( A) 甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 ( B) 甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数 (C ) 甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差
【解析】选 C
( D ) 甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差
1 1 x甲 = (4 + 5 + 6 + 7 + 8) = 6, x乙 = (5 × 3 + 6 + 9) = 6 5 5 1 5 1 5
π 3 π 2
②若 a + b > 2c ；则 C <
π 3 π 2
③若 a3 + b3 = c3 ；则 C <
④若 ( a + b) c < 2ab ；则 C >
⑤若 ( a 2 + b2 ) c 2 < 2a 2b 2 ；则 C > 【解析】正确的是 _____ ①②③ ① ab > c 2 ⇒ cos C =
如果 A 与 B 是事件，且 P ( B ) > 0 ；则 P ( A B) =
P( AB) P( B)
第Ⅰ卷（选择题 共 50 分） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。 （1）复数 z 满足： ( z − i )(2 − i ) = 5 ；则 z = （ ）
（10）6 位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换 的两位同学互赠一份纪念品，已知 6 位同学之间共进行了 13 次交换，则收到 4 份纪念品 的同学人数为（ ）
( A) 1或 3
【解析】选 D
( B ) 1或 4
(C ) 2 或 3
(D) 2 或 4
C62 − 13 = 15 − 13 = 2
（9）过抛物线 y 2 = 4 x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A, B 两点，点 O 是原点，若 AF = 3 ； 则 ∆AOB 的面积为（ ）
����
( A)
2 2
( B)
2
(C )
3 2 2
(D) 2 2
【解析】选 C 设 ∠AFx = θ (0 < θ < π ) 及 BF = m ；则点 A 到准线 l : x = −1 的距离为 3
3 2
1 × (2 + 5) × 4 + (2 + 5 + 4 + 4 2 + (5 − 2) 2 ) × 4 = 92 2 π （13）在极坐标系中，圆 ρ = 4sin θ 的圆心到直线 θ = ( ρ ∈ R ) 的距离是 _____ 6
几何体的表面积是 S = 2 × 【解析】距离是 _____
3
圆 ρ = 4 sin θ ↔ x 2 + ( y − 2) 2 = 4 的圆心 C (0, 2)
直线 l : θ =
0−2 3 π ( ρ ∈ R) ↔ x − 3 y = 0 ；点 C 到直线 l 的距离是 = 3 6 2
4
（14）若平面向量 a, b 满足： 2a − b ≤ 3 ；则 aib 的最小值是 _____ 【解析】 aib 的最小值是 _____ −
甲的成绩的方差为 (22 × 2 + 12 × 2) = 2 ，乙的成绩的方差为 (12 × 3 + 32 × 1) = 2.4
2
（6）设平面 α 与平面 β 相交于直线 m ，直线 a 在平面 α 内，直线 b 在平面 β 内，且 b ⊥ m 则“ α ⊥ β ”是“ a ⊥ b ”的（ ）
( A) 充分不必要条件 (C ) 充要条件
�� �
���� 3π 后，得向量 OQ 4
( A) (−7 2, − 2)
【解析】选 A
( B) (−7 2, 2)
(C ) (−4 6, −2) 3 4 ,sin θ = 5 5
( D ) (−4 6, 2)
【方法一】设 OP = (10cos θ ,10sin θ ) ⇒ cos θ = 则 OQ = (10 cos(θ +
π π 1 ) = g ( x ) ，且当 x ∈ [0, ] 时， g ( x ) = − f ( x ) ； 2 2 2
【解析】 f ( x ) =
2 π 1 1 1 1 1 cos(2 x + ) + sin 2 x = cos 2x − sin 2x + (1− cos 2x ) = − sin 2 x 2 4 2 2 2 2 2
��� �
3π 3π ),10 sin(θ + )) = (−7 2, − 2) 4 4 ��� � ���� � 3π 【方法二】将向量 OP = (6,8) 按逆时针旋转 后得 OM = (8, −6) 2 ���� � ���� � 1 ��� 则 OQ = − (OP + OM ) = (−7 2, − 2) 2
③当 C ≥
三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .解答写在答 题卡的制定区域内. （16）(本小题满分 12 分) 设函数 f ( x ) =
2 π cos(2 x + ) + sin 2 x 2 4
（I）求函数 f ( x ) 的最小正周期； （II）设函数 g ( x) 对任意 x ∈ R ，有 g ( x + 求函数 g ( x ) 在 [ −π , 0] 上的解析式。
5
（I）函数 f ( x ) 的最小正周期 T = （2）当 x ∈ [0,
2π =π 2
π 1 1 ] 时， g ( x ) = − f ( x ) = sin 2x 2 2 2 π π π π 1 π 1 当 x ∈ [ − , 0] 时， ( x + ) ∈ [0, ] g ( x ) = g ( x + ) = sin 2( x + ) = − sin 2x 2 2 2 2 2 2 2 π π 1 1 当 x ∈ [ −π , − ) 时， ( x + π ) ∈ [0, ) g ( x ) = g ( x + π ) = sin 2( x + π ) = sin 2x 2 2 2 2 π ⎧ 1 − sin 2 x (− ≤ x ≤ 0) ⎪ ⎪ 2 2 得：函数 g ( x) 在 [ −π , 0] 上的解析式为 g ( x ) = ⎨ ⎪ 1 sin 2 x (−π ≤ x < π ) ⎪ ⎩ 2 2
( A) f ( x ) = x
【解析】选 C
( B) f ( x) = x − x
(C ) f ( x ) = x +1
( D) f ( x) = − x
f ( x ) = kx 与 f ( x ) = k x 均满足： f (2 x ) = 2 f ( x ) 得： A, B, D 满足条件
1
（3）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（
3
得： 3 = 2 + 3cos θ ⇔ cos θ =
1 2 3 又 m = 2 + m cos(π − θ ) ⇔ m = = 3 1 + cos θ 2
1 1 3 2 2 3 2 ∆AOB 的面积为 S = × OF × AB × sin θ = ×1 × (3 + ) × = 2 2 2 3 2
2012 年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）
数学（理科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第 1 至第 2 页，第Ⅱ卷第 3 页至第 4 页。全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。 考生注意事项： 答题前，务必在试题卷、答题卡规定填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形 码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号 后两位。 答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 答第Ⅱ卷时，必须使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上 书写，要求字体工整、笔迹清晰。作 ．．．． 图题可先用铅笔在答题卡 ． ． ．规定的位置绘出，确认后再用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔描清楚。必须在 题号所指示的答题区域作答，超出书写的答案无效 ，在试题卷 、草稿纸上答题无效 。 ．．．．．．．．． ．．．． ．．．．．．．． 考试结束后，务必将试题卷和答题卡一并上交。 参考公式： 如果事件 A 与 B 互斥；则 P ( A + B ) = P ( A) + P ( B ) 如果事件 A 与 B 相互独立；则 P ( AB ) = P ( A) P ( B )
π 3
a 2 + b 2 − c 2 2ab − ab 1 π > = ⇒C< 2ab 2ab 2 3
a 2 + b 2 − c 2 4(a 2 + b 2 ) − (a + b) 2 1 π ② a + b > 2c ⇒ cos C = > ≥ ⇒C< 2ab 8ab 2 3 π 2 2 2 3 2 2 3 3 3 3 3 时， c ≥ a + b ⇒ c ≥ a c + b c > a + b 与 a + b = c 矛盾 2 π ④取 a = b = 2, c = 1 满足 ( a + b) c < 2ab 得： C < 2 π ⑤取 a = b = 2, c = 1 满足 ( a 2 + b2 ) c 2 < 2a 2b 2 得： C < 3
①设仅有甲与乙，丙没交换纪念品，则收到 4 份纪念品的同学人数为 2 人 ②设仅有甲与乙，丙与丁没交换纪念品，则收到 4 份纪念品的同学人数为 4 人 第 II 卷（非选择题 共 100 分） 考生注意事项： 请用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效 . ．．．．．．．．．．．．．．．．． 二．填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.把答案填在答题卡的相应位置.