2011年浙江省高中数学竞赛试题解答
2011浙江数学高考试题及答案
2011年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学(浙江卷)本试题卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．选择题部分(共50分)参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P (A ＋B )＝P (A )＋P (B ) 如果事件A 、B 相互独立，那么P (A ·B )＝P (A )·P (B )如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重新试验中事件A 恰好发生k 次的概率()=(1)k kn k n n P k C p p -- (k ＝0，1，2，…，n )台体的体积公式11221()3V h S S S S =+其中S 1，S 2分别表示台体的上、下底面积， h 表示台体的高 柱体的体积公式 V ＝Sh其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 锥体的体积公式13V Sh ＝其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 球的表面积公式 S ＝4πR 2球的体积公式343V R π＝其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设函数2,0(),0x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩.若f (α)＝4，则实数α等于( )A ．－4或－2B ．－4或2C ．－2或4D ．－2或22．把复数z 的共轭复数记作z ，i 为虚数单位，若z ＝1＋i ，则(1＋z )·z ＝( ) A ．3－i B ．3＋i C ．1＋3i D ．33．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )4．下列命题中错误．．的是( ) A ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC ．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l ，那么l ⊥平面γD ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β5．设实数x ，y 满足不等式组2502700,0x y x y x y +->⎧⎪+->⎨⎪≥≥⎩，若x ，y 为整数，则3x ＋4y 的最小值是( )A ．14B ．16C ．17D ．196．若02πα<<，02πβ-<<，1cos(+)=43πα，3cos()=42πβ-，则cos()2βα+等于( )A 3B ．3-C ．539D ．69-7．若a ，b 为实数，则“0＜ab ＜1”是“1a b <或1b a>”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知椭圆C 1：2222=1x y a b + (a ＞b ＞0)与双曲线C 2：2214y x -=有公共的焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点， 若C 1恰好将线段AB 三等分，则( )A ．a 2＝132 B ．a 2＝13 C ．b 2＝12D ．b 2＝29．有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其随机的并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是( )A ．15 B ．25 C ． 35 D ．4510．设a ，b ，c 为实数，f (x ) ＝(x ＋a )(x 2＋bx ＋c )，g (x )＝(ax ＋1)(cx 2＋bx ＋1)．记集合S ＝{x |f (x )＝0，x ∈R }，T ＝{x |g (x )＝0，x ∈R }，若|S |，|T |分别为集合S ，T 的元素个数，则下列结论不可能．．．的是( ) A ．|S |＝1且|T |＝0B ．|S |＝1且|T |＝1C ．|S |＝2且|T |＝2D ．|S |＝2且|T |＝3非选择题部分(共100分)二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分． 11．若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝________.12．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的k 的值是________．13．设二项式6()x x(a ＞0)的展开式中x 3的系数为A ，常数项为B ， 若B ＝4A ，则a 的值是________．14．若平面向量α、β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α、β为邻边的平行四边形的面积为12，则α与 β的夹角θ的取值范围是________． 15．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X 为该毕业生得到面试的公司个数．若P (X ＝0)＝112，则随机变量X 的数学期望E (X )＝________.16．设x ，y 为实数．若4x 2＋y 2＋xy ＝1，则2x ＋y 的最大值是________．17．设F 1，F 2分别为椭圆2213x y +=的左、右焦点，点A ，B 在椭圆上．若125F A F B =，则点A 的坐标是________．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，C ．已知sin A ＋sin C ＝p sin B (p ∈R )，且214ac b =. (1)当p ＝54，b ＝1时，求a ，c 的值；(2)若角B 为锐角，求p 的取值范围．19．已知公差不为0的等差数列{a n }的首项a 1为a (a ∈R )，设数列的前n 项和为S n ，且11a ，21a ，41a 成等比数列， (1)求数列{a n }的通项公式及S n ； (2)记A n ＝1231111n S S S S ++++…，B n ＝2-112221111+n a a a a +++…，当n ≥2时，试比较A n 与B n 的大小．20．如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上，已知BC ＝8，PO ＝4，AO ＝3，OD ＝2.(1)证明：AP ⊥BC ；(2)在线段AP 上是否存在点M ，使得二面角A －MC －B 为直二面角？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由．21．已知抛物线C 1：x 2＝y ，圆C 2 ：x 2＋(y －4)2＝1的圆心为点M.(1)求点M 到抛物线C 1的准线的距离；(2)已知点P 是抛物线C 1上一点(异于原点)，过点P 作圆C 2的两条切线，交抛物线C 1于A ，B 两点，若过M ，P 两点的直线l 垂直于AB ，求直线l 的方程．22．设函数f (x )＝(x －a )2ln x ，a ∈R .(1)若x ＝e 为y ＝f (x )的极值点，求实数a ；(2)求实数a 的取值范围，使得对任意的x ∈(0，3e]，恒有f (x )≤4e 2成立.注：e 为自然对数的底数．参考答案1．B 2．A 3．D 4．D 5．B 6．C 7．A 8．C 9．B 10．D11．答案：0 12．答案：5 13．答案：214．答案：[6π，56π] 15．答案：5316．21017．答案：(0，1)或(0，－1)18．解：(1)由题设并利用正弦定理，得5414a c ac ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得1,1,4a c =⎧⎪⎨=⎪⎩或1,41.a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩ (2)由余弦定理，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ＝222211cos 22p b b b B --， 即231cos 22p B =+，因为0＜cos B ＜1，得p 2∈(32，2)，由题设知p ＞062p <<19．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则(2214111()a a a =⋅，得(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )．因为d ≠0，所以d ＝a 1＝a ．所以a n ＝na ，(1)2n an n S +=. (2)因为1211()1n S a n n =-+，所以 123111121(1)1n n A S S S S a n =++=-++…+．因为a 2n －1＝2n －1a ，所以21122211()111112112n nn B a a a a a --=+++=⋅-…+ 21(1)2n a =-． 当n ≥2时，0122n nn n n n C C C C =+++…+＞n ＋1，即111112n n -=-+，所以，当a ＞0时，A n ＜B n ； 当a ＜0时，A n ＞B n . 20．解：方法一：(1)证明：如图，以O 为原点，以射线OP 为z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系O －xyz . 则O (0，0，0)，A (0，－3，0)，B (4，2，0)，C (－4，2，0)，P (0，0，4)，A P ＝(0，3，4)，BC ＝(－8，0，0)，由此可得A 0P BC ⋅=，所以A P BC ⊥，即AP ⊥BC ．(2)解：设PM PA λ=，λ≠1，则PM ＝λ(0，－3，－4)．BM BP PM BP PA λ=+=+＝(－4，－2，4)＋λ(0，－3，－4)＝(－4，－2－3λ，4－4λ)，AC ＝(－4，5，0)，BC ＝(－8，0，0)．设平面BMC 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面APC 的法向量n 2＝(x 2，y 2，z 2)．由11·0,·0,BM n BC n ⎧=⎪⎨=⎪⎩得1111423440,80,x y z x λλ--(+)+(-)=⎧⎨-=⎩ 即1110,23,44x z y λλ=⎧⎪+⎨=⎪-⎩可取n 1＝(0，1，2344λλ+-)． 由220,0,AP AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即2222340,450,y z x y +=⎧⎨-+=⎩得22225,43,4x y z y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩可取n 2＝(5，4，－3)． 由n 1·n 2＝0，得4－3×2344λλ+-＝0，解得25λ=，故AM ＝3.综上所述，存在点M 符合题意，AM ＝3.方法二：(1)证明：由AB ＝AC ，D 是BC 的中点，得AD ⊥BC ． 又PO ⊥平面ABC ，得PO ⊥BC ．因为PO ∩AD ＝O ，所以BC ⊥平面P AD ，故BC ⊥P A ．(2)解：如图，在平面P AB 内作BM ⊥P A 于M ，连结CM . 由(1)知AP ⊥BC ，得AP ⊥平面BMC ． 又AP ⊂平面APC ， 所以平面BMC ⊥平面APC ．在Rt △ADB 中，AB 2＝AD 2＋BD 2＝41，得41AB =在Rt △POD 中，PD 2＝PO 2＋OD 2， 在Rt △PDB 中，PB 2＝PD 2＋BD 2， 所以PB 2＝PO 2＋OD 2＋DB 2＝36，得PB ＝6. 在Rt △POA 中，P A 2＝AO 2＋OP 2＝25，得P A ＝5.又cos ∠BP A ＝2222PA PB AB PA PB ++⋅＝13，从而PM ＝PB cos ∠BP A ＝2，所以AM ＝P A －PM ＝3. 综上所述，存在点M 符合题意，AM ＝3.21．解：(1)由题意可知，抛物线的准线方程为：14y =-，所以圆心M (0，4)到准线的距离是174.(2)设P (x 0，20x )，A (x 1，21x )，B (x 2，22x )，由题意得x 0≠0，x 0≠±1，x 1≠x 2.设过点P 的圆C 2的切线方程为y －20x ＝k (x －x 0)， 即y ＝kx －kx 0＋20x .① 20021k+＝1，即(x 02－1)k 2＋2x 0(4－x 02)k ＋(x 02－4)2－1＝0.设P A ，PB 的斜率为k 1，k 2(k 1≠k 2)，则k 1，k 2是上述方程的两根，所以k 1＋k 2＝20020241x x x (-)-，k 1k 2＝22020411x x (-)--. 将①代入y ＝x 2，得x 2－kx ＋kx 0－x 02＝0，由于x 0是此方程的根，故x 1＝k 1－x 0，x 2＝k 2－x 0，所以k AB ＝221212x x x x --＝x 1＋x 2＝k 1＋k 2－2x 0＝20020241x x x (-)-－2x 0，k MP ＝2004x x -. 由MP ⊥AB ，得k AB ·k MP ＝220000200244(2)()1x x x x x x (-)--⋅-＝－1，解得20235x =， 即点P 的坐标为(235235)，所以直线l 的方程为31154y x =+. 22．解：(1)求导得()22()ln x a f x x a x x(-)'＝－＋()(2ln )1x a x ax＝－＋－．因为x ＝e 是f (x )的极值点，所以()e (e )(3e)0f a a'＝－－＝，解得a ＝e 或a ＝3e.经检验，符合题意，所以a ＝e 或a ＝3e.(2)①当0＜x ≤1时，对于任意的实数a ，恒有f (x )≤0＜4e 2成立． ②当1＜x ≤3e 时，由题意，首先有f (3e)＝(3e －a )2ln(3e)≤4e 2，解得ln(33e 3e)e a ≤≤＋ln(3e)由(1)知()()(2ln 1)f x x a x ax'＝－＋－，令h (x )＝2ln x ＋1－ax，则h (1)＝1－a ＜0，h (a )＝2ln a ＞0，且()()()3e+ln(3e)3e 2ln 3e 12ln 3e 13ah e≥＝＋－＋－32l (l n3n3e 0e>＝－.又h (x )在(0，＋∞)内单调递增，所以函数h (x )在(0，＋∞)内有唯一零点，记此零点为x 0，则1＜x 0＜3e ，1＜x 0＜A ．从而，当x ∈(0，x 0)时，f ′(x )＞0；当x ∈(x 0，a )时，f ′(x )＜0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＞0.即f (x )在(0，x 0)内单调递增，在(x 0，a )内单调递减，在(a ，＋∞)内单调递增．。
2011年浙江高中数学竞赛试题.doc
2011年浙江省高中数学竞赛试题一、选择题（本大题共有10小题，每题5分，共50分）1. 已知53[,]42ππθ∈ ） A ．2sin θ B. 2sin θ- C. 2cos θ- D. 2cos θ2．如果复数()()21a i i ++的模为4，则实数a 的值为（ ）A. 2B.C. 2±D. ±3. 设A ，B 为两个互不同集合，命题P ：x A B ∈⋂， 命题q ：x A ∈或x B ∈，则p 是q 的（ ） A. 充分且必要条件 B. 充分非必要条件 C. 必要非充分条件 D. 非充分且非必要条件4. 过椭圆2212x y +=的右焦点2F 作倾斜角为45弦AB ，则AB 为（ ）A. B. C. 3 D. 5. 函数150()510xx x f x x -⎧-≥=⎨-<⎩，则该函数为（ ） A. 单调增加函数、奇函数 B. 单调递减函数、偶函数C. 单调增加函数、偶函数D. 单调递减函数、奇函数8. 在平面区域{}(,)||1,||1x y x y ≤≤上恒有22ax by -≤，则动点(,)P a b 所形成平面区域的面积为（ ）A. 4 B.8 C. 16 D. 329. 已知函数()sin(2)6f x x m π=--在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，则m 的取值范围为（ ） A. 1, 12⎛⎫ ⎪⎝⎭ B 1, 12⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. 1, 12⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D. 1, 12⎛⎤ ⎥⎝⎦10. 已知[1,1]a ∈-，则2(4)420x a x a +-+->的解为（ ）A. 3x >或2x <B. 2x >或1x <C. 3x >或1x <D. 13x <<二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上，每空7分，共49分）11. 函数()2sin 2x f x x =的最小正周期为_________。
2011年高考浙江省数学试卷-理科(含详细答案)
2011年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）理科数学一、选择题 （本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）设函数2,0,()()4,0.x x f x f x x α-≤⎧==⎨〉⎩若,则实数α=（A ）-4或-2 （B ）-4或2 （C ）-2或4 （D ）-2或2【答案】B【解析】当0≤α时，()4,4f ααα=-==-； 当0>α时，2()4,2f ααα===.（2）把复数z 的共轭复数记作z ，i 为虚数单位，若1z i =+,则(1)z z +⋅= （A ）3-i （B ）3+i （C ）1+3i （D ）3 【答案】A【解析】∵i z +=1，∴i z -=1，∴(1)(11)(1)3z z i i i +⋅=++-=-.(3)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是【答案】D【解析】由正视图可排除A 、B 选项；由俯视图可排除C 选项.（4）下列命题中错误的是（A ）如果平面αβ⊥平面，那么平面α内一定存在直线平行于平面β （B ）如果平面不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β （C ）如果平面αγ⊥平面，平面βγ⊥平面，=l αβ⋂，那么l γ⊥平面 （D ）如果平面αβ⊥平面，那么平面α内所有直线都垂直于平面β 【答案】D【解析】因为若这条线是αβ平面和平面的交线L ，则交线L 在平面α内，明显可得交线L 在平面β内，所以交线L 不可能垂直于平面β，平面α内所有直线都垂直于平面β是错误的（5）设实数,x y 满足不等式组250270,0x y x y x +-⎧⎪+-⎨⎪⎩＞＞≥，y ≥0，若,x y 为整数，则34x y +的最小值是（A ）14 （B ）16 （C ）17 （D ）19 【答案】B【解析】可行域如图所示联立⎩⎨⎧=-+=-+072052y x y x ，解之得⎩⎨⎧==13y x ，又∵边界线为虚线取不到，且目标函数线的斜率为43-，∴当y x z 43+=过点（4，1）时，有最小值16.（6）若02πα＜＜，02πβ-＜＜，1cos()43πα+=，cos()42πβ-=cos()2βα+= （A（B） （C（D）【答案】C 【解析】∵31)4cos(=+απ，20πα<<，∴sin()43πα+=，又∵33)24cos(=-βπ，02<<-βπ，∴36)24sin(=-βπ，∴)]24()4cos[()2cos(βπαπβα--+=+＝)24sin()4sin()24cos()4cos(βπαπβπαπ-++-+＝13333⨯+⨯935. （7）若,a b 为实数，则“01ab ＜＜”是11a b ba＜或＞的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】当0,0>>b a 时，由10<<ab 两边同除b 可得ba 1<成立；当0,0<<b a 时，两边同除以a 可得a b 1>成立，∴“10<<ab ”是“b a 1<或ab 1>”的充会条件，反过来0<ab ，由b a 1<或ab 1>得不到10<<ab .（8）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=＞＞与双曲线222:14y C x -=有公共的焦点，2C 的一条渐近线与以1C 的长轴为直径的圆相交于,A B 两点，若1C 恰好将线段AB 三等分，则（A ）2132a =（B ）213a = （C ）212b = （D ）22b = 【答案】 C【解析】由双曲线422y x -＝1知渐近线方程为x y 2±=，又∵椭圆与双曲线有公共焦点，∴椭圆方程可化为22x b ＋()225y b +＝()225b b +，联立直线x y 2±=与椭圆方程消y 得，()20552222++=b b b x，又∵1C 将线段AB 三等分，∴()3220552212222a b b b =++⨯+， 解之得212=b .（9）有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本.若将其随机的并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率 （A ）15 （B ）25 （C ）35 D 45【答案】B【解析】由古典概型的概率公式得522155222233232222=+-=A A A A A A A P .（10）设a ，b ，c 为实数，)1)1()(),)(()(22+++=+++=bx cx ax x g c bx x a x x f （.记集合S=()0,,()0,,x f x x R T x g x x R =∈==∈若S ，T 分别为集合元素S ，T 的元素个数，则下列结论不可能．．．的是 （A ）S =1且T =0 （B ）1T =1S =且 （C ）S =2且T =2 （D ）S =2且T =3 【答案】D【解析】当0===c b a 时，1=s 且 0||=T ；当0a ≠且240b ac -〈时，1=s 且1T =；当20,40a b ac ≠-〉且b=a+c(例如a=1 c=3,b=4)时， 2=s 且2T =.非选择题部分（共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分（11）若函数2()f x x x a =-+为偶函数，则实数a = 。
2011年浙江省高考数学试卷及答案(理科)
2011年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）本试题卷分选择题和非选择题两部分。
全卷共5页，选择题部分1至3页，非选择题部分4至5页。
满分150分，考试时间120分钟。
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分（共50分）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。
2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
不能答在试题卷上。
参考公式如果事件,A B 互斥 ，那么()()()P A B P A P B +=+如果事件,A B 相互独立，那么()()()P A B P A P B ∙=∙如果事件A 在一次试验中发生的概率为P ,那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()(1)(0,1,2,...,)k k n kn n P k C p p k n -=-= 台体的体积公式121()3V h S S =+其中1S ,2S 分别表示台体的上、下面积，h 表示台体的高柱体体积公式V Sh =其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高锥体的体积公式13V Sh =其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高球的表面积公式24S R π=球的体积公式343V R π=其中R 表示球的半径一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设函数2,0(),x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩，若()4f a =，则实数a =（A ）-4或-2 （B ）-4或2 （C ）-2或4 （D ）-2或2 2.把复数z 的共轭复数记作z ,i 为虚数单位，若z=1+i,则(1)z z +⋅= （A ）3i - （B ）3i + （C ）13i + （D ）3 3.若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是4.下列命题中错误．．的是 （A ）如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β （B ）如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β （C ）如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，l αβ⋂=，那么l ⊥平面γ （D ）如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β5.设实数x 、y 是不等式组2502700,0x y x y x y +->⎧⎪+->⎨⎪≥≥⎩，若x 、y 为整数，则34x y +的最小值是（A ）14 （B ）16 （C ）17 （D ）19 6.若02πα<<，02πβ-<<，1cos()43πα+=，cos ()42πβ-=，则cos ()2βα+= （A（B）（C（D）7.若a 、b 为实数，则“01ab <<”是“1a b <或1b a>”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件8.已知椭圆22122:1x y C a b +=（a >b >0）与双曲线 222:14y C x -=有公共的焦点，2C 的一条渐近线与以1C 的长轴为直径的圆相交于,A B 两点，若1C 恰好将线段AB 三等分，则（A ）2132a =（B ）2a =13 （C ）212b = （D ）2b =29.有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本。
2011年浙江省高中数学竞赛试题解答
2011年浙江省高中数学竞赛试题参考解答与评分标准说明：本试卷分为A 卷和B 卷：A 卷由本试卷的2２题组成，即10道选择题，7道填空题、3道解答题和2道附加题；B 卷由本试卷的前20题组成，即10道选择题，7道填空题和3道解答题。
一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分）1. 已知53[,]42ππθ∈ D ） A ．2sin θ B. 2sin θ- C. 2cos θ- D. 2cos θ解答：因为53[,]42ππθ∈cos sin cos sin θθθθ--+ 2c o s θ=。
正确答案为D 。
2．如果复数()()21a i i ++的模为4，则实数a 的值为（ C ）A. 2B.C. 2±D. ±42a =⇒=±。
正确答案为C 。
3. 设A ，B 为两个互不相同的集合，命题P ：x A B ∈⋂， 命题q ：x A ∈或x B ∈，则p 是q 的（ B ）A. 充分且必要条件B. 充分非必要条件C. 必要非充分条件D. 非充分且非必要条件 解答：P 是q 的充分非必要条件。
正确答案为B 。
4. 过椭圆2212x y +=的右焦点2F 作倾斜角为45 弦AB ，则AB 为（ C ）A.3 B. 3 C. 3 D. 3解答：椭圆的右焦点为（1，0），则弦AB 为1,y x =-代入椭圆方程得21243400,33x x x x AB -=⇒==⇒==。
正确答案为C 。
5. 函数150()51xxx f x x -⎧-≥=⎨-<⎩，则该函数为（ A ）A. 单调增加函数、奇函数B. 单调递减函数、偶函数C. 单调增加函数、偶函数D. 单调递减函数、奇函数解答：由单调性和奇偶性定义知道函数为单调增加的奇函数。
正确答案为A 。
6. 设有一立体的三视图如下，则该立体体积为（ A ）正视图 侧视图 俯视图（圆和正方形）A. 4+52πB. 4+32πC. 4+2π D. 4+π解答：该几何体是一个圆柱与一个长方体的组成，其中重叠了一部分（2π），所以该几何体的体积为52213422πππ⨯⨯+-=+。
2011年浙江高考数学试题及答案解析版(理科)
2011年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）理科数学一、选择题 （本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）设函数2,0,()()4,0.x x f x f x x α-≤⎧==⎨〉⎩若,则实数α=（A ）-4或-2 （B ）-4或2 （C ）-2或4 （D ）-2或2 【答案】B【解析】当0≤α时，()4,4f ααα=-==-； 当0>α时，2()4,2f ααα===.（2）把复数z 的共轭复数记作z ，i 为虚数单位，若1z i =+,则(1)z z +⋅= （A ）3-i （B ）3+i （C ）1+3i （D ）3 【答案】A【解析】∵i z +=1，∴i z -=1，∴(1)(11)(1)3z z i i i +⋅=++-=-.(3)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是【答案】D【解析】由正视图可排除A 、B 选项；由俯视图可排除C 选项.（4）下列命题中错误的是（A ）如果平面αβ⊥平面，那么平面α内一定存在直线平行于平面β （B ）如果平面不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β （C ）如果平面αγ⊥平面，平面βγ⊥平面，=l αβ⋂，那么l γ⊥平面 （D ）如果平面αβ⊥平面，那么平面α内所有直线都垂直于平面β 【答案】D【解析】因为若这条线是αβ平面和平面的交线L ，则交线L 在平面α内，明显可得交线L 在平面β内，所以交线L 不可能垂直于平面β，平面α内所有直线都垂直于平面β是错误的（5）设实数,x y 满足不等式组250270,0x y x y x +-⎧⎪+-⎨⎪⎩＞＞≥，y ≥0，若,x y 为整数，则34x y +的最小值是（A ）14 （B ）16 （C ）17 （D ）19 【答案】B【解析】可行域如图所示联立⎩⎨⎧=-+=-+072052y x y x ，解之得⎩⎨⎧==13y x ，又∵边界线为虚线取不到，且目标函数线的斜率为43-，∴当y x z 43+=过点（4，1）时，有最小值16.（6）若02πα＜＜，02πβ-＜＜，1cos()43πα+=，cos()423πβ-=，则cos()2βα+= （A（B） （C（D）【答案】C【解析】∵31)4cos(=+απ，20πα<<，∴sin()43πα+=，又∵33)24cos(=-βπ，02<<-βπ，∴36)24sin(=-βπ，∴)]24()4cos[()2cos(βπαπβα--+=+＝)24sin()4sin()24cos()4cos(βπαπβπαπ-++-+＝13333⨯+＝935. （7）若,a b 为实数，则“01ab ＜＜”是11a b b a＜或＞的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】当0,0>>b a 时，由10<<ab 两边同除b 可得ba 1<成立；当0,0<<b a 时，两边同除以a 可得a b 1>成立，∴“10<<ab ”是“b a 1<或ab 1>”的充会条件，反过来0<ab ，由b a 1<或ab 1>得不到10<<ab .（8）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=＞＞与双曲线222:14y C x -=有公共的焦点，2C 的一条渐近线与以1C 的长轴为直径的圆相交于,A B 两点，若1C 恰好将线段AB 三等分，则 （A ）2132a =（B ）213a = （C ）212b = （D ）22b = 【答案】 C【解析】由双曲线422y x -＝1知渐近线方程为x y 2±=，又∵椭圆与双曲线有公共焦点，∴椭圆方程可化为22x b ＋()225y b +＝()225b b +，联立直线x y 2±=与椭圆方程消y 得，()20552222++=b b b x，又∵1C 将线段AB 三等分，∴()3220552212222a b b b =++⨯+， 解之得212=b .（9）有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本.若将其随机的并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率（A ）15 （B ）25 （C ）35 D 45【答案】B【解析】由古典概型的概率公式得522155222233232222=+-=A A A A A A A P .（10）设a ，b ，c 为实数，)1)1()(),)(()(22+++=+++=bx cx ax x g c bx x a x x f （.记集合S=()0,,()0,,x f x x R T x g x x R =∈==∈若S ，T 分别为集合元素S ，T 的元素个数，则下列结论不可能．．．的是 （A ）S =1且T =0 （B ）1T =1S =且 （C ）S =2且T =2 （D ）S =2且T =3 【答案】D【解析】当0===c b a 时，1=s 且 0||=T ；当0a ≠且240b ac -〈时，1=s 且1T =；当20,40a b ac ≠-〉且b=a+c(例如a=1 c=3,b=4)时， 2=s 且2T =.非选择题部分（共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分（11）若函数2()f x x x a =-+为偶函数，则实数a = 。
2011年浙江省杭州市各类高中招生文化考试数学试题及参考答案全word版
2011年浙江省杭州市各类高中招生文化考试数学试题及参考答案全word版2011年杭州市各类高中招生文化考试数 学考生须知：1. 本试卷满分120分，考试时间100分钟。
2. 答题前，在答题纸上写姓名和准考证号。
3. 必须在答题纸的对应答题位置上答题，写在其它地方无效。
答题方式详见答题纸上的说明。
4. 考试结束后，试题卷和答题纸一并上交。
试题卷一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的。
注意可以用多种不同的方法来选取正确答案。
1. 下列各式中，正确的是 A.3)3(2-=- B. 332-=- C. 3)3(2±=± D. 332±= 2. 正方形纸片折一次，沿折痕剪开，能剪得的图形是A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 梯形D. 菱形3. =⨯36)102(A. 9106⨯B.9108⨯ C. 18102⨯D. 18108⨯ 4. 正多边形的一个内角为135°，则该多边形的边数为A. 9B. 8C. 7D. 45. 在平面直角坐标系xOy 中，以点（-3，4）为圆心，4为半径的圆A. 与x 轴相交，与y 轴相切B. 与x 轴相离，与y 轴相交C. 与x 轴相切，与y 轴相交D. 与x 轴相切，与y 轴相离6. 如图，函数11-=x y 和函数xy 22=的图像相交于点M （2，m ），N （-1，n ），若21y y>，则x 的取值范围是A.1-<x 或20<<x B. 1-<x 或2>x C.01<<-x 或20<<x D. 01<<-x 或2>x7. 一个矩形被直线分成面积为x ，y 的两部分，则y 与x 之间的函数关系只可能是8. 如图是一个正六棱柱的主视图和左视图，则图中的=aA. 32B. 3C. 2D. 19. 若2-=+b a ，且a ≥2b ，则A. a b 有最小值21B. ab 有最大值1C. b a 有最大值 2D.b a有最小值98- 10. 在矩形ABCD 中，有一个菱形BFDE （点E ，F 分别在线段AB ，CD 上），记它们的面积分别为ABCD S和BFDE S ，现给出下列命题： ①若232+=BFDE ABCD SS，则33tan =∠EDF ； ②若EF BD DE ⋅=2,则DF=2AD则A. ①是真命题，②是真命题B. ①是真命题，②是假命题C. ①是假命题，②是真命题D. ①是假命题，②是假命题二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清楚题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案11. 写出一个比-4大的负．无理数_________ 12. 当7=x 时，代数式)1)(3()1)(52(+--++x x x x 的值为__________13. 数据9.30，9.05，9.10，9.40，9.20，9.10的众数是___________；中位数是_______________14. 如图，点A ，B ，C ，D 都在⊙O上，的度数等于84°，CA 是∠OCD 的平分线，则∠ABD+∠CAO=________°15. 已知分式a x xx +--532，当2=x 时，分式无意义，则=a _______；当6<x 时，使分式无意义的x 的值共有_______个16. 在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，过点C作直线l∥AB，F是l上的一点，且AB=AF，则点F到直线BC的距离为__________三、全面答一答（本题有8个小题，共66分）解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。
2011年全国统一高考数学真题试卷——浙江省
本文作者：苏卫军 苗孟义2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（浙江）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设函数2,0,(),0.x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩若()4f a =，则实数a =A ．4-或2-B ．4-或2C ．2-或4D ．2-或2 2．把复数z的共轭复数记作z ，i 为虚数单位．若1z i =+，则(1)z z +⋅= A ．3i - B ．3i + C ．13i + D ．3 3．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是A ．B ．C ．D ． 4．下列命题中错误．．的是 A ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β B ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β C ．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，l αβ=，那么l ⊥平面γD ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β5．设实数,x y 满足不等式组2502700,0.x y x y x y +->⎧⎪+->⎨⎪≥≥⎩若,x y 为整数，则34x y +的最小值是A ．14B ．16C ．17D ．19 6．若02πα<<，02πβ-<<，1cos()43πα+=，3cos ()42πβ-=，则cos ()2βα+= A ．3 B ．3- C ．53 D ．6-7．若,a b 为实数，则“01ab <<”是“1a b <或1b a>”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件8．已知椭圆1C ：22221(0)x y a b a b +=>>与双曲线2C ：2214y x -=有公共的焦点，2C 的一条渐近线与1C 的长轴为直径的圆相交于,A B 两点．若1C 恰好将线段AB 三等分，则 A ．2132a =B ．213a =C ．212b = D ．22b = 9．有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其随机地并排摆放到书架 的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是A ．15B ．25C ．35D ．4510．设,,a b c 为实数，2()()()f x x a x bx c =+++，2()(1)(1)g x ax cx bx =+++．记集合{|()0,}S x f x x R ==∈，{|()0,}T x g x x R ==∈．若||S ，||T 分别为集合,S T 的元素个数，则下列结论不可能．．．的是 A ．||1S =且||0T = B ．||1S =且||1T = C ．||2S =且||2T = D ．||2S =且||3T = 二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分． 11．若函数2()f x x x a =-+为偶函数，则实数a = ． 12．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的k 值为 ． 13．设二项式6()(0)x a x->的展开式中3x 的系数为A ，常数项为B ．若4B A =，则a 的值是 ．14．若平面向量,αβ满足1=a ，1≤β，且以向量,αβ为邻边的平行 四边形的面积为12，则α与β的夹角θ的取值范围是 ． 15．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公 司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X 为该毕业生得到面试的 公司个数. 若(0)P X =112=，则随机变量X 的数学期望()E X = ．16．设,x y 为实数．若2241x y xy ++=，则2x y +的最大值是 ．17．设12,F F 分别为椭圆2213x y +=的左、右焦点，点,A B 在椭圆上，若125F A F B =，则点A 的坐标是 ．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本题满分14分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知()sin sin sin ,A C p B p R +=∈且214ac b =.(Ⅰ)当5,14p b ==时，求,a c 的值；(Ⅱ)若角B 为锐角，求p 的取值范围.19．（本题满分14分）已知公差不为0的等差数列{}n a 的首项1a 为()a a R ∈．设数列的前n 项和为n S ，且11a ，21a ，41a 成等比数列. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式及n S ； (Ⅱ)记n A ＝11S +21S +31S +…+1n S ,n B ＝11a + 21a +221a +… +121n a -．当2n ≥时，试比较n A 与n B 的大小.20．（本题满分15分）如图，在三棱锥P ABC -中，AB AC =，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上， 已知8BC =，4PO =，3AO =，2OD =． (Ⅰ)证明：AP BC ⊥；(Ⅱ)在线段AP 上是否存在点M ，使得二面角A MC B --为 直二面角？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由.21．（本题满分15分）已知抛物线1C ：2x y =，圆2C ：22(4)1x y +-=的圆心为点M ．(Ⅰ)求点M 到抛物线1C 的准线的距离；(Ⅱ)已知点P 是抛物线1C 上一点（异于原点），过点P 作圆2C 的两条切线，交 抛物线1C 于,A B 两点，若过,M P 两点的直线l 垂直于AB ，求直线l 的方程.22．（本题满分14分）设函数2()()ln ,f x x a x a R =-∈．(Ⅰ)若x e =为()y f x =的极值点，求实数a ；(Ⅱ)求实数a 的取值范围，使得对任意的(0,3]x e ∈，恒有2()4f x e ≤成立. 注：e 为自然对数的底数.2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（浙江）试题答案与解读一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案BADDBCACBD1．设函数2,0,(),0.x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩若()4f a =，则实数a =A ．4-或2-B ．4-或2C ．2-或4D ．2-或2 答案:选B.解法1：(直接法)当0a ≤时，()4f a a =-=，得4a =-；当0a >时，2()4f a a ==，得2a =，2a =-(舍去).故4a =-或2a =.故选B.解法2：(排除法)当2a =-时，()24f a a =-=≠，排除A,C,D. 故选B.点评：本题主要考查了函数、分段函数的概念，结合分段函数的性质用分类讨论的思想方法进行求解，考查基本运算能力．另外也可以不用动笔，利用排除法就能看出答案．属于容易题． 2．把复数z 的共轭复数记作z ，i 为虚数单位．若1z i =+，则(1)z z +⋅= A ．3i - B ．3i + C ．13i + D ．3 答案:选A.解法1：(1)1(1)(1)123z z z zz i i i i i +=+=-++-=-+=-.故选A. 解法2：(1)(2)(1)3z z i i i +=+-=-.故选A.点评：本题主要考查了复数的加法、乘法运算以及共轭复数的概念，计算时要注意运算法则的应用．属于容易题．3．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是A． B． C． D．答案:选D.解法1：(排除法)选项A，B与正视图不符，选项C与俯视图不符. 故选D.解法2：(直接法)从俯视图看，B和D符合，从正视图看D符合，从侧视图看D符合．故选D.点评：本题主要考查了几何体的直观图与三视图之间的转化关系．属于容易题．三视图是新课程新增内容之一，每年必考，应重视，特别是根据几何体的三视图来还原直观图，从而求几何体的体积或表面积．4．下列命题中错误．．的是A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，lαβ=，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β答案:选D.解法：如果平面α⊥平面β，设交线为l，则在平面α内与交线l平行的直线都平行于平面β，故A正确；如果平面α内存在直线垂直于平面β，则由面面垂直的判定定理知αβ⊥，故B正确；两个平面都与第三个平面垂直时，易得交线与第三个平面垂直，故C正确；如果平面α⊥平面β，平面α内与交线平行的直线与β平行，故D错误. 故选D.点评：本题主要考查了平面垂直的性质定理和判定定理，解题时要结合空间想象，对于各种可能出现的情况进行分析处理，要会找反例(画示意图)，加以肯定或否定，平时在学习中积累这些反例．5．设实数,x y满足不等式组2502700,0.x yx yx y+->⎧⎪+->⎨⎪≥≥⎩若,x y为整数，则34x y+的最小值是A．14 B．16 C．17 D．19答案：选B．解法：作出可行域，如图中阴影部分所示，由250270x y x y +-=⎧⎨+-=⎩得31x y =⎧⎨=⎩，点(3,1)A 不在可行域， 因为,x y 为整数，借助网格，易得点(4,1)符合条件， 所以min (34)344116x y +=⨯+⨯=，故选B ．点评：本题主要考查了线性规划问题中的取整问题，解答时一要注意最值的求解，二要注意在最小值(临界)处求符合条件的整点．属于中等题． 6．若02πα<<，02πβ-<<，1cos()43πα+=，3cos ()42πβ-=，则cos ()2βα+= A ．3 B ．3- C ．53 D ．6- 答案：选C ． 解法：因为02πα<<，1cos()43πα+=，所以3444πππα<+<，22sin()4πα+=，又因为02πβ-<<，3cos()42πβ-=，所以4422ππβπ<-<，6sin()42πβ-=，所以cos ()2βα+= 1322653cos[()()]cos()cos()sin()sin()4424424423ππβππβππβααα+--=+-++-=⨯+⨯=．故选C ． 点评：本题考查了同角三角函数的基本关系以及两角和差公式的运用，解题时要注意合理地拆角和凑角，注意配凑技巧的运用．属于中等题．7．若,a b 为实数，则“01ab <<”是“1a b <或1b a>”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案：选A ．解法：因为01ab <<，所以,a b 同号，且1ab <．当0,0a b >>时，1a b<；当0,0a b <<时， 1b a >．“01ab <<”是“1a b <或1b a >”的充分条件．但取1,1a b =-=，显然有1a b<，此时不能推出01ab <<．因此“01ab <<”是“1a b <或1b a>”的充分而不必要条件．故选A ． 点评：本题结合不等式的性质考查充要条件的判断，要注意逻辑推理和举反例否定相结合，以提高解题的有效性和针对性．属于中等题． 8．已知椭圆1C ：22221(0)x y a b a b +=>>与双曲线2C ：2214y x -=有公共的焦点，2C 的一条渐近线与1C 的长轴为直径的圆相交于,A B 两点．若1C 恰好将线段AB 三等分，则 A ．2132a =B ．213a =C ．212b = D ．22b =答案：选C ．解法：如图，设直线AB 与椭圆1C 的一个交点为C (靠近A 的 交点)，则||3aOC =，因为渐近线为2y x =±，所以tan 2COx ∠=， 所以sinCOx ∠=，cos COx ∠=，所以点C 的坐标为，代入椭圆方程得 2222414545a a a b +=，又因为225a b -=，所以212b =．故选C ． 点评：本题在考查双曲线渐近线的基础上考查了直线与椭圆、圆的位置关系，解题时数形结合，要注意利用直线斜率确定点C 的坐标，运用代数方程思想求参数,a b ．属于中等题． 9．有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其随机地并排摆放到书架 的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是A ．15B ．25C ．35D ．45答案：选B ．解法：第一步先排语文书有222A =种排法，第二步排物理书，分成两类：一类是物理书放在 语文书之间，有1种排法，这时数学书可从4个空中选2个进行排列，有2412A =种排法；一类是物理书不放在语文书之间有2种排法，再选一本数学书放在语文书之间有2种排法，另一本有3 种排法．因此同一科目的书都不相邻共有2(12223)48⨯+⨯⨯=种排法，而5本书全排列共有55A120=种，所以同一科目的书都不相邻的概率是4821205=，故选B ． 点评：本题考查利用排列组合知识解决实际问题的能力，可以用整体法和间接法进行巧解，对于相邻情况的分析在使用间接法时要注意避免重复．属于中等题．10．设,,a b c 为实数，2()()()f x x a x bx c =+++，2()(1)(1)g x ax cx bx =+++．记集合{|()0,}S x f x x R ==∈，{|()0,}T x g x x R ==∈．若||S ，||T 分别为集合,S T 的元素个数，则下列结论不可能．．．的是 A ．||1S =且||0T = B ．||1S =且||1T = C ．||2S =且||2T = D ．||2S =且||3T = 答案：选D ．解法1：取0,0,0a b c ===，则3{|()0}S x f x x ===，||1S =，{|()10}T x g x ===，||0T =，因此A 可能成立．取1,0,1a b c ===，则2{|()(1)(1)0}S x f x x x ==++=，||1S =，2{|()(1)(1)0}T x g x x x ==++=，||1T =，因此B 可能成立．取1,0,0a b c =-==，则2{|()(1)0}S x f x x x ==-=，||2S =，2{|()(1)(1)0}T x g x x x ==-+-+=，||2T =，因此C 可能成立．故选D ．解法2：当0a ≠时，方程0x a +=与10ax +=的解互为倒数，方程20x bx c ++=与方程 210cx bx ++=的根互为倒数，则集合,S T 的元素个数不可能出现2个和3个，故选D ．点评：本题结合集合的知识考查函数、零点、方程等内容，解题时要结合一次函数、二次函数、参数可能出现的情况进行分类讨论，采用排除法解题事半功倍．属于难题． 二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．111213141516 17 0 5 25[,]66ππ 532105(0,1)±11．若函数2()f x x x a =-+为偶函数，则实数a = ． 答案:填0.解法1：因为函数2()f x x x a =-+为偶函数，所以()()f x f x -=，即2()x x a ---+2x x a =-+， 所以x a x a -+=+，因为x R ∈，所以0a =.解法2：因为函数2()f x x x a =-+为偶函数，所以(1)(1)f f -=，即111|1|a a --+=-+， 1|1|a a -+=+，所以0a =.点评：本题考查了函数的奇偶性，绝对值的性质，解题时可运用特殊值进行求解，以提高解题的效率．属于容易题．12．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的k 值为 ．答案:填5.解法：根据程序框图知，第一次循环得3k =，34a =，43b =，a b <；第二次循环得4k =，44a =，44b =，a b =；第三次循环得5k =，54410245625a b ==>==，所以5k =．点评：本题结合两数大小的比较考查程序框图，解题的关键是识图，特别是循环结构的使用．属于容易题．13．设二项式6()(0)x a x->的展开式中3x 的系数为A ，常数项为B ．若4B A =，则a 的值是 ． 答案:填2.解法：由于3662166()r r rr r rr T C xC a x --+==-．令3632r -=，得2r =，则226()A C a =-215a =；令3602r -=，得4r =，则4446()15B C a a =-=．因为4B A =，得4215415a a =⨯，所以2a =．点评：本题考查二项式定理中的特定项的计算，解题的关键是理解通项，结合方程便可求解．属于容易题．14．若平面向量,αβ满足1=a ，1≤β，且以向量,αβ为邻边的平行四边形的面积为12，则α与 β的夹角θ的取值范围是 ．答案:填5[,]66ππ.解法1：以向量,αβ为邻边的平行四边形的面积112||||sin ||sin 22S θθ⎡⎤=⨯==⎢⎥⎣⎦αββ，因为 1≤β，1sin 2||θ=β，所以1sin 12θ≤≤，又因为[0,]θπ∈，所以5[,]66ππθ∈． 解法2：如图，取(1,0)A ，作OA =α，OB =β， 则(||cos ,||sin )B θθββ．因为以向量,αβ为邻边的 平行四边形的面积11||sin 2θ=⨯β，1≤β，所以sin θ 112||2=≥β，即1sin 12θ≤≤，又因为[0,]θπ∈， 所以5[,]66ππθ∈．点评：本题考查平面向量的几何意义，平行四边形的面积公式等内容，解答时要注意向量夹角的取值范围．属于中等题．15．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到 甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X 为该毕业生得到面试的公司个数. 若(0)P X =112=，则随机变量X 的数学期望(cos ,sin )βθβθ()E X = ．答案：填53．解法：因为211(0)(1)312P X p ==-⨯=，所以12p =，随机变量X 的可能值为0,1,2,3，所以1(0)12P X ==，2221211(1)()()32323P X ==⨯+⨯=，2221115(2)()2()323212P X ==⨯⨯+⨯=，2211(3)()326P X ==⨯=，随机变量X 的分布列如上图，所以11515()01231231263E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 点评：本题主要考查了离散型随机变量的期望的求解，解答时，先要依据1(0)12P X ==计算出p 的值，再分别求出随机变量X 取1,2,3时的概率，再结合期望公式进行求解． 16．设,x y 为实数，若2241x y xy ++=，则2x y +的最大值是 ．解析：解法1：设1(,)22x y x =+α，(1,)5=β， 2x y +＝||||⋅≤αβαβ＝,αβ同向，即25y x ==取得等号，故2x y +．解法2：(1)当x y ⋅≠0时，2222222222(2)4432)1444x y x y xy xyx y x y xy x y xy x y xy++++===+++++++（3381114551x y y x =+≤=+=++(2)当x y ⋅=0时，显然22)1x y +=（ 综上所得，当且仅当x y ⋅≠0且x yy x =4时，282)5x y +≤（， ∴5102325102≤+≤-y x ，即2x+y 的最大值是5102.解法3：因为2241x y xy ++=，改写为()()2212212x y x y ++⨯⨯=． 当2x y +取得最大值时显然2x y =（选择、填空题解法，有猜的成分）．此时2512y =，故225y =．显然此时25x y ==． 故2x y +． 解法4：设⎩⎨⎧==θρθρsin y cox x ，∴222222244cos sin sin cos 1x y xy ρθρθρθθ++=++=，∴22214cos sin sin cos ρθθθθ=++，(1) 当sin 0cox θθ⋅≠时22222 (2)(2cos sin )(4cos sin 4sin cos )x y ρθρθρθθθθ+=+=++2222224cos sin 4sin cos 3sin cos 14cos sin sin cos 4cos sin sin cos θθθθθθθθθθθθθθ++==+++++ 33811.4cot tan 155θθ=+≤+=++(2)当sin cox θθ⋅=0时，2 (2)1x y +=∴25x y +≤. 解法5：设224x y xy ++＝22(2)()m x y n x y λ++-（0λ>），则244,1,421,m n m n m n λλ+=⎧⎪+=⎨⎪-=⎩ 解得5,83,21,2m n λ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩∴25(2)18x y +≤，当且仅当2x y =时取等号，∴2x y +的最大值为5． 点评：本题主要考查了基本不等式的性质，解答时要注意结合配凑法进行求解，最后要注意开方，避免出错．17．设12,F F 分别为椭圆2213x y +=的左、右焦点，点,A B 在椭圆上，若125F A F B =，则点A 的坐标是 ． 解析: 填(0,1)±.解法1：(直接求坐标)设直线A F 1的方程为：2-=my x ，点A 坐标),(A A y x 满足方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=+-=13222y x my x ，化简得:0122)3(22=--+my y m ，结合图像可知， (1)当0>m 时:3)1(3222+++=m m m y A ……①，由125F A F B =知：A F 1∥B F 2，故直线A F 1的方程为：2+=my x ，同理可得：3)1(3222+++-=m m m y B ……②，由125F A F B =，易得B A y y 5=……③，由①②③联立解得：22=m ，即：1=A y ，故)1,0(A .(2)当0>m 时：由对称性可得)1,0(-A ，综上可得：点A 的坐标是)1,0(±.解法2：(韦达定理)设直线A F 1与椭圆的另一个交点为C ,由125F A F B =知:A F 1∥B F 2,结合椭圆的对称性(关于原点对称)可得:1CF =F 2,故F 1=15CF ,设点A ,C 坐标分别为:),(11y x ,),(22y x ,直线A F 1的方程为:2-=my x , 则),(11y x ,),(22y x 满足方程组:⎪⎩⎪⎨⎧=+-=13222y x my x ,化简得:0122)3(22=--+my y m ,由韦达定理得: ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=+31322221221m y y m m y y ……①, 由F 1=15CF ,易得215y y -=……②, 由①②联立解得:22=m ,解得: 11±=y ,点A 的坐标是)1,0(±.解法3：(坐标整体代换)设点A ,B 坐标分别为:),(11y x ,),(22y x ,由125F A F B =可得：⎩⎨⎧=-=21215265y y x x ,代入132121=+y x ,并结合132222=+y x 化简可得: 5262=x ,进一步可求得⎩⎨⎧±==1011y x .故点A 的坐标是)1,0(±. 解法4：(椭圆参数化)设B 点坐标为)sin ,cos 3(θθ,则由125F A F B =易得: 点A 坐标为:)sin 5,26cos 35(θθ-,由于点A 也在椭圆上,把该坐标代入椭圆方程得:03)sin 5(3)26cos 35(22=-⨯+-θθ,化简得:144cos 660=θ,即562cos =θ, 求得51sin ±=θ,故点A 的坐标是)1,0(±. 解法5：(直线参数化) 设直线A F 1与椭圆的另一个交点为C ,由125F A F B =知:A F 1∥B F 2,结合椭圆的对称性(关于原点对称)可得:1CF =F 2,故F 1=15CF ,设直线A F 1的参数方程为:⎩⎨⎧=+-=θθsin cos 2t y t x (t 为参数), 点A ,C 对应的参数分别为21,t t ,满足方程: 2)2cos (-θt +03)sin (32=-θt .即:01cos 22)sin 21(22=-⋅-+t t θθ.故⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=+θθθ221221sin 211sin 21cos 22t t t t ……①, 由F 1=15CF ,易得215t t -=……②,由①②联立解得:32cos2=θ, 31sin 2=θ解得: 31±=t ,代入得点A 的坐标是)1,0(±. 解法6：(椭圆第二定义)设直线A F 1与椭圆的另一个交点为C ,由125F A F B =知:F 1∥F 2,结合椭圆的对称性(关于原点对称)可得:1CF =F 2,故A F 1=15CF ,设点A ,C 坐标分别为:),(11y x ,),(22y x ,利用椭圆的第二定义可得:2231+x =)223(52+x ,即: 1x =2652+x …①,又由三角形相似的性质可得: 21+x =)2(52--x ,即: 1x =2652--x …②,由①②联立解得: 1x =0, 故点A 的坐标是)1,0(±.点评：本题主要考查了椭圆与平面向量结合的综合问题，解题的关键是充分利用已知条件进行转化，即可求出点A 的坐标．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本题满分14分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()sin sin sin ,A C p B p R +=∈且214ac b =.(Ⅰ)当5,14p b ==时，求,a c 的值；(Ⅱ)若角B 为锐角，求p 的取值范围.解: (1)由题并利用正弦定理得:⎪⎩⎪⎨⎧==+4145ac c a . 解得: ⎪⎩⎪⎨⎧==141c a ,或⎪⎩⎪⎨⎧==411c a .(2)由余弦定理,B ac c a b cos 2222-+=B ac ac c a cos 22)(2--+=B b b b p cos 21212222--=,即:B p cos 21232+=因为)1,0(cos ∈B ,得:)2,23(2∈p ,由题设知0>p ,所以226<<p . 点评：（1）本题主要考查三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识，同时考查运算求解能力,难度与去年持平.（2）对于解三角形问题,通常要同时用到正弦定理和余弦定理.如果两个定理都可以解题,应优先考虑正弦定理,此题中条件“()sin sin sin ,A C p B p R +=∈”可看作是关于三个正弦值关系的齐次式,故可利用正弦定理把角化为边.第(2)小题中, “角B 为锐角”条件的转化必然会想到其余弦值的范围,但需特别注意三角形内角大于零,故)1,0(cos ∈B .（3）学生的错误主要是：对于“角B 为锐角”条件的转化不等价,主要表现为:①只用到0cos >B ,求解范围扩大.②没有注意到三角形的内角不能为零,即1cos ≠B ,从而误把B cos 的范围写成了]1,0(（4）浙江省高考在大题目中考查三角函数已经形成了规律，即在三角形中考查三角函数问题,这一惯例今后将会延续下去.19．（本题满分14分）已知公差不为0的等差数列{}n a 的首项1a 为a （a ∈R ），设数列的前n 项和为n S ，11a ，21a ，41a 成等比数列． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式及n S ； （Ⅱ） 记n A ＝11S +21S +31S +…+1n S , n B ＝11a + 21a +221a +… +121-n a ，当n ≥2时，试比较n A 与n B 的大小．解: （Ⅰ）设等差数列}{n a 的公差为d ,由412211)1(a a a ⋅=, 得)3()(1121d a a d a +=+. 因为0≠d ,所以a a d ==1,所以na a n =,2)1(+=n an S n （Ⅱ）解法1：因为)111(21+-=n n a S n ,所以: n A ＝11S +21S +31S +…+1n S )111(2+-=n a .因为a a n n 1221-=-,所以:n B ＝11a + 21a +221a +… +121-n a )211(2211)21(11n na a -=--⋅=. 当2≥n 时,1210+>+++=n C C C nn n n n ,即n n 211111-<+-所以,当0>a 时,n n B A <;当0<a 时,n n B A >.解法2：由(Ⅰ)得na a n =，2)1(+=n an S n ，∴)111(2)1(21+-=+=n n a n an S n ， )111(21111321+-=++++=n a S S S S A n n ．∵1122n n a a --=，∴ )211(2211)21(111111122221n nn a a a a a a B n -=--⋅=++++=- ．考察函数12--=x y x，2ln 21xy '=-,当2≥x 时0>'y 恒成立，故函数21x y x =--在),2[+∞上是增函数．又当2x =时，222110--=>，所以当2≥x 时，21x x >+恒成立，从而2n ≥时，21nn >+，即111112n n -<-+．所以，当0a >时，n n A B <，当0a <时，n n A B >.点评：(1)本题主要考查等差数列、等比数列、求和公式、不等式、二项式定理等基础知识，同时考查分类讨论思想.此题涉及知识面较广,但难度并不大,属于中档题.(2)学生的困难主要在于:①裂项求和方法掌握不好,因不会对)1(2+n an 进行裂项,导致后面求和无法进行下去.②在比较n2与1+n 大小时,不少同学是先猜测出结果,再利用数学归纳法来证明的,这样做当然可以,但比较费时,不如二项式定理直接、方便.(3)学生的错误主要有:①对数列}{12-n a 的理解有误,误把12-n a 当作有12-n 项来计算.②最后一步结论没有对字母a 的符号进行分类讨论,导致结论不完整.(4) 2009年之前的浙江高考几乎都是把数列作为压轴题来考查的.在新课程以后的连续两年(即:2009,2010两年)高考中均弱化了数列的地位,试卷中不再保留单独的数列大题.但在今年高考卷中数列又重新回到了大题目的位置(代替了概率分布列).这为我们今后的高三教学指明了方向:数列这部分内容很重要,需重视,但在教学中应控制好难度,不应一味拔高. 20．（本题满分15分）如图，在三棱锥P -ABC 中，AB ＝AC, D 为 BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上，已知BC ＝8， PO ＝4，AO ＝3，OD ＝2 （Ⅰ）证明：AP ⊥BC ；（Ⅱ）在线段AP 上是否存在点M ，使得二面角A -MC -B 为直二面 角？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由． 解法1：（I ）证明：如图，以O 为原点，以射线OP 为z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系O —xyz则(0,0,0),(0,3,0),(4,2,0),(4,2,0),(0,0,4)O A B C P --，(0,3,4),(8,0,0)AP BC ==-，由此可得0AP BC ⋅=，所以AP BC ⊥，即.AP BC ⊥（II ）解：设,1,(0,3,4)PM PA PM λλλ=≠=--则BM BP PM BP PA λ=+=+ (4,2,4)(0,3,4)(4,23,44)λλλ=--+--=----(4,5,0),(8,0,0)AC BC =-=-设平面BMC 的法向量1111(,,)n x y z =， 平面APC 的法向量2n 222(,,)x y z =由110,0,BM n BC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得11114(23)(44)0,80,x y x x λλ--++-=⎧⎨-=⎩即11110,23(0,1,)2344,44x n z y λλλλ=⎧+⎪=⎨+-=⎪-⎩可取 由220,0.AP n AC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即2222340,450,y z x y +=⎧⎨-+=⎩得222225,4(5,4,3).3,4x y n z y ⎧=⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎩可取 由12230,430,44n n λλ+⋅=-⋅=-得解得25λ=，故AM=3． 综上所述，存在点M 符合题意，AM=3． 解法2：（I ）证明：由AB=AC ，D 是BC 的中点，得AD BC ⊥ 又PO ⊥平面ABC ，得.PO BC ⊥因为PO AD O =，所以BC ⊥平面PAD ，故.BC PA ⊥（II ）解：如图，在平面PAB 内作BM PA ⊥于M ，连CM ， 由（I ）中知AP BC ⊥，得AP ⊥平面BMC ， 又AP ⊂平面APC ，所以平面BMC ⊥平面APC ．在222,41,41.Rt ADB AB AD BD AB ∆=+==中得在222,Rt POD PD PO OD ∆=+中， 在222,,Rt PDB PB PD BD ∆=+中所以222236,PB=6.PB PO OD DB =++=得 在222Rt POA ,25, 5.PA AO OP PA ∆=+==中得又2221cos ,23PA PB AB BPA PA PB +-∠==⋅ 从而PM cos 2PB BPA =∠=，所以AM=PA-PM=3．综上所述，存在点M 符合题意，AM=3． 点评：(1)本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用等，同时考查空间想象能力和运算求解能力.（2）该题难度比去年稍小，主要原因是背景比较熟悉,学生容易入手.但得分情况也不理想,原因在于第(2)小题的计算量较大,学生在建好坐标系后需要同时计算出两个平面的法向量,计算过程中的失误较多.21．（本题满分15分）已知抛物线1:C 2x ＝y ，圆2:C 22(4)1x y +-=的圆心为点M ．（Ⅰ）求点M 到抛物线1C 的准线的距离；（Ⅱ）已知点P 是抛物线1C 上一点（异于原点），过点P 作圆2C 的两条切线，交抛物线1C 于A ，B 两点，若过M ，P 两点的直线l 垂足于AB ，求直线l 的方程.解法1:(1)由题意可知,抛物线的准线方程为:41-=y ,所以圆心)4,0(M 到准线的距离是417. (2)设),(200x x P ,),(211x x A ,),(222x x B , 由题意得:00≠x , 10±≠x ,21x x ≠.设过点P 的圆2C 的切线方程为)(020x x k x y -=-, 即:200x kx kx y +-=…①,则11|4|2200=+-+k x kx ,即01)4()4(2)1(220200220=--+-+-x k x x k x .设PA ,PB 的斜率为21,k k )(21k k ≠, 则21,k k 是上述方程的两根,所以:1)4(22020021--=+x x x k k ,11)4(2022021---=x x k k 将①代入2x y =得02002=-+-x kx kx x , 由于0x 是此方程的根,故011x k x -=,022x k x -=,所以:1621)4(2220002020002121212221--=---=-+=+=--=x x x x x x x k k x x x x x x k AB , 0204x x k MP-=由AB MP ⊥,得:=MP AB k k )16(200--x x 1)4(020-=-⋅x x ,解得:52320=x ,即点P 的坐标为)523,523(±, 所以直线l 的方程为4115115+±=x y 解法2: (1)同解法一(2) 设),(200x x P ,),(211x x A ,),(222x x B , 由题意得:00≠x , 10±≠x ,21x x ≠.直线PA 的斜率为:0101221x x x x x x k PA +=--=,直线PA 的方程为))((00120x x x x x y -+=-,即:0)(0101=--+x x y x x x ,它与圆2C 相切,故1)(1|4|20101=+++x x x x ,化简得:0156)1(20102120=-+⋅-⋅-x x x x x .同理可得: 0156)1(20202220=-+⋅-⋅-x x x x x .即21,x x 是方程0156)1(200220=-+⋅-⋅-x x x x x 的两根,故1620021--=+x x x x , 所以1620021212221--=+=--=x x x x x x x x k AB ,0204x x k MP -= 由AB MP ⊥,得:=MP AB k k )16(200--x x 1)4(020-=-⋅x x , 解得:52320=x ,即点P 的坐标为)523,523(±, 所以直线l 的方程为4115115+±=x y 点评：(1)本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线、圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力.属于较难题.（2）解法1利用直线的点斜式方程代入计算,但求解过程中斜率值是很难直接计算出来的,事实上也不用去计算两直线的斜率值,而只要利用韦达定理整体代换即可.解法2设出所有相关点坐标,然后找出这些点坐标的关系,最后也要用到韦达定理整体代换.（3）学生的问题主要有：缺乏韦达定理整体代换的意识,碰到未知量问题一味地只想着把未知量都求出来,这样势必会加大运算量.此题是一道好题,摆在这个位置完全能达到预期目的,即能区分出数学功底强弱的学生.这也给我们平时的教学提了醒:数学是一门有思维含量的学科,很多时候需要多思少算,碰到困难需及时转化,如果一味硬上,是要碰壁的..（4）浙江省近几年高考在大题目中比较多地考查了直线与圆锥曲线的位置关系.对于这部分内容的考查几乎都涉及到了韦达定理.虽然韦达定理在初、高中的课本里均没有出现，但作为高中教学应该补充，高中生应该掌握.22．（本题满分14分）设函数()f x ＝2()ln x a x -，a ∈R（Ⅰ）若x ＝e 为()y f x =的极值点，求实数a ；（Ⅱ）求实数a 的取值范围，使得对任意的x ∈（0,3e ]，恒有()f x ≤42e 成立. 注：e 为自然对数的底数．解法1:(1)求导得: ).1ln 2)(()(ln )(2)(2'xax a x x a x x a x x f -+-=-+-= 因为e x =是)(x f 的极值点,所以.0)3)(()('=--=ea a e e f解得e a =或e a 3=.经检验,均符合题意. 所以e a =或e a 3=(2)①当10≤<x 时,对于任意的实数a ,恒有240)(e x f <≤成立. ②当e x 31≤<时,由题意,首先有224)3ln()3()3(e e a e e f ≤-=,解得:)3ln(23)3ln(23e ee a e e e +≤≤- 由(1)知).1ln 2)(()('xa x a x x f -+-=令xax x h -+=1ln 2)(,,则0ln 2)(,01)1(>=<-=a a h a h ,且e ae e h 31)3ln(2)3(-+=e e ee e 3)3ln(231)3ln(2+-+≥=0)3ln 313(ln 2>-ee 又)(x h 在),0(+∞内单调递减,所以函数)(x h 在),0(+∞内有唯一零点. 记此零点为0x ,则:,310e x <<a x <<01.从而,当),0(0x x ∈时,0)('>x f ; 当),(0a x x ∈时,0)('<x f ; 当),(+∞∈a x 时,0)('>x f ;即:)(x f 在),0(0x 内单调递增,在),(0a x 内单调递减,在),(+∞a 内单调递增.所以要使24)(e x f ≤对]3,1(e x ∈恒成立,只要:⎩⎨⎧≤-=≤-=22202004)3ln()3()3(4ln )()(e e a e e f e x a x x f 成立. 由01ln 2)(000=-+=x ax x h ,知:000ln 2x x x a +=. 代入202004ln )()(e x a x x f ≤-= 可得:202204ln 4e x x ≤.又10>x ,注意到函数x x y 22ln =在),1[+∞内单调递增,可得:e a 31≤<.又因为)3ln(23)3ln(23e e e a e e e +≤≤-,综上可得: e a e e e 3)3ln(23≤≤-.解法2:(1)同解法一.(2) ①当10≤<x 时,对于任意的实数a ,恒有240)(e x f <≤成立. ②当e x 31≤<时, 由224ln )()(e x a x x f ≤-=可得:xe x a xe x ln 2ln 2+≤≤-在区间]3,1(e 上恒成立.令xe x x h ln 2)(-=,xe x x g ln 2)(+=,故min max )()(x g a x h ≤≤易知x e x x h ln 2)(-=在]3,1(e 上单调递增,故)3()(max e h x h =)3ln(23e e e -=又xx x ex g ln ln 1)('⋅⋅-=,令0)('=x g 得:e x x x =⋅⋅ln ln ,注意到函数x x x y ln ln ⋅⋅=在),1[+∞内单调递增,且e e e e =⋅⋅ln ln , 故)(x g 在e x =处取到极小值(最小值) e e g 3)(=,即e x g 3)(min =.综上可得: e a e ee 3)3ln(23≤≤-解法3： (1)同解法一.(2)①当01x <≤时，对任意的实数a ，恒有()0f x ≤，2()4f x e ≤恒成立. ②当13x e <≤时，由2()4f x e ≤得224ln ()e x x a ≤-，当1a <时，224()e x a -在[1,3]e 单调递减，在3x e =取最小值，所以224ln 3(3)e e e a ≤-,所以33e a e ≤≤， 这与1a <矛盾，舍去.当13a e ≤≤时，224()e x a -关于x a =对称，在(,3)a e 上递减， 因为ln x 递增，所以3x e =时，224ln 3(3)e e e a ≤-，得33e a e ≤≤.当3a e >时，[1,3]x e ∈，22()()ln (3)ln f x x a x x e x =->-， 而x e =时，2()4f x e >，矛盾，所以3a e ≤. 综上，实数a 的取值范围为33e a e ≤≤.点评：(1)本题主要考查函数极值的概念、导数运算法则、导数应用，不等式等基础知识，同时考查推理论证能力，分类讨论分析问题和解决问题的能力.属于难题.(2)从2009年开始,浙江省已经连续三年把导函数作为压轴题来命制,现在看来这个模式已经基本固定.就像前几年一直把数列作为压轴题来处理一样,这个模式今后可能还要延续好几年.这个模式的效果究竟怎样呢?从今年高考阅卷反馈的信息来看,该题全省平均分只有2分左右.说明该题确实起到了压轴的作用,去除今年的评卷尺度较严的主观因素,从一个方面更能说明学生能力的欠缺,基本功很不扎实,要知道,此题第(1)小题就有6分的分值呀,而第(1)小题的难度并不大,即使对于第(2)小题,其解法也有很多种,如果我们在平时的学习和复习中能强化思想方法,夯实基础知识,那这道题的难度绝不可能是想象中那么大.(3)含字母参数的恒成立问题,解决的方法主要有以下几种:一是直接构造整体函数,通过分类讨论研究出函数的最值(极值),从而达到解决问题的目的.二是通过分离变量构造确定函数, 再转化为求确定函数的最值问题从而能有效避开繁琐的分类讨论,最终解决问题,此题采用该解法其简洁程度明显优于解法 1.三是先移项构造两个熟悉的函数,再转化为熟悉函数的最值问题作比较,但这种方法的应用是有局限性的,往往对两个函数的单调性有特别要求,解题时必须结合图像来看,需格外小心,否则可能导致错误.(4)与导函数有关的高考大题目,时下比较流行的是幂型函数(二次或三次型)与对数函数x ln 或指数函数xe 组合而成,这类函数问题的解决方法具有一定的套路,不妨看看今年各省的题目,有兴趣的读者可以做做,这或许将对我们今后的教学与复习起到一些作用:(2011安徽卷 理科 第16题)设2()1xe f x ax=+其中a 为正实数 （Ⅰ）当a 43=时，求()f x 的极值点； （Ⅱ）若()f x 为R 上的单调函数，求a 的取值范围． (2011北京卷 理科 第18题)。
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2011年浙江省高中数学竞赛试题参考解答与评分标准说明：本试卷分为A 卷和B 卷：A 卷由本试卷的2２题组成，即10道选择题，7道填空题、3道解答题和2道附加题；B 卷由本试卷的前20题组成，即10道选择题，7道填空题和3道解答题。
一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分）1. 已知53[,]42ππθ∈ D ） A ．2sin θ B. 2sin θ- C. 2cos θ- D. 2cos θ解答：因为53[,]42ππθ∈cos sin cos sin θθθθ--+ 2c o s θ=。
正确答案为D 。
2．如果复数()()21a i i ++的模为4，则实数a 的值为（ C ）A. 2B.C. 2±D. ±42a =⇒=±。
正确答案为C 。
3. 设A ，B 为两个互不相同的集合，命题P ：x A B ∈⋂， 命题q ：x A ∈或x B ∈，则p 是q 的（ B ）A. 充分且必要条件B. 充分非必要条件C. 必要非充分条件D. 非充分且非必要条件 解答：P 是q 的充分非必要条件。
正确答案为B 。
4. 过椭圆2212x y +=的右焦点2F 作倾斜角为45 弦AB ，则AB 为（ C ）A.B. C. D. 解答：椭圆的右焦点为（1，0），则弦AB 为1,y x =-代入椭圆方程得21243400,3x x x x AB -=⇒==⇒==C 。
5. 函数150()51xxx f x x -⎧-≥=⎨-<⎩，则该函数为（ A ）A. 单调增加函数、奇函数B. 单调递减函数、偶函数C. 单调增加函数、偶函数D. 单调递减函数、奇函数解答：由单调性和奇偶性定义知道函数为单调增加的奇函数。
正确答案为A 。
6. 设有一立体的三视图如下，则该立体体积为（ A ）正视图 侧视图 俯视图（圆和正方形）A. 4+52πB. 4+32πC. 4+2π D. 4+π解答：该几何体是一个圆柱与一个长方体的组成，其中重叠了一部分（2π），所以该几何体的体积为52213422πππ⨯⨯+-=+。
正确答案为A 。
7．某程序框图如右图所示，现将输出（,)x y 值依 次记为：1122(,),(,),,(,),;n n x y x y x y 若程序运行中 输出的一个数组是 (,10),x -则数组中的x =（ B ） A ．64 B ．32 C ．16 D ．8答案 经计算32x =。
正确答案为 B 。
8. 在平面区域{}(,)||1,||1x y x y ≤≤上恒有22ax by -≤，则动点(,)P a b 所形成平面区域的面积为（ A ）A. 4B.8C. 16D. 32解答：平面区域{}(,)||1,||1x y x y ≤≤的四个边界点（—1，—1），（—1，1），（1，—1），（1，1）满足22ax by -≤，即有22,22,22,22a b a b a b a b +≤-≤--≤-+≤由此计算动点(,)P a b 所形成平面区域的面积为4。
正确答案为 A 。
9. 已知函数()sin(2)6f x x m π=--在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，则m 的取值范围为（ C ）A. 1, 12⎛⎫⎪⎝⎭B 1, 12⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 1, 12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 1, 12⎛⎤⎥⎝⎦解答：问题等价于函数()sin(2)6f x x π=-与直线y m =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个交点，所以m的取值范围为1, 12⎡⎫⎪⎢⎣⎭。
正确答案为C 。
221223110. 已知[1,1]a ∈-，则2(4)420x a x a +-+->的解为（ C ） A. 3x >或2x < B. 2x >或1x < C. 3x >或1x < D. 13x << 解答：不等式的左端看成a 的一次函数，2()(2)(44)f a x a x x =-+-+ 由22(1)560,(1)3201f x x f x x x -=-+>=-+>⇒<或3x >。
正确答案为C 。
二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上，每空7分，共49分）11. 函数()2sin 2xf x x =的最小正周期为______4π____。
解答：最小正周期为4π。
12. 已知等差数列{}n a 前15项的和15S =30，则1815a a a ++=____6_______.解答：由1513072S a d =⇒+=，而181513(7)6a a a a d ++=+=。
13. 向量(1,sin )a θ=，(cos b θ= ，R θ∈，则a b - 的取值范围为 [1，3] 。
解答：a b -==，其最大值为3，最小值为1，取值范围为[1，3]。
14. 直三棱柱111ABC A B C -，底面ABC ∆是正三角形，P ，E 分别为1BB ，1CC 上的动点（含端点），D 为BC 边上的中点，且PD PE ⊥。
则直线,AP PE 的夹角为_90 _。
解答：因为平面AB C ⊥平面11BCC B ，A D ⊥BC ，所以AD ⊥平面11BCC B ，所以 A D ⊥PE ，又PE ⊥PD ，PE ⊥平面APD ，所以PE ⊥PD 。
即夹角为90 。
15．设y x ,为实数，则=+=+)(max 22104522y x xy x _____4________。
解答：222254104105002x y x y x x x +=⇒=-≥⇒≤≤22222224()1025(5)2534x y x x x x y +=-=--≤-⇒+≤16. 马路上有编号为1，2，3，…，2011的2011只路灯，为节约用电要求关闭其中的300只灯，但不能同时关闭相邻两只，也不能关闭两端的路灯，则满足条件的关灯方法共有___3001710C _______种。
（用组合数符号表示）解答：问题等价于在1711只路灯中插入300只暗灯，所以共有3001710C 种关灯方法。
17. 设z y x ,,为整数，且3,3333=++=++z y x z y x ，则=++222z y x _3或57_。
解答：将3z x y =--代入3333=++z y x 得到83()9xy x y x y=+-++，因为,x y 都是整数，所以 1428,,,,25116x y x y x y x y xy xy xy xy +=+=+=+=⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨====⎩⎩⎩⎩前两个方程组无解；后两个方程组解得1;4,5x y z x y z ======-。
所以=++222z y x 3或57。
三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 17 分，共计 51 分） 18. 设2≤a ，求x x y )2(-=在]2 ,[a 上的最大值和最小值。
解答：当20,(1)1,x y x ≤=--+当20,(1)1,x y x >=-- ---------------------------------- 5分 由此可知 max 0y =。
---------------------------------- 10分 当2min 12,2a y a a ≤≤=-；当min 11,1a y ≤<=-；当2min 12a y a a <=-+。
---------------------------------- 17分19. 给定两个数列{}n x ，{}n y 满足100==y x ，)1( 211≥+=--n x x x n n n ，)1( 21121≥+=--n y y y n n n 。
证明对于任意的自然数n ，都存在自然数n j ，使得n j n x y =。
解答：由已知得到：1112111112(1){1}n n n n nx x x x x --=+⇒+=+⇒+为等比数列，首项为2，公比为2， 所以11111221n n n n x x +++=⇒=-。
----------------- 5分 又由已知，22211111(1)11111()1(1)12n n n n n n n n n y y y y y y y y y -----++++=⇒=⇒+=++A 由011121212221n nn y n y y +=⇒+=⇒=-， 所以取21n nj =-即可。
------------------- 17分20. 已知椭圆2222154x y +=，过其左焦点1F 作一条直线交椭圆于A ，B 两点，D (,0)a 为1F 右侧一点，连AD 、BD 分别交椭圆左准线于M,N 。
若以MN 为直径的圆恰好过 1F ，求 a 的值。
解答：125(3,0),3F x -=-左准线方程为;AB 方程为(3)()y k x k =+为斜率。
设1122(,),(,)A x y B x y ，由⎪⎩⎪⎨⎧=++=11625)3(22y x x k y 2222(1625)1502254000k x k x k ⇒+++-=得222212121212222150225400256,(3)(3)162516251625k k k x x x x y y k x x k k k-+=-=-⇒=++=-+++ ----------------------10分设342525(,),(,)33M y N y --。
由M 、A 、D 共线123412(325)(325),3()3()a y a y y y a x a x ++==--同理。
又131411111616(,),(,),033F M y F N y F M F N F M F N =-=-⊥⇒∙= 由已知得，得212343412325)256,99()()a y y y y y y a x a x +=-=--（而，即222561625k k -∙+212325)9()()a a x a x +--（=256,9-整理得 22(1)(16400)05,3,5k a a a a +-=⇒=±>-=又所以。
--------------17分四、附加题（本大题共2 小题，每小题25 分，共计 50 分）21. 在锐角三角形ABC 中，3π=∠A ，设在其内部同时满足PB PA ≤和PC PA ≤的点P的全体形成的区域G 的面积为三角形ABC 面积的31。
证明三角形ABC 为等边三角形。
解答：做ABC ∆的外接圆O ，做,OE AB E ⊥于,OF AC F ⊥于,OM BC ⊥于M 则G 为四边形AEOF 。