2.3.1等比数列的概念
2.3.1.1《等比数列的概念》课件(人教B版必修5)
∴c9=a9+b9=1×28+8×(-1)=248. 答案：248
4.（15分）有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等 差数列，首末两项的和为21,中间两项的和为18，求这四个
数.
【解题提示】由题意可借助等比数列、等差数列的定义 及等差中项和等比中项设出相应变量进行求解，但需注意设 法不同可能运算量会不同，注意方法的选择 .
2.对任意两个数是否一定都有等比中项?若有,是否唯一? 提示：不一定.只有当两数同号,即两数之积大于零时,此二 数才有等比中项,且有两个等比中项,它们互为相反数.
典型例题精析
知能巩固提升
一、选择题（每题5分，共15分）
1 1.（2010·福州高二检测）在等比数列{an}中，a1= 2 1 q= 1 ,an= ，则项数n为（ ） 64 2
3.（5分）若数列{an}是等比数列,{bn}为等差数列,且b1=0, cn=an+bn,当数列{cn}中的前三项分别为1,1,2时,c9=_____.
【解析】设{an}的首项为a1,公比为q,{bn}的公差为d,则
a 1 0 1 a1q d 1 解得 2 a1q 2d 2 a 1 1 q 2 d 1
∴4a2=4a1+a3， 即4·a1·q=4a1+a1·q2. ∴q2-4q+4=0.∴(q-2)2=0,∴q=2. 故a2+a3+a4=a1·(q+q2+q3)=14.
3.(2010·岳阳高二检测)一个各项均为正数的等比数列，其 任何项都是它后面两项的和，则其公比是（ ）
【解析】选D.设等比数列{an}的公比为q，且q>0，则 an=an+1+an+2, ∴qn-1=qn+qn+1,即q2+q-1=0, ∴q= 1 5 ,又q>0,∴q=
2.3.1等比数列
2.3.1等比数列1.通过实例，理解等比数列的概念；2.探索并掌握等比数列的通项公式、性质，能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，提高数学建模能力；一、课前准备1.等差数列是怎样定义的？其通项公式怎样？2.等差数列具有哪些性质？二、新课导学 ※ 探索新知探究1：中国古代数学是数学史上的一颗明珠，下面我们来看几个中国古代数学问题：1、《孙子算经》中载有著名问题：“今有出门望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色。
问各有几何？2、庄子《天下篇》：“一尺之棰，日取其半，万世不竭” 3、《算法统宗》中有这样一题:“一文(钱)日增一倍，倍至三十日，问日计钱几何？它们的共同特点是 新知1：等比数列的概念：一般的， ，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 ，公比通常用字母q 表示。
即：若()为常数q n q a a n n,21≥=-，则称数列{}n a 为 ，q 为 ，且≠q 。
试判断下列数列是不是等比数列，如果是求出公比。
(1) 1，3，9，27，81，243，… (2) 1,1,1,1,... (3) a, a, a, a,… (4) 1, 6, 36, 0,…(5) 32，3，6，12…332n -⨯ …例1．已知数列{a n }的通项公式为a n =3×2n，试问这个数列是等比数列吗？探究2：设a 1，a 2，a 3…是公比为q 的等比数列，结合求等差数列的通项公式的方法，如何求得等比数列的通项公式？新知2：等比数列的通项公式为： 。
注：①公比q 是任意一个常数，不仅可以是正数也可以是负数。
②当首项等于0时，数列的项都是0；当公比为0时，数列的项也都是0；所以首项和公比都不可以是0。
③当公比q=1时，数列是怎么样的？④若首项为正，当公比q 大于1，公比q 小于1时数列的增减性分别如何？ 例2、在等比数列{}n a 中， （1）已知,2,31-==q a 求6a ； （2）已知160,2063==a a ，求n a新知3：等比中项若b G a ,,成等比数列，则 ；其中G 叫做a 与b 的 。
高中数学知识点总结等比数列与等比数列的性质
高中数学知识点总结等比数列与等比数列的性质等比数列是数学中常见的一种数列，又被称为等比数列或几何数列。
在高中数学中，等比数列的概念及其性质是学习数列的重要一环。
本文将对等比数列以及等比数列的性质进行总结和讨论。
1. 等比数列的定义等比数列是指一个数列中的每一项与它的前一项之比都相等的数列。
假设数列的首项为a，公比为r，那么等比数列的通项公式可以表示为：an = a * r^(n-1)其中，an为数列的第n项。
2. 等比数列的性质等比数列有许多特殊的性质，下面将逐一介绍。
2.1 等比数列的公比公比r是等比数列中非常重要的一个概念，它决定了数列的增长或衰减趋势。
当|r|>1时，等比数列呈现增长趋势，此时数列的绝对值逐项增大；当|r|<1时，等比数列呈现衰减趋势，此时数列的绝对值逐项减小；当|r|=1时，等比数列的绝对值保持不变。
2.2 等比数列的通项公式的推导等比数列的通项公式an = a * r^(n-1)可以通过递推关系式得出。
首先可以得到数列的第二项：a2 = a * r。
推导出来的通项公示能够方便我们计算等比数列中各项的大小。
同时，通过改变公比，我们可以观察等比数列的特点。
2.3 等比数列前n项和的计算等比数列的前n项和Sn可以通过以下公式进行计算：Sn = a * (r^n - 1) / (r - 1)这个公式也可以通过递推关系式的推导得出。
等比数列前n项和的计算在实际问题中具有重要的应用，可以帮助我们求解等比数列求和问题。
3. 等比数列的应用举例3.1 高度问题假设一个球从一定的高度往下落，每次反弹高度都是之前一次的一半。
如果求第n次反弹的高度，我们可以建立等比数列来描述这个过程。
首项为球的初始高度，公比为1/2，利用等比数列的通项公式即可求解。
3.2 利息问题在金融领域中，利息的计算经常涉及到等比数列。
例如，一笔钱每年按照固定的利率计算利息，那么每年的本金和利息的总额就构成了一个等比数列。
等比数列的性质总结
等比数列的性质总结1. 定义等比数列是指一个数列中每一项与它的前一项的比等于同一个常数的数列。
常数称为等比数列的公比。
等比数列通常用$a$表示首项，$q$表示公比。
2. 性质2.1 前项与后项的比在等比数列中，任意一项与其后一项的比等于公比$q$。
即对于数列中的第$n$项和第$n+1$项，有以下关系：$$\frac{a_{n+1}}{a_n} = q$$2.2 通项公式等比数列的通项公式可以通过求解递推关系推导得到。
假设等比数列的首项为$a$，公比为$q$，则第$n$项为：$$a_n = a \cdot q^{n-1}$$2.3 任意项与首项的比在等比数列中，任意项与首项的比等于公比的$n-1$次方。
即对于数列中的第$n$项和第1项，有以下关系：$$\frac{a_n}{a} = q^{n-1}$$2.4 前$n$项和公式等比数列前$n$项和可通过求解部分和公式得到。
假设等比数列的首项为$a$，公比为$q$，则前$n$项和为：$$S_n = \frac{a(1 - q^n)}{1 - q}$$2.5 无穷项和当公比$|q| < 1$时，等比数列的无穷项和存在并为有限数。
无穷项和的计算公式为：$$S_{\infty} = \frac{a}{1 - q}$$3. 应用及例题等比数列的性质在数学问题的解答中具有广泛应用。
需要求解等比数列中的未知项、前$n$项和及判断等。
例题1：在等比数列$1, 2, 4, 8, \ldots$中，第7项的值是多少？在等比数列$1, 2, 4, 8, \ldots$中，第7项的值是多少？解答：根据等比数列的通项公式$a_n = a \cdot q^{n-1}$，首项$a=1$，公比$q=2$，第7项可以通过代入公式计算得到：根据等比数列的通项公式$a_n = a \cdot q^{n-1}$，首项$a=1$，公比$q=2$，第7项可以通过代入公式计算得到：$$a_7 = 1 \cdot 2^{7-1} = 64$$因此，等比数列中第7项的值为64。
必修5课件2.3.1等比数列的概念
2 . 3. 1 等 比 数 列 的 概 念
回顾第 2. 1节开始我们遇到的数列3, 4, 再考察下面问题 : 放射线物质以一定的速 度衰变, 该速度正比于当时该物 质的
质量.如果某物质为 0 的放射性物质在时间 中衰变到Q0 / 2, Q h 那么称h 为物质的半衰期镭的半衰期是1620 年, 如果从现有 . 的10 g 镭开始, 那么每隔1620 年, 剩余量依次为 1 1 1 10 , 10 , 10 , 10 , . 2 2 2 某桥车的售价约 万元 , 年折旧率约为 % (就是说这辆车每 3 那么该车从购买当年算 , 逐年的价 10 起 值依次为 36 , 36 0.9 , 36 0.92 , 36 0.93 , .
某人年初投资10000 万元 , 如果年收益率是5% , 那么按照复利, 5 年内各年末的本利和依 次为 10000 1.05 , 10000 1.05 2 , , 10000 1.05 5 .
复利的本利和公式是 本利和 本金 1 利率 :
与等差数列相比 上面这些数列有什么特 ? , 点
存期
.
一般地 , 如果一个数列从第2 项起 , 每一项与它的前一项的比 都等于同一个常数, 那么这个数列就叫做等比数列 ( geometr icprogress ) , 这个常数叫做等比数列的公比 (common) , 公 ion 比通常用字母q 表示.
2 根据题意, 得
所以 b 2 , c 1 .
b c , 4 b b 2, 1 解得 c 1 . c 2 , c b
an 1 在等比数列 an 中, 始终有 q. an
例1 判断下列数列是否为等 比数列:
2.3.1等比数列概念和通项公式
3．三个数成等比数列，它们乘积等于 27，它们的平方和等于 91，则这三 4．分别求下列等比数列的公比，第 5 项和第 n 项； ① 2，6，18，54，„；
14 28 56 ② 7， ， ， ，„； 3 27 9
③ 0.3，-0.09，0.027，-0.0081；„； ④ 5,5
2 n
(2) 如 果 数 列 an 中 ， 对 于 任 意 正 整 数
2 ，都有 n(n 2) an an1 an1 ，那么 an
一定是等比数列吗？
回顾小结
（1）等比数列的定义 （2）等比数列的通项公式及推导方法 （3）学习的思想方法： 类比方法
课堂反馈
1 1．在等比数列 an 中， a 2 4, a 5 ，则通项公式为 an 2 2 5 2．已知等比数列的公比为 ，第四项是 ，则数列的前三项为 5 2
1 （2） 4 ， b ， c ， ． 2
数学运用
例 3．在等比数列 {an } 中， （1）已知 a1 3 ， q 2 ，求 a6 ； （2）已知 a3 20 ， a6 160 ，求 an ．
【变式拓展】在等比数列 {an } 中， (1)若 a2 3, q 2, 则 an _________；
建构数学
2、等差数列通项公式:
设等差数列{ a n }的首项为 a1 ，公差为 d，则有:
2、等比数列通项公式:
设等比数列{ a n }的首项为 a1 ，公比为 q，则有:
a n = a 1 + ( n－1 ) d
推导方法： 累加法
an a1q
n 1
推导方法： 累乘法
数学运用
例题再解：
例 2．求出下列等比数列中的未知项： （1） 2 ， a ， 8 ；
2.3.1等比数列(1)
2.3.1等比数列（第一课时）教学目标：1．理解等比数列的定义．2．掌握等比数列的通项公式教学重点：等比数列的定义及通项公式教学过程一、1.折纸问题的例子2.数列： ,625,125,25,5 ,81,41,21,1-- 观察、归纳其共同特点：1︒“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q )2︒任一项00≠≠q a n 且3︒ q = 1时，{a n }为常数 二、通项公式：1.等比数列的通项公式1:)0(111≠⋅⋅=-q a q a a n n 由等比数列的定义，有：q a a 12=；21123)(q a q q a q a a ===；312134)(q a q q a q a a ===；… … … … … … … 0(1111≠⋅⋅==--q a q a q a a n n n2．等比数列的通项公式2: )0(11≠⋅⋅=-q a q a a m m n3．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列．4.图像是经过压缩或拉伸的指数函数图像上的若干孤立点三、补充例子：例1求下列各等比数列的通项公式：1． 1a =-2, 3a =-8解：24213±=⇒=⇒=q q q a an n n n n n a a )2()2)(2(22)2(11-=--=-=-=∴--或2． 1a =5, 且21+n a =-3n a 解：111)23(5523-+-⨯=∴=-==n n n n a a a a q 又： 例2培育水稻新品种，如果第一代得到120粒种子，并且从第一代起，由以后各代的每一粒种子都可以得到下一代的120粒种子，到第5代大约可以得到这个新品种的种子多少粒？解：由于每一代的每一粒种子都可得120粒种子，所以每代的种子数是它的前一代种子数的120倍，逐代的种子数组成等比数列，记为{}n a其中101551105.2120120,120,120⨯≈⨯=∴==-a q a答：到第5代大约可以得到种子2.51010⨯粒.小结：本节课主要学习了等比数列的定义，即：)0(1≠=-q q a a n n 等比数列的通项公式：11-⋅=n n q a a 及推导过程课堂练习：第50页练习A,B课后作业：第54页：1，2，3。
18-19 第2章 2.3 2.3.1 2.3.2 第1课时 等比数列的概念及通项公式
[解] (1)由 S1＝13(a1－1)，
达 标 •
探
固
新 知
得 a1＝31(a1－1)，所以 a1＝－12，
双 基
合 作
又 S2＝31(a2－1)，
探
究 • 攻
即 a1＋a2＝13(a2－1)，得 a2＝14.
重
课 时 分 层 作 业
难
返 首 页
自
当
主
堂
预
达
习 • 探 新
(2)当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝31(an－1)－31(an－1－1)，
自 主
[解析] (1)∵a5＝a1q4，a1＝5，∴q＝－3，∴a5＝405.
当 堂
预
达
习 •
(2)由题意，an＝an＋1＋an＋2，即
标 •
探 新
an＝anq＋anq2，∴q2＋q－1＝0，
固 双
知
基
合
∴q＝－12± 5.∵q>0，∴q＝
5－1 2.
作
探
究 • 攻
[答案]
(1)405
5－1 (2) 2
自
当
主
堂
预
达
习
标
• 探
[规律方法] 等比数列基本量的求法
• 固
新
双
知
a1 和 q 是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，其他量便可求出 基
合 作 探 究 • 攻 重
来，法一是常规解法，先求 a1，q，再求 an，法二是运用通项公式及方程思想 建立方程组求 a1 和 q，这也是常见的方法.
课 时 分 层 作 业
难
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自
当
主
堂
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2.3.1等比数列的概念
一．填空题
1.下列各组数能组成等比数列的是
(1). 111,,369 (2). lg3,lg9,lg 27 (3). 6,8,10 (4). 3,-
2.等比数列{}n a 中，32a =，864a =，那么它的公比q =
3.已知{}n a 是等比数列，n a >0，又知243546225a a a a a a ++= ，那么35a a +=
4.等比数列{}n a 中，11a =，1q q ≠公比为且，若12345m a a a a a a = ，则m 为
5. “2b ac =”是“a 、b 、c 成等比数列”的（ ）条件
6.若{}n a 是等差数列，公差0d ≠，236,,a a a 成等比数列，则公比为
7.等比数列中，首项为98，末项为13，公比为23
，则项数n 等于 . 8.在等比数列中，n a >0，且21n n n a a a ++=+，则该数列的公比q 等于 .
9.在等比数列{}n a 中，n a >0，()n N +∈且3698a a a =，则
22242628210log log log log log a a a a a ++++= .
10.若{}n a 是等比数列，下列数列中是等比数列的所有代号为是 .
① {}2n a ② {}2n a ③ 1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭ ④ {}
lg n a 【整合提高】
二.解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分，解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤，
11.等比数列{}n a 中，已知12324a a +=，3436a a +=，求56a a +.
12.已知四个数，前三个数成等比数列，和为19，后三个数成等差数列，和为12，求此四个数.
参考答案：
1.(4)
2.2
3.5
4.11
5. 必要不充分
6.3
9.5 10.①②③
11.∵在等比数列{}n a 中, 12a a +,34a a +,56a a +也成等比数列,∵12324a a +=，3436a a +=∴5636364324
a a ⨯+==. 12.依题意可设这四个数分别为:2
(4)4
d -,4d -,4, 4d +,则由前三个数和为19可列方程得,
2
(4)44194
d d -+-+=,整理得,212280d d -+=,解得2d =-或14d =. ∴这四个数分别为:25,-10,4,18或9,6,4,2.。