工程数学知识点(简版)

工程数学知识点第一篇 线性代数第１章 行列式1． 二阶、三阶行列式的计算Ｐ22． 行列式的性质（转置，换行，数乘，求和，数乘求和）Ｐ3，Ｐ4，P52——3（2）3． 行列式展开（代数余子式）Ｐ74． 利用性质及行列式展开法则计算行列式（造零降阶法） 5． 字母型行列式计算（爪型）Ｐ53——5（2）6．矩阵的定义、矩阵的行列式的定义及矩阵与行列式的区别7．矩阵的运算（加减Ｐ20、数乘Ｐ21、乘法Ｐ22、转置Ｐ26、方阵的幂、乘法不满足交换律和消去律） （n n kD k D =）8．特殊的矩阵（对角、数量、单位矩阵（E ）、三角形矩阵） 9． 矩阵的初等变换（三种）、行阶梯形、行最简形 10． 逆矩阵的定义、运算性质 11． 伴随矩阵Ｐ3812． 利用初等变换求逆矩阵——P44例31（两阶更简单） 13． 矩阵的秩的概念及利用初等变换求矩阵的秩第２章 线性方程组1．线性方程组的求解（分非齐次的和齐次的）P65例3、例4第３章特征值的求解（特征向量不作要求）Ｐ89例1第二篇 概率论第4章概率的基本概念及计算１、 基本概念：必然现象、随机现象、随机试验、样本空间、样本点、随机事件（事件）、基本事件（样本点）、不可能事件、必然事件、事件的包含与相等、和（并）事件、积（交）事件、互不相容（互斥）的事件、逆事件、频率、概率、概率的可加性（互不相容）、概率的加法公式（相容）、古典（等可能）概型P130、放回抽样方式、不放回抽样方式P132——例13、事件相互独立、条件概率Ｐ135引例 ２、基本公式：概率的可加性（互不相容）()()121nn i i P A A A P A ==∑概率的加法公式（相容）()()()()P A B P A P B P AB =+-击落飞机问题概率的乘法公式()()()P AB P B P A B =逆事件的概率()()1P A P A =-事件A 和B 独立，则有()()()P AB P A P B = ３、基本结论：当事件A 和B 相互独立时，我们可以证明，事件,;,;,A B A B A B 亦相互独立。

第5章 随机变量１、基本概念：随机变量、离散型和连续型随机变量、离散型随机变量的概率分布律、概率分布函数（{}(),F x P X x x =≤-∞<<+∞）、连续型随机变量的概率密度函数（密度函数或密度）、分布函数（{}()(),xP Xx F xf t d t x -∞≤==-∞<<+∞⎰，{}{}1P X x P Xx >=-≤）Ｐ158、Ｐ161——例20、随机变量的独立、随机变量的函数及其分布（P192定理）２、 基本公式：六种分布的分布律或概率密度函数服从正态分布的随机变量的概率计算Ｐ165——例23、例25３、基本结论：连续型随机变量在某一点的概率为0，即{}0P X x ==第6章 随机变量的数字特征、几个极限定理１、基本概念：离散型和连续型随机变量的数学期望Ｐ190、方差Ｐ198及其性质、随机变量函数的数学期望Ｐ195——例12、k 阶（原点）矩、k 阶中心矩２、基本公式：（1） 数学期望（平均值、期望值、均值）： １）{}11()i i i i i i E X x P X x x p ∞∞=====∑∑，()()E X xf x dx +∞-∞=⎰２）1(),()(())(),()(())()()i i i Y g X E Y E g X g x p E Y E g X g x f x dx ∞+∞-∞======∑⎰(),()(),()()(),()()()E C C E CX CE X E X Y E X E Y E XY E X E Y X Y ==+=+=（,独立）（2） 方差：１）2221()[()][()][()]()i i i D X E X E X x E X p x E X f x dx ∞+∞-∞==-=-=-∑⎰２）22()()[()]D X E X E X =-2()0,()(),()()()D C D CX C D X D X Y D X D Y X Y ==+=+（,独立）（3） 标准差（均方差）：X σ（）（与随机变量有相同的量纲） ３、基本结论：（1）0－1（p ）分布：（Ｐ151表格形式）{}1(1),0,1k k P X k p p k -==-=()E X p =，()(1)D X pq p p ==-（2）n 重贝努里试验、二项分布（b(n,p)）：{}(1),0,1,2,,k k n k n P X k C p p k n -==-=Ｐ153——例10()E X np =，()(1)D X npq np p ==-（3）泊松公布（Poisson ()πλ）：{},0,1,2,!ke P X k k k λλ-===()E X λ=，()D X λ=***在实际计算中，当10,0.1n p ≥≤时，我们有如下的泊松近似公式(1), !k k kn kne C p p np k λλλ---≈=（4）指数分布（(),0E λλ>）：0()00xe xf x x λλ-⎧>=⎨≤⎩，10()0x e x F x x λ-⎧->=⎨≤⎩1()E X λ=，21()D X λ=（5）均匀分布（(,)U a b ）：1()0a xb f x b a⎧<<⎪=-⎨⎪⎩其它，0()1x a x a F x a x b b a x b≤⎧⎪-⎪=<<⎨-⎪≥⎪⎩ ()2a bE X +=，2()()12b a D X -= （6）正态分布（2(,)N μσ）：22()2(),x f x x μσ--=-∞<<+∞()E X μ=，2(),()D X X σσσ==（7）标准正态分布（(0,1)N ）：22(),x x x ϕ-=-∞<<+∞，()()1x x Φ+Φ-=（8）n 个相互独立的正态随机变量的线性函数还是服从正态分布（Ｐ202）第三篇 数理统计第7章 数理统计的基本概念 １、基本概念：总体（母体）、个体、样本（子样）、样本观测值（实现）、简单随机样本（随机性、独立同分布性）、统计量的判断Ｐ218、统计量的观测值、抽样分布 ２、基本公式：（1） 样本平均值：11ni i X X n ==∑（2） 样本方差：22221111()()11n ni i i i S X X X nX n n ===-=---∑∑ （3）样本标准差：S =（4） 样本k 阶原点矩：11,1,2,n kk i i A X k n ===∑（5） 样本k 阶中心矩：11(),1,2,nk k i i B X X k n ==-=∑３、基本结论： （1） 定理2：1222222212(0,1),,,,,,()n nX N X X X X X X X n χχχ~=+++~设为的一个样本，它们的平方各也是一个随机变量，记则（2）2212221(,),,,,(0,1),1,2,,()().n ni i i X N X X X X X X N i n n μσμσμμχσσ=~--~=~∑设和已知，为的一个样本，于是则有Ｐ221例1（3） 2222()(),()2n E n D n χχχχ~==若，则 （4）22211221221212()()()Y n Y n Y Y Y Y n n χχχχ~~+~+分布的可加性：若，，且与独立，则（5） 定理3：2(0,1),(),()X N Y n X Y t n χ~~~若且与 （6） 定理4：22/(),(),(,)/X MX m Y n X Y F F m n Y nχχ~~=~若且与独立，则 （7） 定理5：2212,,(,),(,)n X X X N X N n μσμσ~若为总体的一个样本则样本均值（8） 定理6：212222222222,,(,),(1)(1)2(),()1n X X X N X S X S n S n E S D S n μσχσσσ-~-==-若为正态总体的一个样本则对于样本均值和样本方差有（1）和相互独立（2）（3）（9） 定理7：212,,(,), (1)n X X X N X t n μσ~-若为正态总体的一个样本则（10）定理8：()12221212112222122212121212,,,,(,)(,),(,)n n X X X Y Y Y N N X Y S S X Y X Y N U n n μσμσμμσσμμ----~-+=若和分别为总体和的相互独立的样本样本均值分别为和，样本方差分别为和则(1)或()122222121212222112212,(2)(1)(1) 2wX Y T t n nn S n S S n n μμσσσσ---==~+--+-=+-(2)当未知，但时,其中（11）定理9：12221212112222122212122221,,,,(,)(,),,(1,1)n n X X X Y Y Y N N S S S F n n S μσμσσσ~--设和分别为总体和的相互独立的样本样本方差分别为和则（12）Z 分布：22()x x x ϕ-=-∞<<+∞Z 的上侧α分位点Z α：{}(),b P Y b f y dy b Z αα+∞>==⎰Z 的下侧α分位点1Z α-：{}{}10(),()1,aaP Y a f y dy P Y a f y dy aZ ααα+∞-≤==>==-⎰⎰或Z 的双侧α分位点/2Z α，1/2Z α-：{}1/2/2/2()1,,ba P a Yb f y dy aZ Z b Z αααα-<<==-=-⎰（13）2()n χ分布：2()n χ的上侧α分位点2()n αχ：{}2(),()bP Y b f y dy bn ααχ+∞>==⎰2()n χ的下侧α分位点21()n αχ-：{}{}210(),()1,()aaP Y a f y dy P Y a f y dy an αααχ+∞-≤==>==-⎰⎰或2()n χ的双侧α分位点21/2()n αχ-，2/2()n αχ：{}221/2/2()1,(),()baP a Y b f y dy an b n αααχχ-<<==-⎰当n 充分大（>45）时，有221()(2n Z ααχ≈+（费歇）（14）()t n 分布：()t n 的上侧α分位点()t n α：{}(),()bP T b f t dt bt n αα+∞>==⎰()t n 的下侧α分位点1()t n α-：{}1()1,()aP T a f t dt at n αα+∞->==-⎰()t n 的双侧α分位点1/2()t n α-，/2()t n α： {}1/2/2/2()1,()(),()ba P a Tb f t dt at n t n b t n αααα-<<==-=-⎰当n>30时，()t n 分布和标准正态分布就很接近了，由此当n 较大时，就可以用标准正态分布的分位点取代()t n 分布的分位点。