179.等腰三角形的判定(1)
等腰三角形的性质与判定
第05讲等腰三角形的性质与判定【学习目标】1.了解等腰三角形的有关概念，探索并掌握性质及判定方法。
【基础知识】一．等腰三角形的性质（1）等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性质①等腰三角形的两腰相等②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．二．等腰三角形的判定判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．②等腰三角形的判定和性质互逆；③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；④判定定理在同一个三角形中才能适用．三．等腰三角形的判定与性质1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．【考点剖析】一．等腰三角形的性质（共7小题）1．（2021秋•盱眙县期末）如果等腰三角形两边长是5cm和2cm，那么它的周长是（）A．7cm B．9cm C．9cm或12cm D．12cm2．（2021秋•抚远市期末）等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个三角形的周长是（）A．15B．12C．12或15D．93．（2022春•鼓楼区校级期中）如图，在△ABC中，∠A＝α，∠B＝∠C，点D是△ABC外一点，E，F分别在AB，AC上，ED与AC交于点G，且∠D＝∠B，若∠1＝2∠2，则∠EGF的度数为（）A．180°﹣2αB．60°+13αC．90°−32αD．30°+23α4．（2022春•镇江期中）三角形的三边长为2，a，5，如果这个三角形中有两条边相等，那么它的周长是．5．（2022春•金湖县校级月考）在△ABC中，∠C＝30°，且∠A＝∠B；求∠A的度数．6．（2022春•睢宁县月考）一个等腰三角形的两条边长为4，7，那么它的周长是多少？7．（2021秋•邗江区期末）如图，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE分别交AC、AB于点D、E．（1）若∠A＝50°，求∠CBD的度数；（2）若AB＝7，△CBD周长为12，求BC的长．二．等腰三角形的判定（共7小题）8．（2021秋•仪征市期末）在△ABC中，∠A＝100°，当∠B＝°时，△ABC是等腰三角形．9．（2021秋•靖江市期末）已知a，b是△ABC的两条边长，且a2+b2﹣2ab＝0，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．锐角三角形D．不确定10．（2021秋•滨海县期末）用三根木棒首尾相连围成一个等腰三角形，其中两根木棒的长度分别为3cm和6cm，则第三根木棒长为cm．11．（2021秋•泗阳县期中）如图，∠EAC是△ABC的外角，AD平分∠EAC，AD∥BC．（1）求证：AB＝AC；（2）若点H是BC的中点，求证：AH⊥AD．12．（2021秋•鼓楼区校级期末）下列长度的三条线段能组成等腰三角形的是（）A．1，2，3B．3，4，5C．2，2，3D．2，2，413．（2021秋•龙华区校级期末）如图，在3×3的正方形网格中，点A、B在格点上，要找一个格点C，使△ABC是等腰三角形（AB是其中一腰），则图中符合条件的格点有（）A．2个B．3个C．4个D．5个14．（2020秋•定西期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．（1）当点Q在边BC上运动时，出发几秒后，△PQB是等腰三角形？（2）当点Q在边CA上运动时，出发几秒后，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形？三．等腰三角形的判定与性质（共6小题）15．（2020秋•绿园区期末）如图，直线l分别与直线AB、CD相交于点E、F，EG平分∠BEF交直线CD 于点G，若∠1＝∠BEF，若EF＝3，则FG为（）A．4B．3C．5D．1.516．（2021•建湖县二模）若一条长为32cm的细线能围成一边长等于8cm的等腰三角形，则该等腰三角形的腰长为cm．17．（2021秋•句容市期末）如图，BD平分∠ABC，DE∥BC交BA于点E，若DE=52，则EB＝．18．（2021秋•射阳县校级期末）已知：如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，且MN ∥BC，分别交AB、AC于点M、N．求证：MN＝BM+CN．19．（2021秋•盱眙县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是AB的中点，连结DE．（1）求证：△ABD是等腰三角形；（2）求∠BDE的度数．20．（2021秋•苏州期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，∠B＝62°，AB+BD＝CD，则∠BAC的度数为（）A．87°B．88°C．89°D．90°【过关检测】一．选择题（共6小题）1．（2021秋•溧阳市期末）若等腰三角形边长别为6cm和3cm，则该等腰三角形的周长是（）A．9cm B．12cm C．15cm D．12cm或15cm2．（2021秋•江阴市期末）等腰三角形的周长为21cm，其中一边长为5cm，则该等腰三角形的底边长为（）A．5cm B．11cm C．8cm或5cm D．11cm或5cm3．（2022•陕西模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，点E为AC的中点，连接DE．若△ABC 的周长为20cm，则△CDE的周长为（）A．10 cm B．12 cm C．14 cm D．16cm4．（2022•黔东南州模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD为△ABC的高．若∠CBD＝20°，则∠BAC 的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°5．（2021秋•鼓楼区校级期末）下列长度的三条线段能组成等腰三角形的是（）A．1，2，3B．3，4，5C．2，2，3D．2，2，46．（2021秋•靖江市期末）已知a，b是△ABC的两条边长，且a2+b2﹣2ab＝0，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．锐角三角形D．不确定二．填空题（共3小题）7．（2021秋•溧水区期末）如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点O，MN经过点O，且MN ∥BC，分别交AB、AC于点M、N．若BM＝3cm，MN＝5cm，则CN＝cm．8．（2021秋•宁津县期末）如图，△ABC中，∠A＝∠ACB，CP平分∠ACB，BD，CD分别是△ABC的两外角的平分线，下列结论中：①CP⊥CD；②∠P=12∠A；③BC＝CD；④∠D＝90°−12∠A；⑤PD∥AC．其中正确的结论是（直接填写序号）．9．（2021秋•东城区校级期末）如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，若BE＝3，CD＝4，ED＝5，则FG的长为．三．解答题（共3小题）10．（2022春•无锡期中）如图①，△ABC的角平分线BD、CE相交于点P．（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；（2）如图②，过P点作直线MN，分别交AB和AC于点M和N，且MN平行于BC，试求∠MPB+∠NPC 的度数（用含∠A的代数式表示）；（3）将（2）中的直线MN绕点P旋转，分别交线段AB于点M（不与A、B重合），交直线AC于N，试探索∠MPB、∠NPC、∠A三者之间的数量关系，并说明理由．11．（2021秋•淮安区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E，求∠DBC的度数．12．（2021秋•泗洪县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，角平分线BD，CE相交于点O，求证：OB＝OC．第05讲等腰三角形的性质与判定【学习目标】1.了解等腰三角形的有关概念，探索并掌握性质及判定方法。
等腰三角形的判定
在⊿BAD和⊿CAD中， 1 2
∠1=∠2， ∠B=∠C，
AD=AD
B
C
D
∴ ⊿BAD≌ ⊿CAD（AAS）
∴AB=AC（全等三角形的对应边相等）
如何判定等腰三角形？
1．有两条边相等的三角形是等腰三角形. A
2．有两个角相等的三角形是等腰
三角形.
B
C
如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角 所对的边也相等. (等角对等边)
中有哪些等腰三角形？
D
1 2
B
C
2．把一张长方形的纸条像图中那样折叠,重合
部分是什么形状?为什么?
E
F
A
D
B
C
3，如图，AC和BD相交于点O，且 AB∥DC，OA=OB，
求证：OC=OD
D
C
O
A
B
动动脑
4．已知如图, ∠1=∠2 ,∠3=∠4,DE∥BC,
试说明:DE=DB+EC
A
解:∵DE∥BC
呢？ 让我想想，我为什么
动动脑
1．在△ABC中,已知∠A=40°, ∠B=70 °,你能判 断△ABC是什么三角形吗?
解:因为∠C=180°-∠A-∠B =180°-40°-70° =70°
所以∠C=∠B 因此△ABC是等腰三角形
1 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于 三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形。
已知：如图，∠CAE是⊿ABC的外角，∠1=∠2，
AD∥BC。
E
求证：AB=AC 分析：从求证看：要证AB=AC，
A1 2
D
需证∠B=∠C，
从已知看：因为∠1=∠2，
AD∥BC
等腰三角形的性质和判定(1)
9上第一章课题：等腰三角形的性质和判定（1）［学习目标］1、进一步掌握证明的基本步骤和书写格式。
2、能用“基本事实”和“已经证明的定理”为依据，证明等腰三角形的性质定理和判定定理。
［学习过程］一、知识回顾：在初中数学八（下）的第十一章中，我们学习了证明的相关知识，你还记得吗？不妨回忆一下。
1、用＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿的过程，叫做证明。
经过＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿称为定理。
2、证明与图形有关的命题，一般步骤有哪些？（1）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿;（2）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿;（3）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.3、推理和证明的依据有哪几类？＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿、＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿、＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
4、我们初中数学中，选用了哪些真命题作为基本事实：（1）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；（2）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；（3）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；（4）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；（5）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
此外，还有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿和＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿也都看作是基本事实。
5、在八（下）的第十一章中，我们依据上述的基本事实，证明了哪些定理？你能一一列出来吗？（1）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；（2）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；（3）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；（4）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；（5）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；（6）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；（7）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；（8）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；（9）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；（10）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
等腰三角形的判定
等腰三角形的判定等腰三角形是指具有至少两条边相等的三角形，它有着特殊的特征和性质。
在几何学中，我们常常需要判定给定的三角形是否为等腰三角形。
本文将介绍几种判定等腰三角形的方法，并详细解释每种方法的原理和应用场景。
一、平面几何判定法在平面几何中，我们可以通过比较给定三角形的三条边是否相等来判断是否为等腰三角形。
假设三角形的三条边分别为AB、BC和AC，我们可以使用以下方法进行判定：1. 通过测量边长判断：通过使用直尺和量角器等绘图工具，我们可以测量三角形的各边的长度，并比较它们的大小。
如果发现其中两条边的长度相等，那么这个三角形就是等腰三角形。
2. 通过测量角度判断：使用量角器等工具可以测量三角形的各个内角，并比较它们的大小。
如果发现其中两个内角的度数相等，那么这个三角形就是等腰三角形。
二、解析几何判定法在解析几何中，通过使用坐标系可以简化等腰三角形的判定。
假设三角形的三个顶点的坐标分别为A(x1, y1), B(x2, y2)和C(x3, y3)，我们可以使用以下方法进行判定：1. 通过计算边长判断：首先，我们可以计算出三角形的AB，BC和AC的边长。
然后，通过比较边长是否相等来判断是否为等腰三角形。
AB的长度：√[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2]BC的长度：√[(x3 - x2)^2 + (y3 - y2)^2]AC的长度：√[(x3 - x1)^2 + (y3 - y1)^2]如果发现其中两条边的长度相等，那么这个三角形就是等腰三角形。
2. 通过计算角度判断：首先，我们可以计算出三角形的两个内角的度数。
然后，通过比较角度是否相等来判断是否为等腰三角形。
内角A的度数：arctan[(y2 - y1) / (x2 - x1)]内角B的度数：arctan[(y3 - y2) / (x3 - x2)]如果发现其中两个内角的度数相等，那么这个三角形就是等腰三角形。
三、等腰三角形应用举例等腰三角形的判定对于几何学的研究以及实际生活中的应用具有重要意义。
等腰三角形的性质和判定(1)
在老师的引导 下， 思考对应每 个判定定理所 需要的条件。 回 答老师的问题。
定理 等腰三角形的顶角平 分线、底边上的中线、底边上 的高互相重合。
A
根据条件写出 己知、 求证并进 行证明的能力 得到提高。 学生写出证明 过程
6、通过上面的证明，我们又得到了等腰三 角形的判定定理：＿＿＿＿＿。
B
D
C
五、随堂练习
么另两个角为＿＿＿＿＿。 4、如果等腰三角形有一个角等于 120°， 那么另两个角为＿＿＿＿。 5、用三角尺画出一个等腰三角形的对称 轴，你有几种画法？（请你画出图形）
AC，2 条角平分线 BD、CE 相交于点 O， 求证： OB＝OC。 A
E O B
D
C
学生当堂练习
板书设计
引例 „„ „„ „„
教学目标 教学重点 教学难点
在初中数学八（下）的第十一 章中， 我们学习了证明的相关 知识， 你还记得吗？不妨回忆 一下。 1、我们初中数学中，选用了 哪些真命题作为基本事实： 2、在八（下）的第十一章中， 我们依据上述的基本事实， 证 明了哪些定理？你能一一列 出来吗？
认真听讲， 由学 生自己先做(或 互相讨论)，然 后回答， 若有答 不全的，教师 (或其他学生) 补充．
1、 如果等腰三角形的周长为 12， 一边长为 5，那么另两边长分别为＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿。 2、如果等腰三角形有两边长为 2 和 5，那 么周长为＿＿＿＿＿。 3、 如果等腰三角形有一个角等于 50°， 那
如果一个三角形的两个角相 等， 那么这两个角所对的边也 相等
6、在△ABC 中，∠A＝40°， 当∠B 等于多少度数时，△ ABC 是等腰三角形？ 7、如图，△ABC 中，AB＝
提问： 等腰三角形的定义和性 质
专题08 等腰三角形(考点串讲)(解析版)
专题08 等腰三角形【考点剖析】1.等腰三角形的性质（1）等腰三角形性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角） （2）等腰三角形性质2：文字：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称：等腰三角的三线合一） 图形：如下所示；21DCBA符号：在ABC ∆中，AB ＝AC ，1212,,;,,;,12.BD CD AD BC AD B BD CD AD BC C BD CD ∠=∠⎧⎪=⊥∠=∠⊥∠=∠⎨⎪⊥⎩==若则若则若，则2.等腰三角形的判定（1）等腰三角形的判定方法1：（定义法）有两条边相等的三角形是等腰三角形；（2） 等腰三角形的判定方法2：有两个角相等的三角形是等腰三角形；(简称：等角对等边)3.等边三角形的性质（1）等边三角形性质1：等边三角形的三条边都相等； （2） 等边三角形性质2：等边三角形的每个内角等于60︒； （3）等边三角形性质3：等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴.4.等边三角形的判定（1）等边三角形的判定方法1：（定义法：从边看）有三条边相等的三角形是等边三角形； （2）等边三角形的判定方法2：（从角看）三个内角都相等的三角形是等边三角形；（3）等边三角形的判定方法3：（从边、角看）有一个内角等于60︒的等腰三角形是等边三角形. 【典例分析】例1 （杨浦2019期末14）在ABC ∆中，AB=AC ，把ABC ∆折叠，使点B 与点A 重合，折痕交AB 于点M ，交BC 于点N. 如果CAN ∆是等腰三角形，则B ∠的度数为 . 【答案】4536︒︒或；【解析】因为把ABC ∆折叠，使点B 与点A 重合，折痕交AB 于点M ，交BC 于点N.所以MN 是AB 的中垂线，∴NB=BA ，B BAN ∴∠=∠，AB AC B C =∴∠=∠Q ，设B x ∠=，则C BAN x ∠=∠=. （1）当AN=NC 时，CAN C x ∠=∠=，在ABC ∆中，根据三角形内角和定理得4180x =︒，得45x =︒，故45B ∠=︒；（2）当AN=AC 时，ANC C x ∠=∠=，而ANC B BAN ∠=∠+∠，故此时不成立；（3）当CA=CN 时，1802x NAC ANC ︒-∠=∠=，于是得1801802xx x x ︒-+++=︒，解得36x =︒. 综上所述：4536B ∠=︒︒或.NM CBA例2 （浦东2018期末18）如图，在ABC ∆中，A=120,=40B ∠︒∠︒，如果过点A 的一条直线把ABC ∆分割成两个等腰三角形，直线l 与BC 交于点D ，那么ADC ∠的度数是 .CBA【答案】14080︒︒或；【解析】如图所示，把BAC ∠分为1000︒︒和2或者4080︒︒和，可得ADC=14080∠︒︒或.ABCDC BA20°80°80°40°40°20°20°40°40°100°例3 （闵行2018期末17）有下列三个等式①AB ＝DC ；②BE ＝CE ；②∠B ＝∠C ．如果从这三个等式中选出两个作为条件，能推出Rt △AED 是等腰三角形，你认为这两个条件可以是 （写出一种即可）EDCBA【答案】①②或①③或②③．（答案不唯一）【解析】解：当AB ＝DC ，BE ＝CE ，∠AEB ＝∠DEC 时，Rt △ABE ≌Rt △DCE （HL ），故AE ＝DE ，即Rt △AED 是等腰三角形；当AB ＝DC ，∠B ＝∠C ，∠AEB ＝∠DEC 时，△ABE ≌△DCE （AAS ），故AE ＝DE ，即Rt △AED 是等腰三角形；当BE ＝CE ，∠B ＝∠C ，∠AEB ＝∠DEC 时，△ABE ≌△DCE （ASA ），故AE ＝DE ，即Rt △AED 是等腰三角形．故答案为：①②或①③或②③．（答案不唯一）例4 （黄浦2018期末27）如图，在ABC ∆中，AD BC ⊥,垂足为点D ，AD 平分BAC ∠，点O 是线段AD 上一点，线段的延长线交边AC 于点F ，线段CO 的延长线交边AB 于点E ． （1）说明ABC ∆是等腰三角形的理由； （2）说明BF=CE 的理由.O FE DC BA【答案与解析】（1）AD BC ADB=ADC ⊥∴∠∠Q ，Q AD 平分BAC ∠，BAD=CAD ∴∠∠.ADB=DAC+ACD ADC=BAD+ABD ∠∠∠∠∠∠Q ，，ABD=ACD ∴∠∠，AB=AC ∴即ABC ∆是等腰三角形；（2）ABC ∆Q 是等腰三角形，AD BC ⊥,BD=CD ∴.在BDO CDO ∆∆与中，DO DO ADB ADC BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，BDO CDO ∴∆∆≌OBD OCD ∴∠=∠.在BEC CFB ∆∆与中ECB FBCBC CBABC ACB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩BEC CFB ∴∆∆≌，BF CE ∴=. 【真题训练】 一、选择题1.（宝山2018期末18）如图7，在ABC ∆中，AB=AC ，30A ∠=︒，以B 为圆心，BC 的长为半径作弧，交AC 于点D ，联结BD ，则ABD ∠等于（ ）A. 45︒；B. 50︒；C. 60︒；D. 75︒.DABC【答案】A ；【解析】因为在ABC ∆中，AB=AC ，30A ∠=︒，所以18030752ABC ACB ︒-︒∠=∠==︒，又因为以B为圆心，BC 的长为半径作弧，交AC 于点D ，所以,75BD BC BCA BDC =∴∠=∠=︒，30CBD ∴∠=︒，故753045ABD ABC CBD ∠=∠-∠=︒-︒=︒. 故答案选A.2．（长宁2019期末20）在平面直角坐标系，O 为坐标原点，点A的坐标为，M 为坐标轴上一点，且使得MOA ∆为等腰三角形，那么满足条件的点M 的个数为（ ） A. 4； B.5； C.6； D.8 【答案】C ；【解析】分三种情况：（1）当OA=OM 时，可得M 点坐标可以为：（0，2）、（0，-2）、（2，0）、（-2，0）；当AO=AM 时，M 点坐标可以为（2，0）、(0,；当MO=MA 时，（2，0）、(0,3；故一共有6个不同的点. 故选C. 二、填空题3.（浦东2018期末13）已知一个等腰三角形两边长分别为2和4，那么这个等腰三角形的周长是 . 【答案】10；【解析】依题，（1）若腰长为2、底为4，不可能构成等腰三角形，舍去；（2）若腰长为4、底为2，符合题意，周长为4+4+2=10；由上可知，这个等腰三角形的周长为10. 4.（宝山2018期末7）已知实数x 、y满足|3|0x -=，那么以x 、y 的值为两边长的等腰三角形的周长是 . 【答案】15；【解析】因为实数x 、y满足|3|0x -=，所以x=3，y=6，故符合题意的等腰三角形三边长分别为6、6、3，故此等腰三角形的周长为6+6+3=15.5．（闵行2018期末15）如图，直线l 1∥l 2∥l 3，等边△ABC 的顶点B 、C 分别在直线l 2、l 3上，若边BC 与直线l 3的夹角∠1＝25°，则边AB 与直线l 1的夹角∠2＝ ．l 3l 2l 1【答案】35°．【解析】解：∵直线l 1∥l 2∥l 3，∠1＝25°，∴∠1＝∠3＝25°．∵△ABC 是等边三角形， ∴∠ABC ＝60°，∴∠4＝60°﹣25°＝35°，∴∠2＝∠4＝35°．故答案为：35°．1l 2l 36．（普陀2018期末17）如图，已知△ABC 中，∠ABC 的角平分线BE 交AC 于点E ，DE ∥BC ，如果点D 是边AB 的中点，AB=8，那么DE 的长是 ．E D CBA【答案】4；【解析】解：连接BE ，∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE=∠CBE ，∵DE ∥BC ，∴∠DEB=∠ABE ， ∴∠ABE=∠DEB ，∴BD=DE ，∵D 是AB 的中点，∴AB=BD ，∴DE=12AB=4，故答案为：4 AD BCE7.（宝山2018期末13）如图，已知Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC=AE ，BC=BD ，则ACD BCE ∠+∠= ______-︒.ECBA【答案】45；【解析】过点C 作CH AB ⊥于点H ，因为AC ＝AE ，所以ACE AEC ∠=∠，因为CH AB ⊥，所以90AEC HCE ∠+∠=︒， 又90ACE BCE ∠+∠=︒，所以=BCE HCE ∠∠；同理可得：ACD HCD ∠=∠； 故+=+BCE ACD HCE HCD ∠∠∠∠即+=45BCE ACD ∠∠︒．HED CBA8.（黄浦2018期末19）已知等腰三角形的一个内角为50度，则这个等腰三角形的顶角为 ︒. 【答案】50︒或80︒；【解析】（1）当顶角为50︒时，这个等腰三角形的顶角为50︒；（2）当底角为50︒时，则顶角为180-250=80︒⨯︒︒；综上述，这个等腰三角形的顶角为50︒或80︒.9.（长宁2018期末14）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40︒，那么这个等腰三角形的顶角为____度.【答案】50130︒︒或.【解析】（1）如下图1，4050ABD A ∠=︒∴∠=︒，（2）如图2，40130ABD BAC ∠=︒∴∠=︒，故这个等腰三角形的顶角为50130︒︒或（图2）(图1）10.（黄浦2018期末14）等腰三角形底边上的中线垂直于底边且平分顶角，用符号来表示为：如图，如果在ABC ∆中，AB=AC ，且 ，那么AD BC ⊥且 .DCBA【答案】BD=CD ；BAD CAD ∠=∠；【解析】等腰三角形底边上的中线垂直于底边且平分顶角，用符号来表示为：如图，如果在ABC ∆中，AB=AC ，且BD=CD ，那么AD BC ⊥且BAD CAD ∠=∠.故答案为：BD=CD ；BAD CAD ∠=∠. 11.（杨浦2019期末13）如图，已知在ABC ∆中，AB=AC ，点D 在边BC 上，要使BD=CD ，还需添加一个条件，这个条件是 .（只需填上一个正确的条件）D B A【答案】BAD CAD ∠=∠或者AD BC ⊥（只填一个）【解析】解：在ABC ∆中，AB=AC ，BAD CAD ∠=∠，BD CD ∴=；或者 在ABC ∆中，AB=AC ，AD BC ⊥，BD CD ∴=；故答案为：BAD CAD ∠=∠或者AD BC ⊥. 考查等腰三角形的三线合一。
等腰三角形的判定--浙教版
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险起见，耿正继续说：“爹，睡哇！不丢人，丢啥人啊，没有人笑话咱们！”耿老爹也继续说：“唉，怎么能说不丢人呢，不 过是自己骗自己哇！一想到这些，俺就睡不着了啊！”耿正低声说：“不用演戏啦，这些家伙不会再返回来了！”说完了回头 一瞧，耿直和尚武怎么都不在炕上了。赶快点上灯一看，发现这小哥俩都光着脚板儿瞪着眼睛在地上站着呢，并且手里边还各 握着一条捅火棍儿！耿正赶快轻声招呼俩人上炕来，说：“没事儿了，你们快上炕来！这真要打起来，也要穿上鞋哇！”俩人 心有余悸地把捅火棍儿重新立在门后爬上炕来。耿直说：“我的心这会儿还在‘嗵嗵嗵’地跳呢！”尚武说：“我也是！”耿 老爹摸摸俩人的脚板儿，心疼地说：“快好好儿搓一搓哇，可别着凉了啊！”耿直说：“俺们不去关上门吗？那些贼肯定给咱 大敞着呢！”耿老爹说：“不必了，这样才更像是真的呢！你们都放心睡哇！爹睡不着了，就一直从这个窗帘缝儿里看着！” 东边屋里，耿英本来就睡得很不踏实，那“咚”的一声把她也惊醒了。她没有惊扰娘和妹妹，只是自己一人爬到拉开的窗帘缝 隙中往外观看。三个窃贼的一举一动和他们的对话，她比西边屋里的哥哥和爹看得、听的更加真切。当她看到三个窃贼开始左 顾右盼地观察时，已经把那条三尺多长的擀面杖抓在了手里。突然间，她清楚地听到了爹和哥哥的对话，马上就明白了爹的用 意。果然，三个窃贼失望地走掉了，耿英终于松了一口气。郭氏翻一个身低声问：“你干啥呢？”耿英说：“俺看是不是天儿 要亮了！”“要去茅房？”“不去！”“娘好像听到谁在说话了？”“俺也听到了，是爹在说梦话呢！哥哥叫醒他了。”“哦。 睡哇，天儿亮还得一会儿呢！”“哦。”耿英放心地沉沉睡去了。天儿麻麻亮时，一直守护在西屋窗帘儿后面的耿老爹感觉眼 皮子有些打架，心想绝对不会再有问题了，还是关了院门儿睡觉哇。谁知刚回身爬到枕头边上，一倒头就给躺下迷糊过去了。 24第百十八回 重聚接风合一饭|（重聚接风合一饭，举杯祝福话过往；形影不离好兄弟，终于挥泪又见面。）堂屋里，耿老爹、 耿直和尚武已经围坐在饭桌边儿了。见大壮出来了，耿老爹赶快抬手招呼他：“来，壮子，坐叔边上来！”耿英把湿毛巾搭在 拉绳上，对郭氏说：“娘，你也坐哇，俺和兰兰给咱们上饭！”郭氏说：“你先坐了，娘和兰儿把菜上齐了，也就坐了！”于 是，耿英就挨着大壮坐了。耿直打开一小坛白酒，给爹和大壮各满上一杯，转头问尚武：“三弟，今儿个高兴，咱俩也少喝点 儿？”尚武说：“好，给我倒一点点吧！”耿直就给尚武和自己的酒盅里各倒了小半盅。又给娘、姐姐和妹妹面前的酒盅里各 倒了多半盅茶水，说：“娘、姐、兰兰，你们喝不了白
等腰三角形的判定定理
等 腰 三 角 形 A 有两边 相等的 三角形 是等腰 三角形 C
1.两腰相等
2.等边对等角 3. 三线合一 4.是轴对称图形
1.两边相等
2.等角对等边
B
例2：已知等腰三角形底边长为a，底边上的高 的长为h，求作这个等腰三角形。 M
C a h A B D
作法： （1）作线段AB=a。
N
（2）作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D。 （3）在MN上取一点C，使DC=h。 （4）连接AC，BC，则△ABC就是所求作的等腰三 角形
小结
名称 图 形 概 念 性质与边角关系 判 定
C
1.如图:ΔABC中,已知AB=AC, 图中有哪些角相等?
B
A
C
∠ B= ∠ C． 在三角形中等边对等角．
２．反过来：
在ΔABC中， ∠ B= ∠ C， AB=AC成立吗？
探索思考
1，作一个三角形，有两个角 相等，这两个角所对的边是否 相等？
A
分析： 在ΔABC中，∠B=∠C作∠BAC
12 的平分线交BC于D， 则∠ 1=∠2，又∠B=∠C， 由三角形内角和的性质得 B ∠ADB=∠ADC， D 沿直线AD折叠∠ADB=∠ADC ，∠1= ∠2，所以射线DB与射线DC重合，射线 AB与射线AC重合，从而点B与点C重合， 因此AB=AC
理由如下： 在△ABC中，∠A=40°,∠B=70°
在△ABC中, 已知∠A=40°,∠B=70°, 判断△ABC是什么三角形,为什么?
∴∠C=70°（三角形内角和定理） ∴∠B=∠C（等量代换） ∴AB=AC（在一个三角形中，等角 对等边）
练习2
如图,已知∠A=36°, ∠DBC=36°, ∠C=72°, o o 则∠1= 36 ,∠2= 72 , 图中的等腰三角形 有 △ABC，△ABD，△BCD3个.
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等腰三角形的判定【目标导航】掌握等腰三角形的判定定理并能较为熟练加以应用．【要点梳理】等腰三角形的判定方法：（1）有两条边的三角形是等腰三角形；答案：相等（2）如果一个三角形有，那么这两个角所对的边也相等（简写为“”）．答案：两个角相等，等角对等边【问题探究】如图，位于海上A，B两处的两艘救生船接到O 处遇险船只的报警，当时测得∠A=∠B．如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能大约同时赶到出事地点？答案：能，作OD⊥AB于点D，则∠ODA=∠ODB=90°，又∵∠A=∠B，OD=OD，∴△OAD ≌△OBD（AAS），∴OA=OD.因为这两艘船的速度相同，所以能同时赶到出事地点.例1 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．答案：已知：∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC.求证：AB=AC.证明：∵AD∥BC，∴∠1=∠B，∠2=∠C.∵∠1=∠2，∴∠B=∠C.∴AB=AC.例2已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AC、AB上，且∠ABD=∠ACE，BD、CE相交于点O．求证：BO=CO．答案：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．又∵∠ABD=∠ACE，∴∠DBC=∠EBC，∴BO=CO．例3 根据条件先填空，后找规律．（1）如图，AD平分∠BAC，DE∥AC，则△是等腰三角形；（2）如图，AD平分∠BAC，CE∥AB，则△是等腰三角形；（3）如图，AD平分∠BAC，CE∥AD，则△是等腰三角形；（4）如图，AD平分∠BAC，EF∥AD，交AB于点G，则△是等腰三角形；由上可发现，当题设中有和两个条件时，图形中一般会有出现．答案：（1）ADE，（2）ACE，（3）ACE，（4）AGE；角平分线，平行线，等腰三角形例4 如图，标杆AB高5 m，为了将它固定，需要由它的中点C向地面上与点B距离相等的D，E两点拉两条绳子，使得点D，B，E在一直线上．量得DE=4 m，绳子CD和CE要多长？答案：选取比例为1:100：（1）作线段DE=4cm；（2）作线段DE的垂直平分线MN，与DE交于点B；（3）在MN上截取BC=2.5cm；（4）连接CD，CE，△CDE就是所求的等腰三角形，量出CD的长，就可以计算出要求的绳长.【课堂操练】1．如图，∠A=36°，∠C=72°，∠DBC=36°．分别计算∠1，∠2的度数，并说明图中有哪些等腰三角形．答案：∵∠A=36°，∠C=72°，∴∠ABC=72°，∴∠2=∠ABC—∠DBC=36°. ∠1=∠A+∠2=72°.图中等腰三角形有△ABC，△BDC，△ABD.2．如图，把一张矩形的纸沿对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？答案：由重叠的角相等，及内错角相等，可得重叠的三角形两个角相等，所以是一个等腰三角形.3．知图，AC和BD相交于点O，且AB∥DC，OA=OB．求证：OC=OD．答案：∵OA=OB，∴∠A=∠B．∵AB∥DC，∴∠C=∠A，∠D=∠B．∴∠C=∠D．∴OC=OD．4．如图，在△ABC中，AB=AC, ∠DBC＝∠DCB．求证：AD⊥BC．（用两种方法证明）答案：证明一：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．又∵∠DBC=∠DCB，∴∠ABD=∠ACD．∵∠DBC=∠DCB，∴BD=CD．∴△ABD≌△ACD．∴∠BAD=∠CAD．∴AD⊥BC．证明二：∵AB=AC，∴点A在线段BC的垂直平分线上．∵∠DBC=∠DCB，∴BD=CD，∴点D在线段BC的垂直平分线上．∴AD⊥BC．5．上午8时，一条船从A处出发以15海里每小时的速度向正北航行，10时到达B处．从A、B望灯塔C，测得∠NAC＝42°，∠NBC＝84°．求：从B处到灯塔C的距离．AB CDNBAC AB CDEOD B E答案：∵∠C=∠NBC—∠NAC＝84°—42°=42°，∴∠C=∠NAC.∴BC=BA.∵BA=15×(10—8)=30(海里)，∴BC=30(海里).【课后巩固】1．已知等腰三角形的底角等于顶角的两倍，则它的顶角的度数是．答案：36°2．等腰三角形的一个外角等于130°，则它的一个底角等于．答案：50°或65°3．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是角平分线，DE⊥AB于点E，AD、CE相交于点G，则图中等腰三角形的个数为个．答案：34．如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E，若BD＋CE=9，则线段DE 的长为．答案：95．在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，∠BDC=72°，则∠A的度数为．答案：36°6．在等腰三角形ABC中，AB的长是BC的2倍，周长是40，则AB的长是．答案：87．若三角形的三边a、b、c满足（a－b）（b－c）（c－a）=0，则它等腰三角形．（填“是”或“不是”）答案：是8. （2011年浙江衢州中考）在一次夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东60°方向的C处，他先沿正东方向走了200m 到达B地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C(如图)，那么，由此可知，B、C两地相距m.答案：2009．如图，已知△ABC中，AB=AC，E是AB上一点，DE⊥BC于点D，DE的延长线交CA的延长线于点F，那么△AEF是等腰三角形吗？为什么？答案：是.∵AB=AC，∴∠B=∠C.∵DE⊥BC，∴∠EDB=∠FDC=90°.∴∠B+∠BED=∠C+∠F=90°.∴∠BED=∠F. 又∵∠BED=∠AEF，∴∠AEF=∠F.∴AF=AE.∴△AEF是等腰三角形.10．如图，已知AB=AD，∠ABC=∠ADC．求证：BC=DC．答案：连接BD.∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB．∵∠ABC=∠ADC，∴∠CBD=∠CDB．∴BC=DC．11．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在BC、AB、AC上，BD=CF，BE=CD，DG⊥EF于点G，EG=FG．求证：AB=AC．答案：连接DE，DF.∵DG⊥EF于点G，EG=FG，∴DE=DF．又∵BD=CF，BE=CD，∴△BDE≌△CFD．∴∠B=∠C．∴AB⊥AC．12．如图，已知CE、CF分别是∠AC B和它的外角∠ACM的平分线，EF∥BC交AC于点D．求证：DE=DF.答案：∵CE平分∠ACB，∴∠BCE=∠ECD．∵EF∥BC，∠DEC=∠BCE．∴∠DEC=∠DCE．∴DE=DC．同理，可证DC=DF.∴DE=DF.13．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥BA于D，AE平分∠BAC交CD于点F，交BC于点E．求证：△CEF是等腰三角形．答案：∵CD⊥BA，∴∠DAF+∠AFD=90°．∵∠ACB=90°，∠AEC+∠CAE=90°．∵∠DAF=∠CAE，∴∠AFD=∠AEC．又∵∠AFD=∠CFE，∴∠CFE=∠AEC．∴∠CF=CE．∴△CEF是等腰三角形．14. （2011年江苏常州中考）已知:如图，在△ABC中，D为BC上的一点，AD平分∠EDC，且∠E=∠B，ED=DC．求证：AB=AC．答案：∵AD平分∠EDC，∴∠ADE=∠ADC，又DE=DC，AD=AD，∴△ADE≌△ADC，∴∠E=∠C．又∠E=∠B，∴∠B =∠C，∴AB=AC．15．已知：如图，AB=AE，BC=ED，∠B=∠E．求证：∠C=∠D．答案：连接AC，AD.∵AB=AE，BC=ED，∠B=∠E，∴△ABC≌△AED(SAS)．∴∠ACB=∠ADE，AC=AD，∴∠ADC=∠ACD.∴∠EDC=∠BCD．【课外拓展】16．如图，在△ABC中，DC⊥AC，∠1=∠2，DA=DB．求证：AB=2AC．AB ED C（第3题）（第4题）AECB D答案：作DE⊥AB于点E，∵DC⊥AC，∴∠DEA=∠DCA=90°．又∵∠1=∠2，AD=AD，∴△ADE≌△ADC，∴AE=AC．∵DA=DB，DE⊥AB，∴AE=AB．∴AB=2AE=2AC，即AB=2AC．17．如图，在4个正方形拼成的图形的中，以这10个点中任意三点为顶点，共能组成个等腰直角三角形．请写出你的探究过程．答案：44每个小正方形的两条对角线可分得8个等腰直角三角形，则4个共有32个等腰三角形；有公共边的相邻两个小正方形又得两个等腰直角三角形（如△A1A3A7），这样的情况共有6个等腰三角形；另外还有等腰Rt△A2A4A10与等腰Rt△A,3A5A9，以及等腰Rt△A1A8A9，等腰Rt△A,6A7A10，等腰Rt△A,1A9A7，等腰Rt△A,6A8A10，所以图中共有等腰三角形32+6+2+4=44个.。