等腰三角形与等边三角形的性质与判定
等腰三角形与等边三角形的性质与判定
等腰三角形与等边三角形的性质与判定等腰三角形与等边三角形的性质与判定课首沟通上讲回顾（错题管理）；作业检查；询问学生学习进度等。
知识导图等腰三角形的槪念等腰三角形等髏三角也的性质制判定V等腰三角形的“三线合一”等边三角形的性质和判定含30度的直角三角形课首小测1、（2014萝岗区期末）如果等腰三角形的两边长分别为2和5,则它的周长为（）A.9B.7C.12D.9 或12 2、（2014番禺区期末）下列说法正确的是（）A.等腰三角形的高，中线，角平分线互相重合B.等腰三角形的两个底角相等C.等腰三角形一边不可以是另一边的二倍D.顶角相等的两个等腰三角形全等3、（2014白云区期末）在/△ABC中，/ A=42°/ B=96°，则它是（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形4、如图，MBC中，AB=AD=DC/ BAD=40，则 / C=.5、（2014天河区期末）如图，在AABC中，/B=30°, ED垂直平分EC,垂足为D,ED=3则CE的长为。
知识梳理一、等腰三角形1.定义的叫做等腰三角形•相等的两条边叫做，另一条边叫做。
两腰所夹的角叫做，腰与底边的夹角叫做。
2•性质性质1等腰三角形的两个底角。
（简写成“”, 性质2:等腰三角形的、、相互重合（简称“”）性质3:等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，即为。
3•判定（1）有两条边的三角形是等腰三角形。
（2）如果三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“）”二、等边三角形1.定义都相等的三角形是等边三角形.2•性质性质1:等边三角形的三个内角都，并且每一个角都等于；性质2:等边三角形是，并且有对称轴，分别为三边的垂直平分线。
3•判定（1）三个角都的三角形是等边三角形；（2）都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是600的是等边三角形。
、含300的直角三角形的性质在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它对的等于的一半.导学一：等腰三角形的性质知识点讲解1：等边对等角例题1、（2014华美英语实验期中）等腰三角形的其中一个角为50°,则它的顶角是____________ 度.2、（2014 四川南充）如图，在△ABC中, AB= AC,且D 为BC上一点，CD= AC, AB= BD,则/ B的度数为（）AB D CA. 30° B . 36°C. 40° D . 45°3、如图，在等腰三角形ABC中, AB=AC BD=CEBE=CF(1)求证：AEBD^A PCE(2)若/ A=40°,求/ DEF的度数我爱展示1、（2012甘肃白银中考）如图，在/△ABC 中， AC=BC , AABC 的外角/ACE=10C °，贝V/ A= _____________ 度.上—\—£2、（2013白云区华附新世界期中）等腰三角形 一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的 度数为（）・B. 120C.60。
等腰三角形和等边三角形的性质
等腰三角形和等边三角形的性质等腰三角形和等边三角形是基础的几何形状，它们有着特殊的性质和特点。
在本文中，我们将一起探讨等腰三角形和等边三角形的性质，并分析它们在几何学中的重要性。
一、等腰三角形的性质等腰三角形是指具有两条边相等的三角形。
以下是等腰三角形的主要性质：1. 两底角相等：等腰三角形的底边是两边相等的边，因此，其对应的底角相等。
即∠A = ∠C，其中A、C为等腰三角形的两个底角。
2. 顶角平分底角：等腰三角形的顶角恰好平分了底角。
也就是说，等腰三角形的顶角∠B恰好等于底角∠A和∠C的一半。
3. 等腰三角形的高线：等腰三角形的高线是连接顶点与底边垂直的线段。
在等腰三角形ABC中，高线BD垂直于底边AC，并且BD是AC的中线（即BD=DC）。
4. 等腰三角形的中线：等腰三角形中线是分别连接底边中点与顶点的线段。
在等腰三角形ABC中，中线BE与底边AC相等（即BE=EC）。
二、等边三角形的性质等边三角形是指三条边相等的三角形。
以下是等边三角形的主要性质：1. 三个内角相等：等边三角形的三个内角都相等，即∠A = ∠B =∠C = 60°。
2. 三条高线重合：等边三角形的三条高线分别由顶点向底边上的三个顶点所引。
这三条高线相交于同一个点，也就是等边三角形的垂心。
3. 等边三角形的中线：等边三角形的中线是分别连接底边中点与顶点的线段，也就是等边三角形的高线。
由于等边三角形的三边相等，中线也为等边三角形三边的中线。
三、等腰三角形和等边三角形的重要性等腰三角形和等边三角形在几何学中具有重要的应用和特点。
以下是它们的一些重要性：1. 判定等腰三角形：利用等腰三角形的性质，我们可以通过两条边的长度相等来判定一个三角形是否为等腰三角形。
2. 判定等边三角形：等边三角形的三条边相等，因此，我们可以通过三条边的长度相等来判定一个三角形是否为等边三角形。
3. 等腰三角形的应用：等腰三角形的性质常常应用在各类数学问题中，如三角函数、三角恒等式、三角面积等计算中。
等腰三角形与等边三角形的性质及定理
等腰三角形与等边三角形的性质及定理等腰三角形和等边三角形是几何学中常见的两种特殊三角形。
它们具有独特的性质和一些重要的定理，对于几何学的研究和实际应用有着重要的作用。
一、等腰三角形的性质及定理等腰三角形是指具有两条边相等的三角形。
在等腰三角形中，存在以下一些重要的性质和定理。
1. 等腰三角形的顶角和底角相等：等腰三角形的两条边相等，根据三角形内角和定理可知，其顶角和底角一定相等。
2. 等腰三角形的底边中线等于高：将等腰三角形底边的中点与顶点连接，该线段为底边的中线，根据中线定理可知，中线的长度等于等腰三角形的高。
3. 等腰三角形的两底角相等：等腰三角形的两边相等，根据等角定理可知，其两底角一定相等。
4. 等腰三角形的高同时也是角平分线和中线：等腰三角形的高线从顶点到底边的垂直线段上，这条高线也是等腰三角形的两底角的角平分线，同时也等于底边的中线。
5. 等腰三角形的内角和为180度：等腰三角形的两角相等，根据三角形内角和定理可知，其内角和为180度。
二、等边三角形的性质及定理等边三角形是指具有三条边相等的三角形。
在等边三角形中，存在以下一些重要的性质和定理。
1. 等边三角形的三条边相等，三个顶点角也相等：由于等边三角形的三条边都相等，根据等角定理可知，其三个顶点角也一定相等，每个角都是60度。
2. 等边三角形的高、中线、角平分线也相等：等边三角形的高、中线、角平分线都相等，它们都等于等边三角形的任意一条边的长度。
3. 等边三角形的内角和为180度：等边三角形的三个角都相等，根据三角形内角和定理可知，其内角和为180度。
每个角为60度，三个角的和为180度。
4. 等边三角形的外接圆半径等于边长的一半：等边三角形的外接圆半径等于边长的一半。
5. 等边三角形的内切圆半径等于边长乘以根号3再除以6：等边三角形的内切圆半径等于边长乘以根号3再除以6。
总结：等腰三角形和等边三角形都是特殊的三角形，它们具有一些独特的性质和定理。
等边三角形和等腰三角形的性质
等边三角形和等腰三角形的性质等边三角形和等腰三角形是我们在初中数学中经常遇到的几何形状，它们具有一些独特的性质。
本文将详细介绍等边三角形和等腰三角形的定义、性质以及一些相关的定理。
一、等边三角形的定义与性质等边三角形是指三条边的长度相等的三角形。
在等边三角形中，三个内角均为60度。
下面是一些等边三角形的性质：1. 等边三角形的三角内角均为60度。
因为等边三角形的三条边长度相等，根据三角形内角和定理，三个内角必然相等，所以等边三角形的三个内角都是60度。
2. 等边三角形的三条高线、中线和角平分线重合于同一个点。
等边三角形的高线、中线和角平分线都会通过三角形的垂心，而在等边三角形中，三条高线、中线和角平分线重合于同一个点，也就是三角形的重心、垂心、外心和内心都重合。
3. 等边三角形的面积公式为：S = (边长^2 * √3) / 4。
我们可以根据等边三角形的性质来推导其面积公式。
设等边三角形的边长为a，高为h，将等边三角形分成两个等腰三角形，每个等腰三角形的底边为a，高为h。
根据等腰三角形的面积公式，每个等腰三角形的面积为S1 = (a * h) / 2，所以等边三角形的面积为S = 2 * S1 = a * h = (a^2 * √3) / 4。
二、等腰三角形的定义与性质等腰三角形是指两边的长度相等的三角形。
在等腰三角形中，两个底角（底边所对的两个角）相等。
下面是一些等腰三角形的性质：1. 等腰三角形的底角（底边所对的两个角）相等。
在等腰三角形中，两边相等，根据等边三角形的证明，两个底角必然相等。
2. 等腰三角形的顶角（顶点所对的角）为锐角或直角。
在等腰三角形中，两边相等，所以顶角为锐角或直角，不可能为钝角。
3. 等腰三角形的高线、中线和角平分线重合于同一个点。
等腰三角形的高线、中线和角平分线都会通过三角形的顶点和底边的中点，这三条线段重合于同一个点。
4. 等腰三角形的面积公式为：S = (底边 * 高) / 2。
特殊三角形的性质与判定
特殊三角形的性质与判定三角形是几何学中的基础概念之一，在三角形的研究中，存在一些特殊类型的三角形，它们具有独特的性质和判定方法。
本文将介绍常见的特殊三角形，包括等腰三角形、等边三角形、直角三角形以及高线三角形，并探讨它们的性质与判定方法。
一、等腰三角形等腰三角形是指有两边长度相等的三角形。
对于等腰三角形，它具有以下性质：1. 具有两条边相等的性质；2. 两个底角（底边上的两个角）相等。
在判定等腰三角形时，可以根据上述性质进行推断。
例如，如果已知一个三角形的两条边相等，那么可以得出它是等腰三角形。
此外，若已知一个三角形的两个角相等，也可以判断出它是等腰三角形。
二、等边三角形等边三角形是指三条边的长度都相等的三角形。
等边三角形的性质如下：1. 三条边的长度都相等；2. 三个角的度数都相等，均为60度；3. 任意两条边之间的夹角均为60度。
判定等边三角形时，只需验证三条边的长度是否相等即可。
三、直角三角形直角三角形是指其中一个角度为90度的三角形。
直角三角形具有以下性质：1. 一个角为90度，称为直角；2. 勾股定理成立，即勾股定理 a^2 + b^2 = c^2。
判定直角三角形时，一般采用勾股定理进行验证。
如果一个三角形的边长满足勾股定理，即两直角边的平方和等于斜边的平方，那么可以判定此三角形为直角三角形。
四、高线三角形高线三角形是指从三角形的顶点到底边上某一点的垂线构成的三角形。
高线三角形具有以下性质：1. 顶角（顶点的角）为直角；2. 两条边的长度乘积等于高线长的平方。
判定高线三角形时，需要验证顶角是否为直角，并计算两条边的长度乘积是否等于高线长的平方。
综上所述，特殊三角形具有各自独特的性质与判定方法。
通过了解和应用这些性质与判定方法，我们可以更好地理解三角形的特性，为解决与三角形相关的问题提供帮助。
等边三角形与等腰三角形的性质
等边三角形与等腰三角形的性质等边三角形与等腰三角形是初中数学中的基本概念，它们具有一些特殊的性质和关系。
本文将详细介绍等边三角形和等腰三角形的性质，并探讨它们之间的联系和区别。
一、等边三角形的性质等边三角形是指三条边相等的三角形。
我们可以从以下几个方面来了解等边三角形的性质。
1. 三个内角相等等边三角形的三个内角都是60°，因为等边三角形的三条边相等，而三角形的三个内角的和是180°，所以每个角都是60°。
2. 高度、中线、角平分线相重合等边三角形的高度、中线和角平分线在三个顶点处相交，且重合于一个点。
这个点被称为等边三角形的垂心、重心和内心，它们均位于三角形的重心。
3. 三个角的正弦、余弦、正切值相等等边三角形的三个角的正弦、余弦、正切值都相等，即sin60°=cos60°=tan60°=√3/2。
二、等腰三角形的性质等腰三角形是指两条边相等的三角形。
接下来我们来看等腰三角形的一些性质。
1. 两个底角相等等腰三角形的两个底角相等，因为两边相等的两个角的对边也相等，根据等边三角形的性质，这两个角都是60°。
2. 高度、中线、角平分线重合或平行于底边等腰三角形的高度、中线和角平分线有两种情况：当顶角大于底角时，这些线段将重合于顶角的顶点；当顶角等于底角时，这些线段将平行于底边。
3. 底角的正弦、余弦、正切值相等等腰三角形的底角的正弦、余弦、正切值都相等，即sinθ=cosθ=tanθ，其中θ表示底角的大小。
三、等边三角形与等腰三角形之间的关系与区别等边三角形与等腰三角形都具有一些共同的性质，但也有一些不同之处。
1. 共同点等边三角形和等腰三角形的顶角都是60°，都具有高度、中线和角平分线重合或平行于底边的性质。
2. 不同点等边三角形的三边相等，而等腰三角形只有两边相等；等边三角形的高度、中线和角平分线都重合于顶点，而等腰三角形的这些线段只有当顶角大于底角时才重合，当顶角等于底角时平行于底边。
等腰三角形和等边三角形
等腰三角形和等边三角形三角形是几何学中最基本的图形之一，根据边的长度和角的大小可以分为不同类型，其中等腰三角形和等边三角形是两种常见的特殊三角形。
本文将介绍等腰三角形和等边三角形的定义、性质以及一些相关应用。
一、等腰三角形的定义和性质等腰三角形是指具有两条边长度相等的三角形。
根据等腰三角形的定义，我们可以得到以下性质：1. 两个底角相等：等腰三角形的两个底角（即底边对应的两个角）是相等的。
这是由于等腰三角形的两条边长度相等，所以其对应的两个角也相等。
2. 一个顶角：等腰三角形只有一个顶角（即不等于底角的角）。
这是由于等腰三角形的两条边长度相等，所以其对应的两个角必然相等，就只能是底角。
等腰三角形的性质使得它在几何学中具有一些特殊的用途和应用。
比如在建筑设计中，等腰三角形的对称性可以提供平衡感和美观感；在地质勘探中，等腰三角形的性质可以用于测量不可直接测量的距离等。
二、等边三角形的定义和性质等边三角形是指三条边长度均相等的三角形。
根据等边三角形的定义，我们可以得到以下性质：1. 三个内角均为60度：等边三角形的三个内角均相等，且都等于60度。
这是由于等边三角形的三条边长度相等，根据三角形内角和定理可知，三个内角之和为180度，所以每个角都是60度。
2. 三条高（垂直边）相等且相互重合：等边三角形的三条高（即垂直于底边的边）均相等，且相互重合。
这是由于等边三角形的三个内角都是60度，所以三条高形成的三个直角相等，从而高也相等。
等边三角形的性质使得它在几何学和其他领域中具有广泛的应用。
比如在建筑设计中，等边三角形可以提供稳定和均衡的结构；在工程测量中，等边三角形可以用于正方向标志和测量精度的校准等。
综上所述，等腰三角形和等边三角形是两种常见的特殊三角形。
等腰三角形具有两个底角相等和一个顶角的性质；而等边三角形具有三个内角均为60度和三条高相等且相互重合的性质。
这些性质使得它们在几何学和其他领域中具有一些特殊的应用，对于我们理解和应用三角形概念都有一定的帮助。
等腰三角形和等边三角形的关系
等腰三角形和等边三角形的关系等腰三角形和等边三角形是两种常见的三角形形状。
虽然它们在外形上有一些相似之处，但是它们在性质和特点上存在一些明显的区别。
本文将深入探讨等腰三角形和等边三角形之间的关系，包括它们的定义、性质以及一些有趣的数学推导。
一、等腰三角形的定义和性质等腰三角形是指两个边相等的三角形。
它的定义可以用以下数学表达式来表示：在一个三角形中，如果两个边长度相等，则该三角形为等腰三角形。
等腰三角形有以下几个主要性质：1. 等腰三角形的底角和顶角相等。
由于两个边相等，所以底角必然相等。
2. 等腰三角形的顶角平分底边。
顶角将底边平分为两个相等的线段。
3. 等腰三角形的高线是底边的垂直平分线。
高线将底边垂直平分，并且平分线上的点到顶点的距离相等。
二、等边三角形的定义和性质等边三角形是指三个边长度全都相等的三角形。
它的定义可以用以下数学表达式来表示：在一个三角形中，如果三个边的长度都相等，则该三角形为等边三角形。
等边三角形有以下几个主要性质：1. 等边三角形的三个角都相等，每个角都是60度。
2. 等边三角形的高线是三条边的垂直平分线。
高线将任意一条边垂直平分，并且平分线上的点到对角顶点的距离相等。
3. 等边三角形的外接圆半径等于边长的一半。
外接圆是过三个顶点且半径相等的圆。
三、等边三角形与等腰三角形的关系等边三角形是一种特殊的等腰三角形，因为它满足了两个边相等的条件，并且这两个边的长度与第三条边的长度也相等。
所以，每个等边三角形也可以被看作是等腰三角形。
但是，不是每个等腰三角形都是等边三角形，因为等腰三角形的两个边的长度可以不等于第三条边的长度。
等边三角形和等腰三角形之间的关系可以用以下几个方面来总结：1. 等边三角形是等腰三角形的一种特殊情况，即满足等腰三角形的条件并且边长相等。
2. 等腰三角形可以有不同的底角和顶角大小，但等边三角形的角大小始终相等。
3. 等边三角形可以看作是一种特殊的等腰三角形，具有更多的对称性和规律性。
等边三角形与等腰三角形的性质
等边三角形与等腰三角形的性质等边三角形与等腰三角形是初中数学中重要的概念，它们在几何学中有着独特的性质和特点。
在本文中，我们将探讨等边三角形与等腰三角形的性质，并比较它们之间的异同。
一、等边三角形的性质等边三角形是指三条边的长度相等的三角形。
下面我们来讨论等边三角形的性质。
1. 三个内角相等对于任意一个等边三角形ABC来说，三个内角∠A、∠B、∠C都是相等的。
因为等边三角形的三条边相等，所以它们相应的内角也必须相等。
2. 每个内角都是60度由于等边三角形的三个内角相等，所以每个内角都是总和的1/3，也就是180度的1/3，即每个内角都是60度。
3. 高度、中线、角平分线重合在等边三角形ABC中，高度、中线和角平分线都彼此重合。
这是因为等边三角形的三边都相等，所以它们的高度、中线和角平分线都经过三角形的垂心。
4. 它的面积和边长的关系等边三角形的面积可以通过以下公式计算：面积 = （边长^2）× √3 / 4。
也就是说，等边三角形的面积与它的边长的平方成正比。
二、等腰三角形的性质等腰三角形是指两边的长度相等的三角形。
下面我们来讨论等腰三角形的性质。
1. 两个底角相等对于任意一个等腰三角形ABC来说，两个底角∠A和∠C都是相等的。
这是因为等腰三角形的两条底边AB和BC相等，所以它们相应的底角也必须相等。
2. 高度和中线在等腰三角形ABC中，高度和中线都经过顶点A。
高度是从顶点A到底边BC的垂直距离，中线是连接底边中点M和顶点A的线段。
高度和中线都经过顶点A是等腰三角形的独特性质。
3. 角平分线在等腰三角形ABC中，角平分线OX也经过顶点A，并且把∠BAC平分为两个相等的角。
这是因为等腰三角形的两个底角∠A和∠C相等，所以它们的角平分线OX必须经过顶点A。
4. 对称轴等腰三角形ABC的高度、中线和角平分线都是对称轴。
这意味着如果我们按照这些对称轴折叠等腰三角形，就可以得到三条边彼此重合。
三、等边三角形与等腰三角形的异同等边三角形和等腰三角形都是特殊的三角形，在某些性质上有一些共同点，但也存在一些区别。
等腰三角形与等边三角形
B A等腰三角形与等边三角形一、等腰三角形的性质与判定1、概念：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
2、性质：等腰三角形的两个底角相等，简称“等边对等角”。
推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称“三线合一”）。
3、等腰三角形的判定：（1）定义；（2）有两个角相等的三角形是等腰三角形，简称“等角对等边”。
注意：等腰三角形是轴对称图形，它有一条对称轴。
例题讲解例1 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°，则它的底角的度数为 ； 例2 等腰三角形的周长为10cm ，一边长为3cm ，则其他两边长分别为_____ ． 例3 已知：如图，ΔABC 中，AB ＝AC ，D 、E 在BC 边上，且AD ＝AE ．求证：BD ＝CE ．例4 如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 边上的点，BD 与CE 交于点O ，给出下列四个条件：①∠EBO=∠DCO ；②∠BEO=∠CDO ；③BE=CD ；④OB=OC 。
（1）上述四个条件中，由哪两个可以判定△ABC 是等腰三角形（用序号写出所有的情形）； （2）选出上述条件中的任何一种情形，证明△ABC 是等腰三角形。
例5已知：如图，Rt ΔABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，D 是BC 的中点，AE ＝BF ．求证：（1）DE ＝DF ；（2）ΔDEF 为等腰直角三角形．随堂练习一1、如图，根据已知条件，填写由此得出的结论和理由．（1）∵ΔABC中，AB＝AC，∴∠B＝______．（）（2）∵ΔABC中，AB＝AC，∠1＝∠2，∴AD垂直平分______．（）（3）∵ΔABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝______．（）（4）∵ΔABC中，AB＝AC，BD＝DC，∴AD⊥______．（）2、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是20°，则等腰三角形的底角等于_____．3、如图1，△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，OM∥AB，ON∥AC，BC＝10cm，则ΔOMN的周长＝______．4、如图2，在ΔABC中，高AD、BE交于H点，若BH＝AC，则∠ABC＝______．5、如图3，ΔABC中，AB＝AC，AD＝BD，AC＝CD，则∠BAC＝______．图1 图2 图36、已知：如图，ΔABC中，AB＝AC，D是AB上一点，延长CA至E，使AE＝AD．试确定ED与BC的位置关系，并证明你的结论．7、已知：如图，在ΔABC中，CE是角平分线，EG∥BC，交AC边于F，交∠ACB的外角（∠ACD）的平分线于G，探究线段EF与FG的数量关系并证明你的结论．二、等边三角形的性质与判定1、概念：三条边都相等是三角形叫做等边三角形（又称为正三角形）。
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等腰三角形与等边三角形的性质与判定课首沟通上讲回顾(错题管理)；作业检查；询问学生学习进度等。
知识导图课首小测1、（2014萝岗区期末）如果等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（）A.9B.7C.12D.9或122、（2014番禺区期末）下列说法正确的是（）A.等腰三角形的高，中线，角平分线互相重合B.等腰三角形的两个底角相等C.等腰三角形一边不可以是另一边的二倍D.顶角相等的两个等腰三角形全等3、（2014白云区期末）在△ABC中，∠A=42°，∠B=96°，则它是（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形4、如图，△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=40°，则∠C= .5、(2014天河区期末)如图，在△ABC中，∠B=30°，ED垂直平分EC,垂足为D,ED=3，则CE的长为。
知识梳理一、等腰三角形1. 定义的叫做等腰三角形．相等的两条边叫做，另一条边叫做。
两腰所夹的角叫做，腰与底边的夹角叫做。
2. 性质性质1：等腰三角形的两个底角。
（简写成“”）。
性质2：等腰三角形的、、相互重合（简称“”）性质3：等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，即为。
3.判定（1）有两条边的三角形是等腰三角形。
（2）如果三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“ ”）二、等边三角形1. 定义都相等的三角形是等边三角形．2. 性质性质1：等边三角形的三个内角都，并且每一个角都等于；性质2：等边三角形是，并且有对称轴，分别为三边的垂直平分线。
3.判定（1）三个角都的三角形是等边三角形；（2）都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是600的是等边三角形。
三、含300的直角三角形的性质在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它对的等于的一半.导学一：等腰三角形的性质知识点讲解1：“等边对等角”例题1、（2014华美英语实验期中）等腰三角形的其中一个角为50°，则它的顶角是___________度.2、（2014四川南充）如图，在△ABC中，AB＝AC，且D为BC上一点，CD＝AD，AB＝BD，则∠B的度数为（）A. 30°B．36°C．40°D．45°3、如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，BD=CE，BE=CF。
（1）求证：△EBD≌△PCE（2）若∠A=40°，求∠DEF的度数。
我爱展示1、（2012甘肃白银中考）如图，在△ABC中，AC=BC，△ABC的外角∠ACE=100°，则∠A=_________度．2、（2013白云区华附新世界期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为（）．A.60°B.120°C.60°或150°D.60°或120°3、如图所示，在ΔABC中，∠ABC＝120°，点D、E分别在AC和AB上，且AE＝ED＝DB＝BC，则∠A的度数为______°.知识点讲解2：“三线合一”例题1、（2014浙江丽水中考）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，若AB=6，CD=4，则△ABC的周长是．2、已知：如图，ΔABC中，AB＝AC，D、E在BC边上，且AD＝AE．求证：BD＝CE．我爱展示如图所示，在等腰△ABC中，AD是BC边上的中线，点E在AD上。
求证：BE=CE。
知识点讲解3：等腰三角形的边的计算例题1、已知等腰三角形一腰上的中线将它们的周长分为9和12两部分，求腰长和底长．2、已知等腰三角形的周长为12，腰长为x，求x的取值范围我爱展示1、已知等腰三角形一腰上的中线将它们的周长分为12和15两部分，求腰长和底长．2、（2014广西玉林市）在等腰△ABC中，AB=AC，其周长为20cm，则AB边的取值范围是（）A．1cm＜AB＜4cm B．5cm＜AB＜10cm C．4cm＜AB＜8cmD．4cm＜AB＜10cm导学二：等腰三角形的判定与等腰三角形的综合运用知识点讲解1：等腰三角形的判定例题1、如图，△ABC中，BA=BC，点D是AB延长线上一点，DF⊥AC于F交BC于E，求证：△DBE是等腰三角形。
2、已知：如图，在ΔABC中，CE是角平分线，EG∥BC，交AC边于F，交∠ACB的外角（∠ACD）的平分线于G，探究线段EF与FG的数量关系并证明你的结论．3、（2013育才实验）在平面直角坐标系中，已知点O是坐标原点，点A为（2, 2），若在坐标轴上有一动点P，使△AOP是等腰三角形，这样的P点共有（）A. 2个B. 4个C. 6个D. 8个EDCABF我爱展示1、已知：如图，ΔABC中，AB＝AC，E在CA的延长线上，ED⊥BC．求证：AE＝AF.2、如图所示在△ABC中,BO平分∠ABC，CO平分∠ACB ，MN∥BC ，MN经过点O,若AB=16 ，AC=23，那么△AMN的周长为多少?3、（2013天河七十五中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB等腰三角形，则符合条件的点P共有个．知识点讲解2：等腰三角形的判定与性质综合运用例题1、已知：如图，AD是∠BAC的平分线，∠B＝∠EAC，EF⊥AD于F.求证：EF平分∠AEB．2、（2013二中应元期末）已知：如图△ABC中，∠A=90o，AB=AC，D为BC的中点，E、F分别是AB、AC上的点，且BE=BF，求证：△DEF为等腰直角三角形。
我爱展示1、已知：如图所示，ΔABC中，AB＝AC，D是AB上一点，延长CA至E，使AE＝AD．试确定ED与BC的位置关系，并证明你的结论．2、如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF．（1）证明：△BDF是等腰直角三角形．（2）猜想线段AD与CF之间的关系并证明．导学三：等腰三角形的综合运用（选学，成绩好的学生用）例题1、如图，已知∠B=2∠C，∠CAD=∠BAD，求证：AC=AB+BD2、如图所示，在△ABC中，AB=AC，在AB上取一点E，在AC延长线上取一点F，使BE=CF，EF交BC于G.求证：EG=FG。
3、如图，已知在△ABC中，∠ABC＝3∠C,∠1＝∠2,BE AE，求证：AC-AB = 2BE。
我爱展示1、已知，如图，AB 是等腰直角三角形ABC 的斜边，AD 是A ∠的平分线．求证：AC CD AB +=．2、已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE 。
导学四：等边三角形的性质与判定DCBA知识点讲解1：等边三角形的性质 例题1、已知：如图，ΔABC 和ΔBDE 都是等边三角形． （1）求证：AD ＝CE ；（2）当AC ⊥CE 时，判断并证明AB 与BE 的数量关系．2、如图所示，已知ABC △和△BDE 均为等边三角形，求证：BD+CD=AD.我爱展示1、（2013浙江台州中学期末）如图，在如图，在等边ABC △中，点D E ，分别在边BC AB ，上，BD AE =，AD 与CE 交于点F ．（1）求证：AD CE =；（2）求DFC ∠的度数．FE DCBA2、如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形．BE交AC于F，AD交CE于H，求证：△BCE≌△ACD；知识点讲解2：等边三角形的判定例题1、等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP=∠ACQ，BP=CQ，问△APQ 是什么形状的三角形？并证明你的结论.导学五：含300的直角三角形的性质知识点讲解1：含300的直角三角形的性质例题1、（2013华侨外国语）已知，如图△ABC中，AB=AC，∠C=30o，AB⊥AD，AD=4cm，求BC 的长。
2、（2013珠江六中期中）如图：已知：等边三角形ABC ，点D 是AB 的中点，过点D 作DF ⊥AC ，垂足为F ，过点F 作FE ⊥BC ，垂足为E ，若三角形ABC 的边长为4。
求:（1）线段AF 的长度;（2）线段BE 的长度.我爱展示1、(2012广东梅州中考)如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF ∥OB ，EC ⊥OB ，若EC=1，则EF= _________ ．2、如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABD=30o ，AB=AD ， DC ⊥BC 于点C ，若BD=4，求CD 的长.3、如图，在Rt ABC △中，90,30,C A CD AB ∠=∠=⊥，垂足为D ，求DBAD的值．DCBA限时考场模拟（15分钟）1、下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每一个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形。
其中是等边三角形的有。
2、（2015江苏江阴长泾片期中）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线交AC 点E ，垂足为点D ，连接BE ，若BE ＝BC ，则∠EBC 的度数为.3、（2014萝岗区期末）如图，等腰三角形ABC 中，AB=AC=12，∠ABC=30°，那么底边上的高AD=_______。
4、（2014白云区华附新世界期中）一个等腰三角形的一边长为6cm ，周长为20cm ，求其他两边的长。
5、如图，在△ABC 中，点D 在BC 上，并且AB=AC=BD ，AD=CD ，求∠C 的度数。
6、（2014白云石井片区期中）如图，已知在△ABC 中，AB=AC ，D 为BC 边的中点，过点DABCDE作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F 。
（1）求证：DE=DF ；（2）若∠A=60°，BE=1，求△ABC 的周长。
7、如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AC 和AB 上的一点，BD 与CE 交于点O ，给出下列四个条件：①∠=∠EBO DCO ；②∠=∠BEO CDO ；③BE CD =；④OB OC =。
（1）上述四个条件中，哪两个条件可以判定∆ABC 是等腰三角形（用序号写出所有的情形）； （2）选择（1）小题中的一种情形，证明△ABC 是等腰三角形。
8、（2014海珠区期中）在等边△ABC 中，点E 在边AB 上，点D 在CB 的延长线上，且ED=EC, (1) 当点E 为AB 的中点时，如图1，证明DB=AE(2) 当点E 在AB 上运动时，如图2，猜想(1)中的结论是否还成立？证明你的猜想课后作业一、解答题1、已知：如图，在△ABC中，AB =BC，∠ABC=90．F为AB延长线上一点，点E在BC上，BE = BF，连接AE、EF和CF．（1）求证：AE CF=；（2）若∠CAE=30，求∠EFC的度数．2、（2014白云区华附新世界期中）在△ABC中，AB=AC，BC=BD=ED=EA．求A∠．3、如图,在等边△ABC中,分别取点D,E,F,使AD=BE=CF.求证：△DEF是等边三角形4、已知：△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC的中点FECBA（1）如图，E、F分别是AB，AC上得点，且BE=AF，求证：△DEF为等腰直角三角形。