等腰三角形的性质定理和判定定理

综合应用题:
例3.已知:如图,ＡC和BD相交于点O，AＢ∥CD，OA=ＯＢ,求证：OC=OD
证明:∵AB∥CD(已知）
∴∠A=∠Ｃ，∠Ｂ=∠Ｄ(两直线平行,内错角相等)
∵OA＝OB(已知）
∴∠A=∠B（等边对等角）
∴∠C=∠D(等量代换）
∴OC=OD（等角对等边)
例４．如图,在四边形AＢＤC中,AB＝２AC，∠1=∠2，ＤA＝DB,试判断DC与AＣ的位置关系，并证明你的结论。
求证：BD＝CE
证明：∵BD，CE是△ABC的中线
∴AE＝ AB,AD= AC
∵AＢ＝AC
∴AE＝AＤ
在△AＢＤ和△ACE中
∴△ABD≌△ACE（SAS）
∴BＤ＝CE(全等三角形的对应边相等）
说明:这是一个证明文字叙述的几何命题的题目，做这类题时首先要分清题设，结论，画出草图,结合图形写出：已知、求证、然后再证明。
（４)定理的作用：证明同一个三角形中的边相等。
说明：①本定理的证明还有其他证明方法（如作顶角的平分线)。
②证明一个三角形是等腰三角形的方法有两种:1、利用定义2、利用定理。
【典型例题分析】
基础知识应用题：
例１.如图，已知P、Ｑ是△ABC边BC上两点，且ＢP＝PQ=AＰ=AQ＝QＣ,求∠ＢＡC的度数。
解:∵AP=PQ＝ＡQ(已知）
∴△ＡPQ是等边三角形（等边三角形的定义)
∴∠AＰQ=∠AＱＰ＝∠PＡQ=60°(等边三角形的性质)
∵ＡP=BP(已知)
∴∠PＢＡ＝∠PAB(等边对等角)
又∠APＱ=∠PＡＢ+∠PBA=6０°
∴∠ＰBA=∠PAＢ=30°
同理∠ＱＡC=30°
∴∠BAC＝∠PAB+∠PAQ+∠QＡC=３0°+60°+30°＝1２0°
∴△ACＮ≌MCB(SAＳ)
∴AN=BM
（２）由(1)中△ACN≌△ＭCB
∴∠ANC＝∠MＢＣ
在△CＥN和△CFB中
∴△ＣEN≌△ＣFB（ＡSA）
∴CE=CＦ
又∵∠ECF=60°
∴△ＣEF为等边三角形
例7.下面是数学课堂的一个学习片断,阅读后,请回答下面的问题:
学习等腰三角形有关内容后，苏老师请同学们交流讨论这样一个问题：“已知,等腰三角形ABC的角A等于３0°，请你求出其余两角。”同学们经片刻的思考与交流后,李明举手讲:“其余两角30°和１20°，”卫华同学说:“其余两角是75°和75°”还有一些同学也提出了不同的看法……
知识3：等腰三角形的判定定理
（1)文字语言:如果一个三角形的两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简写为“等角对等边”)
（２）符号语言:在△ＡBC中
∵∠Ｂ=∠C∴ＡＢ=AC
(3）证明：过A作AD⊥BC于Ｄ,则∠ADB=∠AＤC＝９０°。
在△ABＤ和△ACＤ中
∴△ABD≌△ACD(AAS)
∴AB=AC
等腰三角形的性质定理和判定定理
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一.本周教学内容:
等腰三角形的性质和判定
二.教学目标:
(一）知识与技能:
（1）掌握等腰三角形的性质定理和判定定理，并会灵活运用。
∠BED+∠DＥＦ+∠ＦＥＣ=180°(平角性质)
∠B=∠DEF(已知）
∴∠ＢＤE＝∠FEC(等角的补角相等)
在△BＥＤ和△CFE中
∠BDE=∠FEC中(已证)
BD=ＣＥ(已知）
∠B=∠Ｃ（已知）
∴△BＥD≌△ＣFＥ(ASA）
∴DE=ＥF（全等三角形对应边相等)
∴△DＥＦ是等腰三角形（等腰三角形定义)
（2)符号语言:如图,在△AＢC中，因为AB＝AC，所以∠B＝∠Ｃ
(3）证明:取BC的中点Ｄ，连接ＡＤ
在△ABD和△ＡCＤ中
∴△AＢD≌△ACＤ(SSＳ）
∴∠B=∠Ｃ（全等三角形对应角相等)
（4)定理的作用:证明同一个三角形中的两个角相等。
知识点２:等腰三角形性质定理2
（1）文字语言:等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线,底边上的高,互相重合（简称“三线合一”）
证法一:证明：作ＤE⊥ＡＢ于Ｅ
∵DA＝DB
DE⊥AB
∴AE=BE=
∵AB=2AＣ
∴AE=AC
在△AED和△ACＤ中
∴△ＡED≌△ACD
∴∠C＝∠AED=９0°
∴DC与AC的位置关系为：DC⊥AC
证法二:证明：延长AC到F,使CF=AC,连结DF
∵AB=2AC，ＡF=２AC
∴AB=AＦ
在△ABD和△AFD中
（2）能用上述结论进行分析与说理，进行初步的逻辑思维训练,形成一定的推理能力。
(二)情感态度与价值观：
通过等腰三角形性质定理和判定定理的证明体现数学的应用价值。
三.重点、难点:
重点是等腰三角形的性质定理和判定定理
难点是利用定理解决实际问题
四.教学过程:
(一）知识梳理
知识点１:等腰三角形的性质定理1
（1)文字语言:等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”)
解答此类题的步骤如下:
（１）利用等边对等角根据已知角的度数求另一个角的度数。
（2）利用三角形内角和定理,确定等量关系,借助等式或方程求解。
例2.已知：如图,在△AＢC中,∠B＝∠C,D、Ｅ、F分别为AB，BＣ，ＡC上的点,且BD=CE,∠ＤEＦ＝∠B。
求证:△DEF是等腰三角形。
证明：∵∠B+∠BＤE＋∠BED=180°（三角形内角和定理）
(2）符号语言：
∵AB=AＣ∵ＡＢ=AC∵AB=ＡC
∠1=∠2 AD⊥BCBD=DC
∴AD⊥BC,ＢD=DC∴∠1=∠2∴∠1=∠2
ＢD=DCAD⊥BC
(3）定理的作用:可证明角相等，来自段相等或垂直。说明:在等腰三角形中经常添加辅助线,虽然“顶角的平分线,底边上的高、底边上的中线互相重合,如何添加要根据具体情况来定,作时只作一条,再根据性质得出另两条”。
∴△AＢD≌△AＦＤ
∴DＦ=DB
∵DＡ=DB
∴DＡ=DＦ
又∵AC＝CF
∴DC⊥ＡＦ
说明：法一是利用了“截长法”即在长线段AB上截取AＥ= AＢ
法二是利用了“补短法”即在短线段AＣ上补足ＡF=AB，从而达到解决问题的目的。
例5．求证:等腰三角形两腰上的中线相等
解：已知：如图所示,在△ABC中,AB=ＡＣ，BD,CＥ是△ＡＢC的中线
例6．如图,点C为线段AB上的一点，△ACＭ,△BCN是等边三角形,AＮ,MC相交于点Ｅ,CN与BＭ相交于点F。
(1）求证AN＝BM
（2)求证△ＣEF为等边三角形
证明：(1）∵△ＡCM，△CBN是等边三角形
∴AC=ＭC,CN=CB，∠ACＭ=∠ＮCB=6０°
∴∠ACN=∠ＢCM＝1２０°
在△ACN和△MCB中