等腰三角形的性质与判定(经典)

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专题01 等腰三角形的性质与判定(十六大题型+跟踪训练)(解析版)

专题01等腰三角形的性质与判定（十六大题型+跟踪训练）题型1：等腰三角形的定义1．用刻度尺测量得出下图（）是等腰三角形．A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】分别量取各三角形的三边长，然后根据等腰三角形两腰相等，进行判断即可．【解析】解：A 中三边长分别为：1.8，2.6，2.9，不是等腰三角形，故不符合要求；B 中三边长分别为：2.2，2.2，2.2，是等腰三角形，故符合要求；C 中三边长分别为：3.4，3.2，2，不是等腰三角形，故不符合要求；D 中三边长分别为：3.3，1.8，3.7，不是等腰三角形，故不符合要求；故选：B ．【点睛】本题考查了等腰三角形的定义．解题的关键在于熟练掌握等腰三角形两腰相等．2．在ABC 中，若AB BC =，则ABC 是（）A ．不等边三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形【答案】D【分析】由等腰三角形的定义：有两边相等的三角形，即可判断．【解析】解：在ABC 中，若AB BC =，则ABC 是等腰三角形．故选：D ．【点睛】本题考查等腰三角形，关键是掌握等腰三角形的定义．3．以下列线段为边不能组成等腰三角形的是（）A ．2，2，4B ．6，3，6C ．4，4，5D ．1，1，1【答案】A【分析】根据三角形三边关系和等腰三角形的判定对所给的四个选项逐一判断、解析即可．【解析】解：A ．∵224+=，∴以2，2，4为边不能组成三角形，更不可能组成等腰三角形，故此选项符合题意；B．∵以6，3，6为边能组成三角形，且有两边相等，∴以6，3，6为边能组成等腰三角形，故此选项不符合题意；C．∵以4，4，5为边能组成三角形，且有两边相等，∴以4，4，5为边能组成等腰三角形，故此选项不符合题意；D．∵以1，1，1为边能组成三角形，且有两边相等，∴以1，1，1为边能组成等腰三角形，故此选项不符合题意．故选：A．【点睛】本题考查三角形的三边关系、等腰三角形的判定等知识点及其应用问题．牢固掌握三角形的三边关系、等腰三角形的判定是解题的关键．4．等腰三角形两边长分别是2cm和3cm，则周长是（）A．7cm B．8cm C．7cm或8cm D．条件不足，无法求出【答案】C【分析】分两种情况讨论：①底边为3cm时；②底边为2cm时，分别求解即可得到答案．【解析】解：分两种情况讨论：①底边为3cm时，等腰三角形的周长为3227cm++=；②底边为2cm时，等腰三角形的周长为2338cm++=，∴等腰三角形的周长为7cm或8cm，故选C．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，利用分类讨论的思想解决问题是解题关键．5．已知等腰三角形的一边长为2cm，另一边长为4cm，则它周长是（）A．6cm B．8cm C．10cm D．8cm或10cm【答案】C【分析】根据等腰三角形的性质及三角形的三边关系进行分类讨论，即可得到答案．当AD AC+与BC+即115 22x x x⎛⎫+-+⎪⎝⎭解得：8x=，8，8，5能够组成三角形；当BC BD+与AD+∵BD AC ⊥，∴90ADB ∠=︒，∵46ABD ∠=︒，∴9044A ABD ∠︒-=︒=∠，∵BD AC ⊥，∴90ADB ∠=︒，∵46ABD ∠=︒，∴904644DAB ∠︒=︒-，【分析】根据轴对称的性质，得到ABC 是以AB 和AC 为腰的等腰三角形，再根据对称性可得结果．【解析】解：由题意可得：ABC 是以AB 和AC 为腰的等腰三角形，且不是等边三角形，∴AB AC =，∴ABC 的周长2AB AC BC AB BC =++=+，故选B ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，轴对称图形，解题的关键是根据题意判断出ABC 是等腰三角形．13．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，AC BC =，AD 平分CAB ∠交BC 于D ，DE AB ⊥于E ，若5cm AB =，则DBE 的周长是（）A ．5cmB ．6cmC ．7cmD ．8cm【答案】A 【分析】根据角平分线的定义和性质可得DE CD =，CAD EAD ∠=∠，推出CDA EDA ∠=∠，可得AC AE =，证明再根据等腰直角三角形的性质求出AC BC AE ==，然后求出DBE 的周长AB =，代入数据即可得解．【解析】解：AD 平分CAB ∠，DE AB ⊥，90C ∠=︒，DE CD ∴=，CAD EAD ∠=∠，CDA EDA ∴∠=∠，AC AE ∴=，又AC BC = ，AC BC AE ∴==，DBE ∴△的周长DE BD EB CD BD EB BC EB AE EB AB =++=++=+=+=，5cm AB = ，DBE ∴△的周长5cm =．故选：A ．A ．80︒B 【答案】C 【分析】根据等边对等角可得【解析】解：∵AB AC =∴B C ∠=∠，∵80B ∠=︒，∴80C ∠=︒，∵180A B C ∠+∠+∠=︒∴20A ∠=︒．故选：C ．【点睛】本题考查三角形内角和定理，等腰三角形的性质．解题的关键是掌握三角形的三个内角之和是180°．16．如图，在△ABC 中，AB =AD =DC ，∠C =35°，则∠B 的度数为（）A ．50︒B ．60︒C ．70︒D ．80︒【答案】C 【分析】首先利用等腰三角形的性质求得∠DAC 的度数，然后求得∠BDA 的度数，最后利用等腰三角形的性质求得∠B 的度数．【解析】解：∵AD =DC ，∴∠DAC =∠C ，∵∠C =35°，∴∠DAC =35°，∴∠BDA =∠C +∠DAC =70°，∵AB =AD ，∴∠BDA =∠B =70°．故选：C ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形两底角相等．17．如图，在ABC 中，90BAC ∠= ，AB AC =，点D 在BC 上，且BD BA =，则CAD ∠的度数为（）A ．30︒B ．25︒C ．22.5︒D ．21︒【答案】C 【分析】利用ABC 是等腰直角三角形先求出B ∠，再利用BDA △是等腰三角形求出BAD ∠，最后利用直【答案】50︒/50度【分析】首先根据垂直平分线的性质得到据角的和差计算求解即可．∵80ACB ∠=︒∴803050BCE ACB ACE ∠=∠-∠=︒-︒=︒．故答案为：50︒．【点睛】此题考查了垂直平分线的性质，等边对等角性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点．21．如图，直线a ∥b ，AB AC =，140 ∠=，则∠BAC 的度数是（）A ．100B ．110C ．120D ．130【答案】A 【分析】根据直线a ∥b ，140 ∠=，可知140ACB ∠=∠= ，由AB AC =，可得40ACB ABC ∠=∠= ，利用平行的性质即可求出∠BAC 的值．【解析】解：由题意得，∵直线a ∥b ，140 ∠=，∴140ACB ∠=∠= ，∵AB AC =，∴40ACB ABC ∠=∠= ，∴()180118080100BAC ABC ∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒，故选：A ．【点睛】本题主要考查的是平行线的性质，熟练利用平行线进行角度转化时解题的关键．22．如图，在∠ECF 的边CE 上有两点A 、B ，边CF 上有一点D ，其中BC =BD =DA 且∠ECF =27°，则∠ADF 的度数为（）A ．54°B ．91°C ．81°D ．101°【答案】C【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形外角和内角的关系，逐步推出∠ADF 的度数．【解析】解：∵BC =BD =DA ，∴∠C =∠BDC ，∠ABD =∠BAD ，∵∠ABD =∠C +∠BDC ，∠ECF =27°，∴∠ADF =∠C +∠BAD =3∠ECF =81°．故选：C ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，三角形外角和内角的运用．23．如图，在ABC 中，DE 垂直平分BC ，若6428CDE A ∠=︒∠=︒，，则ABD ∠的度数为（）A ．100︒B ．128︒C ．108︒D ．98︒【答案】A 【分析】直接利用线段垂直平分线的性质结合三角形内角和定理得出答案．【解析】解：∵DE 垂直平分BC ，∴BD =DC ，∴∠BDE =∠CDE =64°，∴∠ADB =180°-64°-64°=52°，∵∠A =28°，∴∠ABD =180°-28°-52°=100°．故选：A ．【点睛】此题主要考查了线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，正确掌握相关定理是解题关键．24．如图，已知D 为ABC 边AB 的中点，E 在AC 上，将ABC 沿着DE 折叠，使A 点落在BC 上的F 处．若70B ∠=︒，则BDF ∠等于（）键．题型5：等边对等角的解答证明26．如图，在ABC 中，AB AC =，点D 、E 都在边BC 上，且BE CD =，求证：AD AE =．【答案】见详解【分析】利用等腰三角形的性质可得B C ∠=∠，再由SAS 证明()SAS ABE ACD ≌△△，从而得AD AE =．【解析】证明：∵AB AC =，∴B C ∠=∠，在ABE 和ACD 中，AB AC B C BE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS ABE ACD ≌△△，∴AD AE =．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．27．如图，,∥DE AB AE 平分DAB ∠，点C 在线段AE 上，AC BC AD ==，求证：AE AB =．【答案】见解析【分析】根据平行和角平分线得出AD DE =，再证△ADE ≌△ACB 即可．【解析】证明：∵AE 平分DAB ∠，∴DAE CAB ∠=∠，∵DE AB ∥，∴E BAE ∠=∠，∵AC BC =，∴B BAE ∠=∠，∴E B ∠=∠,在△ADE 和△ACB 中，E B DAE CAB AD AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADE ≌△ACB ，∴AE AB =．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解题关键是熟练运用等腰三角形的性质得出角相等．28．如图，在ABC 中，AB AC =，点D 在BC 边上，点E 在AC 边上，连接AD ，DE ．已知12∠=∠，AD DE =．（1）求证：ABD △≌DCE △；（2）若3BD =，5CD =，求AE 的长．【答案】（1）见解析；（2）2【分析】（1）根据等边对等角可得：B C ∠=∠，利用全等三角形的判定定理证明即可；（2）根据全等三角形的性质可得5AB DC ==，3CE BD ==，由图形中各边的关系计算即可得出．【解析】（1）证明：∵AB AC =，∴B C ∠=∠，在ABD 和DCE 中，12B C AD DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ABD DCE ≅ ；（2）解：∵ABD DCE ≅ ，∴5AB DC ==，3CE BD ==，∵5AB AC ==，∴532AE AB CE =-=-=．【点睛】题目主要考查全等三角形及等腰三角形的性质，理解题意，结合图形，熟练运用各个性质是解题关键．29．如图，在ABC 中，AB AC =，延长BC 至D ，使得BD AC =，连接AD ，再延长AB 至E ，使得BE CD =，连接DE ．求证：≌BED CDA △△．【答案】见详解【分析】先证明,EBD ACD ∠=∠再根据SAS 判定证明即可．【解析】解：∵在ABC 中，AB AC =，ABC ACB ∴∠=∠，180,180,EBD ABC ACD ACB ∠=︒-∠∠=︒-∠ ,EBD ACD ∴∠=∠BE CD = ，BD AC =，(SAS)BED CDA ≌．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理．题型6：等腰三角形的“三线合一”30．等腰三角形的“三线合一”指的是（）A ．中线，高线，角平分线互相重合B ．顶角的平分线，中线，高线三线互相重合C ．腰上的中线，腰上的高线，底角的平分线互相重合D ．顶角的平分线，底边上的中线及底边上的高线三线互相重合【答案】D【分析】根据等腰三角形的性质直接选取答案即可求解．【解析】解：三线合一，即在等腰三角形中顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线，三条线相互重合．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的三线合一的性质，属于中考基础题．33．下列说法错误的是（）A ．等腰三角形两腰上的高相等B ．等腰三角形两腰上的中线相等C ．等腰三角形两底角的平分线相等D ．等腰三角形高、中线和角平分线重合【答案】D【分析】根据等腰三角形的性质依次判断．【解析】解：A 、等腰三角形两腰上的高相等，故正确；B 、等腰三角形两腰上的中线相等，故正确；C 、等腰三角形两底角的平分线相等，故正确；D 、等腰三角形底边上的高、底边上的中线和顶角的角平分线重合，故错误；故选：D ．【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键．34．已知点P 到ABC 的两边AB ，AC 所在直线的距离相等，且PB PC =，则下列命题为假命题的是（）A ．若点P 在边BC 上，则AB AC=B ．若点P 在ABC 内部，则AB AC=C ．若点P 在ABC 外部，则AB AC=D ．若AB AC =，则点P 可能在边BC 上，可能在ABC 内部，也可能在ABC 外部【答案】C【分析】选项A 根据等腰三角形的性质判断；当点P 在ABC 内部时，分别作PE ，PF 垂直AB ，AC 于点E ，F ，先证明Rt Rt (HL)BEP CFP ≌ ，再证明(AAS)ABP ACP ≌可判断选项B ；若AB AC =，都有(SSS)ABP ACP ≌，可判断选项D ；选项C 有两种情况，具体见详解．【解析】∵点P 到ABC 的两边AB ，AC 所在直线的距离相等，∴点P 在BAC ∠的角平分线所在的直线上，即BAP CAP ∠=∠，如图1，当点P 在边BC 上时，即P 为BC 的中点，根据等腰三角形的“三线合一”，得到AB AC =，故选项A 是真命题；如图2，当点P 在ABC 内部时，分别作PE ，PF 垂直AB ，AC 于点E ，F ，,PE PF PB PC == ，Rt Rt (HL)BEP CFP ≌ ，得到EBP FCP ∠=∠，∵BAP CAP ∠=∠，AP AP =，(AAS)ABP ACP ∴ ≌，AB AC ∴=；故选项B 是真命题；若AB AC =，都有(SSS)ABP ACP ≌，故选项D 是真命题；当点P 在ABC 外部时，如图3所示，AB 与AC 不一定相等，故选：C ．【点睛】此题考查了等腰三角形的判定与性质以及直角三角形全等的判定与性质．本题的关键是注意数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．题型7：等腰三角形的“三线合一”有关的最值问题35．如图，在ABC 中，AB AC =，=4BC ，面积是10；AB 的垂直平分线ED 分别交AC ，AB 边于E 、D 两点，若点F 为BC 边的中点，点P 为线段ED 上一动点，则PBF △周长的最小值为（）A ．7B ．9C ．10D ．14【答案】A 【分析】连接AP ，根据线段垂直平分线性质得AP BP =，PBF △周长==BP PF BF AP PF BF AF BF ++++≥+，再根据等腰三角形的性质和三角形的面积求出AF ，BF ，即可得出答案．【解析】解：如图所示．连接AP ，∵DE 是AB 的垂直平分线，A．①②③【答案】D【分析】根据三线合一得到A．8cm B．【答案】B【分析】根据等腰三角形三线合一的性质，得【答案】见解析【分析】过点A 作AM BC ⊥于点M ，由等腰三角形的性质得出2BAC BAM ∠=∠，D E ∠=∠，由三角形外角的性质得出2BAC D ∠=∠，即可推出BAM D ∠=∠，最后根据平行线的判定和性质即可证明DE BC ⊥．【解析】证明：如图，过点A 作AM BC ⊥于点M ．AB AC = ，2BAC BAM ∠∠∴=，AD AE = ，D E ∴∠=∠，2BAC D E D ∠∠∠∠∴=+=，22BAC BAM D ∠∠∠∴==，BAM D ∠∠∴=，DE AM ∴∥，AM BC ⊥ ，DE BC ∴⊥．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，平行线的判断和性质，正确作出辅助线，构建等腰三角形三线合一的性质是解题的关键．42．如图，在ABC 中，AB AC =，40BAC ∠︒=，AD 是BC 边上的高．线段AC 的垂直平分线交AD 于点E ，交AC 于点F ，连接BE ．(1)试问：线段AE 与BE 的长相等吗？请说明理由；(2)求EBD ∠的度数．【答案】(1)相等，理由见解析(2)50︒【分析】（1）连接CE ，根据中垂线的性质得到,AE CE BE CE ==，即可得到AE BE =；（2）利用等边对等角，求出ABC ∠的度数，三线合一，求出BAE ∠的度数，等边对等角得到ABE ∠的度数，利用EBD ABD ABE ∠=∠-∠，即可得解．【解析】（1）解：线段AE 与BE 的长相等，理由如下：连接CE ，∵AB AC =，AD 是BC 边上的高，∴BD CD =，∴AD 为BC 的垂直平分线，∵点E 在AD 上，∴BE CE =，又∵线段AC 的垂直平分线交AD 于点E ，交AC 于点F ，∴AE CE =，∴AE BE =；（2）∵AB AC =，40BAC ∠︒=，【答案】见解析【分析】作EF AC ⊥于点F EA EC = ，12AF FC AC ∴==．2AC AB = ，A．3【答案】A【分析】利用等腰三角形三线合一解题即可．∠=【解析】解：∵B【解析】解：如图，在AB 上截取BE BC =，连接DE ，∵BD 平分ABC ∠，∴ABD CBD ∠=∠，在CBD △和EBD △中，CB BE CBD DBE BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴CBD △≌EBD △()SAS ，∴CDB BDE ∠=∠，C DEB ∠=∠，∴2CDE CDB ∠=∠，∵2C CDB ∠=∠，∴CDE DEB C ∠=∠=∠，∴ADE AED ∠=∠，∴AD AE =，∴ABC 的周长＝27AD AE BE BC CD AB AB CD ++++=++=，故选：C ．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质，注意掌握添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．题型11：等角对等边证明等腰三角形的解答证明48．已知：如图，在ABC 中，点D 在CA 边的延长线上，AE 平分DAB ∠，AE BC ∥．求证：ABC 为等腰三角形．【答案】见解析【分析】首先依据平行线的性质证明2B ∠=∠，1C ∠=∠，然后结合角平分线的定义可证明B C ∠=∠，故此可证明ABC 为等腰三角形．【解析】证明：∵AE BC ∥，∴2B ∠=∠，1C∠=∠∵AE 平分DAB ∠，∴12∠=∠∴B C∠=∠即ABC 为等腰三角形．【点睛】本题主要考查的是等腰三角形的判定，熟练掌握平行线的性质及等腰三角形的判定定理是解题的关键．49．如图，在ABD △和ACD 中，AB AC =，BD CD =．(1)求证：ABD ACD △≌△；(2)过点D 作∥DE AC 交AB 于点E ，求证：AED △是等腰三角形．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据SSS 证明三角形全等即可；（2）证明EAD ADE ∠=∠即可证明AE DE =，进而得到AED △是等腰三角形．【解析】（1）证明：在ABD △和ACD 中，AB AC AD AD DB DC =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴()SSS ABD ACD ≌；（2）证明：∵ABD ACD △≌△，∴∠=∠DAB DAC ，∵∥DE AC ，∴ADE DAC ∠=∠，∴EAD EDA ∠=∠，∴AE DE =，∴AED △是等腰三角形．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法．50．已知ABC 中，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，且2B C ∠=∠．(1)如图1，求证：AB BD AC +=；(2)如图2，延长CB 至点E ，使BE AB =，连接AE ，若36C ∠=︒，直接写出图中所有的等腰三角形（ABC 和ADE V 除外）．【答案】(1)证明见解析(2)ABE 是等腰三角形，ACE △是等腰三角形，ADC △是等腰三角形，ABD △是等腰三角形；【分析】（1）如图所示，在AC 上取一点E ，使得AE AB =，连接DE ，证明()SAS ABD AED ≌△△得到BD ED B AED ==，∠∠，根据三角形外角的性质结合已知条件证明EDC C ∠=∠，得到ED EC BD ==，即可证明AC AE CE AB BD =+=+；（2）根据等腰三角形的判定条件结合三角形内角和定理进行推理即可．【解析】（1）证明：如图所示，在AC 上取一点E ，使得AE AB =，连接DE ，∵AD 平分BAC ∠，∴BAD EAD ∠=∠，又∵AB AE AD AD ==，，∴()SAS ABD AED ≌△△，∴BD ED B AED ==，∠∠，∵2B C ∠=∠，∴2AED C ∠=∠，∵AED C EDC ∠=∠+∠，∴EDC C ∠=∠，∴ED EC BD ==，∴AC AE CE AB BD =+=+；（2）解：∵BE AB =，∴BEA BAE ∠=∠，ABE 是等腰三角形，∵BEA BAE ABC +=∠∠∠，∴2ABC BEA =∠∠，又∵272ABE C ==︒∠∠，∴36BEA BAE C ===︒∠∠∠，∴AE AC =，即ACE △是等腰三角形，∵18072BAC C ABC =︒--=︒∠∠∠，AD 平分BAC ∠，∴36BAD CAD ∠=∠=︒，∴36DAC C ∠=∠=︒，∴72ADB C DAC =+=︒∠∠∠，ADC △是等腰三角形，∴72ADB ABD ∠∠==︒，∴ABD △是等腰三角形．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义等，灵活运用所学知识是解题的关键．题型12：等角对等边证明边长相等、求边长51．如图，已知12∠=∠，B C ∠=∠，不正确的等式是（）A ．AB AC=B ．BAE CAD ∠=∠C ．BE DC =D ．BD DE=【答案】D 【分析】根据等腰三角形的判定和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．【解析】解：∵B C ∠=∠，∴AB AC =，故A 选项正确，不符合题意；在ABE 和ACD 中，12B C AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS ABE ACD ≌，∴BE CD =，BAE CAD ∠=∠，∵BE CD =，∴BE DE CD DE -=-，∴BD CE =，故B 选项、C 选项正确，D 选项错误，故选：D ．【点睛】本题考查等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，掌握等腰三角形的判定是解题的关键．52．如图，ABC 中，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，过点D 作DE BC ∥交AB 于点E ，若12AB =，7DE =，则AE 的长为（）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】A【分析】由角平分线的定义和平行线的性质，得到ABD EDB ∠=∠，则7BE DE ==，即可求出答案．【解析】解：∵在ABC 中，BD 平分ABC ∠，∴ABD CBD ∠=∠，∵DE BC ∥，∴CBD EDB ∠=∠，∴ABD EDB ∠=∠，∴7BE DE ==，∴1275AE AB BE =-=-=；故选：A ．【点睛】本题考查了角平分线的定义和平行线的性质，解题的关键是掌握所学的知识进行计算．53．如图，点P 是AOB ∠的角平分线OC 上一点，点Q 是OA 上一点，且PQ OB ∥，若2PQ =，则线段OQ 的长是（）A ．1.8B ．2.5C ．3D ．2【答案】D 【分析】利用角平分线的定义以及平行线的性质推出QPO QOP ∠=∠，据此即可求解．【解析】解：∵点P 是AOB ∠的角平分线OC 上一点，∴QOP POB ∠=∠，∵PQ OB ∥，∴QPO POB ∠=∠，∴QPO QOP ∠=∠，∴2OQ PQ ==，故选：D ．【点睛】本题考查了平行线的性质，等角对等边，掌握“两直线平行内错角相等”是解题的关键．54．如图，在ABC 中，BE 平分ABC ∠，DE BC ∥．若8DE =，5AD =，则AB 的长为（）A ．13B ．12C ．10D ．9【答案】A 【分析】先根据平行线的性质和角平分线的定义证明DBE DEB ∠=∠，得到8DE DB ==，则13AB AD BD =+=．【解析】解：∵BE 平分ABC ∠，∴DBE CBE ∠=∠，∵DE BC ∥，∴DEB CBE ∠=∠，∴DBE DEB ∠=∠，∴8DE DB ==，∴8513AB AD BD =+=+=，故选A ．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定，证明DBE DEB ∠=∠是解题的关键．55．如图，在ABC 中，45AB AC ==，，ABC ∠和ACB ∠的平分线交于点E ，过点E 作MN BC ∥分别交AB AC ，于M ，N ，则AMN 的周长为（）A ．8B ．9C ．10D ．不确定【答案】B 【分析】根据角平分线的定义和MN BC ∥可以得出MB ME =，NC NE =，继而可以得出AMN 的周长AB AC =+，从而可以得出答案．【解析】解：∵MN BC ∥，∴∠∠=MEB EBC ．∵BE 平分ABC ∠，∴MBE EBC =∠∠，∴MEB MBE ∠=∠．∴MB ME =．同理，NC NE =，∴9AMN C AM ME EN AN AB AC =+++=+=△．故选：B ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等角对等边，利用角平分线及平行线的性质得出MEB MBE ∠=∠是解题的关键.56．如图，ABC DEF ≌△△，点E 在AC 上，B ，F ，C ，D 四点在同一条直线上．若40,35A CED ∠=︒∠=︒，则下列结论正确的是（）A ．,EF EC AB FC==B ．,EF EC AE FC ≠=C ．,EF EC AE FC=≠D ．,EF EC AE FC≠≠【答案】C 【分析】根据全等三角形的性质得到ACB DFE ∠=∠，40D A AC DF ==︒=∠∠，，则EF EC =，由于D CED ∠≠∠，则CE CD ≠，则AE CF ≠，由此即可得到答案．【解析】解：∵ABC DEF ≌△△，∴ACB DFE ∠=∠，40D A AC DF ==︒=∠∠，，∴EF EC =，∵4035D CED ∠=︒≠∠=︒，∴CE CD ≠，∴AE CF ≠，∴四个选项中只有C 选项符合题意，故选C ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，等腰三角形的判定，熟知全等三角形的性质是解题的关键．57．如图，在ABC 中，AB AC =，AD BC ⊥于点D ．(1)若37B ∠=︒，求CAD ∠的度数；(2)若点E 在边AC 上，EF AB ∥交AD 的延长线于点F ．求证：AE FE =．【答案】(1)53︒(2)见解析【分析】（1）根据等腰三角形底角相等，再根据直角三角形的性质即可求得CAD ∠；（2）根据两直线平行内错角相等，再根据AD 是BAC ∠的角平分线即可得到DAC F ∠=∠，从而证得AE FE =．【解析】（1）解：AB AC = ，AD BC ⊥，37B C ∴∠=∠=︒，90ADC ∠=︒，9053CAD C ∴∠=︒-∠=︒；（2）证明：E F A B ∥ ，BAF F ∴∠=∠，AB AC = ，AD BC ⊥，AD ∴是BAC ∠的角平分线，BAF DAC ∴∠=∠，DAC F ∴∠=∠，AE FE ∴=．【点睛】本题考查等腰三角形的性质、平行线的性质、直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形、平行线、直角三角形的相关知识．58．如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，E 是AB 的中点，连接DE 并延长交CB 的延长线于点F ，点G 在边BC 上，且GDF ADF ∠=∠．连接EG ，判断EG 与DF 的位置关系，并说明理由．【答案】EG 与DF 的位置关系是EG DF ⊥；理由见解析【分析】证明()AAS ADE BFE ≌△△，得出DE EF =，证明GDF BFE ∠=∠，得出GD GF =，根据垂直平分线的判定得出GE 垂直平分DF ，即可得出答案．【解析】解：EG 与DF 的位置关系是EG DF ⊥；理由见如下：∵AD BC ∥，∴ADE BFE ∠=∠，E 是AB 的中点，AE BE ∴=，又∵FEB DEA ∠=∠，∴()AAS ADE BFE ≌△△，DE EF ∴=，∵GDF ADF ∠=∠，ADE BFE ∠=∠，∴GDF BFE ∠=∠，GD GF ∴=，DE EF = ，∴GE 垂直平分DF ，∴EG DF ⊥．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，垂直平分线的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，得出ADE BFE V V ≌．题型13：直线上与已知两点组成等腰三角形的点59．如图，ABC ，点P 为直线AC 上的一个动点，若使得ABP 是等腰三角形．则符合条件的点P 有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【分析】根据等腰三角形的判定定理即可得到结论．【解析】解：作AB 垂直平分线与AC 的交点，可得22P A P B =，以A 为圆心，AB 为半径画圆，交AC 有两个交点，13P A AB P A ==，以B 为圆心，AB 为半径画圆，交AC 有一个交点，4P B AB =，故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定来解决实际问题，其关键是根据等腰三角形的判定定理解答．60．如图，线段AB 的一个端点B 在直线m 上，直线m 上存在点C ，使ABC 为等腰三角形，这样的点C 有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】C 【分析】以A 为圆心，以BA 的长为半径画弧与直线m 交于点D ，此时BA AD =，同理以B 为圆心以BA 的长为半径画弧与直线m 交于E 、C ，此时BC BA =，BE BA =，再作BA 的垂直平分线与直线m 交于点F ，此时BF AF =，据此可得答案．【解析】解：如图所示，以A 为圆心，以BA 的长为半径画弧与直线m 交于点D ，此时BA AD =，同理以B 为圆心以BA 的长为半径画弧与直线m 交于E 、C ，此时BC BA =，BE BA =，再作BA 的垂直平分线与直线m 交于点F ，此时BF AF =，∴直线m 上存在4个点C ，使ABC 为等腰三角形，故选：C ．【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，线段垂直平分线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握等腰三角形的定义．61．如图，直线a b ，相交于点O ，150∠=︒，点A 在直线a 上，直线b 上存在点B ，使以点O A B 、、为顶点的三角形是等腰三角形，这样的B 点有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D 【分析】分别以点O A B 、、为顶点的等腰三角形有3种情况，分别为OA OB =，OA AB =，OB AB =，从这三方面考虑点B 的位置即可；【解析】解：当OA OB =时；以点O 为圆心，OA 的长为半径作圆，与直线b 在O 点两侧各有一个交点，此时B 点有2个；当OA AB =时；以点A 为圆心，OA 的长为半径作圆，与直线b 有一个交点，此时B 点有1个；当OB AB =时；作OA的垂直平分线，与直线b有一个交点，此时B点有1个；∴满足条件的B点总共有4个；故选：D．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，两条边相等的三角形为等腰三角形，因此要注意分类讨论，由每种情况的特点选择合适的方法确定点B是解题的关键．题型14：等腰三角形有关的尺规作图62．如图，给出了尺规作等腰三角形的三种作法，认真观察作图痕迹，下面的已知分别对应作图顺序正确的是（）①已知等腰三角形的底边和底边上的高；②已知等腰三角形的底边和腰；③已知等腰三角形的底边和一底角．A．①②③B．②①③C．③①②D．②③①【答案】B【分析】根据等腰三角形的性质即可求解．【解析】解：图形①的作图依据是“②已知等腰三角形的底边和腰”；图形②的作图依据是“①已知等腰三角形的底边和底边上的高”；图形③的作图依据是“③已知等腰三角形的底边和一底角”．故选：B ．【点睛】本题主要考查尺规作图等腰三角形，掌握等腰三角形的性质，作图的方法是解题的关键．63．如图（1），锐角ABC 中，AB BC AC >>，要用尺规作图的方法在AB 边上找一点D ，使ACD 为等腰三角形，关于图（2）中的甲、乙、丙三种作图痕迹，下列说法正确的是（）A ．甲、乙、丙都正确B ．甲、丙正确，乙错误C ．甲、乙正确，丙错误D ．只有甲正确【答案】A【分析】根据圆、线段垂直平分线、角的尺规作图进行分析即可．【解析】解：甲图：以点A 为圆心，AC 为半径作弧，交AB 于点D ，∴AD AC =，∴ACD 为等腰三角形，乙图：作AC 的垂直平分线，交AB 于点D ，∴AD DC =，∴ACD 为等腰三角形，丙图：∵所作的A DCA ∠=∠，∴AD DC =，∴ADC △是等腰三角形，∴甲、乙、丙都正确，故选A ．【点睛】本题考查等腰三角形的定义、尺规作图−圆、角、垂直平分线，熟练掌握等腰三角形的判定与圆、角和线段垂直平分线的基本作图的方法是解题的关键．64．已知锐角40AOB ∠=︒，如图，按下列步骤作图：①在OA 边取一点D ，以O 为圆心，OD 长为半径画 MN，交OB 于点C ．②以D 为圆心，DO 长为半径画 GH， GH 与OB 交于点E ，连接DC 并延长，使DC 的延长【答案】见解析【分析】以AB为腰和底两种情况作图即可．【解析】如图，以AB为腰，AO为对称轴；如图，以AB为底作等腰三角形，CM为对称轴；【点睛】本题考查利用网格作图，掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键．66．图1，图2均是44⨯的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A，B，C均为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中找一格点M，按下列要求作图：=；(1)在图1中，连接MA，MB，使MA MB==．(2)在图2中，连接MA，MB，MC，使MA MB MC【答案】(1)见解析(2)见解析=；【分析】（1）根据勾股定理得MA MB==．（2）连接AC，取AC中点M，MA MB MC【解析】（1）解：如图1正确画图．（2）如图2正确画图．【点睛】本题主要考查尺规作图，熟练根据题意作出符合题意的图形是解题的关键．67．如图，在每个小正方形的边长均为方形的顶点上．(1)在方格纸中画出以AB为底的等腰ABC(2)在方格纸中画出以DE为一边的等腰DEF直接写出DC的长度．【答案】(1)图见解析；(2)图见解析，22DC ．（2）如图所示，DEF 即为所求；CD =【点睛】本题考查的是作图：应用与设计作图，根据题意找出符合条件的点是解题的关键．题型16：等腰三角形的性质和判定综合题68．如图，在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB 90EDF ∠=︒，下列结论：①BED AFD △≌△积，则1211142S S S ≤≤；④EF AD =；所有正确的结论是（。

第11讲等腰三角形的性质

等腰三角形的性质与判定（一）等腰三角形等腰三角形解释定义有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的边的叫做腰，另外一条边叫做底边．性质（1）两腰相等、两底角相等．（2）“三线合一”，即顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．（3）是轴对称图形，底边的垂直平分线是它的对称轴．判定（1）有两条边相等的三角形是等腰三角形．（2）有两个角相等的三角形是等腰三角形．类型一、等腰三角形中有关度数的计算题如图，在△ABC 中，D 在BC 上，且AB ＝AC ＝BD ，∠1＝30°，求∠2的度数.举一反三：【变式】已知：如图，D 、E 分别为AB 、AC 上的点，AC ＝BC ＝BD ，AD ＝AE ，DE ＝CE ，求∠B 的度数．类型二、等腰三角形中的分类讨论（1）等腰三角形的一边长为10，另一边长为4，则这个等腰三角形的周长是__________．（2）等腰三角形的一边长为6cm ，且周长为16cm ，则这个三角形的底边为_________．（3）等腰三角形两内角的度数之比为1:4，则该三角形底角的度数为__________．（4）等腰三角形一个角为30 ，则这个三角形腰上的高与底边所夹角的度数为_____．知识导航例题1例题2 典题精练（5）等腰三角形一腰上的中线将三角形的的周长分为两部分，分别是12与15，则腰长为__________．举一反三：【变式1】（1）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45︒，则这个等腰三角形的顶角为______．（2）已知BD 是等腰ABC △一腰上的高，且50ABD ∠=︒，则ABC △的底角为_______．【变式2】（1）已知一个等腰三角形的两条边分别为3cm 和4cm ，则这个三角形的周长为______．（2）等腰三角形的一个外角为100︒，则顶角为__________．（3）等腰三角形一腰上的中线将它们的周长分为6和12两部分，则腰长为________．（4）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40︒，则这个等腰三角形的底角为______．类型三、等腰三角形的性质及其运用如图，△ABC 是等腰三角形，D ，E 分别是腰AB 及AC 延长线上的一点，且BD=CE ，连接DE 交底BC 于G ．求证GD=GE ．举一反三：【变式1】如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线,E 是AD 上一点，且BE ＝AC ，延长BE 交AC 于F.求证：AF ＝EF.【变式1】如图，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，∠A 的平分线AD 交BC 于点D ，过点B 作BE ⊥AD 于点E.求证：BE ＝12AD.例题3例题4如图，已知△ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F．（1）求证：△ABE≌△CAD；（2）求∠BFD的度数．举一反三：【变式1】如图，将一个钝角△ABC（其中∠ABC=120°）绕点B顺时针旋转得△A1BC1，使得C 点落在AB的延长线上的点C1处，连接AA1．（1）写出旋转角的度数；（2）求证：∠A1AC=∠C1．【变式2】如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上的一点，以CD为边作等边三角形CDE，使点E、A在直线DC的同侧，连接AE．求证：AE∥BC．【变式3】如图1，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上．（1）求证：BE=CE；（2）如图2，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，∠BAC=45°，原题设其它条件不变．求证：△AEF≌△BCF．（1）如图，ABC △中，AD 是BC 边上的中线，又是BC 边上的高，求证：ABC △是等腰三角形．（2）如图，ABC △中，AD 是BAC ∠的角平分线，AD 是BC 边上的高，求证：ABC △是等腰三角形．（3）如图，ABC △中，AD 是BAC ∠的角平分线，AD 是BC 边上的中线，求证：ABC △是等腰三角形．D C B A举一反三：【变式1】如图：已知等边ABC △中，D 是AC 的中点，E 是BC 延长线上的一点，且CE CD =，DM BC ⊥，垂足为M ，求证：M 是BE 的中点．【变式2】如图，等边三角形ABC 中，E ，D 分别在AC ，BC 上，且AE DC =，求AD 与BE 所夹锐角的度数．一.选择题1. 已知一个等腰三角形两边长分别为5，6，则它的周长为( )A ．16B ．17C ．16或17D ．10或122.已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为（）A ．50°B ．80°C ．50°或80°D ．40°或65°3. 将两个全等的且有一个角为30°的直角三角形拼成如图所示形状，两条长直角边在同一条直线上，则图中等腰三角形的个数是（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个3题图 5题图 6题图例题5课堂巩固 PD AB C EBA M C E D4. 已知实数x ，y 满足|x −4|+(y −8)2＝0，则以x ，y 的值为两边长的等腰三角形的周长是（）A ．20或16B ．20C ．16D ．以上答案均不对5. 如图，D 是AB 边上的中点，将ABC ∆沿过D 的直线折叠，使点A 落在BC 上F 处，若50B ∠=︒，则BDF ∠度数是（）A ．60° B．70° C．80° D．不确定6. 如图，△ABC 中，D 为AB 上一点，E 为BC 上一点，且AC=CD=BD=BE ，∠A=50°，则∠CDE 的度数为（）A ．50°B ．51°C ．51.5°D ．52.5°二.填空题7．如图，△ABC 中，D 为AC 边上一点，AD ＝BD ＝BC ，若∠A ＝40°，则∠CBD ＝_____°． 7题图 8题图 9题图8.如图，已知直线l 1∥l 2，将等边三角形如图放置，若∠α=40°，则∠β等于．9. 如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠C ＝90°，BD 平分∠CBA 交AC 于点D ，DE ⊥AB 于E ．若△ADE 的周长为8cm ，则AB ＝_________cm ．10.在等腰△ABC 中，AB=AC ，中线BD 将三角形的周长分成了15和18两个部分，则底边长BC= ．11. 如图，AE ∥BD ，C 是BD 上的点，且AB=BC ，∠ACD=110°，则∠EAB=______度．12. 如图，△ABC 的周长为32，且AB=AC ，AD ⊥BC 于D ，△ACD 的周长为24，那么AD 的长为 .11题图 12题图三.解答题13．已知：如图，ΔABC 中，AB ＝AC ，D 是AB 上一点，延长CA 至E ，使AE ＝AD ．试确定ED 与BC 的位置关系，并证明你的结论．14. 如图，DE 是△ABC 边AB 的垂直平分线，分别交AB 、BC 于D 、E ．AE 平分∠BAC ．设∠B=x ，∠C=y （单位：度）．请讨论当△ABC 为等腰三角形时，∠B 为多少度？15.如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 上任意一点，过D 分别向AB ，AC 引垂线，垂足分别为E ，F ，CG 是AB 边上的高．DE ，DF ，CG 的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明．16.在ABC △中，AB AC =，点D 是直线BC 上一点（不与B C 、重合），以AD 为一边在AD 的右侧作ADE △，使AD AE DAE BAC =∠=∠，，连接CE ．（1）如图1，当点D 在线段BC 上，如果90BAC ∠=°，则BCE ∠=_________；（2）设BAC α∠=，BCE β∠=．①如图2，当点D 在线段BC 上移动，则αβ，之间有怎样的数量关系？请说明理由；②当点D 在直线BC 上移动，则αβ，之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．。

等腰三角形知识点+经典例题

等腰三角形知识点+经典例题本文介绍了等腰三角形的定义、作法、对称性、性质和判定定理。

首先定义了等腰三角形是有两条边相等的三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。

然后介绍了作法，即以已知的线段a,b作等腰三角形ABC，使AB=AC=b,BC=a。

接着讲解了等腰三角形的对称性，包括轴对称、底角相等、底边上的中线等长、底边上的高线垂直于底边等。

其次，介绍了等边三角形与等腰三角形的关系，即等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形。

接下来，讲解了等腰三角形的性质，包括底角相等、顶角平分线、底边上中线和高线互相重合等。

最后，介绍了等腰三角形的判定定理，即若一条角平分线同时是等腰三角形的两边之一，则该三角形是等腰三角形。

同时，还给出了等腰三角形中重要线段的性质，包括两底角的平分线相等、底边上的高上任一点到两腰的距离相等等。

1.等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形就是等腰三角形。

简单来说，等角对等边。

要点解释：要明确判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆。

判定定理得到的结论是等腰三角形，而性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角的关系。

此外，不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形。

2.等边三角形的判定定理如果三个角相等，那么这个三角形就是等边三角形。

另外，一个角是60°的等腰三角形也是等边三角形。

3.含有30°角的直角三角形定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

要点解释：在证明时，先假设命题的结论不成立，然后通过逐步推导论证，最后推出与学过的概念、基本事实，以证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。

这种证明命题的方法叫做反证法，也称归谬法，适用于直接证明有困难的命题。

典型例题】类型一、等腰三角形中有关角度的计算题例1、（2016春•太仓市期末）如图，已知△ABC中，AB=BD=DC，∠ABC=105°，求∠A，∠C度数。

等腰三角形的性质及判定方法

等腰三角形的性质及判定方法等腰三角形是指两边长度相等的三角形。

在几何学中，等腰三角形有着独特的性质和判定方法。

本文将介绍等腰三角形的性质以及判定方法。

1. 等腰三角形的定义等腰三角形是指具有两条边的长度相等的三角形。

根据定义，等腰三角形的两边是等长的，它们被称为等腰三角形的腰，而剩下的边则被称为底边。

2. 等腰三角形的性质（1）等腰三角形的底边上的两个底角相等。

这是等腰三角形最基本的性质之一。

由于底边两边等长，所以两个底角的两边也相等，根据三角形内角和定理，两个底角相等。

（2）等腰三角形的顶角等于180度减去底角的一半。

这个性质可以通过角度和边的关系来推导。

设等腰三角形的两个底角为x度，则顶角为180度减去两个底角的和2x度。

（3）等腰三角形的高线线对称于底边中点的垂直平分线。

等腰三角形的高是从顶点到底边的垂直距离，而底边的中点是由两点确定的垂直平分线。

这两条线通过等腰三角形的顶点，并且垂直于底边。

3. 等腰三角形的判定方法（1）边长判定：如果一个三角形的两边长度相等，则它是一个等腰三角形。

通过测量三角形的两边长度，如果相等，则可以判定为等腰三角形。

（2）角度判定：如果一个三角形的两个底角相等，则它是一个等腰三角形。

通过测量三角形的两个底角，如果相等，则可以判定为等腰三角形。

（3）边角关系判定：如果一个三角形的一边与另外两边的边长比相等，并且底角相等，则它是一个等腰三角形。

通过测量三角形的边长和角度，如果满足该条件，则可判定为等腰三角形。

4. 实际应用等腰三角形在几何学中有着广泛的应用。

例如，在建筑物的设计中，等腰三角形常用于门窗的设计，通过运用等腰三角形的性质，可以确保门窗的开合顺畅和美观。

此外，在数学问题解答中，等腰三角形的性质和判定方法也经常被使用。

例如，在解决几何证明问题时，可以通过利用等腰三角形的性质进行推理和证明。

综上所述，等腰三角形具有底边两个底角相等和顶角等于底角的一半等独特性质。

1.1等腰三角形的性质和判定

第一章图形与证明（二）1.1 等腰三角形的性质和判定Ⅰ.核心知识点扫描1.等腰三角形和等边三角形的性质和判定性质判定等腰三角形⑴等腰三角形两个底角相等(简称“等边对等角”) .⑵等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简称“三线合一”).⑴如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.⑵定义：如果一个三角形中有两条边相等，那么这个三角形是等腰三角形.图示（1）在△ABC中，∵AB=AC ∴∠B=∠C；（2）在△ABC中，AB=AC.若∠BAD=∠CAD，那么AD⊥BC，BD=CD；若BD=CD，那么∠BAD=∠CAD，AD⊥BC；若AD⊥BC，那么∠BAD=∠CAD，BD=CD.在△ABC中，∵∠B=∠C ∴AB=AC.等边三角形⑴等边三角形是特殊的等腰三角形，因此等边三角形具有等腰三角形的所有性质，并且，在每条边上都有“三线合一”；⑵等边三角形的每个内角都等于60°.⑴定义：三条边都相等的三角形是等边三角形.⑵有一个角是60°等腰三角形是等边三角形.⑶三个角都相等的三角形是等边三角形.图示∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC,∠A=∠B=∠C=60°．(1)∵AB=BC=AC,∴△ABC是等边三角形；(2) ∵AB=BC，∠A=60°,∴△ABC是等边三角形；(3)∵∠A=∠B=∠C，∴∴△ABC是等边三角形．Ⅱ.知识点全面突破知识点1：等腰三角形性质（重点）⒈等腰三角形的性质定理1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）；可用符号语言表述如下:如图1-1-1，在△ABC中，∵AB=AC ∴∠B=∠C.已知：如图1-1-1，在△ABC中， AB=AC.求证：∠B=∠C.图1-1-3定理的证明分析：利用分析法思考证明的过程：如下所示：作顶角的平分线AD.()AB AC B C ABD ACD SAS BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⇐≅⇐∠=⎨⎪=⎩，具体证明过程略.此外，我们还可以用AAS 、ASA 、SSS 证明这一性质.如取BC 的中点D ，连接AD,在△ABD 和△ACD中，AB AC BD CD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△ACD （SSS ）,∴B C ∠=∠.2.等腰三角形的性质定理2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简称“三线合一”).可用符号语言表述如下:如图1-1-2，在△ABC 中，AB=AC.若∠BAD=∠CAD ，那么AD ⊥BC ，BD=CD ；若BD=CD ，那么∠BAD=∠CAD ，AD ⊥BC ；若AD ⊥BC ，那么∠BAD=∠CAD ，BD=CD.详解：①等腰三角形是特殊的三角形，它拥有一般三角形所具有的所有的性质．同时它还具有一般三角形所没有的特点和性质；②定理1常用来证明同一个三角形中的两个角相等；定理2实际上是等腰三角形中的两个结论，已知其中任意一个可以得到另两个结论，常用来证明角相等、线段相等或垂直；③将这两条性质用在特殊的等腰三角形即等边三角形中，可得等边三角的性质:等边三角形的各角都相等，并且都等于60°；等边三角形每一条边上的中线高都与所对的角平分线互相重合.例1.如图1-1-3，房屋的顶角∠BAC=100O ，过屋顶A 的立柱，屋椽AB=AC 求∠B ，∠C ，∠BAD ，∠CAD 的度数.解:在△ABC 中， AB=AC(已知).∴∠B=∠C(等边对等角) .∴∠B=∠C=21(180O -∠BAC) 图1-1-1图1-1-2=21(180O -100O )=40O (三角形内角和定理) .又∵AD ⊥BC ，∴∠BAD=∠CAD(等腰三角形顶角的平分线与底边上的高互相重合)，∴∠BAD=∠CAD=50O .点拨:已知等腰三角形的顶角，根据等边对等角及三角形的内角和定理可求出∠B 与∠C 的度数，再根据等腰三角形的三线合一，可得AD 是顶角的平分线，则∠BAD 与∠CAD 的度数即可求.例2：（2010，山东济南）（一题多解）如图1-1-4，已知AB AC AD AE ==，．求证BD CE =．证明：方法1 如图1-1-5过点A 作AH ⊥BC ，交BC 于点H ． ∵AB=AC ，AD=AE ，AH ⊥BC ， ∴BH=CH ， DH=EH∴BH 一DH=CH 一EH 即BD=CE 方法2 ∵AB=AC ∴∠B=∠C ∵AD=AE ∴∠ADE=∠AED∴180O-∠ADE=180O-∠AED 即∠ADB=∠AEC ∵AB=AC ，∠B=∠C ，∠ADB=∠AEC ∴△ABD ≌△ACE ∴BD=CE ．点拨：在等腰三角形中，虽然顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，但如何添加，要根据具体情况来定．本题中适合高AH AH ，利用等腰三角形的“三线合一”来解决这个问题。

等腰三角形性质

等腰三角形性质一、等腰三角形性质1、等腰三角形的两个底角度数相等（等边对等角）。

2、等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合（等腰三角形三线合一）。

3、等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。

4、等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。

5、等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。

6、等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。

7、一般的等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴。

但等边三角形（特殊的等腰三角形）有三条对称轴。

每个角的角平分线所在的直线，三条中线所在的直线，和高所在的直线就是等边三角形的对称轴。

8、等腰三角形中腰长的平方等于底边上高的平方加底的一半的平方（勾股定理）。

9、等腰三角形的腰与它的高的关系：腰大于高；腰的平方等于高的平方加底的一半的平方。

二、等腰三角形定义至少有两边相等的三角形叫做等腰三角形。

等腰三角形中，相等的两条边称为这个三角形的腰，另一边叫做底边。

两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

等腰三角形中，相等的两条边称为这个三角形的腰，另一边叫做底边。

两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。

三、等腰三角形判定方法定义法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形。

判定定理：在同一三角形中，如果两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。

除了以上两种基本方法以外，还有如下判定的方式：1、在一个三角形中，如果一个角的平分线与该角对边上的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形，且该角为顶角。

2、在一个三角形中，如果一个角的平分线与该角对边上的高重合，那么这个三角形是等腰三角形，且该角为顶角。

3、在一个三角形中，如果一条边上的中线与该边上的高重合，那么这个三角形是等腰三角形，且该边为底边。

专题08 等腰三角形(考点串讲)(解析版)

专题08 等腰三角形【考点剖析】1.等腰三角形的性质（1）等腰三角形性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）（2）等腰三角形性质2：文字：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称：等腰三角的三线合一）图形：如下所示；21DCBA符号：在ABC ∆中，AB ＝AC ，1212,,;,,;,12.BD CD AD BC AD B BD CD AD BC C BD CD ∠=∠⎧⎪=⊥∠=∠⊥∠=∠⎨⎪⊥⎩==若则若则若，则2.等腰三角形的判定（1）等腰三角形的判定方法1：（定义法）有两条边相等的三角形是等腰三角形；（2）等腰三角形的判定方法2：有两个角相等的三角形是等腰三角形；(简称：等角对等边)3.等边三角形的性质（1）等边三角形性质1：等边三角形的三条边都相等；（2）等边三角形性质2：等边三角形的每个内角等于60︒；（3）等边三角形性质3：等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴.4.等边三角形的判定（1）等边三角形的判定方法1：（定义法：从边看）有三条边相等的三角形是等边三角形；（2）等边三角形的判定方法2：（从角看）三个内角都相等的三角形是等边三角形；（3）等边三角形的判定方法3：（从边、角看）有一个内角等于60︒的等腰三角形是等边三角形. 【典例分析】例1 （杨浦2019期末14）在ABC ∆中，AB=AC ，把ABC ∆折叠，使点B 与点A 重合，折痕交AB 于点M ，交BC 于点N. 如果CAN ∆是等腰三角形，则B ∠的度数为 . 【答案】4536︒︒或；【解析】因为把ABC ∆折叠，使点B 与点A 重合，折痕交AB 于点M ，交BC 于点N.所以MN 是AB 的中垂线，∴NB=BA ，B BAN ∴∠=∠，AB AC B C =∴∠=∠Q ，设B x ∠=，则C BAN x ∠=∠=. （1）当AN=NC 时，CAN C x ∠=∠=，在ABC ∆中，根据三角形内角和定理得4180x =︒，得45x =︒，故45B ∠=︒；（2）当AN=AC 时，ANC C x ∠=∠=，而ANC B BAN ∠=∠+∠，故此时不成立；（3）当CA=CN 时，1802x NAC ANC ︒-∠=∠=，于是得1801802xx x x ︒-+++=︒，解得36x =︒. 综上所述：4536B ∠=︒︒或.NM CBA例2 （浦东2018期末18）如图，在ABC ∆中，A=120,=40B ∠︒∠︒，如果过点A 的一条直线把ABC ∆分割成两个等腰三角形，直线l 与BC 交于点D ，那么ADC ∠的度数是 .CBA【答案】14080︒︒或；【解析】如图所示，把BAC ∠分为1000︒︒和2或者4080︒︒和，可得ADC=14080∠︒︒或.ABCDC BA20°80°80°40°40°20°20°40°40°100°例3 （闵行2018期末17）有下列三个等式①AB ＝DC ；②BE ＝CE ；②∠B ＝∠C ．如果从这三个等式中选出两个作为条件，能推出Rt △AED 是等腰三角形，你认为这两个条件可以是（写出一种即可）EDCBA【答案】①②或①③或②③．（答案不唯一）【解析】解：当AB ＝DC ，BE ＝CE ，∠AEB ＝∠DEC 时，Rt △ABE ≌Rt △DCE （HL ），故AE ＝DE ，即Rt △AED 是等腰三角形；当AB ＝DC ，∠B ＝∠C ，∠AEB ＝∠DEC 时，△ABE ≌△DCE （AAS ），故AE ＝DE ，即Rt △AED 是等腰三角形；当BE ＝CE ，∠B ＝∠C ，∠AEB ＝∠DEC 时，△ABE ≌△DCE （ASA ），故AE ＝DE ，即Rt △AED 是等腰三角形．故答案为：①②或①③或②③．（答案不唯一）例4 （黄浦2018期末27）如图，在ABC ∆中，AD BC ⊥,垂足为点D ，AD 平分BAC ∠，点O 是线段AD 上一点，线段的延长线交边AC 于点F ，线段CO 的延长线交边AB 于点E ．（1）说明ABC ∆是等腰三角形的理由；（2）说明BF=CE 的理由.O FE DC BA【答案与解析】（1）AD BC ADB=ADC ⊥∴∠∠Q ，Q AD 平分BAC ∠，BAD=CAD ∴∠∠.ADB=DAC+ACD ADC=BAD+ABD ∠∠∠∠∠∠Q ，，ABD=ACD ∴∠∠，AB=AC ∴即ABC ∆是等腰三角形；（2）ABC ∆Q 是等腰三角形，AD BC ⊥,BD=CD ∴.在BDO CDO ∆∆与中，DO DO ADB ADC BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，BDO CDO ∴∆∆≌OBD OCD ∴∠=∠.在BEC CFB ∆∆与中ECB FBCBC CBABC ACB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩BEC CFB ∴∆∆≌，BF CE ∴=. 【真题训练】一、选择题1.（宝山2018期末18）如图7，在ABC ∆中，AB=AC ，30A ∠=︒，以B 为圆心，BC 的长为半径作弧，交AC 于点D ，联结BD ，则ABD ∠等于（）A. 45︒；B. 50︒；C. 60︒；D. 75︒.DABC【答案】A ；【解析】因为在ABC ∆中，AB=AC ，30A ∠=︒，所以18030752ABC ACB ︒-︒∠=∠==︒，又因为以B为圆心，BC 的长为半径作弧，交AC 于点D ，所以,75BD BC BCA BDC =∴∠=∠=︒，30CBD ∴∠=︒，故753045ABD ABC CBD ∠=∠-∠=︒-︒=︒. 故答案选A.2．（长宁2019期末20）在平面直角坐标系，O 为坐标原点，点A的坐标为，M 为坐标轴上一点，且使得MOA ∆为等腰三角形，那么满足条件的点M 的个数为（） A. 4； B.5； C.6； D.8 【答案】C ；【解析】分三种情况：（1）当OA=OM 时，可得M 点坐标可以为：（0，2）、（0，-2）、（2，0）、（-2，0）；当AO=AM 时，M 点坐标可以为（2，0）、(0,；当MO=MA 时，（2，0）、(0,3；故一共有6个不同的点. 故选C. 二、填空题3.（浦东2018期末13）已知一个等腰三角形两边长分别为2和4，那么这个等腰三角形的周长是 . 【答案】10；【解析】依题，（1）若腰长为2、底为4，不可能构成等腰三角形，舍去；（2）若腰长为4、底为2，符合题意，周长为4+4+2=10；由上可知，这个等腰三角形的周长为10. 4.（宝山2018期末7）已知实数x 、y满足|3|0x -=，那么以x 、y 的值为两边长的等腰三角形的周长是 . 【答案】15；【解析】因为实数x 、y满足|3|0x -=，所以x=3，y=6，故符合题意的等腰三角形三边长分别为6、6、3，故此等腰三角形的周长为6+6+3=15.5．（闵行2018期末15）如图，直线l 1∥l 2∥l 3，等边△ABC 的顶点B 、C 分别在直线l 2、l 3上，若边BC 与直线l 3的夹角∠1＝25°，则边AB 与直线l 1的夹角∠2＝．l 3l 2l 1【答案】35°．【解析】解：∵直线l 1∥l 2∥l 3，∠1＝25°，∴∠1＝∠3＝25°．∵△ABC 是等边三角形， ∴∠ABC ＝60°，∴∠4＝60°﹣25°＝35°，∴∠2＝∠4＝35°．故答案为：35°．1l 2l 36．（普陀2018期末17）如图，已知△ABC 中，∠ABC 的角平分线BE 交AC 于点E ，DE ∥BC ，如果点D 是边AB 的中点，AB=8，那么DE 的长是．E D CBA【答案】4；【解析】解：连接BE ，∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE=∠CBE ，∵DE ∥BC ，∴∠DEB=∠ABE ， ∴∠ABE=∠DEB ，∴BD=DE ，∵D 是AB 的中点，∴AB=BD ，∴DE=12AB=4，故答案为：4 AD BCE7.（宝山2018期末13）如图，已知Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC=AE ，BC=BD ，则ACD BCE ∠+∠= ______-︒.ECBA【答案】45；【解析】过点C 作CH AB ⊥于点H ，因为AC ＝AE ，所以ACE AEC ∠=∠，因为CH AB ⊥，所以90AEC HCE ∠+∠=︒，又90ACE BCE ∠+∠=︒，所以=BCE HCE ∠∠；同理可得：ACD HCD ∠=∠；故+=+BCE ACD HCE HCD ∠∠∠∠即+=45BCE ACD ∠∠︒．HED CBA8.（黄浦2018期末19）已知等腰三角形的一个内角为50度，则这个等腰三角形的顶角为 ︒. 【答案】50︒或80︒；【解析】（1）当顶角为50︒时，这个等腰三角形的顶角为50︒；（2）当底角为50︒时，则顶角为180-250=80︒⨯︒︒；综上述，这个等腰三角形的顶角为50︒或80︒.9.（长宁2018期末14）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40︒，那么这个等腰三角形的顶角为____度.【答案】50130︒︒或.【解析】（1）如下图1，4050ABD A ∠=︒∴∠=︒，（2）如图2，40130ABD BAC ∠=︒∴∠=︒，故这个等腰三角形的顶角为50130︒︒或（图2）(图1）10.（黄浦2018期末14）等腰三角形底边上的中线垂直于底边且平分顶角，用符号来表示为：如图，如果在ABC ∆中，AB=AC ，且，那么AD BC ⊥且 .DCBA【答案】BD=CD ；BAD CAD ∠=∠；【解析】等腰三角形底边上的中线垂直于底边且平分顶角，用符号来表示为：如图，如果在ABC ∆中，AB=AC ，且BD=CD ，那么AD BC ⊥且BAD CAD ∠=∠.故答案为：BD=CD ；BAD CAD ∠=∠. 11.（杨浦2019期末13）如图，已知在ABC ∆中，AB=AC ，点D 在边BC 上，要使BD=CD ，还需添加一个条件，这个条件是 .（只需填上一个正确的条件）D B A【答案】BAD CAD ∠=∠或者AD BC ⊥（只填一个）【解析】解：在ABC ∆中，AB=AC ，BAD CAD ∠=∠，BD CD ∴=；或者在ABC ∆中，AB=AC ，AD BC ⊥，BD CD ∴=；故答案为：BAD CAD ∠=∠或者AD BC ⊥. 考查等腰三角形的三线合一。

等腰三角形的性质定理和判定定理

教学内容（一）知识梳理知识点1：等腰三角形的性质定理1:等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）证明：取BC的中点D，连接AD在△ABD和△ACD中∴△ABD≌△ACD（SSS）∴∠B=∠C（全等三角形对应角相等）知识点2：等腰三角形性质定理2:等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高，互相重合（简称“三线合一”）∵AB=AC ∵AB=AC ∵AB=AC∠1=∠2 AD⊥BC BD=DC∴AD⊥BC，BD=DC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠2,BD=DC AD⊥BC知识3：等腰三角形的判定定理：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写为“等角对等边”）证明：过A作AD⊥BC于D，则∠ADB=∠ADC=90°。

在△ABD和△ACD中∴△ABD≌△ACD （AAS）∴AB=AC【典型例题分析】例1. 如图，已知P、Q是△ABC边BC上两点，且BP=PQ=AP=AQ=QC，求∠BAC的度数。

解：∵AP=PQ=AQ（已知）∴△APQ是等边三角形（等边三角形的定义）∴∠APQ=∠AQP=∠PAQ=60°（等边三角形的性质）∵AP=BP（已知）∴∠PBA=∠PAB（等边对等角）又∠APQ=∠PAB+∠PBA=60°∴∠PBA=∠PAB=30°同理∠QAC=30°∴∠BAC=∠PAB+∠PAQ+∠QAC=30°+60°+30°=120°例2. 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，D、E、F分别为AB，BC，AC上的点，且BD=CE，∠DEF=∠B。

求证：△DEF是等腰三角形。

证明：∵∠B+∠BDE+∠BED=180°（三角形内角和定理）∠BED+∠DEF+∠FEC=180°（平角性质）∠B=∠DEF（已知）∴∠BDE=∠FEC（等角的补角相等）在△BED和△CFE中,∠BDE=∠FEC中（已证）,BD=CE （已知）,∠B=∠C （已知）∴△BED≌△CFE （ASA）,∴DE=EF （全等三角形对应边相等）∴△DEF是等腰三角形（等腰三角形定义）例3. 已知：如图，AC和BD相交于点O，AB∥CD，OA=OB，求证：OC=OD证明：∵AB∥CD （已知）∴∠A=∠C，∠B=∠D （两直线平行，内错角相等）∵OA=OB （已知）∴∠A=∠B （等边对等角）∴∠C=∠D （等量代换）∴OC=OD （等角对等边）例4. 如图，在四边形ABDC中，AB=2AC，∠1=∠2，DA=DB，试判断DC与AC的位置关系，并证明你的结论。

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等腰三角形的性质与判定
知识梳理
1．等腰三角形的概念：
有相等的三角形，叫做等腰三角形，叫做腰，另一条边叫做．两腰所夹的角叫做，底边与腰所夹的角叫做．
2．等腰三角形性质定理：
(1)等腰三角形的两个相等，也可以说成． (2) 三线合一：即． (3)等腰三角形是图形．
3．等腰三角形的判定：
(1)有相等的三角形是等腰三角形．
(2)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角也相等．简写成．
例题讲解
例1等腰三角形ABC 中，AB =AC ，一腰上的中线BD •将这个等腰三角形周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长及底边长．
例2如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠ABD =∠ACD ．求证：△DBC 是等腰三角形．
例3 如图，AB =AE ，BC =ED ， ∠B =∠E ．求证：∠C =∠D ．
例4如图，AB =AC ，BD ⊥AC 于D ．求证：∠BAC =2∠DBC ．
例5 有关等腰三角形的基本图形．
（1）如图3，若OD 平分∠AOB ，DE ∥OB 交OA 于E ．求证：EO ＝ED ．提问：这个结论的逆命题是否正确？
（2）如图 3，若 OD 平分∠AOB ， EO ＝ED ，求证： DE ∥OB ．（3）如图 3，若 DE ∥OB 交OA 于E ， EO ＝ED ，求证： OD 平分∠AOB ．
有关的题组练习．
（1）如图4，AD ∥BC ， BD 平分∠ABC ．求证： AB ＝AD ．（2）已知：如图5（a ），AB ＝AC ，BD 平分∠ABC ，CD 平分∠ACB ．问：①图中有几个等腰三角形？②如图5（b ），若过D 作EF ∥BC 交AB 于E ，交AC 于F ，图中又增加了几个等腰三角形？（3）如图5（c ），若将第（2）题中的△ABC 改为不等边三角形，其它条件不变，情况会如何？还可证出哪些线段的和差关系？
D C
B
A
E
D C
B
A
D
C
B
A
D
C
B
A
(4）对第（3）题中“两内角平分线”可作怎样的推广？相应的线段和差关系如何?
推广①当过△ABC的一个内角和一个外角平分线的交点作这两角的公共边的平行线时，如图5（d）．
推广②当过△ABC的两个外角平分线上一点作这两个角的公共边的平行线时，如图5（e）．
（5）如图6，若BD，CD分别平分∠ABC和∠ACB，过D作DE∥AB交BC于E，作DF∥AC交BC于F．求证：BC的长等于△DEF 的周长．
课后练习
1．在△ABC中，AB=AC，若∠B=56º，则∠C=__________．
2．若等腰三角形的一个角是50°，则这个等腰三角形的底角为
_____________．
3．若等腰三角形的两边长分别为x cm和（2x－6）cm，且周长为17cm，则
第三边的长为________．
4．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，若∠
CAD=25°，则∠ABE =，若BC=6，则CD=．
5．△ABC中，AB=AC，∠ABC=36°，D．E是BC上的点，∠BAD=∠DAE=
∠EAC，则图中等腰三角形有______个
6．等腰三角形一腰上的高与底边夹角为20°，则其顶角的大小为
___________．
7．如图，∠ABC=50°，∠ACB=80°，延长CB到D，使BD=AB，延长BC到
E，使CE=CA，连接AD．AE，则∠DAE=_______．
E
D
C
B
A
8．如下图，△MNP中，∠P=60°，MN=NP，MQ⊥PN，垂足为Q，延长
MN至G，取NG=NQ，若△MNP的周长为12，MQ=a，则△MGQ周长
是．
9．△ABC中，∠C=∠B，D．E分别是AB．AC上的点，•AE=•2cm，•且
DE•∥BC，•则AD=______
10．如图，∠AOB是一个钢架且∠AOB=10°，为了使钢架更加牢固，需在
内部添加一些钢管EF，FG，
GH，…，添加的钢管长度都与OE相等，则最多能添加这样的钢管______
根．
11．如图△ABC中，AB=AC，AD、BE是△ABC的高，它们相交于H，且
AE=BE．
求证：AH=2BD．
12．△ABC为非等腰三角形，分别以AB、AC为向△
ABC外作等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE，且
∠DAB=∠EAC=90°．
求证：（1）BE=CD；（2）BE⊥CD．
E
D C
B
A
P
Q
M N G
13．如图，点D 、E 在ABC ∆的边BC 上，AB AC =，AD AE =．求证：BD CE =
14．如图，AB AC =，30BAD ∠=o
，且AD AE =．求EDC ∠的度数．
15.如图，ABC ∆中，90ACB ∠=o
，CD BA ⊥于 D ，AE 平分BAC ∠交CD 于F ，交BC 于E ，求证：CEF ∆是等腰三角形．
16．Rt ABC ∆中，AB AC =，90BAC ∠=o ，O 为 AB 中点，若点M ．N
分别在线段AB ．AC 上移动，且在移动过程中保持AN BM =，试判断 OMN ∆的形状，并证明你的结论．
17.已知：如图，△ABC 中，D 在AB 上，E 在AC 延长线上，且BD ＝CE ，DE 交BC 于M ，MD ＝ME ，求证：△ABC 是等腰三角形．
18.已知一个等腰三角形，从它的一个顶点出发引一条直线将它分成两个等腰三角形，这样的等腰三角形有几种情况？画出图形并写出原等腰三角形各角度数．
E M D C
B A。