余数和周期问题
小学奥数知识点：余数问题
小学奥数知识点：余数问题
余数、同余与周期
一、同余的定义：
①若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对于模m同余。
②已知三个整数a、b、m，如果m|a-b，就称a、b对于模m同余，记作a≡b(mod m)，读作a同余于b模m。
二、同余的性质：
①自身性：a≡a(mod m);
②对称性：若a≡b(mod m)，则b≡a(mod m);
③传递性：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则a≡ c(mod m);
④和差性：若a≡b(mod m)，c≡d(mo d m)，则a+c≡b+d(mod m)，a-c≡b-d(mod m);
⑤相乘性：若a≡ b(mod m)，c≡d(mod m)，则a×c≡ b×d(mod m);
⑥乘方性：若a≡b(mod m)，则an≡bn(mod m);
⑦同倍性:若a≡ b(mod m)，整数c，则a×c≡ b×c(mod m×c);
三、关于乘方的预备知识：
①若A=a×b，则MA=Ma×b=(Ma)b
②若B=c+d则MB=Mc+d=Mc×Md
四、被3、9、11除后的余数特征：
①一个自然数M，n表示M的各个数位上数字的和，则M≡n(mod 9)或(mod
3);
②一个自然数M，X表示M的各个奇数位上数字的和，Y表示M的各个偶数数位上数字的和，则M≡Y-X或M≡11-(X-Y)(mod 11);
五、费尔马小定理：如果p是质数(素数)，a是自然数，且a不能被p整除，则ap-1≡1(mod p)。
周期问题
第四讲周期问题知识导航解决周期问题时，关键在于找到周期的长度．只要能找到周期的长度，再用总数除以周期长度，得到的商就是完整的周期的个数，余数就是除去完整周期的部分后剩下的个数．例1：2001年10月1日是星期一，问10月25日是星期几？解析：我们知道，每个星期有7天，也就是说以7天为一个周期不断地重复。
那么从10月1日到10月25日经过了25—1=24（天）。
因此用除法算式解答。
解：（1）从10月1日到10月25日有：25—1=24（天）（2）24天里有多少个星期余多少天？24÷7=3（个星期）……3（天）（说明24天中包含3个星期还多3天，最后一天起，再过3天就应是星期四）答：10月25日是星期四。
(注：在计算日期的过程中，日期一般“算头不算尾”数星期的时候也要从当天的后面数起。
本题中的当天是星期一，应该从星期二数起。
)【巩固1】2001年5月3日是星期四，问5月20日是星期几？解析：天数比较少，容易计算，而且出现在同一个月内。
解：20-3=17天17÷7=2 (3)从星期五数起，第三天是星期日。
【巩固2】公历2000年1月1日是星期六，公历2008年1月1日是星期几？解析：先求出从公历2000年1月1日到公历2008年1月1日一共经过的天数，其中平年有6年，闰年有2年，最后还有2008年1月1日这一天。
（天）从星期六开始数4天得星期二，所以公历2008年1月1日是星期二。
例2：100个3相乘，积的个位数字是几？解析：我们只需考虑积的个位数的排列规律就可以了。
解：（1）1×3=3……1个3相乘积的个位数字是：3（2）3×3=9……2个3相乘积的个位数字是：9（3）3×3×3=27……3个3相乘积的个位数字是：7（4）3×3×3×3=81……4个3相乘积的个位数字是：1（5）3×3×3×3×3=243……5个3相乘积的个位数字是：3（已经重复出现）规律：可以发现积的个位数分别以3、9、7、1不断出重复出现的。
行测余数问题万能技巧
带余除法。
一般地，如果.α是整数，b是整数（b≠0），那么一定有另外两个整数q和r，使得α÷b＝q……r或α＝b×q＋r当r=0时，我们称α能被b整除。
当r≠0时，我们称α不能被b整除，r为α除以b的余数，q为α除以b的不完全商(也简称为商)。
带余除法最关键就是理清被除数、除数、商、余数的关系，特别需要注意的是，余数肯定小于除数。
出题者常常会在这里设置陷阱。
㈡余数周期。
这其中又分为递推数列（给一串数，要求第χ个数除以某个数的余数）和n次幂（求一个数的n次方除以某个数的余数）相关的余数问题，处理这两类问题一个最直接的做法就是找规律，因为它们除以某数的余数都是有周期的。
例如，求3130÷13的余数。
例如尖子班作业1。
㈢同余问题。
1、什么是“同余”？整数α和b除以整数c，得到的余数相同，我们就说整数α、b对于模c同余。
记作：α ≡b （mod c）例如：15÷4＝3 (3)23÷4＝5 (3)15和23对于除数4同余。
记作：15 ≡23 （mod4）可以理解为15和23除以4的余数相同。
2、“同余”的四个常用性质是什么？同余性质1：如果α ≡ b (mod m)，则m︱（α－b）若两数同余，他们的差必是除数的倍数。
例如，73 ≡23 (mod 10)则10︱（73－23）73与23的差是10的倍数。
同余性质2：如果α ≡ b (mod m)，c ≡d (mod m),则α ± c ≡ b ± d (mod m)两数和的余数等于余数的和。
两数差的余数等于余数的差。
例如，73 ≡3 (mod 10)84 ≡4 (mod 10)73+84 ≡3+4≡ 7 (mod 10)84－73≡4－3≡1 (mod 10)同余性质3：如果α ≡ b (模m)，c ≡d (模m),则α × c ≡ b×d (模m)两数积的余数等于余数的积。
余数问题
三、同余特性的具体应用1、计算周期问题例1：今天是星期一，再过天是星期几?再过天是星期几?再过天是由同余的第四条性质决定的，余数的幂即幂的余数，即12010，最后还是，所以再过天依然是星期二。
再过天，根据余数的幂决定幂的余数，因为2012除以7余3，所以除以7的余数决定于幂的余数，即，因为3的平方为9，9除以7余数为2，2的三次方为8，8除以7余1，换句话说就是3的六次方除以7余1，所以我们只需要去寻找2011除以6的余数就可以了，2011除以6余1，所以除以7的余数决定于除以7的余数，即3。
例2：:310被一个数两位数除，余数是37，这个两位数是多少？解析．310－23=273=3×7×13大于37的两位约数有3×13=39，7×13=91，这样的两位数有两个：39和91。
例3：:有一个自然数，用它分别去除63、90、130都有余数，三个余数的和为25，这三个余数中最小的一个是几？解：（1）这个自然数一定小于63，不然的话它除63的余数就是63了；（2）这个自然数一定比9大，因为三个余数的平均数大于8；（3）根据同余的规律，这个自然数能被63＋90＋130－25的差258整除。
所以只要找出258比9大，比63小的约数就可以了。
258=2×3×43。
258比9大，比63小的约数只有43。
答：这个自然数是43。
例4：:有一个整数，除300，262，205，得到相同的余数（且余数都不为0）。
这个整数是多少？解析：根据同余，300－262=38，262－205=57，这个数是（57，38）=19。
例5：:某数除1186余1，除2609余2，除4263少3，这个数最大是多少？解析．（1186－1），（2609－2），（4263＋3）一定能被某数整除。
于是2607-1185=1422=2×3×3×79，4266-2607=1659=3×7×79这个数最大是3×79=237。
求余数找规律
求余数找规律陈开金我们知道，任给一个整数A ，将自然数1，2，3，4，…依次除以A ，所得的余数总是循环重复出现，呈周期性变化。
例如，连续自然数1，2，3，4，5，6，…，依次除以3，所得的余数分别为1，2，0，1，2，0，…每隔3个循环一次。
连续自然数1，2，3，4，5，6，…依次除以4，所得的余数分别为1，2，3，0，1，2，3，0，…每隔4个就重复出现一次。
连续自然数1，2，3，4，5，6，…依次除以5，所得的余数分别为1，2，3，4，0，1，2，3，4，0，…每隔5个就重复出现一次。
巧妙借用这个模型，常常能快速解决问题。
现以2005年中考试题为例说明。
例1. 把编号为1，2，3，4，…的若干盆花按图1所示摆放，花盆中的花按红、黄、蓝、紫四种颜色依次循环排列，则第8行从左边数第6盆花的颜色为__________色。
图1解析：由于编号为1，2，3，4，…的花按红、黄、蓝、紫四种颜色依次循环排列，每隔4盆就重复出现一次，因此，将花盆的序号除以4，余数为1的就与第1盆花同色，为红色；余数为2的就与第2盆花同色，为黄色；余数为3的就与第3盆花同色，为蓝色；余数为0的则与第4盆花同色，为紫色。
从第1盆到第8行自左边数第6盆，序号为()1234567634+++++++=。
由于34除以4的余数为2，因此应该为黄色。
例2. 如果将点P 绕定点M 旋转180°后与点Q 重合，那么称点P 与点Q 关于点M 对称，定点M 叫做对称中心。
此时M 是线段PQ 的中点。
如图2所示，在直角坐标系中，△ABO 的顶点分别为A （1，0），B （0，1）O （0，0）。
点列P1，P2，P3，…中的相邻两点都关于△ABO的一个顶点对称：点P1与点P2关于点A 对称，点P2与点P3关于点B对称，点P3与点P4关于点O对称，点P4与点P5关于点A对称，点P5与点P6关于点B对称，点P6与点P7关于点O对称，…对称中心分别是A，B，O，A，B，O，…这些对称中心依次循环。
二年级数学下册教案-6有余数的除法-周期问题73-人教版
二年级数学下册教案-6 有余数的除法-周期问题73-人教版教学内容本节课的内容为《有余数的除法》中的“周期问题”，选自人教版二年级数学下册。
课程旨在引导学生理解有余数除法中的周期性现象，并能够运用所学知识解决实际问题。
教学目标1. 知识与技能：使学生掌握有余数除法中周期问题的概念，并能运用其解决实际问题。
2. 过程与方法：通过观察、分析、讨论等活动，培养学生发现问题和解决问题的能力。
3. 情感态度价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生合作学习的意识。
教学难点理解有余数除法中周期问题的概念，并能将其应用于实际问题。
教具学具准备1. 教具：PPT、黑板、粉笔2. 学具：练习本、铅笔教学过程一、导入通过PPT展示生活中的周期现象，如日历、四季更替等，引导学生发现周期性。
二、探究1. 教师引导学生观察有余数除法的算式，让学生发现其中的周期性。
2. 学生分组讨论，每组尝试找出一个有余数除法的周期问题，并分享给全班同学。
3. 教师总结并讲解周期问题的概念。
三、实践1. 教师给出几个实际问题，让学生尝试运用周期问题的知识来解决。
2. 学生独立完成练习，教师巡回指导。
四、总结教师引导学生总结本节课所学内容，强调周期问题的应用。
板书设计1. 有余数的除法2. 周期问题3. 实际问题应用作业设计1. 完成练习册上的相关习题2. 观察生活中的周期现象，并尝试用除法表示出来课后反思本节课通过观察、探究、实践等环节，使学生掌握了有余数除法中周期问题的概念，并能够将其应用于实际问题。
在教学过程中，教师应注重引导学生发现问题和解决问题，培养学生的数学思维和应用能力。
重点关注的细节是“教学过程”的“探究”环节。
这个环节是学生理解和掌握周期问题概念的关键步骤，也是培养学生观察、分析、讨论等能力的重要环节。
探究环节的详细补充和说明1. 观察有余数除法的算式在这个环节，教师可以通过PPT展示一些具体的除法算式，例如：- 7 ÷ 3 = 2 余 1- 8 ÷ 3 = 2 余 2- 9 ÷ 3 = 3 余 0- 10 ÷ 3 = 3 余 1- 11 ÷ 3 = 3 余 2- 12 ÷ 3 = 4 余 0然后引导学生观察这些算式，并提问：“你们发现了什么规律？”学生可能会发现，每隔两个算式，余数就会重复一次，即“1, 2, 0”这个序列不断重复。
用有余数的除法解决“周期问题”
人教版数学三年级下册-打印版
用有余数的除法解决“周期问题”
事物在运动变化的过程中，某些特征循环往复出现，我们把这种特殊的规律性问趱称为周期问题，这类问题一般要利用余数的知识来解答。
在解答本类型题时，要判断不断重复出现的规律，也就是找出循环的固定数，循环的固定数的个数为一个周期。
看所求的数中合有几个周期，余数是多少，余数1、2、3…分别和周期的第一个数、第二个数、第三个数……相对应，从而可找出问题的答案。
例题：商场楼前安装了一串彩灯，按照2黄、4红、2绿的顺序排列，第96盏彩灯是什么颜色？
分析从题意可知，彩灯以8盏为一个周期不断重复，要知道第96盏彩灯是什么颜色，就要计算96盏彩灯里包含几个这样的周期。
如果正好是整周期，说明第96盏彩灯正好是一个周期中的最后一盏，即绿色，如果有余数，多出的再按2黄、4红、2绿的顺序往下数。
解答2+4+2=8（盏）96÷8=12所以第96盏彩灯是绿色。
用有余数的除法解决周期问题课件
周期问题涉及时间、数量、频率 等要素，通常需要找出周期的长 度和起始点。
周期问题的分类
按照周期长度分类
有长周期和短周期问题。
按照周期类型分类
有等差数列周期、等比数列周期、多项式周期等。
周期问题实例
日历的转换
将公历日期转换为农历日期，需要找出公历和农历之间的周 期关系。
股票价格波动
股票价格在一定时间内呈现周期性波动，需要分析其周期规 律。
详细描述
日历的周期性是由地球绕太阳公转的周期决定的。在一年中，月份和天数会按照 一定的顺序重复出现，形成了一个固定的周期。通过有余数的除法，我们可以计 算出某一天在一年中的位置，以及某个月的天数。
实例二：时钟的周期性
总结词
时钟的周期性是指在一个小时内，时钟的指针会按照一定的规律重复出现。
详细描述
时钟的周期性是由地球的自转运动决定的。在一个小时内，时针、分针和秒针会按照一定的速度和方向移动，形 成了一个固定的周期。通过有余数的除法，我们可以计算出某个时刻在小时内的位置，以及时针、分针和秒针的 相对位置。
谢谢您的聆听
THANKS
决周期性问题，并总结其中的数学原理和技巧。
有余数除法在解决周期问题中的挑战与展望
挑战
在实际应用中，周期性问题和有余数除 法可能会遇到一些复杂情况，如多周期 、不规则周期等，需要更深入地研究和 探索。
VS
展望
随着数学和相关领域的发展，有余数除法 在解决周期性问题中的应用将更加广泛和 深入，有望为解决更复杂的问题提供新的 思路和方法。同时，有余数除法在其他领 域的应用也有很大的潜力，值得进一步挖 掘和研究。
02
有余数除法的概念
定义与性质
定义
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（1）□÷7=6…3，□=（ ） （2）51÷△=6…3，△=（ ） （3）18÷☆=☆…2，☆=（ ） （4）◇÷△=4…5，△最小是（ ），◇是（ ） （5）○÷8=3…□，□最大是（ ），○是（ ） （6）□÷4=◎…◎，◎可以分别是（ ），对应的 □分别是（ ）
已知2012年12月25号圣诞节这 天是星期二，问：2013年12月 25号这天圣诞节是星期几？
数学黑洞 6174
从1-9中任意选出4个不同的 数字，组成最大数减最小数， 最后总能得到6174.
哪些数除以7，商和余数相 等？请你找出这些数。
7×1+1=8 7×2+2=16 7×3+3=24 7×4+4=32 7×5+5=40 7×6+6=48
在有余数的除法算式（ ） ÷（ ）=（ ）· · · · · · 5中， 除数和商相等，被除数最小 是几？
1
2
3
4
圣诞节这天，一个精品店正在搞免费赠送扑克 的活动，凡是在本店买了商品的顾客都能凭小 票参与活动，游戏规则是这样的：4个人参与， 一共有一副扑克牌一共54张，发牌的顺序是从 一色的2到A，最后两张分别是小王，大王。谁 如果发到了一副牌当中的大王的人就获胜能获 得10副扑克牌。小宇顿时对这个游戏很感兴趣， 你认为他如果要获胜，应该坐在第几个位置上？
圣
节 诞
之
夜
黄冈文立方教育（集团）小学教育研究中心
圣诞节这天，商场里一服装店 正在举行猜位置活动。店里老 板让四位时装模特先坐在各自 的四张凳子上，然后逆时针让 模特走到其他的凳子，这样一 直走了100次，如果谁能最快 猜到每位模特走了100次后在 什么位置，就能免费获得模特 身上的这一套衣服。小宇来到 了服装店门口，你能帮助他猜 中模特所在位置吗？
余 数 和 周 期 问 题
在我们日常生活中，有许多 问题是按照一定的规律依次 不断地重复出现的。
1，两个数相除，余数一定比除数小。 2，两个数相除，如果除数是b,则 余数有（b-1)种可能。比如除数是 5，则余数就有可能是1,2,3,4.
被除数÷ 除数=商· · · · · · 余数 被除数=商× 除数+余数 除数=（被除数-余数） ÷商 商=（被除数-余数） ÷除数
因为被除数=商×除数+余数，要使被除数最小， 那么除数也得最小，除数必须大于余数，所以 除数最小是6，所以被除数=6×6+5=41.
服装厂新进137米花布，每3 米可以做一套儿童服装，这 些布最多可以做多少套儿童 服装？ 137÷3=45......2 答：最多可以做45套儿童服装。Leabharlann 124 3
圣诞节这天，一个珠宝店正在举 行猜奖大赠送活动，猜中即可免 费获得该珠宝。一服务员拿来了 一串玉珠，她把玉珠的结解开， 并拿了一个盒子遮住了玉珠的一 部分，谁能猜中盒子遮住了几颗 珠子，并且能知道数到第10颗黑 珠子是整串珠子的第几颗的话就 能免费获得这串珠子。
当小宇晚上回到学校才发现，学校里的教学楼走 道和教室里一共30户窗户上都装了彩灯，每一串 彩灯上都有红，蓝，黄，绿四种颜色，每一串彩 灯的排列都是红蓝黄蓝红绿黄绿· · · · · · 每串彩灯一 共72颗，小宇想知道学校里要用这些彩灯装饰每 种颜色的彩灯分别需要多少颗？