中山市第二中学2014届高三第2次月考理科数学模拟试卷
高三数学(理)试题分省分项汇编专题集合与常用逻辑用语原卷版缺答案
一．基础题组1.【广东省中山市一中2014届高三第二次统测】已知集合{}M=，1,2,3 {}=∈<<，则（)14N x Z xA. NM N= M⊆B。
N M=C。
{2,3}D. (1,4)M N=2.【广东省中山市实验高中2014届高三11月阶段考试】设集合{}B=--，则()2,1,2A B等于( ）2,1,0,1,2A=,{}1,2U=--，{}UA。
{}1B。
{}1,2 C.{}2D。
{}0,1,23。
【广东省仲元中学、中山一中、南海中学、潮阳一中、宝安中学、普宁二中2014届高三第一次联考】设U R=，集合{}==∈，A y y x R2,x{}240=∈-≤，则下列结论正确的是（)B x Z xA.()A B=+∞0,B.()(],0A B=-∞UC.(){}2,1,0A B=--UD。
(){}1,2A B=U4。
【广东省增城市2014届高三调研考试】设集合{}U=，集1,2,3,4,5,6,7合{}2,4,5A=,集合B={}A B=1,3,5,7，则()U( )A。
{}5 B.{}2,4,52,4C。
{}D。
{}2,4,65.【广东省惠州市2014届高三第二次调研考试】设集合{3213}A x x =-≤-≤,集合B 为函数lg(1)y x =-的定义域，则A B =( ）A 。
(1,2)B 。
[1,2]C 。
[1,2)D 。
(1,2]6.【广东省执信中学2014届高三上学期期中考试】设全集U R =，集合(){}30A x x x =+<，集合{}1B x x =<-，则下图中阴影部分表示的集合为（ ) A 。
{}31x x -<<- B.{}30x x -<< C.{}0x x >D 。
{}1x x <-7。
【广东省深圳市宝安区2014届高三调研考试】已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}1,2,3,4P =，{}3,4,5Q =,则()UP Q = （ ）A 。
广东省中山市2014届高三上学期期末数学理试题Word版含答案
中山市高三级2013—2014学年度第一学期期末统一考试数学试卷（理科）本试卷共4页，20小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1、答卷前，考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上。
3、不可以使用计算器。
4、考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设复数113i z =-，21i z =-，则12z z +在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．设全集U 是实数集,R {}22,M x x x =><-或{}2430N x x x =-+> 则图中阴影部分所表示的集合是 （ ） A ．{|21}x x -≤< B ．{|22}x x -≤≤ C ．{|12}x x <≤D ．{|2}x x <3．已知平面向量()21=，a ，()2x =-，b ，若a ∥b ， 则a +b 等于( ) A ．()2,1--B ．()2,1C ．()3,1-D ．()3,1-4．定义某种运算a S b =⊗，运算原理如上图所示，则式子131100lg ln )45tan 2(-⎪⎭⎫⎝⎛⊗+⊗e π的值为（ ）A ．4B ．8C ．11D ．135．把边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使得平面⊥ABD平面CBD ，形成三棱锥ABD C -的正视图与俯视图如下图所示，则侧视图的面积为 （ ）（第2题图）（第4题图）A B C D ． 6．下列四个命题中，正确的有①两个变量间的相关系数r 越小，说明两变量间的线性相关程度越低；②命题p ：“R ∈∃0x ，01020>--x x ”的否定p ⌝：“R ∈∀x ，012<--x x ”；③用相关指数2R 来刻画回归效果，若2R 越大，则说明模型的拟合效果越好； ④若23.0=a ，3.02=b ，2log 3.0=c ，则b a c <<． A ．①③④B ．①④C ．③④D ．②③7．对a ∀、b R ∈，运算“⊕”、“⊗”定义为：a b ⊕=,().()a a b b a b <⎧⎨≥⎩，a b ⊗=,().()a ab b a b ≥⎧⎨<⎩，则下列各式其中不恒成立的是（ ） ⑴a b a b a b =+⊗+⊕ ⑵a b a b a b =-⊗-⊕ ⑶[][]a b a b a b =⋅⊗⋅⊕ ⑷[][]a b a b a b =÷⊗÷⊕ A ．⑴、⑶B ． ⑵、⑷C ．⑴、⑵、⑶D ．⑴、⑵、⑶、⑷8. 已知函数)(x f y =)(R x ∈满足(2)2()f x f x +=，且[1,1]x ∈-时，()1f x x =-+，则当[10,10]x ∈-时，)(x f y =与4()log g x x =的图象的交点个数为( ) A ．13B ．12二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分9．已知函数3log ,0()2,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则1(())9f f 10．如图，一不规则区域内，有一边长为1区域内随机地撒1000（含边界）的黄豆数为 375 平方米.（用分数作答）11．在二项式521x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，含4x 的项的系数是 ．12．已知20πα<<,=+)6cos(πα53,则=αcos . 13．已知数列{}n a 为等差数列，若23a =，1612a a +=，则789a a a ++= .14．如图, //AB MN ，且2OA OM =，若OP xOA yOB =+，（其中,x y R ∈），则终点P 落在阴影部分（含边界） 时，21y x x +++的取值范围是 .三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本题满分12分）设平面向量)sin ,(cos x x a =，31(,)2b =，函数()1f x a b =⋅+. （Ⅰ）求函数)(x f 的值域和函数的单调递增区间; （Ⅱ）当9()5f α=,且263ππα<<时,求2sin(2)3πα+的值. 16．（本题满分12分）某校从参加高三年级期末统考测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）估计这次测试数学成绩的平均分和众数； （Ⅱ）假设在[90，100]段的学生的数学成绩都不相同，且都超过94分．若将频率视为概率，现用简单随机抽样的方法，从95，96，97，98，99，100这6个数中任意抽取2个数，有放回地抽取了3次，记这3次抽取中，恰好是两个学生的数学成绩的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望E ξ．17．（本小题满分14分）如图，在底面是矩形的四棱锥ABCD P -中，PA ⊥平面ABCD ， 2==AB PA ，4=BC . E 是PD 的中点，（Ⅰ）求证：平面PDC ⊥平面PAD ；（Ⅱ）求二面角D AC E --的余弦值； （Ⅲ）求直线CD 与平面AEC 所成角的正弦值 18．（本小题满分14分）数列{n a }的前n 项和为n S ，2131(*)22n n S a n n n N +=--+∈． （Ⅰ）设n n b a n =+，证明：数列{}n b 是等比数列； （Ⅱ）求数列{}n nb 的前n 项和n T ；PBEDCA（Ⅲ）若1n n n b c b =-，数列{}n c 的前n 项和n T ，证明：n T <53． 19．（本小题满分14分）已知函数()x f x e kx =-，.（Ⅰ）若0k >，且对于任意0)(,>∈x f R x 恒成立，试确定实数k 的取值范围； （Ⅱ）设函数)()()(x f x f x F -+=，求证：1ln (1)ln (2)ln ()ln(2)()2n nF F F n e n N +*+++>+∈20．（本题满分14分）已知函数2()()f x x x a =-，2()(1)g x x a x a =-+-+（其中a 为常数）； （Ⅰ）如果函数()y f x =和()y g x =有相同的极值点，求a 的值；（Ⅱ）设0a >，问是否存在0(1,)3ax ∈-，使得00()()f x g x >，若存在，请求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．（Ⅲ）记函数()[()1][()1]H x f x g x =-⋅-，若函数()y H x =有5个不同的零点，求实数a 的取值范围．中山市高三级2013—2014学年度第一学期期末统一考试理科数学参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．DAAD BCBC二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分． 9.14 ; 10. 8311. 10;12.； 13. 45； 14. 4[,4]3三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本题满分12分）设平面向量)sin ,(cos x x a =，)21,23(=b ，函数1)(+⋅=b a x f 。
2014年广东省中山市高考数学模拟试卷(四)(理科)
2014年广东省中山市高考数学模拟试卷（四）（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共8小题，共40.0分)1.已知集合M={x∈R|x2+2x-3≤0}，N={x∈R|x+1＜0}，那么M∩N=（）A.{-1，0，1}B.{-3，-2，-1}C.{x|-1≤x≤1}D.{x|-3≤x＜-1}【答案】D【解析】解：由M中的不等式变形得：（x-1）（x+3）≤0，解得：-3≤x≤1，即M={x|-3≤x≤1}，由N中的不等式解得：x＜-1，即B={x|x＜-1}，则M∩N={x|-3≤x＜-1}．故选D分别求出M与N中不等式的解集确定出两集合，求出两集合的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.复数=（）A. B. C.- D.-【答案】C【解析】解：=．故选：C．把分子分母同时乘以1+i，直接利用复数的除法运算求解．本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数的除法，采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，是基础的计算题．3.已知向量=（x，1），=（4，x），则“x=2”是“∥”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：∵∥，向量=（x，1），=（4，x），∴x2-4=0，即x=±2，根据充分必要条件的定义可判断：“x=2”是“∥”的充分不必要条件，故选：A根据∥，条件，得出x=±2，根据充分必要条件的定义可判断．本题考查向量与充分必要条件的定义，属于中档题．4.已知等比数列{a n}前n项和为S n且S5=2，S10=6，则a16+a17+a18+a19+a20等于（）A.12B.16C.32D.54【答案】B【解析】解：∵S5=2，S10=6，∴a6+a7+a8+a9+a10=6-2=4，∵a1+a2+a3+a4+a5=2，∴q5=2，∴a16+a17+a18+a19+a20=（a1+a2+a3+a4+a5）q15=2×23=16，故选B．根据题目所给的条件可知，第六项到第十项的和是4，再与前五项的值相比，得到公比的五次方，要求的结果可以有前五项乘以公比的15次方得到．等比数列可以通过每隔相同个数的项取一个构造新数列，构造出一个新的等比数列数列，从而求出数列的通项公式．这类问题考查学生的灵活性，考查学生分析问题及运用知识解决问题的能力．5.执行如图所示的程序框图，若输入的x的值为2，则输出的x的值为（）A.3B.126C.127D.128【答案】C【解析】解：当输出的x=2时，执行循环体后，x=3，不满足退出循环的条件，当x=3时，执行循环体后，x=7，不满足退出循环的条件，当x=7时，执行循环体后，x=127，满足退出循环的条件，故输出的x值为127故选：C分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算x值并输出，模拟程序的运行过程，即可得到答案．本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，模拟程序的运行过程是解答此类问题最常用的办法．6.在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好落在正方形与曲线围成的区域内（阴影部分）的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解：根据题意，正方形OABC的面积为1×1=1，而阴影部分的面积为==，∴正方形OABC中任取一点P，点P取自阴影部分的概率为=，故选B．欲求所投的点落在阴影部分内部的概率，须结合定积分计算阴影部分平面区域的面积，再根据几何概型概率计算公式易求解．本题考查几何概型的计算，涉及定积分在求面积中的应用，关键是正确计算出阴影部分的面积．7.用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）A.324B.328C.360D.648【答案】B【解析】解：由题意知本题要分类来解，当尾数为2、4、6、8时，个位有4种选法，因百位不能为0，所以百位有8种，十位有8种，共有8×8×4=256当尾数为0时，百位有9种选法，十位有8种结果，共有9×8×1=72根据分类计数原理知共有256+72=328故选B本题要分类来解，当尾数为2、4、6、8时，个位有4种选法，因百位不能为0，所以百位有8种，个位有8种，写出结果数，当尾数为0时，百位有9种选法，十位有8种结果，写出结果，根据分类计数原理得到共有的结果数．数字问题是排列中的一大类问题，条件变换多样，把排列问题包含在数字问题中，解题的关键是看清题目的实质，很多题目要分类讨论，要做到不重不漏．8.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，动点P在对角线BD1上，过点P作垂直于BD1的平面α，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为y，设BP=x，则当x∈[1，5]时，函数y=f（x）的值域为（）A.[2，6]B.[2，18]C.[3，18]D.[3，6]【答案】D【解析】解：∵正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，∴正方体的对角线长为6，∵x∈[1，5]，∴x=1或5时，三角形的周长最小，设截面正三角形的边长为t，则由等体积可得，∴t=，∴y min=；x=2或4时，三角形的周长最大，截面正三角形的边长为2，∴y max=6．∴当x∈[1，5]时，函数y=f（x）的值域为[3，6]．故选D．求出正方体的对角线长，根据x∈[1，5]，可得x=1或5时，三角形的周长最小；x=2或4时，三角形的周长最大，从而可得结论．本题考查正方体的截面问题，考查学生分析解决问题的能力，确定三角形周长取最大、最小时的位置是关键．二、填空题(本大题共7小题，共35.0分)9.已知（1+2x）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则a1-2a2+3a3-4a4= ______ ．【答案】-8【解析】解：对二项式的展开式求导得到8（1+2x）3=a1+2a2x+3a3x2+4a4x3令x=-1得到-8═a1-2a2+3a3-4a4故答案为-8．先对二项展开式求导函数，对求导后的式子中的x赋值-1，求出代数式的值．本题考查复合函数的求导法则、利用赋值法解决代数式的系数和问题．10.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=6，c=4，cos B=，则b= ______ ．【答案】6【解析】解：∵a=6，c=4，cos B=，∴由余弦定理得：b2=a2+c2-2accos B=36+16-16=36，则b=6．故答案为：6利用余弦定理列出关系式，将a，c，cos B的值代入即可求出b的值．此题考查了余弦定理，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．11.若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为______ ．【答案】4【解析】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z=x+y为y=-x+z，由图可知，当直线y=-x+z过C（1，3）时，目标函数有最大值，为z=1+3=4．故答案为：4．由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．12.已知抛物线y2=4x的焦点为F，准线为直线l，过抛物线上一点P作PE⊥l，若直线EF的倾斜角为120°，则|PF|= ______ ．【答案】4【解析】解：由抛物线y2=4x方程，可得焦点F（1，0），准线l的方程为：x=-1．∵直线EF的倾斜角为120°，∴k l=tan120°=-．∴直线EF的方程为：y=-（x-1），联立，解得y=2．∴E（-1，2）．∵PE⊥l于E，∴y P=2，代入抛物线的方程可得=4x p，解得x P=3．∴|PF|=|PE|=x P+1=4．故答案为：4．由抛物线y2=4x方程，可得焦点F（1，0），准线l的方程为：x=-1．由直线EF的倾斜角为120°，可得k l=tan120°=-．进而得到直线EF的方程为：y=-（x-1），与抛物线方程联立，可得解得y E．由于PE⊥l于E，可得y P=y E，代入抛物线的方程可解得x P．再利用|PF|=|PE|=x P+1即可得出．本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立，属于中档题．13.所有真约数（除本身之外的正约数）的和等于它本身的正整数叫做完全数．如：6=1+2+3；28=1+2+4+7+14；496=1+2+4+8+16+31+62+124+248．已经证明：若2n-1是质数，则2n-1（2n-1）是完全数，n∈N*．请写出一个四位完全数______ ；又6=2×3，所以6的所有正约数之和可表示为（1+2）•（1+3）；28=22×7，所以28的所有正约数之和可表示为（1+2+22）•（1+7）；按此规律，496的所有正约数之和可表示为______ ．【答案】8128；（1+2+22+23+24）•（1+31）【解析】解：∵2n-1是质数，2n-1（2n-1）是完全数，∴令n=7，可得一个四位完全数为64×（127-1）=8128；∵496=24×31，∴496的所有正约数之和可表示为（1+2+22+23+24）•（1+31）．故答案为：8128；（1+2+22+23+24）•（1+31）．利用2n-1是质数，2n-1（2n-1）是完全数，令n=7，可得结论；由496=24×31，可得496的所有正约数之和．本题考查合情推理，考查学生分析解决问题的能力，正确理解新定义是关键．14.在平面直角坐标系x O y中，已知直线l的参数方程为（参数t∈R），以直角坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立相应的极坐标系．在此极坐标系中，若圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ，则圆心C到直线l的距离为______ ．【答案】【解析】解：直线l的参数方程为（参数t∈R），即x+y-3=0，∵圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，∴圆C的普通方程为x2+y2=4x，（x-2）2+y2=4，故圆心（2，0），则圆心C到直线l的距离为=，故答案为．把直线的参数方程化为普通方程，再把圆C的极坐标方程化为普通方程，求出圆心坐标，再利用点到直线的距离公式求出圆心C到直线l的距离．本题考查把参数方程、极坐标方程化为普通方程的方法，点到直线的距离公式的应用，体现了转化的数学思想．15.如图，已知PA是⊙O的切线，A是切点，直线PO交⊙O于B，C两点，D是OC的中点，连接AD 并延长交⊙O于点E，若PA=2，∠APB=30°，则AE= ______ ．【答案】【解析】解：连接OA，过O作OF⊥AE，过A作AM⊥PC，如图所示，∵PA为圆O的切线，∴∠PAO=90°，又PA=2，∠APB=30°，∴∠AOD=120°，∴OA=PA tan30°=2×=2，又D为OC中点，故OD=1，根据余弦定理得：AD2=OA2+OD2-2OA•OD cos∠AOD=4+1+2=7，解得：AD=，∵在R t△APM中，∠APM=30°，且AP=2，∴AM=AP=，故三角形AOD的面积S=OD•AM=，则S=AD•OF=OF=，∴OF=，在R t△AOF中，根据勾股定理得：AF==，则AE=2AF=．故答案为：连接OA，由AP为圆的切线，得到∠PAO=90°，过A作AM垂直于AC，过O作OF 垂直于AE，根据垂径定理得到F为AE的中点，在直角三角形APO中，由AP的长及∠APO的度数，利用正切函数定义及特殊角的三角函数值求出半径OA的长，由D为OC的中点，可求出OD的长，同时得到∠AOD的度数，在三角形AOD中，根据余弦定理求出AD的长，再由OD及边上的高AM求出三角形AOD的面积，此三角形的面积还可以用AD及边上的高OF表示，进而求出OF的长，在直角三角形AOF中，由OA和OF的长，利用勾股定理求出AF的长，进而求出AE的长．此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有锐角三角函数，勾股定理，直角三角形的性质，以及垂径定理，利用了数形结合的思想，直线与圆相切时，常常连接圆心与切点，构造直角三角形解决问题，直线与圆相交时，常常由弦心距，弦的一半及圆的半径构造直角三角形解决问题，学生做此类题应注意辅助线的作法．三、解答题(本大题共6小题，共80.0分)16.已知函数f（x）=2sinxcosx+cos2x+1．（Ⅰ）求函数的单调递增区间；（Ⅱ）求函数在[-，]上的最小值，并写出取最小值时相应的x值．【答案】解：（Ⅰ）f（x）=2sinxcosx+cos2x+1=sin2x+cos2x+1=1+2sin（2x），令2k，解得，k≤x≤k，所以函数f（x）的单调递增区间为[k，k]（k∈Z）．（Ⅱ）因为≤x≤，则-，即有-，即有0≤1+2sin（2x）≤3，所以当2x=-，即x=-时，函数f（x）取得最小值0．【解析】（Ⅰ）运用二倍角的正弦公式，两角和的正弦公式，即可得到f（x），再由正弦函数的单调增区间，解不等式即可得到；（Ⅱ）由x的范围，求得2x的范围，再由正弦函数的性质，即可得到最小值．本题考查三角函数的化简和求值，考查正弦函数的单调性和值域的运用，考查运算能力，属于中档题．17.北京市各级各类中小学每年都要进行“学生体质健康测试”，测试总成绩满分为100分，规定测试成绩在[85，100]之间为体质优秀；在[75，85]之间为体质良好；在[60，75]之间为体质合格；在[0，60]之间为体质不合格．现从某校高三年级的300名学生中随机抽取X名学生体质健康测试成绩，其茎叶图如下：（Ⅰ）试估计该校高三年级体质为优秀的学生人数；（Ⅱ）根据以上X名学生体质健康测试成绩，现采用分层抽样的方法，从体质为优秀和良好的学生中抽取5名学生，再从这5名学生中选出3人．（ⅰ）求在选出的3名学生中至少有1名体质为优秀的概率；（ⅱ）记X为在选出的X名学生中体质为良好的人数，求X的分布列及数学期望．【答案】解：（Ⅰ）根据抽样，估计该校高三学生中体质为优秀的学生人数有人．（Ⅱ）依题意，体质为良好和优秀的学生人数之比为15：10=3：2．所以，从体质为良好的学生中抽取的人数为，从体质为优秀的学生中抽取的人数为．（ⅰ）设“在选出的3名学生中至少有名体质为优秀”为事件A，则．故在选出的3名学生中至少有1名体质为优秀的概率为．（ⅱ）解：随机变量X的所有取值为1，2，3.，，．所以，随机变量X的分布列为：．【解析】（Ⅰ）根据抽样的定义和条件即可估计该校高三年级体质为优秀的学生人数；（Ⅱ）求出随机变量的分布列以及数学期望公式进行计算即可．本题主要考查茎叶图的应用以及随机变量的分布列和数学期望的计算，考查学生的计算能力．18.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠ABC=90°，AD∥BC，且PA=AD=2，AB=BC=1，E为PD的中点．（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAC；（Ⅱ）求二面角E-AC-D的余弦值；（Ⅲ）在线段AB上是否存在一点F（不与A，B两点重合），使得AE∥平面PCF？若存在，求出AF的长；若不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）证明：因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD．…（1分）取AD的中点G，连结GC，因为底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ABC=90°，且AB=BC=1，所以四边形ABCG为正方形，所以CG⊥AD，且，所以∠ACD=90°，即AC⊥CD．…（3分）又PA∩AC=A，所以CD⊥平面PAC．…（4分）（Ⅱ）解：如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系A-xyz．…（5分）则A（0，0，0），C（1，1，0），E（0，1，1），P（0，0，2），所以，，，，，，，，．因为PA⊥平面ABCD，所以，，为平面ACD的一个法向量．…（6分）设平面EAC的法向量为，，，由，得，令x=1，则y=-1，z=1，所以，，是平面EAC的一个法向量．…（8分）所以＜，＞因为二面角E-AC-D为锐角，所以二面角E-AC-D的余弦值为．…（9分）（Ⅲ）解：假设在线段AB上存在点F（不与A，B两点重合），使得AE∥平面PCF．设F（a，0，0），则，，，，，．设平面PCF的法向量为，，，由，得，令x=1，则y=a-1，，所以，，是平面PCF的一个法向量．…（12分）因为AE∥平面PCF，所以，即，…（13分）解得，所以在线段AB上存在一点F（不与A，B两点重合），使得AE∥平面PCF，且．…（14分）【解析】（Ⅰ）取AD的中点G，连结GC，证明PA⊥CD，AC⊥CD，利用线面垂直的判定定理可得CD⊥平面PAC；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出平面ACD、平面EAC的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角E-AC-D的余弦值；（Ⅲ）假设在线段AB上存在点F（不与A，B两点重合），使得AE∥平面PCF．设F（a，0，0），求出，，是平面PCF的一个法向量，根据AE∥平面PCF，可得，即，从而可得结论．本题考查线面垂直的判定，考查面面角，考查线面平行，考查向量法的运用，考查学生分析解决问题的能力，正确求出平面的法向量是关键．19.已知函数f（x）=e x-ax（e为自然对数的底数）．（Ⅰ）当a=2时，求曲线f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）已知函数f（x）在x=0处取得极小值，不等式f（x）＜mx的解集为P，若，且M∩P≠∅，求实数m的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=e x-2x，f（0）=1，f′（x）=e x-2，得f′（0）=-1，所以曲线f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=-x+1．（Ⅱ）f′（x）=e x-a．当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，此时f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞），无单调递减区间；当a＞0时，x∈（-∞，lna）时，f′（x）＜0，x∈（lna，+∞）时，f′（x）＞0，此时f（x）的单调递增区间为（lna，+∞），单调递减区间为（-∞，lna）．（Ⅲ）由函数f（x）在x=0处取得极小值，则f′（0）=0得a=1，经检验此时f（x）在x=0处取得极小值．因为M∩P≠∅，所以f（x）＜mx在，上有解，即，使f（x）＜mx成立，即，使＞成立，所以＞．令，′，所以g（x）在，上单调递减，在[1，2]上单调递增，则g（x）min=g（1）=e-1，所以m∈（e-1，+∞）．【解析】（Ⅰ）a=2时，f（x）=e x-2x，f（0）=1，f′（x）=e x-2，得f′（0）=-1，由此能求出曲线y=f（x）在（0，f（0））处的切线方程．（Ⅱ）由函数f（x）=e x-ax得到f′（x）=e x-a，由此根据a的取值范围进行分类讨论，能求出函数f（x）的单调区间．（Ⅲ）由题意知，f′（0）=0，再由M∩P≠∅，得到不等式f（x）＜mx在，上有解，分离参数，求得函数最值，即可得到实数m的取值范围．本题考查函数的切线方程的求法，考查函数的单调性的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想和分类讨论思想的合理运用．20.已知圆（x+1）2+y2=8的圆心为M，N（t，0），t＞0且t≠2-1，设Q为圆上任一点，线段QN的垂直平分线交直线MQ于点P．（1）试讨论动点P的轨迹类型；（2）当t=1时，设动点P的轨迹为曲线C，过C上任一点P作直线l，l与曲线C有且只有一个交点，l与圆M交于点AB，若△ABN的面积是，求直线l的方程．【答案】解：（1）由题|PN|=|PQ|，当＜＜时，点N在圆M内，点P在线段MQ内，∴＞∴动点P的轨迹是以M，N为焦点，为长轴的椭圆，…2分当＞时，点N在圆M外，点P在线段MQ的延长线上，∴＜∴动点P的轨迹是以M，N为焦点，为实轴长的双曲线．…5分（2）由（1）知t=1时，动点P的轨迹是以M（-1，0），N（1，0）为焦点，为长轴长的椭圆∴，，∴b=1∴曲线C的方程是…6分当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m由消y并整理成（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0（*）∵l与曲线C有且只有一个交点，∴（*）方程有且只有一个实数解，∴△=16k2m2-4（1+2k2）（2m2-2）=0，即有m2=1+2k2…7分∵圆心M（-1，0）到直线l的距离为，∴弦长，…9分点N（1，0）到直线l的距离为，∴△ABN的面积为，∴S====，∵△ABN的面积是，∴=，解得得2mk=3+k2∴4m2k2=（3+k2）2⇒4（1+2k2）k2=9+6k2+k4⇒（k2+1）（7k2-9）=0∴，当时，代入2mk=3+k2得当时，代入2mk=3+k2得…12分当直线的斜率不存在时，直线l方程为或经检验不满足条件综上所求直线方程为或．…13分．【解析】（1）由题|PN|=|PQ|，当＜＜时，动点P的轨迹是以M，N为焦点，为长轴的椭圆；当＞时，动点P的轨迹是以M，N为焦点，为实轴长的双曲线．（2）t=1时，曲线C的方程是，设直线l的方程为y=kx+m，由消，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0，由此利用圆心M（-1，0）到直线l的距离、弦长公式结合已知条件能求出直线l的方程．本题考查点的轨迹类型的讨论，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式和弦长公式的合理运用．21.已知数列{a n}、{b n}满足：a1=，a n+b n=1，b n+1=．（Ⅰ）求b1，b2，b3，b4；（Ⅱ）设C n=，求证数列{C n}是等差数列，并求b n的通项公式；（Ⅲ）设S n=a1a2+a2a3+a3a4+…+a n a n+1，不等式4a S n＜b n恒成立时，求实数a的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）∵a n+b n=1，∴a n=1-b n，∴b n+1==．∵a1=，∴，，，；（Ⅱ）∵，∴，∴数列{C n}是以-4为首项，-1为公差的等差数列，∴c n=-4+（n-1）（-1）=-n-3．于是，；（Ⅲ），S n=a1a2+a2a3+a3a4+…+a n a n+1==．∴4a S n-b n=．由条件可知（a-1）n2+（3a-6）n-8＜0恒成立即可满足条件，设f（n）=（a-1）n2+（3a-6）n-8．当a=1时，f（n）=-3n-8＜0恒成立，当a＞1时，由二次函数的性质知不可能成立，当a＜1时，对称轴＜，f（n）在（1，+∞）为单调递减函数．则f（1）=（a-1）n2+（3a-6）n-8=（a-1）+（3a-6）-8=4a-15＜0，∴＜，∴a≤1时，4a S n＜b n恒成立．【解析】（Ⅰ）直接由数列递推式求b1，b2，b3，b4；（Ⅱ）把数列递推式变形，得到数列{C n}是以-4为首项，-1为公差的等差数列，求得数列{C n}的通项公式后代入C n=求b n的通项公式；（Ⅲ）求出数列{a n}的通项公式，代入S n=a1a2+a2a3+a3a4+…+a n a n+1利用裂项相消法求出S n，把不等式4a S n＜b n恒成立转化为（a-1）n2+（3a-6）n-8＜0恒成立，构造二次函数后分离参数n得答案．本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了裂项相消法求数列的和，考查了数列的函数特性，是中档题．。
中山二中2014届高三理科数学第一次月考
中山二中2014届高三理科数学第一次月考（2013年9 月5日）命题人：邹远雄老师 审题人：黄全顺老师 时间：120分钟 满分：150分注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己姓名、学号填写在答题卷上.2、选择题涂卡.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，不准使用铅笔和涂改液.3、考生必须保持答题卡的整洁. 考试结束，将答题卷交回，试卷不用上交.4、不可以使用计算器.参考公式)1()2)(1(+---=m n n n n A mn 或)!(!m n n A mn -=（其中m≤n m,n ∈Z ）或 )!(!!m n m n C mn -=),,(n m N m n ≤∈*且一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分． 1、设集合U={0,1,2,3,4,5}，集合M={0,3,5}，N={1,4,5}，则)(N C M U =（ ）A ．{5}B ．{0，3}C ．{0，2，3，5}D ．{0，1，3，4，5}2．复数i z a b =+(),a b ∈R 的虚部记作()Im z b =，则1Im 2i ⎛⎫= ⎪+⎝⎭（ ）A ．13 B ．25C ．13-D ．15-3．设随机变量ξ服从正态分布()3,4N ，若()()232P a P a ξξ<-=>+，则a 的值为（ ）A ．73 B ．53C ．5D ．3 4．在各项都为正数的等比数列}{n a 中，首项为3，前3项和为21，则=++543a a a （ ）A ．33B ．72C ．84D ．1895．函数()x f 满足()00=f ，其导函数()x f '的图象如下图，则()x f 的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为（ ）A ．31 B ．34 C ．2 D ．386．下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知()f x 是定义在R 上的偶函数,且以2为周期,则“()f x 为[0,1]上的增函数”是“()f x 为[3,4]上的减函数”的（ ）A ．既不充分也不必要的条件B ．充分而不必要的条件C ．必要而不充分的条件D ．充要条件8．函数)(x f 满足882)1()1(2+-=++-x x x f x f ，)2(4)1()1(-=--+x x f x f ， 且)(,21),1(x f x f -- 成等差数列，则x 的值是（ ）A. 2B. 3C. 2或3D. 2或-3二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题） 9.设集合，则＝ ．10. 已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调增加，则满足1(21)()3f x f -<的x 取值范围是 ． 11. 记函数()y f x =的反函数为1().y f x -=如果函数()y f x =的图像过点(1,0),那么函数1()1y f x -=+的图像过点 ．12．如图1为某质点在4秒钟内作直线运动时，速度函数()v v t =的图象，则该质点运动的总路程s = ．13.已知函数求f{f[f(a)]} (a<0)的值是 ．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题） 在极坐标系中，曲线3=ρ截直线1)4cos(=+πθρ所得的弦长为 ．图215．（几何证明选讲选做题）如图2，PAB 、PCD 是圆的两条割线，已知PA ＝6，AB ＝2，PC ＝21CD ．则PD ＝________．图1三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16、(1) 求函数y ＝log 0.5(4x 2－3x )+0)1(-x 的定义域(2)设１且≠>a a 0，解关于x 的不等式22232223x x xx a a -++-> （6+8＝14分）17、（12分）已知命题p ：指数函数f (x )＝(2a －6)x 在R 上单调递减，命题q ：关于x 的方程x 2－3ax ＋2a 2＋1＝0的两个实根均大于3.若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围．18．（1）已知幂函数的图象与轴都无交点，且关于轴对称，求函数解析式.（2）已知函数y ＝42215x x －－．求函数的单调区间和奇偶性 （6+9＝15分）19．（13分）某地区对12岁儿童瞬时记忆能力进行调查．瞬时记忆能力包括听觉记忆能力与视觉记忆能力.某班学甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格.（Ⅰ）求甲、乙两人考试均合格的概率；（Ⅱ）求甲答对试题数ξ的概率分布及数学期望.20．（14分）已知三次函数32()f x x ax bx c =+++在1x =和1x =-时取极值，且(2)4f -=-．（Ⅰ） 求函数()y f x =的表达式；（Ⅱ）求函数()y f x =的单调区间和极值；（Ⅲ）若函数()()4(0)g x f x m m m =-+>在区间[3,]m n -上的值域为[4,16]-，试求m 、n 应满足的条件。
2014届广东省中山市高三数学综合理科试题(五)及答案
中山市2014届高三数学综合试题（五）理科注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上。
2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设{}1,2,3,4,5U =-,{}1,5A =-,{}2,4B =,则()UBA =?（ ）A. {2}B. {1,3,4,5}C. {2,3,4}D. {2,4} 2. 复数231ii--（i 是虚数单位）的实部和虚部的和是（ ） A ．4 B ．6 C ．2 D ．33. 已知x 、y 满足0020350x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨-≤⎪⎪-+≥⎩，则2x y +的最大值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．64. 沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（）5. 已知2(3,log 15)a →=，2(2,log 3)b →=,2(2,log )c m →=,若()a b →-c →,则m 的值为（ ）A ．25B ．C ．10D ．1256. 甲乙等5个人站成一排，若甲乙两人之间恰有1个人，则不同站法有（ ） A ．18种 B ．24种 C ．36种 D ．48种7. 曲线2y x=与直线1y x =-及4x =所围成的封闭图形的面积为（ ）A ．2ln 2B ．2ln 2-C ．4ln 2-D ．42ln 2-8.把已知正整数n 表示为若干个正整数（至少3个，且可以相等）之和的形式，若这几个正整数可以按一定顺序构成等差数列，则称这些数为n 的一个等差分拆．将这些正整数的不同排列视为相同的分拆．如：（1，4，7）与（7，1，4）为12的相同等差分拆．正整数27的不同等差分拆有( )个. A. 9 B. 10 C. 11 D. 12二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分.9. 4(1)x -的展开式中2x 的系数是10. 在平面直角坐标系xOy 中，直线3450x y +-=与圆224x y +=相交于A 、B两点，则||AB =11. 已知(,0)2πα∈-，sin α=tan α的值为12.如图，正方形ABCD 的边长为1，点E 是CD 的中点，则AE AB 的值为 13．下列命题：①函数在上是减函数； ②点(1,1),(2,7)A B 在直线两侧；③数列为递减的等差数列，，设数列的前n 项和为，则当时，取得最大值；④若已知回归直线的斜率的估计值和样本点中心，则一定可求出回归直线方程。
广东省中山一中2014届高三第二次统测数学(理)试题 含解析
第Ⅰ卷(共40分）一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合{}1,2,3M =，{}14N x Z x =∈<<，则 ( )A.N M ⊆ B 。
N M = C.{}2,3M N =D.()1,4MN =2。
等差数列{}na 中，“13aa <”是“1n n a a +<"的 （ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件考点：充分必要条件3.化简21sin 352sin 20-=（ )A.12B 。
12-C.1-D.14。
已知等比数列{}na 的首项11a=，公比2=q ，则=+++1122212log log log a a a （ ）A.50B 。
35C 。
55D 。
465.已知平面向量()1,2a =-，()4,b m =，且a b ⊥，则向量53a b -= ( ）A.()7,16--B.()7,34-- C 。
()7,4-- D.()7,14-【解析】6.命题,:p α∃、R β∈，使()tan tan tan αβαβ+=+；命题:q x R ⌝∀∈，210x x ++≥．则下列命题中真命题为（ ）A 。
q p ∧B 。
()p q ⌝∧ C.()()p q ⌝⌝∧D.()p q ⌝∧7。
奇函数()f x 满足对任意x R ∈都有()()2f x f x +=-成立，且()18f =，则()2012f +()()20132014f f +的值为（ )A.2B.4C 。
6 D.8【解析】8.如下图所示，A 、B 、C 是圆O 上的三点，CO 的延长线与线段AB 交于圆内一点D ，若OC =xOA yOB +,则（ ）A 。
01x y <+<B 。
1x y +> C.1x y +<-D 。
10x y -<+<考点：1。
(理数)中山市2014届高三上学期期末统一考试
中山市2014届高三上学期期末统一考试数学（理科）本试卷共4页，20小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1、答卷前，考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上。
3、不可以使用计算器。
4、考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设复数113i z =-，21i z =-，则12z z +在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．设全集U 是实数集,R {}22,M x x x =><-或{}2430N x x x =-+> 则图中阴影部分所表示的集合是 （ ） A ．{|21}x x -≤< B ．{|22}x x -≤≤ C ．{|12}x x <≤D ．{|2}x x <3．已知平面向量()21=，a ，()2x =-，b ，若a ∥b ， 则a +b 等于( ) A ．()2,1--B ．()2,1C ．()3,1-D ．()3,1-4．定义某种运算a S b =⊗，运算原理如上图所示，则式子131100lg ln )45tan 2(-⎪⎭⎫⎝⎛⊗+⊗e π的值为（ ）A ．4B ．8C ．11D ．135．把边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使得平面⊥ABD平面CBD ，形成三棱锥ABD C -的正视图与俯视图如下图所示，则侧视图的面积为 （ ）（第2题图）（第4题图）A B C D ．6．下列四个命题中，正确的有①两个变量间的相关系数r 越小，说明两变量间的线性相关程度越低；②命题p ：“R ∈∃0x ，01020>--x x ”的否定p ⌝：“R ∈∀x ，012<--x x ”；③用相关指数2R 来刻画回归效果，若2R 越大，则说明模型的拟合效果越好； ④若23.0=a ，3.02=b ，2log 3.0=c ，则b a c <<． A ．①③④B ．①④C ．③④D ．②③7．对a ∀、b R ∈，运算“⊕”、“⊗”定义为：a b ⊕=,().()a a b b a b <⎧⎨≥⎩，a b ⊗=,().()a ab b a b ≥⎧⎨<⎩，则下列各式其中不恒成立的是（ ） ⑴a b a b a b =+⊗+⊕ ⑵a b a b a b =-⊗-⊕ ⑶[][]a b a b a b =⋅⊗⋅⊕ ⑷[][]a b a b a b =÷⊗÷⊕ A ．⑴、⑶B ． ⑵、⑷C ．⑴、⑵、⑶D ．⑴、⑵、⑶、⑷8. 已知函数)(x f y =)(R x ∈满足(2)2()f x f x +=，且[1,1]x ∈-时，()1f x x =-+，则当[10,10]x ∈-时，)(x f y =与4()log g x x =的图象的交点个数为( ) A ．13B ．12二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分9．已知函数3log ,0()2,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则1(())9f f 10．如图，一不规则区域内，有一边长为1区域内随机地撒1000（含边界）的黄豆数为 375 积为 平方米.（用分数作答）11．在二项式521x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，含4x 的项的系数是 ．12．已知20πα<<,=+)6cos(πα53,则=αcos . 13．已知数列{}n a 为等差数列，若23a =，1612a a +=，则789a a a ++= .14．如图, //AB MN ，且2OA OM =，若OP xOA yOB =+，（其中,x y R ∈），则终点P 落在阴影部分（含边界） 时，21y x x +++的取值范围是 .三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本题满分12分）设平面向量)sin ,(cos x x a =，1()22b = ，函数()1f x a b =⋅+ . （Ⅰ）求函数)(x f 的值域和函数的单调递增区间; （Ⅱ）当9()5f α=,且263ππα<<时,求2sin(2)3πα+的值. 16．（本题满分12分）某校从参加高三年级期末统考测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）估计这次测试数学成绩的平均分和众数； （Ⅱ）假设在[90，100]段的学生的数学成绩都不相同，且都超过94分．若将频率视为概率，现用简单随机抽样的方法，从95，96，97，98，99，100这6个数中任意抽取2个数，有放回地抽取了3次，记这3次抽取中，恰好是两个学生的数学成绩的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望E ξ． 17．（本小题满分14分）如图，在底面是矩形的四棱锥ABCD P -中，PEDAPA ⊥平面ABCD ， 2==AB PA ，4=BC .E 是PD 的中点，（Ⅰ）求证：平面PDC ⊥平面PAD ； （Ⅱ）求二面角D AC E --的余弦值； （Ⅲ）求直线CD 与平面AEC 所成角的正弦值 18．（本小题满分14分）数列{n a }的前n 项和为n S ，2131(*)22n n S a n n n N +=--+∈． （Ⅰ）设n n b a n =+，证明：数列{}n b 是等比数列； （Ⅱ）求数列{}n nb 的前n 项和n T ； （Ⅲ）若1n n n b c b =-，数列{}n c 的前n 项和n T ，证明：n T <53． 19．（本小题满分14分）已知函数()xf x e kx =-，.（Ⅰ）若0k >，且对于任意0)(,>∈x f R x 恒成立，试确定实数k 的取值范围； （Ⅱ）设函数)()()(x f x f x F -+=，求证：1ln (1)ln (2)ln ()ln(2)()2n nF F F n e n N +*+++>+∈20．（本题满分14分）已知函数2()()f x x x a =-，2()(1)g x x a x a =-+-+（其中a 为常数）； （Ⅰ）如果函数()y f x =和()y g x =有相同的极值点，求a 的值；（Ⅱ）设0a >，问是否存在0(1,)3ax ∈-，使得00()()f x g x >，若存在，请求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．（Ⅲ）记函数()[()1][()1]H x f x g x =-⋅-，若函数()y H x =有5个不同的零点，求实数a 的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．DAAD BCBC二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分． 9.14 ; 10. 8311. 10;12.； 13. 45； 14. 4[,4]3三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本题满分12分）设平面向量)sin ,(cos x x =，)21,23(=，函数1)(+⋅=x f 。
中山市高二级2013—2014学年度第二学期期末统一考试(数学.理)
中山市高二级2013—2014学年度第二学期期末统一考试高二数学试卷（理科）本试卷共4页，21小题， 满分150分. 考试用时120分钟.注意事项：1、答卷前，考生务必用2B 铅笔在答题卡“考生号”处填涂考生号，用黑色字迹钢笔或签字笔将自己姓名、考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.2、选择题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上.3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上. 如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案. 不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效.4、考生必须保持答题卡的整洁. 考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交. 参考公式：回归直线ˆybx a =+，其中1122211()(),()nnii i ii i nniii i xx y y x ynx y b a y bx xx xnx====---===---∑∑∑∑.参考临界值表：()()()()2n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n = a + b + c + d ．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 在复平面内，复数22iz i=-对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2. 将一颗骰子先后抛掷两次，观察向上的点数，则点数相同的概率是A.16B.112C.136D.133. 展开式3631(2)2x x -中的常数项为 A. 0 B. 20- C. 20 D. 404. 在100件产品中，有98件合格品，2件次品. 从这100件产品中任意抽出3件，至少有1件是次品的抽法种数为A. 12299C C B. 12298C CC. 3310098C C - D. 1221298298C C C C ⨯5. 下列计算错误的是A. 13014x dx =⎰B. 1b a dx b a =-⎰C. 4π=⎰ D. 0sin 2xdx π-=⎰6. 如图，有一个形如六边形的点阵，它的中心是一个点（算第1层），第2层每边有两个点，第3层每边有三个点，依次类推．如果一个六边形点阵共有169个点，那么它的层数为 A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 7. 抛物线2y x =在(1,1)A 处的切线与x 轴及该抛物线所围成的图形面积为A.112 B. 16 C. 13D. 12 8. 设()f x 与()g x 是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若对任意x ∈[a ，b ]，都有|()()|1f x g x -≤成立，则称()f x 和()g x 在[a ，b ]上是“密切函数”，区间[a ，b ]称为“密切区间”. 若2()34f x x x =-+与()23g x x =-在[a ，b ]上是“密切函数”，则其“密切区间”可以是A. [1，4]B. [2，3]C. [3，4]D. [2，4]二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卡相应横线上） （一）必做题（9～13题）9. 已知复数2(1)z i =-，则z 的共轭复数z = . 10. 一离散型随机变量的分布列如下：则均值EX = .11. 商场经营的某种包装的大米质量服从正态分布2(10,0.1)N （单位：kg ）. 任选一袋大米，根 据2~(,)X N μσ时的性质()0.6826P X u μσσ-<≤+=，(22)0.9544P X u μσσ-<≤+=，(33)0.9974P X u μσσ-<≤+=，由此可计算这袋大米质量在10.2 kg 以上的概率是 .（保留小数点后四位）12. 若等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，前n 项的和为n S ，则数列{}nS n为等差数列，且通项为112n S n a d n -=+．类似地，若各项均为正数的等比数列{}n b 的首项为1b ，公比为q ，前n 项的积为n T ，则数列为等比数列，通项为________ . 13. 某同学计算出“22sin 30cos 60sin30cos60︒+︒+︒︒”结果为34之后，尝试利用TI-NspireO DCBA PCAS图形计算器对结论进行拓展研究，进行了如下图1、图2所示的三角求值的探究：图1 图2根据上面的探究，可以得出结论拓展的等式为.（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题，若两题都做，取14题为最后得分）14．（坐标系与参数方程选做题）曲线2sinsinxyθθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）与直线y=x+2的交点坐标为．15．（几何证明选讲选做题）如图，AB是半径为3的⊙O的直径，CD是弦，BA、CD的延长线交于点P，4,5PA PD==，则CBD∠=.三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.）16.（13分）学校游园活动有这样一个项目：甲箱子里装有3个红球，2个黑球；乙箱子里装有2个红球，2个黑球. 现在从两个箱子里分别摸出一个球，如果它们都是红球则获奖.（1）试问获奖的概率是否大于0.5？请说明理由.（2）从两个箱子里分别摸出一个球，记所摸出的两个球中红球的个数为Y，试求Y的分布列与均值.17.（13分）已知sinθ与cosθ的等差中项是sin x，等比中项是sin y.（1）试用综合法证明：2cos2cos2x y=；（2）试用分析法证明：cos434cos4y x=+.18.（13分）近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重.（1）大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病. 为了解某市心肺疾病是否与性别有关，问有多大的把握认为是否患心肺疾病与性别有关?（2）空气质量指数PM2.5（单位：μg/3m ）表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越高，就代表空气污染越严重. 某市在2014年年初着手治理环境污染，改善空气质试根据上表数据，求月份x 与PM2.5指数y 的线性回归直线方程ˆybx a =+，并预测2014年8月份的日平均PM2.5指数(保留小数点后一位).19. （13分）数列{}n a 中，已知114a =，11(2,*)(32)(31)n n a a n n N n n -=+≥∈-+. （1）计算234,,a a a 的值，并归纳猜想出数列{}n a 的通项公式； （2）试用数学归纳法证明你归纳猜想出的结论.20. （14分）已知函数2()()f x x x c =-在2x =处有极小值，且函数 32()542ln g x x x x x a =-+++，其中a 、c 为实常数.（1）求实数c 的值；（2）若(0,)x ∈+∞时，不等式()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；（3）若对于任意121,[,2]2x x ∈，都有211()()x f x g x e -≥恒成立，求实数a 的取值范围.21. （14分）有如下结论：“圆222x y r +=上一点00(,)P x y 处的切线方程为200x x y y r +=类比也有结论：“椭圆2200221(0)(,)x y a b P x y a b +=>>上一点处的切线方程为00221x x y y a b +=”,我们又把两条直线2a x c =±定义为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的准线.过椭圆C ：22143x y+=的右准线l 上任意一点M 引椭圆C 的两条切线，切点为 A 、B .（1）求椭圆22143x y +=的准线方程；（2）直线AB 是否恒过某定点，如果是，求出此定点坐标，如果不是，请说明理由；（3）当点M 的纵坐标为34时，求直线AB 与以椭圆C 的右顶点为焦点，顶点在坐标原点的抛物线所围成图形的面积S .中山市高二级2013—2014学年度第二学期期末统一考试高二数学试卷（理科）参考答案一、选择题： BABC DCAB 二、填空题：9. 2i ； 10. 1.65； 11. 0.0228； 12.121n b q-=；13. sin 2α+cos 2(α＋30︒)+sinαcos(α＋30︒)=34； 14. (1,1)-； 15. 30︒. 三、解答题： 16. 解：（1）记获奖为事件A ，则323()322210P A =⨯=++. ……（3分） ∴获奖的概率小于0.5. ……（4分） （2）Y =0，1，2. ……（5分）221(0)545P Y ==⨯=，22321(1)54542P Y ==⨯+⨯=，323(2)5410P Y ==⨯=. ……（8分）所以，Y 的分布列为 ……（10分）均值012521010EY =⨯+⨯+⨯=. ……（13分）17. 证明：（1）∵ sin θ与cos θ的等差中项是sin x ，等比中项是sin y ，∴ sin cos 2sin x θθ+=， ①2sin cos sin y θθ=， ② ……（3分）①2－②×2，可得 222(sin cos )2sin cos 4sin 2sin x y θθθθ+-=-， 即224sin 2sin 1x y -=. ……（5分）∴ 1cos21cos242122x y--⨯-⨯=， 即22cos2(1cos2)1x y ---=. 故证得2cos2cos2x y =. ……（7分）（2）要证cos434cos4y x =+，只需证222cos 2134(2cos 21)y x -=+-， ……（9分） 即证222cos 28cos 2y x =，即证22cos 24cos 2y x =， ……（11分） 由（1）的结论，22cos 24cos 2y x =显然成立. 所以，cos434cos4y x =+. ……（13分）18. 解：（1）()()()()()22250(2015105)258.3337.879302025253n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯===≈>++++⨯⨯⨯……（3分）查表得2(7.879)0.005P K ≥=，所以，有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关. ……（5分） （2）1234535x ++++==，7976757372755y ++++==. ……（7分）121()()()nii i nii xx y y b xx ==--=-∑∑(2)4(1)1001(2)2(3)1.741014-⨯+-⨯+⨯+⨯-+⨯-==-++++. ……（9分）75( 1.7)380.1a y bx ∴=-=--⨯=， ……（10分） ˆ 1.780.1yx ∴=-+. ……（11分） 当8x =时，ˆ 1.7880.166.5y=-⨯+=， 所以，预测2014年8月份的日平均PM2.5指数为66.5. ……（13分）19．解：（1）当n =2时，211112474477a a =+=+=⨯⨯； ……（2分）当n =3时，321213710771010a a =+=+=⨯⨯； ……（3分）当n =4时，431314101310101313a a =+=+=⨯⨯. ……（4分）由1234,,,471013，猜想： 31n n a n =+ . ……（6分） （2）用数学归纳法证明如下：当1n =时，易知猜测成立. ……（7分）假设当*()n k k N =∈时猜测成立，即31k ka k =+. ……（8分）当1n k =+时，11(31)(34)k k a a k k +=+++131(31)(34)k k k k =++++2341(31)(34)k k k k ++=++(31)(1)11(31)(34)343(1)1k k k k k k k k ++++===+++++.即1n k =+时猜测成立. ……（12分）综上所述，可知猜测对任何*n N ∈都成立. ……（13分）20. 解：（1）32222'()(2)'34f x x cx c x x cx c =-+=-+. ……（1分） ∵ ()f x 在2x =处有极大值，∴ 2'(2)1280f c c =-+=，解得2c =或6c =. ……（2分） 当2c =时，2'()384(32)(2)f x x x x x =-+=--.2(,2)3x ∈时，'()0f x <；(2,)x ∈+∞时，'()0f x >.所以2x =处为极小值，符合题意. ……（3分）当6c =时，2'()32436(36)(6)f x x x x x =-+=--. (,2)x ∈-∞时，'()0f x >；(2,6)x ∈时，'()0f x <. 所以2x =处为极大值，不符合题意. ∴ 2c =. ……（4分） （2）由（1）知，232()(2)44f x x x x x x =-=-+.设32322()()()(44)(542ln )2ln h x f x g x x x x x x x x a x x a =-=-+--+++=--.则22(1)(1)'()2x x h x x x x-+=-=. ……（6分） 令'()0h x =，解得1x =.当(0,1)x ∈时，'()0h x <；当(1,)x ∈+∞时，'()0h x >，所以1x =时，min ()(1)12ln11h x h a a ==--=-. ……（9分）∵ (0,)x ∈+∞时，不等式()()f x g x ≥恒成立，即()()()0h x f x g x =-≥恒成立， ∴ 10a -≥，解得1a ≤.所以，实数a 的取值范围为(,1]-∞. ……（10分）（3）由（2）知，()()()h x f x g x =-在1[,2]2的最小值为1a -，因为函数x y e =在1[,2]2是增函数，所以在1[,2]2上，x e 的最大值为2e ，……（12分）∴ 21a e -≥，解得21a e ≤-.所以，实数a 的取值范围为2(,1]e -∞-. ……（14分）21. 解：（1）椭圆22143x y +=中，2a =，b =1c =. ……（2分）所以，准线方程为221x =±，即4x =±. ……（4分）（2）设M 111,122(4,)(),(),(,),143x x y yt t R A x y B x y MA ∈+=则的方程为. ……（5分）∵点M 在MA 上，∴1113tx y += ①， ……（6分） 同理可得2213tx y +=②. ……（7分） 由①②知AB 的方程为1,3303tx y x ty +=--=即. ③ ……（8分）易知右焦点F （1,0）满足③式，故AB 恒过椭圆C 的右焦点F （1,0）. ……（9分） （3）当点M 的纵坐标为34时，直线AB 的方程为33304x y +-=，即44y x =-+. 抛物线的焦点为(2,0)，则22p=，得4p =，所以，抛物线方程为28y x =. ……（10分）联立方程组2448y x y x =-+⎧⎨=⎩，解得11122x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，2224x y =⎧⎨=-⎩. ……（11分） 由28y x =得y =±结合图形，知直线AB 与抛物线方程为28y x =所围成图形的面积为 解法一（对x 求积分）1221022[(44)2)]S d x x x dx =+-+-⎰⎰ ……（12分）=31322222012212|(44)|323x x x x +-⨯++=4199362+=. ……（14分） 解法二（对y 求积分）22449()482y y S dy --=-=⎰ ……（14分）1. 教材《选修2-2》P125 第5(1)小题 改编 3. 教材《选修2-3》P37 第5(2)小题 改编 4. 教材《选修2-3》P24 例4 改编 5. 教材《选修2-2》P52-P55改编9. 教材《选修2-2》P124 第2(2)小题 改编 10. 教材《选修2-3》P49 A 组第4题 改编 11. 教材《选修2-3》P75 A 组第2题 改编 16. 教材《选修2-3》P60 B 组第2题 改编17. 教材《选修2-2》P99 例3及 P111 B 组第3题 改编 19. 教材《选修2-2》P107 例2 改编 20. 教材《选修2-2》P73 第7题 改编。
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中山市第二中学2014届高三第2次月考理科数学模拟试卷 一、选择题(每题8分，共40分)
1.已知函数f (x )＝267,0,
100,,
x x x x x ++<≥⎧⎪⎨⎪⎩ 则 f (0)＋f (-1)＝
(A) 9 (B)
7110
(C) 3 (D)
1110
2. “cos x ＝1”是“sin x ＝0”的
(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件(C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 3.在等差数列{a n }中，若a 2＋a 3＝4，a 4＋a 5＝6，则a 9＋a 10＝
(A) 9 (B) 10 (C) 11 (D) 12
4.(2011·冀州高二检测)设f ′(x)是函数f(x)的导函数，y=f ′(x)的图像如图所示，则y=f(x)的图像最有可能是
( )
5.若函数y=a(x 3
-x)
的递减区间为33⎛- ⎝⎭
,则a 的取值范围是( ) (A)a>0 (B)-1<a<0(C)a>1 (D)0<a<1
6、下列说法正确的是（ ）
A ．若x >0，则4
x x +的最小值是2；
B ．若(0,]2x π∈，则4
sin sin x x
+的最小值是4；
C ．若+
∈R y x ,，且14=+y x ，则y x ⋅的最大值为14
； D ．若实数a 、b 满足a +b =2，则3a +3b 的最小值是6；
7.下列函数中，在(0，
2
π
)上有零点的函数是 (A) f (x )＝sin x －x (B) f (x )＝sin x －2πx (C) f (x )＝sin 2x －x (D) f (x )＝sin 2x －2
π
x
8、函数3sin 2y x =可由3sin(2)6
y x π
=-
经过下列怎样的变换得到？（ ）
A ．向左平移
6
π
个单位 B ．向左平移12π个单位
C ．向右平移
6
π
个单位 D ．向右平移12π个单位
二、填空题(每题7分，共30分) 9.已知i 为虚数单位，复数2i
1i
z +=
-，则 | z | ＝＿＿＿＿．
10.已知直线x －2ay －3＝0为圆x 2＋y 2－2x ＋2y －3＝0的一条对称轴，则实数a ＝_______．
11.
函数ln y x
=
的定义域为 . 12．函数2
12
()log (23)f x x x =--+的单调递增区间是 .
13．已知函数()cos()f x A x ωϕ=+的图象如
图所示，2
()23
f π
=-，则(0)f = ．
14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中,点)2
3,2(π
P 到直线3sin 4cos 3:=θρ-θρl 的距离为 ．
15.（几何证明选讲选做题）如图, AB 是⊙O 的直径,点C 在AB 的延长线上,CD 与⊙O 相切于点D .若18C ∠=︒,则CDA ∠＝_____________.
三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
A
16. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，已知sin
2
C
4
．(Ⅰ) 求cos C 的
值；(Ⅱ) 若△ABC
的面积为4
，且sin 2 A ＋sin 2B ＝
1316
sin 2 C ，求a ，b 及c 的值．
17．已知函数满足．
（1）求常数的值； （2）解不等式．
18． △ABC
tan tan tan A B A B --=（I ）求∠C 的大小；（Ⅱ）设角A ，B ，C 的对边依次为,,a b c ，若2c =，且△ABC 是锐角三角形，求2
2
a b +的取值范围．
19．一名高二学生盼望进入某名牌大学学习，不放弃能考入该大学的任何一次机会。
已知该大
学通过以下任何一种方式都可被录取：
①2010年2月国家数学奥赛集训队考试通过（集训队从2009年10月省数学竞赛壹等奖获得者中选拔，通过考试进入集训队则能被该大学提前录取）；
② 2010年3月自主招生考试通过并且2010年6月高考分数达重点线； ③ 2010年6月高考达到该校录取分数线（该校录取分数线高于重点线）。
该名考生竞赛获省一等奖．自主招生考试通过．高考达重点线．高考达该校分数线等事件的概率如下表：
事件 省数学竞获一等自主招生考试通高考达重点高考达该校分数
奖 过 线 线
概率 0．5 0．7 0．8 0．6
如果数学竞赛获省一等奖，该学生估计自己进入国家集训队的概率是0．4。
（1）求该学生参加自主招生考试的概率；
（2）求该学生参加考试次数的分布列与数学期望； （3）求该学生被该大学录取的概率。
20． 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售
价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示．
（Ⅰ） 写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式P =()t f ；
写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q =()t g ； （Ⅱ） 认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿收益最大？ （注：市场售价和种植成本的单位：元/210kg ，时间单位：天）
21． 已知函数
).
(3232)(23
R ∈+-=
x x ax x x f （1）若
)(,1x f y P a ==为曲线点
上的一个
动点，求以点P为切点的切线斜率取最小值时的切线方程；（2）若函数
)
,0(
)
(+∞
=在
x
f
y
上
为单调增函数，试求满足条件的最大整数a。