概率论与数理统计：第一章重难点辅导及例题讲解 (1)
概率论与数理统计(1-3章重点梳理)
公理 3（可列可加性）
两两互斥，则 P (
)＝
(2)条件概率——P(B∣A)＝
P(AB)＝P(A) P(B∣A) P(B) P(A∣B)
2、概率基本性质 (1) P(Φ)＝0，P(Ω)＝1
(2) 有限可加性 P(
)＝
(3) 求逆公式 P( )＝1-P(A) ※补充：对于固定事件 A，P(B∣A)具有概率一切性质 ① P(Φ∣A)＝0，P(A∣A)＝1
1、定义 F(X)=
， <x< ，其中 f(x)为 X 的概率密度函数
【连续型：求分布函数就是求概率，哪儿求概率哪儿求积分】
（※利用 2、概率密度 f(x)性质
可简化求解）
(1)f(x) 0（非负可积性） （2）
3、连续型性质【重要】 ① F(x)为连续函数 ②对于 f(x)连续点 x，有 =f(x) ③对于任何实数 C，P(X=C)=0
①包含 A B 事件 A 发生一定导致 B 发生 【小推大】
②相等 A B 且 B A A=B 【等价=相等】
③互斥 AB=Φ A、B 不能同时发生
④对立
A、B 在一次试验中必然发生且只能发生一个
⑤完全事件组
且
(1≤i≠j≤n)，称
(2)事件间运算(三种)：并(和)，交(积)，逆(差) ①A、B 和事件 A∪B 或 A+B A、B 至少有一个发生
几何分布的无记忆性：设 X G(p)，即
，k=1 2 (0 p 1)则对于
任何正整数 m,k 有 P(X=m+k∣X 6、均匀分布 U(a,b)
)=P(X=k)
密度 f(x)=
分布函数 F(x)=
例：设随机变量 在(1,b)上服从均匀分布，则方程
概率论与数理统计第一章习题解答
《概率论与数量统计》第一章习题解答1、写出下列随机试验的样本空间：（1）记录一个班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）。
（2）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数。
（3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的产品记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出了2件次品就停止检查，或检查了4件产品就停止检查，记录检查的结果。
（4）在单位圆内任意取一点，记录它的坐标。
解：（1）设该班有n人，则该班总成绩的可能值是0，1，2，……，100n。
故随机试验的样本空间S=｛i/n|i=0,1,2,……,100n｝。
（2）随机试验的样本空间S=｛10,11,12,……｝。
（3）以0表示检查到一个次品，1表示检查到一个正品，则随机试验的样本空间S=｛00，0100，0101，0110，0111，100，1010，1011，1100，1101，1110，1111｝。
（4）随机试验的样本空间S=｛（x,y）|x2+y2<1｝。
2、设A，B，C为三个事件，用A，B，C的运算关系表示下列各事件：（1）A发生，B 与C都不发生。
（2）A与B都发生，而C不发生。
（3）A，B，C中至少有一个发生。
（4）A，B，C都发生。
（5）A，B，C都不发生。
（6）A，B，C中不多于一个发生。
（7）A，B，C中不多于两个发生。
（8）A，B，C中至少有两个发生。
解：（1）A B C（2）AB C（3）A∪B∪C （4）ABC（5）A B C（6）A B C∪A B C∪A B C∪A B C（7）S-ABC （8）ABC∪AB C∪A B C∪A BC3、（1）设A，B，C为三个事件，且P（A）=P（B）=P（C）=1/4，P （AB）=P（BC）=0，P（AC）=1/8，求A，B，C至少有一个发生的概率。
（2）已知P（A）=1/2，P（B）=1/3，P（C）=1/5，P（AB）=1/10，P（AC）=1/15，P（BC）=1/20，P（ABC）=1/30，求A∪B，A B，A∪B∪C，A B C，A B C，A B∪C的概率。
概率论与数理统计第一章课后习题详解
概率论与数理统计习题第一章习题1-1（P 7）1．解：（1）}18,4,3{，⋯=Ω （2）}1|),{22<+=Ωy x y x （ (3) {=Ωt |ｔ},10N t ∈≥（本题答案由经济1101班童婷婷提供） ２．ＡＢ 表示只有一件次品，-A 表示没有次品，-B 表示至少有一件次品。
（本题答案由经济1101班童婷婷提供） 3．解：（1）A 1∪A 2=“前两次至少有一次击中目标”;（2）2A =“第二次未击中目标”; （3）A 1A 2A 3=“前三次均击中目标”;（4）A 1⋃A 2⋃A 3=“前三次射击中至少有一次击中目标”; （5）A 3-A 2=“第三次击中但第二次未击中”; （6）A 32A =“第三次击中但第二次未击中”; （7）12A A =“前两次均未击中”; （8）12A A =“前两次均未击中”;（9）(A 1A 2)⋃(A 2A 3)⋃(A 3A 1)=“三次射击中至少有两次击中目标”.（本题答案由陈丽娜同学提供）４.解： (1)ABC(2)ABC(3) ABC (4) A B C(5) ABC (6) AB BC AC (7) A B C (8) (AB) (AC) (BC)（本题答案由丁汉同学提供）５.解： (1)A=BC(2)A =B C（本题答案由房晋同学提供）习题1-2（P 11）6.解：设A=“从中任取两只球为颜色不同的球”,则:112538P(A)=/15/28C C C =（本题答案由顾夏玲同学提供）7.解： (1)组成实验的样本点总数为340C ,组成事件(1)所包含的样本点数为 12337C C ,所以P 1=12337340C C C ⋅ ≈0.2022 (2)组成事件(2)所包含的样本点数为33C ,所以P 2=33340C C ≈0.0001(3)组成事件(3)所包含的样本点数为337C ，所以 P 3=337340C C ≈0.7864 (4)事件（4）的对立事件，即事件A=“三件全为正品”所包含的样本点数为337C ，所以P 4=1-P(A)=1-337340C C ≈0.2136(5)组成事件(5)所包含的样本点数为2133373C C C ⋅+，所以P 5=2133373340+C C C C ⋅ ≈0.01134 （本题答案由金向男同学提供）8.解：(1)组成实验的样本点总数为410A ,末位先考虑有五种选择，首位除去0，有8种选择。
概率论与数理统计 第一章辅导
P( A UB) P( A ) P( B) P( A B) 其中 P( A B) P( B AB) 1 / 3 1 / 4 1 / 12 故 P( A UB) 1 1 / 2） 1 / 3 1 / 12 3 / 4 （
例2 将3个球随机地放入4个盒子中，求下列事件的
概率论与数理统计辅导
主讲：师义民
1
第一章 随机事件及其概率
一、主要内容： 1、随机事件的定义、关系及其运算 2、随机事件概率的定义（统计定义、古典概型定义） 3、随机事件概率的计算 注意利用： (1)、概率的加法公式 (2)、概率的性质 (3)、条件概率公式 (4)、乘法概率公式 (5)、全概率公式 (6)、贝叶斯公式 (7)、相互独立事件的概率计算公式
P ( B | A) P ( AB) / P ( A) (1 / 4) /(1 / 2) 1 / 2 P ( A B ) P ( AUB) 1 P ( AUB) 1 P ( A) P ( B ) P ( AB) 1 1 / 2 1 / 3 1 / 4 5 / 12
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9.在一均匀对称的四面体上，分别图上红、兰、黄、白四种 颜色，现将四面体抛掷3次，试求“在3次抛掷中都是红色 面或黄色面不着地”这一事件的概率。 10.甲、乙两人进行乒乓球单打比赛。甲发球成功后，乙回球 失误的概率为0.3。若乙发球成功，甲回球失误的概率为 0.4，若甲回球成功，乙再次回球失误的概率为0.5。求在 这个回合中乙输掉1分的概率。 11.某店有4位售货员，假设每位售货员是否用秤是相互独立 的，且每位售货员平均在1小时只有15分钟用秤。如果要 求售货员用秤时，因秤不够而影响售货的概率不小于10%， 那么该店应配置几台秤。 12.袋里有个白球、个黑球和个红球，今每次从袋里随机地不 放回取出1球。这样取下去。求白球取出在黑球之前的概 率。
（完整版）概率论与数理统计课程第一章练习题及解答
（完整版）概率论与数理统计课程第一章练习题及解答概率论与数理统计课程第一章练习题及解答一、判断题（在每题后的括号中对的打“√”错的打“×” ）1、若1()P A =，则A 与任一事件B 一定独立。
（√）2、概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律性的一门数学学科。
（√）3、样本空间是随机现象的数学模型。
（√）4、试验中每个基本事件发生的可能性相同的试验称为等可能概型。
（×）5、试验的样本空间只包含有限个元素的试验称为古典概型。
（×）6、实际推断原理就是“概率很小的事件在一次试验中实际上几乎是不发生的”。
（√）7、若S 为试验E 的样本空间，12,,,n B B B L 为E 的一组两两互不相容的事件，则称12,,,n B B B L 为样本空间S 的一个划分。
（×）8、若事件A 的发生对事件B 的发生的概率没有影响，即()()P B A P B =，称事件A 、B 独立。
（√） 9、若事件12,,,(2)n B B B n ≥L 相互独立，则其中任意(2)k k n ≤≤个事件也是相互独立的。
（√）10、若事件12,,,(2)n B B B n ≥L 相互独立，则将12,,,n B B B L 中任意多个事件换成它们的对立事件，所得的n 个事件仍相互独立。
（√）二、单选题1．设事件A 和B 相互独立，则()P A B =U （ C ）A 、()()P A PB + B 、()()P A P B +C 、1()()P A P B -D 、1()()P A P B -2、设事件A 与B 相互独立，且0()1,0()1P A P B <<<<，则正确的是（ A ）A 、A 与AB +一定不独立 B 、A 与A B -一定不独立C 、A 与B A -一定独立D 、A 与AB 一定独立3、设当事件A 与B 同时发生时，事件C 必发生，则（ B ）A 、1()()()P C P A PB ≤+- B 、1()()()PC P A P B ≥+-C 、()()P C P AB =D 、()()P C P A B =U4、在电炉上安装了4个温控器，其显示温度的误差是随机的，在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度0t ，电炉就断电，以E 表示事件“电炉断电”，而(1)(2)(3)(4)T T T T ≤≤≤为4个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件E 等于（）A 、(1)0{}T t ≥B 、(2)0{}T t ≥C 、(3)0{}T t ≥D 、(4)0{}T t ≥分析事件(4)0{}T t ≥表示至少有一个温控器显示的温度不低于临界温度0t ；事件(3)0{}T t ≥表示至少有两个温控器显示的温度不低于临界温度0t ，即(3)0{}E T t =≥，选C 。
概率论与数理统计第一章习题解答
《概率论与数量统计》第一章习题解答1、写出下列随机试验的样本空间：（1）记录一个班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）。
（2）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数。
（3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的产品记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出了2件次品就停止检查，或检查了4件产品就停止检查，记录检查的结果。
（4）在单位圆内任意取一点，记录它的坐标。
解：（1）设该班有n人，则该班总成绩的可能值是0，1，2，……，100n。
故随机试验的样本空间S=｛i/n|i=0,1,2,……,100n｝。
（2）随机试验的样本空间S=｛10,11,12,……｝。
（3）以0表示检查到一个次品，1表示检查到一个正品，则随机试验的样本空间S=｛00，0100，0101，0110，0111，100，1010，1011，1100，1101，1110，1111｝。
（4）随机试验的样本空间S=｛（x,y）|x2+y2<1｝。
2、设A，B，C为三个事件，用A，B，C的运算关系表示下列各事件：（1）A发生，B 与C都不发生。
（2）A与B都发生，而C不发生。
（3）A，B，C中至少有一个发生。
（4）A，B，C都发生。
（5）A，B，C都不发生。
（6）A，B，C中不多于一个发生。
（7）A，B，C中不多于两个发生。
（8）A，B，C中至少有两个发生。
解：（1）A B C（2）AB C（3）A∪B∪C （4）ABC（5）A B C（6）A B C∪A B C∪A B C∪A B C（7）S-ABC （8）ABC∪AB C∪A B C∪A BC3、（1）设A，B，C为三个事件，且P（A）=P（B）=P（C）=1/4，P（AB）=P（BC）=0，P（AC）=1/8，求A，B，C至少有一个发生的概率。
（2）已知P（A）=1/2，P（B）=1/3，P（C）=1/5，P（AB）=1/10，P（AC）=1/15，P（BC）=1/20，P（ABC）=1/30，求A∪B，A B，A∪B∪C，A B C，A B C，A B∪C的概率。
概率论与数理统计第一章教案-知识归纳整理
教 师 备 课 纸1第一节 随机事件一、随机现象在自然界和人类社会日子中普遍存在着两类现象：一类是在一定条件下必然闪现的现象，称为确定性现象。
例如：(1) 一物体从高度为h （米）处垂直下落，则经过t （秒）后必然落到地面，且当高度h 一定时，可由公式221gt h =得到，g h t /2=（秒）。
(2) 异性电荷相互吸引，同性电荷相互排斥。
…另一类则是在一定条件下我们事先无法准确预知其结果的现象，称为随机现象。
例如：(1) 在相同条件下抛掷同一枚硬币，我们无法事先预知将闪现正面还是反面。
(2) 未来某日某种股票的价格是多少。
…概率论算是以数量化想法来研究随机现象及其规律性的一门数学学科。
二、 随机试验为了对随机现象的统计规律性举行研究,就需要对随机现象举行重复观察， 我们把对随机现象的观察称为随机试验，并简称为试验，记为E 。
例如，观察某射手对固定目标举行射击； 抛一枚硬币三次,观察闪现正面的次数；记录某市120急救电话一昼夜接到的呼叫次数等均为随机试验。
随机试验具有下列特点：(1) 可重复性；试验可以在相同的条件下重复举行； (2) 可观察性；试验结果可观察,所有可能的结果是明确的； (3) 不确定性： 每次试验闪现的结果事先不能准确预知。
三、样本空间虽然一具随机试验将要闪现的结果是不确定的, 但其所有可能结果是明确的, 我们把随机试验的每一种可能的结果称为一具样本点, 记为e （或ω）；它们的全体称为样本空间, 记为S (或Ω).知识归纳整理教 师 备 课 纸2反面. 样本空间为S ={正面，反面}或==121}(,{e e e S 正面，=2e 反面)。
(2) 在将一枚硬币抛掷三次，观察正面H 、反面T 闪现事情的试验中，有8个样本点，样本空间：=S },,,,,,,{TTT TTH THT HTT THH HTH HHT HHH 。
(3) 在抛掷一枚骰子，观察其闪现的点数的试验中，有6个样本点：1点，2点，3点，4点，5点，6点，样本空间可简记为=S {1，2，3，4，5，6}。
《概率论与数理统计》第一章课后习题解答共16页word资料
吴赣昌编 《概率论与数理统计》（理工类）三版课后习题解答习题1－31、袋中5个白球，3个黑球，一次任取两个。
（1）求取到的两个求颜色不同的概率；（2）求取到的两个求中有黑球的概率。
解：略2、10把钥匙有3把能打开门，今取两把，求能打开门的概率。
解:设A=“能打开”，则210S n C =法一，取出的两把钥匙，可能只有一把能打开，可能两把都能打开，则112373A n C C C =+ 所以()A Sn P A n = 法二，A ={都打不开}，即取得两把钥匙是从另7把中取得的，则27A n C =，所以27210()1()1C P A P A C =-=- 3、两封信投入四个信筒，求（1）前两个信筒没有信的概率，（2）第一个信筒内只有一封信的概率。
解：24S n =（两封信投入四个信筒的总的方法，重复排列）（1）设A=“前两个信筒没有信”，即两封信在余下的两个信筒中重复排列，22A n =；（2）设B=“第一个信筒内只有一封信”，则应从两封信中选一封放在第一个信筒中，再把余下的一封信放入余下的三个信筒中的任一个，1123B n C =带入公式既得两个概率。
4、一副扑克牌52张，不放回抽样，每次取一张，连续抽4张，求花色各异的概率.解：略5、袋中有红、黄、黑色求各一个，有放回取3次，求下列事件的概率。
A=“三次都是红球”；B=“三次未抽到黑球”，C=“颜色全不相同”，Ｄ＝“颜色不全相同” 解：略6、从0,1,2,,9L 等10个数字中，任意选出不同的三个数字，试求下列事件的概率：1A =‘三个数字中不含0和5’，2A =‘三个数字中不含0或5’，3A =‘三个数字中含0但不含5’.解 3813107()15C P A C ==. 333998233310101014()15C C C P A C C C =+-=， 或 182231014()1()115C P A P A C =-=-=， 2833107()30C P A C ==. 7、从一副52张的扑克牌中任取3张，不重复，计算取出的3张牌中至少有2张花色相同的概率。
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概率论与数理统计
第一章 随机事件与概率
本章重点：
随机事件与概率复习要求：
（1）了解随机事件、概率等概念；
（2）掌握随机事件的运算，了解概率的基本性质；
（3）了解古典概型的条件，会求解较简单的古典概型问题；
（4）熟练掌握概率的加法公式和乘法公式，掌握条件概率和全概率公式；
（5）理解事件独立性概念；
（6）掌握贝努里概型。
考核要求：（1）随机事件的运算和性质（选择或填空）
（2）会求解较简单的古典概型问题（选择或填空）
（3）熟练掌握概率的加法公式和乘法公式及条件概率（选择或填空）
（4）熟练掌握全概率公式（计算题）
例题讲解：
例1 填空题
（1）设A 与B 是两个事件，则)()(B A P A P =+ 。
（2）若P A P AB ().,().==0403，则P A B ()+= 。
（3）设A B ,互不相容，且P A ()>0，则P B A ()= 。
解：（1）因为 B A AB A +=，且AB 与B A 互斥
所以 )()(B A P A P =+)(AB P
正确答案：)(AB P
（2）因为 B A AB A +=，
1.03.04.0)()()(=-=-=B A P A P AB P
4.03.01.0)()()(=+=+=B A P AB P B P
所以 P A B ()+=7.01.04.04.0)()()(=-+=-+AB P B P A P
正确答案：0.7
（3）因为A B ,互不相容，即0)(=AB P
所以 0)
()()(==A P AB P A B P 正确答案： 0
例2 单项选择题
（1）事件B A -又可表示为（ ）。
A. B A
B. AB
C. AB A -
D. B A AB -
（2）掷两颗均匀的骰子，事件“点数之和为3”的概率是（ ）。
A.
36
1 B. 181 C. 121 D. 61 （3）若等式（ ）成立，则事件A B ,相互独立。
A. P A B P A P B ()()()+=+ B. P AB P A P B A ()()()= C. P B P B A ()()= D. P A P B ()()=-1
（4）设A 与B 是相互独立的两个事件，且31)(,21)(==
B P A P ，则=+)(B A P （ ） A. 21 B. 65 C. 32 D. 4
3 解：（1）依定义，事件B A -表示A 发生但B 不发生，因此B A -也可以表示为AB A -. 正确答案：C
（2）基本事件总数为36，点数之和为3的事件有（1，2）和（2，1），即事件数为2，故“点数之和为3”的概率是
18
1362=。
正确答案：B
（3） 因为当式子P B P B A ()()=时，由乘法公式)()()(A B P A P AB P =，得 )()()(B P A P AB P =
所以事件A B ,相互独立。
正确答案：C
（4）因为A 与B 是相互独立，所以由加法公式
=+)(B A P 6
53121)()(=+=
+B P A P 。
正确答案：B 例 3 设A B ,为两事件，已知P A P B P B A (),(),()=
==121312，求)(AB P ，)(B A P +，P A B ()。
解 4
12121)()()(=⨯==A B P A P AB P 12
7413121)()()()(=-+=-+=+AB P B P A P B A P
433
141
)
()()(===B P AB P B A P 例4 已知两个事件A ，B 相互独立，且已知6.0)(=A P ，3.0)(=B P ，求)(B A P +． 解 由P B ().=03 ，得 P B P B ()()..=-=-=110307
所以 )()()()(AB P B P A P B A P -+=+
=+-P A P B P A P B ()()()()=+-⨯=06070607088.....
例5 设5.0)(=A P ，3.0)(=B A P ，求)(A B P ．
解 因为)
()()(A P AB P A B P =，B A AB B B A A +=+=)(，)()()(B A P AB P A P += )()()(B A P A P AB P -=2.03.05.0=-=
所以 4.05
.02.0)()()(===A P AB P A B P 例6 设事件A 与B 独立，两个事件只有A 发生的概率与只有B 发生的概率都是41，求)(A P 与)(B P ．
解 ：因为 41)](1)[()(=
-=B P A P B A P ， 41)](1)[()(=-=A P B P B A P 得 )()()(4
1)(B P B P A P A P =+=， )()](1)[(B P A P A P =- 所以 21)(=A P ，21)(=B P .。