江苏省常州二中2013届高三10月综合练习数学试题
江苏省2013届高三最新数学(精选试题26套)分类汇编16：不等式选讲 Word版含答案.pdf
江苏省2013届高三最新数学（精选试题26套）分类汇编16：不等式选讲 一、解答题 ．（江苏省常州市奔牛高级中学2013年高考数学冲刺模拟试卷）选修4-5(不等式选讲)已知x,y均为正数,且x>y,求证:. 【答案】选修4-5(不等式选讲)已知x,y均为正数,且x>y,求证:. 解:因为x>0,y>0,x-y>0,=, 所以 ．（江苏省徐州市2013届高三考前模拟数学试题）D.[选修4-5:不等式选讲]已知为正数,且满足,求证:. 【答案】D.由柯西不等式,得 ．（江苏省扬州中学2013届高三最后一次模拟考试数学试题）D.(选修4—5:不等式选讲) 已知均为正数,求证:. 【答案】D. 证明:由柯西不等式得 则,即 ．（江苏省常州市华罗庚高级中学2013年高考数学冲刺模拟试卷）D.选修4—5:不等式选讲设都是正数, 且, 求证:.【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.解答时应写出文字证明、说明过程或演算步骤. 【答案】解:因为是正数,所以 同理,将上述不等式两边相乘, 得, 因为,所以 ．（江苏省2013届高三高考压轴数学试题）(不等式选讲)已知函数(). (Ⅰ)当时,已知,求的取值范围;(Ⅱ)若的解集为或,求的值.【答案】 ．（江苏省常州高级中学2013年高考数学模拟试卷）D.(不等式选讲) 已知x,y,z均为正数.求证:. 【答案】D.命题立意:本题主要考查证明不等式的基本方法,考查推理论证能力.证明:因为x,y,z均为正数,所以, 同理得(当且仅当x=y=z时,以上三式等号都成立),将上述三个不等式两边分别相加,并除以2,得. ．（江苏省常州市横山桥中学2013年高考数学冲刺模拟试卷doc）(不等式选做题) 设x,y均为正数,且x>y,求证:2x+≥2y+3. 【答案】证明:由题设x>0,y>0,x>y,可得x-y>0 因为2x+-2y=2(x-y)+=(x-y)+(x-y)+ . 又(x-y)+(x-y) +,等号成立条件是x-y=1 . 所以,2x+-2y≥3,即2x+≥2y+3 ．（江苏省2013届高三高考模拟卷（二）（数学） ）选修4—5:不等式选讲已知a,b都是正实数,且a+b=2,求证:+≥1.【答案】选修4—5:不等式选讲证明:方法一:左边-右边=+-1==因边a+b=2,所以左边-右边=因为a,b都是正实数,所以ab≤=1 所以,左边-右边≥0,即+≥1 方法二:由柯西不等式,得(+)[(2+()2]≥(a+b)2 因为a+b=2,所以上式即为(+)×4≥4.即+≥1 ．（江苏省西亭高级中学2013届高三数学终考卷）D．选修4-5：不等式选讲 （本小题满分10分） 设f(x)=|x-a|,a∈R. ①当-1≤x≤3时，f(x)≤3，求a的取值范围； ②若对任意x∈R，f(x-a)+f(x+a)≥1-2a恒成立，求实数a的最小值． 【答案】 ．（南京师大附中2013届高三模拟考试5月卷）D、(不等式选做题) 设a,b,c,d∈R,求证:+≥,等号当且仅当ad=bc时成立.【答案】D、(不等式选做题)证明 由柯西不等式(a+b)(c+d)≥(ac+bd),得≥| ac+bd |≥ac+bd.将上式两边同时乘以2,再将两边同时加上a+b+c+d,有(a+b)+2+(c+d)≥(a+c)+(b+d), 即 (+)≥(), 所以,+≥ 由柯西不等式中等号成立的条件及上述推导过程可知,原不等式中等号当且仅当ad=bc时成立 ．（2013年江苏省高考数学押题试卷 ）选修4—5 不等式证明选讲证明:对任意正数a≠b的算术平均A=有B<。
常州市2013届高三教学期末调研测试题与答案
常州市2013届高三教学期末调研测试数学Ⅰ试题2013．1参考公式：样本数据1x ，2x ，… ，n x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中x =11n i i x n =∑．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．设集合{A =，{}B a =，若B A ⊆，则实数a 的值为 ▲ ． 2． 已知复数1i z =-+（i 为虚数单位），计算：z zz z⋅-= ▲ ． 3． 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线经过点(1,2)，则该双曲线的离心率的值为 ▲ ．4． 根据右图所示的算法，可知输出的结果为 ▲ ．5． 已知某拍卖行组织拍卖的10幅名画中，有2幅是膺品．某人在这次拍卖中随机买入了一幅画，则此人买入的这幅画是膺品的事件的概率为 ▲ ． 6． 函数(1)()coscos22x x f x -=p p 的最小正周期为 ▲ ．102321Pr int n S n While S S S n n End While n ++ ≤ ←←0←←4(第题)7． 函数22()log (4)f x x =-的值域为 ▲ ．8． 已知点(1,1)A 和点(1,3)B --在曲线C ：32(,,y ax bx d a b d =++为常数)上，若曲线在点A 和点B 处的切线互相平行，则32a b d ++= ▲ ．9． 已知向量a ，b 满足()22,4a b +=-，()38,16a b -=-，则向量a ，b 的夹角的大小为 ▲ ． 10．给出下列命题：（1）若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；（2）若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； （3）若两条平行直线中的一条垂直于直线m ，那么另一条直线也与直线m 垂直； （4）若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中，所有真命题的序号为 ▲ ．11．已知函数f (x )＝32,2,(1),02x x x x ⎧⎪⎨⎪-<<⎩≥，若关于x 的方程f (x )＝kx 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是 ▲ ．12．已知数列{}n a 满足143a =，()*11226n n a n N a +-=∈+，则11ni ia =∑= ▲ ． 13．在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：224x y +=分别交x 轴正半轴及y 轴负半轴于M ，N 两点，点P 为圆C 上任意一点，则PM PN ⋅的最大值为 ▲ ．14．已知实数,x y 同时满足54276x y --+=，2741log log 6y x -≥，2741y x -≤，则x y +的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知,αβ均为锐角，且3sin 5α=，1tan()3αβ-=-． （1）求sin()αβ-的值； （2）求cos β的值．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，AD ⊥AB ，CD ∥AB ，2AB =，3CD =，直线P A 与底面ABCD 所成角为60°，点M 、N 分别是P A ，PB 的中点．（1）求证：MN ∥平面PCD ；（2）求证：四边形MNCD 是直角梯形； （3）求证：DN ⊥平面PCB ．17．（本小题满分14分）第八届中国花博会将于2013年9月在常州举办，展览园指挥中心所用地块的形状是大小一定的矩形ABCD ，BC a =，CD b =．a ，b 为常数且满足b a <.组委会决定从该矩形地块中划出一个直角三角形地块AEF 建游客休息区（点E ，F 分别在线段AB ，AD 上），且该直角三角形AEF 的周长为l （2l b >），如图．设AE x =，△AEF 的面积为S ．（1）求S 关于x 的函数关系式；（2）试确定点E块AEF 的面积S 最大，并求出S18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知12,F F 分别是椭圆E :22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，A ，B 分别是椭圆E 的左、右顶点，且2250AF BF +=. （1）求椭圆E 的离心率；（2）已知点()1,0D 为线段2OF 的中点，M 为椭圆E 上的动点（异于点A 、B ），连接1MF 并延长交椭圆E 于点N ，连接MD 、ND 并分别延长交椭圆E 于点P 、Q ，连接PQ ，设直线MN 、PQ 的斜率存在且分别为1k 、2k ，试问是否存在常数λ，使得120k k λ+=恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.19．（本小题满分16分）已知数列{}n a 是等差数列，12315a a a ++=，数列{}n b 是等比数列，12327b b b =． （1）若1243,a b a b ==．求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若112233,,a b a b a b +++是正整数且成等比数列，求3a 的最大值．20．（本小题满分16分）已知函数()ln f x x x a x =--.（1）若a =1，求函数()f x 在区间[1,]e 的最大值; （2）求函数()f x 的单调区间；（3）若()0f x >恒成立，求a 的取值范围．2013届高三教学期末调研测试 数学Ⅱ（附加题）2013．121．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲如图，AB 是⊙O 的直径，,C F 是⊙O 上的两点，OC ⊥AB ， 过点F 作⊙O 的切线FD 交AB 的延长线于点D ．连结CF 交AB 于点E .求证：2DE DB DA =⋅.B ．选修4—2：矩阵与变换 已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=d c A 33，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=111α，属于特征值1的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=232α．求矩阵A 的逆矩阵． C ．选修4—4：坐标系与参数方程 已知曲线1C 的极坐标方程为cos 13πρθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，曲线2C 的极坐标方程为c o s 4πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，判断两曲线的位置关系．D ．选修4—5：不等式选讲设2()14,||1f x x x x a =-+-<且，求证：|()()|2(||1)f x f a a -<+．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22． (本小题满分10分)袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取2个都是白球的概率为512．现甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取…，每次摸取1个球，取出的球不放回，直到其中有一人取到白球时终止．用X 表示取球终止时取球的总次数． （1）求袋中原有白球的个数；（2）求随机变量X 的概率分布及数学期望()E X ． 23．(本小题满分10分)空间内有n 个平面，设这n 个平面最多将空间分成n a 个部分. （1）求1234,,,a a a a ；（2）写出n a 关于n 的表达式并用数学归纳法证明.2013届高三教学期末调研测试数学Ⅰ试题参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．0 2．i - 3. 4. 11 5．8156．2 7．(,2]-∞ 8．79．p 10．()1、()3、()411．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ 12．2324n n ⋅-- 13． 4+ 14．56⎧⎫⎨⎬⎩⎭二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．解：（1）∵π,(0,)2αβ∈，从而ππ22αβ-<-<．又∵1tan()03αβ-=-<，∴π02αβ-<-<． …………………………4分∴sin()αβ-=． ………………………………6分（2）由（1）可得，cos()αβ-=． ∵α为锐角，3sin 5α=，∴4cos 5α=． ……………………………………10分 ∴cos cos[()]cos cos()sin sin()βααβααβααβ=--=-+- …………12分=43(55⨯ …………………………14分16．证明：（1）因为点M ，N 分别是P A ，PB 的中点，所以MN ∥AB ．…………………2分因为CD ∥AB ，所以MN ∥CD ．又CD ⊂平面PCD ， MN ⊄平面PCD ，所以MN ∥平面PCD . ……4分 （2）因为AD ⊥AB ，CD ∥AB ，所以CD ⊥AD ，又因为PD ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， 所以CD ⊥PD ，又ADPD D =，所以CD ⊥平面PAD ．……………6分因为MD ⊂平面PAD ，所以CD ⊥MD ，所以四边形MNCD 是直角梯形．……………………………………8分（3）因为PD ⊥底面ABCD ，所以∠PAD 就是直线PA 与底面ABCD 所成的角，从而∠PAD = 60． …………………………9分在Rt △PDA 中，AD =，PD PA =MD =在直角梯形MNCD中，1MN =，ND =，3CD =，CN ==从而222DN CN CD +=，所以DN ⊥CN ． …………………………11分在Rt △PDB 中，PD = DB ， N 是PB 的中点，则DN ⊥PB ．……13分 又因为PB CN N =，所以DN ⊥平面PCB ． …………………14分17．解：（1）设AF y =，则x y l ++=，整理，得222()l lxy l x -=-．………3分2(2)4(12)l l x S lx x xy --==，](0,x b ∈． …………………………………4分（2）()()]22'22242,(0,44l x lx l l S x x x b x l x l ⎛⎫⎛⎫-+=⋅=⋅∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭∴当b ≤时，'0S >，S 在](0,b 递增，故当x b =时，()()max 24bl b l S b l -=-；当b >时，在x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭上，'0S >，S 递增，在,x b ⎫∈⎪⎪⎝⎭上，'0S <，S 递减，故当x =时，2max S =. 18．解：（1）2250AF BF +=，225AF F B ∴=.()5a c a c ∴+=-，化简得23a c =，故椭圆E 的离心率为23. （2）存在满足条件的常数λ，47=-l .点()1,0D 为线段2OF 的中点，2c ∴=，从而3a =，b 左焦点()12,0F -，椭圆E 的方程为22195x y +=.设()11,M x y ，()22,N x y ，()33,P x y ，()44,Q x y ，则直线MD 的方程为1111x x y y -=+，代入椭圆方程22195x y +=，整理得，2112115140x x y y y y --+-=.()1113115y x y y x -+=-，13145y y x ∴=-.从而131595x x x -=-，故点1111594,55x y P x x ⎛⎫- ⎪--⎝⎭.同理，点2222594,55x y Q x x ⎛⎫- ⎪--⎝⎭.三点M 、1F 、N 共线，121222y y x x ∴=++，从而()122112x y x y y -=-.从而()()()()121221121234121212341212124457557595944455y y x y x y y y y y y y x x k k x x x x x x x x x x --+-----=====--------.故21407kk -=，从而存在满足条件的常数λ，47=-l .19．解：（1）由题得225,3a b ==，所以123a b ==，从而等差数列{}n a 的公差2d =，所以21n a n =+，从而349b a ==，所以13n n b -=． ……………………3分 （2）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，则15a d =-，13b q=，35a d =+，33b q =.因为112233,,a b a b a b +++成等比数列，所以2113322()()()64a b a b a b +⋅+=+=． 设1133a b ma b n+=⎧⎨+=⎩，*,m n N ∈，64mn =，则3553d mq d q n ⎧-+=⎪⎨⎪++=⎩，整理得，2()5()800d m n d m n +-++-=.解得d =（舍去负根）.35a d =+，∴要使得3a 最大，即需要d 最大，即n m -及2(10)m n +-取最大值.*,m n N ∈，64mn =，∴当且仅当64n =且1m =时，n m -及2(10)m n +-取最大值.从而最大的d =，所以，最大的3a =………16分 20．解：（1）若a =1, 则()1ln f x x x x =--．当[1,]x e ∈时, 2()ln f x x x x =--,2'121()210x x f x x x x--=--=>， 所以()f x 在[1,]e 上单调增, 2max ()()1f x f e e e ∴==--. ……………2分 （2）由于()ln f x x x a x =--，(0,)x ∈+∞．（ⅰ）当0a ≤时，则2()ln f x x ax x =--，2'121()2x ax f x x a x x--=--=，令'()0f x =，得004a x +=>（负根舍去）， 且当0(0,)x x ∈时，'()0f x <；当0(,)x x ∈+∞时，'()0f x >，所以()f x 在(0,)4a 上单调减，在()4a ++∞上单调增.……4分（ⅱ）当0a >时，①当x a ≥时， 2'121()2x ax f x x a x x--=--=,令'()0f x =，得1x =x a =<舍），a ≤，即1a ≥, 则'()0f x ≥，所以()f x 在(,)a +∞上单调增；若4a a >，即01a <<, 则当1(0,)x x ∈时，'()0f x <；当1(,)x x ∈+∞时，'()0f x >，所以()f x 在区间(0,4a +上是单调减，在()4a +∞上单调增. ………………………………………………………6分②当0x a <<时, 2'121()2x ax f x x a x x-+-=-+-=,令'()0f x =，得2210x ax -+-=，记28a ∆=-，若280a ∆=-≤，即0a <≤则'()0f x ≤，故()f x 在(0,)a 上单调减；若280a ∆=->，即a >则由'()0f x =得34a x =，44a x +=且340x x a <<<，当3(0,)x x ∈时，'()0f x <；当34(,)x x x ∈时，'()0f x >；当4(,)x x ∈+∞ 时，'()0f x >，所以()f x 在区间(0,4a 上是单调减，在(44a a上单调增；在()4a +∞上单调减. …………………………………………8分综上所述，当1a <时,()f x 单调递减区间是 ，()f x 单调递增区间是)+∞；当1a ≤≤, ()f x 单调递减区间是(0,)a ，()f x 单调的递增区间是(,)a +∞；A当a >, ()f x 单调递减区间是(0, 4a )和()4a a ，()f x单调的递增区间是(44a a 和(,)a +∞. ………………10分（3）函数()f x 的定义域为(0,)x ∈+∞． 由()0f x >，得ln xx a x->． * （ⅰ）当(0,1)x ∈时，0x a -≥，ln 0xx<，不等式*恒成立，所以R a ∈； （ⅱ）当1x =时，10a -≥，ln 0xx=，所以1a ≠； ………………12分 （ⅲ）当1x >时，不等式*恒成立等价于ln x a x x <-恒成立或ln xa x x>+恒成立． 令ln ()xh x x x =-，则221ln ()x x h x x -+'=．因为1x >，所以()0h x '>，从而()1h x >． 因为ln xa x x<-恒成立等价于min (())a h x <，所以1a ≤． 令ln ()xg x x x =+，则221ln ()x x g x x +-'=．再令2()1ln e x x x =+-，则1()20e x x x'=->在(1,)x ∈+∞上恒成立，()e x 在(1,)x ∈+∞上无最大值．综上所述，满足条件的a 的取值范围是(,1)-∞． …………………………16分2013届高三教学调研测试（二） 数学Ⅱ（附加题） 参考答案21、【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分． A ．选修4—1：几何证明选讲证明：连结OF ．因为DF 切⊙O 于F ，所以∠OFD =90°．所以∠OFC +∠CFD =90°．因为OC =OF ，所以∠OCF =∠OFC ． 因为CO ⊥AB 于O ，所以∠OCF +∠CEO =90°． 所以∠CFD =∠CEO =∠DEF ，所以DF =DE ． 因为DF 是⊙O 的切线,所以DF 2=DB ·DA ． 所以DE 2=DB ·DA ．B ．选修4—2：矩阵与变换解：由矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=111α，可得⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c 33⎥⎦⎤⎢⎣⎡11＝6⎥⎦⎤⎢⎣⎡11， 即6=+d c ； 由矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=232α可得，⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c 33⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23， 即223-=-d c ，解得⎩⎨⎧==,4,2d c 即A ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡4233，A 逆矩阵是⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡2131-21-32. C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：将曲线12,C C 化为直角坐标方程得：1:20C x +=， 222:220C x y x y +--=即()()222:112C x y -+-=，圆心到直线的距离d ==> ∴曲线12C C 与相离．D ．选修4—5：不等式选讲证明：由22|()()||||()(1)|f x f a x a a x x a x a -=-+-=-+-=|||1||1||()21|x a x a x a x a a -+-<+-=-+-|||2|1x a a ≤-++|2|2a <+ =2(||1)a +．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．22．解：（1）设袋中原有n 个白球，则从9个球中任取2个球都是白球的概率为229n C C ，由题意知229n C C =512，即(1)5298122n n -=⨯，化简得2300n n --=． 解得6n =或5n =-（舍去） 故袋中原有白球的个数为6. （2）由题意，X 的可能取值为1，2，3，4. 62(1)93P X ===； 361(2)984P X ⨯===⨯； 3261(3)98714P X ⨯⨯===⨯⨯；32161(4)987684P X ⨯⨯⨯===⨯⨯⨯.所以取球次数X 的概率分布列为：所求数学期望为E （X ）=1⨯23+2⨯14+3⨯114+4⨯184=10.723．解：（1）12342,4,8,15a a a a ====；（2）31(56)6n a n n =++.证明如下： 当1n =时显然成立，设(1,)n k k k N *=≥∈时结论成立，即31(56)6k a k k =++， 则当1n k =+时，再添上第1k +个平面，因为它和前k 个平面都相交，所以可得k 条互不平行且不共点的交线，且其中任3条直线不共点，这k 条交线可以把第1k +个平面划最多分成21[(1)(1)2)]2k k +-++个部分，每个部分把它所在的原有空间区域划分成两个区域.因此，空间区域的总数增加了21[(1)(1)2)]2k k +-++个，23111[(126k k a a k k k k k k +∴=++-++=++++-++31[(1)5(1)6)]6k k =++++， 即当1n k =+时，结论也成立.综上，对n N *∀∈，31(56)6n a n n =++.。
江苏省常州二中2013届高三数学10月综合练习试题苏教版
常州二中2013高三文科周末综合练习一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
请把答案填写在答题卷相应的位置上．．. 1．321i i+-的值等于______.2．如图所示的流程图中，输出的结果是______.3．设数列{}n a 是等差数列, 12324a a a ++=-, 1926a =, 则此数列{}n a 前20项和等于____.4．平面向量a 与b 的夹角为060，(2,0)=a ，1=b ，则+=a b5．函数xy xe =的最小值是______.6．计算121(lg lg 25)100=4--÷______.7．已知}02,0,4|),{(},0,0,6|),{(≥-≥≤=≥≥≤+=Ωy x y x y x A y x y x y x ，若向区域Ω上随机投一点P ，则点P 落入区域A 的概率为______.8．将函数2sin(2)3y x π=+的图像向左平移至少 个单位，可得一个偶函数的图像．9．对于∆ABC ,有如下四个命题:①若sin 2sin 2A B = ,则∆ABC 为等腰三角形, ②若sin cos B A =,则∆ABC 是直角三角形③若222sin sin sin A B C +>,则∆ABC 是钝角三角形 ④若coscoscos222a b c A B C ==, 则∆ABC 是等边三角形其中正确的命题个数是______.10．对于函数()f x ，在使()f x M ≥成立的所有常数M 中，我们把M 的最大值称为()f x 的＂下确界＂，则函数15()14,(,)544f x x x x =-+∈-∞-的＂下确界＂等于______.11．已知2b 是1-a 和1+a 的等比中项，则a +4b 的取值范围是______.12．设G 是ABC ∆的重心，且0)sin 35()sin 40()sin 56(=++GC C GB B GA A ，则角B 的大小为______. （第3题图）13．已知函数3()(,,)1bx c f x a b c a >0ax +=∈+R,是奇函数,若()f x 的最小值为12-,且2(1)5f >,则b 的取值范围是__________． 14．设函数2()sin (,)3sin f x x m x R m R x=++∈∈+最大值为()g m ，则()g m 的最小值为二、解答题15．已知向量(sin ,2)a θ=-与(1,cos )b θ=互相垂直，其中(0,)2πθ∈．（1）求sin θ和cos θ的值； （2）若sin()(0,)2πθϕϕ-=∈，求cos ϕ的值．16． 如图的几何体中，AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形， 22AD DE AB ===，F 为CD 的中点． （1）求证：//AF 平面BCE ；（2）求证：平面BCE ⊥平面CDE .17．已知等比数列{}n a 中641=a ，公比1≠q ，且2a ，3a ，4a 分别为某等差数列的第5项，第3项，第2项．⑴求数列{}n a 的通项公式； ⑵设12log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和nT ．BAEDC F18． 某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元～1000万元的投资收益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y （单位：万元）随投资收益x （单 位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%．现 有两个奖励方案的函数模型：（1）2150xy =+；（2）4lg 3y x =-．试问这两个函数模型是否符合该公司要求，并说明理由．19． 函数ln ()a xf x x x=-，其中a 为常数． （1）证明：对任意a R ∈，函数()y f x =图像恒过定点；（2）当1a =时，不等式()20f x b +≤在(0,)x ∈+∞上有解，求实数b 的取值范围； （3）若对任意[),0a m ∈时，函数()y f x =在定义域上恒单调递增，求m 的最小值．20．已知2()ln ,()3f x x x g x x ax ==-+-．(1) 求函数()f x 在[,2](0)t t t +>上的最小值；(2) 对一切(0,)x ∈+∞，2()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围； (3) 证明: 对一切(0,)x ∈+∞，都有12ln x x e ex>-成立．常州二中高三文科周末综合练习2012-10-13一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
2013苏州、无锡、常州、镇江四市高三二模数学试卷及答案
苏、锡、常、镇四市2013届高三教学情况调查（二）2013.5一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上；1、 已知i 是虚数单位，复数31i z i+=+对应的点在第 象限。
2、 设全集U R =，集合{}13A x|x =-≤≤，集合{}1B x |x =>，则UA CB = 。
3、 已知数列{}n a 的通项公式为21n a n =-，则数据1a ，2a ，3a ，4a ，5a 的方差为 。
4、 “3x >”是“5x >”的条件。
（请在“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”中选择一个合适的填空）。
5、 若双曲线()2210y x a a -=>的一个焦点到一条渐近线的距离等，则此双曲线方程为 。
6、 根据右图所示的流程图，输出的结果T 为 。
7、 在1和9之间插入三个正数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的和为 。
8、 在不等式组031y x x y x ⎧⎪≤⎪<≤⎨⎪⎪>⎩，所表示的平面区域内的所有格点（横、纵坐标均为整数的点称为格点）中任取3个点，则该3点恰能作为一个三角形的三个顶点的概率为 。
9、 在矩形ABCD 中，对角线AC 与相邻两边所成的角为α，β，则有221cos αcos β+=。
类比到空间中的一个正确命题是：在长方体1111ABCD A BC D -中，对角线1AC 与相邻三个面所成的角为α，β，γ，则有 。
10、 已知圆C ：()()()2210x a y a a -+-=>与直线3y x =相交于P 、Q 两点，若90PCQ ︒∠=，则实数a = 。
11、 分别在曲线x y e =与直线1y ex =-上各取一点M 与N ，则MN 的最小值为 。
12、 已知向量a ，b 满足a = ，1b = ，且对一切实数x ，a xb a b +≥+ 恒成立，则a 与b 的夹角大小为 。
13年江苏省高考数学试卷及答案(Word解析版)
【答案】1：24
【解析】三棱锥 与三棱锥 的相似比为1：2，故体积之比为1：8．
又因三棱锥 与三棱柱 的体积之比为1：3．所以，三棱锥 与三棱柱 的体积之比为1：24．
9．抛物线 在 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为 (包含三角形内部和边界)．若点 是区域 内的任意一点，则 的取值范围是．
2013年普通高等学校统一考试试题（江苏卷）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。请把答案填写在答题卡相印位置上。
1．函数 的最小正周期为．
【答案】π
【解析】T＝| |＝| |＝π．
2．设 （ 为虚数单位），则复数 的模为．
【答案】5
【解析】z＝3－4i，i2＝－1，|z|＝ ＝5．
3．双曲线 的两条渐近线的方程为．
【答案】
【解析】令： ，得 ．
4．集合 共有个子集．
【答案】8
【解析】23＝8．
5．右图是一个算法的流程图，则输出的 的值是．
【答案】3
【解析】n＝1，a＝2，a＝4，n＝2；a＝10，n＝3；a＝28，n＝4．
6．抽样统计甲、乙两位设计运动员的5此训练成绩（单位：环），结果如下：
知：AB＝52k＝1040m．
（2）设乙出发x分钟后到达点M，
此时甲到达N点，如图所示．
则：AM＝130x，AN＝50(x＋2)，
由余弦定理得：MN2＝AM2＋AN2－2AM·ANcosA＝7400x2－14000x＋10000，
其中0≤x≤8，当x＝ (min)时，MN最小，此时乙在缆车上与甲的距离最短．
运动员
第一次
第二次
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常州二中2013高三文科周末综合练习一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
请把答案填写在答题卷相应的位置上．．. 1．321i i+-的值等于______.2．如图所示的流程图中，输出的结果是______.3．设数列{}n a 是等差数列, 12324a a a ++=-, 1926a =, 则此数列{}n a 前20项和等于____.4．平面向量a 与b 的夹角为060，(2,0)=a ，1=b ，则+=a b5．函数xy xe =的最小值是______.6．计算121(lg lg 25)100=4--÷______.7．已知}02,0,4|),{(},0,0,6|),{(≥-≥≤=≥≥≤+=Ωy x y x y x A y x y x y x ，若向区域Ω上随机投一点P ，则点P 落入区域A 的概率为______.8．将函数2sin(2)3y x π=+的图像向左平移至少 个单位，可得一个偶函数的图像．9．对于∆ABC ,有如下四个命题:①若sin 2sin 2A B = ,则∆ABC 为等腰三角形, ②若sin cos B A =,则∆ABC 是直角三角形③若222sin sin sin A B C +>,则∆ABC 是钝角三角形 ④若coscoscos222a b c A B C ==, 则∆ABC 是等边三角形其中正确的命题个数是______.10．对于函数()f x ，在使()f x M ≥成立的所有常数M 中，我们把M 的最大值称为()f x 的＂下确界＂，则函数15()14,(,)544f x x x x =-+∈-∞-的＂下确界＂等于______.11．已知2b 是1-a 和1+a 的等比中项，则a +4b 的取值范围是______.12．设G 是ABC ∆的重心，且)sin 35()sin 40()sin 56(=++C B A ，则角B 的大小为______.（第3题图）13．已知函数3()(,,)1bx c f x a b c a >0ax +=∈+R,是奇函数,若()f x 的最小值为12-,且2(1)5f >,则b 的取值范围是__________． 14．设函数2()sin (,)3sin f x x m x R m R x=++∈∈+最大值为()g m ，则()g m 的最小值为二、解答题15．已知向量(sin ,2)a θ=-与(1,cos )b θ=互相垂直，其中(0,)2πθ∈．（1）求sin θ和cos θ的值； （2）若sin()(0,)2πθϕϕ-=∈，求cos ϕ的值．16． 如图的几何体中，AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形， 22AD DE AB ===，F 为CD 的中点． （1）求证：//AF 平面BCE ；（2）求证：平面BCE ⊥平面CDE .17．已知等比数列{}n a 中641=a ，公比1≠q ，且2a ，3a ，4a 分别为某等差数列的第5项，第3项，第2项．⑴求数列{}n a 的通项公式； ⑵设12log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和nT ．BAEDC F18． 某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元～1000万元的投资收益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y （单位：万元）随投资收益x （单 位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%．现 有两个奖励方案的函数模型：（1）2150xy =+；（2）4lg 3y x =-．试问这两个函数模型是否符合该公司要求，并说明理由．19． 函数ln ()a xf x x x=-，其中a 为常数． （1）证明：对任意a R ∈，函数()y f x =图像恒过定点；（2）当1a =时，不等式()20f x b +≤在(0,)x ∈+∞上有解，求实数b 的取值范围； （3）若对任意[),0a m ∈时，函数()y f x =在定义域上恒单调递增，求m 的最小值．20．已知2()ln ,()3f x x x g x x ax ==-+-．(1) 求函数()f x 在[,2](0)t t t +>上的最小值；(2) 对一切(0,)x ∈+∞，2()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围； (3) 证明: 对一切(0,)x ∈+∞，都有12ln x x e ex>-成立．常州二中高三文科周末综合练习2012-10-13一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
2013年高考江苏卷数学试题及答案
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学（江苏卷）数学Ⅰ本试卷均为非选择题（第1题～第20题，共20题）.本卷满分为160分.考试时间为120分钟.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．. 1.函数)42sin(3π-=x y 的最小正周期为 .解析：2==2T ππ 2.设2)2(i z -=(i 为虚数单位)，则复数z 的模为 . 解析：34,Z i Z =-=3.双曲线191622=-y x 的两条渐近线的方程为 . 解析：3y=4x ±4.集合{}1,0,1-共有 个子集. 解析：328=（个）5.右图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是解析：a,n 的值分别为2,1;8,2;26,3,从而跳出循环.6.抽样统计甲，乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为 解析：易知均值都是90，乙方差较小，()()()()()()()22222221118990909091908890929025n i i s x xn ==-=-+-+-+-+-=∑7.现有某类病毒记作n m Y X ，其中正整数)9,7(,≤≤n m n m 可以任意选取，则n m ,都取到奇数的概率为 . 解析：m 可以取的值有：1,2,3,4,5,6,7共7个 n 可以取的值有：1,2,3,4,5,6,7,8,9共9个所以总共有7963⨯=种可能 符合题意的m 可以取1,3,5,7共4个 符合题意的n 可以取1,3,5,7,9共5个 所以总共有4520⨯=种可能符合题意 所以符合题意的概率为20638.如图，在三棱柱ABC C B A -111中，F E D ,,分别是1,,AA AC AB 的中点，设三棱锥ADE F -的体积为1V ，三棱柱ABC C B A -111的体积为2V ，则=21:V V .解析：112211111334224ADE ABC V S h S h V ==⨯⨯=所以121:24V V =9.抛物线2x y =在1=x 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部和边界).若点),(y x P 是区域D 内的任意一点，则y x 2+的取值范围是 .解析：易知切线方程为：21y x =-所以与两坐标轴围成的三角形区域三个点为()()()0,00.5,00,1A B C - 易知过C 点时有最小值2-，过B 点时有最大值0.510.设E D ,分别是ABC ∆的边BC AB ,上的点，AB AD 21=,BC BE 32=,若AC AB DE 21λλ+=(21,λλ为实数)，则21λλ+的值为 .解析： 易知()121212232363DE AB BC AB AC AB AB AC =+=+-=-+ 所以1212λλ+=11.已知)(x f 是定义在R 上的奇函数.当0>x 时，x x x f 4)(2-=，则不等式x x f >)(的解集用区间表示为 . 解析：因为)(x f 是定义在R 上的奇函数，所以易知0x ≤时，2()4f x x x =-- 解不等式得到x x f >)(的解集用区间表示为()()5,05,-+∞12.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为)0,0(12222>>=+b a by a x ，右焦点为F ,右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的距离为2d .若126d d =，则椭圆的离心率为 .解析：由题意知2212,bc a b d d c a c c==-=所以有2b c =两边平方得到2246a b c =，即42246a a c c -=两边同除以4a 得到2416e e -=，解得213e =，即3e =13.平面直角坐标系xOy 中，设定点),(a a A ，P 是函数)0(1>=x xy 图像上一动点，若点A P ,之间最短距离为22，则满足条件的实数a 的所有值为 .解析： 由题意设()0001,,0P x x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭则有()222222200000200000111112++2=+-2+22PA x a a x a x a x a x a x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 令()001t 2x t x +=≥ 则()222=(t)=t 2222PA f at a t -+-≥ 对称轴t a = 1.2a ≤时，22min 2(2)2422428PA f a a a a ==-+∴-+=1a =- ， 3a =（舍去） 2.2a >时，22min 2()228PA f a a a ==-∴-=a = ，a =（舍去） 综上1a =-或a = 14.在正项等比数列{}n a 中，215=a ，376=+a a .则满足n n a a a a a a a a ......321321>++++的最大正整数n 的值为 . 解析：2252552667123123115521155223 (1),.222222011522360022n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a q a q q a a n nq n q n q a -------=+=+-+=∴++++>∴->∴->>-∴-><<=>∴==n N +∈112,n n N +∴≤≤∈又12n =时符合题意，所以n 的最大值为12二、解答题：本大题共6小题，共计90分。
江苏省常州市2013届高三数学上学期期末考试试题(含解析)苏教版
2012-2013学年江苏省常州市高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）设集合，B={a}，若B⊆A，则实数a的值为0 ．考点：集合的包含关系判断及应用．专题：阅读型．分析：根据集合关系，确定元素满足的条件，再求解．解答：解：∵B⊆A，∴a=≠1⇒a=0．故答案是0点评：本题考查集合中参数的确定．要注意验证集合中元素的互异性．2．（5分）已知复数z=﹣1+i（为虚数单位），计算：= ﹣i ．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：把复数z以及它的共轭复数代入表达式，化简后，复数的分母实数化，即可得到所求结果．解答：解：因为复数z=﹣1+i（为虚数单位），=﹣1﹣i，所以====﹣i．故答案为：﹣i．点评：本题考查复数代数形式的混合运算，共轭复数的概念，考查计算能力．3．（5分）已知双曲线的一条渐近线经过点（1，2），则该双曲线的离心率的值为．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意可得渐近线y=x经过点（1，2），可得b=2a，代入可得离心率e===，化简即可．解答：解：双曲线的渐近线方程为y=x，故y=x经过点（1，2），可得b=2a，故双曲线的离心率e====故答案为：点评：本题考查双曲线的离心率，涉及渐近线的方程，属中档题．4．（5分）根据如图所示的算法，可知输出的结果为11 ．考点：伪代码．专题：计算题；概率与统计．分析：根据题中的伪代码写出前几次循环的结果，得到该程序的功能是等比数列{2n﹣1}的前n项和，在S≤1023的情况下继续循环体，直到S＞1023时结束循环体并输出下一个n值．由此结合题意即可得到本题答案．解答：解：根据题中的伪代码，可得该程序经过第一次循环得到S=2°，n=1；然后经过第二次循环得到S=2°+21，n=2；然后经过第三次循环得到S=2°+21+22，n=2；…依此类推，当S=2°+21+22+…+2n＞1023时，输出下一个n值由以上规律，可得：当n=10时，S=2°+21+22+…+210=2045，恰好大于1023，n变成11并且输出由此可得，输出的结果为11故答案为：11点评：本题给出程序框图，求20+21+22+…+2n＞1023时输出的n+1，属于基础题．解题的关键是先根据已知条件判断程序的功能，构造出相应的数学模型再求解，从而使问题得以解决．5．（5分）已知某拍卖行组织拍卖的10幅名画中，有2幅是膺品．某人在这次拍卖中随机买入了一幅画，则此人买入的这幅画是膺品的事件的概率为．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：利用古典概型的概率计算公式即可得出．解答：解：从10幅名画中任买一件有=10种方法，若此人买入的这幅画是膺品的方法有=2．因此此人买入的这幅画是膺品的事件的概率P=．故答案为．点评：正确理解古典概型的概率计算公式是解题的关键．6．（5分）函数的最小正周期为 2 ．考点：二倍角的正弦；诱导公式的作用；三角函数的周期性及其求法．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：先利用诱导公式对已知函数化简，然后利用二倍角公式，再代入周期公式可求解答：解：∵=cos=根据周期公式可得T=故答案为：2点评：本题主要考查了诱导公式、二倍角公式在三角函数化简中的应用及周期公式的应用，属于基础试题7．（5分）函数的值域为（﹣∞，2] ．考函数的值域．点：专题：函数的性质及应用．分析：利用二次函数和对数函数的单调性即可得出．解答：解：∵0＜4﹣x2≤4，∴=2．∴函数的值域为（﹣∞，2]．故答案为（﹣∞，2]．点评：熟练掌握二次函数和对数函数的单调性是解题的关键．8．（5分）已知点A（1，1）和点B（﹣1，﹣3）在曲线C：y=ax3+bx2+d（a，b，d为常数上，若曲线在点A和点B处的切线互相平行，则a3+b2+d= 7 ．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：曲线在点A和点B处的切线互相平行得，f′（1）=f′（﹣1），再结合点在曲线上则点的坐标适合方程建立方程组，解方程求出a、b、d值即可．解答：解：设f（x）═ax3+bx2+d，∵f′（x）=3ax2+2bx，∴f′（1）=3a+2b，f′（﹣1）=3a﹣2b．根据题意得 3a+2b=3a﹣2b，∴b=0．又点A（1，1）和点B（﹣1，﹣3）在曲线C上，∴解得：a3+b2+d=7．故答案为：7．点评：此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，是一道中档题．9．（5分）已知向量，满足，，则向量，的夹角的大小为π．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：利用向量的运算法则、向量的数量积及夹角公式即可得出．解答：解：∵，，∴=（﹣2，4），=（2，﹣4）．∴=﹣2×2+4×（﹣4）=﹣20，==．∴==﹣1，∴．或由，得．故向量，的夹角的大小为π．故答案为π．点评：熟练掌握向量的运算法则、向量的数量积及夹角公式是解题的关键．10．（5分）给出下列命题：（1）若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；（2）若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；（3）若两条平行直线中的一条垂直于直线m，那么另一条直线也与直线m垂直；（4）若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，所有真命题的序号为（1）、（3）、（4）．考点：命题的真假判断与应用．专题：证明题．分析：根据面面垂直的判定定理，可判断（1）；根据平面与平面平行的判定定理，可判断（2）；根据空间直线夹角的定义，可判断（3），根据面面垂直的性质定理及反证法，可判断（4）解答：解：由面面垂直的判定定理可得若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直，故（1）正确；如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行，但两条直线平行时，得不到平面平行，故（2）错误；根据空间直线夹角的定义，可得两条平行直线与第三条直线的夹角相等，故若两条平行直线中的一条垂直于直线m，那么另一条直线也与直线m垂直，即（3）正确；根据面面垂直的性质定理，若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线垂直的直线与另一个平面也垂直，则一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直，故（4）正确故真命题有（1）、（3）、（4）三个故答案为：（1）、（3）、（4）点评：本题以命题的真假判断为载体考查了空间直线与平面的位置关系，熟练掌握空间线面关系的判定定理，性质定理及几何特征是解答的关键．11．（5分）已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=kx有两个不同的实根，则实数k的取值范围是．考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：利用数形结合和函数的单调性即可得出．解答：解：如图所示：①当x≥2时，由函数f（x）=单调递减可得：0＜f（x）=；②当0＜x＜2时，由函数f（x）=（x﹣1）3单调递增可得：﹣1＜f（x）＜1．由图象可知：由0＜2k＜1可得，故当时，函数y=kx与y=f（x）的图象有且只有两个交点，∴满足关于x的方程f（x）=kx有两个不同的实根的实数k的取值范围是．故答案为．点评：熟练掌握数形结合的思想方法和函数的单调性是解题的关键．12．（5分）已知数列{a n}满足，，则= ．数列递推式；数列的求和．考点：专计算题；等差数列与等比数列．题：分析：由，，知a n+1=，由此得到+=3（+），从而推导出=3n﹣1﹣，由此能求出．解解：∵，，答：∴a n+1=，∴==+，∴+=3（+），即=3，∴=3n﹣1，即=3n﹣1，∴=3n﹣1﹣，∴=（30+3+32+…+3n﹣1）﹣==．故答案为：．点评：本题考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想、构造法、等比数列性质的合理运用．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C：x2+y2=4分别交x轴正半轴及y轴负半轴于M，N两点，点P为圆C上任意一点，则的最大值为．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：利用向量的数量积及三角函数的单调性即可求出．解答：解：令x=0，得y2=4，解得y=±2，取N（0，﹣2）．令y=0，得x2=4，解得x=±2，取M（2，0）．设点P（2cosθ，2sinθ）（θ∈[0，2π））．则=（2﹣2cosθ，﹣2sinθ）•（（﹣2cosθ，﹣2﹣2sinθ）=﹣2cosθ（2﹣2cosθ）+2sinθ（2+2sinθ）=4sinθ﹣4cosθ+4=φ）+4≤，当且仅当sin（θ﹣φ）=1时取等号．∴的最大值为．故答案为．点评：熟练掌握向量的数量积及三角函数的单调性是解题的关键．14．（5分）已知实数x，y同时满足，，27y﹣4x≤1，则x+y的取值范围是．考点：有理数指数幂的化简求值；对数的运算性质．专题：探究型；函数的性质及应用．分析：题目给出了一个等式和两个不等式，分析给出的等式的特点，得到当x=，y=时该等式成立，同时把相应的x和y的值代入后面的两个不等式等号也成立，把给出的等式的左边变负指数幂为正指数幂，分析x和y的变化规律，知道y随x的增大而减小，而当x增大y减小时，两不等式不成立，因此断定，同时满足等式和不等式的x，y取值唯一，从而可得x+y的取值范围．解答：解：当x=，y=时，，=，．由知，等式右边一定，左边y随x的增大而减小，而当y减小x增大时，log27y﹣log4x＜，当x减小y增大时，27y﹣4x＞1．均与题中所给条件不等式矛盾．综上，只有x=，y=时，条件成立，所以x+y的取值范围为{}．故答案为{}．点评：本题考查了有理指数幂的化简与求值，考查了对数式的运算性质，考查了特值验证法，培养了学生的探究能力，此题是中档题．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知α，β均为锐角，且，．（1）求sin（α﹣β）的值；（2）求cosβ的值．考点：两角和与差的正切函数；同角三角函数间的基本关系；两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值．分析：（1）根据α、β的范围，利用同角三角函数的基本关系，求得sin（α﹣β）的值．（2）由（1）可得，，，根据cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]，利用两角差的余弦公式求得结果．解答：解：（1）∵，从而．又∵，∴．…（4分）利用同角三角函数的基本关系可得sin2（α﹣β）+cos2（α﹣β）=1，且，解得．…（6分）（2）由（1）可得，．∵α为锐角，，∴．…（10分）∴cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]=cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）…（12分）==．…（14分）点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的余弦公式的应用，属于中档题．16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，AD⊥AB，CD∥AB，，CD=3，直线PA与底面ABCD所成角为60°，点M、N分别是PA，PB的中点．（1）求证：MN∥平面PCD；（2）求证：四边形MNCD是直角梯形；（3）求证：DN⊥平面PCB．考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）利用三角形的中位线性质证明MN∥AB，再由已知条件和公理4证明MN∥CD，再利用直线和平面平行的判定定理证得MN∥平面PCD．（2）由（1）可得MN∥CD．先由条件利用直线和平面垂直的判定证明CD⊥平面PAD，从而证得CD⊥MD，从而得到四边形MNCD是直角梯形．（3）由条件求得∠PAD=60°，利用勾股定理求得DN⊥CN．在Rt△PDB中，由PD=DB=，N是PB的中点，证得DN⊥PB，再根据直线和平面垂直的判定定理证得DN⊥平面PCB．解答：证明：（1）因为点M，N分别是PA，PB的中点，所以MN∥AB．…（2分）因为CD∥AB，所以MN∥CD．又CD⊂平面PCD，而MN⊄平面PCD，所以MN∥平面PCD．…（4分）（2）由（1）可得MN∥CD．因为AD⊥AB，CD∥AB，所以CD⊥AD．又因为PD⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以CD⊥PD，又AD∩PD=D，所以CD⊥平面PAD．…（6分）因为MD⊂平面PAD，所以CD⊥MD，所以四边形MNCD是直角梯形．…（8分）（3）因为PD⊥底面ABCD，所以∠PAD就是直线PA与底面ABCD所成的角，从而∠PAD=60°．…（9分）在Rt△PDA 中，，，，．在直角梯形MNCD中，MN=1，，CD=3，，从而DN2+CN2=CD2，所以DN⊥CN．…（11分）在Rt△PDB中，PD=DB=，N是PB的中点，则D N⊥PB．…（13分）又因为PB∩CN=N，所以DN⊥平面PCB．…（14分）点评：本题主要考查直线和平面平行的判定定理，以及直线和平面垂直的判定定理和性质性质定理的应用，属于中档题．17．（14分）第八届中国花博会将于2013年9月在常州举办，展览园指挥中心所用地块的形状是大小一定的矩形ABCD，BC=a，CD=b．a，b为常数且满足b＜a．组委会决定从该矩形地块中划出一个直角三角形地块AEF建游客休息区（点E，F分别在线段AB，AD上），且该直角三角形AEF的周长为（l＞2b），如图．设AE=x，△AEF的面积为S．（1）求S关于x的函数关系式；（2）试确定点E的位置，使得直角三角形地块AEF的面积S最大，并求出S的最大值．考点：根据实际问题选择函数类型；函数解析式的求解及常用方法．专题：应用题．分析：（1）根据题意，分析可得，欲求，△AEF场地占地面积，只须求出图中直角三角形的周长求出另一边长AF，再结合直角三角形的面积计算公式求出它们的面积即得；（2）对于（1）所列不等式，可利用导数研究它的单调性求它的最大值，从而解决问题．解答：解：（1）设AF=y ，则，整理，得．…（3分），x∈（0，b]．…（4分）（2）∴当时，S′＞0，S在（0，b]递增，故当x=b 时，；当时，在上，S′＞0，S 递增，在上，S′＜0，S递减，故当时，．点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用、函数解析式的求解及常用方法及导数的应用等基础知识，属于基础题．18．（16分）如图，在平面直角坐标系xoy中，已知F1，F2分别是椭圆E ：的左、右焦点，A，B分别是椭圆E的左、右顶点，且．（1）求椭圆E的离心率；（2）已知点D（1，0）为线段OF2的中点，M 为椭圆E上的动点（异于点A、B），连接MF1并延长交椭圆E于点N，连接MD、ND并分别延长交椭圆E于点P、Q，连接PQ，设直线MN、PQ的斜率存在且分别为k1、k2，试问是否存在常数λ，使得k1+λk2=0恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．考点：函数恒成立问题；三点共线；椭圆的简单性质．专题：向量与圆锥曲线；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由，得，从而有a+c=5（a﹣c），结合离心率定义即可求得答案；（2）由点D（1，0）为线段OF2的中点可求得c值，进而可求出a值、b值，得到椭圆方程，设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x3，y3），Q（x4，y4），则直线MD 的方程为，与椭圆方程联立及韦达定理可把P、Q坐标用M、N坐标表示出来，再根据三点M、F1、N共线及斜率公式可得k1、k2间的关系式，由此可得答案．解答：解：（1）∵，∴．∴a+c=5（a﹣c），化简得2a=3c，故椭圆E 的离心率为．（2）存在满足条件的常数λ，．∵点D（1，0）为线段OF2的中点，∴c=2，从而a=3，，左焦点F1（﹣2，0），椭圆E 的方程为．设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x3，y3），Q（x4，y4），则直线MD 的方程为，代入椭圆方程，整理得，．∵，∴．从而，故点．同理，点．∵三点M、F1、N 共线，∴，从而x1y2﹣x2y1=2（y1﹣y2）．从而．故，从而存在满足条件的常数λ，．点评：本题考查函数恒成立、三点共线及椭圆的简单性质，考查学生分析问题解决问题的能力，综合性强，难度大，对能力要求较高，属难题．19．（16分）已知数列{a n}是等差数列，a1+a2+a3=15，数列{b n}是等比数列，b1b2b3=27．（1）若a1=b2，a4=b3．求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）若a1+b1，a2+b2，a3+b3是正整数且成等比数列，求a3的最大值．考点：等比数列的通项公式；数列的函数特性；等差数列的通项公式．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：（1）由已知可求a2，b2，结合已知a1=b2，可得等差数列{a n}的公差d，可求a n=，然后由b3=a4，可求{b n}的公比q，进而可求b n（2）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q ，由已知可得．分别利用等差数列及等比数列的通项表示已知项可得关于d，q的方程，解方程可求d，即可求解解答：解：（1）由a1+a2+a3=15，b1b2b3=27．可得a2=5，b2=3，所以a1=b2=3，从而等差数列{a n}的公差d=2，所以a n=2n+1，从而b3=a4=9，{b n}的公比q=3所以．…（3分）（2）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，则a1=5﹣d ，，a3=5+d，b3=3q．因为a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比数列，所以．设，m，n∈N*，mn=64，则，整理得，d2+（m﹣n）d+5（m+n）﹣80=0．解得（舍去负根）．∵a3=5+d，∴要使得a3最大，即需要d最大，即n﹣m及（m+n﹣10）2取最大值．∵m，n∈N*，mn=64，∴当且仅当n=64且m=1时，n﹣m及（m+n﹣10）2取最大值．从而最大的，所以，最大的…（16分）点评：本题主要考查了等差数列、等比数列的性质及通项公式的应用，等比数列的性质的综合应用及一定的逻辑推理运算的能力20．（16分）已知函数f（x）=x|x﹣a|﹣lnx．（1）若a=1，求函数f（x）在区间[1，e]的最大值；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）若f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（1）当a=1时，利用导数可判断f（x）在[1，e]上的单调性，由单调性即可求得其最大值；（2）求出f（x）的定义域，先按（ⅰ）a≤0，（ⅱ）a＞0两种情况进行讨论，其中a＞0时讨论去绝对值符号，利用导数符号即可判断单调性；（3）函数f（x）的定义域为x∈（0，+∞），f（x）＞0，即．根据的符号对x进行分类讨论：x∈（0，1）时，当x=1时，当x＞1时，其中x＞1时去掉绝对值符号转化为求函数最值即可解决．解答：解：（1）若a=1，则f（x）=x|x﹣1|﹣lnx．当x∈[1，e]时，f（x）=x2﹣x﹣lnx，，所以f（x）在[1，e]上单调增，∴．（2）由于f（x）=x|x﹣a|﹣lnx，x∈（0，+∞）．（ⅰ）当a≤0时，则f（x）=x2﹣ax﹣lnx，，令f′（x）=0，得（负根舍去），且当x∈（0，x0）时，f′（x）＜0；当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0，所以f（x）在上单调递减，在上单调递增．（ⅱ）当a＞0时，①当x≥a时，，令f′（x）=0，得（舍），若，即a≥1，则f′（x）≥0，所以f（x）在（a，+∞）上单调增；若，即0＜a＜1，则当x∈（0，x1）时，f′（x）＜0；当x∈（x1，+∞）时，f′（x）＞0，所以f（x）在区间上是单调减，在上单调增．②当0＜x＜a时，，令f′（x）=0，得﹣2x2+ax﹣1=0，记△=a2﹣8，若△=a2﹣8≤0，即，则f′（x）≤0，故f（x）在（0，a）上单调减；若△=a2﹣8＞0，即，则由f′（x）=0得，，且0＜x3＜x4＜a，当x∈（0，x3）时，f′（x）＜0；当x∈（x3，x4）时，f′（x）＞0；当x∈（x4，+∞）时，f′（x）＞0，所以f（x）在区间上是单调减，在上单调增；在上单调减．综上所述，当a＜1时，f（x）的单调递减区间是，单调递增区间是；当时，f（x）单调递减区间是（0，a），单调的递增区间是（a，+∞）；当时，f（x）单调递减区间是（0，）和，单调的递增区间是和（a，+∞）．（3）函数f（x）的定义域为x∈（0，+∞）．由f（x）＞0，得．*（ⅰ）当x∈（0，1）时，|x﹣a|≥0，，不等式*恒成立，所以a∈R；（ⅱ）当x=1时，|1﹣a|≥0，，所以a≠1；（ⅲ）当x＞1时，不等式*恒成立等价于恒成立或恒成立．令，则．因为x＞1，所以h'（x）＞0，从而h（x）＞1．因为恒成立等价于a＜（h（x））min，所以a≤1．令，则．再令e（x）=x2+1﹣lnx，则在x∈（1，+∞）上恒成立，e（x）在x∈（1，+∞）上无最大值．综上所述，满足条件的a的取值范围是（﹣∞，1）．点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、求函数在闭区间上的最值及函数恒成立问题，考查分类讨论思想，考查学生分析问题解决问题的能力，综合性强，难度大，对能力要求较高．选做题：21-24四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21．（10分）（2013•南通二模）如图，AB是⊙O的直径，C，F是⊙O上的两点，OC⊥AB，过点F作⊙O的切线FD交AB的延长线于点D．连接CF交AB于点E．求证：DE2=DB•DA．考点：与圆有关的比例线段．专题：证明题．分析：欲证DE2=DB•DA，由于由切割线定理得DF2=DB•DA，故只须证：DF=DE，也就是要证：∠CFD=∠DEF，这个等式利用垂直关系通过互余角的转换即得．解答：证明：连接OF．因为DF切⊙O于F，所以∠OFD=90°．所以∠OFC+∠CFD=90°．因为OC=OF，所以∠OCF=∠OFC．因为CO⊥AB于O，所以∠OCF+∠CEO=90°．（5分）所以∠CFD=∠CEO=∠DEF，所以DF=DE．因为DF是⊙O的切线，所以DF2=DB•DA．所以DE2=DB•DA．（10分）点评：本题考查的与圆有关的比例线段、切线的性质、切割线定理的运用．属于基础题．22．（10分）选修4﹣2：矩阵与变换已知矩阵，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为，属于特征值1的一个特征向量为．求矩阵A的逆矩阵．考点：特征值与特征向量的计算．专题：计算题．分析：利用特征值与特征向量的定义，建立方程组，即可求得A，求出A的行列式，即可求得逆矩阵A﹣1．解答：解：由矩阵A属于特征值6的一个特征向量为，可得=6，即c+d=6；由矩阵A属于特征值1的一个特征向量为可得，=，即3c﹣2d=﹣2，解得，即A=，A逆矩阵是．点评：本题主要考查了二阶矩阵，以及特征值与特征向量的计算，考查逆矩阵，正确理解特征值与特征向量是关键，属于中档题．23．已知曲线C1的极坐标方程为，曲线C2的极坐标方程为，判断两曲线的位置关系．考点：参数方程化成普通方程；直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：把参数方程化为普通方程，求出圆心到直线的距离大于半径，由此可得两曲线的位置关系．解答：解：将曲线C1，C2化为直角坐标方程得：，表示一条直线．曲线，即，表示一个圆，半径为．圆心到直线的距离，∴曲线C1与C2相离．点评：本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，点到直线的距离公式的应用，直线和圆的位置关系应用，属于基础题．24．设f（x）=x2﹣x+14，且|x﹣a|＜1，求证：|f（x）﹣f（a）|＜2（|a|+1）．考点：不等式的证明．专题：不等式的解法及应用．分析：先利用函数f（x）的解析式，代入左边的式子|f（x）﹣f（a）|中，再根据|f（x）﹣f（a）|=|x2﹣x﹣a2+a|=|x﹣a|•|x+a﹣1|＜|x+a﹣1|=|x﹣a+2a﹣1|≤|x﹣a|+|2a ﹣1|＜1+|2a|+1，进行放缩即可证得结果．解答：证明：由|f（x）﹣f（a）|=|x2﹣a2+a﹣x|=|（x﹣a）（x+a﹣1）|=|x﹣a||x+a﹣1|＜|x+a﹣1|=|（x﹣a）+2a﹣1|≤|x﹣a|+|2a|+1＜|2a|+2 =2（|a|+1）．∴|f（x）﹣f（a）|＜2（|a|+1）．点评：本题主要考查绝对值不等式的性质，用放缩法证明不等式，体现了化归的数学思想，属于中档题．25．（10分）袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取2个都是白球的概率为．现甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取…，每次摸取1个球，取出的球部放回，直到其中有一人去的白球时终止．用X表示取球终止时取球的总次数．（1）求袋中原有白球的个数；（2）求随机变量X的概率分布及数学期望E（X）．考点：离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率；离散型随机变量及其分布列．专题：计算题；压轴题．分析：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率的应用问题，试验发生包含的所有事件是从9个球中取2个球，共有C92种结果，而满足条件的事件是从n个球中取2个，共有C n2种结果，列出概率使它等于已知，解关于n的方程，舍去不合题意的结果．（2）用X表示取球终止时取球的总次数，由题意知X的可能取值为1，2，3，4，结合变量对应的事件，用等可能事件的概率公式做出结果，写出分布列和期望．解答：解：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率的应用问题，试验发生包含的所有事件是从9个球中取2个球，共有C92种结果而满足条件的事件是从n个球中取2个，共有C n2种结果设袋中原有n个白球，则从9个球中任取2个球都是白球的概率为，由题意知=，即，化简得n2﹣n﹣30=0．解得n=6或n=﹣5（舍去）故袋中原有白球的个数为6．（2）用X表示取球终止时取球的总次数，由题意，X的可能取值为1，2，3，4．；；；P（X=4）=．∴取球次数X的概率分布列为：∴所求数学期望为E（X ）=1×+2×+3×+4×=点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查等可能事件的概率，是一个综合题，求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科高考必出的一个问题，要引起注意．26．（10分）空间内有n个平面，设这n个平面最多将空间分成a n个部分．（1）求a1，a2，a3，a4；（2）写出a n关于n的表达式并用数学归纳法证明．考点：数学归纳法；归纳推理．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）直接通过直线分平面所得部分写出a1，a2，a3，a4；（2）利用（1）写出a n关于n的表达式，直接利用用数学归纳法证明的步骤证明结论即可．解答：解：（1）一条直线把平面分成2部分，所以a1=2，两条直线把平面最多分成4部分，所以a2=4，三条直线把平面最多分成8部分，所以a3=8，四条直线最多分成15部分，所以a4=15；（2）由（1）可知，．证明如下：当n=1时显然成立，设n=k（k≥1，k∈N*）时结论成立，即，则当n=k+1时，再添上第k+1个平面，因为它和前k个平面都相交，所以可得k条互不平行且不共点的交线，且其中任3条直线不共点，这k条交线可以把第k+1个平面划最多分成个部分，每个部分把它所在的原有空间区域划分成两个区域．因此，空间区域的总数增加了个，∴=，即当n=k+1时，结论也成立．综上，对∀n∈N*，．点评：本题考查数学归纳法在实际问题中的应用，考查数学归纳法的证明步骤的应用，考查逻辑推理能力．。
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常州二中2013高三文科周末综合练习2012-10-13一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
请把答案填写在答题卷相应的位．．．．．．．置上．．. 1．321i i+-的值等于______.2．如图所示的流程图中，输出的结果是______.3．设数列{}n a 是等差数列, 12324a a a ++=-, 1926a =, 则此数列{}n a 前20项和等于____.4．平面向量a 与b 的夹角为060，(2,0)=a ，1=b ，则+=a b ______.5．函数x y xe =的最小值是______.6．计算121(lg lg 25)100=4--÷______.7．已知}02,0,4|),{(},0,0,6|),{(≥-≥≤=≥≥≤+=Ωy x y x y x A y x y x y x ，若向区域Ω上随机投一点P ，则点P 落入区域A 的概率为______.8．将函数2sin(2)3y x π=+的图像向左平移至少 个单位，可得一个偶函数的图像．9．对于∆ABC ,有如下四个命题:①若sin 2sin 2A B = ,则∆ABC 为等腰三角形, ②若sin cos B A =,则∆ABC 是直角三角形③若222sin sin sin A B C +>,则∆ABC 是钝角三角形④若coscoscos222a b c A B C ==, 则∆ABC 是等边三角形其中正确的命题个数是______.10．对于函数()f x ，在使()f x M ≥成立的所有常数M 中，我们把M 的最大值称为()f x 的＂下确界＂，则函数15()14,(,)544f x x x x =-+∈-∞-的＂下确界＂等于______.11．已知2b 是1-a 和1+a 的等比中项，则a +4b 的取值范围是______.12．设G 是ABC ∆的重心，且0)sin 35()sin 40()sin 56(=++GC C GB B GA A ，则角B 的大小为______.a ←5，S ←1 S ←S ×a a ←a －1 结束 a ≥2 否是开始 输出S（第3题图）13．已知函数3()(,,)1bx c f x a b c a >0ax +=∈+R,是奇函数,若()f x 的最小值为12-,且2(1)5f >,则b 的取值范围是__________． 14．设函数2()sin (,)3sin f x x m x R m R x=++∈∈+最大值为()g m ，则()g m 的最小值为二、解答题15．已知向量(sin ,2)a θ=- 与(1,cos )b θ= 互相垂直，其中(0,)2πθ∈．（1）求sin θ和cos θ的值； （2）若10sin(),(0,)102πθϕϕ-=∈，求cos ϕ的值．16． 如图的几何体中，AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形， 22AD DE AB ===，F 为CD 的中点． （1）求证：//AF 平面BCE ； （2）求证：平面BCE ⊥平面CDE .17．已知等比数列{}n a 中641=a ，公比1≠q ，且2a ，3a ，4a 分别为某等差数列的第5项，第3项，第2项．⑴求数列{}n a 的通项公式；⑵设12log n n b a =，求数列{}nb 的前n 项和n T ．BAEDCF18． 某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元～1000万元的投资收益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y （单位：万元）随投资收益x （单 位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%．现 有两个奖励方案的函数模型：（1）2150xy =+；（2）4lg 3y x =-．试问这两个函数模型是否符合该公司要求，并说明理由．19． 函数ln ()a xf x x x=-，其中a 为常数． （1）证明：对任意a R ∈，函数()y f x =图像恒过定点；（2）当1a =时，不等式()20f x b +≤在(0,)x ∈+∞上有解，求实数b 的取值范围； （3）若对任意[),0a m ∈时，函数()y f x =在定义域上恒单调递增，求m 的最小值．20．已知2()ln ,()3f x x x g x x ax ==-+-．(1) 求函数()f x 在[,2](0)t t t +>上的最小值；(2) 对一切(0,)x ∈+∞，2()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围； (3) 证明: 对一切(0,)x ∈+∞，都有12ln xx e ex>-成立．常州二中高三文科周末综合练习2012-10-13一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
请把答案填写在答题卷相应的位．．．．．．．置上．．. 1． 1 2． 120 3． 180 4． 75． 1e -6． －20 7． 298． 512π9． 1 10． 2- 11． ⎥⎦⎤ ⎝⎛-451， 12． 60°13． 1(,2)214． 34二、解答题15．解：（1）∵a b ⊥，∴sin 2cos 0θθ-=，又22sin cos 1θθ+=，且(0,)2πθ∈，∴25sin 5θ=，5cos 5θ=． …………………………6分（2）∵(0,)2πθ∈，(0,)2πϕ∈，∴(,)22ππθϕ-∈-，又10sin()10θϕ-=，∴310cos()10θϕ-=， …………………………10分∴[]cos cos ()ϕθθϕ=--cos cos()sin sin()θθϕθθϕ=-+-5310251025105102=⋅+⋅=． …………………………14分16．（1）证明：取CE 的中点G ，连结FG BG 、． ∵F 为CD 的中点，∴//GF DE 且12GF DE =． ∵AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，∴//AB DE ，∴//GF AB ． 又12AB DE =，∴GF AB =． ∴四边形GFAB 为平行四边形，则//AF BG ．∵AF ⊄平面BCE ，BG ⊂平面BCE ， ∴//AF 平面BCE ．…………7分 （2）证明：∵ACD ∆为等边三角形，F 为CD 的中点，∴AF CD ⊥∵DE ⊥平面ACD ，AF ACD ⊂平面，∴DE AF ⊥．BAEDCFG∵//BG AF ，∴,BG DE BG CD ⊥⊥又CD DE D ⋂=，∴BG ⊥平面CDE ． ∵BG ⊂平面BCE ， ∴平面BCE ⊥平面CDE ．………………14分17．解：⑴由条件知()23342a a a a -=-． 即()22311112a q a q a q a q -=-， 又.01≠⋅q a ∴()()21221q q q q q -=-=-，又1q ≠．∴.21=q ∴17116422n n n a --⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． …………………………7分⑵12log 7.n n b a n ==-{}n b 前n 项和()13.2n n n S -=∴当71≤≤n 时，0n b ≤，∴213.2n n n n T S -=-=当8≥n 时，0n b >，2127897(13)138424222n n n n n n n T b b b b b b S S --+=----++++=-=+=∴2213,1721384,8.2n n n n n N T n n n n N **⎧-≤≤∈⎪⎪=⎨-+⎪≥∈⎪⎩且且…………………………14分18．解：设奖励函数模型为y ＝f (x )，由题意可知该公司对函数模型应满足下列条件：当x ∈[10，1000]时，①f (x )是增函数；②f (x )≤9恒成立；③1()5f x x ≤恒成立．①对于函数模型()2150xf x =+：当x ∈[10，1000]时，f (x )是增函数，则max 100020()(1000)2291503f x f ==+=+<．所以f (x )≤9恒成立． …………………………3分因为函数()12150f x x x =+在[10，1000]上是减函数，所以max ()121150105f x x ⎡⎤=+>⎢⎥⎣⎦． 从而1()5f x x ≤不恒成立．故该函数模型不符合公司要求． …………………………7分 ②对于函数模型f (x )＝4lg x －3： 当x ∈[10，1000]时，f (x )是增函数，则max ()(1000)4lg100039f x f ==-=．所以f (x )≤9恒成立． …………………………9分设g (x )＝4lg x －35x -，则4lg 1()5e g x x '=-.当x ≥10时，24lg 12lg 1lg 1()0555e e e g x x --'=-=<≤，所以g (x )在[10，1000]上是减函数，从而g (x )≤g (10)＝－1＜0，所以4lg x －35x -＜0，即4lg x －3＜5x ，所以1()5f x x ≤恒成立．故该函数模型符合公司要求． …………………………14分19．解：（1）令ln 0x =，得1x =，且(1)1f =， ∴函数()y f x =图像恒过定点(1,1)． …………………………2分（2）当1a =时，ln ()xf x x x=-，∴21ln ()1xf x x -'=-，即22ln 1()x x f x x +-'=， 令()0f x '=，得1x =．x (0，1) 1 （1，＋∞）()f x '－0 ＋f (x )极小值∴min ()(1)1f x f ==，∵()20f x b +≤在(0,x ∈+∞）上有解，∴min 2()b f x -≥，即21b -≥，∴实数b 的取值范围为1(,]2-∞-．…………………9分（3）2ln ()1a a x f x x -'=-，即22ln ()x a x a f x x +-'=，令2()ln g x x a x a =+-， 由题意可知，对任意[,0)a m ∈，()f x '≥0在(0,)x ∈+∞恒成立， 即2()ln 0h x x a x a =+-≥在(0,)x ∈+∞恒成立．∵22()2a x ah x x x x+'=+=，令()0h x '=，得2a x =--（舍）或2a -．列表如下：x(0，2a -) 2a - （2a-，＋∞） ()h x ' － 0＋ h (x )极小值 ∴min 3()()ln 0222a a h x h a ⎛⎫=-=-- ⎪⎪⎝⎭≥，解得32a e -≥． ∴m 的最小值为32e -． …………………16分20．解： (1) '()ln 1f x x =+，当1(0,)x e ∈，'()0f x <，()f x 单调递减，当1(,)x e∈+∞，'()0f x >，()f x 单调递增．………………………………………………………………..2分① 102t t e<<+<，t 无解；② 102t t e <<<+，即10t e <<时，min 11()()f x f e e ==-； ③ 12t t e ≤<+，即1t e≥时，()f x 在[,2]t t +上单调递增，min ()()ln f x f t t t ==；所以min 110()1ln t e e f x t t t e ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩， ，．…………………………………………………………..6分(2) 22ln 3x x x ax ≥-+-，则32ln a x x x≤++，………………………………………..8分设3()2ln (0)h x x x x x =++>，则2(3)(1)'()x x h x x+-=，(0,1)x ∈，'()0h x <，()h x 单调递减，(1,)x ∈+∞，'()0h x >，()h x 单调递增，所以min ()(1)4h x h ==……………………….10分因为对一切(0,)x ∈+∞，2()()f x g x ≥恒成立，所以min ()4a h x ≤=；………………..12分 （3） 问题等价于证明2ln ((0,))x x x x x e e>-∈+∞，由⑴可知()ln ((0,))f x x x x =∈+∞的最小值是1e-，当且仅当1x e=时取到………………………………………………………….14分 设2()((0,))x x m x x e e =-∈+∞，则1'()x x m x e -=，易得max 1()(1)m x m e==-，当且仅当1x =时取到，从而对一切(0,)x ∈+∞，都有12ln x x e ex>-成立．……………………………..16分14．数列{}n a 满足2*113,1()2n n n a a a a n N +==-+∈，则∑==201211i ia m 的整数部分是___▲___. 114．答案解析：由题1(1)1n n n a a a +=-+，则111111111111n n n n n n a a a a a a ++=-⇒=-----，故有1121111201320131--=---=a a a m ，由于337216a =>且1n n a a +>，故)1,0(112013∈-a ，所以(1,2)m ∈，其整数部分是1．1．已知集合{1,cos }A θ=，1{0,,1}2B =，若A B ⊆，则锐角θ= ▲ ． 3π2．若 12z a i =+, 234z i =-，且12z z 为 纯 虚 数，则 实 数 a 的 值为 ▲ ．833．某校高三年级学生年龄分布在17岁、18岁、19岁的人数分别为500、400、200，现通过分层抽样从上述学生中抽取一个样本容量为m 的样本，已知每位学生被抽到的概率都为0.2，则m = ▲ 220．4．命题p ：函数tan y x =在R 上单调递增，命题q ：ABC ∆中，A B ∠>∠是sin sin A B >的充要条件，则p q ∨是 ▲ 命题．（填“真”“假”） 真5．平面向量a 与b 的夹角为120︒，(0,2)a = ，||1b =，则a b +=▲ ．36．执行如图的程序框图，若输出5n =，则整数p 的 最小值是 ▲ ．87．设231,0()27,0x x x f x x x ⎧--=⎨-+<⎩≥，若()3f a >，则实数a的取值范围是 ▲ ．{|0a a <或}4a > 8．9．设函数1()1f x x b=+-，若,,a b c 成等差数列（公差不为零），则()()f a f c += ▲ ．2 10．设a b 、是两条不同的直线，αβ、是两个不同的平面，则下列四个命题：①若a ⊥b ，a ⊥α，b ⊄α，则b ∥α； ②若a ∥α，a ⊥β，则α⊥β； ③若a ⊥β，α⊥β，则a ∥α或a ⊂α； ④若a ⊥b ，a ⊥α，b ⊥β，则α⊥β． 其中正确命题的序号有 ▲ ．①②③④11．在ABC ∆中，3AB AC =，AD 是A ∠的平分线，且AD mAC =，则实数m 的取值范围是 ▲ ．3(0,)213．已知,a b R ∈，1C ：2224250x y x y a +-+-+=与2C ：22(210)2x y b x by +---+2210160b b -+=交于不同两点1122(,),(,)A x y B x y ，且121212120x x y y y y x x -++=-+，则实数b 的值为 ▲ ．5314．已知等比数列{}n a 满足11a =，102q <<，且对任意正整数k ，12()k k k a a a ++-+仍是该数列中的某一项，则公比q 的取值集合为 ▲ ．{21}-开始 1,0n S ←←S p <Y输入p 结束输出n 12n S S -←+N1n n ←+已知向量(sin ,2)a θ=- 与(1,cos )b θ= 互相垂直，其中(0,)2πθ∈．（1）求sin θ和cos θ的值； （2）若10sin(),(0,)102πθϕϕ-=∈，求cos ϕ的值．15．解：（1）∵a b ⊥ ，∴sin 2cos 0θθ-=，又22sin cos 1θθ+=，且(0,)2πθ∈，∴25sin 5θ=，5cos 5θ=． …………………………6分（2）∵(0,)2πθ∈，(0,)2πϕ∈，∴(,)22ππθϕ-∈-，又10sin()10θϕ-=，∴310cos()10θϕ-=， …………………………10分∴[]cos cos ()ϕθθϕ=--cos cos()sin sin()θθϕθθϕ=-+-5310251025105102=⋅+⋅=． …………………………14分17．(本小题满分14分)如图的几何体中，AB ⊥平面A C D ，DE ⊥平面A C D ，△ACD 为等边三角形， 22AD DE AB ===，F 为CD 的中点． （1）求证：//AF 平面BCE ；（2）求证：平面BCE ⊥平面CDE .17．（1）证明：取CE 的中点G ，连结FG BG 、．∵F 为CD 的中点，∴//GF DE 且12GF DE =．∵AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，∴//AB DE ，∴//GF AB ． 又12AB DE =，∴GF AB =． ∴四边形GFAB 为平行四边形，则//AF BG ．∵AF ⊄平面BCE ，BG ⊂平面BCE ， ∴//AF 平面BCE ．…………7分 （2）证明：∵ACD ∆为等边三角形，F 为CD 的中点，∴AF CD ⊥ ∵DE ⊥平面ACD ，AF ACD ⊂平面，∴DE AF ⊥．B AEDC FG B AE DCF∵//BG AF ，∴,BG DE BG CD ⊥⊥又CD DE D ⋂=，∴BG ⊥平面CDE ． ∵BG ⊂平面BCE ， ∴平面BCE ⊥平面CDE ．………………14分已知等比数列{}n a 中641=a ，公比1≠q ，且2a ，3a ，4a 分别为某等差数列的第5项，第3项，第2项．⑴求数列{}n a 的通项公式；⑵设12log n n b a =，求数列{}nb 的前n 项和n T ． 16．解：⑴由条件知()23342a a a a -=-． 即()22311112a q a q a q a q -=-， 又.01≠⋅q a ∴()()21221q q q q q -=-=-，又1q ≠．∴.21=q ∴17116422n n n a --⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． …………………………7分⑵12log 7.n n b a n ==-{}n b 前n 项和()13.2n n n S -=∴当71≤≤n 时，0n b ≤，∴213.2n n n n T S -=-=当8≥n 时，0n b >，2127897(13)138424222n n n n n n n T b b b b b b S S --+=----++++=-=+=∴2213,1721384,8.2n n n n n N T n n n n N **⎧-≤≤∈⎪⎪=⎨-+⎪≥∈⎪⎩且且…………………………14分17．（本小题满分14分）某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元～1000万元的投资收 益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y （单位：万元）随投资收益x （单 位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%．现有两个奖励方案的函数模型：（1）2150xy =+；（2）4lg 3y x =-．试问这两个函数模型是否符合该公司要求，并说明理由．17．解：设奖励函数模型为y ＝f (x )，由题意可知该公司对函数模型应满足下列条件：当x ∈[10，1000]时，①f (x )是增函数；②f (x )≤9恒成立；③1()5f x x ≤恒成立．①对于函数模型()2150xf x =+：当x ∈[10，1000]时，f (x )是增函数，则max 100020()(1000)2291503f x f ==+=+<．所以f (x )≤9恒成立． …………………………3分因为函数()12150f x x x =+在[10，1000]上是减函数，所以max()121150105f x x ⎡⎤=+>⎢⎥⎣⎦． 从而1()5f x x ≤不恒成立．故该函数模型不符合公司要求． …………………………7分 ②对于函数模型f (x )＝4lg x －3： 当x ∈[10，1000]时，f (x )是增函数，则max ()(1000)4lg100039f x f ==-=．所以f (x )≤9恒成立． …………………………9分设g (x )＝4lg x －35x -，则4lg 1()5e g x x '=-.当x ≥10时，24lg 12lg 1lg 1()0555e e e g x x --'=-=<≤，所以g (x )在[10，1000]上是减函数，从而g (x )≤g (10)＝－1＜0，所以4lg x －35x -＜0，即4lg x －3＜5x ，所以1()5f x x ≤恒成立．故该函数模型符合公司要求． …………………………14分 19．（本小题满分16分） 函数ln ()a xf x x x=-，其中a 为常数． （1）证明：对任意a R ∈，函数()y f x =图像恒过定点；（2）当1a =时，不等式()20f x b +≤在(0,)x ∈+∞上有解，求实数b 的取值范围； （3）若对任意[),0a m ∈时，函数()y f x =在定义域上恒单调递增，求m 的最小值． 19．解：（1）令ln 0x =，得1x =，且(1)1f =， ∴函数()y f x =图像恒过定点(1,1)． …………………………2分（2）当1a =时，ln ()xf x x x=-，∴21ln ()1xf x x -'=-，即22ln 1()x x f x x +-'=，令()0f x '=，得1x =．x (0，1) 1 （1，＋∞）()f x '－0 ＋f (x )极小值∴min ()(1)1f x f ==，∵()20f x b +≤在(0,x ∈+∞）上有解，∴min 2()b f x -≥，即21b -≥，∴实数b 的取值范围为1(,]2-∞-．…………………9分（3）2ln ()1a a x f x x -'=-，即22ln ()x a x a f x x +-'=，令2()ln g x x a x a =+-， 由题意可知，对任意[,0)a m ∈，()f x '≥0在(0,)x ∈+∞恒成立， 即2()ln 0h x x a x a =+-≥在(0,)x ∈+∞恒成立．∵22()2a x ah x x x x+'=+=，令()0h x '=，得2a x =--（舍）或2a -．列表如下：x(0，2a -) 2a - （2a-，＋∞） ()h x ' － 0＋ h (x )极小值 ∴min 3()()ln 0222a a h x h a ⎛⎫=-=-- ⎪⎪⎝⎭≥，解得32a e -≥． ∴m 的最小值为32e -． …………………16分已知2()ln ,()3f x x x g x x ax ==-+-．(1) 求函数()f x 在[,2](0)t t t +>上的最小值；(2) 对一切(0,)x ∈+∞，2()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围； (3) 证明: 对一切(0,)x ∈+∞，都有12ln x x e ex>-成立． 20．解： (1) '()ln 1f x x =+，当1(0,)x e∈，'()0f x <，()f x 单调递减，当1(,)x e∈+∞，'()0f x >，()f x 单调递增．………………………………………………………………..2分① 102t t e<<+<，t 无解；② 102t t e <<<+，即10t e <<时，min 11()()f x f e e ==-； ③ 12t t e ≤<+，即1t e≥时，()f x 在[,2]t t +上单调递增，min ()()ln f x f t t t ==；所以min 110()1ln t e ef x t t t e ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩， ，．…………………………………………………………..6分(2) 22ln 3x x x ax ≥-+-，则32ln a x x x≤++，………………………………………..8分设3()2ln (0)h x x x x x =++>，则2(3)(1)'()x x h x x +-=，(0,1)x ∈，'()0h x <，()h x 单调递减，(1,)x ∈+∞，'()0h x >，()h x 单调递增，所以min ()(1)4h x h ==……………………….10分因为对一切(0,)x ∈+∞，2()()f x g x ≥恒成立，所以min ()4a h x ≤=；………………..12分 （3） 问题等价于证明2ln ((0,))xx x x x e e>-∈+∞，由⑴可知()ln ((0,))f x x x x =∈+∞的最小值是1e-，当且仅当1x e=时取到………………………………………………………….14分 设2()((0,))x x m x x e e =-∈+∞，则1'()x x m x e -=，易得max 1()(1)m x m e==-，当且仅当1x =时取到，从而对一切(0,)x ∈+∞，都有12ln x x e ex>-成立．……………………………..16分。