高观点数学 第三章课后作业

一、必做作业：
1． 用两种方法求下列函数的极值：
（1）
解：方法一（求导）
方法二（二阶求导）
方法三：由于极值的概念是一个局部性的概念，是极值点0x 处的函数值与其附近的函数值
进行比较而得出的概念。

因此，令：
β
αααβα++-+-+=++-=+-=2
002
02
03
203)2()2( )()(13x x x x x x x x x x x x y
比较系数得到：
①020=-x α
；②320
2
-=-x x α；③12
=+βαx
由①得02x =α，代入②得12
0=x ，故，1100-==x x 或。

若10
=x ，则，2=α，代入③得1-=β，从而有：
1)2()1(2-+-=x x y ；当x 在1的附近，显然有02>+x ，又0)1(2≥-x ；所
以：11)2()1(2-≥-+-=x x y
，即函数y 在处10=x 取得极小值-1.
若10
-=x ，则，2-=α，代入③得3=β，从而有：
233,=0(,)(+)0,y ()0,y y x y x x y x x y x y x y x y ''=-'∈-∞∈∞>'∈<∴１２若，解得：＝－1，＝1，下面讨论函数的单调性：
当－1和1，时，函数是递增的；当－1，1时，函数是递减的。

当＝－1时，有极大值3；当＝1时，有极小值－1
6,16(-=-116(=1 1.
y x x y y x x y y x ''=''=-=⨯=-''=-=⨯=-显然，
若时，1)6<0,所以函数在处取得极大值，为3；若时，1)6>0,所以函数在处取得极小值在方法一的基，为础上，
3)2()1(2+-+=x x y ；当x 在-1的附近，显然有02<-x ，又0)1(2≥+x ；
所以：33)2()1(2≤+-+=x x y
，即函数y 在处10-=x 取得极大值3.
（2）
．
解：方法一（求导）
22126612,6612=01,2;
--2+0,y 120,y 1y 2y -y x x x x x x x x y x y x x '=----=-='∈∞∈∞>'∈-<=-=令，解得：若（，1）和（，）时，所以函数是递增的；若（，）时,所以函数是减少的。

故在处函数有极大值8，在处函数有极小值19.
方法二（二阶求导）
方法三: 令：
βαααβα++-+-+=++-=+--=2
002
020320232)2(2)2(22 )()(211232x x x x x x x x x x x x x y
比较系数得：
①
3)2(20-=-x α；②12)2(2020-=-x x α；③122
0=+βαx
由①得
23
20-
=x α，代入②得02020=--x x ，故，1200-==x x 或。

若20=x ，则，
25
=
α，代入③得19-=β，从而有： 12-6,112--=-1218219.
y x x y y x x y y x ''=''=-=⨯=-''==>=-在方法一的基础上，显然，
若时，（1）618<0,所以函数在处取得极大值，为8；若时，0,所以函数在处取得极小值，为
19)25
()2(22-+-=x x y ；当x 在2的附近，显然有025>+x ，又
0)2(2
≥-x ；所以：19
19)25
()2(22
-≥-+-=x x y ，即函数y 在处20
=x 取得极小值-19. 若
10-=x ，则，
27
-
=α，代入③得8=β，从而有：
8)27
()1(22
+-+=x x y ；当x 在-1的附近，显然有027<-x ，又
0)1(2
≥+x ；所以：8
8)27
()1(22≤+-+=x x y ，即函数y 在处10
-=x 取得极大值8.
2． 问当
取何值时，
取得最小值．
解：
210614,648,=02,1-(2,1)10,6,(2,1)400(,)(2,1)(2,-1)=20-12+2-28+8+12=2
x y x y xx xy yy f x y f x y f f x y f B f C f A f x y f ''''=+-=+-===-''''''-====-=>>-令，解得：驻点为（2，1）,设A=因为AC-B 且，所以函数在处取得最小值，为
3．有一个繁华的商场，一天之中接待的顾客数以千计，川流不息．如果商场有一个重要广告，想使所有的顾客都能听到，又已知当天任意的3个顾客中，至少有两个在商场里相遇．问商场至少广播几次，就能使这一天到过商场里的所有顾客都能听到．
解：顾客人数为n=1,2时，已知条件无法用上。

因此从n=3考虑：
当第一个顾客到来时，为了使广播的次数少一些，可以先不播，一直等到有人要离开商场时，则必须开播。

可见，第一次广播应在第一个顾客将离开而未离开商场之前。

第一次开播时，第2、3位顾客可能到
．
112
2-++x x x
5．设求证：
.
+
a+
a
a。