构造函数利用导数解决函数问题
运用构造函数法解答导数问题的步骤
导数问题的难度较大，对同学们的数学抽象思维能力和运算能力有着较高的要求.导数与函数之间的联系紧密，所以在解答导数问题时，通常要根据已知条件来构造合适的函数模型，利用函数的图象、性质来求得问题的答案.这就是构造函数法.运用构造函数法解答导数问题的步骤为：1.仔细研究题目中给出的关系式的结构特征；2.灵活运用幂函数的求导公式(x n)′=nx n-1、指数函数的求导公式(a x)′=a x ln a（特例(e x)′=e x，(e nx)′=ne nx(n∈N*,n≥2)）、对数函数的求导公式(log a x)′=1x ln a（特例(ln x)′=1x）、三角函数的求导公式(sin x)′=cos x,(cos x)′=-sin x等，对已知关系式中的部分式子进行求导或积分；3.根据导数的运算法则(u±v)′=u′±v′，(uv)′=u′v+uv′，(u v)′=u′v-uv′v2将目标式或已知关系式进行变形，并将变形、化简后的式子构造成新函数模型；4.根据导函数与函数的单调性之间的关系判断出函数的单调性；5.根据函数的单调性求函数的极值，比较函数式的大小.把导数问题转化为函数问题来求解，可以达到化繁为简、化难为易的目的.例1.已知函数f(x)是定义在(-∞,0)上的可导函数，且xf′(x)+3f(x)>0，那么不等式(x+2021)3f(x+2021)+27f(-3)>0的解集是（）.A.(-2024,+∞)B.(-2022,-2021)C.(-∞,-2022)D.(-2024,-2021)解：在不等式xf′(x)+3f(x)>0的两边同乘以x2，可得x3f′(x)+3x2f(x)>0，即x3f′(x)+(x3)′f(x)>0，得(x3f(x))′>0.设函数g(x)=x3f(x)，则g′(x)>0，所以g(x)在(-∞,0)上单调递增.而(x+2021)3f(x+2021)+27f(-3)>0可变形为(x+2021)3f(x+2021)>(-3)3f(-3)，即g(x+2021)>g(-3).可得-3<x+2021<0，解得-2024<x<-2021.故选D.先根据指数函数的求导公式(x3)′=3x2以及导数的运算法则(uv)′=u′v+uv′将xf′(x)+3f(x)>0变形，即可化简不等式；再构造出函数g(x)=x3+f(x)，探讨其单调性，便可根据函数的单调性求得问题的答案.例2.已知函数f(x)是R上的可导函数，且(x-1)⋅(f′(x)-f(x))>0，f(2-x)=f(x)e2-2x，那么一定正确的是（）.A.f(1)<f(0)B.f(2)>ef(0)C.f(3)>e3f(0)D.f(4)<e4f(0)解：将不等式(x-1)(f′(x)-f(x))>0变形，可得(x-1)∙e x f′(x)-(e x)′f(x)(e x)2>0，即(x-1)∙(f(x)e x)′>0，设函数g(x)=f(x)e x，易知：当x>1时，g′(x)>0；当x<1时，g′(x)<0，所以函数g(x)在(-∞,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增.将f(2-x)=f(x)e2-2x变形，可得f(2-x)e2-x=f(x)e x，即g(2-x)=g(x)，所以函数g(x)的图象关于直线x=1对称.根据函数g(x)的单调性、对称性可得g(0)=g(2)<g(3)，即f(0)e0<f(3)e3，因此e3f(0)<f(3).故选C.我们以指数函数的求导公式(a x)′=a x ln a为切入点，根据导数的运算法则(u v)′=u′v-uv′v2，构造商式函数g(x)=f(x)e x，即可根据其单调性和对称性求得问题的答案.备考指南54例3.已知函数f (x )是定义在(1,+∞)上的可导函数，对∀x ∈(1,+∞)均有f '(x )ln x >1+ln x xf (x )恒成立，则（）.A.12f (2)>3f (4)>f (8)B.3f (4)>12f (2)>f (8)C.f (8)>3f (4)>12f (2)D.f (8)>12f (2)>3f (4)解：在f ′(x )ln x >1+ln x xf (x )的两边同乘以x ，移项可得f ′(x )x ln x -(1+ln x )f (x )>0，再变形得f ′(x )ln x -(x ln x )′f (x )(x ln x )2>0，得(f (x )x ln x )′>0，显然该不等式对∀x ∈(1,+∞)恒成立.设函数g (x )=f (x )x ln x，则g ′(x )>0，所以函数g (x )在(1,+∞)上单调递增.所以g (2)<g (4)<g (8)，即f (2)2ln 2<f (4)4ln 4<f (8)8ln 8，变形得f (2)2ln 2<f (4)8ln 2<f (8)24ln 2，可得f (8)>3f (4)>12f (2).故选C.根据已知条件和对数函数的求导公式(log a x )′=1x ln a，得到(x ln x )′=1+ln x ，便可根据导数的运算法则(uv )′=u ′v +uv ′和(u v )′=u ′v -uv ′v 2，将不等式进行变形、化简，进而构造出函数g (x )=f (x )x ln x，利用函数的单调性即可解题.例4.已知函数f (x )是定义在(-π2,π2)上的可导函数，且f ′(x )cos x +f (x )sin x >0恒成立，那么下列不等式不成立的是（）.A.2f (π3)<f (π4)B.2f (-π3)<f (-π4)C.f (0)<2f (π4) D.f (0)<2f (π3)解：将f ′(x )cos x +f (x )sin x >0变形，得f ′(x )cos x -f (x )(cos x )′(cos x )2>0，即(f (x )cos x )′>0，设g (x )=f (x )cos x，得g ′(x )>0，所以函数g (2)在(-π2,π2)上单调递增.因为-π2<-π3<-π4<0<π4<π3<π2，所以f (-π3)cos(-π3)<f (-π4)cos(-π4)<f (0)cos 0<f (π4)cos π4<f (π3)cos π3，化简得2f (-π3)<2f (-π4)<f (0)<2f (-π4)<2f (π3)，所以A 选项不正确.故本题选A.由f ′(x )cos x +f (x )sin x >0的结构特征，可联想到三角函数的求导公式(cos x )′=-sin x 以及导数的运算法则(uv )′=u ′v +uv ′，将不等式进行变形、化简，便可构造出新函数g (x )=f (x )cos x.例5.设定义在R 上的函数f (x )是连续可导函数，对任意的x ∈R 都有f (x )+f (-x )=2x 2.当x ∈(0,+∞)时，f ′(x )<2x .若不等式f (2-a )-f (a )≥4-4a 成立，则实数a 的取值范围是（）.A.(0,1]B.[1,2)C.(-∞,1]D.[1,+∞)解：当x ∈(0,+∞)时，根据不等式f ′(x )<2x ，可得f ′(x )-2x <0，再变形得f ′(x )-(x 2)′<0，即(f (x )-x 2)′<0.设函数g (x )=f (x )-x 2，则g ′(x )<0，所以函数g (x )在(0,+∞)上单调递减.因为对任意的x ∈R 都有f (x )+f (-x )=2x 2，所以g (x )+g (-x )=f (x )-x 2+f (-x )-(-x )2=0，所以函数g (x )是R 上的奇函数.因为f (x )是连续函数，所以函数g (x )在R 上单调递减.不等式f (2-a )-f (a )≥4-4a 可变形为f (2-a )-(2-a )2≥f (a )-a 2，即g (2-a )≥g (a ).由函数g (x )的单调性可知2-a ≤a ，解得a ≥1.故选D.根据已知条件f ′(x )<2x ，可知需要利用指数函数的求导公式(x 2)′=2x 以及导数的运算法则(u ±v )′=u ′±v ′，将不等式变形并化简，进而构造函数g (x )=f (x )-x 2，分析其函数的单调性、奇偶性，即可解题.对于本题，还可以将f (x )+f (-x )=2x 2变形为f (x )-x 2+f (-x )-(-x )2=0，再根据f (x )-x 2与f (-x )-(-x )2的结构特征构造函数g (x )=f (x )-x 2.导数问题侧重于考查一些常见的求导公式与导数的四则运算法则(u ±v )′=u ′±v ′，(uv )′=u ′v +uv ′，(u v )′=u ′v -uv ′v2的灵活应用.导数问题较为复杂，同学们不仅要灵活运用导数和函数知识，还需培养数学抽象、逻辑推理以及数学运算能力，才能轻松解题.（作者单位：甘肃省河州中学教育集团附属中学）备考指南55。
导数隐零点问题处理的8大技巧(附30道经典题目)
导数隐零点问题处理的8大技巧(附30道经典题目)导数隐零点问题处理的8大技巧如下：1.分类讨论：对于含参数的零点问题，常常需要根据参数的不同取值范围进行分类讨论。
2.构造函数：利用导数研究函数的单调性，进而研究不等式恒成立问题。
3.分离参数：通过分离参数将参数与变量分开，转化为求最值问题。
4.数形结合：利用数形结合思想，将函数图像与x轴的交点问题转化为求函数的最值问题。
5.转化与化归：将复杂问题转化为简单问题，将陌生问题转化为熟悉问题。
6.构造法：通过构造新的函数或方程，将问题转化为已知的问题进行求解。
7.放缩法：通过对不等式进行放缩，将问题转化为易于处理的形式。
8.判别式法：通过引入判别式，将方程问题转化为二次方程的判别式问题。
以下是30道经典题目，以供练习：1.已知函数f(x)=x3−3x2+5，则f(x)的单调递增区间为( )A.(−∞,1)和(2,+∞)B.(−∞,−1)和(1,+∞)C.(−∞,−1)和(2,+∞)D.(−∞,2)和(1,+∞)2.已知函数f(x)=x3−3x2+5，则f(x)在区间[−2,3]上的最大值是____．3.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=1和x=−21时取极值．(1)求a，b的值；(2)求函数极值．4. 已知函数f(x)=x3−3ax2+4，若x∈[0,2]时，f(x)的最大值为417，求实数a的取值范围．5. 已知函数f(x)=ln x−mx+m有唯一的零点，则实数m的取值范围是____．6. 已知函数 f(x) = x^3 - 3ax^2 + 3x + 1，若 x ∈ [0,1] 时，f(x) ≤ f(0) 恒成立，则 m 的取值范围是 _______．7. 已知函数 f(x) = ax^3 + bx^2 - 3x (a、b ∈ Z) 在 x = ±1 和x = ±2 时取极值．(1) 求 f(x) 的解析式；(2) 求 f(x) 的单调区间和极值；8. 已知函数 f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c 在 x = ±1 和 x = ±3时取极值．(1) 求 a，b 的值；(2) 求 f(x) 的单调区间和极值．1.已知函数 f(x) = x^3 - 3x^2 + 4 在 [0,3] 上的最大值和最小值分别为 M, N，则 M + N = _______．2.设f(x)=x3−3x2+4，则f(−x)+f(x)的值等于____3.已知函数f(x)=x3−3x2+4，则f(x)在(−3,2)上的最大值是____．4.已知函数f(x)=x3−3x2+4，则f(x)在区间[−1,3]上的最大值是____．5.已知函数f(x)=x3−3ax2+bx+c在x=±1时取极值，且函数y=f(x)图象过原点．(1) 求函数y=f(x)的表达式；(2) 求函数的单调区间和极值；14. 已知函数 f(x) = x^3 - 3ax^2 + bx 在 x = -1 和 x = 3 时取极值．(1) 求 a，b 的值；(2) 求 f(x) 在区间 [-2,4] 上的最大值和最小值．15. 已知函数 f(x) = ax^3 + bx^2 + c 在 x = ±1 和 x = ±2 时取极值．(1) 求 a，b 的值；(2) 若 f(x) 的最大值为 8，求 c 的值．16. 已知函数 f(x) = ax^3 + bx^2 + c 在 x = ±1 和 x = ±√2 时取极值，且 f(-2) = -4．(1) 求 a，b，c 的值；(2) 求 f(x) 在区间 [-3,3] 上的最大值和最小值．17. 已知函数 f(x) = x^3 - 3ax^2 + b (a > 0)，若 f(x) 在区间[-1,0] 上是减函数，则 a 的取值范围是 _______．18. 若关于 x 的方程 x^3 - 3ax + a^3 = 0 有实根，则实数 a 的取值范围是 _______．19. 若关于 x 的方程 x^3 - ax^2 + b = 0 有三个不同的实根，则 a，b 应满足的条件是 _______．20. 若关于 x 的方程 x^3 - ax^2 + b = 0 有三个不同的实根，则 b应满足的条件是 _______．1.函数 f(x) = x^3 - 3x^2 + 4 在区间 [-1,3] 上的最大值和最小值分别为 _______．2.已知函数 f(x) = x^3 - 3x^2 + 4，若实数 x，y 满足 f(x) +3x^2 ≤ f(y) + 3y^2，则 x + y 的取值范围是 _______．3.已知函数 f(x) = x^3 - 3x^2 + 4，若实数 x，y 满足 f(x) ≤f(y) + 3，则 x + y 的取值范围是 _______．4.若关于 x 的方程 x^3 - ax^2 + b = 0 有三个不同的实根，则a，b 应满足的条件是 _______．5.已知函数 f(x) = x^3 - 3ax^2 + b 在 x = -1 和 x = 3 时取极值．(1) 求 a，b 的值；(2) 求 f(x) 在区间 [-3,3] 上的最大值和最小值．26. 若关于 x 的方程 x^3 - ax^2 + b = 0 有三个不同的实根，则 b 应满足的条件是 _______．27. 若关于 x 的方程 x^3 - ax^2 + b = 0 有两个不同的实根，则 a，b 应满足的条件是 _______．28. 若关于 x 的方程 x^3 - ax^2 + b = 0 有两个不同的实根，则 a，b 应满足的条件是 _______．29. 若关于 x 的方程 x^3 - ax^2 + b = 0 有两个相等的实根，则 a，b 应满足的条件是 _______．30. 若关于 x 的方程 x^3 - ax^2 + b = 0 有三个相等的实根，则 a，b 应满足的条件是 _______．。
构造函数解决导数问题的常用模型
构造函数解决导数问题的常用模型求导是数学中常见的一类问题，它是估算函数的变化趋势的基本方法。
求解导数的方法和理论可以追溯到欧几里德几何学的时期，而现代数学中的求导知识则是统计学和微分几何学中的重要内容。
随着科学技术的进步，如今求导的方法有了很大的进步，专门的数学模型也用于求解导数问题。
构造函数是一种具有良好结构性和函数形式的表达式，它具有宽泛的数学推理能力，可以解决复杂的数学问题，其中包括求解导数问题。
构造函数解决导数问题的常用模型是利用构造函数求函数的导数的方法。
首先要解决的是函数的求导，而具体的求导方法是根据构造函数的函数形式来进行求解的。
函数的形式分为一阶、二阶、及高阶，这些形式是使用构造函数求函数导数的基本方法。
一阶函数可以使用构造函数求解，一阶函数求导的基本方法是利用微积变换定理进行求解。
微积变换定理。
它将微积分替换为定积分，这样就可以利用定积分的技巧来求出函数的导数。
二阶函数求导也可以使用构造函数求解，二阶函数求导的方法是利用方程的极值问题解决的。
有时候二阶函数不是方程的极值，而是一个复杂的一阶函数。
在这种情况下，可以利用定积分分析和积分变换法来求出它的导数。
高阶函数求导可以使用微积变换公式进行计算，高阶函数求导的方法是利用函数形式求出函数的导数。
在求解高阶函数的导数时，需要利用的微积变换公式是:简高阶函数的同时，注意计算每项函数的导数，最终得到函数的导数。
一些复杂的函数不能利用上述方法求出其导数，此时可以利用构造函数的函数形式求解。
这些函数形式可以组合，形成一个复杂的函数，并且利用函数形式求出函数的导数，从而求得函数的导数。
构造函数解决导数问题的常用模型是分别根据一阶、二阶、及高阶函数的函数形式进行求函数的导数。
同时，还有一些复杂的函数的求导可以利用构造函数的函数形式来解决。
这是解决导数问题的常用模型，比较有效，而且容易理解和实现。
总之，构造函数解决导数问题的常用模型是受到许多数学理论的影响，利用构造函数的函数形式求解函数的导数，这种模型相对有效且容易理解实现。
用构造函数解导数问题
f (2 − x) =f (x)e2−2x
⇔
f
(2 − e2−x
x)
⇔
f (x) ex
⇔
F (2
−
x=)
F (x) ⇒ F (x)关于x=
1 对 称 ， 则 当 x <1 时 ，
F (x)在(-∞,1]上单调递减。根据单调性和大致图像可知
3
离对称轴远，故有 F (3) > F (0) ⇒
f (3) > e3
F (x)在(0, ∞)上也单调递增,= 根据 f (1) 0= 可得F (1) 0 和 F (−1) =0 ，根据函数的单调性和奇偶性可得函数的
大致图像，注意 f (x) 与 x 同号为正，异号为负，根据图像可知 f (x) > 0 的解集为 (−∞, −1) ∪ (1, +∞) 。
公众号：数学其实没那么难
二、利用利用 f (x) 与 ex 构造
因为 ex 的特殊性（恒大于 0 且导数为本身），故常见的题型为 f '(x) ± f (x) 。和 f (x)与x 构造方式相同，此
时 g(x) = ex ，构造 F (x) =
f (x)ex 或者 F (x) =
f (x)
，主要是利用：
ex
= F (x) f (x)ex ,= F '(x) f= (x)ex ' ex ( f '(x) + f (x))
f (x)
。原
xn
理如下：
F (x) = xn f (x) ， F '(x) =xn f '(x) + nxn−1 f (x) =xn−1[xf '(x) + nf (x)] ；
利用导数运算法则构造函数含详解
利用导数运算法则构造函数含详解导数运算法则是微积分中的重要内容，它用于求导函数。
在构造函数时，利用导数运算法则可以简化运算，提高计算效率。
本文将详解常见的导数运算法则，方便读者了解并应用于函数构造。
一.常数法则当函数f(x)为常数时，f'(x)=0。
这是由于常数的导数等于0。
二.幂函数法则1.构造函数：设f(x)=x^n，其中n为实数。
2.对函数f(x)求导，根据导数的定义：f'(x)=lim(Δx→0) [f(x+Δx)-f(x)]/Δx3.展开f(x+Δx)-f(x):f(x+Δx)-f(x)=[(x+Δx)^n-x^n]/Δx=[x^n+n*x^(n-1)Δx+O((Δx)^2)-x^n]/Δx（O(Δx)表示Δx的高阶无穷小）=n*x^(n-1)+O(Δx)4.带入导数的定义，得到导数f'(x)=n*x^(n-1)。
三.指数函数法则2.对函数f(x)求导，根据导数的定义：f'(x)=lim(Δx→0) [f(x+Δx)-f(x)]/Δx3.展开f(x+Δx)-f(x):f(x+Δx)-f(x)=e^(x+Δx)-e^x=e^x*e^Δx-e^x=e^x*(e^Δx-1)4. 带入导数的定义，得到导数f'(x)=e^x * lim(Δx→0) [(e^Δx - 1)/Δx]。
根据数学推导，lim(Δx→0) [(e^Δx - 1)/Δx]=1，因此f'(x)=e^x。
四.对数函数法则1. 构造函数：设f(x)=ln(x)，其中ln(x)是以e为底的自然对数。
2.对函数f(x)求导，根据导数的定义：f'(x)=lim(Δx→0) [f(x+Δx)-f(x)]/Δx3.展开f(x+Δx)-f(x)：f(x+Δx)-f(x)=ln(x+Δx)-ln(x)= ln[(x+Δx)/x]= ln(1+Δx/x)4. 使用泰勒展开：ln(1+Δx/x)≈Δx/x，当Δx趋近于0时。
解导数题的几种构造妙招
高二数学2021年4月解导数题的几种构造妙招■河南省商丘市应天高中在解导数有关问题时，常常需要构造一个辅助函数，然后利用导数解决问题，怎样构造函数就成了解决问题的关键，本文给出几种常用的构造方法，以抛砖引玉。
一.联想构造侧f函数于(工)在其定义域内满足鼻才(鼻)+于(鼻)=eS且/(I)=e,则函数于(刃()。
A.有极大值，无极小值张振继(特级教师)解：令(鼻)=e"—In鼻，则f(h)=e"——=——。
令fj)=o,则鼻云一1=0。
oc JC根据y=e"与y=丄的图像可得，两个图像交点的横坐标^O e(o,i),所以力(鼻)在(o, 1)上不单调，无法判断于(口)与于(％)的大小，A、B不正确。
同理，构造函数g(工)=兰，可证g(鼻)在(0,1)上单调递减，所以3C.B.有极小值，无极大值C.既有极大值，又有极小值D.既无极大值，又无极小值分析：联想导数的运算法则,(/(x)・/(rc),于是构造函数g(x)=^/(x)o其导数已知，所以±/(h)=X+C，确定常数C,求得fS=兰JC°解：设g(鼻)=xf(h),则g'(rc)=広f Gr)+_/'Q)=eJ可设ga)=e’+C，即•x/*a)=b+C(C为常数)。
令h=1,则1・/(l)=e+C o又/'(1) =e，故C=0,g(rc)=e",即讨(rc)=e"。
q"(qr-[)所以fS=—,f'S=―。
工rc/(乂)在(一*,0),(0,1)上单调递减，在(1,+*)上单调递增。
所以/(工)有极小值，无极大值，选B。
二、同构构造侧2【2014年湖南卷】若0Vm<Z j^2 VI,则()。
A.e2—e1>ln rc2—In鼻】B.e2—e1Vln孔—In rrjC.rr2e1>5e2D.jr2e1<C je!e2分析：将等式或不等式的两边化为相同结构形式，可以根据结构形式构造辅助函数解题。
导数运算中构造函数解决抽象函数问题
导数运算中构造函数解决抽象函数问题【模型总结】关系式为“加”型（1）'()()0f x f x +≥ 构造[()]'['()()]x x e f x e f x f x =+（2）'()()0xf x f x +≥ 构造[()]''()()xf x xf x f x =+（3）'()()0xf x nf x +≥ 构造11[()]''()()['()()]n n n n x f x x f x nxf x x xf x nf x --=+=+（注意对x 的符号进行讨论）关系式为“减”型 （1）'()()0f x f x -≥ 构造2()'()()'()()[]'()x x x x xf x f x e f x e f x f x e e e --== （2）'()()0xf x f x -≥ 构造2()'()()[]'f x xf x f x x x-= （3）'()()0xf x nf x -≥ 构造121()'()()'()()[]'()n n n n n f x x f x nx f x xf x nf x x x x -+--== （注意对x 的符号进行讨论）小结：1.加减形式积商定 2.系数不同幂来补 3.符号讨论不能忘典型例题：例 1.设()()f x g x 、是R 上的可导函数，'()()()'()0f x g x f x g x +<，(3)0g -=，求不等式()()0f x g x <的解集变式：设()()f x g x 、分别是定义在R 上的奇函数、偶函数，当0x <时，'()()()'()0f x g x f x g x +>，(3)0g -=，求不等式()()0f x g x <的解集. 例2.已知定义在R 上的函数()()f x g x 、满足()()x f x a g x =，且'()()()'()f x g x f x g x <，(1)(1)5(1)(1)2f f g g -+=-，若有穷数列*()()()f n n N g n ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭的前n 项和等于3132，则n 等于 . 变式：已知定义在R 上的函数()()f x g x 、满足()()x f x a g x =，且'()()()'()f x g x f x g x <，若若(1)(1)5(1)(1)2f fg g -+=-，求关于x 的不等式log 1a x >的解集.例3.已知定义域为R 的奇函数()f x 的导函数为'()f x ，当0x ≠时，()'()0f x f x x +>，若111(),2(2),ln (ln 2)222a fb fc f ==--=，则关于,,a b c 的大小关系是 例4.已知函数()f x 为定义在R 上的可导奇函数，且()'()f x f x <对于任意x R ∈恒成立，且f （3）=e ，则()f x /e^x<1的解集为变式：设()f x 是R 上的可导函数，且'()()f x f x ≥-，(0)1f =，21(2)f e=.求(1)f 的值. 例5.设函数()f x 在R 上的导函数为'()f x ，且22()'()f x xf x x +>， 变式：已知()f x 的导函数为'()f x ，当0x >时，2()'()f x xf x >，且(1)1f =，若存在x R +∈，使2()f x x =，求x 的值.巩固练习:1.定义在R 上的函数()f x ，其导函数()'f x 满足()'1f x >，且()23f =，则关于x 的不等式()1f x x <+的解集为 ▲ ．2.已知定义在R 上的可导函数()y f x =的导函数为/()f x ，满足/()()f x f x <，且(1)y f x =+为偶函数，(2)1f =，则不等式()x f x e <的解集为 ▲3.设)(x f '和)(x g '分别是()f x 和()g x 的导函数，若()()0f x g x ''≤在区间I 上恒成立，则称)(x f 和)(x g 在区间I 上单调性相反.若函数31()23f x x ax =-与2()2g x x bx =+在开区间(,)a b 上单调性相反（0a >），则b a -的最大值为 ▲4.设函数)(x f 在R 上存在导数)(x f '，对任意的R x ∈有2)()(x x f x f =+-，且在()+∞,0 上，.)(x x f >'，若,22)()2(a a f a f -≥--则实数a 的取值范围为 ▲ ；。
构造法函数解决恒成立、比较大小问题
微专题构造法函数解决恒成立、比较大小问题方法点拨恒成立、比较大小通常都是考查函数的单调性问题，解决这类问题的重点就是根据题意条件构造出问题所涉及的函数，利用导数判断其单调性，从而解决问题。
本专题以恒成立、比较大小、和导数式的形式构造三个方面，来说明函数构造的重要性，并由此来总结几种常见的构造形式。
一、恒成立问题（一）典例解析1．已知变量，，且，若恒成立，则的最大值（）A．B．C．D．1解析：1221xx x x < ，2112ln ln x x x x <∴，2211ln ln x x x x <∴。
构造函数xxx f ln )(=，21x x < ，)(x f ∴在),0(m 上单调递增。
xxx f ln 1)(-='，0)(>'x f ，),0(e x ∈，即)(x f 的增区间为),0(e ，],0(e m ∈∴。
答案：A2．不等式e ln ax a x >在(0,)+∞上恒成立，则实数a 的取值范围是（）A．1,2e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭B．1(,)e+∞C．1,)∞+（D．(e,)+∞解析：（1）当时，0<axae，x ln 符号不确定，∴不等式e ln axa x >在(0,)+∞上恒成立不会成立，∴0a ≤舍去。
（2）当0a >时，当(0,1]x ∈时，a a >0，ln 0x ≤，此时不等式e ln ax a x >恒成立。
当x ∈(1,)+∞时，e ln ax a x >，即e ln ax ax x x >，∴ln e ln e ax x ax x >⋅在（1，+∞）上恒成立。
∵0>a ，),1(+∞∈x ，0>ax ，0ln >x ，∴g(x)=xe x ，x ∈(0，+∞)，则)e ,()(1)e x x g x x g x x '==+>0在(0，+∞)上恒成立，故)(x g 在),0(+∞上是增函数，∵ln e ln e ax x ax x >⋅，∴()(ln )g ax g x >，故ln ln ,xax x a x>>，设2ln 1ln (),(1),()x xh x x h x x x -'=>=，当1e x <<时，21ln ()0xh x x -'=>，()h x 单调递增，当e x >时，21ln ()0xh x x -'=<，()h x 单调递减，故1()(e)e h x h ≤=，则1e>a ，综上所述，实数a 的取值范围是1e>a ，答案：B（二）针对训练1．已知函数()e ln (0)x f x a x a =≠，若(0,1)x ∀∈，2()ln f x x x a <+成立，则a 的取值范围是（）A．1e ,⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B．1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C．10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦D．1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦2．已知0a >，若在(1,)+∞上存在x 使得不等式e ln x a x x a x -≤-成立，则a 的最小值为（）A．1eB．1C．2D．e二、比较大小问题（一）典例解析1．已知实数a ，b ，()0,c e ∈，且22a a =，33b b =，55c c =，则（）A．()()0a c a b --<B．()()0c a c b --<C．()()0b a bc --<D．b a c<<解析：由题意，对于22a a =，ln ln 22a a =，同理33ln ln =b b ，55ln ln =c c 。
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构造函数解决不等式问题
例：[2011·辽宁卷]函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )＞2， 则f (x )＞2x ＋4的解集为( )
A ．(－1,1)
B ．(－1，＋∞)
C ．(－∞，－1)
D ．(－∞，＋∞)
1.已知函数()y f x =的图象关于y 轴对称,且当(,0),()'()0x f x xf x ∈-∞+<成 立0.20.22(2)a f =，log 3(log 3)b f ππ=，33log 9(log 9)c f =,则a,b,c 的大小关系是
( ) A. b a c >> B.c a b >>
C.c b a >>
D.a c b >>
2. 已知()f x 为R 上的可导函数，且x R ∀∈，均有()()f x f x '>，则有
A ．2013(2013)(0)e f f -<，2013(2013)(0)f e f >
B ．2013(2013)(0)e f f -<，2013(2013)(0)f e f <
C ．2013(2013)(0)e f f ->，2013(2013)(0)f e f >
D ．2013(2013)(0)e f f ->，2013(2013)(0)f e f <
6. 已知函数))((R x x f ∈满足1)1(=f ，且)(x f 的导函数21)('<x f ，则212)(+<x x f 的解集为（ ）A. {}11<<-x x B. {}1-<x x C. {}11>-<x x x 或 D. {}
1>x x
3.[2013·绥化一模] 已知函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1，0)对称，且当x ∈(－∞，0)
时，f (x )＋xf ′(x )<0成立(其中f ′(x )是f (x )的导函数)，若a ＝(30.3)·f (30.3)， b ＝(log π3)·f (log π3)，c ＝)91(log 2·f )9
1
(log 2，则a ，b ，c 的大小关系是( )
A ．a >b >c
B ．c >a >b
C ．c >b >a
D ．a >c >b
例：巳知函数f （x ）=13ax 2－b x －1nx ，其中a ，b ∈R 。
（I ）当a=3，b=-1时，求函数f （x ）的最小值；（Ⅱ）若曲线y=f （x ）在点（e ，f(e ））处的切线方程为2x －3y －e=0（e=2.71828…为自然对数的底数），求a ，b 的值；
（Ⅲ）当a>0，且a 为常数时，若函数h （x ）=x[f （x ）+1nx]对任意的x 1>x 2≥4，总有1212
()()1h x h x x x ->--成立，试用a 表示出b 的取值范围； 1.函数.ln )2()(2x x a ax x f ++-=（Ⅰ）当1=a 时，求曲线)(x f y =在点
))1(,1f （处的切线方程；（Ⅱ）当0>a 时，若)(x f 在区间],1[e 上的最小值为-2，求a 的取值范围； （Ⅲ）若对任意2121),,0(,x x x x <+∞∈，且22112)(2)(x x f x x f +<+恒成立，求a 的取值范围.
2. 函数()ln m f x x x =+
，m R ∈（1）求函数的极值；（2）讨论()'()3
x g x f x =-的零点的个数；（3）对()()0,1f b f a b a b a -∀>><-恒成立，求m 的取值范围。
3.已知函数f(x)=lnx （1）若直线y=x+m 与函数f(x)=lnx 的图像相切，求实数m 的值。
（2）证明函数f(x)=lnx 与曲线1y x x
=-有唯一的交点。
（3）设0<a<b ，比较b a
b a ->+f(b)-f(a)
2的大小，并说明理由
4. 设函数f (x )＝2ln x ＋mx －x 2.
(1)若曲线y ＝f (x )在点(1,f (1))处的切线方程为y ＝2x ＋n ,求实数m ,n 的值；
(2)若m >－4,求证：当a >b >0时,有f a f b
a 2－
b 2>－2；
(3)若函数f (x )有两个零点x 1,x 2(x 1<x 2),且x 0＝x 1＋x 22,求证：f ′(x 0)<0.。