2019高考数学复习专题难点下载难点06 函数值域及求法
高中数学复习专题讲座 函数值域
高中数学复习专题讲座求函数值域的常用方法及值域的应用高考要求函数的值域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一 本节主要帮助考生灵活掌握求值域的各种方法，并会用函数的值域解决实际应用问题 重难点归纳(1)求函数的值域此类问题主要利用求函数值域的常用方法 配方法、分离变量法、单调性法、图象法、换元法、不等式法等 无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域(2)函数的综合性题目此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的题目此类问题要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力 在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强(3)运用函数的值域解决实际问题此类问题关键是把实际问题转化为函数问题，从而利用所学知识去解决此类题要求考生具有较强的分析能力和数学建模能力典型题例示范讲解例1设计一幅宣传画，要求画面面积为4840 cm 2,画面的宽与高的比为λ(λ<1),画面的上、下各留8 cm 的空白，左右各留5 cm 空白，怎样确定画面的高与宽尺寸，才能使宣传画所用纸张面积最小？如果要求λ∈［43,32］，那么λ为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小？命题意图 本题主要考查建立函数关系式和求函数最小值问题，同时考查运用所学知识解决实际问题的能力知识依托 主要依据函数概念、奇偶性和最小值等基础知识错解分析 证明S (λ)在区间［43,32］上的单调性容易出错，其次不易把应用问题转化为函数的最值问题来解决技巧与方法 本题属于应用问题，关键是建立数学模型，并把问题转化为函数的最值问题来解决解 设画面高为x cm,宽为λx cm,则λx 2=4840,设纸张面积为S cm 2, 则S =(x +16)(λx +10)=λx 2+(16λ+10)x +160,将x =λ1022代入上式得 S =5000+4410 (8λ+λ5),5cm5cm 8cm8cm当8λ=λ5,即λ=85(85<1)时S 取得最小值此时高 x =λ4840=88 cm, 宽 λx =85×88=55 cm如果λ∈［43,32］，可设32≤λ1<λ2≤43,则由S 的表达式得)58)((1044)5858(1044)()(2121221121λλλλλλλλλλ--=--+=-S S又21λλ≥8532>,故8－215λλ>0,∴S (λ1)－S (λ2)<0,∴S (λ)在区间［43,32］内单调递增从而对于λ∈［43,32］,当λ=32时，S (λ)取得最小值答 画面高为88 cm,宽为55 cm 时，所用纸张面积最小 如果要求λ∈［43,32］,当λ=32时，所用纸张面积最小例2已知函数f (x )=xa x x++22,x ∈［1,+∞)(1)当a =21时，求函数f (x )的最小值(2)若对任意x ∈［1,+∞),f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围命题意图 本题主要考查函数的最小值以及单调性问题，着重于学生的综合分析能力以及运算能力知识依托 本题主要通过求f (x )的最值问题来求a 的取值范围，体现了转化的思想与分类讨论的思想错解分析 考生不易考虑把求a 的取值范围的问题转化为函数的最值问题来解决技巧与方法 解法一运用转化思想把f (x )>0转化为关于x 的二次不等式；解法二运用分类讨论思想解得(1)解 当a =21时，f (x )=x +x21+2∵f (x )在区间［1，+∞)上为增函数， ∴f (x )在区间［1，+∞)上的最小值为f(2)解法一 在区间［1，+∞)上，f (x )=xax x ++22>0恒成立⇔x 2+2x +a >0恒成立设y =x 2+2x +a ,x ∈［1,+∞)∵y =x 2+2x +a =(x +1)2+a －1递增，∴当x =1时，y min =3+a ,当且仅当y min =3+a >0时，函数f (x )>0恒成立， 故a >－3解法二 f (x )=x +xa +2,x ∈［1,+∞)当a ≥0时，函数f (x )的值恒为正；当a <0时，函数f (x )递增，故当x =1时，f (x )min =3+a ,当且仅当f (x )min =3+a >0时，函数f (x )>0恒成立，故a >－3例3设m 是实数，记M ={m |m >1},f (x )=log 3(x 2－4mx +4m 2+m +11-m )(1)证明 当m ∈M 时，f (x )对所有实数都有意义；反之，若f (x )对所有实数x 都有意义，则m ∈M(2)当m ∈M 时，求函数f (x )的最小值(3)求证 对每个m ∈M ,函数f (x )的最小值都不小于1(1)证明 先将f (x )变形 f (x )=log 3［(x －2m )2+m +11-m ］,当m ∈M 时，m >1,∴(x －m )2+m +11-m >0恒成立，故f (x )的定义域为R反之，若f (x )对所有实数x 都有意义，则只须x 2－4mx +4m 2+m +11-m >0,令Δ＜0,即16m 2－4(4m 2+m +11-m )＜0,解得m >1,故m ∈M(2)解析 设u =x 2－4mx +4m 2+m +11-m ,∵y =log 3u 是增函数，∴当u 最小时，f (x )最小而u =(x －2m )2+m +11-m ,显然，当x =m 时，u 取最小值为m +11-m ,此时f (2m )=log 3(m +11-m )为最小值(3)证明 当m ∈M 时，m +11-m =(m －1)+11-m +1≥3,当且仅当m =2时等号成立∴log 3(m +11-m )≥log 33=1。
求函数定义域和值域方法和典型题归纳
<一>求函数定义域、值域方法和典型题归纳一、基础知识整合1.函数的定义：设集合A 和B 是非空数集，按照某一确定的对应关系f ，使得集合A 中任意一个数x,在集合B 中都有唯一确定的数f(x)与之对应。
则称f:为A 到B 的一个函数。
2.由定义可知：确定一个函数的主要因素是①确定的对应关系（f ）,②集合A 的取值范围。
由这两个条件就决定了f(x)的取值范围③{y|y=f(x),x ∈A}。
3.定义域：由于定义域是决定函数的重要因素，所以必须明白定义域指的是：（1）自变量放在一起构成的集合，成为定义域。
（2）数学表示：注意一定是用集合表示的范围才能是定义域，特殊的一个个的数时用“列举法”；一般表示范围时用集合的“描述法”或“区间”来表示。
4.值域：是由定义域和对应关系（f ）共同作用的结果，是个被动变量，所以求值域时一定注意求的是定义域范围内的函数值的范围。
（1）明白值域是在定义域A 内求出函数值构成的集合：{y|y=f(x),x ∈A}。
（2）明白定义中集合B 是包括值域，但是值域不一定为集合B 。
二、求函数定义域（一）求函数定义域的情形和方法总结1已知函数解析式时：只需要使得函数表达式中的所有式子有意义。
（1）常见要是满足有意义的情况简总：①表达式中出现分式时：分母一定满足不为0；②表达式中出现根号时：开奇次方时，根号下可以为任意实数；开偶次方时，根号下满足大于或等于0（非负数）。
③表达式中出现指数时：当指数为0时，底数一定不能为0.④根号与分式结合，根号开偶次方在分母上时：根号下大于0.⑤表达式中出现指数函数形式时：底数和指数都含有x ，必须满足指数底数大于0且不等于1.（0<底数<1;底数>1）⑥表达式中出现对数函数形式时：自变量只出现在真数上时，只需满足真数上所有式子大于0，且式子本身有意义即可；自变量同时出现在底数和真数上时，要同时满足真数大于0，底数要大于0且不等于 1.（2()log (1)x f x x =-）注：（1）出现任何情形都是要注意，让所有的式子同时有意义，及最后求的是所有式子解集的交集。
高考数学难点突破_难点06__函数值域及求法
难点6 函数值域及求法函数的值域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一.本节主要帮助考生灵活掌握求值域的各种方法，并会用函数的值域解决实际应用问题.●难点磁场(★★★★★)设m 是实数，记M ={m |m >1},f (x )=log 3(x 2－4mx +4m 2+m +11-m ). (1)证明：当m ∈M 时，f (x )对所有实数都有意义；反之，若f (x )对所有实数x 都有意义，则m ∈M .(2)当m ∈M 时，求函数f (x )的最小值.(3)求证：对每个m ∈M ,函数f (x )的最小值都不小于1. ●案例探究 ［例1］设计一幅宣传画，要求画面面积为4840 cm 2,画面的宽与高的比为λ(λ<1),画面的上、下各留8 cm 的空白，左右各留5 cm 空白，怎样确定画面的高与宽尺寸，才能使宣传画所用纸张面积最小？如果要求λ∈［43,32］，那么λ为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小？命题意图：本题主要考查建立函数关系式和求函数最小值问题，同时考查运用所学知识解决实际问题的能力，属★★★★★级题目.知识依托：主要依据函数概念、奇偶性和最小值等基础知识.错解分析：证明S (λ)在区间［43,32］上的单调性容易出错，其次不易把应用问题转化为函数的最值问题来解决.技巧与方法：本题属于应用问题，关键是建立数学模型，并把问题转化为函数的最值问题来解决.解：设画面高为x cm,宽为λx cm,则λx 2=4840,设纸张面积为S cm 2,则S =(x +16)(λx +10)=λx 2+(16λ+10)x +160,将x =λ1022代入上式得：S =5000+4410 (8λ+λ5),当8λ=λ5,即λ=85(85<1)时S 取得最小值.此时高：x =λ4840=88 cm,宽：λx =85×88=55 cm. 如果λ∈［43,32］可设32≤λ1<λ2≤43,则由S 的表达式得：)58)((1044)5858(1044)()(2121221121λλλλλλλλλλ--=--+=-S S又21λλ≥8532>,故8－215λλ>0, ∴S (λ1)－S (λ2)<0,∴S (λ)在区间［43,32］内单调递增.从而对于λ∈［43,32］,当λ=32时，S (λ)取得最小值.答：画面高为88 cm,宽为55 cm 时，所用纸张面积最小.如果要求λ∈［43,32］,当λ=32时，所用纸张面积最小.［例2］已知函数f (x )=xax x ++22,x ∈［1,+∞)(1)当a =21时，求函数f (x )的最小值.(2)若对任意x ∈［1,+∞),f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围.命题意图：本题主要考查函数的最小值以及单调性问题，着重于学生的综合分析能力以及运算能力，属★★★★级题目.知识依托：本题主要通过求f (x )的最值问题来求a 的取值范围，体现了转化的思想与分类讨论的思想.错解分析：考生不易考虑把求a 的取值范围的问题转化为函数的最值问题来解决.技巧与方法：解法一运用转化思想把f (x )>0转化为关于x 的二次不等式；解法二运用分类讨论思想解得.(1)解：当a =21时，f (x )=x +x21+2 ∵f (x )在区间［1，+∞)上为增函数，∴f (x )在区间［1，+∞)上的最小值为f (1)=27. (2)解法一：在区间［1，+∞)上，f (x )=xax x ++22 >0恒成立⇔x 2+2x +a >0恒成立.设y =x 2+2x +a ,x ∈［1,+∞)∵y =x 2+2x +a =(x +1)2+a －1递增，∴当x =1时，y min =3+a ,当且仅当y min =3+a >0时，函数f (x )>0恒成立，故a >－3.解法二：f (x )=x +xa+2,x ∈［1,+∞) 当a ≥0时，函数f (x )的值恒为正；当a <0时，函数f (x )递增，故当x =1时，f (x )min =3+a ,当且仅当f (x )min =3+a >0时，函数f (x )>0恒成立，故a >－3. ●锦囊妙计本难点所涉及的问题及解决的方法主要有： (1)求函数的值域此类问题主要利用求函数值域的常用方法：配方法、分离变量法、单调性法、图象法、换元法、不等式法等.无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域.(2)函数的综合性题目此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的题目. 此类问题要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力.在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强.(3)运用函数的值域解决实际问题此类问题关键是把实际问题转化为函数问题，从而利用所学知识去解决.此类题要求考生具有较强的分析能力和数学建模能力.●歼灭难点训练 一、选择题1.(★★★★)函数y =x 2+x1 (x ≤－21)的值域是( )A.(－∞,－47] B.［－47,+∞) C.［2233,+∞)D.(－∞,－3223］ 2.(★★★★)函数y =x +x 21-的值域是( ) A.(－∞,1]B.(－∞,－1]C.RD.［1,+∞)二、填空题3.(★★★★★)一批货物随17列货车从A 市以V 千米/小时匀速直达B 市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车间距离不得小于(20V )2千米 ，那么这批物资全部运到B 市，最快需要_________小时(不计货车的车身长).4.(★★★★★)设x 1、x 2为方程4x 2－4mx +m +2=0的两个实根，当m =_________时，x 12+x 22有最小值_________.三、解答题5.(★★★★★)某企业生产一种产品时，固定成本为5000元，而每生产100台产品时直接消耗成本要增加2500元，市场对此商品年需求量为500台，销售的收入函数为R (x )=5x－21x 2(万元)(0≤x ≤5),其中x 是产品售出的数量(单位：百台) (1)把利润表示为年产量的函数；(2)年产量多少时，企业所得的利润最大？ (3)年产量多少时，企业才不亏本？6.(★★★★)已知函数f (x )=lg ［(a 2－1)x 2+(a +1)x +1］ (1)若f (x )的定义域为(－∞,+∞)，求实数a 的取值范围； (2)若f (x )的值域为(－∞,+∞),求实数a 的取值范围.7.(★★★★★)某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周(按120个工时计算)生产空调器、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台.已知生产家电产品每台所需工时和每台产值如下表：(以千元为单位)8.(★★★★)在Rt △ABC 中，∠C =90°，以斜边AB 所在直线为轴将△ABC 旋转一周生成两个圆锥，设这两个圆锥的侧面积之积为S 1，△ABC 的内切圆面积为S 2，记ABCABC +=x .(1)求函数f (x )=21S S 的解析式并求f (x )的定义域.(2)求函数f (x )的最小值.参考答案难点磁场(1)证明：先将f (x )变形：f (x )=log 3［(x －2m )2+m +11-m ］, 当m ∈M 时，m >1,∴(x －m )2+m +11-m >0恒成立，故f (x )的定义域为R . 反之，若f (x )对所有实数x 都有意义，则只须x 2－4mx +4m 2+m +11-m >0,令Δ＜0,即16m 2－4(4m 2+m +11-m )＜0,解得m >1,故m ∈M .(2)解析：设u =x 2－4mx +4m 2+m +11-m ,∵y =log 3u 是增函数，∴当u 最小时，f (x )最小.而u =(x －2m )2+m +11-m ,显然，当x =m 时，u 取最小值为m +11-m ,此时f (2m )=log 3(m +11-m )为最小值.(3)证明：当m ∈M 时，m +11-m =(m －1)+ 11-m +1≥3,当且仅当m =2时等号成立.∴log 3(m +11-m )≥log 33=1.歼灭难点训练一、1.解析：∵m 1=x 2在(－∞,－21）上是减函数，m 2=x1在(－∞,－21）上是减函数，∴y =x 2+x1在x ∈(－∞,－21)上为减函数,∴y =x 2+x1 (x ≤－21)的值域为［－47，+∞).答案：B2.解析：令x 21-=t (t ≥0),则x =212t -.∵y =212t -+t =－21 (t －1)2+1≤1∴值域为(－∞,1].答案：A 二、3.解析：t =V 400+16×(20V )2/V =V 400+40016V≥216=8. 答案：84.解析：由韦达定理知：x 1+x 2=m ,x 1x 2=42+m ,∴x 12+x 22=(x 1+x 2)2－2x 1x 2=m 2－22+m =(m －41)2－1617,又x 1,x 2为实根，∴Δ≥0.∴m ≤－1或m ≥2，y =(m －41)2－1617在区间(－∞,1）上是减函数，在［2，+∞)上是增函数又抛物线y 开口向上且以m =41为对称轴.故m =1时，y min =21. 答案：－121 三、5.解：(1）利润y 是指生产数量x 的产品售出后的总收入R (x )与其总成本C (x )之差，由题意，当x ≤5时，产品能全部售出，当x >5时，只能销售500台，所以y =⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤--=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-⨯-⨯≤≤+--)1( 25.012)50(5.02175.4)5)(25.05.0()52155()50)(25.05.0(215222x x x x x x x x x x x (2）在0≤x ≤5时，y =－21x 2+4.75x －0.5,当x =－ab2=4.75(百台）时，y max =10.78125(万元），当x >5(百台）时，y ＜12－0.25×5=10.75(万元），所以当生产475台时，利润最大.(3）要使企业不亏本，即要求⎩⎨⎧≥->⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤≤025.012505.075.421502x x x x x 或解得5≥x ≥4.75－5625.21≈0.1(百台）或5＜x ＜48(百台）时，即企业年产量在10台到4800台之间时，企业不亏本.6.解：(1）依题意(a 2－1）x 2+(a +1)x +1>0对一切x ∈R 恒成立，当a 2－1≠0时，其充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧-<>-<>⎪⎩⎪⎨⎧<--+=∆>-13511,0)1(4)1(01222a a a a a a a 或或即， ∴a ＜－1或a >35.又a =－1时，f (x )=0满足题意，a =1时不合题意.故a ≤－1或a >为35所求.(2）依题意只要t =(a 2－1)x 2+(a +1)x +1能取到(0，+∞）上的任何值，则f (x )的值域为R ，故有⎩⎨⎧≥∆>-0012a ,解得1＜a ≤35,又当a 2－1=0即a =1时，t =2x +1符合题意而a =－1时不合题意，∴1≤a ≤35为所求. 7.解：设每周生产空调器、彩电、冰箱分别为x 台、y 台、z 台，由题意得： x +y +z =360 ①120413121=++z y x②x >0,y >0,z ≥60. ③ 假定每周总产值为S 千元，则S =4x +3y +2z ,在限制条件①②③之下，为求目标函数S 的最大值，由①②消去z ,得y =360－3x . ④将④代入①得：x +(360－3x )+z =360,∴z =2x ⑤∵z ≥60,∴x ≥30. ⑥ 再将④⑤代入S 中，得S =4x +3(360－3x )+2·2x ,即S =－x +1080.由条件⑥及上式知，当x =30时，产值S 最大，最大值为S =－30+1080=1050(千元）.得x =30分别代入④和⑤得y =360－90=270,z =2×30=60.∴每周应生产空调器30台，彩电270台，冰箱60台，才能使产值最大，最大产值为1050千元.8.解：(1）如图所示：设BC =a ,CA =b ,AB =c ,则斜边AB 上的高h =cab, ∴S 1=πah +πbh =,)2(),(22c b a S b a cab-+=+ππ, ∴f (x )=221)()(4c b a c b a ab S S -++=①又⎪⎩⎪⎨⎧-==+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+)1(222222x c ab cxb ac b a x c b a 代入①消c ，得f (x )=1)(22-+x x x .在Rt △ABC 中，有a =c sin A ,b =c cos A (0＜A ＜2π),则 x =c b a +=sin A +cos A =2sin(A +4π).∴1＜x ≤2. (2)f (x )=]12)1[(21)(22-+-=-+x x x x x +6,设t =x －1,则t ∈(0, 2－1),y =2(t +t 2)+6在(0，2－1]上是减函数，∴当x =(2－1)+1=2时，f (x )的最小值为62+8.。
高考数学难点突破_难点06__函数值域及求法
难点6函数值域及求法函数的值域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一.本节主要帮助考生灵活掌握求值域的各种方法，并会用函数的值域解决实际应用问题•难点磁场2 2 1 (★★★★★)设m 是实数，记M={ m|m>1}, f(x)=log3(x —4mx+4m+m+ ).m _1(1) 证明：当m€ M时，f(x)对所有实数都有意义；反之，若f(x)对所有实数x都有意义，则m€M.(2) 当m€ M时，求函数f(x)的最小值.(3) 求证：对每个m € M,函数f(x)的最小值都不小于1.•案例探究［例1］设计一幅宣传画，要求画面面积为4840 cm2,画面的宽与高的比为入(入<1),画面的上、下各留8 cm的空白，左右各留5 cm空白，怎样确定画面的高与宽尺寸，才能使宣传画所用纸张面2 3积最小？如果要求入€［2,3］，那么入为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小？3 4命题意图：本题主要考查建立函数关系式和求函数最小值问题，同时考查运用所学知识解决实际问题的能力，属★★★★★级题目知识依托：主要依据函数概念、奇偶性和最小值等基础知识2 3错解分析：证明S(入)在区间［2,-］上的单调性容易出错，其次不易把应用问题转化为函数3 4的最值问题来解决•技巧与方法：本题属于应用问题，关键是建立数学模型，并把问题转化为函数的最值问题来解决•解：设画面高为x cm,宽为入x cm,则入x2=4840,设纸张面积为S cm2,则S=(x+16)(入x+10)=入x2+(16S=5000+44 \'10 (8 “区+ {——)，当8勺人=—,即入=—(—<1)8 8'4840 5时S取得最小值•此时高：乂=#〒=88 cm,宽：入x=8 x88=55 cm.2 3W入1<入2三，则由S的表达式得:3 4S(s —S(為)=44怖(8扬十寻V，z i= 44,10(、1 - .. 2)(8-一5—)2 3••• S入1)-S入2)<0,••• S(x)在区间［-,-］内单调递增22』10入+10)x+160,将x=一4°代入上式得:2 3如果入€［2,-］可设3 4又| 5故8 — U 5 >0,-8 2 -从而对于入€［2,3］，当入=1时，S(入)取得最小值.3 4 32 3 2答：画面高为88 cm,宽为55 cm时，所用纸张面积最小•如果要求入€［2,_ ］，当入=-时，所3 4 3用纸张面积最小•2［例2］已知函数f(x)=x 2^-^ ,x€：1,+ m )x1(1) 当a= 时，求函数f(x)的最小值.2(2) 若对任意x€［1,+m ) ,f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围.命题意图：本题主要考查函数的最小值以及单调性问题，着重于学生的综合分析能力以及运算能力，属★★★★级题目•知识依托：本题主要通过求f(x)的最值问题来求a的取值范围，体现了转化的思想与分类讨论的思想•错解分析：考生不易考虑把求a的取值范围的问题转化为函数的最值问题来解决技巧与方法：解法一运用转化思想把f(x)>0转化为关于x的二次不等式；解法二运用分类讨论思想解得•1 1(1) 解：当a= 时，f(x)=x+ +22 2xI f(x)在区间［1, +m )上为增函数，• •• f(x)在区间［1, +m )上的最小值为f(1)= 7 .2、x2+2x +a 2(2) 解法一：在区间］1, +m )上，f(x)= >0恒成立：=x +2x+a>0恒成立.x设y=x2+2x+a,x€［1,+ m )•/ y=x2+2x+a=(x+1)2+a- 1 递增，•••当x=1时，y min=3+a,当且仅当y min=3+a>0时，函数f(x)>0恒成立，故a> — 3.解法二：f(x)=x+a+2,x€［1,+ m )x当a > 0时，函数f(x)的值恒为正；当a<0时，函数f(x)递增，故当x=1时，f(x)min=3+a,当且仅当f(x)min=3+a>0时，函数f(x)>0恒成立，故a>— 3.•锦囊妙计本难点所涉及的问题及解决的方法主要有：(1) 求函数的值域此类问题主要利用求函数值域的常用方法：配方法、分离变量法、单调性法、图象法、换元法、不等式法等.无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域(2) 函数的综合性题目此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的题目此类问题要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力.在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强(3) 运用函数的值域解决实际问题此类问题关键是把实际问题转化为函数问题，从而利用所学知识去解决.此类题要求考生具有较强的分析能力和数学建模能力.•歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)函数y=x2+^ (x w—-)的值域是()x 27、A.( —a，——]4C「332 、C. [ ，+ a )7 、B. [― 一，+ a )4D.( —a , — 2^2 :22.(★★★★)函数y=x+ -2x 的值域是()B.( ，—1 ]D. [ 1,+8 )A市以V千米/小时匀速直达B市，已知两地铁路线长V 2(―)2千米，那么这批物资全部运到B市，最快需20要_________ 小时(不计货车的车身长).4. __________________________________________________________________ ( ★★★★★)设x2为方程4x2—4mx+m+2=0的两个实根，当m= __________________________________ 时，x12+x22有最小值_________ .三、解答题5. ( ★★★★★)某企业生产一种产品时，固定成本为5000元，而每生产100台产品时直接消耗1成本要增加2500元，市场对此商品年需求量为500台，销售的收入函数为R(x)=5x—— x2(万元)(0 w2x w 5),其中x是产品售出的数量(单位：百台)(1) 把利润表示为年产量的函数；(2) 年产量多少时，企业所得的利润最大？(3) 年产量多少时，企业才不亏本？2 26. (★★★★)已知函数f(x)=lg [(a —1)x +(a+1)x+1 ](1) 若f(x)的定义域为(一^，+ a)，求实数a的取值范围；(2) 若f(x)的值域为(—^，+ a),求实数a的取值范围.7. ( ★★★★★)某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周(按120个工时计算)生产空调器、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台.已知生产家电产品每台所需工时和每台产值如下表：问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高？最高产值是多少？(以千元为单位)8.(★★★★)在Rt△ ABC 中，/ / C-90°,以斜边AB所在直线为轴将厶ABC旋转一周生成两个圆锥，设这两个圆锥的侧面积之积为BC +CA &,△ ABC的内切圆面积为◎，记----------- -x.ABA.( ,1 ]C. R二、填空题3.( ★★★★★) 一批货物随17列货车从400千米，为了安全，两列货车间距离不得小于(1)求函数f(x)= 的解析式并求f(x)的定义域.S24难点磁场(1)证明：先将 f(x)变形：f(x)=log 3 [ (x — 2m)2+m+^^ m _12 1当m € M 时，m>1, • (x — m) +m+>0恒成立，故f(x)的定义域为 R .m —11反之，若f(x)对所有实数 x 都有意义，则只须 x 2 — 4mx+4m 2+m+>0,令△< 0,即16m 2 —m —12 14(4m +m+) v 0,解得 m>1,故 m € M.m —12 21u=x — 4mx+4m +m+, v y=log 3u 是增函数，•当 u 最小时，f(x)最小. u=(xm —11 1，显然，当x=m 时，u 取最小值为 m+，此时f(2m)=log 3(m+ )为最小值.m —1 m —11 1⑶证明：当 m € M 时，m+ =(m — 1)+ +1 >3,当且仅当 m=2时等号成立.m-1m-1, 1--log 3(m+) > log 33=1.m —1歼灭难点训练1 1 1 、1.解析：T m 1=x 在(— a ,——)上是减函数，m 2= 在(— a ,——)上是减函数,2x22 11 • y=x+ 在x € (—a ，—一)上为减函数，x-• y=x + — x答案：B1 2+ t=— (t — 1)2+1 < 1 2•••值域为( — a ,1 ]. 答案：A二、3.解析：七=型+16 X (V )2/v=^+便 > 2.16=8.V 20 V 400答案：8⑵求函数f(X)的最小值•参考答案(2)解析：设—2m)2+m+^^m —1 21 7 (X W ——)的值域为[—一，+a ).242.解析：令 1 -2x =t(t > 0),则 x=^^ 一， ，，.、一，m 十24.解析：由韦达定理知： x 计x 2=m,X 1X 2=• X 12+X 22=(X 1+X 2)2 — 2x 1X 2=m 2—心=(m —」)2 —2 441 2 17y=(m — - )— 在区间(一a ,1)上是减函数，在4 16 1[2, + a )上是增函数又抛物线 y 开口向上且以 m=—为对称轴.故m=1时，17荷又心为实根“m <- 1或m >2,_ 1 y mi n =21 答案：一1丄2三、5.解：(1)利润y 是指生产数量x 的产品售出后的总收入R(x)与其总成本C(x)之芒・世意，当x w 5时，产品能全部售出，当x>5时，只能销售500台，所以f 1 25x x 2 _(0.5+0.25x)(0 兰x 兰5) 2 1 2i(5 汉5 _3 x52) _(0.5 +0.25x)(x >5)(12 —0.25xy=4亦冷宀爾*5) (x 1)1 2 (2 )在 0 w x w 5 时，y=——x +4.75x — 0.5,当 2x>5(百台)时，y < 12— 0.25X 5=10.75(万元)， 所以当生产475台时，利润最大.x=——=4.75(百台)时，y max =10.78125(万元)，当 2a0 _x _5(3 )要使企业不亏本，即要求1 2 x 2 4.75X-0.5_0 12或』x 512 —0.25x_0 解得 5>x >4.75 — , 21.5625沁0.1(百台)或5< x v 48(百台)时，即企业年产量在 10台到4800台之间时, 6.解:企业不亏本 .(1)依题意(a 2 — 1) x 2+(a+1)x+1>0对一切x € R 恒成立，当a 2— 1工0时，其充要条件是 'j ：2，即A =(a +1)2 -4(a 2 -1) c0a 1 或a ：：： -1a 5或 a "、 5 5 .• a <— 1或a> .又a=— 1时，f(x)=0满足题意，a=1时不合题意.故a w — 1或a>为 所求. 332 2t=(a — 1)x +(a+1)x+1能取到(0, + R )上的任何值，贝Uf(x)的值域为 R ，故有(2)依题意只要 厂2a 2 一1 =0 …，解得5 21 < a w -,又当a —仁0即a=1时，t=2x+1符合题意而a=— 1时不合题意，•• 1 w a35w 一为所求.37.解：设每周生产空调器、彩电、冰箱分别为 x 台、y 台、z 台，由题意得:x+y+z=3601 1 1 x y z =12023 4② x>O,y>O,z 》60.假定每周总产值为 S 千元，则S=4x+3y+2z,在限制条件①②③之下，为求目标函数 由①②消去 乙得y=360 — 3x.④将④代入①得： x+(360 — 3x)+z=360, ••• z=2x •/ z > 60, • x > 30.再将④⑤代入 S 中，得S=4x+3(360 — 3x)+2 • 2x,即 S= — x+1080.由条件⑥及上式知，S 的最大值, ⑤ ⑥x=30时，产值S 最大，最大值为 S=-30+1080=1050(千元)•得x=30分别代入④和⑤得 y=360 — 90=270,z=2 X 30=60.... f (x )=S !二 4ab(a b )2S 2 c(a+b —c)a b = ex\ . c 2 2ab (x -1) 22代入①消c ,得f(x)=4^ 勺X —1在 Rt △ ABC 中，有 a=csinA,b=ccosA(0 v A v 》)则2 ，x= =sinA+cosA= . 2 sin(A+ ). • • 1 v x <2.c 4 2&2 亠 x)22(2)f(x)=2[(x-1)] +6,设 t=x — 1,则 t € (0, 2 — 1),y=2(t+—)+6 在(0,. 2 — 1] x —1x —1 t上是减函数，.••当 x=( . 2 — 1)+1= .2时，f(x)的最小值为6 -. 2 +8.•••每周应生产空调器 30台，彩电270台，冰箱60台，才能使产值最大, 最大产值为1050千元.8.解：⑴如图所示：设abBC=a,CA=b,AB=c,则斜边 AB 上的高 h= , c •• 0= n ah+ n bh=二 ab(a b), S 2 ca b 「c 2「二)ca 2b 2 =c 2。
6函数的概念、定义域、值域求法-教师版
教学内容概要教学内容【知识精讲】一、函数的概念1、函数的定义：设A B 、是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么就称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数。
记作：(),y f x x A =∈。
其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合(){}f x x A ∈叫做函数的值域。
2、函数的三要素分别指函数的定义域、值域、对应法则；当两个函数的定义域、对应法则分别相同时，那么这两个函数是同一函数。
3、函数的表示方法一般有解析法、列表法、图像法当图像满足和,x a a R =∈的图像最多只有一个交点时才可作为函数图像。
分段函数：在用解析法表示函数的时候，往往在其定义域的不同子集上，因对应法则不同而用几个式子来表示的函数即分段函数。
分段函数是一个函数，而不是几个函数。
在解决问题过程中，要处理好整体与局部的关系。
4、函数的运算：对于两个函数()()1D x x f y ∈=，()()2D x x g y ∈=，设φ≠⋂=21D D D 把函数()()()D x x g x f ∈+叫做函数()()1D x x f y ∈=与()()2D x x g y ∈=的和函数 把函数()()()D x x g x f ∈叫做函数()()1D x x f y ∈=与()()2D x x g y ∈=的积函数 6、复合函数：对于两个函数()()1D x x f y ∈=，()()2D x x g y ∈=，若满足()1D x g ∈的x 的取值范围为E ，设φ≠⋂=2D E D ，把函数()()x g f y =叫做函数()()1D x x f y ∈=，()()2D x x g y ∈=的复合函数，x 是复合函数()()x g f y =的自变量，定义域为D ，()x g 叫做内函数，()x f 叫做外函数。
函数专题：函数值域的6种常用求法-【题型分类归纳】
函数专题：函数值域的6种常用求法一、函数的最大（小）值1、最大值：对于函数y＝f(x)，其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≤M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最大值，记作y max＝f(x0)．2、最小值：对于函数y＝f(x)，其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≥M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最小值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最小值，记作y min＝f(x0)．3、几何意义：函数最大值对应图象中的最高点，最小值对应图象中的最低点，它们不一定只有一个．二、求函数值域的6种常用求法1、单调性法：如果一个函数为单调函数，则由定义域结合单调性可快速求出函数的最值(值域)．（1）若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则y max＝f(b)，y min＝f(a)．（2）若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则y max＝f(a)，y min＝f(b)．（3）若函数y＝f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大(小)值．函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值．2、图象法：作出函数的图象，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域，以下函数常会考虑进行数形结合．（1）分段函数：尽管分段函数可以通过求出每段解析式的范围再取并集的方式解得值域，但对于一些便于作图的分段函数，数形结合也可很方便的计算值域．（2）()f x的函数值为多个函数中函数值的最大值或最小值，此时需将多个函数作于同一坐标系中，然后确定靠下(或靠上)的部分为该()f x函数的图象，从而利用图象求得函数的值域．3、配方法：主要用于二次函数或可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围.4、换元法：换元法是将函数解析式中关于x 的部分表达式视为一个整体，并用新元t 代替，将解析式化归为熟悉的函数，进而解出最值(值域)．（1）在换元的过程中，因为最后是要用新元解决值域，所以一旦换元，后面紧跟新元的取值范围． （2）换元的作用有两个：①通过换元可将函数解析式简化，例如当解析式中含有根式时，通过将根式视为一个整体，换元后即可“消灭”根式，达到简化解析式的目的．②可将不熟悉的函数转化为会求值域的函数进行处理 5、分离常数法：主要用于含有一次的分式函数，形如+=+ax b y cx d或2++=+ax bx e y cx d （a ，c 至少有一个不为零）的函数，求其值域可用此法以+=+ax by cx d为例，解题步骤如下： 第一步，用分子配凑出分母的形式，将函数变形成=++a ey c cx d的形式， 第二步，求出函数=+e y cx d 在定义域范围内的值域，进而求出+=+ax by cx d的值域。
专题-高中函数值域的求法
专题 求函数值域的常用方法及值域的应用三、值域的概念和常见函数的值域....................................................... - 1 - 四、求函数值域（最值）的常用方法..................................................... - 1 -.直接法 ......................................................................... - 1 - 配方法 .......................................................................... - 2 - 换元法 .......................................................................... - 3 - 基本不等式法 .................................................................... - 4 - 函数的单调性（导数）法 .......................................................... - 5 - 数形结合法 ...................................................................... - 7 - 函数的有界性法 .................................................................. - 8 - 分离常数法 ...................................................................... - 8 - 三角函数中的值域问题 .......................................................... - 10 - 五、高考真题汇编 ................................................................... - 11 -三、值域的概念和常见函数的值域1、定义：函数值y 的取值范围叫做函数的值域（或函数值的集合）。
高考数学重难点第三讲 函数值域的常见求法8大题型(原卷及答案)(全国通用)(学生专用)
重难点第三讲函数值域的求法8大题型——每天30分钟7天掌握函数值域的求法8大题型【命题趋势】函数的值域是函数概念中三要素之一，是高考中的必考内容，具有较强的综合性，贯穿整个高中数学的始终。
在高考试卷中的形式千变万化，但万变不离其宗，真正实现了常考常新的考试要求，考生在复习过程中首先要掌握一些简单函数的值域求解的基本方法，其次要多看多练在其他板块中涉及值域类型的内容。
第1天认真研究满分技巧及思考热点题型【满分技巧】一、求函数值域的常见方法1、直接法：对于简单函数的值域问题，可通过基本初等函数的图象、性质直接求解；2、逐层法：求12(())n f f f x 型复合函数的值域，利用一些基本初等函数的值域，从内向外逐层求函数的值域；3、配方法：配方法是二次型函数值域的基本方法，即形如“(0)x y ax bx c a =++≠”或“2[()]()(0)y a f x bf x c a =++≠”的函数均可用配方法求值域；4、换元法：利用换元法将函数转化为易求值域的函数，常用的换元有（1）y=或y ax b=+t =”换元；（2）y ax b =+±（,,,a b c d 均为常数，0,0a c ≠≠）t =”换元；（3）y bx =±型的函数，可用“cos ([0,])x a θθπ=∈”或“sin ([,])22x a ππθθ=∈-”换元；5、分离常数法：形如(0)ax by ac cx d+=≠+的函数，应用分离常数法求值域，即2()ax b a bc ady d cx d c c x c+-==+++，然后求值域；6、基本不等式法：形如(0)by ax ab x=+>的函数，可用基本不等式法求值域，利用基本不等式法求函数的值域时，要注意条件“一正、二定、三相等”，即利用a b +≥求函数的值域（或最值）时，应满足三个条件：①0,0a b >>；②a b +（或ab ）为定值；③取等号的条件为a b =，三个条件缺一不可；7、函数单调性法：确定函数在定义域上的单调性，根据函数单调性求出函数值域（或最值）。
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难点6 函数值域及求法
函数的值域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一.本节主要帮助考生灵活掌握求值域的各种方法，并会用函数的值域解决实际应用问题.
●难点磁场
(★★★★★)设m 是实数，记M ={m |m >1},f (x )=log 3(x 2－4mx +4m 2+m +1
1-m ). (1)证明：当m ∈M 时，f (x )对所有实数都有意义；反之，若f (x )对所有实数x 都有意义，则m ∈M .
(2)当m ∈M 时，求函数f (x )的最小值.
(3)求证：对每个m ∈M ,函数f (x )的最小值都不小于1.
●案例探究
［例1］设计一幅宣传画，要求画面面积为4840 cm 2,画面的宽与高的比为λ(λ<1),画面的上、下各留8 cm 的空白，左右各留5 cm 空白，怎样确定画面的高与宽尺寸，才能使宣传画所用纸张面积最小？如果要求λ∈［43,32］，那么λ为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小？
命题意图：本题主要考查建立函数关系式和求函数最小值问题，同时考查运用所学知识解决实际问题的能力，属★★★★★级题目.
知识依托：主要依据函数概念、奇偶性和最小值等基础知识.
错解分析：证明S (λ)在区间［4
3,32］上的单调性容易出错，其次不易把应用问题转化为函数的最值问题来解决.
技巧与方法：本题属于应用问题，关键是建立数学模型，并把问题转化为函数的最值问题来解决.
解：设画面高为x cm,宽为λx cm,则λx 2=4840,设纸张面积为S cm 2,则S =(x +16)(λx +10)=λx 2+(16λ+10)x +160,将x =λ10
22代入上式得：S =5000+4410 (8λ+λ5
),当8λ=λ5
,即λ=8
5
(85<1)时S 取得最小值.此时高：x =λ4840
=88 cm,宽：λx =8
5×88=55 cm. 如果λ∈［4
3,32］可设32≤λ1<λ2≤43,则由S 的表达式得： )58)((1044)5858(1044)()(2
121221
121λλλλλλλλλλ--=--+
=-S S 又21λλ≥8532>,故8－2
15λλ>0,。