协整检验理论
15、第八章案例分析(协整检验：基于回归系数的jj检验法)
15、第八章案例分析（协整检验：基于回归系数的jj检验法）协整检验——基于回归系数的JJ检验法一、研究目的传统的回归分析是建立在变量数据平稳的假定基础之上，而现实中，大多数经济变量都是非平稳的(例如产出、资本存量、收入等经济变量都具有长期增长的趋势)。
因此通过回归分析得到的回归模型缺乏统计意义上的逻辑论证，容易产生伪回归。
伪回归模型有很2高的值和t值，但参数估计值却毫无意义，从而可导致预测失败。
20世纪80年代以来，R计量经济学模型建模理论的一个重大发展就是协整理论的产生，它们为解决伪回归问题提供了坚实的基础。
本案例通过我国生产函数的数据来讨论JJ检验法的原理、方法及其应用。
二、协整的思想1、协整的思想1987年Engle和Granger提出了协整理论及其方法(Engle和Granger,1987)，为非平稳时间序列的建模提供了另一种途径。
虽然一些经济变量的本身是非平稳序列，但是，它们的线性组合却有可能是平稳序列。
这种平稳的线性组合被称为协整方程且可被解释为变量之间的长期稳定的均衡关系。
假定一些经济指标被某些经济系统联系在一起，那么从长远看来这些变量应该具有均衡关系。
在短期内，因为外部影响或随机扰动，这些变量有可能偏离均值。
如果这种偏离是暂时的，那么随时间推移将会回到均衡状态，如果这种偏离是持久的，则变量之间不存在均衡关系。
协整(co-integration)就是这种均衡关系的统计表示。
2、协整的定义协整的定义如下:,kdb维向量的分量间被称为，阶协整，记为，如y,(,,)yyy？yCIdb(,)ttttkt12果满足:(1)，要求的每个分量; y Id()yyId ()ttit,0,,bd(2)存在非零列向量，使得，。
βy Idb(),βt简称y是协整的，向量又称为协整向量。
βt三、JJ检验法与EG检验法的区别及其优点协整检验从检验的对象上可以分为两种:一种是基于回归系数的协整检验，即Johansen and Juselius(JJ)极大似然法;另一种是基于回归残差的协整检验，即:Engle and Granger 两步法(EG)。
Lecture05多元时间序列分析方法
第一节 协整检验 第二节 误差修正模型 第三节 向量自回归模型(VAR) 第四节 格兰杰因果检验
协整检验
第一节 协整检验
一、协整概念与定义
在经济运行中，虽然一组时间序列变量都是随机游走，但它们的某个 线性组合却可能是平稳的，在这种情况下，我们称这两个变量是平稳 的，既存在协整关系。
其基本思想是，如果两个(或两个以上)的时间序列变量是非平稳的， 但它们的某种线性组合却表现出乎稳性，则这些变量之间存在长期稳 定关系，即协整关系。根据以上叙述，我们将给出协整这一重要概念。 一般而言，协整是指两个或两个以上同阶单整的非平稳时间序列的组 合是平稳时间序列，则这些变量之间的关系的就是协整的。
向量自回归模型(VAR)
三、向量自回归模型(VAR)的估计
应用Eviews软件，创建VAR对应选择 Quick/Estimate VAR，或选择Objects/new object/VAR，也可以在命令窗口直接键入VAR。
向量自回归模型(VAR)
四、脉冲响应函数与预测方差分解
从结构性上看，VAR模型的F检验不能揭示某个给定变 量的变化对系统内其它变量产生的影响是正向还是负 向的，以及这个变量的变化在系统内会产生多长时间 的影响。然而，这些信息可以通过考察VAR模型中的 脉冲响应（Impulse Response )和方差分解（Variance Decompositions）得到。
协整检验
（一）E-G两步法
E-G两步法，具体分为以下两个步骤：
第一步是应用OLS估计下列方程
yt a xt ut
这一模型称为协整回归，称为协整参数，并得到相应的残差序列：
第二步检验 序uˆt列 的yt 平(a稳ˆ 性ˆx。t )
协整理论
2、多变量协整关系的检验—扩展的E-G检验
多变量协整关系的检验要比双变量复杂一些，主要在 于协整变量间可能存在多种稳定的线性组合。 假设有4个I(1)变量Z、X、Y、W，它们有如下的长期 均衡关系：
Z t 0 1Wt 2 X t 3Yt t
(*)
其中，非均衡误差项t应是I(0)序列：
式中:t是随机扰动项。
该均衡关系意味着:给定X的一个值，Y相应的 均衡值也随之确定为0+1X。
在t-1期末，存在下述三种情形之一：
（1）Y等于它的均衡值：Yt-1= 0+1Xt ； （2）Y小于它的均衡值：Yt-1< 0+1Xt ； （3）Y大于它的均衡值：Yt-1> 0+1Xt ； 在时期t，假设X有一个变化量Xt ，如果变量X与Y在 时期t与t-1末期仍满足它们间的长期均衡关系，则Y的相应 变化量由式给出:
Yt 1X t vt
式中，vt=t-t-1。
实际情况往往并非如此
如果t-1期末，发生了上述第二种情况，即Y的值小于其 均衡值，则Y的变化往往会比第一种情形下Y的变化Yt 大一些； 反之，如果Y的值大于其均衡值，则Y的变化往往会小 于第一种情形下的Yt 。 可见，如果Yt=0+1Xt+t 正确地提示了X与Y间的长 期稳定的“均衡关系”，则意味着Y对其均衡点的偏离从 本质上说是“临时性”的。 因此，一个重要的假设就是:随机扰动项t 必须是平 稳序列。 显然，如果t有随机性趋势（上升或下降），则会导 致Y对其均衡点的任何偏离都会被长期累积下来而不能被 消除。
差分
建立差分回归模型
式中， vt= t- t-1
Yt 1X t vt
然而，这种做法会引起两个问题：
面板数据协整分析
面板数据协整分析面板数据协整分析在计量经济学中被广泛应用于研究变量之间的长期均衡关系。
该方法结合了面板数据的特点和协整分析的思想，对于探讨变量之间的长期关系具有重要意义。
本文将以面板数据协整分析为题，探讨其基本原理、应用场景及操作步骤。
一、基本原理面板数据协整分析基于协整理论，该理论由格兰杰（Granger）和约翰森（Johansen）提出。
协整分析强调变量之间的长期均衡关系，即在长期内，变量之间的差异会被一组线性关系所消除，使得变量之间呈现出稳定的关系。
面板数据是经济学研究中常用的数据格式，具有个体和时间两个维度。
相比于截面数据或时间序列数据，面板数据包含了更多的信息，能够更好地捕捉个体和时间的异质性。
因此，面板数据协整分析更适用于考察个体之间的关系和长期的动态变化。
二、应用场景面板数据协整分析可以应用于多个领域，如经济学、金融学、环境科学等。
以下是一些典型的应用场景：1. 经济增长与贸易关系分析面板数据协整分析可以用于研究不同国家之间的贸易关系和经济增长的关联性。
通过分析面板数据，可以确定是否存在长期均衡关系，以及对经济增长的贡献度。
2. 教育投资与经济发展的影响面板数据协整分析可以帮助研究者探究教育投资对经济发展的影响。
通过分析面板数据，可以建立教育投资与经济发展之间的长期关系模型，从而评估教育政策的效果。
3. 环境污染与经济增长的关系研究面板数据协整分析可以帮助研究者了解环境污染与经济增长之间的关联性。
通过分析面板数据，可以估计环境污染对经济增长的影响，并提出相关政策建议。
三、操作步骤进行面板数据协整分析需要以下几个基本步骤：1. 数据准备首先，需要收集相关面板数据，并对数据进行清洗和整理，确保数据的可靠性和一致性。
同时，还需要进行面板数据的单位根检验，以判断是否需要进行协整分析。
2. 变量选择在进行面板数据协整分析时，需要选择适当的变量作为分析对象。
变量选择应基于理论基础和实际需求，并考虑到变量之间的相关性。
boundary cointegration test统计学
边界协整检验（boundary cointegration test）是统计学中用于分析两个或多个时间序列之间是否存在长期均衡关系的检验方法。
它是基于边界检验（boundary test）和协整理论（cointegration theory）的。
在边界检验中，我们关注的是两个时间序列的边界，即一个时间序列的值是否始终大于或小于另一个时间序列的值。
如果两个时间序列之间存在协整关系，那么它们的边界应该是稳定的，即它们在长期内应该保持不变。
边界协整检验的目的是确定两个时间序列的边界是否稳定，从而确定它们之间是否存在长期均衡关系。
如果边界稳定，那么我们可以认为这两个时间序列是协整的，它们之间存在长期均衡关系；如果边界不稳定，那么我们可以认为这两个时间序列不是协整的，它们之间不存在长期均衡关系。
边界协整检验的具体步骤如下：
1. 对两个时间序列进行边界检验，确定它们的边界。
2. 对这两个时间序列进行差分，得到它们的差分序列。
3. 对差分序列进行单位根检验，确定它们是否是平稳的。
如果差分序列是平稳的，那么原序列是协整的；如果差分序列不是平稳的，那么原序列不是协整的。
4. 如果原序列是协整的，那么我们可以认为它们之间存在长期均衡关系；如果原序列不是协整的，那么我们可以认为它们之间不存在长期均衡关系。
总之，边界协整检验是一种用于确定两个或多个时间序列之间是否存在长期均衡关系的统计检验方法。
它通过分析时间序列的边界和差分序列的平稳性，来判断它们之间是否存在协整关系。
如果存在协整关系，那么这些时间序列在长期内应该保持稳定的关系；如果不存在协整关系，那么这些时间序列在长期内可能会出现分离的趋势。
协整理论及案例
中大期货公司 研究所 高辉
协整及相关理论简介
ADF 检验中选取标准我们采用：保证残差项不相关的前提下，同时采用 AIC 准则与 SC 准 则，作为最佳时滞的标准，在二者值同时为最小时的滞后长度即为最佳长度。在 ADF 检验 中还存在一个问题，即检验回归中包括常数，常数和线性趋势，或二者都不包括三种情况。 选择标准：通过变量的时序图观察，如果序列好像包含有趋势（确定的或随机的） ，序列回 归中应既有常数又有趋势。如果序列没有表现任何趋势且有非零均值，回归中应仅有常数。 如果序列在零均值波动，检验回归中应既不含有常数又不含有趋势。例如： 《中国上海期铜 价格季度预测建模研究》检验结果：
∆yt = µ + ryt −1 + δ1∆yt −1 + δ 2 ∆yt −2 + L + δ p ∆yt − p + ε t
（1.1）
µ ， r ， δ 1 ， δ 2 ，L ， δ p 为参数， ε t 为随机误差项，是服从独立同分布(iid)的白噪声过
程，假设： H 0 : r = 0 ， H1 : r < 0 。若 r = 0 ，则变量服从单位根过程，是非平稳的。若
( ESS1 − ESS2 ) m ，式中 ESS 和 ESS 分别 1 2 ESS1 T − ( k + m + 1)
表1
变量 YE PE EE DI LCU3 SHCU △YE △ PE △EE △DI ADF 值
-2.371202 -0.614100 -0.541186 -0.573248 -0.901602 -1.768326 -2.224296 -4.447212 -2.716409 -2.757654
各个变量时间序列的单位根检验结果
协整的名词解释
协整的名词解释一、协整的定义协整（Cointegration）是时间序列分析中的一个重要概念，用于描述两个或多个非平稳时间序列之间存在的长期均衡关系。
这种关系意味着，尽管各个时间序列具有各自的短期波动，但它们之间存在一种稳定的、相互依赖的关系，这种关系在长期内是均衡的。
协整的概念最早由恩格尔（Engle）和格兰杰（Granger）在1987年提出，后来得到了广泛的应用和发展。
二、协整的数学表达协整的数学表达通常涉及两个或多个非平稳时间序列，记作{x(t)}和{y(t)}。
如果存在一个平稳的线性组合β1x(t) + β2y(t)，使得这个组合具有平稳性，则称{x(t)}和{y(t)}之间存在协整关系。
数学上，这可以表示为：β1x(t) + β2y(t) ~ I(0)，其中I(0)表示零阶单整，即平稳时间序列。
三、协整的经济学意义协整在经济分析中具有重要应用，尤其是在宏观经济分析和金融市场分析中。
例如，在分析消费和收入之间的关系时，如果消费和收入之间存在协整关系，意味着长期内消费和收入是相互关联的，一方的变化可能会引起另一方的相应变化。
此外，在金融市场分析中，股票价格和债券价格等金融资产价格之间可能存在协整关系，这有助于投资者理解市场动态和进行投资决策。
四、协整的检验方法检验两个时间序列之间是否存在协整关系的方法主要有两种：一种是基于残差的检验，如Johansen检验和VAR检验；另一种是基于模型的检验，如EG两步法和ADF-GLS检验。
这些检验方法都有其特定的假设和适用范围，使用时应根据具体情况选择合适的方法。
此外，近年来随着机器学习算法的兴起，一些新的协整检验方法也开始出现，如基于神经网络的检验方法等。
五、协整的局限性虽然协整的概念在许多领域得到了广泛应用，但它也存在一些局限性。
首先，协整关系的存在并不一定意味着因果关系的存在，它只是表明两个时间序列之间存在长期均衡关系。
其次，协整检验的结果可能受到数据选取和处理的影响，因此在使用时应充分考虑数据的代表性和稳定性。
15.协整检验
15.协整检验16.协整检验⼀、⽅法介绍基本思路：20世纪80年代，Engle 和Granger 等⼈提出了协整（Co-integration ）的概念，指出两个或多个⾮平稳（non-stationary ）的时间序列的线性组合可能是平稳的或是较低阶单整1的。
有些时间序列，虽然它们⾃⾝⾮平稳，但其线性组合却是平稳的。
⾮平稳时间序列的线性组合如果平稳，则这种组合反映了变量之间长期稳定的⽐例关系，称为协整关系。
协整关系表达的是两个线性增长量的稳定的动态均衡关系，更是多个线性增长的经济量相互影响及⾃⾝演化的动态均衡关系。
协整分析是在时间序列的向量⾃回归分析的基础上发展起来的空间结构与时间动态相结合的建模⽅法与理论分析⽅法。
理论模型：如果时间序列nt t t Y Y Y ，，，21都是d 阶单整，即）（d I ，存在⼀个向量)(21n αααα，，，=使得）（b d I Y t -'~α，这⾥)(21nt t t t Y Y Y Y ，，，=，0≥≥b d 。
则称序列nt t t Y Y Y ，，，21是），（b d 阶协整，记为），（b d CI Y t ~，α为协整向量。
⼀般情况下,协整检验有EG 两步法与JJ 的多变量极⼤似然法。
步骤⼀：为检验序列t Y 和t X 的），（b d CI 阶协整关系。
⾸先对每个变量进⾏单位根检验，得出每个变量均为)(d I 序列，然后选取变量t Y 对t X 进⾏OLS 回归，即有协整回归⽅程：1 如果⼀个⾮平稳时间序列经过差分变换变成平稳的，称其为单整过程，经过⼀次差分变换的称为⼀阶单整，记为I(1)，n 次差分变换的称为n 阶单整，记为I(n)。
t t t X Y εβα++= （1）式中⽤α?和β?表⽰回归系数的估计值，则模型残差估计值为：t t X Y βαε--＝（2）步骤⼆：对（1）式中的残差项t ε进⾏单位根检验，⼀般采⽤ADF 检验。
若检验结果表明t ε是）（0I 序列，即）（0~?I ε，则说明t ε是平稳序列，可得出t Y 和tX 是），（b d CI 阶协整的，其协整向量为），（β?1-。
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5
② 如果 r = 0，意味着 = 0，因此式(9.6.2)仅仅是个差分方程，各项都是 I(0) 变量，不需要讨论 yt-1各分量之间是否具有协整关系。
1
下面讨论 k 个经济指标 y1，y2，…，yk 之间是否具有协整关系。协整的 定义如下：
y 设 k 维向量时间序列 t = (y1t , y2t , …, ykt)(t = 1, 2, …, T ) 的分量序列 y 间被称为d，b阶协整，记为 t ～ CI (d，b)，如果满足：
y y (1) t ～ I (d)，要求 t 的每个分量都是 d 阶单整的 ； y (2) 存在非零向量 ，使得 t ～ I (d-b)，0 < b ≤ d 。 y 简称 t 是协整的，向量 又称为协整向量。
p1
yt αβyt1 Γiyti Hxt εt i1
(9.6.5)
上式要求 yt-1 的每一行为一个 I(0) 向量，其每一行都是 I(0) 组合变量，即 的每一列所表示的 yt-1各分量的线性组合都是一种协整形式，所以矩阵 决定 了yt-1各分量之间协整向量的个数与形式。因此称为协整向量矩阵，r 为协整向量 的个数。
t=1, 2, …, T
( y1t c1 y2t ) ( y1t c2 y2t ) (c1 c2 ) y2t ~ I (0)
由于 y2 ～ I (1)，所以只能有 c1 = c2 ，可见 y1，y2 协整时，协整向量
y = (1， c1 ) 是惟一的。一般地，设由 t 的协整向量组成的矩阵为 B，则
③ 下面讨论 0< r < k 的情形： 0< r < k 表示存在 r 个协整组合，其余 k r 个关系仍为 I(1)关系。在这种 情况下， 可以分解成两个( k r )阶矩阵 和 的乘积：
Π αβ
其中rk ( )= r，rk ( )= r。
(9.6.4)
7
② 如果 r = 0，意味着 = 0，因此式(9.6.2)仅仅是个差分方程，各项都是 I(0) 变量，不需要讨论 yt-1各分量之间是否具有协整关系。
2
y 对于 k 维向量时间序列 t 最多可能存在 k-1个线性无关的协整向量， y 为讨论方便，先考虑最简单的二维情形，不妨记 t = (y1t, y2t)，(t=1, 2, …,
T ) ，其中 y1，y2 都是I(1) 时间序列。若存在 c1，使得 y1-c1y2 ～ I(0)；另有 c2，也使得 y1-c2 y2 ～ I (0)，则
③ 下面讨论 0< r < k 的情形： 0< r < k 表示存在 r 个协整组合，其余 k r 个关系仍为 I(1)关系。在这种 情况下， 可以分解成两个( k r )阶矩阵 和 的乘积：
Π αβ
其中rk ( )= r，rk ( )= r。
(9.6.4)
8
将式(9.6.4)代入式(9.6.2)，得：
10
矩阵 B 的秩为 r = r(B)，那么 0 r k1。
3
下面将上述讨论扩展到多指标的情形，介绍JJ检验的基本思想。首先建 立一个VAR(p)模型
yt Φ1 yt1 Φp yt p Hxt εt
t =1，2，…，T (9.6.1)
y 其中 t的各分量都是非平稳的I(1)变量；xt 是一个确定的 d 维的外生向量，
9
ห้องสมุดไป่ตู้
矩阵 的每一行 i 是出现在第 i 个方程中的 r 个协整组合的一组权重， 故称为调整参数矩阵，与前面介绍的误差修正模型的调整系数的含义一样。而 且容易发现 和 并不是惟一的，因为对于任何非奇异 r r 矩阵 H ，乘积 和 H (H 1 ) 都等于 。
将 yt 的协整检验变成对矩阵 的分析问题，这就是Johansen协整检验的 基本原理。因为矩阵 的秩等于它的非零特征根的个数，因此可以通过对非零 特征根个数的检验来检验协整关系和协整向量的秩。略去关于 的特征根的求 解方法，设矩阵 的特征根为 1 2 … k。
9.6 Johansen协整检验
第5章5.4节介绍的协整检验和误差修正模型主要是针对单方程而言， 本节将推广到VAR模型。而且前面所介绍的协整检验是基于回归的残差序列 进行检验，本节介绍的Johansen协整检验基于回归系数的协整检验，有时 也称为JJ(Johansen-Juselius)检验。
虽然ADF检验比较容易实现，但其检验方式存在一定欠缺性——在第一 阶段需要设计线性模型进行OLS估计，应用不方便。Johansen在1988年及 在1990年与Juselius一起提出的一种以VAR模型为基础的检验回归系数的方 法，是一种进行多变量协整检验的较好的方法。
代表趋势项、常数项等确定性项；t 是 k 维扰动向量。在式(9.6.1)两端减去 yt-1，通过添项和减项的方法，可得下面的式子
p1
yt Πyt1 Γiyti Hxt εt
其中
i1
p
Π Φi I i1
p
Γi ， Φ j j i 1
(9.6.2)
(9.6.3)
4
由于I(1)过程经过差分变换将变成I(0)过程，即式(9.6.2)中的Δyt , Δyt–j (j =1, 2 ,…, p) 都是I(0)变量构成的向量，那么只要 yt-1 是I(0)的向量，即 yt-1的 各分量之间具有协整关系，就能保证Δyt是平稳过程。yt-1的各分量之间是否具 有协整关系主要依赖于矩阵 的秩。设 的秩为 r，则存在 3 种情况: r = k ，r = 0，0< r < k：
③ 下面讨论 0< r < k 的情形： 0< r < k 表示存在 r 个协整组合，其余 k r 个关系仍为 I(1)关系。在这种 情况下， 可以分解成两个( k r )阶矩阵 和 的乘积：
Π αβ
其中rk ( )= r，rk ( )= r。
(9.6.4)
6
② 如果 r = 0，意味着 = 0，因此式(9.6.2)仅仅是个差分方程，各项都是 I(0) 变量，不需要讨论 yt-1各分量之间是否具有协整关系。