高等数学D12_8常系数齐次
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高等数学课件微分方程D128常系数齐次线性微分方程
通解与特解关系剖析
通解概念
通解是包含所有解的表达式，通常由 指数函数、三角函数等构成，反映了 微分方程的固有性质。
特解概念
通解与特解关系
通解包含特解，特解是通解在特定条件 下的具体化。通过设定合适的初始条件 或边界条件，可以从通解中求得特解。
特解是满足特定初始条件或边界条件 的解，是通解中的一个特定情况。
初始条件对特解的影响
特解是满足初始条件的解，不同的初始条件会得到不同的特解。
叠加原理在求解中应用
叠加原理
如果函数y1, y2, ..., yn分别是微分方程的解，那么它们的线性组合c1y1 + c2y2 + ... + cnyn也是微分方程的解。
应用
通过叠加原理，可以将复杂的微分方程分解为多个简单的微分方程进行求解，再将这些 简单微分方程的解进行线性组合得到原方程的解。
分析生物学问题
根据求解结果分析生物学问题的 内在机制和影响因素，为生物资 源管理和疾病防控提供依据。
其他领域应用举例
经济学领域
01
利用常系数齐次线性微分方程描述经济现象（如价格变化、产
量变化等），分析经济问题的动态变化过程。
控制工程领域
02
利用常系数齐次线性微分方程描述控制系统的动态特性，分析
控制系统的稳定性和性能。
例题2
求解常系数齐次线性微分 方程2y'' + 3y' - 2y = 0 的通解。
分析与解答
首先写出特征方程2r^2 + 3r - 2 = 0，求解得到特征 根r1 = 1/2, r2 = -2，因此 通解为y = c1e^(1/2x) + c2e^(-2x)。
高等数学第十二章
1. 有两个不相等的实根 ( 0)
特征根为 两个线性无关的特解
得齐次方程的通解为
2. 有两个相等的实根 ( 0)
特征根为
一特解为
齐次方程的通解为
3. 有一对共轭复根 ( 0)
特征根为
重新组合
因此，齐次方程的通解为
定义 由常系数齐次线性方程的特征方程
的根确定其通解的方法称为特征方程法.
解 特征方程为
解得
故所求通解为
解 特征方程为
解得
故所求通解为
解 特征方程为
解得
故所求通解为
三、n 阶常系数齐次线性方程 的解法
征方程为
特征根为 故所求通解为
解
则
通解为 所以
特征根为
第九节 二阶常系数齐次 线性微分方程
一、定义 二、二阶常系数齐次线性 微分方程的解法 三、n 阶常系数齐次线性 微分方程的解法
一、定义
n 阶常系数线性微分方程的标准形式
二阶常系数齐次线性方程的标准形式
二阶常系数非齐次线性方程的标准形式
二、二阶常系数齐次线性方程解法
将其代入上方程, 得
故有 特征根为
常系数齐次线性方程
算性质来求解方程。
矩阵法可以用于求解多变量线性方程组，并且可以方便地处理
0程的应用
在物理中的应用
描述物体运动规律
常系数齐次线性方程可以用来描 述物体在直线运动中的速度和加 速度之间的关系，例如自由落体 运动。
电磁波传播
在电磁波的传播过程中，常系数 齐次线性方程可以用来描述波动 方程，如电磁波在真空中的传播。
04
常系数齐次线性方程的扩展
变系数线性方程
变系数线性方程是指方程中的系数不再是常数，而是随着自变量的变化而变化。这类方程在物理、工 程和经济等领域有广泛的应用。求解变系数线性方程的方法通常包括分离变量法、变量代换法、积分 因子法等。
求解变系数线性方程的关键是找到一种方法，将原方程转化为一个或多个常系数线性方程，然后利用 已知的求解方法求解。
方程的表示形式
一般形式
ax+by+c=0
二元一次方程
例如，方程x+2y=0表示一个二元一次方程，其中 x和y是未知数，a=1，b=2，c=0。
一元一次方程
例如，方程3x+5=0表示一个一元一次方程，其中 x是未知数，a=3，b=0，c=5。
02
常系数齐次线性方程的解法
公式法
01
02
03
公式法是解常系数齐次 线性方程的一种常用方 法，通过对方程进行因 式分解，得到通解的公
(3x - 5y = 12)的解为：(x = frac{12 + 5y}{3})
(4x - y = 5)的解为：(y = 4x - 5)
THANKS
感谢观看
热传导
在热传导过程中，常系数齐次线 性方程可以用来描述温度随时间 和空间的变化规律。
D12_8常系数齐次
利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解:
y11 2(y1y2) excosx y221i(y1y2)exsinx
因此原方程的通解为
y e x ( C 1 co x C s 2 six ) n
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小结: ypyqy0(p ,q 为常 ) 数
特征方程: r2prq0, 特征:r根 1,r2
临界阻尼: n = k
x(C 1C 2t)e nt 解的特征
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例4. 求y 方 (4 ) 2 y 程 5 y 0 的通解. 解: 特征方程 r42r35r20,特征根:
r 1 r 2 0 , r 3 ,4 1 2 i 因此原方程通解为
yC 1C 2xe x(C 3c2 o x s C 4s2 ix n ) 例5. 解方 y(5)程 y(4)0. 解: 特征方程: r5r40, 特征根 :
即 ( r 2 2 r 2 )r 2 ( 2 r 2 ) 0
其根为
r1,2
(1i),
2
r3,4
(1i) 2
方程通解 :
w
e
2
x
(C 1co2sxC 2sin 2x)
e
2
x
(C 3co2sxC 4sin 2x)
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例7. 解方 y(4 ) 2 y 程 y 0. 解: 特征方程: r42r210
(3) 当 r1,2i 时, 通解为
y e x (C 1 co x s C 2 six n )
可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解 .
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思考与练习
求方程 yay0 的通解 . 答案: a0: 通解为 yC 1C 2x
y11 2(y1y2) excosx y221i(y1y2)exsinx
因此原方程的通解为
y e x ( C 1 co x C s 2 six ) n
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小结: ypyqy0(p ,q 为常 ) 数
特征方程: r2prq0, 特征:r根 1,r2
临界阻尼: n = k
x(C 1C 2t)e nt 解的特征
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例4. 求y 方 (4 ) 2 y 程 5 y 0 的通解. 解: 特征方程 r42r35r20,特征根:
r 1 r 2 0 , r 3 ,4 1 2 i 因此原方程通解为
yC 1C 2xe x(C 3c2 o x s C 4s2 ix n ) 例5. 解方 y(5)程 y(4)0. 解: 特征方程: r5r40, 特征根 :
即 ( r 2 2 r 2 )r 2 ( 2 r 2 ) 0
其根为
r1,2
(1i),
2
r3,4
(1i) 2
方程通解 :
w
e
2
x
(C 1co2sxC 2sin 2x)
e
2
x
(C 3co2sxC 4sin 2x)
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例7. 解方 y(4 ) 2 y 程 y 0. 解: 特征方程: r42r210
(3) 当 r1,2i 时, 通解为
y e x (C 1 co x s C 2 six n )
可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解 .
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思考与练习
求方程 yay0 的通解 . 答案: a0: 通解为 yC 1C 2x
D128常系数齐次微分方程
3. 当 p24q0时, 特征方程有一对共轭复根
r 1 i,r 2 i
这时原方程有两个复数解:
y1e(i)x e x(cx o isix n ) y2e(i)x e x(cx o isix n )
利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解:
d d
2x t2
2n
dx dt
k2 x 0
o x
x t0 x0,
dx dt
t 0 v0
x
2019/7/16
阜师院数科院
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1) 无阻尼自由振动情况 ( n = 0 )
方程:
d d
2x t2
k2 x 0
特征方程: r2k20, 特征根: r1,2ik
2019/7/16
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2. 当 p24q0时, 特征方程有两个相等实根 r1 r2
p 2
,
则微分方程有一个特解
y1 er1x.
设另一特解 y2y1u(x)er1xu(x) ( u (x) 待定)
代入方程得:
er1 x [ (u2r1ur12u)p(ur1u)qu0
a0: 通解为 y C 1 co a x s C 2 sia x n a0: 通解为 y C 1 e a x C 2e a x
作业 P310 1 (3) , (6) , (10) ;
2 (2) , (3) , (6) ; 3
2019/7/16
阜师院数科院
第九节 目录 上页 下页 返回 结束
(3) 当 r1,2i 时, 通解为
y e x (C 1 co x s C 2 six n )
高数12.8
y = C1e r1x + C2e r2 x ．
e y=C1e r1x + C2x r1x
y=eax (C1cos bx+ C2sin bx)．
例 3 求微分方程y2y+5y= 0的通解．
解 所给方程的特征方程为
r22r+5=0， 其根r1, 2=12i为一对共轭复根．因此所求通解为 y=e x(C1cos 2x+C2sin 2x)．
y=C1+C2x+e x(C3cos 2x+C4sin 2x)．
两个不相等的实根r1、r2
两个相等的实根r1=r2 一对共轭复根r1, 2=a ib，
y = C1e r1x + C2e r2 x ．
e y=C1e r1x + C2x r1x
y=eax (C1cos bx+ C2sin bx)．
求二阶常数系数齐次线性微分方程的通解的步骤：
第一步 写出微分方程的特征方程
§12．8 二阶常系数齐次线性微分方程
二阶常系数齐次线性微分方程
特征方程及其根 特征方程的根与通解的关系 求通解的步骤 n 阶常系数齐次线性微分方程
二阶常系数齐次线性微分方程
二阶常系数齐次线性微分方程： 寻找可能的解： 方程 y+py+qy=0 称为二阶常系数齐次线性微分方 得 程，其中p、q均为常数． 如果y 1 、y 2 是二阶常系数齐 (r2+pr+q)erx =0． 由此可见，只要r 满足代数方程 r2+pr+q=0， 函数y=erx就是微分方程的解． 将y=erx代入方程 y+py+qy=0
p + p 2 4q r1，2= 2
高等数学第十二章第三讲 齐次方程
第十二章
第十二章
常微分方目录
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重点
齐次型方程的判别
第十二章
齐次型方程转化为可分离变量微分方程求 解方法
难点
齐次型方程转化为可分离变量方程 的解法
基本要求
①学会齐次型微分方程的判别
第十二章
②掌握齐次型方程转化为分离变量方程的 方法，并求解。
③牢固掌握通解和特解得求法及 初值问题的求法
第十二章
y
A
由光的反射定律: 入射角 = 反射角
可得 OMA = OAM =
M
T
y
从而 AO = OM y 而 AO AP OP y cot x x y OM x 2 y 2 y x x2 y2 于是得微分方程 : y
机动
o P
x
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y y 例1. 解微分方程 y tan . x x y 解: 令 u , 则 y u x u, 代入原方程得 x u x u u tan u cos u dx du 分离变量 sin u x cos u dx du 两边积分 sin u x 得 ln sin u ln x ln C , 即 sin u C x y 故原方程的通解为 sin C x ( C 为任意常数 ) x ( 当 C = 0 时, y = 0 也是方程的解)
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第十二章
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第十二章
的通解 y y 解: dy y x x 方程变形为 , xy y d x xy x 1 1 x x y 令u , y xu, y u x u 则有 x u 1 dx 即：u xu 分离变量 (1 )du u 1 u x y 积分得 u ln u ln x ln u, u ln( Cxu) 即 ln Cy
第十二章
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重点
齐次型方程的判别
第十二章
齐次型方程转化为可分离变量微分方程求 解方法
难点
齐次型方程转化为可分离变量方程 的解法
基本要求
①学会齐次型微分方程的判别
第十二章
②掌握齐次型方程转化为分离变量方程的 方法，并求解。
③牢固掌握通解和特解得求法及 初值问题的求法
第十二章
y
A
由光的反射定律: 入射角 = 反射角
可得 OMA = OAM =
M
T
y
从而 AO = OM y 而 AO AP OP y cot x x y OM x 2 y 2 y x x2 y2 于是得微分方程 : y
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o P
x
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y y 例1. 解微分方程 y tan . x x y 解: 令 u , 则 y u x u, 代入原方程得 x u x u u tan u cos u dx du 分离变量 sin u x cos u dx du 两边积分 sin u x 得 ln sin u ln x ln C , 即 sin u C x y 故原方程的通解为 sin C x ( C 为任意常数 ) x ( 当 C = 0 时, y = 0 也是方程的解)
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第十二章
的通解 y y 解: dy y x x 方程变形为 , xy y d x xy x 1 1 x x y 令u , y xu, y u x u 则有 x u 1 dx 即：u xu 分离变量 (1 )du u 1 u x y 积分得 u ln u ln x ln u, u ln( Cxu) 即 ln Cy
D12.8 常系数齐次线性微分方程
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10
例4.
的通解.
解: 特征方程 r 4 2 r3 + 5 r 2 = 0, 特征根:
r = r2 = 0, 1
r3 , 4 =1± 2 i
因此原方程通解为
y = C1 + C2x + ex (C3 cos 2x + C4 sin 2x )
例5. 解 程 y(5) y(4) = 0. 方 解: 特征方程: r5 r 4 = 0, 特征根 :
y = (C1 + C2x ) er1 x
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4
3. 当 p2 4q < 0 时, 特征方程有一对共轭复根 这时原方程有两个复数解:
y1 = e(α+i β ) x = eα x (cos β x + i sin β x ) y2 = e(αi β ) x = eα x (cos β x i sin β x )
x
r, = 1± 2i , 12
故所求通解为
y = e (C1 cos 2x + C2 sin2x).
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7
例3. 求解初值问题
d2s ds +2 +s =0 2 dt dt ds = 2 s t =0 = 4 , dt t = 0
解: 特征方程 r 2 + 2r +1 = 0 解得重根 r = r2 = 1, 1 因此原方程的通解为 s = (C1 + C2 t ) e t 利用初始条件得
2
1. 当 p 4q > 0 时, ②有两个相异实根 方程有两个线性无关的特解: 因此方程的通解为
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y1 = e(α +i β ) x = eα x (cos β x + i sin β x ) y2 = e(α −i β ) x = eα x (cos β x − i sin β x )
利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解:
1 y1 = 2 ( y1 + y2 ) = eα x cos β x 1 y2 = 2 i ( y1 − y2 ) = eα x sin β x
注： (1) y = C1y1(x) + C2 y2 (x) 不一定是所给二阶方程的通解. (2)
y1(x) y2 (x)
常数，
y = C1y1(x) + C2 y2 (x) 才是所给二阶方程的通解.
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定义: 定义 设 y1(x), y2 (x),L, yn (x) 是定义在区间 I 上的 n 个函数, 若存在不全为 0 的常数 不全为 使得
y = ( C1 + C2 x ) e
r1 x
y = eα x (C1 cos β x + C2 sin β x )
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例1. 求方程 y′′ − 2 y′ − 3 y = 0 的通解. 解: 特征方程 r 2 − 2 r − 3= 0, 特征根: r = −1, r2 = 3 , 1 因此原方程的通解为
′′ ′′ ′ ′ [ C1 y1 +C2 y2 ] + P(x)[ C1y1 +C2 y2 ]
+ Q(x)[ C1y1 + C2 y2 ]
′′ ′ = C1 [ y1 + P(x) y1 + Q(x) y1]
′′ ′ + C2 [ y2 + P(x) y2 + Q(x) y2 ] = 0 证毕
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则根据二次多项式至多只有两个零点 , 可见
注：1.函数值恒为0的函数与任意函数均线性相关。 定理 2.
2. 对于区间 I 上的两个函数而言，
线性相关
( 无妨设
存在不全为 0 的
使
k1 ≠ 0 )
线性无关
y1(x) k2 ≡ − （是常数） y2 (x) k1 y1(x) 常数 y2 (x)
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+ p r + q)u = 0 1
u′′ + ( 2 r + 1
2 p ) u′ + ( r 1
是特征方程的重根
u′′ = 0
取 u = x , 则得 y2 = x er1 x , 因此原方程的通解为
y = ( C1 + C2 x ) er1 x
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3. 当 p2 − 4 q < 0 时, 特征方程有一对共轭复根 这时原方程有两个复数解:
第五节 二阶常系数 齐次线性微分方程
一、线性齐次方程解的结构 二、二阶常系数齐次线性微分方程求解 求解
第六章
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一、线性齐次方程解的结构
定理1. 定理 若函数 y1(x), y2 (x) 是二阶线性齐次方程
y′′ + P(x) y′ + Q(x) y = 0
的两个解, 则y = C1 y1(x) + C2 y2 (x) 也是该方程的解. (叠加原理) 证: 将 y = C1 y1(x) + C2 y2 (x) 代入方程左边, 得
(r 2 + pr + q ) er x = 0 2 r + pr + q = 0
1. 当 p2 − 4 q > 0 时, ②有两个相异实根 方程有两个线性无关的特解: 因此方程的通解为
②
称②为微分方程①的特征方程 其根称为特征根 特征方程, 特征根. 特征方程 特征根 则微分
y = C1 er1 x + C2 er2 x
则称这 n个函数在 I 上线性相关 否则称为线性无关 线性相关, 线性无关. 线性相关 线性无关 例如， 在(−∞ , +∞ )上都有
故它们在任何区间 I 上都线性相关 线性相关; 线性相关 又如， 必需全为 0 , 若在某区间 I 上 在任何区间 I 上都 线性无关 线性无关.
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2. 当 p2 − 4 q = 0 时, 特征方程有两个相等实根 则微分方程有一个特解 设另一特解 代入方程得: ( u (x) 待定)
e
r x 1
2 [ ( u′′ + 2 r u′ + r u ) + 1 1
p(u′ + r u ) + q u ] = 0 1
例2. 求解初值问题
d2s ds +2 +s =0 2 dt dt ds = −2 s t =0 = 4 , dt t = 0
−t
解: 特征方程 r 2 + 2 r +1 = 0 有重根 r = r2 = −1 , 1 因此原方程的通解为 s = (C1 + C2 t ) e 利用初始条件得
C1 = 4, C2 = 2
αx
r1 x
y = e (C1 cos β x + C 2 sin β x)
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思考与练习
求方程 答案: 答案 的通解 .
a = 0 : 通解为 y = C1 + C2 x a > 0 : 通解为 y = C1 cos a x + C2 sin a x
a < 0 : 通解为 y = C1 e
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于是所求初值问题的解为
例3 求方程 y′′ + 2 y′ + 5 y = 0的通解. 解 特征方程为 r 2 + 2r + 5 = 0 , 解得
r1， = −1 ± 2i , 2
故所求通解为
y = e − x (C1 cos 2 x + C 2 sin 2 x ).
内容小结
y′′ + p y′ + q y = 0 ( p, q 为常数) 特征根: r1 , r2
(1) 当 r1 ≠ r2 时, 通解为 y = C1 e
r1 x
+ C2 e
r2 x
(2) 当 r1 = r2 时, 通解为 y = (C1 + C 2 x ) e , (3) 当 r1,2 = α ± β i 时, 通解为
−a x
+ C2 e−
−a x
第九节
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因此原方程的通解为
y = eα x (C1 cos β x + C2 sin β x)
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小结: 小结
y′′ + p y′ + q y = 0 ( p, q为常数)
特征方程: r 2 + pr + q = 0, 特征根 实根 通 解
r1 x
y = C1e
+ C2e
r2 x
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ห้องสมุดไป่ตู้
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定理 3.
是二阶线性齐次方程的两个线
性无关特解, 则 y = C1y1(x) + C2 y2 (x) 数) 是该方程的通解. (自证) 例如, 例如 验证 是微分方程 的通解。
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二、二阶常系数齐次线性微分方程求解 求解
① 和它的导数只差常数因子, 所以令①的解为 y = er x ( r 为待定常数 ), 代入①得