30 常系数齐次线性方程组—不同实根——第八章
an1k1 an2k2 (ann )kn 0
Thus to find a nontrival solution X of (2) we must
find a nontrival solution of the foregoing system.
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铃
Find a nontrival vector K 0 that satisfies (3),
X c1K1e1t c2K2e2t cn Knent .
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EXAMPLE 1 Distinct Eigenvalues
Solve
dx 4x y z dt
dy x 5 y z
(6)
dt
dz dt
y 3z
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Solution we find
system
X ' AX (2)
Where A is an n n matrix of constants.
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Eigenvalues（特征值） and Eigenvectors（特征向量）
If X Ket is a solution vector of the linear system X ' AX , then we have
eigenvalues 1, 2,n , then a set of n linearly
independent eigenvectorsK1, K2,Kn, can always
be found and
X1
K1e1t ,
X2
K
e2t
2
,
,
Xn
Knent ,
is a fundamental set of solutions of (2) on (, ).
eigenvalue is called an eigenvector of A.
a solution of the homogeneous system (2) is then
X Ket
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In the discussion that follows, We examine three cases:
c1 11e2t
c2
3 5
e6t
Is the general solution of the homogeneous system
X ' 15 33X
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We guess that a solution of the form
k1
X
k2
et
Ket
(1)
kn
For the general homogeneous linear first-order
we must have
det(A I ) 0
This polynomial equation in is called the
characteristic equation of the matrix A; its solutions are the eigenvalues of A.
A solution K 0 of (3) corresponding to an
x1 x2 xn1 0
xnKn 0, Kn 0 xn 0
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THEOREM 8.7 General solution-homogeneous systems
Let 1, 2,n be n distinct real eigenvalues of
the coefficient matrix A of the homogeneous system (2), and let K1, K2,Kn be the corresponding eigenvectors. Then the general solution of (2) on the interval (, ) is given by
1, real and distinct eigenvalues 2, repeated eigenvalues
3, complex eigenvalues
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8.2.1 DISTINCT REAL EIGENVALUES
When the nxn matrix A possesses n distinct real
1 8
1 1
0 0
row
operations
1 0
0 1
1 0 0 0.
0100 Nhomakorabea0
0
0
0
Therefore K1 K3 and K2 0. The choiceK3 1
gives an eigenvector an corresponding solution
Ket AKet (et 0) AK K ( K IK ) (A I )K 0 (3)
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The matrix equation (3) is equivalent to the simultaneous algebraic equations
(a11 )k1 a12k2 a1nkn 0 a21k1 (a22 )k2 a2nkn 0
4 1
1
det(A I ) 1 5 1
0
1 3
( 3)( 4)( 5) 0,
and so the eigenvalues are
1 3, 2 4, and 3 5.
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For 1 3 Gauss-Jordan elimination gives
1 ( A 3I 0) 1
8 systems of linear first-order differential equations
8.2 homogeneous linear systems with constant coefficients
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We have known that
X
c1 X 1
c2 X 2
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若特征值1, 2,...n互不相同，
则特征向量K1,
K2
,
,
K
线性无关
n
x1K1 x2K2 xnKn 0 (1)
用A乘两端, x11K1 x22K2 xnnKn 0 (2)
(2) (1)n x1(1 n )K1 x2 (2 n )K2 xn1(n1 n )Kn1 0
(完整word版)齐次和非齐次线性方程组的解法(整理定稿)
线性方程组解的构造（解法）一、齐次线性方程组的解法【定义】r ()=r<n, 若AX=0（A为m n矩阵）的一组解为ξ1,ξ2,L ,ξn r, 且知足：A(1)ξ1,ξ2,L, ξn r线性没关 ;(2)AX=0的) 任一解都可由这组解线性表示 .则称ξ,ξ,L ,ξ为 AX=0的基础解系 .12n r称 X k1ξ1k2ξ2L k n rξn r为 AX = 0的通解。
此中 k1, k2, , k n-r为随意常数).齐次线性方程组的重点问题就是求通解，而求通解的重点问题是求基础解系.【定理】若齐次线性方程组AX=0有解，则(1)若齐次线性方程组AX=0（ A 为m n 矩阵）知足 r ( A)n ，则只有零解；(2)齐次线性方程组有非零解的充要条件是 r ( A) n .（注：当 m n 时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数队列式 A 0.）注： 1、基础解系不独一，可是它们所含解向量的个数同样，且基础解系所含解向量的个数等于n r ( A) .2、非齐次线性方程组AX B 的同解方程组的导出方程组（简称“导出组”）为齐次线性方程组AX O 所对应的同解方程组。
由上述定理可知，若 m 是系数矩阵的行数（也即方程的个数）， n 是未知量的个数，则有：（ 1）当 m n 时， r ( A) m n ，此时齐次线性方程组必定有非零解，即齐次方程组中未知量的个数大于方程的个数就必定有非零解；（ 2）当m n 时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数队列式 A0 ；（ 3）当m n 且 r ( A) n 时，若系数矩阵的队列式 A 0 ，则齐次线性方程组只有零解；（ 4）当m n 时，若 r ( A)n ，则存在齐次线性方程组的同解方程组；若 r ( A)n ，则齐次线性方程组无解。
1、求AX = 0 （ A 为m n矩阵）通解的三步骤（1）A行 C （行最简形）;写出同解方程组CX =0.(2)求出 CX =0的基础解系ξ1,ξ2,L,ξn r;(3)写出通解X k1ξ1k2ξ2 L k n rξn r此中 k1, k2, , k n-r为随意常数.2x 1 3x 2 x 3 5x 4 0, 3x 1 x 2 2x 3 x 4 0,【例题 1】 解线性方程组x 2 3x 3 6x 4 0,4x 1 x 12x 24x 37x 40.解法一： 将系数矩阵 A 化为阶梯形矩阵明显有 r ( A)4 n ，则方程组仅有零解，即x 1 x 2 x 3 x 4 0 .解法二： 因为方程组的个数等于未知量的个数（即 mn ）（注意： 方程组的个数不等于未知量的个数 （即m n ），不能够用队列式的方法来判断） ，进而可计算系数矩阵 A 的队列式：2 3 1 5 3 1 2 1 A1 3 327 0 ，知方程组仅有零解，即 x 1 x2 x3 x4 0 .4 6 1247注： 此法仅对 n 较小时方便x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 0, 3x 12x 2 x 3 x 4 3x 5 0,【例题 2】 解线性方程组x 2 2 x 3 2x 4 6x 5 0,5x 1 4x 23x 33x 4x 50.解： 将系数矩阵 A 化为简化阶梯形矩阵可得 r ( A) 2n ，则方程组有无量多解，其同解方程组 为x 1 x 3x 4 5x 5 ,（此中 x 3 ， x 4 ， x 5 为自由未知量）x 22x 3 2 x 46x 5.令 x 3 1 ， x 4 0 ， x 5 0 ，得 x 1 1, x 2 2 ； 令 x 3 0 ， x 4 1， x 5 0 ，得 x 1 1, x 2 2 ； 令 x 30 ， x 4 0 ， x 51，得 x 1 5, x 26 ，于是获得原方程组的一个 基础解系 为1 1 5 22611，20，30.0 1 01所以，原方程组的 通解 为Xk 1 1 k 2 2 k 3 3 （ k 1 ， k 2 ， k 3 R ） .二、非齐次线性方程组的解法求 AX = b 的解（ A m n, r ( A)r ）用初等行变换求解，不如设前r 列线性没关c 11 c12L c1 rL c1n d1 c22 L c2r L c2 n d2 O M M M行c rr L crn d r此中 c ii0(i 1,2,L , r ), 所以知( AMb)dr 1 0 M 0(1) d r 10 时,原方程组无解.(2)d r 1 0, r n 时,原方程组有独一解.(3) d r 10, r < n 时,原方程组有无量多解.其通解为 X0k1ξ1 k2ξ2 L kn rξn r， k1 , k2,L , k n r为随意常数。
线性代数 齐次线性方程组
3 1 1 0 5 5
1.
（２）当 1时，方程组的矩阵为
1 2 2 1 0 0
A
2 3
1 1
1 1
0 0
1 0
1 0
所以 R A 2
则线性方程组基础解系所含向量的个数为3－2＝1个，
R B 1 B 0.
2021/7/3
15
例5 设A为m×n的矩阵，证明：r(A)=r(ATA)
2
3
6
1
2 0 1 5 3
1
6
4 1
4
2021/7/3
1
0
1 2
0
7
2
0
1
3 4
0
1 4
0 0
0 0
0 0
1 0
2 0
12
x1
1 2
x3
7 2
x5
所以
x2
3 4
x3
1 4
x5
x3 x3
x4
2 x5
x5 x5
1
2
7 2
3 1
基础解系为1
4 1
1
n
易知：方程组的前r个未知量可由后n－r个未知量
唯一确定.
2021/7/3
9
1
c 1
c
r
r
而
r 1
；
r
1
.
1
c1 ,
r2
r2
, r cr .
n
n
故 . 即 r 1 1 r22 nnr .
所以 1,2 , ,n是r 齐次线性方程组解空间的一个基.
1
令（４）为 k11 k22 knr nr
Word可编辑_常微分方程理论知识与算法 常系数线性方程的解法
第二节常系数线性方程的解法由前面的讨论，我们知道关于线性方程的通解的结构问题，从理论上说，可以认为已经解决了，但是求方程通解的方法还没有具体给出。
事实上，对于一般的线性方程是没有普遍的解法的。
本节介绍求解问题能够彻底解决的一类方程——常系数线性方程及可以化为这一类型的方程。
我们将看到，为了求得常系数齐线性方程的通解，只须解一个代数方程而不必通过积分运算。
对于某些特殊的非齐线性方程也可以通过代数运算和微分运算求得它的通解。
所以我们一定要记住常系数线性方程固有的这种简单特性。
这一节的内容完全可以和线性振动理论（质点振动理论、电磁振荡理论等）结合起来学习。
从这里我们可以清晰地看出，物理问题提供微分方程以很直观的实际背景，而微分方程为更深刻地立即物理现象提供有力的工具，这是我们学习这一节要注意的问题。
讨论常系数线性方程的解法时，需要涉及到实变量的复值函数及复指数函数的问题，我们在4.2.1中预先给以介绍。
4.2.1复值函数与复值解如果对于区间中的每一实数，有复数与它对应，其中和是在区间上定义的实函数，是虚数单位，我们就说在区间上给定了一个复值函数。
如果实函数，当趋于时有极限，我们就称复值函数当趋于时有极限，并定义如果，我们就称在连续。
显然，在连续就相当于、在连续。
当在区间上每点都连续时,就称在区间上连续。
如果极限存在,就称在有导数（可微）。
且记此极限为或者。
显然，在处有导数相当于、在处有导数，且如果在区间上每点都有导数，就称在区间上有导数。
对于高阶导数可以类似地定义。
设、是定义在上的可微函数,是复值常数，容易验证下列等式成立：在讨论常系数线性方程时，函数将起着重要的作用，这里是复值常数。
下面给出它的定义，并且讨论它的简单性质。
设是任一复数，这里是实数，而为实变量，我们定义由上述定义立即推得如果以表示复数的共轭复数，那末容易证明=此外，函数还有下面重要性质：（1）事实上，记，，那末由定义得到（2），其中为实变量。
线性代数——齐次线性方程组
综上可知方程组 Ax = 0与( AT A) x = 0同解, 因此 R( AT A) = R( A).
�
例1 求齐次线性方程组 x 1 + x 2 x 3 x 4 = 0, 2 x 1 5 x 2 + 3 x 3 + 2 x 4 = 0, 7x 7x + 3x + x = 0 1 2 3 4 的基础解系与通解. 解 对系数矩阵 A作初等行变换,变为行最简矩 阵,有
1 1 1 1 A = 2 5 3 2 7 7 3 1 1 0 2 7 3 7 ~ 0 1 5 7 4 7 , 0 0 0 0
b1,n r x n br , n r x n
所以 ξ 与 η 都是此方程组的解 , λ1 c1 λ c r r 由 ξ = λ r + 1 η = λ r + 1 λ1 = c1 , λ λ r+2 r+2 λ λ n n
现对 x r +1 ,
, x n 取下列 n r 组数:
0 1 , 0 0 0 , . 1
b1 ,n r xn br ,n r xn
xr +1 1 xr + 2 0 = , x 0 n
x1 = b11 xr +1 分别代入 x = b x r 1 r +1 r
=
2 7 5 7 ,ξ 1 0
2
=
3 7 4 7 , 0 1
2 7 3 7 x1 x2 5 7 4 7 = c 1 1 + c 2 0 , ( c 1 , c 2 ∈ R ). x3 0 1 x4
例2 解线性方程组
+ ktη t
, k n r 是任意常数 .
的一组基础解系, 那么, Ax = 0 的通解可表示为
线性常系数齐次方程
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G(µ) ≡ µn + b1µn−1 +L+ bn−1µ + bn = 0
3.3.11） （3.3.11）
由（3.3.7），（3.3.9），（3.3.10）， 3.3.7），（3.3.9），（3.3.10）， ），（3.3.9），（3.3.10 （3.3.11）得： 3.3.11）
显然它有k 显然它有k个解 1 t, t 2 ,L k−1 ，且它们线性无 , t 从而可得：特征方程的k重零根对应方程 关，从而可得：特征方程的k重零根对应方程 （3.3.5）k个线性无关解为 ） 个线性无关解为
2 k−1
n
n−1
k
1 t, t ,Lt ,
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λt （2）若 λ ≠ 0 我们作变换 x = ye 1，并代 ） 1
e =e
λt
λt
e
(λ +λ2 )t 1
= e +e
λ1t
λ2t
d λt λt (e ) = λe dt
我们仅证明性质3 我们仅证明性质3 性质
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d λt d (α+iβ )t (e ) = [e ] dt dt
d αt = [e (cos βt + i sin βt)] dt
=αe (cos βt +i sin βt) + e (−β sin βt + βi cos βt)
2 3
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常系数齐次线性方程
算性质来求解方程。
矩阵法可以用于求解多变量线性方程组，并且可以方便地处理
0程的应用
在物理中的应用
描述物体运动规律
常系数齐次线性方程可以用来描 述物体在直线运动中的速度和加 速度之间的关系，例如自由落体 运动。
电磁波传播
在电磁波的传播过程中，常系数 齐次线性方程可以用来描述波动 方程，如电磁波在真空中的传播。
04
常系数齐次线性方程的扩展
变系数线性方程
变系数线性方程是指方程中的系数不再是常数，而是随着自变量的变化而变化。这类方程在物理、工 程和经济等领域有广泛的应用。求解变系数线性方程的方法通常包括分离变量法、变量代换法、积分 因子法等。
求解变系数线性方程的关键是找到一种方法，将原方程转化为一个或多个常系数线性方程，然后利用 已知的求解方法求解。
方程的表示形式
一般形式
ax+by+c=0
二元一次方程
例如，方程x+2y=0表示一个二元一次方程，其中 x和y是未知数，a=1，b=2，c=0。
一元一次方程
例如，方程3x+5=0表示一个一元一次方程，其中 x是未知数，a=3，b=0，c=5。
02
常系数齐次线性方程的解法
公式法
01
02
03
公式法是解常系数齐次 线性方程的一种常用方 法，通过对方程进行因 式分解，得到通解的公
(3x - 5y = 12)的解为：(x = frac{12 + 5y}{3})
(4x - y = 5)的解为：(y = 4x - 5)
THANKS
感谢观看
热传导
在热传导过程中，常系数齐次线 性方程可以用来描述温度随时间 和空间的变化规律。
常微分方程4.4常系数齐线性方程组
目录
• 常系数齐线性方程组的定义 • 常系数齐线性方程组的解法 • 常系数齐线性方程组的应用 • 常系数齐线性方程组的扩展
01
常系数齐线性方程组的 定义
定义与特性
定义
常系数齐线性方程组是由n个一阶常微分方程组成的方程组，形如$y' = f(x) = a_{1}y + a_{2}y' + ldots + a_{n}y^{(n-1)}$，其中$a_{1}, a_{2}, ldots, a_{n} FOR WATCHING
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02
常系数齐线性方程组的 解法
特征值与特征向量
特征值
对于常系数齐线性方程组，其特征值是方程组的解，对应于特征值的线性无关的解称为特征向量。
特征向量的求解
通过将特征值代入方程组，可以得到特征向量。
方程组的解法
代数解法
通过对方程组进行代数运算，求解出方 程组的解。
VS
微分方程解法
通过对方程组进行微分运算，求解出方程 组的解。
04
常系数齐线性方程组的 扩展
高阶线性方程组
01
高阶线性方程组是指微分方程中未知数的导数次数 高于一次的方程组。
02
高阶线性方程组在物理、工程和经济学等领域有广 泛应用。
03
解决高阶线性方程组的方法包括分离变量法、幂级 数法等。
非线性方程组
01 非线性方程组是指微分方程中包含未知数及其导 数的非线性项的方程组。
解的稳定性与不稳定性
要点一
稳定性
当方程组的解在时间变化过程中保持稳定时，称为稳定。
要点二
不稳定性
当方程组的解在时间变化过程中发生振荡或发散时，称为 不稳定。
齐次线性方程组
齐次线性方程组(2)X b=A 它可写作矩阵形式：的方程组形如)(122112222212111212111⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++mn m n m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 称为线性方程组n m ij a A ⨯=)(是系数矩阵其中T m T n b b b x x x ),,(),,(2121 ==b X 称)(b A B =为增广矩阵,通常写成),()|(b A b A 或一、线性方程组的概念b=0时所对应的方程组为齐次线性方程组b≠0时所对应的方程组为非齐次线性方程组当,k x ,,k x ,k x ,,k ,,k ,k x ,,x ,x nn 2211n21n 21=== 则我们称变成恒等式若能使得每一个等式都每一个方程后代入方程组中的分别用数是方程组的一个解方程组的解的全体组成一个集合，我们称这集合为方程组的解集合。
所谓解方程组实际上就是求出它的解集合。
)1(221122221211212111⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++n m n m m n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a齐次线性方程组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n x x x 21X 若令,a a a a aa a a a A mn m m n n ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= 212222111211则（1）可写成矩阵形式:(2)0X =A 一、齐次线性方程组则(1) 也可写成向量形式:nj a a a mj j j j ,,2,121 =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=α若令系数矩阵的列向量组）的为齐次线性方程组（即向量组1,,21n ααα 那么齐次线性方程组在什么条件下有非零解？当方程组有非零解时，如何求出其所有的解？是齐次线性方程组的解，称为零解.T )0,0,0( =X 显然(3)0...n 2211=+++αααn x x x由(3)式可知:如果方程组(2)只有零解,即等式AX =0有非零解⇔R （A ）< n齐次线性方程组AX =0只有零解⇔R （A ）= n齐次线性方程组n ααα ,,21线性无关,那么R(A)=n 。
微分方程——常系数齐次线性
3. 当 p 2 4 q 0 时, 特征方程有一对共轭复根
这时原方程有两个复数解:
y1 e ( i ) x e x (cos x i sin x ) y2 e ( i ) x e x (cos x i sin x )
e
r1 x
[
2 ( u 2 r1u r1 u )
p(u r1u ) q u 0
p r1 q ) u 0
u ( 2 r1
2 p ) u ( r1
是特征方程的重根
u 0
取 u = x , 则得 y2 x e r1 x , 因此原方程的通解为 y ( C1 C2 x ) e r1 x
机动 目录 上页
解的特征 解的特征
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例4.
的通解.
r 4 2 r 3 5 r 2 0, 特征根: 解: 特征方程 r1 r2 0, r3 , 4 1 2 i
因此原方程通解为 e x ( C3 cos 2 x C4 sin 2 x ) y C1 C2 x 例5. 解方程 y (5) y ( 4) 0 .
d4 w 例6. 解方程 4w 0 ( 0 ). dx 4 解: 特征方程: (r 2 2 ) 2 2 2 r 2 0
即
( r 2 2 r 2 )( r 2 2 r 2 ) 0
其根为
r1 , 2
方程通解 :
2
( 1 i ), r3 , 4
C2 e
a x
作业 P310 1 (3) , (6) , (10) ;
阶常系数齐次线性微分方程
故excosx和exsinx也是方程的解
因为函数y1e(i)x和y2e(i)x都是方程的解
而
)
(
2
1
cos
2
1
y
y
x
e
x
+
=
b
a
,
)
(
2
1
sin
2
1
y
y
i
x
e
x
-
=
b
a
,
函数excosx与exsinx的比值为cotx 不是常数 故excosx和exsinx是方程的线性无关解
ex[(C1C2x Ck xk1)cosx(D1D2x Dkxk1)sinx]
单实根r对应于一项
一对单复根r1 2i 对应于两项
k重实根r对应于k项
一对k重复根r1 2i 对应于2k项
erx(C1C2x Ckxk1)
ex(C1cosxC2sinx)
Cerx
例4 求方程y(4)2y5y0 的通解
C
y
1
1
2
1
+
=
解
微分方程的特征方程为
n阶常系数齐次线性微分方程
方程 y(n)p1y(n1)p2 y(n2) pn1ypny0称为n 阶常系数齐次线性微分方程 其中 p1 p2 pn1 pn都是常数
引入微分算子D及微分算子的n次多项式 L(D)Dn p1Dn1p2 Dn2 pn1Dpn
yex(C1cosxC2sinx)
特征方程的根与通解的关系
方程ypyqy0的通解
方程r2prq0的根的情况
x
r
x