高等数学二阶常系数线性齐次方程
设 y erx , 将其代入上方程, 得
(r 2 pr q)erx 0
erx 0,
故有 r 2 pr q 0
特征方程
由此可见 只要r满足代数方程r2prq0 函数yerx就是
微分方程的解特征方程根称为特征根.
1 特征方程具有两个不相等的实根 r1 与 r2，
若y1、y2线性无关, 则 y C1y1 C2 y2 方程（1）的 通解.
由此可知知，欲求齐次线性方程（１）的通解,只须求 出它的两个线阶常系数齐次线性方程解法
y py qy 0
特点 未知函数与其各阶导数的线性组合等于0 即函数和其各阶导数只相差常数因子
解得 r1 = - 1， r2 = 3, 所 以 方 程 的 通 解 为 y C1e x C2e3x .
例2 求方程 y 2 y 5 y 0 的通解. 解 特征方程为 r 2 2r 5 0 ,
解得 r1，2 1 2i ,
故所求通解为 y ex (C1 cos 2x C2 sin 2x).
第四节 二阶常系数线性齐次微分方程
一、二阶常系数线性齐次微分方 程解的结构
二、二阶常系数线性齐次微分方程的 解法
定义
形如 y p( x) y q( x) y f ( x) 的微分方程称为二阶
线性微分方程，其中 p( x), q( x), f ( x) 为自变量 x 的连
续函数。 当 f (x) 0 称为二阶线性齐次微分方程.
y C1er1 x C2er2 x y (C1 C2 x)er2 x
y eax (C1 cos bx C2 sin bx)
以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .
当 f ( x) 0 称为二阶线性非齐次微分方程.
y + py + qy = 0 为二阶常系数线性齐次方程
一、二阶常系数线性齐次微分方程解 的结构
1、函数的线性相关与无关
设函数
y1( x),
y2 ( x)
满足
y1 y2
常数 ，则称
y1( x),
y2 ( x) 线性无关，否则，称线性相关。
例 y1 x, y2 2x 线性相关； y1 e x , y2 2x 线性无关.
利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解:
y1
1 2
( y1
y2 )
ea x cos b x
y2
1 2i
( y1
y2)
ea
x
sin
b
x
原方程的通解为 y eax (C1 cosbx C2 sinbx).
例 1 求方程 y - 2y - 3y = 0 的通解.
解 特征方程为 r2 - 2r – 3 = 0,
例 3 求方程 y - 4y + 4y = 0 的满足初始条件 y(0) = 1， y(0) = 4 的特解.
解
特征方程为 r2 - 4r + 4 = 0，
解得 r1 = r2 = 2,
所以通解为 y （C1 C2 x)e2x ,
求得 y C2e2x 2(C1 C2 x)e2x . 将 y(0) = 1，y(0) = 4 代入上两式，得 C1 = 1，C2 = 2，
二阶常系数线性齐次微分方程
y + py + qy = 0 （1 ） 2、二阶常系数线性齐次微分方程解的结构
定理 如果函数 y1 与 y2 是线性齐次方程（1 ） 的两个解，则函数 y = C1 y1 + C2 y2 仍为该方程的解， 其中 C1， C2 是任意常数. 问题:y C1y1 C2 y2一定是通解吗？满足什么条件就是通解？
y C1erx C2 xerx (C1 C2 x)erx .
3 特征方程具有一对共轭复根 r1 = a + ib 与 r2 = a – ib
这时原方程有两个复数解:
y1 e(a i b ) x ea x (cos b x i sin b x ) y2 e(a i b ) x ea x (cos b x i sin b x )
因此，所求特解为 y = (1 + 2x)e2x.
小结
二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤: （1）写出相应的特征方程;
（2）求出特征根;
（3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.
y py qy 0 r 2 pr q 0
特征根的情况
通解的表达式
实根r1 r2
实根r1 r2
复根r1,2 a ib
y1 e r1x , y2 e r2x , 两个线性无关的特解
原方程的通解为 y C1er1x C2er2x ; 2 特征方程具有两个相等的实根，即r1 = r2 = r. 得到方程的一个特解 y1 = erx. 还可得到方程 且与 y1 = erx 线性无关的特解 y2 = xerx.
原方程的通解为
高等数学11-5.1二阶常系数齐次线性微分方程(18)
三、小结
高等数学
二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤: （1）写出相应的特征方程; （2）求出特征根; （3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.
(见下表)
y py qy 0
高等数学
r 2 pr q 0
特征根的情况
实根r1 r2 实根r1 r2
复根r1,2 i
通解的表达式
因此 u( x) 0
2r1 p 0
可取满足上式的简单函数 u( x) x
高等数学
由此得到方程 (1)的另一个与 y1 线性无关的解
y2
xe
r
1
x
于是，方程(1)的通解为 :y C1er1x C2 xer1 x (C1 C2 x)er1 x
3 当 p2 4q 0时,
特征方程有一对共轭复根 :
便是( 1 )的通解, 其中C1 , C 2是任意常数。
如何找出齐次方程的两个线性无关的解呢?
高等数学
下面介绍求解的欧拉指数法 ---特征方程法
由于当r为常数时,指数函数y erx及其各阶导数,
都只相差一个常数因子r, 根据指数函数的这个特点, 我们用y erx来尝试, 看能否取到适当的常数 r, 使y erx 满足方程(1)。
第五节 二阶常系数线性 微分方程
一、二阶常系数齐次线性方程
二、二阶常系数非齐次线性方程
高等数学
一、二阶常系数齐次线性方程解法
设二阶线性常系数齐次方程为
y py qy 0 (1) 由上一节的讨论可以知道，求出齐次方程的通解的 关键是找出方程的两个线性无关的特解 y1 , y2
这样
y C1 y1 C2 y2
y1线性无关的解
y2 ,
为此,
高数微分方程公式大全
高数微分方程公式大全微分方程是数学中的重要概念，包含了许多公式和方法。
下面我将从不同角度介绍一些常见的高等数学微分方程公式。
1. 一阶微分方程：可分离变量方程公式，dy/dx = f(x)g(y)，可通过分离变量并积分求解。
齐次方程公式，dy/dx = f(x)/g(y)，可通过变量代换或分离变量求解。
线性方程公式，dy/dx + P(x)y = Q(x)，可通过积分因子法或常数变易法求解。
2. 二阶微分方程：齐次线性方程公式，d²y/dx² + P(x)dy/dx + Q(x)y = 0，可通过特征方程法求解。
非齐次线性方程公式，d²y/dx² + P(x)dy/dx + Q(x)y = f(x)，可通过常数变易法或待定系数法求解。
欧拉方程公式，x²d²y/dx² + pxdy/dx + qy = 0，可通过变量代换或特征方程法求解。
3. 高阶微分方程：常系数线性齐次方程公式，andⁿy/dxⁿ +an⁻¹dⁿ⁻¹y/dxⁿ⁻¹ + ... + a1dy/dx + a0y = 0，可通过特征方程法求解。
常系数线性非齐次方程公式，andⁿy/dxⁿ +an⁻¹dⁿ⁻¹y/dxⁿ⁻¹ + ... + a1dy/dx + a0y = f(x)，可通过常数变易法或待定系数法求解。
常系数二阶齐次方程公式，d²y/dx² + py' + qy = 0，可通过特征方程法求解。
4. 常见的变换和公式：指数函数变换，对于形如y = e^(kx)的方程，可通过变量代换进行求解。
对数函数变换，对于形如y = ln(x)的方程，可通过变量代换进行求解。
三角函数变换，对于形如y = sin(kx)或y = cos(kx)的方程，可通过变量代换进行求解。
常用公式，如指数函数的导数公式、对数函数的导数公式、三角函数的导数公式等。
同济大学高等数学§4.2(续)二阶常系数线性微分方程
二阶常系数非齐次线性方程特解的解法
自由项 f (x)
方程 aybycy f ( x) 的特解 y
ex pm ( x)
(1) 不是特征方程的根 (2) 是特征方程的单根
y Qm ( x)ex
y x Qm ( x)ex
(3) 是特征方程的重根 y x2 Qm ( x)ex
ex[Pm ( x)cosx Pn( x)sinx]
解：由方程的特解可知齐次方程对应的特征方程 的特征根为 r1,2 1 ，r3 1 ， 于是特征方程为(r1)2(r1)0 ，
即 r 3 r 2 r 10 ，
故三阶常系数齐次微分方程为 y y y y0 。
故应选（B）。
（三）二阶常系数线性非齐次微分方程的解法
设二阶常系数线性齐次方程为ay by cy 0
即 r2(r2 2r5)0 ， 特征根为 r1,2 0 （2 重）；r3,4 12i 。
故方程的通解为 yC1C2 xe x (C3cos2xC4sin2x) 。
例 6．具有特解形式 y1e x ， y2 2xe x ， y3 3e x 的 三阶常系数齐次微分方程是（ ）
（A） y y y y0 ； （B） y y y y0 ； （C） y6 y11y6 y0 ； （D） y2 y y2 y0 。
方程②是一个一元 n 次方程，有 n 个根 。类似二阶常系 数线性齐次方程，相应地可得到方程①的 n 个线性无关 的解，把这 n 个 线 性 无 关的解分别乘以任意常数后相加， 即得方程①的通解。
特征方程的根 方程①通解中的对应项
单实根 r
给出一项 Cerx
k 重实根r
给出k 项 erx (C1 C2xCk xk1)
把 Qm ( x) 代入 ④ 式，比较等式两端x 同次幂 的系数， 就得到以 A , A1,,Am1, Am 作为未知数的m 1 个方程
高等数学常系数齐次线性微分方程教案
u(x) x，
y2
xe r2 x
，
y2 y1
xer1x er1x
x
不是常数， y2
与
y1
线性无关，因此方
程的通解为： y C1er1x C2xer1x
(3)特征方程有一对共轭复根 r1, 2i 时 方程（１）有两个解 ye(i)x、
( i ) x
ee ye(i)x，，， ( i ) x
常数 ，所以 y1和y2 线性无关。方程（１）的通解为
其中 er1x 0 ，由于 r1 是特征根，故 r2prq0，又由于 r1 是重根，故 2r1 p 0 。
所以上式只剩下 u''(x) 0 ，积分两次便可求出 u(x) ， u'(x) C1，
u(x) C1x C2 ，我们只需求出一个特定的 u(x) ，现取 C1 1,C2 0 得
方程的线性无关解
因此方程的通解为 yex(C1cosxC2sinx )
求二阶常系数齐次线性微分方程 ypyqy0 的通解的步骤为
第一步 写出微分方程的特征方程 r2prq0；
2
第二步 求出特征方程的两个根 r1、r2 第三步 根据特征方程的两个根的不同情况 写出微分方程的通解
特征方程 r 2 pr q 0 的根
合，再找出两个实的线性无关的解。利用欧拉公式 得
y1e(i)xex(cosxisinx)
y2e(i)xex(cosxisinx)
y1y22excosx
ex
c
osx
1 2
(
y1
y2)
y1y22iexsinx
ex
sin
x
1 2i
(
y1
y2)
故知 excosx、y2exsinx 也是方程的解 可以验证 y1excosx、y2exsinx 是
二阶常系数线性齐次递归数列通项的求解
2 3
n
）
圯 由a1=1，a2=
5 3
得
圯圯 a1=α+β·
2 3
=1
：圯 圯圯 a2=α+β·（
2 3
2
）=
5 3
圯
αβ==3-3，
∴an=3-3（
2 3
n
）。
知识链接： 形式幂级数又称作母函数。 其一般的形式如
∞
∞
∑ ∑ n
∞
n
下：G（x）= anx ，我们给定数列{an}n=0，它所造出的G（x）= anx
参考文献汪晓梦极限思想的形成发展及其哲学意义中共合肥市委党校学报陈纪修于崇华金路数学分析北京高等教育出版社同济大学数学系高等数学第六版北京高等教育出版社本文得到江西省高等教育教学改革课题项目编号一资助
○ 数学教学与研究 2009年第33期（上卷）
周刊
二阶常系数线性齐次递归数列通项的求解
尤田
（泗阳致远中学，江苏 泗阳 223700）
n=0
n=0
则称为数列的母函数。 关于母函数的运算我们要先记住：
（1）
1
23
=1+x+x +x +…
1-x
（2）
1
2
=1+2x+3x +…
2
（1-x）
（3）
1
=1+nx+
n（n+1）
2
x+
n（n+1）（n+2）
3
x +…
n
（1-x）
2！
3！
r
（4）（1+x） =1+rx+
考研数学二公式高数线代(整理)技巧归纳(精选.)
高等数学公式一、常用的等价无穷小当x →0时x x x x x （1+x ） ~-11x a(1+x )α-1 ~ αx (α为任意实数，不一定是整数)1x ~21x 2增加x x ~61x 3 对应 x –x ~ 61x 3x –x ~ 31x 3 对应 x - x ~ 31x 3二、利用泰勒公式= 1 + x + +！22x o （2x ） ） （33 o !3sin x x x x +-=x 1 – +！22x o （2x ） （1+x ）=x – +22x o （2x ）导数公式： 基本积分表：三角函数的有理式积分：ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x Cx dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， 一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式：xxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x xxx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim0==+=∞→→e xxxx x x·和差角公式： ·和差化积公式：·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（）公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(μμμαααααααααα23333133cos 3cos 43cos sin 4sin 33sin tg tg tg tg --=-=-=αααααααααααααα222222122212sin cos sin 211cos 22cos cos sin 22sin tg tg tg ctg ctg ctg -=-=-=-=-==)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑ΛΛΛ中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。
二阶常系数齐次线性微分方程的通解
二阶常系数齐次线性微分方程的通解这类方程很特殊，前缀多，范围小，但在物理中经常见到，所以单独讨论。
我们先从二阶线性微分方程入手，y''+P(x)y'+Q(x)y+R(x)=0，若R(x)=0，则为二阶线性齐次微分方程。
进一步地，若系数和x无关，都为常数，即为常系数二阶线性齐次微分方程y''+py'+qy=0.求解这个方程，可以先求出它的两个线性独立的特解，然后通过解的叠加原理得到通解。
设解的形式为y=e^{rx}代入方程即得到(r^2+pr+q)e^{rx}=0 \Rightarrow r^2+pr+q=0.这个等式称为微分方程的特征方程，可见特征方程是一个一元二次代数方程，其解可由求根公式得到。
需要分三种情况讨论：1）特征方程有两个不等实根r_1 \ne r_2则两个特解为y_1=e^{r_1x},y_2=e^{r_2x}，而\frac{y_1}{y_2} \ne C，故通解为y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}.2）特征方程有一对共轭复根r_1=a+bi,r_2=a-bi,b\ne0则两个特解为y_1=e^{ax+bxi},y_2=e^{ax-bxi}，由欧拉公式有y_1=e^{ax}[cos(bx)+isin(bx)],y_2=e^{ax}[cos(bx)-isin(bx)].特解含有复数部分，我们希望解是实的，运用解的叠加原理，可以凑出新的两个特解y_{11}=\frac{1}{2}(y_1+y_2)=e^{ax}cos(bx),y_{12}=\frac{1}{2}(y_1-y_2)=e^{ax}sin(bx).它们也线性无关，因此通解为y=e^{ax}[C_1cos(bx)+C_2sin(bx)].3）特征方程具有两个相等实根r_1=r_2只能得到一个特解y_1=e^{r_1x}.设\frac{y_2}{y_1}=u(x) \Rightarrow y_2=y_1u(x),代入原微分方程可得到u''=0.不放取u=x作为第二个特解。
高等数学公式大全
高等数学公式大全高等数学是一个非常广泛的学科，包含了数学中的许多基本概念和方法。
这里我们将为大家介绍高等数学中的各种公式。
1.微积分微积分是高等数学中最重要的概念之一。
它是研究函数的变化的一种方法，包括微分和积分。
以下是微积分中的一些重要公式：（1）导数：如果$f(x)$是一个可导函数，则$f(x)$在$x=a$处的导数为$f'(a)=\lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$。
（2）高阶导数：如果$f(x)$是一个可导函数，则$f(x)$的$n$阶导数为$f^{(n)}(x)=\frac{d^{n}f(x)}{dx^{n}}$。
（3）链式法则：如果$y=f(u)$和$u=g(x)$都是可导函数，则$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$。
（4）积分基本定理：如果$f(x)$是一个可积函数，则$\int_{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)$，其中$F(x)$是$f(x)$的一个原函数。
（5）分部积分法：如果$u(x)$和$v(x)$都是可积函数，则$\int u(x)v'(x)\,dx=u(x)v(x)-\int v(x)u'(x)\,dx$。
2.矩阵和行列式矩阵和行列式是高等数学中的另一个重要概念。
它们在线性代数中扮演着重要的角色。
以下是矩阵和行列式中的一些重要公式：（1）矩阵加法和减法：如果$A$和$B$是两个相同阶数的矩阵，则$A+B$和$A-B$也是这个阶数的矩阵，定义为$(A+B)_{i,j}=A_{i,j}+B_{i,j}$和$(A-B)_{i,j}=A_{i,j}-B_{i,j}$。
（2）矩阵乘法：如果$A$是$m\times n$矩阵，$B$是$n\times p$矩阵，$C$是$m\times p$矩阵，则$C_{i,j}=\sum_{k=1}^{n}A_{i,k}B_{k,j}$。
《二阶常系数齐次线性微分方程》教学设计——以智慧平台为依托
《二阶常系数齐次线性微分方程》教学设计——以智慧平台为依托摘要：从教学目标设定、教学对象分析、教学内容选取、教学保障、教学实施等方面，以《二阶常系数齐次线性微分方程》为例，着重针对学员的常见问题给出相应的对策，重点突出“学为中心、能力为本”的设计理念。
1.教学目标设定知识目标：掌握二阶常系数齐次线性微分方程的求法；能力目标：提升学员观察、分析以及解决实际问题的能力；素质目标：体验特征根法所蕴含的数学思想，培养从猜想到验证的思维品质。
2.教学对象分析教学对象是本科一年级学员。
知识储备：前期已经学习过不定积分的相关知识，对微分方程的通解和特解有了一定的认识；认知特点：在上大学之前，学员形成了以常量数学为对象的思维定势。
对方程有直观的认识，但对于如何求解微分方程有一定的障碍；学习态度：有进一步探究知识的求知欲，但部分学员有畏难情绪，缺乏学习积极性和主动性。
3.教学内容选取内容取自同济大学第七版教材《高等数学》第七章第七节。
高阶微分方程的求解通常都很难，除了第五节利用降阶法求解三类高阶微分方程，第六节对于高阶线性微分方程解的结构给我们二阶常系数齐次线性微分方程提供了方法指导。
本节课的教学重点是二阶常系数齐次线性微分方程的定义、解法、应用，二阶常系数齐次线性微分方程的解法与应用为教学难点。
4.教法设计以问题为导向，通过数形结合、合作探究、互动与启发引导相结合多措并举，引导学员找到微分方程的解法，同时鼓励学员运用所学知识解决实际问题，达到学以致用的目的。
5.教学保障智慧教室1间6.常见问题及解决方法具体实施中，着重介绍针对学员出现的常见错误，给出相应的解决办法。
常见问题1：学员学习积极性不高解决方法：（1）开篇以某次海上游泳训练引入，几名学员为称得一直径为的圆柱形浮标的质量，设计了如下实验：首先,一名学员将浮标铅直地放入水中，稍向下压后突然放开，浮标在水中开始上下振动；同时，另一名学员在一旁用秒表进行计时，测得浮标的振动周期为。
高等数学-十九 二阶线性常系数齐次微分方程
y1 y2
若 y 1 , y 2 不是线性无关 即
常数
y1 y2
k
(常数)
yC1y1C2y2 C1ky2C2y2 (C1kC2)y2 C y 2
这样 yC1y1C2y2 只含有一个任意常数,
就不是方程(1)的通解。
定理3 若 y 是二阶线性非齐次方程(2)的特解,
y 是方程(2)所对应的齐次方程的通解，则
是该方程的两个解，
因为
y1 ex y 2 xex
1 x
即 y 1 , y 2 线性无关,根据定理2知，
yc1ex c2xex 是该方程的通解。
例2 验证
yx3ex 是 y2yy2xex 3
的一个特解.并根据例1的结果求其通解.
验证 y 1 (3x2ex x3ex) ex (x2 1 x3)
ex(cosxisinx)
y1
1 2
( y1
y2 )
1[ex(cosxisinx)]
2
ex(cosxisinx)]ex cosx
y2
1 2i
(
y1
y2 )
1[ex(cosxisinx)]
2i
1ex(cosxisinx)] ex sinx
2i
y c 1 e xc o sx c 2 e xsinx
1 2
b 2a
(2a1b0) y1 e1x
还要找一 个与 y 1 线性无关的另一 个解 y 2
设
y2 y1
u(x)
y 2 u(x) y1 u(x)e1x
y 2 u(x)e1xu(x)1e1xe1x[u(x)u(x)1]
y 2 1e1x[u(x)u(x)1]e1x[u(x)1u(x)]