二阶线性微分方程
二阶线性微分方程组
二阶线性微分方程组在数学领域中，二阶线性微分方程组是一种非常重要的方程形式，它在物理学、工程学和统计学等领域中都得到了广泛的应用。
本文将对二阶线性微分方程组进行详细地介绍及分析。
一、基本概念二阶线性微分方程组是指由二元函数所形成的方程组，其中每个函数都是自变量的函数，并且该方程组可以表示成如下的形式：$$\begin{aligned}\frac{\mathrm{d}^{2}y_{1}(x)}{\mathrm{d}x^{2}}+p_{1}(x)\frac{\mathrm{d} y_{1}(x)}{\mathrm{d} x}+q_{1}(x)y_{1}(x)&=f_{1}(x)\\\frac{\mathrm{d}^{2}y_{2}(x)}{\mathrm{d}x^{2}}+p_{2}(x)\frac{\mathrm{d} y_{2}(x)}{\mathrm{d} x}+q_{2}(x)y_{2}(x)&=f_{2}(x)\end{aligned}$$其中，$y_{1}(x),y_{2}(x)$ 是二元函数，$p_{1}(x),p_{2}(x),q_{1}(x),q_{2}(x),f_{1}(x),f_{2}(x)$ 都是已知函数。
这种方程组的特点是每个方程中只含有一个未知函数及其导数。
二、特解与通解解二阶线性微分方程组需要先找到该方程组的特解和通解。
方程组的特解指的是满足该方程组的某个特定解法；通解指的是该方程组的所有解法的集合。
特解与通解的构成取决于方程组的三个系数：$p_{1}(x),p_{2}(x),q_{1}(x)$。
共分为三种情况：情况一：$p_{1}(x),p_{2}(x),q_{1}(x)$ 都是常数。
此时，我们需要先求出方程组的特征方程：$\lambda^{2}+p_{1}\lambda+q_{1}=0$。
该特征方程的解将决定特解和通解的形态。
如果特征方程有两个两个不同的实根$\lambda_{1},\lambda_{2}$，则方程组的通解为：$$y_{1}(x)=C_{1}e^{\lambda_{1}x}+C_{2}e^{\lambda_{2}x},y_{2 }(x)=C_{3}e^{\lambda_{1}x}+C_{4}e^{\lambda_{2}x}$$其中，$C_{1},C_{2},C_{3},C_{4}$ 是任意常数。
二阶微分方程
解法
(r 2 pr q ) e r x 0 r 2 pr q 0
上述方程称为微分方程的特征方程, 其根称 为特征根. 求解常系数线性齐次微分方程 转化 求特征方程(代数方程)之根
y p y q y 0 ( p, q为常数 )
特征方程: r 2 pr q 0 , 特征根 实根 通 解
定理2 如果函数 y1 与 y2 是二阶齐次线性方程 y + p(x)y + q(x)y = 0 的两个线性无关的特解， 则 y = C1 y1 + C2 y2
是该方程的通解，其中 C1, C2为任意常数.
例 验证 y1 cos x, y2 sin x 是方程 y y 0 的 两个解，并写出该方程的通解
y p ( x) y q ( x) y 0
的两个解, 则 y C1 y1 ( x) C2 y2 ( x)也是该方程的解.
(叠加原理)
注意 叠加起来的解从形式上看含有 C1 与 C2 两 个任意常数，但它还不一定是方程的通解．
例如
y1 2 y2
定义 设 y1 ( x), y2 ( x),, yn ( x) 是定义在区间I 上 的n 个函数, 若存在不全为 0 的常数
例1 写出下列方程的特解形式.
例2 求微分方程
的通解
思考题
1 设函数 y(x) 满足
y(0) 1, 求 y(x)
2 求以 y (C1 C2 x x 2 )e 2 x 为通解的线性微分 方程（其中C1, C2为任意常数）
* * 且 y1 与 y2 分别是
y + p(x)y + q(x)y = f1 (x)， 和 y + p(x)y + q(x)y = f2 (x)
二阶微分方程
是线性非齐次方程的解， 这说明函数 y = Y + y* 是线性非齐次方程的解， 是二阶线性齐次方程的通解， 又 Y 是二阶线性齐次方程的通解，它含有两个任意常 数，故 y = Y + y* 中含有两个任意常数 即 y = Y + y* 中含有两个任意常数. 的通解. 是线性非齐次方程 y″ + p(x)y′ + q(x)y = f (x) 的通解 ″ ′ 求二阶线性非齐次方程通解的一般步骤为： 求二阶线性非齐次方程通解的一般步骤为： (1) 求线性齐次方程 y″ + p(x)y′ + q(x)y = 0 的线性 ) ″ ′ 无关的两个特解 y1 与 y2， 得该方程的通解 Y=C1 y1 + C2 y2. (2) 求线性非齐次方程 y″ + p(x)y′ + q(x)y = f (x) 的 ) ″ ′ 一个特解 y*. 那么，线性非齐次方程的通解为 y = Y + y*. 那么，
1.二阶常系数线性齐次方程的解法 .
④ 考虑到左边 p，q 均为常数， 我们可以猜想该方程 ， 均为常数， ′ 形式的解， 为待定常数. 具有 y = erx 形式的解，其中 r 为待定常数 将 y′ = 代入上式， rerx, y″ = r2erx 及 y = erx 代入上式，得 ″ erx (r2 + pr + q) = 0 . ⑤ rx 是上述一元二次方程的根时， 即 r 是上述一元二次方程的根时， y = e 就是 式的解. 方程⑤称为方程④ 特征方程. ④式的解 方程⑤称为方程④的特征方程 特征方 程的根称为特征根 特征根. 程的根称为特征根 由于e 由于 rx ≠ 0，因此，只要 r 满足方程 ，因此， r2 + pr + q = 0， ， 设二阶常系数线性齐次方程为 y″ + py′ + qy = 0 . ″ ′
二阶微分方程
二阶微分方程
二阶线性微分方程是指未知函数及其一阶、二阶导数都是一次方的二阶方程，简单称为二阶线性方程。
二阶线性微分方程的求解方式分为两类，一是二阶线性齐次微分方程，二是线性非齐次微分方程。
如果一个二阶方程中，未知函数及其一阶、二阶导数都是一次方的，就称它为二阶线性微分方程，简单称为二阶线性方程。
二阶线性微分方程的解方式分成两类，一就是二阶线性齐次微分方程，二就是线性非齐次微分方程。
前者主要就是使用特征方程解，后者在对应的齐次方程的吉龙德上加之直和即为非齐次方程的吉龙德。
齐次和非齐次的微分方程的吉龙德都涵盖一切的求解。
二阶线性微分方程定义：y ′ ′ + p ( x ) y ′ + q ( x ) y = f ( x ) 方程称作二阶线性微分方程
当 f ( x ) = 0 恒成立时，称该方程为二阶线性齐次方程；
当 f ( x ) ≠ 0 指该方程为二阶线性非齐次方程。
定理：若 y 1 ， y 2 是二阶线性齐次方程y ′ ′ + p ( x ) y ′ + q ( x ) y = 0 的解，则 y = c 1 y 1 + c 2 y 2 （ c 1 , （c1，c 2 ∈ r ) 仍
是它的解。
二阶线性常微分方程求解
二阶线性常微分方程求解
二阶线性常微分方程是一种重要的微分方程，它是一个双重阶的微分方程，包含一个高阶导数和一个一阶导数，可以用来描述物理过程中特定变量之间的变化。
它可以用来描述复杂系统的行为，从而为我们提供一种有效的解决方法。
二阶线性常微分方程的一般形式为：y''+P(x)y'+Q(x)y=f(x)，其中y是一个未知函数，P(x)和Q(x)是确定的函数，f(x)是给
定的函数。
二阶线性常微分方程的解法有多种，但是最常用的是牛顿迭代法。
牛顿迭代法是一种迭代法，它可以解决二阶线性常微分方程。
牛顿迭代法的基本思想是：将二阶线性常微分方程分解为两个一阶线性常微分方程，然后采用牛顿迭代法迭代求解。
牛顿迭代法的步骤如下：（1）确定初值，即设定y(x0)和
y'(x0)的初始值；（2）求解y'(x0)的值，即求解一阶线性常微
分方程；（3）求解y(x0)的值，即求解二阶线性常微分方程；（4）将求得的y(x0)和y'(x0)作为下一次迭代的初始值，重复
步骤（2）和（3），直到满足给定精度要求为止。
二阶线性常微分方程在工程学和物理学中都有着广泛的应用，例如，可以用它来模拟物理系统的运动，从而获得精确的解决方案；也可以用它来解决水利工程中的洪水问题，从而获得最优的解决方案。
总之，二阶线性常微分方程可以用来模拟各种复杂物理过程，牛顿迭代法是一种有效的解决方法，它可以帮助我们获得更准确的解决方案。
二阶线性微分方程的解法
二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线形微分方程的概念形如(1))(x f qy y p y =+'+''的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中、均为实数,为已知的p q )(x f 连续函数.如果,则方程式 (1)变成0)(≡x f(2)0=+'+''qy y p y 我们把方程(2)叫做二阶常系数齐次线性方程,把方程式(1)叫做二阶常系数非齐次线性方程. 本节我们将讨论其解法.二、二阶常系数齐次线性微分方程 1．解的叠加性定理1 如果函数与是式(2)的两个解, 则也是1y 2y 2211y C y C y +=式(2)的解,其中是任意常数.21,C C 证明 因为与是方程(2)的解,所以有 1y 2y 0111=+'+''qy y p y0222=+'+''qy y p y 将代入方程(2)的左边,得 2211y C y C y += )()()(221122112211y C y C q y C y C p y C y C ++'+'+''+''= 0)()(22221111=+'+''++'+''qy y p y C qy y p y C 所以是方程(2)的解. 2211y C y C y +=定理1说明齐次线性方程的解具有叠加性.叠加起来的解从形式看含有两个任意常数,但它不一定是方程式(2)的21,C C 通解.2.线性相关、线性无关的概念设为定义在区间I 内的n 个函数,若存在不全为零的常数,,,,21n y y y 使得当在该区间内有, 则称这,,,,21n k k k 02211≡+++n n y k y k y k n 个函数在区间I 内线性相关,否则称线性无关.例如 在实数范围内是线性相关的,因为 x x 22sin ,cos ,10sin cos 122≡--x x 又如在任何区间(a,b)内是线性无关的,因为在该区间内要使2,,1x x02321≡++x k x k k 必须.0321===k k k 对两个函数的情形,若常数, 则,线性相关,若常数, 则=21y y 1y 2y ≠21y y,线性无关.1y 2y 3.二阶常系数齐次微分方程的解法定理 2 如果与是方程式(2)的两个线性无关的特解,则1y 2y 为任意常数)是方程式(2)的通解.212211,(C C y C y C y +=例如, 是二阶齐次线性方程,是它的0=+''y y x y x y cos ,sin 21==两个解,且常数,即,线性无关, 所以 ≠=x y y tan 211y 2yx C x C y C y C y cos sin 212211+=+=( 是任意常数)是方程的通解. 21,C C 0=+''y y由于指数函数(r 为常数)和它的各阶导数都只差一个常数因子,rxe y =根据指数函数的这个特点,我们用来试着看能否选取适当的常数,rxe y =r 使满足方程(2).rxe y =将求导,得rxe y =rx rx e r y re y 2,=''='把代入方程(2),得 y y y ''',,0)(2=++rx e q pr r 因为, 所以只有(3)0≠rxe02=++q pr r 只要满足方程式(3),就是方程式(2)的解.r rxe y =我们把方程式(3)叫做方程式(2)的特征方程,特征方程是一个代数方程,其中的系数及常数项恰好依次是方程(2)的系数.r r ,2y y y ,,''' 特征方程(3)的两个根为 , 因此方程式(2)的通解2422,1qp p r -±-=有下列三种不同的情形.(1) 当时，是两个不相等的实根.042>-q p 21,r r,2421q p p r -+-=2422qp p r ---=是方程(2)的两个特解,并且常数,即x r x r e y e y 2121,==≠=-x r r e y y )(2121与线性无关.根据定理2,得方程(2)的通解为1y 2y x r x r e C e C y 2121+=(2) 当时, 是两个相等的实根.042=-q p 21,r r ,这时只能得到方程(2)的一个特解,还需求出另221p r r -==xr e y 11=一个解,且常数,设, 即 2y ≠12y y )(12x u y y=)(12x u e y x r =. )2(),(21121211u r u r u e y u r u e y x r x r +'+''=''+'='将代入方程(2), 得 222,,y y y '''[]0)()2(12111=++'++'+''qu u r u p u r u r u e x r 整理,得0])()2([12111=+++'++''u q pr r u p r u e x r 由于, 所以 01≠xr e 0)()2(1211=+++'++''u q pr r u p r u 因为是特征方程(3)的二重根, 所以1r02,01121=+=++p r q pr r 从而有0=''u 因为我们只需一个不为常数的解,不妨取,可得到方程(2)的另一x u =个解.x r xe y 12=那么,方程(2)的通解为x r x r xe C e C y 1121+=即.x r e x C C y 1)(21+=(3) 当时,特征方程(3)有一对共轭复根042<-q p ()βαβαi r i r -=+=21,0≠β于是x i x i e y e y )(2)(1,βαβα-+==利用欧拉公式 把改写为x i x e ixsin cos +=21,y y )sin (cos )(1x i x e e e e y x x i x x i ββαβαβα+=⋅==+)sin (cos )(2x i x e e e e y x x i x x i ββαβαβα-=⋅==--之间成共轭关系,取21,y y =,-1y x e y y x βαcos )(2121=+x e y y iy x βαsin )(2121_2=-=方程(2)的解具有叠加性,所以,还是方程(2)的解,并且-1y -2y 常数,所以方程(2)的通解为 ≠==--x xe x e y y x x βββααtan cos sin 12)sin cos (21x C x C e y x ββα+= 综上所述,求二阶常系数线性齐次方程通解的步骤如下:(1)写出方程(2)的特征方程02=++q pr r (2)求特征方程的两个根21,r r (3)根据的不同情形,按下表写出方程(2)的通解. 21,r r 特征方程的02=++q pr r 两个根21,r r 方程 的通0=+'+''qy y p y 解两个不相等的实根 21r r ≠xr xr eC e C y 2121+=两个相等的实根 21r r = xr e x C C y 1)(21+=一对共轭复根βαi r ±=2,1)sin cos (21x C x C e y x ββα+=例1求方程的通解. 052=+'+''y y y 解: 所给方程的特征方程为0522=++r ri r i r 21,2121--=+-=所求通解为.)2sin 2cos (21x C x C e y x +=-例2 求方程满足初始条件0222=++S dt dSdtS d 2,400-='===t t S S 的特解.解 所给方程的特征方程为0122=++r r121-==r r 通解为t e t C C S -+=)(21将初始条件代入,得 ,于是40==t S41=C ,对其求导得t e t C S -+=)4(2t e t C C S ---=')4(22将初始条件代入上式,得20-='=t S22=C 所求特解为t e t S -+=)24(例3求方程的通解. 032=-'+''y y y 解 所给方程的特征方程为 0322=-+r r 其根为1,321=-=r r 所以原方程的通解为x x e C e C y 231+=-二、二阶常系数非齐次方程的解法 1.解的结构定理3 设是方程(1)的一个特解,是式(1)所对应的齐次方程式(2)*y Y 的通解,则是方程式(1)的通解.*+=y Y y 证明 把代入方程(1)的左端:*+=y Y y)()()(*++*'+'+*''+''y Y q y Y p y Y = )()(*+*'+*''++'+''qy py y qY Y p Y=)()(0x f x f =+使方程(1)的两端恒等,所以是方程(1)的解.*+=y Y y *+=y Y y 定理4 设二阶非齐次线性方程(1)的右端是几个函数之和,如 )(x f(4))()(21x f x f qy y p y +=+'+''而与分别是方程 *1y *2y )(1x f qy y p y =+'+''与)(2x f qy y p y =+'+''的特解,那么就是方程(4)的特解, 非齐次线性方程(1)的特解有时可**+21y y 用上述定理来帮助求出.2.型的解法)()(x P e x f m xλ=,其中为常数,是关于的一个次多项式.)()(x P e x f m x λ=λ)(x P m x m方程(1)的右端是多项式与指数函数乘积的导数仍为同)(x f )(x P m xe λ一类型函数,因此方程(1)的特解可能为,其中是某个多xe x Q y λ)(=*)(x Q 项式函数. 把x e x Q y λ)(=*x e x Q x Q y λλ)]()(['+=*'x e x Q x Q x Q y λλλ)]()(2)([2''+'+=*''代入方程(1)并消去,得 xe λ(5))()()()()2()(2x P x Q q p x Q p x Q m =+++'++''λλλ 以下分三种不同的情形,分别讨论函数的确定方法:)(x Q(1) 若不是方程式(2)的特征方程的根, 即λ02=++q pr r ,要使式(5)的两端恒等,可令为另一个次多项式02≠++q p λλ)(x Q m :)(x Q mm m m x b x b x b b x Q ++++= 2210)(代入(5)式,并比较两端关于同次幂的系数,就得到关于未知数x m b b b ,,,10 的个方程.联立解方程组可以确定出.从而得到所求1+m ),,1,0(m i b i =方程的特解为x m e x Q y λ)(=*(2)若是特征方程的单根, 即λ02=++q pr r ,要使式(5)成立, 则必须要是次多02,02≠+=++p q p λλλ)(x Q 'm 项式函数,于是令)()(x xQ x Q m =用同样的方法来确定的系数. )(x Q m ),,1,0(m i b i = (3) 若是特征方程的重根,即λ02=++q pr r ,02=++q p λλ.02=+p λ要使(5)式成立,则必须是一个次多项式，可令)(x Q ''m)()(2x Q x x Q m =用同样的方法来确定的系数.)(x Q m 综上所述,若方程式(1)中的,则式(1)的特解为xm e x P x f λ)()(=x m k e x Q x y λ)(=*其中是与同次多项式,按不是特征方程的根,是特征方程)(x Q m )(x P m k λ的单根或是特征方程的重根依次取0,1或2.例4 求方程的一个特解.xey y 232-='+''解 是型, 且)(x f xm e x p λ)(2,3)(-==λx P m 对应齐次方程的特征方程为 ,特征根根为.022=+r r 2,021-==r r =-2是特征方程的单根, 令λ,代入原方程解得x e xb y 20-=*230-=b 故所求特解为.x xe y 223--=*例5 求方程的通解. xe x y y )1(2-='-''解 先求对应齐次方程的通解. 02=+'-''y y y 特征方程为 , 0122=+-r r 121==r r 齐次方程的通解为 .x e x C C Y )(21+= 再求所给方程的特解1)(,1-==x x P m λ由于是特征方程的二重根,所以1=λx e b ax x y )(2+=*把它代入所给方程,并约去得xe126-=+x b ax 比较系数,得61=a 21-=b 于是x e x x y )216(2-=*所给方程的通解为x e x x x C C y y y )6121(3221+-+=+=*3.型的解法x B x A x f ϖϖsin cos )(+=其中、、均为常数.,sin cos )(x B x A x f ωω+=A B ω此时,方程式(1)成为(7)x B x A q y p y ωωsin cos +=+'+''这种类型的三角函数的导数,仍属同一类型,因此方程式(7)的特解也*y 应属同一类型,可以证明式(7)的特解形式为)sin cos (x b x a x y k ωω+=*其中为待定常数.为一个整数.b a ,k 当不是特征方程的根, 取0; ω±i 02=++q pr r k 当不是特征方程的根, 取1; ω±i 02=++q pr r k 例6 求方程的一个特解. x y y y sin 432=-'+''解，不是特征方程为的根，.1=ωω±i i ±=0322=-+r r 0=k 因此原方程的特解形式为x b x a y sin cos +=*于是 x b x a y cos sin +-=*'x b x a y sin cos --=*''将代入原方程，得*''*'*y y y ,,⎩⎨⎧=--=+-442024b a b a 解得54,52-=-=b a 原方程的特解为:x x y sin 54cos 52--=*例7 求方程的通解.x e y y y xsin 32+=-'-''解 先求对应的齐次方程的通解.对应的齐次方程的特征方程为Y0322=--r r3,121=-=r rx x e C e C Y 321+=- 再求非齐次方程的一个特解.*y 由于,根据定理4,分别求出方程对应的右端项为x e x x f -+=2cos 5)(的特解、,则 是原方程的一,)(1x e x f =x x f sin )(2=*1y *2y **+=*21y y y 个特解.由于,均不是特征方程的根,故特解为1=λω±i i ±= )sin cos (21x c x b ae y y y x ++=+=***代入原方程,得x e x c b x c b ae x x sin sin )42(cos )24(4=-++--比较系数,得14=-a 024=+c b 142=-c b 解之得 . 51,101,41-==-=c b a 于是所给方程的一个特解为x x e y x sin 51cos 10141-+-=*所以所求方程的通解为 . x x e e C e C y Y y x x x sin 51cos 10141321-+-+=+=-*。
5二阶线性微分方程解的结构与通解性质
y 1 z ( 2 y 1 P y 1 ) z f (一阶线性方程)
设其通解为 z C 2 Z (x ) z (x )
积分得
u C 1 C 2 U (x ) u (x )
kk11
2k2 4k2
0 0
x ex
C,
x,ex 线性无 . 关
只有零解。
故得齐次方程的两个线性无关的特解， 非齐方程的通解为：
y x ( x 1 ) 2 C 1 ( x e x ) C 2 ( 2 x 4 e x )
y(0)0 0 1 C 1 4 C 2
二. 二阶线性微分方程解的性质 与通解的结构
设有二阶线性齐次微分方程
d d2y 2xa(x)d dx y b(x)y0
(2)
关于(2)的解，我们有：
定理1 若y1(x),y2(x)是方(2程 )的解，则它们 的任意组合
y C 1 y 1 ( x ) C 2 y 2 ( x )
都是方程(2)的解，其中C1,C2 为任意常数。 线性齐次方程的解具有可叠加性。
将yy1Y代入非齐次方 ，程 得的 ：左端 ( y 1 Y ) a ( x ) y 1 Y ( ) b ( x ) y 1 Y ( )
( Y a ( x ) Y b ( x ) Y ) ( y 1 a ( x ) y 1 b ( x ) y 1 ) 0f(x) f(x) 即yy1Y是非齐次方程的 由解 于 Y， 是又 对应 齐次方程的通解 两， 个含 独有 立的任意 所常数 以y中含有两个独立 故常 为数 通， 解。
y y 1 ( x )v1(x) y 2 ( x )v2(x) 只有一个必须满足的条件即方程③, 因此必需再附加一
第七节二阶线性微分方程解的结构
求导数, 得
y ' u y ' u y ' y u ' y u ' , 1 1 2 2 1 1 2 2
常数变易法
y ' u y ' u y ' y u ' y u ' , 1 1 2 2 1 1 2 2
u ' y u ' 0 . 我们补充如下条件: y 1 1 2 2
二阶线性微分方程解的定理
dy dy P ( x ) Q ( x ) y 0 (1 ) 2 dx dx 定理 2 若 y1( x)与 y2(x)是方程(1)的两个线性无
2
C y ( x ) C y ( x ) 关的特解,则 y 1 1 2 2
就是方程(1)的通解, 其中C 1,C 2是任意常数.
第七章 微分方程
第六节 高阶线性微分方程
二阶线性微分方程的概念 二阶线性微分方程的一般形式是
d y dy P ( x ) Q ( x ) y f ( x ), (1 ) 2 dx dx 的已知函数, 其中 P( x) Q(x)及 f (x)是自变量 x 丶
函数 f (x)称为方程(1)的自由项. 当 f( 时, x ) 0
齐次线性微分方程的解法
d y dy (1 ) P ( x ) Q ( x ) y 0 , 2 dx dx 设 y 1 是方程(1)的一个已知非零特解, 作变量替换
2
y uy , 1
(2)
dy du dy 1 y u , 1 dx dx dx
dy d y d y d u du 1 1 y 2 u , 1 2 2 2 dxdx dx dx dx
例1 已知
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2.二阶常系数齐次线性方程解法
二阶常系数齐次线性方程的标准形式
y py qy 0
二阶常系数非齐次线性方程的标准形式
y py qy f ( x )
二、二阶常系数齐次线性方程解法
特征方程法: 用常系数齐次线性方程的 特征方程的根确定 y py qy 0 通解.
2
x
y 3 3 x 2 e x 都是微分方程
解 y1 , y2 , y3 都是微分方程的解,
y3 y2 e x , y2 y1 x 2 ,
是对应齐次方程的解,
y3 y2 e x 2 常数 y2 y1 x 所求通解为 y C1 y3 y2 C2 y2 y1
设 y e , 将其代入上方程, 得
rx
( r pr q )e 0
2 rx
e 0,
rx
故有
r pr q 0
2
特征方程
特征根 r1, 2
p
p 4q , 2
2
1、有两个不相等的实根
特征根为 r1
( 0)
2 2
p
p 4q p p 4q , r2 , 2 2
两个线性无关的特解
y1 e ,
r1 x
y2 e ,
r2 x
r1 x
得齐次方程的通解为 y C1e
C2e ;
r2 x
2、 有两个相等的实根 ( 0)
p r1 x 特征根为 r1 r2 , 一特解为 y1 e , 2
设另一特解为 y2 u( x )e r1 x ,
c1 y1 c2 y2 (c1 2c2 ) y1不是通解
y1 ( x ) 常数， 特别地: 若在 I 上有 y2 ( x ) 则函数 y1 ( x ) 与 y 2 ( x ) 在 I 上线性无关.
定理 2：如果 y1 ( x ) 与 y 2 ( x ) 是方程(1)的两个线 性无关的特解, 那么 y C1 y1 C 2 y2 就是方程(1) 的通解.
，y2 代入原方程并化简， 将 y2 ，y2
u ( 2r1 p)u ( r12 pr1 q )u 0,
知 u 0, rx 则 y2 xe ,
1
=0 =0 u( x ) c1 x c2 , 取 u( x ) x ,
r1 x y ( C C x ) e ; 得齐次方程的通解为 1 2
1.二阶齐次方程解的结构
y P ( x ) y Q( x ) y 0 (1)
定理 1 如果函数 y1 ( x ) 与 y2 ( x ) 是方程(1)的两个 解,那末 y C1 y1 C 2 y2 也是(1)的解.（C1 , C 2 是 常数）
问题: y C1 y1 C 2 y2一定是通解吗？ y1是解，y2 2 y1也是解
3、 有一对共轭复根 ( 0) 特征根为 r2 i , r1 i ,
y1 e
( i ) x
,
y2 e
( i ) x
,
y1 e (cos x i sin x ), y2 e (cos x i sin x ), 重新组合 y 1 ( y y ) ex cos x, 1 1 2 2 1 y2 ( y1 y2 ) ex sin x ,
C1e C2 x .
x 2
定理 4
* *
设非齐次方程(2) 的右端 f ( x ) 是几个函
数之和, 如 y P ( x ) y Q ( x ) y f 1 ( x ) f 2 ( x ) 而 y1 与 y 2 分别是方程,
特解的叠加原理 * * y y 的特解, 那么 1 2 就是原方程的特解.
y P ( x ) y Q( x ) y f 1 ( x ) y P ( x ) y Q( x ) y f 2 ( x )
例如：求方程 y 4 y x 2 3e x 的特解.
可以看出 y 4 y x 2 及 y 4 y 3e x 的特解 1 2 1 3 x 1 2 1 3 x 为 x 和 e , 故原方程的特解: x e . 4 8 5 4 8 5
例 ( x 1) y xy y 0, 观察出两个线性无关解 x , e x . 故通解为 y c1 x c2e x .
2 例 2：已知 y1 3 ， y 2 3 x ，
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2 x y x 2 2 y 2 x 2 y 6 x 1的 解，求此方程所对应齐次方程的通解.
二阶线性微分方程
d y dy P ( x ) Q( x ) y f ( x ) 2 dx dx
2
二阶线性微分方程
当 f ( x ) 0时， 二阶线性齐次微分方程 当 f ( x ) 0时，二阶线性非齐次微分方程
n阶线性微分方程
y ( n ) P1 ( x ) y ( n1) Pn1 ( x ) y Pn ( x ) y f ( x ).
2i
x
x
得齐次方程的通解为
y e x (C1 cos x C 2 sin x ).
总结:
y py qy 0
特征根的情况
r pr q 0
通解的表达式
2
r2 实根r1 r2 复根r1, 2 i
实根r1
y C1e C 2 e y (C1 C 2 x )e r x y ex (C1 cos x C 2 sin x )
例如 y y 0,
y1 cos x, y2 sin x,
y C1 cos x C 2 sin x .
y2 且 tan x 常数, y1
注:
y P ( x ) y Q( x ) y 0
(1)
如何求方程(1)的两个线性无关的特解,是一件困难 事，我们常采用观察方法—有目的、有分析的观察。