常微分方程 二阶线性微分方程习题课
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常微分方程二阶线性微分方程习题课
7
二阶线性微分方程
例7 求微分方程 yy y2 y2 ln y 的通解.
解： y
0,
y
yy y2
y2
ln
y,
y
ln yx
y ,方程改写为： y
ln y
ln y,
令 z ln y z z 0，二阶常系数齐次线性方程
特征方程 2 1 0， 特征根 1.
通解 z C1e x C2e x ln y C1e x C2e x .
(3n 1)!
y( x)
x
x4
x7
x3n2
4! 7!
(3n 2)!
20
二阶线性微分方程
解 (2) 相应的齐次微分方程
y y y ex y(0) 1，y(0) 0
y y y 0, 特征方程 2 1 0
特征根
1,2
1 2
3 i, 2
非齐次方程的特解： y Ae x
将y, y, y 代入方程 A 1 ,
特征根的情况
通解的表达式
实根 1 2
实根 1 2
复根 1，2 i
y C1e1x C2e2 x y (C1 C2 x)e1x y e x (C1 cos x C2 sin x)
2
二阶线性微分方程
例2 求方程 y 4 y 4 y 0 的系数线性非齐次方程
f ( x) 2e x . 1.
(1) 求对应齐次方程的通解
特征方程 2 3 2 0,
特征根 1 1，2 2，
对应齐次方程通解 Y C1e x C2e2x
14
二线性微分方程
例10 设函数 y y( x)满足微分方程 y 3 y 2 y 2e x ,
例6 求 y(5) y(4) 2 y 2 y y y 0 的通解. 解 特征方程 5 4 2 3 2 2 1 0
二阶线性微分方程
例7 求微分方程 yy y2 y2 ln y 的通解.
解： y
0,
y
yy y2
y2
ln
y,
y
ln yx
y ,方程改写为： y
ln y
ln y,
令 z ln y z z 0，二阶常系数齐次线性方程
特征方程 2 1 0， 特征根 1.
通解 z C1e x C2e x ln y C1e x C2e x .
(3n 1)!
y( x)
x
x4
x7
x3n2
4! 7!
(3n 2)!
20
二阶线性微分方程
解 (2) 相应的齐次微分方程
y y y ex y(0) 1，y(0) 0
y y y 0, 特征方程 2 1 0
特征根
1,2
1 2
3 i, 2
非齐次方程的特解： y Ae x
将y, y, y 代入方程 A 1 ,
特征根的情况
通解的表达式
实根 1 2
实根 1 2
复根 1，2 i
y C1e1x C2e2 x y (C1 C2 x)e1x y e x (C1 cos x C2 sin x)
2
二阶线性微分方程
例2 求方程 y 4 y 4 y 0 的系数线性非齐次方程
f ( x) 2e x . 1.
(1) 求对应齐次方程的通解
特征方程 2 3 2 0,
特征根 1 1，2 2，
对应齐次方程通解 Y C1e x C2e2x
14
二线性微分方程
例10 设函数 y y( x)满足微分方程 y 3 y 2 y 2e x ,
例6 求 y(5) y(4) 2 y 2 y y y 0 的通解. 解 特征方程 5 4 2 3 2 2 1 0
第8章 常微分方程—8-8(习题课)
习题5
求解
y a y 2 0 y x 0 0 , y
x 0
1
提示: 令 则方程变为 1 积分得 a x C1 , 利用 p x 0 y x 0 1 得 C1 1 p dy 1 , 并利用 y x 0 0 , 定常数 C2 . 再解 dx 1 ax
y y x,
xπ 2
y 4 y 0 , x π 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ满足条件
处连续且可微的解. 例4 设函数 数, 且 内具有连续二阶导
(1) 试将 x＝x( y) 所满足的微分方程 2 d x dx 3 ( y sin x)( ) 0 2 dy dy
变换为 y＝y(x) 所满足的微分方程 ;
dp f ( x, p ) dx
2. 二阶线性微分方程的解法
• 常系数情形 • 欧拉方程
齐次
非齐次
代数法
x 2 y p x y q y f ( x) d t 令 x e ,D dt t y D( D 1) pD q f (e )
例3 求微分方程
利用 y x 0 0, y x 0 0, 得
处的衔接条件可知,
解满足
y 4 y 0
其通解:
y C1 sin 2 x C2 cos 2 x
) cos 2 x, x y 1 sin 2 x ( 1 2 2 2
定解问题的解: 故所求解为
y 1 ) cos 2 x , sin 2 x ( 1 2 2
高等数学A
第8章 常微分方程
习 题 课
中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组
微分方程习题课
§4.4.2二阶常系数线性微分方程复习题
1
3 7
9
.
故原方程的特解为 y
1x 7 39
。
例 2．求方程 y 4y e2x 的通解。
解：∵特征方程为r 2 4 0 ，r1 2, r2 2 ，
∴对应齐次方程的通解为 Y C1e2x C2e2x 。
∵ f (x) e2x ，属f (x) Pm (x)eax 型（m 0, a 2 ），
∴设特解y ex (Ccos2x Dsin 2x) ， 则有
(y) ex[(C 2D)cos2x (D 2C)sin 2x] ，
(y ) ex [(4D 3C) cos 2x (4C 3D) sin 2x] ，
代入原方程有 (10D C) cos 2x (D 10C) sin 2x cos 2x ，
2 2i
2 2i
P(x)e(aib)x P(x)e(aib)x
f (x)P(x)e(aib)x P(x)e(aib)x ,
其中 P(x) Pm Pn Pm Pn i ，P(x) Pm Pn Pm Pn i ，
2 2i 2 2
2 2i 2 2
是互成共轭的L 次 多项式,而L max{m, n} 。
aQ(x) (2aa b)Q(x) (aa2 ba c)Q(x) Pm (x) ④
（3）当aa2 ba c 0 且2aa b 0 时，即a 是方程 的二重特征根时，④式成为
aQ(x) Pm (x)
Q(x) 应为m 次多项式， Q(x) 应为m 2 次多项式。 故可设 Q(x) x 2Qm (x) ，
而 a 2 是特征根，
∴设 y Axe 2x ，代入原方程解得A 1 ， 4
故原方程的通解为
y
Y
y
C1e 2 x
二阶微分方程习题课市公开课一等奖市赛课金奖课件
原方程相应旳齐次方程为 y 3y 2 y 0 ，其通解为 Y C1ex C2e2x
因为λ＝1是特征方程 r2－3r＋2＝0旳单根, 所以设原方程旳一种 特解为 y* = axex , 代入方程中, 求得 a＝－2, 故原方程旳通解为
y(x) C1ex C2e2x 2xex
其次拟定初始条件，由所给条件知，在点(0,1)处所求曲线与已知
(a
1 1) 2
ex
当a＝－1时, 特征方程为λ2－2λ＋1＝0, λ ＝1是二重特征
根, 所以特解
y x2aex ax2ex
即
y ax2ex 将 y, y, y 代入原方程，比较同类项系数，得 a 1 ，故特解为
2 y 1 x2ex
2
4b2 0
0 常数项
对应
x项 x2项
2c 1
e 2 x项
由上述方程组解得
b0
2, b1
4, b2
3, C
1 2
于是求得一种特解为 y 2x2 4x 3 1 x2e2x 2
故原微分方程旳通解为
yY y
e2x
(C1
C2 x
1 2
x2
)
2x2
4x
3
例3 求常系数齐次线性方程 y y 2 y 0; y(0) 0, y(0) 3
。且0及±2i均不是特征方程旳根；2是特征方程旳二重根, 故设特解
为
并求出
y (b0 x2 b1x b2 ) Cx2e2x
y 2b0 x b1 2Cxe2x 2Cx2e2x
y 2b0 2Ce2x 8Cxe2x 4Cx2e2x
代入原方程中, 比较等式两端同类项系数, 则有
2b0 4b1 4b80b0 8 4b1
因为λ＝1是特征方程 r2－3r＋2＝0旳单根, 所以设原方程旳一种 特解为 y* = axex , 代入方程中, 求得 a＝－2, 故原方程旳通解为
y(x) C1ex C2e2x 2xex
其次拟定初始条件，由所给条件知，在点(0,1)处所求曲线与已知
(a
1 1) 2
ex
当a＝－1时, 特征方程为λ2－2λ＋1＝0, λ ＝1是二重特征
根, 所以特解
y x2aex ax2ex
即
y ax2ex 将 y, y, y 代入原方程，比较同类项系数，得 a 1 ，故特解为
2 y 1 x2ex
2
4b2 0
0 常数项
对应
x项 x2项
2c 1
e 2 x项
由上述方程组解得
b0
2, b1
4, b2
3, C
1 2
于是求得一种特解为 y 2x2 4x 3 1 x2e2x 2
故原微分方程旳通解为
yY y
e2x
(C1
C2 x
1 2
x2
)
2x2
4x
3
例3 求常系数齐次线性方程 y y 2 y 0; y(0) 0, y(0) 3
。且0及±2i均不是特征方程旳根；2是特征方程旳二重根, 故设特解
为
并求出
y (b0 x2 b1x b2 ) Cx2e2x
y 2b0 x b1 2Cxe2x 2Cx2e2x
y 2b0 2Ce2x 8Cxe2x 4Cx2e2x
代入原方程中, 比较等式两端同类项系数, 则有
2b0 4b1 4b80b0 8 4b1
第七章 常微分方程习题课
7
x3
2
Cx3 .
7
20
例3 求 dy dx
x
y y2 cos
的通解 y
解：将原方程写成
dx 1 x y cos y dy y
x
e
1 y
dy
(
y cos
y
)e
1 y
dy
dy
C
y
(
y
cos
y)
1 y
dy
C
y(C sin y)
21
例4
求通解
2x
y2 3x2
dx
dy 0.
y3
y4
3
2、一阶微分方程的解法
(1) 可分离变量的微分方程
形如 g( y)dy f ( x)dx
解法 g( y)dy f ( x)dx
分离变量法
(2) 齐次方程 形如 dy f ( y) dx x
解法 作变量代换 u y x
4
(3) 可化为齐次的方程
形如 dy f ( ax by c )
通解：y Y y*
求特解的方法 待定系数法
(1) f ( x) ex Pm ( x) 型
0 不是根
设特解 y* xkexQm (x) k 1 是单根 ,
2 是重根
15
(2)
f
(
x)
ex
[
Pl
(1)
(
x)
cos
x
P(2) n
(
x)
sin
x]
型
设特解
y*
xkex[Rm(1) (x) cosx
由
2 解得
4b 0，
a 1，
8 b 0，
《常微分方程》全套课件(完整版)
捕捉到这种联系，而这种联系，用数学语言表达出来，其结 果往往形成一个微分方程.一旦求出这个方程的解，其运动规 律将一目了然.下面的例子，将会使你看到微分方程是表达自 然规律的一种最为自然的数学语言.
例1 物体下落问题 设质量为m的物体，在时间t=0时，在距
地面高度为H处以初始速度v(0) = v0垂直地面 下落，求ss此物体下落时距离与时间的关系.
有恒等式
因此，令
，则有
因此，所谓齐次方程，实际上就是方程(1.9)的右端函数 是一个关于变元x，y的零次齐次式.
如果我们把齐次方程称为第一类可化为变量分离的方程，那么我们 下面要介绍第二类这种方程.
1.3.2 第二类可化为变量可分离的方程 形如 (1.30) 的方程是第二类可化为变量可分离的方程.其中， 显然，方程(1.30)的右端函数，对于x，y并不
是方程(1.5)在区间（-1,+1）
上的解，其中C是任意常数.又方程(1.5)有两个明显
的常数解y =±１，这两个解不包含在上述解中.
3. 函数
是方程(1.6)在区间(-∞，
+∞)上的解，其中和是独立的任意常数.
4. 函数
是方程(１.７)在区间(-
∞，+∞)上的解，其中和是独立的任意常数.
这里，我们仅验证3，其余留给读者完成.事实上，
（1.13）
显然，方程(1.4)是一阶线性方程；方程(1.5)是一阶非线性方程；方程 (1.6)是二阶线性方程；方程(1.7)是二阶非线性方程.
通解与特解
微分方程的解就是满足方程的函数，可定义如下.
定义1.１ 设函数 在区间I上连续，且有直
到n阶的导数.如果把
代入方程(1.11)，得到在
区间I上关于x的恒等式，
例1 物体下落问题 设质量为m的物体，在时间t=0时，在距
地面高度为H处以初始速度v(0) = v0垂直地面 下落，求ss此物体下落时距离与时间的关系.
有恒等式
因此，令
，则有
因此，所谓齐次方程，实际上就是方程(1.9)的右端函数 是一个关于变元x，y的零次齐次式.
如果我们把齐次方程称为第一类可化为变量分离的方程，那么我们 下面要介绍第二类这种方程.
1.3.2 第二类可化为变量可分离的方程 形如 (1.30) 的方程是第二类可化为变量可分离的方程.其中， 显然，方程(1.30)的右端函数，对于x，y并不
是方程(1.5)在区间（-1,+1）
上的解，其中C是任意常数.又方程(1.5)有两个明显
的常数解y =±１，这两个解不包含在上述解中.
3. 函数
是方程(1.6)在区间(-∞，
+∞)上的解，其中和是独立的任意常数.
4. 函数
是方程(１.７)在区间(-
∞，+∞)上的解，其中和是独立的任意常数.
这里，我们仅验证3，其余留给读者完成.事实上，
（1.13）
显然，方程(1.4)是一阶线性方程；方程(1.5)是一阶非线性方程；方程 (1.6)是二阶线性方程；方程(1.7)是二阶非线性方程.
通解与特解
微分方程的解就是满足方程的函数，可定义如下.
定义1.１ 设函数 在区间I上连续，且有直
到n阶的导数.如果把
代入方程(1.11)，得到在
区间I上关于x的恒等式，
微分方程课后习题答案
微分方程课后习题答案微分方程是数学中的重要分支，它研究的是描述自然现象中变化规律的方程。
在学习微分方程的过程中，课后习题是巩固知识、提高技能的重要途径。
本文将为大家提供一些微分方程课后习题的答案，希望能够帮助大家更好地理解和掌握微分方程的知识。
1. 一阶线性微分方程题目：求解微分方程 dy/dx + y = 2x解答：这是一个一阶线性微分方程，我们可以使用常数变易法来求解。
首先，将方程改写为 dy/dx = 2x - y设 y = u(x) * v(x)，其中 u(x) 是未知函数，v(x) 是待定函数。
将 y = u(x) * v(x) 带入方程，得到 u(x) * v'(x) + u'(x) * v(x) = 2x - u(x) * v(x)整理得 u(x) * v'(x) + u'(x) * v(x) - u(x) * v(x) = 2x根据乘积法则，有 (u(x) * v(x))' = 2x对上式两边同时积分，得到 u(x) * v(x) = x^2 + C，其中 C 是常数。
然后，我们需要求解 u(x) 和 v(x)。
由于 v(x) 是待定函数，我们可以选择 v(x) = e^(-x)，这样 v'(x) = -e^(-x)。
将 v(x) = e^(-x) 带入 u(x) * v'(x) + u'(x) * v(x) - u(x) * v(x) = 2x，得到 u'(x) * e^(-x) = 2x对上式两边同时积分，得到 u(x) * e^(-x) = x^2 + C将 u(x) * e^(-x) = x^2 + C 代入 y = u(x) * v(x)，得到 y = (x^2 + C) * e^x所以，原微分方程的通解为 y = (x^2 + C) * e^x，其中 C 是常数。
2. 二阶线性常系数齐次微分方程题目：求解微分方程 d^2y/dx^2 + 2dy/dx + 2y = 0解答：这是一个二阶线性常系数齐次微分方程，我们可以使用特征方程法来求解。
高等数学 第十二章 常微分方程 习题课
(5)式n的 个根 (3)之 对通 应 n项 解 : 的
1 4x41 2x2y21 4y4
(0,0) (x,0)
1 4x41 2x2y21 4y4c 为原方程的隐式通解.
例 5. (x3x2y)dx(x2yy3)dy0
又.解dy dx
x3xy2 x2yy3
1
y x
y2
x2 y3 x3
齐次方程
设 u x y,则 y x u ,d d x y u x d d u x .
P y(xys(xiyyn ) syi(y x n )2 coy)s
Q x
例 6. dy3(x1)2(y1)2 dx 2(x1)(y1)
解 .令 u x 1 ,v y 1 ,
则dyd(v1) d v dx d(u1) d u
dv 3u2 v2 du 2uv
3
2
v u v u
x
du dx
1 cosu
,
cousdudxx, xcesinxy .
例 3.(cx o )d dx s yysixn 1 解 . d dx y(tax)n ysexc 一阶线性方程
ye ta xd nx se xe c ta xd nd x x c
e lc n x o ss x e e lc c n x d o c s x
uxd du x1 u u u2 3, xd d u x 1 2 u u 2 u 3 u 4 1 u u 2, 1uduu2 dxx, 1 2ln 1u (2) ln xln c,
ln 1 u (2 ) 2 ln x 2 lc n ,
x2(1u2)2c, x2y2c2.
例 5 .( x 3 x 2 ) d y ( x 2 y y 3 ) d 0 y 事 ,x ( x 实 2 y 2 ) d 上 y x ( x 2 y 2 ) d 0 y
1 4x41 2x2y21 4y4
(0,0) (x,0)
1 4x41 2x2y21 4y4c 为原方程的隐式通解.
例 5. (x3x2y)dx(x2yy3)dy0
又.解dy dx
x3xy2 x2yy3
1
y x
y2
x2 y3 x3
齐次方程
设 u x y,则 y x u ,d d x y u x d d u x .
P y(xys(xiyyn ) syi(y x n )2 coy)s
Q x
例 6. dy3(x1)2(y1)2 dx 2(x1)(y1)
解 .令 u x 1 ,v y 1 ,
则dyd(v1) d v dx d(u1) d u
dv 3u2 v2 du 2uv
3
2
v u v u
x
du dx
1 cosu
,
cousdudxx, xcesinxy .
例 3.(cx o )d dx s yysixn 1 解 . d dx y(tax)n ysexc 一阶线性方程
ye ta xd nx se xe c ta xd nd x x c
e lc n x o ss x e e lc c n x d o c s x
uxd du x1 u u u2 3, xd d u x 1 2 u u 2 u 3 u 4 1 u u 2, 1uduu2 dxx, 1 2ln 1u (2) ln xln c,
ln 1 u (2 ) 2 ln x 2 lc n ,
x2(1u2)2c, x2y2c2.
例 5 .( x 3 x 2 ) d y ( x 2 y y 3 ) d 0 y 事 ,x ( x 实 2 y 2 ) d 上 y x ( x 2 y 2 ) d 0 y
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1, 2 1 2 i ,
y e x (C1 cos 2 x C2 sin 2 x )
5
二阶线性微分方程
16 y 24 y 9 y 0, 例4 解初值问题 y x 0 4, y x 0 2.
解 特征方程 16 2 24 9 0 3 (二重根) 特征根 4 3 x 方程的通解： y (C1 C 2 x ) e 4
2( 2 2 5) 0.
特征根 所求通解:
y C1 C2 x e x (C3 cos 2 x C4 sin 2 x )
1 2 0 和 3,4 1 2i .
7
二阶线性微分方程
求 y( 5) y( 4) 2 y 2 y y y 0 的通解. 例6
C1 1 y(0) 1，C1 2C2 1 C 2 0
y(0) 1, C1 C 2 1
x
y (1 2 x ) e
16
二阶线性微分方程
y ex 1的一个 特解。 ( B )是微分方程 y
A. ae b
x
B. axe b
其图形在点(0,1)处的切线与曲线 y x 2 x 1在
该点处的切线重合, 求函数y的解析表达式.
(2) 求非齐次方程的特解
1 1，2 2，
1 是单根.
设 y x A e x A 2
原方程通解： y C1e x C2e 2 x 2 xe x (3) 求原方程的特解
2 2
0 0 0 0
x (0) py (0) qy(0) e30 1 y(0) 1 y
19
二阶线性微分方程
设f ( x ) sin x
x ( x t ) f ( t )dt , 0
积分方程
其中f为连续函数 求f ( x ). , sin x x ( x t ) f ( t )dt 解 [ f ( x )] [ ]x 0
解 特征方程
5 4 2 3 2 2 1 0
( 1) ( 2 1)2 0
（单根） , 特征根 1 1
2, 3 i，共轭复根（二重） ,
所求通解:
y C1e x (C 2 C 3 x ) cos x (C4 C5 x ) sin x .
ln y ,
2 1 0， 特征根 1. 特征方程
通解 z C1e x C2e x ln y C1e x C2e x . dp 或: y f ( y , y )型. 设 y p, y p . dy
9
二阶常系数非齐次线性微分方程
二阶常系数非齐次线性方程
y p y q y Pm ( x )e x 设 y x k Qm ( x )e x
0 , k 1 2
不是根
是单根 是重根
py q y [ Am ( x ) cos x Bn ( x ) sin x ]ex y 设 y* x k [ Pl ( x ) cos x Ql ( x ) sin x ]e x
A. (ae b)e
x x
x
B. (ae b) xe
x
x
C . (ax b) ce
2
D. (ax b) cxe x
解 对应的齐次微分方程 y 3 y 2 y 0 特征方程 3 2 0 特征根 1, 2
y 3 y 2 y 3 x y 3 y 2 y 2ex
(3) 根据特征根的不同情况，得到相应的通解。 特征根的情况 实根 1 2 实根 1 2 复根 1， i 2 通解的表达式
y C1e1 x C2e2 x
y e x (C1 cos x C2 sin x )
3
y (C1 C2 x ) e
1 x
二阶线性微分方程
例2 求方程 y 4 y 4 y 0 的通解. 解 特征方程 2 4 4 0
特征根
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ通解：
2 （二重根）
y (C1 C 2 x )e 2 x
4
二阶线性微分方程
例3 求方程 y 2 y 5 y 0 的通解. 解 特征方程 2 2 5 0 特征根 通解：
x
C . ae bx
x
D. axe bx
x
提示 根椐线性微分方程的性质,
y y e x， y1 xae x
y y 1，
y2 b
两个特解的和就是原方程的特解.
17
二阶线性微分方程
3 y 2 y 3 x 2ex 的特解 y (D ). 微分方程 y
8
二阶线性微分方程
y 2 y 2 ln y 的通解. 例7 求微分方程 yy
解： y 0,
y 2 yy
2
y y y y , 方程改写为： ln y ln y , ln y x y 令 z ln y z z 0，二阶常系数齐次线性方程
x x f ( x ) cos x [ x 0 f ( t )dt 0 t f ( t ) dt ]x x cos x [ 0 f ( t )dt x f ( x ) x f ( x )] x
cos x f ( t )dt
0
积分方程
两端再对x求导, f ( x ) sin x f ( x )
* * * * L( y1 ) f ( x ), L( y2 ) f ( x ) L( y1 y1 ) 0.
非齐次方程通解：y Y y . 定理4 定理5
* L[ y1 ] f1 ( x ),
* L[ y2 ] f 2 ( x )
1
* * L[ y1 y2 ] f1 ( x ) f 2 ( x ).
2 3 2 0
1 1，2 2
Y C1e x C2e 2 x
对应齐次方程通解
(2) 求非齐次方程的特解
2 是单根， 设 y*
x ( Ax B ) e 2 x
13
二阶线性微分方程
例9 求方程 y 3 y 2 y x e 2 x 的通解.
y(0) 4 C1 4，
y (4 C 2
3 x x)e 4
3 C2 3 C2 ，
4
3 4x x e
y(0) 2 C 2 1.
特解 y (4
3 x x)e4 .
6
二阶线性微分方程
求方程 y(4) 2 y 5 y 0 的通解. 例5 解 特征方程 4 2 3 5 2 0,
1 A , 4
1 3 x y xe 4
原方程通解： y Y y
C1e
3 x
C 2e
x 1 xe 3 x
4
12
二阶线性微分方程
例9 求方程 y 3 y 2 y x e 2 x 的通解.
解 f ( x ) x e 2 x， 2 (1) 求对应齐次方程的通解 特征方程 特征根
x , e 线性无关.
2 x
x2 e
x
常数
齐次线性方程的通解： C1 x 2 C2e x， Y 非齐次方程的通解：
y Y y .
2
二阶线性微分方程
二阶常系数齐次线性方程 y p y q y 0
2 p q 0 (1) 相应的特征方程, (2) 求特征根，1 , 2
y ax b
y2 cxe x
18
1
二高阶线性微分方程
设 y y ( x )是二阶常系数微分方程 y py qy e3 x 满足初始条件 y(0) y (0) 0
ln(1 x 2 ) 的特解, 则当x 0时, 函数 的极限 y( x ) (A) 不存在. (B) 等于1. (C) 等于2. (D) 等于3. ln(1 x ) x 2x 解 lim lim lim x 0 x 0 y( x ) x 0 y ( x ) y( x ) 2 2 lim x 0 y( x )
解 二阶常系数线性非齐次方程
f ( x ) 2e .
x
1.
(1) 求对应齐次方程的通解
特征方程 2 3 2 0,
特征根
1 1，2 2，
15
对应齐次方程通解 Y C1e x C2e 2 x
二线性微分方程
3 y 2 y 2e x , 例10 设函数 y y( x )满足微分方程 y
二阶线性微分方程
例1 已知 y1 3, y2 3 x , y3 3 x e
2 2
x
( x 2 2 x ) y ( x 2 2) y ( 2 x 2) y 6 x 6 都是方程:
的解, 求此方程的通解. 非齐次线性方程的两个特解之差 是对应 齐次方程的特解. 解 y2 y1 x 2 , y3 y2 e x，
C2e
x
( 3是单根)
11
设y x A e 3 x
二阶线性微分方程
例8
求方程 y 2 y 3 y e 3 x 的通解.
对应齐次方程通解 Y C1e 3 x C2e x
设y Axe 3 x
将y, y, y 代入方程,
10
二阶线性微分方程