常微分方程 二阶线性微分方程习题课

二阶线性微分方程
线性微分方程的解的结构
定理1 如果 L[ y1 ( x )] 0，L[ y2 ( x )] 0,
L[C1 y1 ( x ) C 2 y2 ( x )] 0.
y 定理2 如果y1 ( x )， 2 ( x )是齐次方程 线性无关解，
齐次方程通解： Y C1 y1 ( x ) C2 y2 ( x ) 定理3
解 二阶常系数线性非齐次方程
f ( x ) 2e .
x
1.
(1) 求对应齐次方程的通解
特征方程 2 3 2 0,
特征根
1 1，2 2，
15
对应齐次方程通解 Y C1e x C2e 2 x
二线性微分方程
3 y 2 y 2e x , 例10 设函数 y y( x )满足微分方程 y
* * * * L( y1 ) f ( x ), L( y2 ) f ( x ) L( y1 y1 ) 0.
非齐次方程通解：y Y y . 定理4 定理5
* L[ y1 ] f1 ( x ),
* L[ y2 ] f 2 ( x )
1
* * L[ y1 y2 ] f1 ( x ) f 2 ( x ).
A. (ae b)e
x x
x
B. (ae b) xe
x
x
C . (ax b) ce
2
D. (ax b) cxe x
解 对应的齐次微分方程 y 3 y 2 y 0 特征方程 3 2 0 特征根 1, 2
y 3 y 2 y 3 x y 3 y 2 y 2ex
y(0) 4 C1 4，
y (4 C 2

3 x x)e 4
3 C2 3 C2 ，
4
3 4x x e

y(0) 2 C 2 1.
特解 y (4
3 x x)e4 .
6
二阶线性微分方程
求方程 y(4) 2 y 5 y 0 的通解. 例5 解 特征方程 4 2 3 5 2 0,
二阶线性微分方程
例1 已知 y1 3, y2 3 x , y3 3 x e
2 2
x
( x 2 2 x ) y ( x 2 2) y ( 2 x 2) y 6 x 6 都是方程:
的解, 求此方程的通解. 非齐次线性方程的两个特解之差 是对应 齐次方程的特解. 解 y2 y1 x 2 , y3 y2 e x，
y ax b
y2 cxe x

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1
二高阶线性微分方程
设 y y ( x )是二阶常系数微分方程 y py qy e3 x 满足初始条件 y(0) y (0) 0
ln(1 x 2 ) 的特解, 则当x 0时, 函数 的极限 y( x ) (A) 不存在. (B) 等于1. (C) 等于2. (D) 等于3. ln(1 x ) x 2x 解 lim lim lim x 0 x 0 y( x ) x 0 y ( x ) y( x ) 2 2 lim x 0 y( x )
x
C . ae bx
x
D. axe bx
x
提示 根椐线性微分方程的性质,
y y e x， y1 xae x
y y 1，
y2 b
两个特解的和就是原方程的特解.
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二阶线性微分方程
3 y 2 y 3 x 2ex 的特解 y (D ). 微分方程 y
解 特征方程
5 4 2 3 2 2 1 0
( 1) ( 2 1)2 0
（单根） , 特征根 1 1
2, 3 i，共轭复根（二重） ,
所求通解:
y C1e x (C 2 C 3 x ) cos x (C4 C5 x ) sin x .
1 x
二阶线性微分方程
例2 求方程 y 4 y 4 y 0 的通解. 解 特征方程 2 4 4 0
特征根
通解：
2 （二重根）
y (C1 C 2 x )e 2 x
4
二阶线性微分方程
例3 求方程 y 2 y 5 y 0 的通解. 解 特征方程 2 2 5 0 特征根 通解：
2 2
0 0 0 0
x (0) py (0) qy(0) e30 1 y(0) 1 y
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二阶线性微分方程
设f ( x ) sin x
x ( x t ) f ( t )dt , 0
积分方程
其中f为连续函数 求f ( x ). , sin x x ( x t ) f ( t )dt 解 [ f ( x )] [ ]x 0
1, 2 1 2 i ,
y e x (C1 cos 2 x C2 sin 2 x )
5
二阶线性微分方程
16 y 24 y 9 y 0, 例4 解初值问题 y x 0 4, y x 0 2.
解 特征方程 16 2 24 9 0 3 (二重根) 特征根 4 3 x 方程的通解： y (C1 C 2 x ) e 4
二阶常系数非齐次线性方程
y p y q y Pm ( x )e x 设 y x k Qm ( x )e x
0 , k 1 2
不是根
是单根 是重根
py q y [ Am ( x ) cos x Bn ( x ) sin x ]ex y 设 y* x k [ Pl ( x ) cos x Ql ( x ) sin x ]e x
10
二阶线性微分方程
例8 解
求方程 y 2 y 3 y e 3 x 的通解.
f ( x) e3 x .
3.
(1) 求对应齐次方程的通解 特征方程 2 2 3 0 特征根
1 3，2 1
3 x
对应齐次方程通解 Y C1e (2) 求非齐次方程的解
ln y ,
2 1 0， 特征根 1. 特征方程
通解 z C1e x C2e x ln y C1e x C2e x . dp 或: y f ( y , y )型. 设 y p, y p . dy
9
二阶常系数非齐次线性微分方程
对应齐次方程通解 Y C1e x C2e 2 x
y x( Ax B )e 2 x
将y, y, y 代入方程, 得
1 2 Ax B 2 A x A , B 1. 2 1 y x ( x 1) e 2 x 2
原方程通解： y Y y
1 A , 4
1 3 x y xe 4
原方程通解： y Y y
C1e
3 x
C 2e
x 1 xe 3 x
4
12
二阶线性微分方程
例9 求方程 y 3 y 2 y x e 2 x 的通解.
解 f ( x ) x e 2 x， 2 (1) 求对应齐次方程的通解 特征方程 特征根
8
二阶线性微分方程
y 2 y 2 ln y 的通解. 例7 求微分方程 yy
解： y 0,
y 2 yy
2
y y y y , 方程改写为： ln y ln y , ln y x y 令 z ln y z z 0，二阶常系数齐次线性方程
x x f ( x ) cos x [ x 0 f ( t )dt 0 t f ( t ) dt ]x x cos x [ 0 f ( t )dt x f ( x ) x f ( x )] x



cos x f ( t )dt
0
积分方程
两端再对x求导, f ( x ) sin x f ( x )
2 3 2 0
1 1，2 2
Y C1e x C2e 2 x
对应齐次方程通解
(2) 求非齐次方程的特解
Biblioteka Baidu 2 是单根， 设 y*
x ( Ax B ) e 2 x
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二阶线性微分方程
例9 求方程 y 3 y 2 y x e 2 x 的通解.
f ( x ) f ( x ) sin x
即 y y sin x .
微分方程
二阶常系数非齐次线性方程.
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二阶线性微分方程
(1) 验证函数 x3 x6 x9 x 3n y( x ) 1 ( x ) 3! 6! 9! ( 3n)! y y y ex ; y(0) 1， (0) 0 y 满足微分方程 x 3n 的和函数. (2) 求幂级数 n 0 ( 3n )!
C1e C2e
x
2x
1 x( x 1)e 2 x 2
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二阶线性微分方程
例10 设函数 y y( x )满足微分方程 y 3 y 2 y 2e x ,
其图形在点(0,1)处的切线与曲线 y x 2 x 1在
该点处的切线重合, 求函数y的解析表达式.
C2e
x
( 3是单根)
11
设y x A e 3 x
二阶线性微分方程
例8
求方程 y 2 y 3 y e 3 x 的通解.
对应齐次方程通解 Y C1e 3 x C2e x
设y Axe 3 x
将y, y, y 代入方程,
C1 1 y(0) 1，C1 2C2 1 C 2 0
y(0) 1, C1 C 2 1
x
y (1 2 x ) e
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二阶线性微分方程
y ex 1的一个 特解。 ( B )是微分方程 y
A. ae b
x
B. axe b
x , e 线性无关.
2 x
x2 e
x
常数
齐次线性方程的通解： C1 x 2 C2e x， Y 非齐次方程的通解：
y Y y .

2
二阶线性微分方程
二阶常系数齐次线性方程 y p y q y 0
2 p q 0 (1) 相应的特征方程, (2) 求特征根，1 , 2
2( 2 2 5) 0.
特征根 所求通解:
y C1 C2 x e x (C3 cos 2 x C4 sin 2 x )
1 2 0 和 3,4 1 2i .
7
二阶线性微分方程
求 y( 5) y( 4) 2 y 2 y y y 0 的通解. 例6
(3) 根据特征根的不同情况，得到相应的通解。 特征根的情况 实根 1 2 实根 1 2 复根 1， i 2 通解的表达式
y C1e1 x C2e2 x
y e x (C1 cos x C2 sin x )
3
y (C1 C2 x ) e
其图形在点(0,1)处的切线与曲线 y x 2 x 1在
该点处的切线重合, 求函数y的解析表达式.
(2) 求非齐次方程的特解
1 1，2 2，
1 是单根.
设 y x A e x A 2
原方程通解： y C1e x C2e 2 x 2 xe x (3) 求原方程的特解