第九章二阶线性常微分方程级数解法
微分方程的级数解法
微分方程的级数解法微分方程是数学中的一门重要分支，广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。
在微分方程的解法中，级数解法是一种常见且有效的方法。
本文将介绍微分方程的级数解法，并通过具体的例子来说明其应用。
一、级数解法的基本思想级数解法是通过将微分方程的解表示为级数形式，然后利用级数的性质来求解微分方程。
其基本思想是将未知函数表示为幂级数的形式，然后将其代入微分方程中，通过比较系数的方法确定级数的各项。
二、级数解法的步骤级数解法的步骤可以概括为以下几个方面：1. 假设未知函数的级数解形式，通常选择幂级数形式，如y(x)=∑(n=0)^(∞)a_n(x-x_0)^n。
2. 将级数解代入微分方程中，得到方程的各项。
3. 比较方程两边各项的系数，得到递推关系式。
4. 解递推关系式，确定级数解中的各项系数。
5. 根据级数解的收敛性，确定级数解的有效区间。
三、例子：求解二阶常系数线性齐次微分方程考虑一个二阶常系数线性齐次微分方程：y''(x)+ay'(x)+by(x)=0，其中a、b为常数。
假设未知函数的级数解形式为y(x)=∑(n=0)^(∞) a_nx^n。
将级数解代入微分方程中，得到：∑(n=0)^(∞) a_n(n(n-1)x^(n-2)+anx^(n-1)+bx^n)=0。
比较方程两边各项的系数，得到递推关系式：a_0=0，a_1=0，(n(n-1)a_n+a(n+1)a_(n+1)+ba_n)=0。
解递推关系式，确定级数解中的各项系数：由a_0=0可知，a_n=0(n≥0)。
根据递推关系式，可得：a_2=-ba_0/(2(2-1))=-b/2，a_3=-ba_1/(3(3-1))=0，a_4=-ba_2/(4(4-1))=b^2/(2*4)，...根据级数解的收敛性，确定级数解的有效区间：根据级数解的收敛性定理，级数解的有效区间至少包含级数展开点x=0。
因此，级数解的有效区间为整个实数集。
二阶线性常微分方程的幂级数解法
二阶线性常微分方程的幂级数解法从微分方程学中知道，在满足某些条件下，可以用幂级数来表示一个函数。
因此，自然想到，能否用幂级数来表示微分方程的解呢？ 例1、求方程''0y xy -=的通解解：设2012n n y a a x a x a x =+++++……为方程的解，这里(0,1,2,,,)i a i n =……是待定常系数，将它对x 微分两次，有 将y ，'y 的表达式代入方程，并比较的同次幂的系数，得到x -∞<<∞2210a ⋅=，30320,a a ⋅-= 41430,a a ⋅-= 52540,a a ⋅-=或一般的可推得32356(31)3k a a k k =⋅⋅⋅⋅⋅-⋅，13134673(31)k a a k k +=⋅⋅⋅⋅⋅⋅+，其中1a ，2a 是任意的，因而代入设的解中可得：这个幂级数的收敛半径是无限大的，因而级数的和（其中包括两个任意常数0a 及1a ）便是所要求的通解。
例6 求方程'''240y xy y --=的满足初值条件(0)0y =及'(0)1y =的解。
解 设级数2012n n y a a x a x a x =+++++……为方程的解。
首先，利用初值条件，可以得到00a =， 11a =，因而将y ，'y ，''y 的表达式带入原方程，合并x 的各同次幂的项，并令各项系数等于零，得到 因而 最后得21111(1)!!k a k k k +=⋅=- , 20k a =, 对一切正整数k 成立。
将i a (0,1,2,)i =的值代回2012n n y a a x a x a x =+++++……就得到 这就是方程的满足所给初值条件的解。
是否所有方程都能按以上方式求出其幂级数解？或者说究竟方程应该满足什么条件才能保证它的解可用幂级数来表示呢？级数的形式怎样？其收敛区间又如何?这些问题，在微分方程解析理论中有完满的解答，但因讨论时需要涉及解析函数等较专门的知识，在此我们仅叙述有关结果而不加证明，若要了解定理的证明过程，可参考有关书籍。
常点邻域上的级数解法
且在x=±1均有限的无穷级数解(P193)； (4)自然边界条件构成的本征值问题 实际问题中要求解在一切方向保持有限，即在 x∈[-1，1]或θ∈[0，π]上有限 物理问题要求解在x=±1保持有限，而y0(x)、 y1(x)不满足该要求。
(两个级数之和) y0(x)只含偶次幂，为偶函数， y1(x)只含奇次幂， 为奇函数， a0、a1为任意常数，可由初始条件确定
(l )(l 1) 2 y0 ( x ) 1 x ... 2! (2k 2 l )(2k 4 l )...(l )(l 1)(l 3)...(l 2k 1) 2 k x (2k )! ⑦ (2k l )(2k 2 l )...(l 2k 1)(l 2k 1) 2 k 2 x ... (2k 2)!
R lim (k 1)( k 2)
k
由递推公式得：
例(P195.3): 在x0=0的邻域上求解埃尔米特(厄密) 方程y"-2xy'+(λ -1)y=0，(量子力学谐振子问题 中出现)λ 取什么数值可使级数解退化为多项式？ 这些多项式乘以适当的常数使最高幂项成为 (2x)n形式，叫做厄密多项式，记为Hn(x)，写出 前几个Hn(x)。 解： y 2 xy ( 1) y 0 ( x )
n2 k 0 n 1 k 1 k 0
代入方程，得
ak 2
2k 1 ak (k 1)(k 2)
推导得 y( x) a0 y0 ( x) a1 y1 ( x) ，其中
1 2 (1 )(5 ) 4 y0 ( x ) 1 x x ... 2! 4! (1 )(5 )...(4k 3 ) 2 k x ... (2k )!
二阶线性常微分方程的级数解法
◼ 指标方程有重根：这时必有：ρ2 = ρ1 = (1 - g0)/ 2
由 Frobenius & Fuchs 定理，微分方程必定有一个解可写成 ：
ζ
ζ
2 - a1
因为这时对应于 ：P(ζ) =
- a2 - a3 ζ + ⋯,
b2 b3 Q(ζ) = + + ⋯
在 ζ = 0 ，ζ P(ζ) 和 ζ2 Q(ζ) 均解析 。
ζ
ζ2 ζ
☺ 例： (1.7) 式的超几何方程 ： x (x - 1) y″ + [(1 + a + b) x - c] y′ + a b y = 0
正则奇点：在 z0 点， p(z) 或 q(z) 不解析，但 (z - z0) p(z) 和 (z - z0)2 q(z) 都解析。 非正则奇点：在 z0 点，连 (z - z0) p(z) 或 (z - z0)2 q(z) 也不解析。
◼ 无穷远点的判断：方程做自变量变换 z = 1 / ζ，则方程 (1.9) 化为
1
1
若 p 和 q 不具有 (1. 11) 形式，ζ = 0 (z = ∞) 就是微分方程的奇点 。
ζ
ζ
1
1
若 p 和 q 具有以下形式 ，则 ζ = 0 是 (1.10) 的正则奇点 ，对应地 ，z = ∞ 是 (1.9) 的正则奇点 。
ζ
ζ
1
1
p = a1 ζ + a2 ζ2 + a3 ζ3 + ⋯, q = b2 ζ2 + b3 ζ3 + ⋯,
通常人们并不需要在整个复平面内求解方程更感兴趣的是求解某点z0邻域的解邻域可大可小因此若要在某点z0的邻域求解微分方程系数函数pz和qz在z0的性质就显得特别重要为此做以下定义
二阶线性常微分方程
二阶线性常微分方程二阶线性常微分方程（Second-order linear ordinary differential equation）是微积分中常见的一类数学方程。
它具有以下标准形式：y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x)其中，y是未知函数，x是自变量，y''表示y对x的二阶导数，y'表示y对x的一阶导数。
而p(x)，q(x)，f(x)是给定的函数。
解二阶线性常微分方程需要求出其一般解或特解。
下面我们将介绍两种常见的解法方法。
1. 特征方程法对于二阶线性常微分方程而言，我们可以首先考虑其对应的特征方程。
将方程转化为特征方程后，解出特征方程的根，再根据不同情况求解方程。
特征方程形式如下：r^2 + p(x)r + q(x) = 0在解特征方程时，可能会出现以下三种情况：情况1：特征方程有两个相异实根r1和r2。
此时，原方程的通解可以表示为：y(x) = C1e^(r1x) + C2e^(r2x)其中C1和C2为待定常数。
情况2：特征方程有两个相等实根r。
此时，原方程的通解可以表示为：y(x) = (C1 + C2x)e^(rx)其中C1和C2为待定常数。
情况3：特征方程有两个共轭虚根α+βi和α-βi。
此时，原方程的通解可以表示为：y(x) = e^(αx)(C1cos(βx) + C2sin(βx))其中C1和C2为待定常数。
通过求解特征方程并根据不同情况求解方程，我们可以得到原方程的一般解。
2. 常数变易法除了特征方程法之外，我们还可以通过常数变易法来解决二阶线性常微分方程。
常数变易法的基本思路是，首先猜测通解形式，然后将通解带入原方程，求解待定常数。
例如，对于形如y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x)的方程，我们可以猜测通解形式为y = u(x)y1(x)，其中y1(x)是该方程对应的齐次线性方程的一个特解，u(x)是待定函数。
9-2常点邻域上的级数解法
有两个显然的奇点 x 1 ；但不要忘记考虑无穷远点，令 x 1 ，作变量代换： t
代入原方程得
dy dx
t 2
dy dt
,
d2y dx2
t4
d2y dt 2
2t 3
dy dt
d 2 y 2t
dt 2 1 t 2
dy l l 1
dt t2 1 t2
y0
P
t
1
2t x2
,
Q
t
t
l
2
l
1
1
t2
t 0 ，是 Q t 0 的奇点，故 x 是 Legendre 方程的奇点。
定理：若 p z 、 q z 皆在 z0 邻域内单值解析，则微分方程
d 2 dz 2
p
t
d dz
q
z
z
0
z0 c0 ,' z0 c1
在 z0 邻域内有唯一解 z ，而且此解在 z0 邻域单值解析。
k 0
k 2
k 1
k 0
xk 项前的系数为：
k 2k 1 ak2 k k 1 ak 2kak l l 1 ak 0
k 2k 1 ak2 k k 1 l l 1 ak 0
k k 1 l l 1 k l k l 1
ak2 k 2k 1 ak k 2k 1 ak
此即为系数的递推公式，由此得出
（2） R 1 ，即 x 1 时级数能收敛吗？
答案是否定的！附录 4 证明了， y0 x ， y1 x 在 x 1 处发散。 但是 y0 x ， y1 x 的线性叠加 D0 y0 x D1 y1 x 是否有可能在 x 1 收敛呢 （注意 y0 x ， y1 x 并非正数项级数）？ 这也是不可能的，要找到一个级数形如 y x D0 y0 x D1 y1 x 同时又在 x 1 收敛是不可能的！可以用反证法证明这一点： 设 y x D0 y0 x D1 y1 x 在 x 1 收敛； 注意勒让德方程的一个特性：把 x 换
二阶线性常微分方程的级数解法和广义傅里叶级数
接着对常见的变系数线性微分方程进行分类，介绍了如何用 幂级数解法和弗罗贝尼乌斯级数解法求解正则奇点的二阶常微分 方程。
最后对常见的施图姆-刘维尔型微分方程的特征值和特征函 数的性质作了系统的介绍。
sin 9 ))| = sin 2 9 - 2 cos9 = (1 - x2 ) - 2x
这样式(5.1-20)可以写成
(1- x2 ) - 2x + n(n + 1)-
y = 0 (5.1-21)
式(5.1-21)是常见的勒让德方程的一般形式， 称为连带勒让德方程。
17
5.1.2
令m = 0 ，得到
(2) 若p(x)和q(x)中至少有一个不满足(x _ x0 )p(x), (x _ x0 )2 q(x)在
x0点解析， 则x0称为方程(5.3-1)的本性奇点。在本性奇点附近， 方
x 程至少有一解在x0 有本性奇点，
而另一解可能是y =
w
an
(x
_
)n+p
x0
，
n=0
但它往往是发散的， 这种情况在数理方程中不多见， 这里不讨论它。
上式代入式(5.1-7)，得到
(5.1-8)
p p + R，， 2
R，+ 入p2
= - = O，， 山
RR
O
式中山为常数。上式是两个常微分方程，分别是
p2 + p + (入p2 - 山)R = 0
(5.1-9)
O，，+ 山O = 0
8
5.1.1
由于V(p,9)是单值函数，所以内(9)应满足周期性边界条件，因而有
二阶线性常微分方程的级数解法解析课件
fn
(s)
sPn
Qn
.
(n 1, 2,
)，由于a0 0，必有
f0 (s) s(s 1) sP0 Q0 0 上式为指标方程，其根s1和s2称为正则奇点的指标数.
从而得到方程的一个解w1(z) (z z0 )s1 ak (z z0 )k k 0
求第二个特解
1 s1 s2 整数包括零，则在所设解中取s s2，此时f0 (s2 ) 0，
由于J m
(x)
k 0
k
(1)k !(m
k
1)
( x )m2k，其中m为整数，当 2
k m时， m k 1为负数，函数的值为无穷大，因此对k
求和是从k
m开始，即J m
(x)
k m
k
(1)k !(m
k
1)
( x)m2k 2
令n k m，求和指标从k变到m，则有
Jm (x)
dz2 z dz
z2
在有限远处的奇点为z0 0，且z0 0 是方程的正则奇点.
5.2 方程常点邻域内的解
1.常点邻域内的级数解定理
若p(z)和q(z)在圆形域 | z z0 | R内单值解析，则常微分初值问题
d 2w
dz 2
p(z)
dw dz
q(z)w
0
w(z0 ) a0 , w(z0 ) a1
f0 (s2 k) 0，k 1, 2, 对任选a0 0可唯一确定另外一个解
w2 (z) (z z0 )s2 bk (z z0 )k，w1(z)和w2 (z)线性无关. k 0
2当s1 s2 n 整数，f0 (s2 ) 0，f0 (s2 n) 0，递推到第n步
令a0 a1 an1 0，an 0，可唯一确定ak (k n)，从而
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2 z 2
2 z 2
柱坐标系：
2 1 ( ) 1
2 2
2 2 z2
球坐标系：
2
1 r2
r
(r2
r
)
r2
1
sin
(sin
)
r2
1 sin2
2
2
球坐标系下拉普拉斯方程的分离变量：
球坐标系下拉普拉斯方程的形式为：
d
d
d 2
得到两个常微分方程：
d 2
d 2
0
sin d (sin d) [l(l 1)sin2 ] 0
d
d
解常微分方程：
d 2
d 2
0
自然周期边界条件： ( 2 ) ()
得其通解为： () Am cos m Bm sin m
1
sin
(s in
Y
)
s
1 in 2
2Y
2
l(l 1)Y
0
球函数方程的分离变量： 再令 Y ( ,) ( )()
d (sin d ) d 2 l(l 1) 0
sin d
d sin 2 d 2
sin d (sin d) l(l 1) sin2 1 d 2
一、 曲线坐标系中的分离变量： 以球坐标系下的拉普拉斯方程为例
z
r
x
(x, y, z)
z
y
z
r
(x, y, z)
z
y
x
球极坐标
边界：r, ,
z
r
h
(x, y, z)
z
柱坐标： , z,
y xΒιβλιοθήκη 拉普拉斯方程： 2u 0
拉普拉斯算子: 2
直角坐标系：
2
2 x 2
u(r, ,)
l 0
m0
(Cl r l
Dl r l 1
)(
Am
cos
m
Bm
sin
m
)Plm (cos
)
l 0,1,2,...; m 0, 1, 2,..., l
轴对称情形下球坐标系中拉普拉斯方程的通解：
如果所研究的问题具有轴对称性（即u 是轴对称的，对φ的转动
不改变 u ），则 m 0
于是轴对称情形下球坐标系中拉普拉斯方程的通解为：
u(r, )
l
(Cl r l
Dl r l 1
)
Pl
(cos )
Pl (cos ) 是l-阶勒让德多项式，它是l-阶勒让德方程在区间[-1,1] 内的有界解。
l-阶勒让德方程（特殊函数方程） ：
(1
x2
m2 m 0,1,2,
再解常微分方程：
sin d (sin d) [l(l 1)sin2 m2] 0 d d
令： x cos,
sin sin x sin2 (1 x2 )
x
x
x
方程的形式变为：
在球坐标系或柱坐标系中利用分离变量法求解偏微分方程时， 经常会遇到二阶齐次、线性、变系数的常微分方程，如勒让德 方程、贝塞尔方程（特殊函数的常微分方程），等等。
变系数常微分方程的求解一般都是比较复杂的, 需要一些特殊的 方法才能对它们进行求解。 一个比较普遍的方法就是级数解法, 本章将对二阶齐次、线性、变系数常微分方程的级数解法作一 简要的介绍。
r 2 sin 2 2
1 R
r
(r 2
R ) r
1
Y sin
(sin
Y
)
Y
s
1 in
2
2Y
2
l(l 1)
d (r2 dR) l(l 1)R 0 dr dr
欧拉形方程
1 (sin Y ) 1 2Y l(l 1)Y 0
1 r2
r
(r 2
u ) r
1 r 2 sin
(s in
u )
1 r 2 sin2
2u 2
0
分离变量： u(r, ,) R(r)Y ( ,)
Y (r 2 R ) R (sin Y ) R 2Y 0
r 2 r r r 2 sin
第九章 二阶线性常微分方程的级数解法 斯特姆 — 刘维本征值问题
（教材第七章)
• 曲线坐标系中的分离变量：以球坐标系下拉普拉斯方 程为例
• 二阶线性常微分方程常点邻域内的幂级数解法：以勒
让德方程为例子
• 斯特姆 — 刘维本征值问题
应用分离变量法解数学物理偏微分方程时, 不可能总是采用直角 坐标系, 在很多情况下需要根据边界的形状选择适当的曲线坐标 系。如所研究的物理系统的边界为球面或柱面, 就需要采用球坐 标系或柱坐标系（统称曲线坐标系）。
d dx
[(1
x2
)
d dx
]
[l
(l
1)
1
m2 x2
]
0
l-阶缔合勒让德方程（特殊函数方程） ：
d dx
[(1
x
2
)
d dx
]
[l (l
1)
1
m2 x
2
]
0
l-阶缔合勒让德方程在区间[-1，1]内的有界解为缔合勒让德函 数，记为 Plm ( x)
结论：在球坐标系下拉普拉斯方程（ 2u 0 ）的通解为：
sin
sin2 2
球函数方程
径向函数所满足的方程为欧拉形方程：
d (r2 dR ) l(l 1)R 0, dr dr
r2
d 2R dr2
2r
dR dr
l(l
1) R
0
其解为：
R(r)
Cr l
D r l1
【求解过程：先作坐标变换 r et , t ln r,
)
d 2 dx2
2x
d dx
l (l
1)
0
二、二阶齐次、线性、变系数常微分方程常点邻域内的级数解 法（以勒让德方程为例）
二阶齐次线性变系数常微分方程的标准形式为：
y（'' x) p(x) y '(x) q(x) y(x) 0
对于复变函数：
w''(z) p(z)w'(z) q(z)w(z) 0
dR dR dt 1 dR , d 2R 1 d 2R 1 dR dr dt dr r dt dr2 r2 dt2 r2 dt
原方程变为：
d 2R dt 2
dR dt
l(l
1)R
0
其解为：
R(t) Celt De(l1)t Crl Dr (l1) 】
球函数方程：