二阶常系数线性齐次微分方程43547
二阶常系数齐次线性微分方程
求ypyqy0的通解的步骤
•第一步 写出微分方程的特征方程
r2prq0;
•第二步 求出特征方程的两个根r1、r2; •第三步 根据特征方程的两个根的不同情况 写出微分方程的
通解
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•特征方程的根与通解的关系
而
ex
cos
x
1 2
(
y1
y2)
ex
sin
x
1 2i
(
y1
y2)
>>>
故excosx和exsinx也是方程的解;
函数excosx与exsinx的比值为cotx 不是常数
故excosx和exsinx是方程的线性无关解
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§12.8 二阶常系数齐次线性微分方程
方 程 ypyqy0 称 为 二 阶 常 系 数 齐 次线性微分方程 其中p、q均为常数
如果y1、y2是二阶常系数齐次线性微分 方程的两个线性无关解 那么yC1y1C2y2 就是它的通解
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•特征方程的根与通解中项的对应
•单实根r对应于一项 Cerx ;
•一对单复根r1 2i 对应于两项 ex(C1cosxC2sinx);
•k重实根r对应于k项 erx(C1C2x Ckxk1);
•一对k重复根r1 2i 对应于2k项 ex[(C1C2x Ck xk1)cosx(D1D2x Dkxk1)sinx]
高等数学-十九 二阶线性常系数齐次微分方程-精选文档
(常数)
定理3
若
y 是二阶线性非齐次方程(2)的特解,
y 是方程(2)所对应的齐次方程的通解，则
Y y y 就是方程(2)的通解。
定理4 若 y 1 , y 2 分别是方程
a y b y c y f () x 1
与 a y b y c y f () x 的特解, 那么 y y 1 y 2 2
x 2
3
x
e 2x
x
x
根据例1知道该方程所对应的齐次方程的通解 ,所以该方程的通解为 yce cx 1 2 e x x 1 3 x Y ce cx 1 2 e xe 3
x
二、二阶线性常系数齐次微分方程求通解的方法
a y b y c y 0
由定理知，要求齐次线性方程的通解，只要 求出它的两个线性无关的特解即可.
ye
x
y e
代入齐次方程得
y e （ 为常数） 2 x x x a e b e c e 0
2 x
x
e( a b c ) 0
x
2
e( a b c ) 0 e
x
2
x
0
a b c 0
二阶线性常系数微分方程
一. 二阶线性常系数微分方程解的性质
二. 二阶线性常系数齐次微分方程求解的方法
形如
a y b y c y fx () （其中 a , b , c 为常数）
即
叫做二阶线性常系数微分方程 当
f ( x) 0
a y b y c y 0 (1 )
bcy acy ( 1 1 cy ccy ( 1 1 cy ( 1 1 cy ) 2 2) 2 2) 2 2
二阶常系数线性微分方程的解法word版
第八章 讲第四节 二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线形微分方程的概念形如 )(x f qy y p y =+'+'' 1的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中p 、q 均为实数,)(x f 为已知的连续函数.如果0)(≡x f ,则方程式 1变成0=+'+''qy y p y 2我们把方程2叫做二阶常系数齐次线性方程,把方程式1叫做二阶常系数非齐次线性方程. 本节我们将讨论其解法.二、二阶常系数齐次线性微分方程1．解的叠加性定理1 如果函数1y 与2y 是式2的两个解, 则2211y C y C y +=也是式2的解,其中21,C C 是任意常数.证明 因为1y 与2y 是方程2的解,所以有0111=+'+''qy y p y 0222=+'+''qy y p y 将2211y C y C y +=代入方程2的左边,得)()()(221122112211y C y C q y C y C p y C y C ++'+'+''+'' =0)()(22221111=+'+''++'+''qy y p y C qy y p y C 所以2211y C y C y +=是方程2的解.定理1说明齐次线性方程的解具有叠加性.叠加起来的解从形式看含有21,C C 两个任意常数,但它不一定是方程式2的通解.2.线性相关、线性无关的概念设,,,,21n y y y 为定义在区间I 内的n 个函数,若存在不全为零的常数,,,,21n k k k 使得当在该区间内有02211≡+++n n y k y k y k , 则称这n个函数在区间I 内线性相关,否则称线性无关.例如 x x 22sin ,cos ,1在实数范围内是线性相关的,因为0sin cos 122≡--x x又如2,,1x x 在任何区间a,b 内是线性无关的,因为在该区间内要使 02321≡++x k x k k必须0321===k k k .对两个函数的情形,若=21y y 常数, 则1y ,2y 线性相关,若≠21y y 常数, 则1y ,2y 线性无关.3.二阶常系数齐次微分方程的解法定理 2 如果1y 与2y 是方程式2的两个线性无关的特解,则212211,(C C y C y C y +=为任意常数是方程式2的通解.例如, 0=+''y y 是二阶齐次线性方程,x y x y cos ,sin 21==是它的两个解,且≠=x y y tan 21常数,即1y ,2y 线性无关, 所以 x C x C y C y C y cos sin 212211+=+=21,C C 是任意常数是方程0=+''y y 的通解.由于指数函数rxe y =r 为常数和它的各阶导数都只差一个常数因子,根据指数函数的这个特点,我们用rx e y =来试着看能否选取适当的常数r ,使rxe y =满足方程2.将rx e y =求导,得 rx rx e r y re y 2,=''='把y y y ''',,代入方程2,得0)(2=++rx eq pr r 因为0≠rx e , 所以只有 02=++q pr r 3只要r 满足方程式3,rx e y =就是方程式2的解.我们把方程式3叫做方程式2的特征方程,特征方程是一个代数方程,其中r r ,2的系数及常数项恰好依次是方程2y y y ,,'''的系数. 特征方程3的两个根为 2422,1q p p r -±-=, 因此方程式2的通解有下列三种不同的情形. (1) 当042>-q p 时,21,r r 是两个不相等的实根. 2421q p p r -+-=,2422q p p r ---= x r x r e y e y 2121,==是方程2的两个特解,并且≠=-x r r e y y )(2121常数,即1y 与2y 线性无关.根据定理2,得方程2的通解为 x r x r e C e C y 2121+=(2) 当042=-q p 时, 21,r r 是两个相等的实根. 221p r r -==,这时只能得到方程2的一个特解x r e y 11=,还需求出另一个解2y ,且≠12y y 常数,设)(12x u y y =, 即 )(12x u e y x r =)2(),(21121211u r u r u e y u r u e y x r x r +'+''=''+'='. 将222,,y y y '''代入方程2, 得 []0)()2(12111=++'++'+''qu u r u p u r u r u e x r 整理,得0])()2([12111=+++'++''u q pr r u p r u e x r由于01≠x r e , 所以 0)()2(1211=+++'++''u q pr r u p r u 因为1r 是特征方程3的二重根, 所以02,01121=+=++p r q pr r从而有 0=''u因为我们只需一个不为常数的解,不妨取x u =,可得到方程2的另一个解 x r xe y 12=.那么,方程2的通解为x r x r xe C e C y 1121+=即 xr e x C C y 1)(21+=.(3) 当042<-q p 时,特征方程3有一对共轭复根 βαβαi r i r -=+=21, 0≠β于是 x i x i e y ey )(2)(1,βαβα-+== 利用欧拉公式 x i x e ix sin cos +=把21,y y 改写为)sin (cos )(1x i x e e e e y x x i x x i ββαβαβα+=⋅==+)sin (cos )(2x i x e e e e y x x i x xi ββαβαβα-=⋅==-- 21,y y 之间成共轭关系,取-1y =x e y y x βαcos )(2121=+, x e y y i y x βαsin )(2121_2=-= 方程2的解具有叠加性,所以-1y ,-2y 还是方程2的解,并且≠==--x x e x e y y x x βββααtan cos sin 12常数,所以方程2的通解为 )sin cos (21x C x C e y x ββα+=综上所述,求二阶常系数线性齐次方程通解的步骤如下:1写出方程2的特征方程02=++q pr r2求特征方程的两个根21,r r3根据21,r r 的不同情形,按下表写出方程2的通解.例1求方程052=+'+''y y y 的通解.解: 所给方程的特征方程为0522=++r ri r i r 21,2121--=+-=所求通解为 )2sin 2cos (21x C x C e y x +=-.例 2 求方程0222=++S dt dS dtS d 满足初始条件2,400-='===t t S S 的特解.解 所给方程的特征方程为0122=++r r121-==r r通解为 te t C C S -+=)(21 将初始条件40==t S 代入,得 41=C ,于是 t e t C S -+=)4(2,对其求导得te t C C S ---=')4(22 将初始条件20-='=t S 代入上式,得 22=C所求特解为t e t S -+=)24(例3求方程032=-'+''y y y 的通解.解 所给方程的特征方程为 0322=-+r r其根为 1,321=-=r r所以原方程的通解为 x x e C e C y 231+=-二、二阶常系数非齐次方程的解法1.解的结构定理3 设*y 是方程1的一个特解,Y 是式1所对应的齐次方程式2的通解,则*+=y Y y 是方程式1的通解.证明 把*+=y Y y 代入方程1的左端:)()()(*++*'+'+*''+''y Y q y Y p y Y=)()(*+*'+*''++'+''qy py y qY Y p Y=)()(0x f x f =+*+=y Y y 使方程1的两端恒等,所以*+=y Y y 是方程1的解. 定理4 设二阶非齐次线性方程1的右端)(x f 是几个函数之和,如 )()(21x f x f qy y p y +=+'+'' 4 而*1y 与*2y 分别是方程 )(1x f qy y p y =+'+''与 )(2x f qy y p y =+'+''的特解,那么**+21y y 就是方程4的特解, 非齐次线性方程1的特解有时可用上述定理来帮助求出.2.)()(x P e x f m x λ=型的解法 )()(x P e x f m x λ=,其中λ为常数,)(x P m 是关于x 的一个m 次多项式. 方程1的右端)(x f 是多项式)(x P m 与指数函数x e λ乘积的导数仍为同一类型函数,因此方程1的特解可能为x e x Q y λ)(=*,其中)(x Q 是某个多项式函数.把 x e x Q y λ)(=*x e x Q x Q y λλ)]()(['+=*'x e x Q x Q x Q y λλλ)]()(2)([2''+'+=*''代入方程1并消去xe λ,得)()()()()2()(2x P x Q q p x Q p x Q m =+++'++''λλλ 5以下分三种不同的情形,分别讨论函数)(x Q 的确定方法:1 若λ不是方程式2的特征方程02=++q pr r 的根, 即02≠++q p λλ,要使式5的两端恒等,可令)(x Q 为另一个m 次多项式)(x Q m :m m m x b x b x b b x Q ++++= 2210)(代入5式,并比较两端关于x 同次幂的系数,就得到关于未知数m b b b ,,,10 的1+m 个方程.联立解方程组可以确定出),,1,0(m i b i =.从而得到所求方程的特解为x m e x Q y λ)(=*2 若λ是特征方程02=++q pr r 的单根, 即02,02≠+=++p q p λλλ,要使式5成立, 则)(x Q '必须要是m 次多项式函数,于是令)()(x xQ x Q m =用同样的方法来确定)(x Q m 的系数),,1,0(m i b i =.3 若λ是特征方程02=++q pr r 的重根,即,02=++q p λλ 02=+p λ.要使5式成立,则)(x Q ''必须是一个m 次多项式,可令)()(2x Q x x Q m =用同样的方法来确定)(x Q m 的系数.综上所述,若方程式1中的x m e x P x f λ)()(=,则式1的特解为x m k e x Q x y λ)(=*其中)(x Q m 是与)(x P m 同次多项式,k 按λ不是特征方程的根,是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0,1或2.例4 求方程x e y y 232-='+''的一个特解.解 )(x f 是x m e x p λ)(型, 且2,3)(-==λx P m对应齐次方程的特征方程为 022=+r r ,特征根根为2,021-==r r . λ=-2是特征方程的单根, 令xe xb y 20-=*,代入原方程解得230-=b故所求特解为 xxe y 223--=* .例5 求方程x e x y y )1(2-='-''的通解.解 先求对应齐次方程02=+'-''y y y 的通解.特征方程为 0122=+-r r , 121==r r齐次方程的通解为 xe x C C Y )(21+=.再求所给方程的特解1)(,1-==x x P m λ由于1=λ是特征方程的二重根,所以x e b ax x y )(2+=*把它代入所给方程,并约去x e 得126-=+x b ax比较系数,得61=a 21-=b于是 xe x x y )216(2-=*所给方程的通解为 x e x x x C C y y y )6121(3221+-+=+=* 3.x B x A x f ϖϖsin cos )(+=型的解法 ,sin cos )(x B x A x f ωω+=其中A 、B 、ω均为常数.此时,方程式1成为x B x A q y p y ωωsin cos +=+'+'' 7这种类型的三角函数的导数,仍属同一类型,因此方程式7的特解*y 也应属同一类型,可以证明式7的特解形式为)sin cos (x b x a x y k ωω+=*其中b a ,为待定常数.k 为一个整数.当ω±i 不是特征方程02=++q pr r 的根, k 取0;当ω±i 不是特征方程02=++q pr r 的根, k 取1;例6 求方程x y y y sin 432=-'+''的一个特解.解 1=ω,ω±i i ±=不是特征方程为0322=-+r r 的根,0=k .因此原方程的特解形式为x b x a y sin cos +=* 于是 x b x a y cos sin +-=*'x b x a y sin cos --=*''将*''*'*y y y ,,代入原方程,得⎩⎨⎧=--=+-442024b a b a 解得 54,52-=-=b a原方程的特解为: x x y sin 54cos 52--=* 例7 求方程x e y y y x sin 32+=-'-''的通解.解 先求对应的齐次方程的通解Y .对应的齐次方程的特征方程为0322=--r r3,121=-=r rx x e C e C Y 321+=-再求非齐次方程的一个特解*y .由于x e x x f -+=2cos 5)(,根据定理4,分别求出方程对应的右端项为,)(1x e x f =x x f sin )(2=的特解*1y 、*2y ,则 **+=*21y y y 是原方程的一个特解.由于1=λ,ω±i i ±=均不是特征方程的根,故特解为)sin cos (21x c x b ae y y y x ++=+=*** 代入原方程,得x e x c b x c b ae x x sin sin )42(cos )24(4=-++--比较系数,得14=-a 024=+c b 142=-c b解之得 51,101,41-==-=c b a . 于是所给方程的一个特解为 x x e y x sin 51cos 10141-+-=* 所以所求方程的通解为x x e e C e C y Y y x x x sin 51cos 10141321-+-+=+=-*.。
高中数学知识点总结微分方程的二阶常系数齐次方程
高中数学知识点总结微分方程的二阶常系数齐次方程微分方程是数学分析中的一个重要概念，它描述了自变量和相关函数的导数之间的关系。
在高中数学中，我们学习了微分方程的基本概念和解法。
本文将重点总结二阶常系数齐次方程的相关知识点。
一、概念简介二阶常系数齐次方程是指次数为2的微分方程，其中系数为常数，且齐次方程的定义域为全体实数。
一般形式可表示为：\[ a\frac{d^2y}{dx^2} + b\frac{dy}{dx} + cy = 0 \]其中a、b、c为常数。
二、解法步骤解一个二阶常系数齐次方程的一般步骤如下：1. 求特征方程。
将二阶常系数齐次方程中的导数用微分符号表示，并设y=e^(mx)为方程的解，得到特征方程：\[ am^2 + bm + c = 0 \]将特征方程的根记为m1和m2。
2. 求解齐次方程的通解。
对于不同的特征方程的根的情况：- 当m1和m2是不相等的实根时，齐次方程的通解为：\[ y = C_1e^{m_1x} + C_2e^{m_2x} \]其中C1和C2为任意常数。
- 当m1和m2是相等的实根时，齐次方程的通解为：\[ y = (C_1 + C_2x)e^{mx} \]其中C1和C2为任意常数。
- 当m1和m2是共轭复根时，齐次方程的通解为：\[ y = e^{mx}(C_1\cos\omega x + C_2\sin\omega x) \]其中C1和C2为任意常数，m与ω的关系为\(m=\alpha + i\omega\)。
3. 求解特解。
根据已知条件，可以求得齐次方程的特解。
将特解与齐次方程的通解相加，得到原方程的通解。
4. 求解初值问题。
根据给定的初值条件，代入通解中的未知常数，解出具体的初值问题。
三、应用举例下面通过一些例子，更具体地说明二阶常系数齐次方程的解法。
例1：求解方程\[3\frac{d^2y}{dx^2} - 5\frac{dy}{dx} + 2y = 0 \]解：根据方程的系数，特征方程为\[3m^2 - 5m + 2 = 0 \]解得特征方程的根为\(m1=\frac{2}{3}\)和\(m2=1\)。
《微积分》第七节 二阶常系数齐次线性微分方程
例1. 求 方 程 y 2 y 3 y 0 的通解. 解: 特征方程 r 2 2 r 3 0, 特征根: r1 1 , r2 3 ,
因此原方程的通解为
例2. 求解初值问题
d d
2
t
s
2
2
d d
s t
s
0
s t0 4 ,
ds dt
t
0
2
解: 特征方程 r 2 2 r 1 0 有重根 r1 r2 1 ,
(3) 当 r1,2 i 时, 通解为 y e x (C 1 cos x C 2 sin x)
可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解 .
思考与练习
求方程
的通解 .
提示:
特征方程为 ： r2+a=0
a 0 : r1=r2=0, 通解为 y C1 C 2 x a 0 : r1,2=± ai , 通解为 y C1 cos a x C 2 sin a x a 0 : r1,2=± - a , 通解为 y C1 e a x C 2 e a x
第七节(1)二阶常系数齐次线性微分方程
①
和它的导数只差常数因子,
所以令①的解为 y er x ( r 为待定常数 ), 代入①得
(r2 pr q )er x 0
r2 pr q 0
②
称②为微分方程①的特征方程, 其根称为特征根.
1. 当 p 2 4 q 0 时, ②有两个相异实根
则微分
补充题:1.
为特解的 4 阶常系数线性齐次微分方程, 并求其通解 . 解: 根据给定的特解知特征方程有根 :
因此特征方程为 ( r 1)2 ( r 2 4) 0 即 r4 2r3 5r2 8r 4 0
故所求方程为 其通解为
【2019年整理】二阶线性常系数齐次微分方程的解
通解形式
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解 微分方程的特征方程为
r22r10 即(r1)20 特征方程有两个相等的实根r1r21 因此微分方程的通解为yC1ex C2xex 即y(C1C2x)ex
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返回下页结束铃源自•特征方程的根与通解的关系
方程r2prq0的根的情况 方程ypyqy0的通解
有两个不相等的实根 r1、r2 有两个相等的实根 r1r2
中p、q均为常数 •特征方程及其根
方程r2prq0叫做微分方程ypyqy0的特征方程 特征方程的求根公式为
r1, 2
p
p2 4q 2
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•特征方程的根与通解的关系
方程r2prq0的根的情况 有两个不相等的实根 r1、r2 有两个相等的实根 r1r2
有一对共轭复根 r1, 2i
方程ypyqy0的通解
y C1er1x C2er2x y C1er1x C2xer1x yex(C1cosxC2sinx)
•第一步 写出微分方程的特征方程
r2prq0 •第二步 求出特征方程的两个根r1、r2 •第三步 根据特征方程的两个根的不同情况 写出微分方程的 通解
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•特征方程的根与通解的关系
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•特征方程的根与通解的关系
方程r2prq0的根的情况 方程ypyqy0的通解
有两个不相等的实根 r1、r2 有两个相等的实根 r1r2
有一对共轭复根 r1, 2i
y C1er1x C2er2x y C1er1x C2xer1x yex(C1cosxC2sinx)
二阶线性常系数微分方程
令zu
0
y 1 z ( 2 y 1 P y 1 ) z f (一阶线性方程)
设其通解为 zC 2Z (x)z(x)
积分得
u C 1 C 2 U (x ) u (x )
由此得原方程③的通解: y C 1 y 1 ( x ) C 2 U ( x ) y 1 ( x ) u ( x ) y 1 ( x )
因此特y 原征 方p 方程y y 程的 e 通q r 2y 解x ( C 为p0 1 rc (qp o ,x q 0为 C s 2 s常 )ix ) n 数
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小结: ypyqy0(p ,q 为常 ) 数
特征方程: r2prq0, 特征:r根 1,r2
第五节
第八章
二阶常系数线性微分方程
y p y q y f( x )( p ,q 是常数）
一、二阶常系数齐次线性微分方程 二、二阶常系数非齐次线性微分方程
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一、二阶线性常系数齐次微分方程
ypyqy0(p ,q 为常 ) 数
基本思路: 求解常系数线性齐次微分方程
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例5. 求 x 2 y 方 ( x 2 ) ( 程 x y y ) x 4 的通解. 解: 对应齐次方程为 x 2 y (x 2 )(xy y ) 0
由观察可知它有特解: y1x, 令 yxu(x),代入非齐次方程后化简得
uux 解上述可降阶微分方程,可得通解:
y * e x [Q (x ) Q (x )]
y * e x [2 Q ( x ) 2 Q ( x ) Q ( x ) ]
代入原方程 , 得
二阶常系数齐次线性微分方程
微积分Calculus二阶常系数齐次线性微分方程()(1)11()()()()n n n n y P x y P x y P x y f x −−'++++=当均为常数时，称为阶常系数线性微分方程，否则，称为变系数微分方程。
n ()i p x 一n 阶常系数线性微分方程n 阶线性微分方程本节只研究二阶常系数线性微分方程：时，二阶常系数线性齐次微分方程()0f x =时，二阶常系数线性非齐次微分方程()0f x ≠形如的微分方程称为二阶常系数齐次线性微分方程，其中为常数.'''09-24y py qy ++=（）p q 、1二阶常系数齐次线性微分方程定理一如果函数都是齐次方程（9-24）的解，则也是方程（9-24）的解，其中为任意常数。
)((2211x x y c y c +）c c 21、y 1(x)和y 2(x)定义一设两个函数在区间内有定义1）若常数，即与不成比例，则称函数在内线性无关.（2）若（常数），即与成比例，则称函数在内线性相关。
定理二若函数是齐次方程（9-24）的两个线性无关的解，则其通解为其中为任意常数。
特征方程法假设方程有形如的解，则代入方程后得特征根因为，故有特征方程2二阶常系数齐次线性微分方程解法二阶常系数齐次线性方程特征方程为1）特征方程有两个不等的实根，则是方程的两个线性无关的解，故齐次方程的通解为2）特征方程有两相等的实根，则一特解为，设另一特解为得齐次方程的通解为3）特征方程有一对共轭复根，y1=e(α+iβ)x,y2=e(α−iβ)x重新组合y1=12(y1+y2)=eαx cosβxy 2=12i(y1−y2)=eαx sinβx得齐次方程的通解为二阶常系数齐次线性方程的特征方程，特征根特征根通解形式实根实重根共轭复根特征方程为求方程的通解。
解解得特征根故所求通解为二相关练习例一特征方程为求方程的通解。
解解得故所求通解为例二特征方程为求解初值问题解特征根为通解为将条件代入得故所求特解为例三。