第八章：稳恒电流的磁场(一)

一. 选择题:［ D ］1. 载流的圆形线圈(半径a 1 )与正方形线圈(边长a 2 )通有相同电流I ．若两个线圈的中心O 1 、O 2处的磁感强度大小相同，则半径a 1与边长a 2之比a 1∶a 2为 (A) 1∶1 (B)π2∶1(C)π2∶4 (D)π2∶8［B ］2.有一无限长通电流的扁平铜片，宽度为a ，厚度不计，电流I 在铜片上均匀分布，在铜片外与铜片共面，离铜片右边缘为b 处的P 点(如图)的磁感强度B的大小为(A) )(20b a I +πμ． (B)bb a aI +πln20μ．(C)bb a bI +πln20μ． (D))2(0b a I +πμ．［ D ］3. 如图，两根直导线ab 和cd 沿半径方向被接到一个截面处处相等的铁环上，稳恒电流I 从a 端流入而从d 端流出，则磁感强度B沿图中闭合路径L 的积分⎰⋅Ll Bd 等于(A) I 0μ． (B)I 031μ．(C) 4/0I μ． (D) 3/20I μ．提示［ B ］ 4. 图中，六根无限长导线互相绝缘，通过电流均为I ，区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ均为相等的正方形，哪一个区域指向纸内的磁通量最大？(A) Ⅰ区域． (B) Ⅱ区域．(C) Ⅲ区域．(D) Ⅳ区域．(E) 最大不止一个．提示：加原理判断磁场和磁感应强度的叠根据无限长直导线产生［ C ］5. 在半径为R 的长直金属圆柱体内部挖去一个半径为r 的长直圆柱体，两柱体轴线平行，其间距为a ，如图．今在此导体上通以电流I ，电流在截面上均匀分布，则空心部分轴线上O ′点的磁感强度的大小为 (A)2202R a aI ⋅πμ (B)22202Rr aaI -⋅πμ(C)22202rRaaI -⋅πμ (D))(222220ar Ra aI -πμ二 1.在匀强磁场B 中，取一半径为R 的圆，圆面的法线n与B成60°角，如图所示，则通过以该圆周为边线的如图所示的任意曲面S 的磁通量==⎰⎰⋅Sm S B d Φ221R B π-提示：2. 一长直载流导线，沿空间直角坐标Oy 轴放置，电流沿y 正向．在原点O 处取一电流元l Id ，则该电流元在(a ，0，0)点处的磁感强度的大小为 204aI d lπμ 方向为Z轴负方向提示：ⅠⅡⅢⅣ a Rr OO ′I任意曲面3. 一个密绕的细长螺线管，每厘米长度上绕有10匝细导线，螺线管的横截面积为10 cm 2．当在螺线管中通入10 A 的电流时，它的横截面上的磁通量为)(1046Wb -⨯π． (真空磁导率μ0 =4π×10-7T ·m/A)提示：4. 半径为R 的圆柱体上载有电流I ，电流在其横截面上均匀分布，一回路L 通过圆柱内部将圆柱体横截面分为两部分，其面积大小分别为S 1、S 2如图所示，则=⎰⋅Ll Bd I S S S 2120+-μ提示：根据安培环路定理5. 一质点带有电荷q =8.0×10-10 C ，以速度v =3.0×105 m ·s -1在半径为R =6.00×10-3 m 的圆周上，作匀速圆周运动．该带电质点在轨道中心所产生的磁感强度B =__6.67×10-7（T ），该带电质点轨道运动的磁矩p m =_7.2×10-7（Am 2）___．(μ0 =4π×10-7 H ·m -1)提示：6. 如图所示，在宽度为d 的导体薄片上有电流I 沿此导体长度方向流过，电流在导体宽度方向均匀分布．导体外在导体中线附近处P 点的磁感强度B 的大小为dI 20μ提示7. 在一根通有电流I 的长直导线旁，与之共面地放着一个长、宽各为a 和b 的矩形线框，线框的长边与载流长直导线平行，且二者相距为b ，如图所示．在此情形中，线框内的磁通量Φ =2ln 20a I πμ提示：俯视图三.计算题1．将通有电流I 的导线在同一平面内弯成如图所示的形状，求D点的磁感强度B的大小．解：其中3/4圆环在D 处的场 )8/(301a I B μ= AB 段在D 处的磁感应强度 )221()]4/([02⋅=b I B πμ BC 段在D 处的磁感应强度 )221()]4/([03⋅=b I B πμ1B 2B 3B方向相同，故D 点处总的磁感应强度为)223(40321b aI B B B B+=++=ππμ2.．已知半径为R 的载流圆线圈与边长为a 的载流正方形线圈的磁矩之比为2∶1，且载流圆线圈在中心O 处产生的磁感应强度为B 0，求在正方形线圈中心O ＇处的磁感强度的大小．解：设圆线圈磁矩为1m P 方线圈磁矩为2m P 则211RI P m π= 222aI P m =由已知条件得： )2/(2122a I R I π=正方形一边在其中心产生的磁感应强度为 )2/(201a I B πμ=正方形各边在其中心产生的磁感应强度大小相等，方向相同，因此中心/O 处的总的磁感应强度的大小为3120200/222aI R a I Bμπμ==由 RI B 2100μ=得 012μRBI =所以 03/0)/2(B a R B =3. 如图所示，半径为R ，线电荷密度为λ (>0)的均匀带电的圆线圈，绕过圆心与圆平面垂直的轴以角速度ω 转动，求轴线上任一点的B的大小及其方向．解: 圆线圈的总电荷 λπR q 2= ,转动时等效的电流为λωωπλπR R T q I ===/22，代入环形电流在轴线上产生磁场的公式得2/32230)(2y R R B B y +==ωλμ 方向沿y 轴正向。

4．横截面为矩形的环形螺线管，圆环内外半径分别为R 1和R 2，导线总匝数为N ，绕得很密，若线圈通电流I ，求．(1) 螺线管中的B 值和通过横截面的磁通量．(2) 在r < R 1和r > R 2处的B 值． ． 解：（1）在环内作半径为r 的圆形回路，由安培环路定理得NI R B 02μπ=⋅ )2/(0r NI B πμ=在距环心r 处取微小截面bdr dS =，通过此小截面的磁通量 bdr rNI BdS d πμ20==Φ 穿过环形螺线管截面的磁通量⎰⎰===ΦsR R R R NIb bdr rNI BdS 1200ln2221πμπμ（2）同样在环外（r<R 1 和r>R 2）作圆形回路，由于∑=0i I02=⋅r B π 所以 0=B5. 一无限长的电缆，由一半径为a 的圆柱形导线和一共轴的半径分别为b 、c 的圆筒状导线组成，如图所示。

在两导线中有等值反向的电流I 通过，求： (1)内导体中任一点(r<a)的磁感应强度； (2)两导体间任一点(a<r<b)的磁感应强度；(3)外导体中任一点(b<r<c)的磁感应强度； (4)外导体外任一点(r>c)的磁感应强度。

解：用安培环路定理⎰∑=⋅LL l d B 内求解I 0μ。

磁感应强度的方向与内导线的电流成右手螺旋关系。

其大小满足：∑=内L r B I 20μπ （r 为场点到轴线的距离）(1)20222,2 :aIrB r aIr B a r πμππμπ=∴=⋅<(2)I r B b r a 02 :μπ=<<， rIB πμ20=∴(3)⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=<<I b c b r I r B c r b )()(2 :22220ππμπ ()()222202b c r r c I B --=∴πμ (4)0B 02 :=∴=⋅>，r B c r π［选做题］1．均匀带电刚性细杆AB ，线电荷密度为λ，绕垂直于直线的轴O 以ω 角速度匀速转动(O 点在细杆AB 延长线上)．求： (1) O 点的磁感强度0B； (2) 系统的磁矩m p； (3) 若a >> b ，求B 0及p m ．解：（1）将带电细杆分割为许多电荷元。

在距离o 点r 处选取长为dr 的电荷元，其带电 dr dq λ=该电荷元随细杆转动时等效为圆电流为：dr dq Tdq dI πωλωπ2/2===它在o 点产生的磁感应强度为方向垂直于纸面向内。

,42000dr rrdIdB πωλμμ==根据⎰=00B d B，0B 的方向也是垂直于纸面向内，0B 的大小为ab a dr rB ba a+==∴⎰+ln4400πωλμπωλμ（2） dq 所等效的圆电流dI 的磁矩为dr rSdI dp m πλωπ22==,方向垂直于纸面向内；根据⎰=m m p d p，m p 的方向也是垂直于纸面朝内，m p 的大小为()[]33262ab a dr rp ba am -+==∴⎰+ωλπλωπ（3）a>>b 时，AB 杆可近似看作点电荷：电量为b λ，等效的圆电流：πωλ2b I =在o 点产生的磁感应强度为abaIB πωλμμ4200==∴系统的磁矩 2222b a ab IS p m ωλππωλ===∴。