第4章 抗干扰二元编码原理及方法

4.1.2 抗干扰编码的基本原理
前面已经讨论了最小码距和检纠错能力之间的关系， 并且知道要增强检纠错能力应加大 最小码距，其方法就是在原信息码元后面以某种算法加上监督码元，从而使整个码字变长， 码距增大，于是码组的抗干扰能力提高了，付出的代价是监督码元会使传输效率下降。好在 山农的编码定理指出，当码组足够长时，存在一种编码方法，使得增加的监督码元与原来的 信息码元相比趋于任意小，也就是效率：
图 4.1.1 分组码编码器模型 由于组合逻辑网络不含有寄存器， 故分组编码仅与当时输入的 k 位信息码元有关， 而与 以前的输入无关。 编码效率：
k+r 由上式可知，监督位的加入降低了传输效率。
h=
k
=
k n
分组码按 k , r 的位置可分为系统码和非系统码，如所有的 k 位信息位在前，而所有的 r 位监督位接在 k 位信息位的后面，这种分组码就称为系统码，否则就称为非系统码。 2．卷积码 卷积码的编码器模型见图 4.1.2。
3
A
B
C
D
00111 01001 10010 11100
许用码字数为 4 禁用码字数 2 - 4 = 32 - 4 = 28 。
5
.
107
即比第二种编码方法增加了二位码元。如果信宿收到一个禁用码字为 11001，知道传输 错了，但与所有 4 个许用码字比较后发现，11001 与 01001（ B ）最接近，只差一位码元， 而与其它三个码字至少要差两个码元，于是信宿把 11001 改成 01001（ B ） 。这样的策略实 际上是正确的， 因为通信系统一般差错率很低， 同时错两个码元的概率比只错一个码元的概 率小得多。这就是用以纠错的最大似然法则。 由以上三种编码方法可以知道。码字之间差别越大，则可能的检错、纠错能力越强。 最小码距 d min 与检纠错能力的关系 码距是指两个码字间相异码元的数目， 上例中， 第一种编码方法， 各种码字间码距为 1， 第二种编码方法，各种码字间码距为 2，第三种编码方法，各种码字间码距为 3—4，一般地 码距 d 由下式决定：
A
许用码字数为 4 禁用码字数为 0。
B
C
D
00 01 10 11
如果在传输过程中，由于噪声干扰错了一个码元，例如，00（ A ）错成 01（ B ） ，则信 宿就将其译为 B ，而根本不可能知道传输错。 第二种编码方法是：
A
B
C
D
001 010 100 111
许用码字数为 4 禁用码字数为 2 - 4 = 4 。 即增加了一位码元， 使码字具有奇数个 1 的内在规律 （这规律通过通信协议已告诉了信 宿） 。如果 001（ A ）错成 101，由于错的码字有偶数个 1，故信宿可断定传输错。但仍不知 道是 111（ D ）错成 101，还是 001（ A ）错成 101，或是 100（C）错成 101，即这种编码 方法只能检（测）错，而不能纠错（即检出错后同时能把错的码字纠正为正确的码字） 。 第三种编码方法是：
4.1 抗干扰编码的基本原理
4.1.1 编码和纠错能力的关系
信宿通过和信源事先约定的通信协议， 完全知道信源的码字集， 如果信宿收到一个通信 协议中没有的码字，则信宿就可以断定传输错。就像我们看到一张面额 80 元的人民币就能 断定它一定是假币一样。从原理上讲，信宿只有在收到禁用码字时（通信协议中许用码字以 外的码字） ，才能断定出错。 [例 4.1.1] 有一信源具有 A, B, C , D 4 个符号，用 0,1 进行二元等长编码，并讨论其纠错 能力。 解： 第一种最简单的编码方法是：
由表 4.2.1 可知，国际电码码字之间最小距离仅为 1（例如码字 1 和码字 2） ，而五三定 比码则为 2，另外根据五三定比码的规律可知，如果差错码元为奇数，则肯定能发现，只有 差错码元为偶数， 且 1 错成 0 和 0 错成 1 的数目相同， 才会错成另一个许用码字而不能发现。 例如，五三定比码的码字 1 和码字 2，只有当码字 1 的右起第二位的 1 变成 0，同时右起第 五位的 0 变成 1，码字 1 才会变成码字 2，从而不能发现错误。 现在来计算这种情况的错误概率，仍然认为码元错误概率较小，即： pe = 10 。 五三定比码发生一对错误，从而不能发现错误的概率 p2 为：
% 组输入信息码元有关。而总的关系应为： 出不仅与当时的输入有关，而且与前 m
% + k = (m % + 1) k = mk mk
% 表示以前的输入， % + 1) = m 组，m 称为编码约束度， 上式中的 1 表示当前的输入，m 共有 (m
表示编码器是把 m 组信息码元考虑在一起进行编码的。而编码以后码字的总的码元数：
图 4.1.2 卷积码编码器模型 卷积码编码器的模型是一个具有 k 个输入端（ k 个信息码元输入） 、 n 个输出端（编码 后码字含有码元总数）的时序逻辑网络。 编码时， 信息码元以 k 个为一组进入时序逻辑编码网络， 编码器按一定的算法输出编码 后的 n 位码字。与分组码不同的是，由于时序网络含有具有记忆作用的寄存器，因此，其输
h=
同时，由满足：
R C
®1
pe ® 0
这就成了理想编码器，目前，已有许多信道编码具有较高的效率和很低的差错率，但离开理 论指标还有不少距离。 编码时，监督码元由信息码元按一定算法得出，因而两者满足一定的代数关系，称为代 数编码，可分为二类： 1．分组码 分组码的编码器模型见图 4.1.1。 分组码的编码器模型是一个具有 k 个输入端（ k 个信息码元输入） ， n 个输出端（编码
108
A : ´´´0000 ´´´ B : ´´´1111 ´´´ 其中的 ´´´ 与 ´´´ 表示对应位均为 1 或均为 0，即相同，于是， AB 间码距为 4，如码字 B
错了一位变成 ´´´ 0111 ´´´ ，它是一个禁用码字，则根据最大似然法则，它很可能由 B 错 一位而来，因此，只要将其改为： ´´´ 1111 ´´´ 即可恢复为许用码字，因而具有一位纠错 功能。 如码字 B 错了二位变成 ´´´ 0011 ´´´ ，它是一个禁用码字，信宿不知道它是由 A 的两 位 00 错成 11 而来，还是由 B 的两位 11 错成 00 而来，从而无法确定，于是仅知道出错，而 无法纠错。 码字 B 错三位的情况与错二位的情况类似。 如果许用码字 B 发生四个码元错，变成 ´´´ 0000 ´´´ ，则译码器就认为这个许用码字 为 A 因而无法发现它是由 B 错过来的错误。即： 如发生一个码元错，能纠错。 如发生二个码元错，能发现错，但无法纠正其中的一个，也不能确定哪两个错。 如发生三个码元错，能发现错，但无法纠正其中的一个，也不能确定哪三个错。 如发生四个码元错，则错成另一个许用码字，因而无法发现错。 需要说明的是， 在发生一个码元以上错误时， 译码器也机械地按一个码元错的纠错算法 进行“纠错” ，实际上是无法纠正错误的。
第 4 章 抗干扰二元编码原理及方法
如前所述。信源编码的目的是压缩信源的冗余，以提高信源的有效性，而信道编码的目 的是提高信号传输的可靠性，往往要用增加冗余来实现。前面已经讨论过的采用 m 序列的 扩频通信，也是一种信道编码。而以何种算法来增加冗余才能取得理想效果，是值得研究的 问题。于是形成了纠错编码理论和方法。这里仅讨论二元抗干扰编码。
C53 =
禁用码字数：
5! 3!(5 - 3)!
= 10
25 - C53 = 32 - 10 = 22
112
表 4.2.1 国际电码和五三定比码 十进制数字 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 国际电码 11101 11001 10000 01010 00001 10101 11100 01100 00011 01101 五三定比码 01011 11001 10110 11010 00111 10101 11100 01110 10011 01101
4.2.1 奇偶校验码
奇偶校验码是一种应用广泛的检错用分组码，可分为以下两种 （1）偶一致监督码，记为 ( n, n - 1) 码，其编码方法如下： ① 将信源发出的二元信息序列按 k 个一组进行分组。 ② 在每组的 k 个码元的序列后增加一个码元， 使得增长的序列具有偶数个 1 （或全 0） 。 （2）奇一致监督码，也记为 ( n, n - 1) 码，其编码方法如下： ① 将信源发出的二元信息序列按 k 个一组进行分组。 ② 在每组的 k 个码元的序列后增加一个码元，使得增长的序列具有奇数个 1。 显然，奇偶校验码可以发现码字中码元的奇数个错，但不能发现偶数个错。 漏检概率 漏检概率是检错码不能发现错误的概率，是编码性能优劣的重要指标。如前所述。奇偶 校验码不能发现偶数个错，现在来计算这个漏检概率 p 。 当码字中码元数 n 为偶数时：
n
p = å Cn2 i pe2 i (1 - pe ) n - 2 i
i =1
2
（4.2.1）
当码字中码元 n 为奇数时：
p=
其中， Cn 为 n 中取 2i 的组合数：
2i
( n -1) / 2
å
i =1
Cn2 i pe2 i (1 - pe ) n - 2 i
（4.2.2）
111
Cn2 i =
1Байду номын сангаас0
% + 1)n n总 = mn = ( m
称为卷积码的约束长度，显然， n总 中包含了监督码元，从而表明卷积码编码后互相制约的 码元数。 卷积码的编码效率为：
h=
k n
4.2 构造检错码的基本方法
构造检错码的基本方法有多种，两种常用的方法如下： （1） 奇偶校验法； （2） 定比（等重）法； 为了纠正可以采用自动请求重发（ARQ）方式，即用发信端重发的方法纠错。
109
后码字含有的码元总数）的组合逻辑网络。编码时，信息码元以 k 个为一组进入组合逻辑编 码网络， 编码器在 k 个信息码元后， 以一定的算法加上 r 个监督码元， 编码后的码字长度 （含 有的总码元数）为 k + r = n 个，显然 n > k 。这种把原始 k 位信息经编码网络变成附加 r 个 监督位，总长为 n 的码字的编码过程称为分组编码，记为 ( n, k ) 码。