【学案】人教版高中数学必修四 同角三角函数的基本关系(解析版)
专题47 高中数学同角三角函数的基本关系(解析版)
专题47 同角三角函数的基本关系1．平方关系(1)公式：sin 2α＋cos 2α＝1.(2)语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1.2．商数关系(1)公式：sin αcos α＝tan_α(α≠k π＋π2，k ∈Z)．(2)语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切．3．同角三角函数的基本关系式的变形形式(1)平方关系变形：sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α. (2)商的变形：sin α＝tan αcos α，cos α＝sin αtan α.题型一 直接应用同角三角函数关系求值1．若cos α＝35，且α为第四象限角，则tan α＝________.[解析]因为α为第四象限角，且cos α＝35，所以sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝⎛⎭⎫352＝－45，所以tan α＝sin αcos α＝－43. 2．已知α是第四象限角，cos α＝1213，则sin α等于[解析] ∵sin 2θ＋cos 2θ＝1，∴sin 2θ＝1－cos 2θ＝1－144169＝25169，又∵α是第四象限角，∴sin α<0，即sin θ＝－513.3．已知α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，tan α＝2，则cos α＝________. [解析]由已知得⎩⎪⎨⎪⎧sin αcos α＝2，①sin 2α＋cos 2α＝1，②由①得sin α＝2cos α代入②得4cos 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝15，又α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，所以cos α＜0，所以cos α＝－55. 4．已知α是第二象限角，tan α＝－12，则cos α＝________.[解析]因为sin αcos α＝－12，且sin 2α＋cos 2α＝1，又因为α是第二象限角，所以cos α＜0，所以cos α＝－255.5．若α是第四象限角，tan α＝－512，则sin α等于[解析] 因为α是第四象限角，tan α＝－512，所以sin αcos α＝－512.又sin 2α＋cos 2α＝1.所以sin α＝－513.6．已知α是第二象限角，且cos α＝－1213，则tan α的值是[解析]因为α为第二象限角，所以sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－12132＝513， 所以tan α＝sin αcos α＝513－1213＝－512.7．已知α是第二象限角，且tan α＝－724，则cos α＝________.[解析]因为α是第二象限角，故sin α＞0，cos α＜0，又tan α＝－724，所以sin αcos α＝－724，又sin 2α＋cos 2α＝1，解得cos α＝－2425.8．已知sin α＝－13，且α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，则tan α＝ [解析]由α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，得cos α<0，又sin α＝－13，所以cos α＝－1－⎝⎛⎭⎫－132＝－223， 所以tan α＝sin αcos α＝24.9．已知cos α＝－45，求sin α和tan α.[解析] sin 2α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－452＝⎝⎛⎭⎫352，因为cos α＝－45<0，所以α是第二或第三象限角， 当α是第二象限角时，sin α＝35，tan α＝sin αcos α＝－34；当α是第三象限角时，sin α＝－35，tan α＝sin αcos α＝34.10．已知cos α＝－817，求sin α，tan α的值．[解析] ∵cos α＝－817＜0，∴α是第二或第三象限的角．如果α是第二象限角，那么sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－8172＝1517，tan α＝sin αcos α＝1517－817＝－158. 如果α是第三象限角，同理可得sin α＝－1－cos 2α＝－1517，tan α＝158.11．已知sin α＝1213，并且α是第二象限角，求cos α和tan α.[解析]cos 2α＝1－sin 2α＝1－⎝⎛⎭⎫12132＝⎝⎛⎭⎫5132，又α是第二象限角， 所以cos α<0，cos α＝－513，tan α＝sin αcos α＝－125.12．若cos α＝23，则tan αsin α＝( )[解析] 由cos α＝23得|sin α|＝53，所以tan αsin α＝sin 2αcos α＝59×32＝56.13．已知sin θ＝1213，且sin θ－cos θ>1，则tan θ等于________．[解析]因为sin θ－cos θ>1，所以cos θ<0，所以cos θ＝－1－sin 2θ＝－513，所以tan θ＝sin θcos θ＝－125.14．已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2mm ＋5，则m 的值为________．[解析]因为sin 2θ＋cos 2θ＝1，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3m ＋52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－2m m ＋52＝1.整理得m 2－8m ＝0，解得m ＝0或8.15．已知sin α＋3cos α＝0，求sin α，cos α的值．[解析]∵sin α＋3cos α＝0，∴sin α＝－3cos α.又sin 2α＋cos 2α＝1，∴(－3cos α)2＋cos 2α＝1， 即10cos 2α＝1，∴cos α＝±1010.又由sin α＝－3cos α，可知sin α与cos α异号， ∴角α的终边在第二或第四象限． 当角α的终边在第二象限时，cos α＝－1010，sin α＝31010； 当角α的终边在第四象限时，cos α＝1010，sin α＝－31010. 16．已知α是第三象限角，且sin α＝－13，则3cos α＋4tan α＝[解析]因为α是第三象限角，且sin α＝－13，所以cos α＝－1－sin 2α＝－1－⎝⎛⎭⎫－132＝－223，所以tan α＝sin αcos α＝122＝24， 所以3cos α＋4tan α＝－22＋2＝－ 2.17．若sin A ＝45，且A 是三角形的一个内角，则5sin A ＋815cos A －7＝________.[解析]∵sin A ＝45>0，∴A 为锐角或钝角．当A 为锐角时，cos A ＝1－sin 2A ＝35，∴原式＝6.当A 为钝角时，cos A ＝－1－sin 2A ＝－35，∴原式＝5×45＋815×⎝⎛⎭⎫－35－7＝－34.18．在△ABC 中，2sin A ＝3cos A ，则角A ＝[解析]由题意知cos A ＞0，即A 为锐角．将2sin A ＝3cos A 两边平方得2sin 2A ＝3cos A ， ∴2cos 2A ＋3cos A －2＝0，解得cos A ＝12或cos A ＝－2(舍去)．∴A ＝π3.19．已知sin x ＋cos x ＝3－12，x ∈(0，π)，则tan x ＝ [解析]∵sin x ＋cos x ＝3－12，且x ∈(0，π)，∴1＋2sin x cos x ＝1－32，∴2sin x cos x ＝－32<0，∴x 为钝角，∴sin x －cos x ＝(sin x －cos x )2＝1＋32，结合已知解得sin x ＝32，cos x ＝－12，则tan x ＝sin xcos x ＝－ 3.20．若1＋cos αsin α＝3，则cos α－2sin α等于[解析] 若1＋cos αsin α＝3，则1＋cos α＝3sin α，又sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin α＝35，cos α＝3sin α－1＝45，所以cos α－2sin α＝－25.21．已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝13，0<α<π2，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________. [解析]∵0<α<π2，∴π4<α＋π4<3π4，∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4>0，∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝ 1－⎝⎛⎭⎫132＝223.题型二 灵活应用同角三角函数关系式求值(齐次式)1．已知sin α＋cos αsin α－cos α＝2，计算下列各式的值．①3sin α－cos α2sin α＋3cos α；②sin 2α－2sin α·cos α－cos 2α4cos 2α－3sin 2α；③sin2α－2sin αcos α＋1;④34sin 2α＋12cos 2α. [解析] 由sin α＋cos αsin α－cos α＝2，化简，得sin α＝3cos α，所以tan α＝3.①法一(换元)原式＝3×3cos α－cos α2×3cos α＋3cos α＝8cos α9cos α＝89.法二(弦化切)原式＝3tan α－12tan α＋3＝3×3－12×3＋3＝89.②原式＝tan 2α－2tan α－14－3tan 2α＝9－2×3－14－3×32＝－223.③原式＝sin 2α－2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＋1＝tan 2α－2tan αtan 2α＋1＋1＝32－2×332＋1＋1＝1310. ④原式＝34sin 2α＋12cos 2αsin 2α＋cos 2α＝34tan 2α＋12tan 2α＋1＝34×9＋129＋1＝2940.2．已知tan αtan α－1＝－1，求下列各式的值：(1)sin α－3cos αsin α＋cos α；(2)sin 2α＋sin αcos α＋2. [解析]因为tan αtan α－1＝－1，所以tan α＝12.(1)原式＝tan α－3tan α＋1＝－53.(2)原式＝sin 2α＋sin αcos αsin 2α＋cos 2α＋2＝tan 2α＋tan αtan 2α＋1＋2＝14＋1214＋1＋2＝135.3．已知tan α＝－12，则2sin αcos αsin 2α－cos 2α的值是[解析]因为tan α＝－12，所以2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝2tan αtan 2α－1＝2×⎝⎛⎭⎫－12⎝⎛⎭⎫－122－1＝43.4．若2sin α＋cos α3sin α－2cos α＝1，则tan α的值为________．[解析]2sin α＋cos α3sin α－2cos α＝1化为2tan α＋13tan α－2＝1，所以2tan α＋1＝3tan α－2，所以tan α＝3.5．已知sin α－2cos α3sin α＋5cos α＝－5，那么tan α＝________．[解析]易知cos α≠0，由sin α－2cos α3sin α＋5cos α＝－5，得tan α－23tan α＋5＝－5，解得tan α＝－2316.6．已知sin α＋2cos α5cos α－sin α＝516，则tan α＝____________．[解析]由sin α＋2cos α5cos α－sin α＝516，得tan α＋25－tan α＝516，解之得tan α＝－13.7．已知sin α＋cos αsin α－cos α＝2，则3sin α－cos α2sin α＋3cos α＝________．[解析]由sin α＋cos αsin α－cos α＝2，化简得sin α＝3cos α，所以tan α＝3.原式＝3tan α－12tan α＋3＝89.8．已知tan 2α1＋2tan α＝13，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求sin α＋2cos α5cos α－sin α的值． [解析]∵tan 2α1＋2tan α＝13，∴3tan 2α－2tan α－1＝0.即(3tan α＋1)(tan α－1)＝0，∴tan α＝－13或tan α＝1.∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴tan α<0，∴tan α＝－13，∴sin α＋2cos α5cos α－sin α＝tan α＋25－tan α＝516. 9．若tan θ＝－2，求sin θcos θ.[解析]∵sin θcos θ＝sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝sin θcos θcos 2θsin 2θ＋cos 2θcos 2θ＝tan θtan 2θ＋1，而tan θ＝－2，∴原式＝－2(－2)2＋1＝－25.10．已知tan α＝2，则4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α＝________. [解析]4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α＝4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2αsin 2α＋cos 2α＝4tan 2α－3tan α－5tan 2α＋1＝4×4－3×2－54＋1＝55＝1. 11．已知sin α＋2cos α＝0，求2sin αcos α－cos 2α的值． [解析]由sin α＋2cos α＝0，得tan α＝－2.所以2sin αcos α－cos 2α＝2sin αcos α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan α－1tan 2α＋1＝－4－14＋1＝－1.12．如果tan θ＝2，那么1＋sin θcos θ＝[解析]1＋sin θcos θ＝1＋sin θcos θ1＝sin 2θ＋cos 2θ＋sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ＋1tan 2θ＋1，又tan θ＝2，所以1＋sin θcos θ＝22＋2＋122＋1＝75.13．若tan α＋1tan α＝3，则sin αcos α＝________． [解析]因为tan α＋1tan α＝3，所以sin αcos α＋cos αsin α＝3，即sin 2α＋cos 2αsin αcos α＝3，所以sin αcos α＝13.14．已知sin α＋cos α＝713，α∈(0，π)，则tan α＝________.[解析]法一：(构建方程组)因为sin α＋cos α＝713，①，所以sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＝49169，即2sin αcos α＝－120169.因为α∈(0，π)，所以sin α＞0，cos α＜0.所以sin α－cos α＝(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1713.②由①②解得sin α＝1213，cos α＝－513，所以tan α＝sin αcos α＝－125.法二：(弦化切)同法一求出sin αcos α＝－60169，sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝－60169，tan αtan 2α＋1＝－60169，整理得60tan 2α＋169tan α＋60＝0，解得tan α＝－512或tan α＝－125.由sin α＋cos α＝713＞0知|sin α|＞|cos α|，故tan α＝－125.15．已知sin α－cos α＝－52，则tan α＋1tan α的值为 [解析]tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α.∵sin αcos α＝1－(sin α－cos α)22＝－18，∴tan α＋1tan α＝－8.16．已知cos α＋2sin α＝－5，则tan α＝________.[解析]由⎩⎨⎧cos α＋2sin α＝－5，sin 2α＋cos 2α＝1，得(5sin α＋2)2＝0， ∴sin α＝－255，cos α＝－55，∴tan α＝2.题型三 sin α±cos α与sin αcos α关系的应用1．已知sin α＋cos α＝15，α∈(0，π)，求：(1)sin αcos α；(2)sin α－cos α；(3)sin 3α＋cos 3α.[解析] (1)由sin α＋cos α＝15，平方得2sin αcos α＝－2425，∴sin αcos α＝－1225.(2)∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋2425＝4925，∴sin α－cos α＝±75.又由(1)知sin αcos α<0，∴α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sin α>0，cos α<0，∴sin α－cos α＝75. (3)∵sin 3α＋cos 3α＝(sin α＋cos α)(sin 2α－sin αcos α＋cos 2α)＝(sin α＋cos α)(1－sin αcos α)， 由(1)知sin αcos α＝－1225，且sin α＋cos α＝15，∴sin 3α＋cos 3α＝15×⎝⎛⎭⎫1＋1225＝15×3725＝37125.2．已知0<θ<π，且sin θ－cos θ＝15，求sin θ＋cos θ，tan θ的值．[解析]∵sin θ－cos θ＝15，∴(sin θ－cos θ)2＝125，解得sin θcos θ＝1225.∵0<θ<π，且sin θcos θ＝1225>0，∴sin θ>0，cos θ>0.∴sin θ＋cos θ＝(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝ 1＋2425＝75. 由⎩⎨⎧sin θ－cos θ＝15，sin θ＋cos θ＝75，得⎩⎨⎧sin θ＝45，cos θ＝35，∴tan θ＝sin θcos θ＝43.3．已知sin α·cos α＝18，且π4<α<π2，则cos α－sin α的值为[解析] (cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝34，因为π4<α<π2，所以sin α>cos α，所以cos α－sin α＝－32.4．若△ABC 的内角A 满足sin A cos A ＝13，则sin A ＋cos A 的值为[解析]因为A 为△ABC 的内角，且sin A cos A ＝13＞0，所以A 为锐角，所以sin A ＋cos A ＞0.又1＋2sin A cos A ＝1＋23，即(sin A ＋cos A )2＝53，所以sin A ＋cos A ＝153.5．已知sin θ＋cos θ＝43⎝⎛⎭⎫0<θ≤π4，则sin θ－cos θ＝ [解析]由(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝169，得2sin θcos θ＝79，则(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝29，由0<θ≤π4，知sin θ－cos θ≤0，所以sin θ－cos θ＝－23.6．已知在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝15.(1)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形；(2)求tan A 的值．[解析] (1)由sin A ＋cos A ＝15两边平方，得1＋2sin A ·cos A ＝125，所以sin A ·cos A ＝－1225<0.因为0<A <π，⎩⎨⎧sin A >0cos A <0，所以A 为钝角，所以△ABC 是钝角三角形．(2)因为sin A ·cos A ＝－1225，所以(sin A －cos A )2＝1－2sin A ·cos A ＝1＋2425＝4925.又因为sin A >0，cos A <0，所以sin A －cos A >0，所以sin A －cos A ＝75.又因为sin A ＋cos A ＝15，所以sin A ＝45，cos A ＝－35，所以tan A ＝－43.7．已知sin θ＋cos θ＝－105，求： (1)1sin θ＋1cos θ的值；(2)tan θ的值． [解析] (1)因为sin θ＋cos θ＝－105，所以1＋2sin θcos θ＝25，即sin θcos θ＝－310， 所以1sin θ＋1cos θ＝cos θ＋sin θsin θcos θ＝2103.(2)由(1)，得sin 2θ＋cos 2θsin θcos θ＝－103，所以tan 2θ＋1tan θ＝－103，即3tan 2θ＋10tan θ＋3＝0，所以tan θ＝－3或tan θ＝－13.8．已知sin θ＋cos θ＝15，且0<θ<π.(1)求tan θ的值；(2)求sin 2 θcos 2 θ－2sin θcos θ的值．[解析] (1)因为sin θ＋cos θ＝15，①，所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝125，所以2sin θcos θ＝－2425<0，因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0，cos θ<0，所以sin θ－cos θ>0，所以(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝4925，所以sin θ－cos θ＝75，②由①②得，sin θ＝45，cos θ＝－35，所以tan θ＝sin θcos θ＝－43.(2)法一：由(1)知sin θ＝45，cos θ＝－35，所以sin 2θcos 2 θ－2sin θcos θ＝⎝⎛⎭⎫452⎝⎛⎭⎫－352－2×45×⎝⎛⎭⎫－35＝1633.法二：由(1)得tan θ＝－43，所以原式＝tan 2 θ1－2tan θ＝⎝⎛⎭⎫－4321－2×⎝⎛⎭⎫－43＝1633.9．设α是第三象限角，问是否存在实数m ，使得sin α，cos α是关于x 的方程8x 2＋6mx ＋2m ＋1＝0的两个根？若存在，求出实数m ；若不存在，请说明理由．[解析]假设存在实数m 满足条件，由题设得，Δ＝36m 2－32(2m ＋1)≥0，① 因为sin α<0，cos α<0，所以sin α＋cos α＝－34m <0②，sin αcos α＝2m ＋18>0③.又sin 2α＋cos 2α＝1，所以(sin α＋cos α)2－2sin αcos α＝1. 把②③代入上式得⎝⎛⎭⎫－34m 2－2×2m ＋18＝1， 即9m 2－8m －20＝0，解得m 1＝2，m 2＝－109.因为m 1＝2不满足条件①，舍去；因为m 2＝－109不满足条件③，舍去．故满足题意的实数m 不存在．题型四 应用同角三角函数关系式化简1．化简1－sin 23π5的结果是( )A ．cos 3π5B ．sin 3π5C ．－cos 3π5D ．－sin 3π5[解析]因为3π5是第二象限角，所以cos 3π5＜0，所以1－sin 23π5＝cos 23π5＝⎪⎪⎪⎪cos 3π5＝－cos 3π5. 2．如果α是第二象限的角，下列各式中成立的是( )A ．tan α＝－sin αcos α B ．cos α＝－1－sin 2 αC ．sin α＝－1－cos 2 αD ．tan α＝cos αsin α[解析]由商数关系可知A ，D 均不正确．当α为第二象限角时，cos α＜0，s i n α＞0，故B 正确． 3．化简2sin 2α－11－2cos 2α＝________.[解析]原式＝2sin 2α－11－2(1－sin 2α)＝2sin 2α－12sin 2α－1＝1.4．化简⎝⎛⎭⎫1sin α＋1tan α(1－cos α)的结果是( )A ．sin αB ．cos αC ．1＋sin αD ．1＋cos α[解析]⎝⎛⎭⎫1sin α＋1tan α(1－cos α)＝⎝⎛⎭⎫1sin α＋cos αsin α(1－cos α)＝1－cos 2αsin α＝sin 2αsin α＝sin α.[答案] A5．化简sin 760°1－cos 2 40°；[解析]sin 760°1－cos 2 40°＝sin （2×360°＋40°）sin 2 40°＝sin 40°|sin 40°|＝sin 40°sin 40°＝1. 6．化简：1－2sin130°cos130°sin130°＋1－sin 2130°；[解析]原式＝sin 2130°－2sin130°cos130°＋cos 2130°sin130°＋cos 2130°＝|sin130°－cos130°|sin130°＋|cos130°|＝sin130°－cos130°sin130°－cos130°＝1.7．若角α的终边在直线x ＋y ＝0上，则sin α1－cos 2α＋1－sin 2αcos α＝________．[解析]因为sin α1－cos 2α＋1－sin 2αcos α＝sin α|sin α|＋|cos α|cos α，又角α的终边落在x ＋y ＝0上，故角α的终边在第二、四象限，当α在第二象限时，原式＝sin αsin α＋－cos αcos α＝0，当α在第四象限时，原式＝sin α－sin α＋cos αcos α＝0.综上所述，原式＝0.8．化简sin 2α－sin 4α，其中α是第二象限角．[解析] 因为α是第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0，所以sin αcos α＜0， 所以sin 2α－sin 4α＝sin 2α(1－sin 2α)＝sin 2αcos 2α＝－sin αcos α. 9．化简sin 2α＋cos 4α＋sin 2αcos 2α的结果是 [解析] 原式＝sin 2α＋cos 2α(cos 2α＋sin 2α)＝sin 2α＋cos 2α＝1. 10．化简：sin 2α＋sin 2β－sin 2αsin 2β＋cos 2αcos 2β.[解析]原式＝sin 2α(1－sin 2β)＋sin 2β＋cos 2αcos 2β＝sin 2αcos 2β＋cos 2αcos 2β＋sin 2β＝(sin 2α＋cos 2α)cos 2β＋sin 2β＝1. 11．已知sin α＝55，则sin 4α－cos 4α的值为 [解析]sin 4α－cos 4α＝(sin 2α＋cos 2α)(sin 2α－cos 2α)＝sin 2α－cos 2α＝2sin 2α－1＝－35.12．若sin α＋sin 2α＝1，则cos 2α＋cos 4α等于[解析]∵cos 2α＋cos 4α＝cos 2α(1＋cos 2α)＝(1－sin 2α)(1－sin 2α＋1)∵sin α＋sin 2α＝1，∴1－sin 2α＝sin α ∴原式＝sin α·(sin α＋1)＝sin 2α＋sin α＝1. 13．化简1－2sin1cos1的结果为( )A ．sin1－cos1B ．cos1－sin1C ．sin1＋cos1D ．－sin1－cos1[解析]易知sin1>cos1，所以1－2sin1cos1＝(sin1－cos1)2＝sin1－cos1.故选A.14．⎝⎛⎭⎫tan x ＋1tan x cos 2x 等于( ) A ．tan xB ．sin xC ．cos xD.1tan x[解析]原式＝⎝⎛⎭⎫sin x cos x ＋cos x sin x ·cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x sin x cos x ·cos 2x ＝1sin x cos x ·cos 2x ＝cos x sin x ＝1tan x . 15．化简：sin 2αtan α＋cos 2αtan α＋2sin αcos α.[解析]原式＝sin 2α·sin αcos α＋cos 2α·cos αsin α＋2sin αcos α＝sin 4α＋cos 4α＋2sin 2αcos 2αcos αsin α＝（sin 2α＋cos 2α）2sin αcos α＝1sin αcos α.16．已知θ是第三象限角，且sin 4θ＋cos 4θ＝59，则sin θcos θ的值为[解析]由sin 4θ＋cos 4θ＝59，得(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝59，所以sin 2θcos 2θ＝29.因为θ是第三象限角，所以sin θ<0，cos θ<0，所以sin θcos θ＝23. 17．已知f (tan x )＝1cos 2x，则f (－3)＝________. [解析]因为f (tan x )＝1cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x cos 2x ＝tan 2x ＋1，所以f (x )＝x 2＋1，所以f (－3)＝4.18．若π2<α<π，化简cos α1－cos 2α＋sin α1－sin 2α1－cos 2α.[解析]因为π2<α<π，所以cos α＝－1－sin 2α，sin α＝1－cos 2α，所以原式＝cos αsin α＋sin α（－cos α）1－cos 2α＝cos αsin α－sin αcos αsin 2α＝cos αsin α－cos αsin α＝0.19．化简11＋tan 220°的结果是________．[解析]11＋tan 220°＝11＋sin 220°cos 220°＝1cos 220°＋sin 220°cos 220°＝11cos 220°＝|cos 20°|＝cos 20°.] 20．化简：1cos 2α1＋tan 2α－1＋sin α1－sin α(α为第二象限角)．[解析]∵α是第二象限角，∴cos α<0. 则原式＝1cos 2α·1＋sin2αcos 2α－(1＋sin α)21－sin 2α＝1cos 2α·cos 2αcos 2α＋sin 2α－1＋sin α|cos α|＝－cos αcos 2α＋1＋sin αcos α＝－1＋1＋sin αcos α＝sin αcos α＝tan α.21．化简sin α1－cos α·tan α－sin αtan α＋sin α.(其中α是第三象限角)[解析]原式＝sin α1－cos α·sin αcos α－sin αsin αcos α＋sin α＝sin α1－cos α·1－cos α1＋cos α＝sin α1－cos α·(1－cos α)21－cos 2α＝sin α1－cos α·1－cos α|sin α|.又因为α是第三象限角，所以sin α＜0.所以原式＝sin α1－cos α·1－cos α－sin α＝－1.22．1－2sin 10°cos 10°sin 10°－1－sin 210°的值为( )A ．1B ．－1C ．sin 10°D ．cos 10°[解析] [1－2sin 10°cos 10°sin 10°－1－sin 210°＝(cos 10°－sin 10°)2sin 10°－cos 210°＝|cos 10°－sin 10°|sin 10°－cos 10°＝cos 10°－sin 10°sin 10°－cos 10°＝－1.23．化简tan α1sin 2α－1，其中α是第二象限角． [解析]因为α是第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0. 故tan α1sin 2α－1＝tan α1－sin 2αsin 2α＝tan αcos 2αsin 2α＝sin αcos α⎪⎪⎪⎪cos αsin α＝sin αcos α·－cos αsin α＝－1. 24．化简下列各式：(1)sin α1＋sin α－sin α1－sin α；(2)⎝⎛⎭⎫1sin α＋1tan α(1－cos α)． [解析] (1)原式＝sin α(1－sin α)－sin α(1＋sin α)(1＋sin α)(1－sin α)＝－2sin 2α1－sin 2α＝－2sin 2αcos 2α＝－2tan 2α.(2)原式＝⎝⎛⎭⎫1sin α＋cos αsin α(1－cos α)＝1＋cos αsin α(1－cos α)＝sin 2αsin α＝sin α. 25．已知sin θ，cos θ是方程2x 2－mx ＋1＝0的两根，则sin θ1－1tan θ＋cos θ1－tan θ＝________.[解析]sin θ1－1tan θ＋cos θ1－tan θ＝sin θ1－cos θsin θ＋cos θ1－sin θcos θ＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos 2θcos θ－sin θ＝sin 2θ－cos 2θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ，又因为sin θ，cos θ是方程2x 2－mx ＋1＝0的两根，所以由根与系数的关系得sin θcos θ＝12，则(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝2，所以sin θ＋cos θ＝±2.26．化简1－cos 4α－sin 4α1－cos 6α－sin 6α.[解析]解法一：原式＝(cos 2α＋sin 2α)2－cos 4α－sin 4α(cos 2α＋sin 2α)3－cos 6α－sin 6α＝2cos 2αsin 2α3cos 2αsin 2α(cos 2α＋sin 2α)＝23.解法二：原式＝1－(cos 4α＋sin 4α)1－(cos 6α＋sin 6α)＝1－[(cos 2α＋sin 2α)2－2sin 2αcos 2α]1－(cos 2α＋sin 2α)(cos 4α－cos 2αsin 2α＋sin 4α)＝1－1＋2cos 2αsin 2α1－[(cos 2α＋sin 2α)2－3cos 2αsin 2α]＝2cos 2αsin 2α3cos 2αsin 2α＝23. 解法三：原式＝(1－cos 2α)(1＋cos 2α)－sin 4α(1－cos 2α)(1＋cos 2α＋cos 4α)－sin 6α＝sin 2α(1＋cos 2α－sin 2α)sin 2α(1＋cos 2α＋cos 4α－sin 4α)＝2cos 2α1＋cos 2α＋cos 2α－sin 2α＝2cos 2α3cos 2α＝23. 27．化简：(1)sin α1－cos α·tan α－sin αtan α＋sin α；(2)(1－tan θ)cos 2θ＋⎝⎛⎭⎫1＋1tan θsin 2θ.[解析] (1)原式＝sin α1－cos α·sin αcos α－sin αsin αcos α＋sin α＝sin α1－cos α·1－cos α1＋cos α＝sin α1－cos α·(1－cos α)21－cos 2α＝sin α1－cos α·1－cos α|sin α|＝sin α|sin α|，当sin α>0时，原式＝1；当sin α<0时，原式＝－1.(2)原式＝cos θ－sin θcos θ·cos 2θ＋sin θ＋cos θsin θ·sin 2θ＝cos 2θ－sin θcos θ＋sin 2θ＋sin θcos θ＝cos 2θ＋sin 2θ＝1.28．已知α∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4，且1＋2sin αcos α＋1－2sin αcos αcos α＝4，则sin α－cos α2sin α＋cos α＝________. [解析]∵1＋2sin αcos α＝(sin α＋cos α)2,1－2sin αcos α＝(sin α－cos α)2，∴1＋2sin αcos α＝|sin α＋cos α|， 1－2sin αcos α＝|sin α－cos α|.又∵α∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4，∴sin α＋cos α＞0，sin α－cos α＞0. 由题意，得(sin α＋cos α)＋(sin α－cos α)cos α＝4，∴sin α＝2cos α.∴sin α－cos α2sin α＋cos α＝2cos α－cos α4cos α＋cos α＝15.29．化简： 1－2sin α2cos α2＋1＋2sin α2cos α2⎝⎛⎭⎫0＜α＜π2. [解析]原式＝⎝⎛⎭⎫cos α2－sin α22＋⎝⎛⎭⎫cos α2＋sin α22＝⎪⎪⎪⎪cos α2－sin α2＋⎪⎪⎪⎪cos α2＋sin α2.因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以α2∈⎝⎛⎭⎫0，π4.所以cos α2－sin α2＞0，sin α2＋cos α2＞0， 所以上式＝cos α2－sin α2＋cos α2＋sin α2＝2cos α2.30．若1＋sin θ·sin 2θ＋cos θ·cos 2θ＝0成立，则角θ不可能是 ( )A ．第二、三、四象限角B ．第一、二、三象限角C ．第一、二、四象限角D ．第一、三、四象限角[解析] 由于1＋sin θ·sin 2θ＋cos θcos 2θ＝0，且1－sin 2θ－cos 2θ＝0，所以sin θ≤0，cos θ≤0，故选C. 31．若β∈[0,2π)，且1－cos 2β＋1－sin 2β＝sin β－cos β，则β的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫0，π2B.⎣⎡⎦⎤π2，πC.⎣⎡⎦⎤π，3π2D.⎣⎡⎭⎫3π2，2π [解析]∵1－cos 2β＋1－sin 2β＝|sin β|＋|cos β|＝sin β－cos β，∴sin β≥0且cos β≤0.又∵β∈[0,2π)，∴β∈⎣⎡⎦⎤π2，π.故选B.32．已知sin α＝13，求1－2sin αcos α（2cos 2α－1）（1－tan α）的值．[解析]1－2sin αcos α（2cos 2α－1）（1－tan α）＝（sin α－cos α）2（2cos 2α－sin 2α－cos 2α）（1－tan α）＝（cos α－sin α）2（cos α＋sin α）（cos α－sin α）（1－tan α）＝cos α－sin α（cos α＋sin α）（1－tan α） ＝1－tan α（1＋tan α）（1－tan α）＝11＋tan α，当角α是第一象限角时，cos α＝223，tan α＝sin αcos α＝24，所以原式＝11＋24＝8－227；当角α是第二象限角时，cos α＝－223，tan α＝sin αcos α＝－24，所以原式＝11－24＝8＋227.33．已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根为sin θ和cos θ，θ∈(0,2π)，求：(1)sin θ1－1tan θ＋cos θ1－tan θ的值；(2)m 的值；(3)方程的两根及θ的值．[解析] (1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝3＋12，sin θcos θ＝m2，所以sin θ1－1tan θ＋cos θ1－tan θ＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos 2θcos θ－sin θ＝sin 2θ－cos 2θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ＝3＋12.(2)由(1)，知sin θ＋cos θ＝3＋12，将上式两边平方，得1＋2sin θcos θ＝2＋32，所以sin θcos θ＝34，由(1)，知m 2＝34，所以m ＝32. (3)由(2)可知原方程为2x 2－(3＋1)x ＋32＝0，解得x 1＝32，x 2＝12. 所以⎩⎨⎧sin θ＝32，cos θ＝12或⎩⎨⎧sin θ＝12，cos θ＝32.又θ∈(0,2π)，所以θ＝π3或π6.题型五 应用同角三角函数关系式证明1．下列等式中恒成立的个数为( )①sin 21＝1－cos 21；②sin 2α＋cos 2α＝sin 23＋cos 23；③sin α＝tan αcos α⎝⎛⎭⎫α≠π2＋k π，k ∈Z . A ．1 B ．2 C ．3D ．0[解析]①②③都正确，故选C. 2．求证：sin α1－cos α·cos αtan α1＋cos α＝1.[解析]sin α1－cos α·cos αtan α1＋cos α＝sin α1－cos α·cos α·sin αcos α1＋cos α＝sin α1－cos α·sin α1＋cos α＝sin 2α1－cos 2α＝sin 2αsin 2α＝1. 3．求证：1＋tan 2α＝1cos 2α.[解析]1＋tan 2α＝1＋sin 2αcos 2α＝cos 2α＋sin 2αcos 2α＝1cos 2α. 4．求证：sin α(1＋tan α)＋cos α·⎝⎛⎭⎫1＋1tan α＝1sin α＋1cos α. [解析]左边＝sin α⎝⎛⎭⎫1＋sin αcos α＋cos α⎝⎛⎭⎫1＋cos αsin α ＝sin α＋sin 2αcos α＋cos α＋cos 2αsin α＝sin 2α＋cos 2αsin α＋sin 2α＋cos 2αcos α＝1sin α＋1cos α＝右边．即原等式成立．5．求证：tan αsin αtan α－sin α＝tan α＋sin αtan αsin α.[解析]法一：(切化弦)左边＝sin 2αsin α－sin αcos α＝sin α1－cos α，右边＝sin α＋sin αcos αsin 2α＝1＋cos αsin α.因为sin 2α＝1－cos 2α＝(1＋cos α)(1－cos α)，所以sin α1－cos α＝1＋cos αsin α，所以左边＝右边．所以原等式成立．法二：(由右至左)因为右边＝tan 2α－sin 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan 2α－tan 2αcos 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan 2α(1－cos 2α)(tan α－sin α)tan αsin α＝tan 2αsin 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan αsin αtan α－sin α＝左边，所以原等式成立． 6．求证：2sin x cos x －1cos 2x －sin 2x ＝tan x －1tan x ＋1.[解析]证法一：∵左边＝2sin x cos x －(sin 2x ＋cos 2x )cos 2x －sin 2x ＝－(sin 2x －2sin x cos x ＋cos 2x )cos 2x －sin 2x ＝(sin x －cos x )2sin 2x －cos 2x＝(sin x －cos x )2(sin x －cos x )(sin x ＋cos x )＝sin x －cos x sin x ＋cos x ＝tan x －1tan x ＋1＝右边．∴原式成立．证法二：∵右边＝sin xcos x－1sin x cos x＋1＝sin x －cos x sin x ＋cos x ；左边＝1－2sin x cos x sin 2x －cos 2x ＝(sin x －cos x )2sin 2x －cos 2x ＝(sin x －cos x )2(sin x －cos x )·(sin x ＋cos x )＝sin x －cos x sin x ＋cos x .∴左边＝右边，原式成立．7．求证：(1)sin α－cos α＋1sin α＋cos α－1＝1＋sin αcos α；(2)2(sin 6 θ＋cos 6 θ)－3(sin 4 θ＋cos 4 θ)＋1＝0.[解析] (1)左边＝(sin α－cos α＋1)(sin α＋cos α＋1)(sin α＋cos α－1)(sin α＋cos α＋1)＝(sin α＋1)2－cos 2 α(sin α＋cos α)2－1＝(sin 2 α＋2sin α＋1)－(1－sin 2 α)sin 2 α＋cos 2 α＋2sin αcos α－1＝2sin 2 α＋2sin α1＋2sin αcos α－1＝2sin α(sin α＋1)2sin αcos α＝1＋sin α cos α＝右边，∴原等式成立．(2)左边＝2[(s i n 2 θ)3＋(cos 2θ)3]－3(sin 4 θ＋cos 4 θ)＋1＝2(sin 2 θ＋cos 2 θ)(sin 4 θ－sin 2 θcos 2 θ＋cos 4 θ)－3(sin 4 θ＋cos 4 θ)＋1＝(2sin 4 θ－2sin 2 θcos 2 θ＋2cos 4 θ)－(3sin 4 θ＋3cos 4 θ)＋1＝－(sin 4 θ＋2sin 2 θcos 2 θ＋cos 4 θ)＋1 ＝－(sin 2 θ＋cos 2 θ)2＋1＝－1＋1＝0＝右边， ∴原等式成立． 8．若3π2<α<2π，求证：1－cos α1＋cos α＋1＋cos α1－cos α＝－2sin α.[解析]∵3π2<α<2π，∴sin α<0.左边＝(1－cos α)2(1＋cos α)(1－cos α)＋(1＋cos α)2(1－cos α)(1＋cos α)＝(1－cos α)2sin 2α＋(1＋cos α)2sin 2α＝|1－cos α||sin α|＋|1＋cos α||sin α|＝－1－cos αsin α－1＋cos αsin α＝－2sin α＝右边．∴原等式成立．9．求证：1－2sin 2x cos 2x cos 22x －sin 22x ＝1－tan (720°＋2x )1＋tan (360°＋2x ).[解析] 法一：右边＝1－tan 2x1＋tan 2x＝1－sin 2xcos 2x 1＋sin 2x cos 2x＝cos 2x －sin 2x cos 2x ＋sin 2x＝(cos 2x －sin 2x )2(cos 2x ＋sin 2x )(cos 2x －sin 2x )＝cos 22x ＋sin 22x －2cos 2x sin 2xcos 22x －sin 22x ＝1－2sin 2x cos 2xcos 22x －sin 22x＝左边．所以原等式成立．法二：左边＝sin 22x ＋cos 22x －2sin 2x cos 2x cos 22x －sin 22x ＝(cos 2x －sin 2x )2(cos 2x －sin 2x )(cos 2x ＋sin 2x )＝cos 2x －sin 2xcos 2x ＋sin 2x .右边＝1－tan 2x1＋tan 2x＝1－sin 2x cos 2x 1＋sin 2x cos 2x ＝cos 2x －sin 2x cos 2x ＋sin 2x .所以原等式成立.10．求证：1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝1＋tan αtan α－1.[解析]左边＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝（sin α＋cos α）2（sin α－cos α）（sin α＋cos α）＝sin α＋cos αsin α－cos α＝1＋tan αtan α－1＝右边．所以原式成立．11．已知tan 2α＝2tan 2β＋1，求证：sin 2β＝2sin 2α－1. [解析]因为tan 2α＝2tan 2β＋1，所以tan 2α＋1＝2tan 2β＋2，所以sin 2αcos 2α＋1＝2⎝⎛⎭⎫sin 2βcos 2β＋1，所以1cos 2α＝2cos 2β，所以1－sin 2β＝2(1－sin 2α)，即sin 2β＝2sin 2α－1.。
数学人教A版必修4课堂导学案：1.2.2同角三角函数的基
课堂导学三点剖析1.同角三角函数基本关系式【例1】已知cosθ=-53,求sinθ、tanθ. 思路分析：先确定θ的象限，再求与cosθ具有平方关系的sinθ的值，然后利用商数关系求出tanθ.解：∵cosθ=-53＜0,∴θ为第二、三象限角. 当θ为第二象限角时， sinθ=54)53(1cos122=--=-θ, tanθ=34cos sin -=θθ. 当θ为第三象限角时，sinθ=θ2cos 1-- =54)53(12-=---,tanθ=34cos sin =θθ. 温馨提示已知某角的一个三角函数值，求该角的其他三角函数值时要注意：（1）角所在的象限；（2）用平方关系求值时，所求三角函数的符号由角所在的象限决定；（3）用商数关系时，不要另加符号，只需用公式tanα=ααcos sin 代入sinα、cosα的值即可求得tanα.2．同角三角函数基本关系的应用【例2】 已知cosα=m(|m|≤1),求sinα、tanα的值.思路分析：因α的范围未定，故应分类讨论.解：（1）当m=0时，α的终边落在y 轴上.若α的终边落在y 轴的正半轴时，sinα=1,tanα不存在；若α角的终边落在y 轴的负半轴时，sinα=-1,tanα不存在.(2)当m=±1时，α的终边落在x 轴上，此时，sinα=0,tanα=0.(3)当|m|＜1且m≠0时.sin 2α=1-cos 2α=1-m 2.①当α在第一、二象限时，sinα=21m -,从而tanα=m m 21cos sin -=αα. ②当α在第三、四象限时，sinα=-21m -,从而tanα=m m 21cos sin --=αα. 温馨提示(1)确定角α的范围是为了确定三角函数值的符号.若要对角的范围进行讨论，终边在坐标轴上的情况要单独讨论.(2)此类型题目可分为三种情况.①已知一个角的某个三角函数值，又已知角所在的象限，有一解.②已知一个角的某个三角函数值，没告知角所在的象限有两解.③已知角的一个三角函数值用字母表示时，α分类讨论的根据主要是按所求的那些三角函数来区分象限.3.同角三角函数基本关系式成立的条件【例3】 已知：sinθ=53+-m m ,cosθ=524+-m m ,其中2π≤θ≤π,求m 的值. 错解：∵sin 2θ+cos 2θ=1, ∴22)524()53(+-++-m m m m =1. 解得m 1=0,m 2=8,这就是所求的m 的值.错因分析：本题对θ还有限制2π≤θ≤π,因此sinθ和cosθ的正负就有限制，对m 的取值必然产生影响. 正解：因2π≤θ≤π, 则sinθ≥0,cosθ≤0.显然，当m=0时不符合条件，故m=8.温馨提示（1）运用商数关系时，注意公式的适用范围;（2）运用平方关系时，注意符号的选择.各个击破类题演练1已知sinα=54,α∈(0,π),则tanα的值等于（ ） A.34 B.43 C.±43 D.±34 解析：由sinα=54,α∈(0,π), ∴cosα=±53,∴tanα=±34. 答案：D变式提升1已知3sinα-2cosα=0,求下列各式的值. (1);sin cos sin cos sin cos sin cos αααααααα-+++- (2)sin 2α-2sinαcosα+4cos 2α. (1)解：∵3sinα-2cosα=0,∴tanα=32. ααααααααsin cos sin cos sin cos sin cos -+++-=526321321321321tan 1tan 1tan 1tan 1=-+++-=-+++-αααα. (2)sin 2α-2sinαcosα+4cos 2α =αααααα2222cos sin cos 4cos sin 2sin ++- =.1328194434941tan 4tan 2tan 22=++-=++-ααα 类题演练2已知5sinθ+12cosθ=0,求αθθsin 32cos 9sin -+的值. 解：由5sinθ+12cosθ=0,得tanθ=512-＜0， 故θ角在第二或第四象限.当θ在第二象限时，cosθ=135tan 112-=+-θ; 当θ在第四象限时，cosθ=135tan 11=+2θ. 则原式=1033cos tan 32cos )9(tan =∙-+θθθθ或6233. 变式提升2已知sinθ+cosθ=51,θ∈(0,π),求值（1）tanθ;（2）sinθ-cosθ;（3）sin 3θ+cos 3θ. 解：∵sinθ+cosθ=51 θ∈(0,π),平方,得 sinθcosθ=2512-＜0,∴sinθ＞0,cosθ＜0, ∴sinθ,cosθ是方程x 2-15x 2512-=0的两根. 解方程得：x 1=54,x 2=-53, ∴sinθ=54,cosθ=-53, ∴（1）tanθ=34-,（2）sinθ-cosθ=57, （3）sin 3θ+cos 3θ=12537. 类题演练3若α为第二象限角，则tanα＜0,∴tanα=ααcos sin -以上命题是真命题吗？ 解析：同角三角函数基本关系式对定义域内的任意角都成立.α在第二象限时，sinα＞0,cosα＜0 故tanα=ααcos sin -. 答案：不是变式提升3已知：tanθ=2.求证：)5353(log2--+=lg2-lgcos 2θ. 证明：由于tanθ=2,∴θθcos sin =2.即sin 2θ=4cos 2θ, ∴1-cos 2θ=4cos 2θ,∴cos 2θ=51. ∴lg2-lgcos 2θ=lg2-lg 51=lg2+lg5=1. 而)5353(log 2--+=log 2(5353--+)2=log 2(3+5+3-5-259-)=log 22=1.∴原式成立.。
高中人教版数学必修4学案：1.2.2 同角三角函数的基本关系 【含解析】
1.2.2同角三角函数的基本关系考试标准课标要点学考要求高考要求同角三角函数的基本关系b b同角三角函数关系的应用b b知识导图学法指导1.充分理解同角三角函数的基本关系式，掌握公式成立的条件、形式及公式的变形，在尝试证明的基础上去理解记忆．2．理解并记忆相应的求值、化简以及证明的模型，领会解题常用的方法技巧，熟练掌握公式及其变形的应用.同角三角函数的基本关系式状元随笔(1)“同角”有两层含义：一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)，关系式都成立，与角的表达形式无关，如：sin23α＋cos23α＝1等．(2)注意公式成立的条件．(3)注意公式的变形，特别是公式的逆用．(4)在应用平方关系式求sinα或cosα时，其正负号是由角α所在的象限决定，不可凭空想象．[小试身手]1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”)(1)sin 2π3＋cos 2π4＝1.( ) (2)sin α2＋cos α2＝1.( )(3)对于任意角α都有sin 2α＋cos 2α＝1，tan α＝sin αcos α.( ) 答案：(1)× (2)× (3)×2．若α为第二象限角，且sin α＝23，则cos α＝( )A ．－53 B.13C.53 D ．－13 解析：∵α是第二象限角， ∴cos α＝－1－sin 2α＝－53.答案：A3．已知tan α＝12，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，则sin α的值是( )A ．－55 B.55 C.255 D ．－255解析：∵α∈(π，3π2)，∴sin α<0.由tan α＝sin αcos α＝12，sin 2α＋cos 2α＝1，得sin α＝－55. 答案：A4．化简：(1＋tan 2α)·cos 2α等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2解析：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin 2αcos 2α·cos 2α＝cos 2α＋sin 2α＝1.答案：C所以cos x ＋sin x ＝－355.(2)由⎩⎨⎧cos x ＋sin x ＝－355，cos x －sin x ＝55，解得cos x ＝－55，sin x ＝－255，所以2sin 2x －sin x cos x ＋cos 2x ＝2×45－25＋15＝75.(1)把cos x －sin x ＝55平方 (2)注意x 的范围(3)分别求出sin x 、cos x 1.2.2[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．下列四个命题中可能成立的一个是( )A ．sin α＝12且cos α＝12 B ．sin α＝0且cos α＝－1 C ．tan α＝1且cos α＝－1D ．tan α＝－sin αcos α(α在第二象限)解析：由同角三角函数基本关系式，知A ，C ，D 不可能成立，B 可能成立．答案：B2．已知α是第二象限角，且cos α＝－1213，则tan α的值是( ) A.1213 B ．－1213。
人教a版必修4学案：1.2.2同角三角函数的基本关系(含答案)
1.2.2 同角三角函数的基本关系自主学习知识梳理1．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：____________________.(2)商数关系：____________________.2．同角三角函数基本关系式的变形(1)sin 2α＋cos 2α＝1的变形公式：sin 2α＝__________；cos 2α＝__________；(sin α＋cos α)2＝__________；(sin α－cos α)2＝____________；(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝________；sin α·cos α＝____________＝____________.(2)tan α＝sin αcos α的变形公式：sin α＝____________； cos α＝____________.自主探究1．利用任意角三角函数的定义推导平方关系．2．已知tan α＝2，求下列代数式的值．(1)4sin α－2cos α5cos α＋3sin α； (2)14sin 2α＋13sin αcos α＋12cos 2α.对点讲练知识点一 已知某一个三角函数值，求同角的其余三角函数值例1 已知cos α＝－817，求sin α、tan α.回顾归纳 同角三角函数的基本关系式揭示了同角之间的三角函数关系，其最基本的应用是“知一求二”，要注意这个角所在的象限，由此来决定所求的是一解还是两解，同时应体会方程思想的应用．变式训练1 已知tan α＝43，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值．知识点二 利用同角的三角函数基本关系式化简例2 化简：1cos α1＋tan 2α＋1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α.回顾归纳 解答此类题目的关键在于公式的灵活运用，切实分析好同角三角函数间的关系．化简过程中常用的方法有：(1)化切为弦，即把非正弦、非余弦的函数都化成正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的．(2)对于含有根号的，常把根号下化成完全平方式，然后去根号，达到化简的目的．(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解．变式训练2 化简：1－cos 4α－sin 4α1－cos 6α－sin 6α.知识点三 利用同角的三角函数基本关系式证明恒等式例3 求证：cos α1＋sin α－sin α1＋cos α＝2(cos α－sin α)1＋sin α＋cos α.回顾归纳 证明三角恒等式的实质是清除等式两端的差异，有目的地进行化简．证明三角恒等式的基本原则：由繁到简．常用方法：从左向右证；从右向左证；左、右同时证．常用技巧：切化弦、整体代换．变式训练3 求证：1－2sin 2x cos 2x cos 22x －sin 22x ＝1－tan 2x 1＋tan 2x.1．同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，它的精髓在“同角”二字上，如sin 22α＋cos 22α＝1，sin 8αcos 8α＝tan 8α等都成立，理由是式子中的角为“同角”．2．已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值时，要注意公式的合理选择．一般是先选用平方关系，再用商数关系．在应用平方关系求sin α或cos α时，其正负号是由角α所在象限来决定，切不可不加分析，凭想象乱写公式．3．在进行三角函数式的求值时，细心观察题目的特征，灵活、恰当的选用公式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系式变形的出发点.课时作业一、选择题1．化简sin 2β＋cos 4β＋sin 2βcos 2β的结果是( )A.14B.12 C ．1 D.322．若α为第三象限角，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为( ) A ．3 B ．－3 C ．1 D ．－13．若sin α＝45，且α是第二象限角，则tan α的值等于( ) A ．－43 B.34 C ．±34 D ．±434．已知tan α＝－12，则1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α的值是( ) A.13 B ．3 C ．－13D ．－3 5．已知sin α－cos α＝－52，则tan α＋1tan α的值为( ) A ．－4 B ．4 C ．－8 D ．8二、填空题6．已知α是第二象限角，tan α＝－12，则cos α＝________. 7．已知sin αcos α＝18且π4<α<π2，则cos α－sin α＝ ______________________________________________________________________.8．若sin θ＝k ＋1k －3，cos θ＝k －1k －3，且θ的终边不落在坐标轴上，则tan θ的值为________．三、解答题9．证明：(1)1－cos 2αsin α－cos α－sin α＋cos αtan 2α－1＝sin α＋cos α； (2)(2－cos 2α)(2＋tan 2α)＝(1＋2tan 2α)(2－sin 2α)．10．已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根为sin θ和cos θ，θ∈(0,2π) 求：(1)m 的值；(2)方程的两根及此时θ的值．1.2.2 同角三角函数的基本关系答案知识梳理1．(1)sin 2α＋cos 2α＝1 (2)tan α＝sin αcos α (α≠k π＋π2，k ∈Z ) 2．(1)1－cos 2α 1－sin 2α 1＋2sin αcos α1－2sin αcos α 2 (sin α＋cos α)2－121－(sin α－cos α)22(2)cos αtan α sin αtan α自主探究1．解 ∵sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x，x 2＋y 2＝r 2， ∴sin 2α＋cos 2α＝y 2r 2＋x 2r 2＝x 2＋y 2r 2＝1 (α∈R )． sin αcos α＝y r x r＝y x ＝tan α (α≠k π＋π2，k ∈Z )． 2．解 关于sin α、cos α的齐次式，可以通过分子、分母同除以cos α或cos 2α转化为关于tan α的式子后再求值．(1)原式＝4tan α－23tan α＋5＝611. (2)原式＝14sin 2α＋13sin αcos α＋12cos 2αsin 2α＋cos 2α＝14tan 2α＋13tan α＋12tan 2α＋1＝14×4＋13×2＋125＝1330. 对点讲练例1 解 ∵cos α＝－817<0且cos α≠－1， ∴α是第二或第三象限的角．(1)如果α是第二象限的角，可以得到sin α＝1－cos 2α＝ 1－⎝⎛⎭⎫－8172＝1517. tan α＝sin αcos α＝1517－817＝－158. (2)如果α是第三象限的角，可得到：sin α＝－1517，tan α＝158. 变式训练1 解 由tan α＝sin αcos α＝43， 得sin α＝43cos α. ① 又sin 2 α＋cos 2α＝1， ②由①②得169cos 2α＋cos 2α＝1，即cos 2α＝925. 又α是第三象限角，∴cos α＝－35，sin α＝43cos α＝－45. 例2 解 原式＝1cos α 1＋sin 2αcos 2α＋(1＋sin α)21－sin 2α －(1－sin α)21－sin 2α ＝|cos α|cos α＋1＋sin α|cos α|－1－sin α|cos α|＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋2tan α(α为第一或第四象限角)，－1－2tan α(α为第二或第三象限角). 变式训练2 解 原式＝(1－cos 4 α)－sin 4 α(1－cos 6 α)－sin 6 α＝(1－cos 2α)(1＋cos 2α)－sin 4 α(1－cos 2α)(1＋cos 2α＋cos 4 α)－sin 6 α＝sin 2α(1＋cos 2α)－sin 4 αsin 2α(1＋cos 2α＋cos 4 α)－sin 6 α＝1＋cos 2α－sin 2α1＋cos 2α＋cos 4 α－sin 4 α＝2cos 2α1＋cos 2α＋(cos 2α＋sin 2α)(cos 2α－sin 2α)＝2cos 2α1＋cos 2α＋cos 2α－sin 2α＝2cos 2α3cos 2α＝23. 例3 证明 左边＝cos α(1＋cos α)－sin α(1＋sin α)(1＋sin α)(1＋cos α)＝cos 2α－sin 2α＋cos α－sin α1＋sin α＋cos α＋sin αcos α＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α＋1)12(cos α＋sin α)2＋sin α＋cos α＋12＝2(cos α－sin α)(cos α＋sin α＋1)(sin α＋cos α＋1)2＝2(cos α－sin α)1＋sin α＋cos α＝右边． ∴原式成立．变式训练3 证明 左边＝cos 22x ＋sin 22x －2sin 2x cos 2x cos 22x －sin 22x＝(cos 2x －sin 2x )2(cos 2x －sin 2x )(cos 2x ＋sin 2x )＝cos 2x －sin 2x cos 2x ＋sin 2x＝1－tan 2x 1＋tan 2x＝右边．∴原等式成立．课时作业1．C [sin 2β＋cos 4β＋sin 2βcos 2β＝sin 2β＋cos 2β(cos 2β＋sin 2β)＝sin 2β＋cos 2β＝1.]2．B [∵α为第三象限角，cos α<0，sin α<0，∴原式＝cos αcos 2α＋2sin αsin 2α＝cos α－cos α＋2sin α－sin α＝－3.] 3．A [α为第二象限角，sin α＝45，cos α＝－35， tan α＝－43.] 4．C [1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝(sin α＋cos α)·(sin α＋cos α)(sin α＋cos α)·(sin α－cos α)＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝－12＋1－12－1＝－13.] 5．C [tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α. ∵sin αcos α＝1－(sin α－cos α)22＝－18， ∴tan α＋1tan α＝－8.] 6．－255 解析 由α是第二象限的角且tan α＝－12，则⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－12cos αsin 2α＋cos 2α＝1，则⎩⎨⎧ sin α＝55cos α＝－255.7．－32解析 (cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝34，∵π4<α<π2，∴cos α<sin α.∴cos α－sin α＝－32.8.34解析 ∵sin 2θ＋cos 2θ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k －32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫k －1k －32＝1，∴k 2＋6k －7＝0，∴k 1＝1或k 2＝－7. 当k ＝1时，cos θ不符合，舍去．当k ＝－7时，sin θ＝35，cos θ＝45，tan θ＝34.9．证明 (1)左边＝sin 2αsin α－cos α－sin α＋cos αsin 2αcos 2α－1＝sin 2αsin α－cos α－sin α＋cos αsin 2α－cos 2αcos 2α＝sin 2αsin α－cos α－cos 2α(sin α＋cos α)sin 2α－cos 2α＝sin 2αsin α－cos α－cos 2αsin α－cos α＝sin 2α－cos 2αsin α－cos α＝sin α＋cos α＝右边．∴原式成立．(2)∵左边＝4＋2tan 2α－2cos 2α－sin 2α ＝2＋2tan 2α＋2sin 2α－sin 2α＝2＋2tan 2α＋sin 2α右边＝(1＋2tan 2α)(1＋cos 2α)＝1＋2tan 2α＋cos 2α＋2sin 2α＝2＋2tan 2α＋sin 2α∴左边＝右边，原式成立．10．解 (1)由韦达定理知⎩⎨⎧ sin θ＋cos θ＝3＋12①sin θ·cos θ＝m2 ②由①式可知1＋2sin θcos θ＝1＋32， ∴sin θcos θ＝34，∴m2＝34，∴m ＝32， (2)当m ＝32时，原方程2x 2－(3＋1)x ＋32＝0， ∴x 1＝32，x 2＝12. ∵θ∈(0,2π)∴⎩⎨⎧ sin θ＝32cos θ＝12或⎩⎨⎧ sin θ＝12cos θ＝32. ∴θ＝π3或θ＝π6.。
4.2同角三角函数的基本关系式及诱导公式(学案)
4.2同角三角函数的基本关系式及诱导公式(学案)知识归纳1、 同角三角函数的基本关系式（1） 平方关系 （2） 商数关系 （3） 倒数关系）记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限（其中的奇、偶是指 的奇数倍和偶数倍，变与不变是指 的变化（2）利用诱导公式把任意的三角函数转化为锐角三角函数的基本步骤是：任意角的三角函数→正角的三角函数→00360 的角的三角函数→锐角三角函数 3、平方关系 s is α商数关系 t a nαc o t α倒数关系 s e c α 4、sin cos ,sin cos ,sin cos αααααα+-三者之间的关系()2sin cos 12sin cos αααα+=+()2sin cos 12sin cos αααα-=- ()()22sin cos sin cos 2αααα++-=()()22sin cos sin cos 4sin cos αααααα+--=5、同角三角函数关系式和诱导公式的应用主要包括三类题型：求值、化简、证明典型例题例1、（1）已知()cot 2πα-=，求3sin 2πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值 （2） 已知()cot 0m m α=≠，求cos α例2、已知tan 1tan 1αα=--，求下列各式的值：()4sin 2cos 15cos 3sin αααα-+ ()2s i n c o s αα ()()23sin cos αα+例3、已知()()()()()3sin cos 2tan 2cot sin f ππαπααααππα⎛⎫---+ ⎪⎝⎭=----（1） 化简()f α（2） 若α是第三象限角，且31cos 25πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求()f α的值 （3） 若313πα=-，求()f α的值例4、（1）求证：tan sin tan sin tan sin tan sin αααααααα⋅+=-⋅（2）已知()()sin 2cos 2αππα-=- 求证：()()()()sin 5cos 233cos sin 5παπαπαα-+-=----例5、已知关于x的方程)2210x x m -+=的两根为sin θ和cos θ，()0,2θπ∈求（1）sin cos 1cot 1tan θθθθ+--的值（2）m 的值（3）方程的两根及此时θ的值堂清练习1、19sin 6π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值等于（ ）A 、12B 、12- C2D、2-2、如果A 为锐角，()1sin 2A π+=-，那么()cos A π-=（ ）A 、12- B 、12C、2-D23、已知a =200sin ，则160tan 等于A、- B、C、a-D、a4cos sin 1+=-，则θ是（ ）A 、第一象限角B 、第二象限角C 、第三象限角D 、第四象限角5、若022x π≤≤cos 2x =成立的x 的取值范围是（ ）A 、0,4π⎛⎫⎪⎝⎭B 、3,4ππ⎛⎫⎪⎝⎭ C 、5,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D 、30,,44πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦6、405cot 300tan +的值为＿＿＿＿。
人教版高中数学必修四第一章1-2-2同角三角函数的基本关系式《学案》
班级:__________姓名:__________设计人:__________日期:__________♒♒♒♒♒♒♒课前预习·预习案♒♒♒♒♒♒♒温馨寄语在年轻人的颈项上，没有什么东西能比事业心这颗灿烂的宝珠更迷人的了。
——哈菲兹学习目标1．理解同角三角函数的基本关系.2．会利用同角三角函数的基本关系化简、求值、证明恒等式.学习重点同角三角函数的基本关系式的推导，会利用同角三角函数的基本关系式进行三角函数的化简与证明学习难点会用同角三角函数的基本关系式进行三角函数的化简与证明自主学习同角三角函数的基本关系平方关系： .商的关系：.tanα=预习评价1．已知θ是第一象限角且，则cosθ＝.2．化简：= .3．已知3sinα+cosα=0，则t a n = .♒♒♒♒♒♒♒知识拓展·探究案♒♒♒♒♒♒♒合作探究1．同角三角函数基本关系设角是一个任意象限角，点P(x，y)为角α终边上任意一点，它与原点的距离为r(r= >0)，那么：，请根据三角函数的定义思考下面问题：(1)从以上三角函数的定义，试计算sin2α+cos2α与的值，并根据你计算的结果，写出sin ,cos ,t a n 之间的关系式.(2)同角三角函数的两个基本关系成立的条件各是什么？2．利用同角三角函数关系可以解决哪些问题？教师点拨对同角三角函数基本关系的三点说明(1)关系式中的角一定是同角，否则公式可能不成立，如sin230°+cos260°≠1.(2)同角不要拘泥于形式，将换成或2α也成立，如.(3)商的关系中要注意公式中的隐含条件，cos ≠0，即交流展示——利用基本关系求值1．已知( )A. B. C. D.2．已知，则等于A. B. C. D.3．______．4．已知是第二象限角,,则变式训练1．(2011·山东省潍坊市月考)已知cos α-sin α=-,则sin αcos α的值为()A. B.± C. D.±2．已知tan α=-2,且<α<π,则cos α+sin α=.交流展示——三角函数式的化简5．若，则sinαcosα=A. B. C. D.6．当角α的终边在直线3x+4y=0上时,sin α+cos α=B. C. D.±7．(2012·聊城测试)已知tan α,是关于x的方程x2-kx+k2-3=0的两个实根,且3π<α<π,则cos α+sin α=.变式训练已知，求(1)；(2)的值.交流展示——三角恒等式的证明8．求证：.9．证明:(1-tan4A)cos2A+tan2A=1.变式训练求证：学习小结1．三角函数求值的常用方法若已知tan =m，求其他三角函数值，其方法是解方程组求出sin a和cos a的值.若已知tan =m，求形如的值，其方法是将分子、分母同除以co s a(或cos2a)转化为tan 的代数式，再求值.形如a sin2 +bsin •cos +c•cos2 通常把分母看作1，然后用sin2 +cos2 代换，分子分母同除以cos2 再求解.提醒：在应用平方关系求sin 或cos 时，函数值的正、负是由角的终边所在的象限决定的，切不可不加分析，凭想象乱写结果.2．三角函数式化简的本质及关注点(1)本质：三角函数式化简的本质是一种不指定答案的恒等变形，体现了由繁到简的最基本的数学解题原则.(2)关注点：不仅要熟悉和灵活运用同角三角函数的基本关系式，还要熟悉并灵活应用这些公式的等价变形，如sin2α=1－cos2α，cos2α=1－sin2α，1=sin2α+cos2α，sinα=tanα•cosα，cosα= .3．对三角函数式化简的原则(1)使三角函数式的次数尽量低.(2)使式中的项数尽量少.(3)使三角函数的种类尽量少.(4)使式中的分母尽量不含有三角函数.(5)使式中尽量不含有根号和绝对值符号.(6)能求值的要求出具体的值，否则就用三角函数式来表示.4．证明三角恒等式的常用方法证明恒等式的过程就是分析、转化、消去等式两边差异来促成统一的过程，证明时常用的方法有：(1)从一边开始，证明它等于另一边，遵循由繁到简的原则.(2)证明左右两边等于同一个式子.(3)证明左边减去右边等于零或左、右两边之比等于1.(4)证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立.当堂检测1．已知A为三角形的一个内角，且，则cos A−sin A的值为A. B. C. D.2．化简(1+tan2α)·cos2α=__________.3．已知在△ABC中，.(1)求sin A·cos A的值.(2)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形.(3)求tan A的值.知识拓展在中，，求的值．详细答案♒♒♒♒♒♒♒课前预习·预习案♒♒♒♒♒♒♒【自主学习】(1)sin2α+cos2α＝1(2)【预习评价】1．2．cos20°3．♒♒♒♒♒♒♒知识拓展·探究案♒♒♒♒♒♒♒【合作探究】1．(1)sin2α+co s2α= + = =1，由以上计算结果可得出以下结论；sin2α+cos2α=1及tanα= .(2)对于平方关系只需同角即可；对于商的关系第一保证是同角，第二保证α≠kπ+ (k∈Z).2．(1)求值：已知一个角的三角函数值，求这个角的其他三角函数的值；(2)化简三角函数式；(3)证明三角恒等式.【交流展示——利用基本关系求值】1．C.【备注】对于与之间的关系，通过平方可以表达出来.2．A,结合可得,所以3．1【解析】本题主要考查同角三角函数基本关系.原式．4．【解析】本题考查同角三角函数基本关系式的应用.利用同角三角函数基本关系式,已知一个角的一个三角函数值可求这个角的其它三角函数值.,又,∴【变式训练】1．A【解析】由已知得(cos α-sin α)2=sin2α+cos2α-2sin αcos α=1-2sin αcos α=,解得sin αcos α=,故选A.2．【解析】本题主要考查了三角函数的概念,意在考查考生对基本概念的理解和应用能力由tan α=-2,得=-2,又sin2α+cos2α=1,且<α<π,解得sin α=,cos α=-,则sin α+cos α==.【交流展示——三角函数式的化简】5．B【解析】由，得，即t a nα.故选B.6．D【解析】在角α的终边上取点P(4t,-3t)(t≠0),则|OP|=5|t|.根据任意角的三角函数的定义,当t>0时,sin α==-,cos α==,sin α+cos α=;当t<0时,sin α==,cos α==-,sin α+cos α=-. 7．-【解析】∵tan α·=k2-3=1,∴k=±2,而3π<α<π,则tan α+=k=2,得tan α=1,则sin α=cos α=-,∴cos α+sin α=-.【变式训练】(1)；(2).的一次或二次齐次式,所以可将分子和分母同除以或,然后将代入求解即可.【备注】注意到的应用.【交流展示——三角恒等式的证明】8．证明： 因为1cos sin sin 1cos x x x x+--(1cos )(1cos )sin sin sin (1cos )x x x x x x +--=- 22221cos sin sin sin 0sin (1cos )sin (1cos )x x x xx x x x ---===--，所以1cos sin =sin 1cos x x x x+-. 9．∵左边=·cos 2A+=+=+==1=右边,∴原等式成立. 【变式训练】右边左边.【解析】通过“切割化弦”将右边分子、分母中的正切化为再进行通分求解.【备注】在三角恒等式的证明中化异为同是基本思想，“1”的代换要灵活运用. 【当堂检测】 1．D【解析】由A 为三角形的内角且，可知，，∴cosA −，.故选D. 2．13．（1）由1sin cos 5A A +=，两边平方，得112sin cos 25A A +⋅=，所以12sin cos 25A A ⋅=-. （2）由（1）得12sin cos 025A A ⋅=-<.又0A π<<，所以cos 0A <， 所以A 为钝角.所以ABC ∆是钝角三角形.（3）因为12sin cos 25A A ⋅=-， 所以22449(sin cos )12sin cos 12525A A A A -=-⋅=+=， 又sin 0,cos 0A A ><，所以sin cos 0A A ->，所以7sin cos 5A A -=. 又1sin cos 5A A +=，所以43sin ,cos 55A A ==-. 所以4sin 45tan 3cos 35A A A ===--. 【知识拓展】解：∵，①∴，即，∴．∵，∴，．∴．∵，∴．②①+②，得．①−②，得．∴．【解析】本题主要考查同角三角函数基本关系以及三角形中函数符号的判定。
【高中数学必修四】1.2.2同角三角函数的基本关系
复习回顾
1.任意角的三角函数定义？
2.任意角的三角函数线定义？
归纳探索
sin 30 45 60 150
1 2
2 2
3 2
cos tan
3 2
2 2
sin cos
2 2
3 3
1 1 1 1
sin cos 3 3
1
3
3 3
1
1）从左向右证
2）从右向左证
3）左右两边同时证
4）证其等价变形的成立性
单方向证明时选取“由繁到简”的方向.
练习
2sin 3cos (1)已知 tan 3求 sin 4cos
(2) ( 3) 已知 tan 3求角三角函数的基本关系
sin cos sin cos cos sin cos sin cos cos
sin cos cos cos sin cos cos cos
弦化切
tan 1 tan 1
21 3 21
同角三角函数基本关系:
sin cos 1
2 2
称为平方关系
sin tan cos
关于两种关系
1.“同角”的概念与角的表达形式无关.
称为商数关系
如 : sin 2 3 cos 2 3 1;
2.关系式(公式)必须在定义域允许的范围内成立. 3.掌握公式的正用、逆用、变形用。
3
3 3
1 2
1 2
3 2
sin cos 1
2 2
sin tan cos
高二数学人教B版必修4学案：1.2.3 同角三角函数的基本关系式 Word版含解析
1.2.3同角三角函数的基本关系式明目标、知重点 1.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式.2.理解同角三角函数的基本关系式.3.能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明.1.同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：tan α＝sin αcos α(α≠kπ＋π2，k∈Z).2.同角三角函数基本关系式的变形(1)sin2α＋cos2α＝1的变形公式：sin2α＝1－cos2α；cos2α＝1－sin2α；(2)tan α＝sin αcos α的变形公式：sin α＝cos αtan α；cos α＝sin αtan α.[情境导学]大家都听过一句话：南美洲亚马逊河雨林中的一只蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可能在两周后引起美国德克萨斯州的一场龙卷风.这就是著名的“蝴蝶效应”，他本意是说事物初始条件的微弱变化可能会引起结果的巨大变化.两个似乎毫不相干的事物，却有着这样的联系.那么“同一个角”的三角函数一定会有非常密切的关系！到底是什么关系呢？这就是本节课所研究的问题.探究点一同角三角函数的基本关系式思考1写出下列角的三角函数值，观察他们之间的关系，猜想之间的联系？你能发现什么一般规律？你能否用代数式表示这两个规律？sin 30°cos 30°＝tan 30°，sin 45°cos 45°＝tan 45°，sin 60°cos 60°＝tan 60°，sin 150°cos 150°＝tan 150°. 同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切；sin 2α＋cos 2α＝1，tan α＝sin αcos α.这就是同角三角函数的基本关系式.思考2 如何利用任意角的三角函数的定义推导同角三角函数的基本关系式？同角三角函数的基本关系式对任意角α都成立吗？答 设点P (x ，y )为α终边上任意一点，P 与O 不重合.P 到原点的距离为r ＝x 2＋y 2>0，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x.于是sin 2α＋cos 2α＝(y r )2＋(x r )2＝y 2＋x2r2＝1，sin αcos α＝yr x r ＝yx＝tan α. 即sin 2α＋cos 2α＝1，tan α＝sin αcos α. 同角三角函数的基本关系式成立的条件是使式子两边都有意义.所以sin 2α＋cos 2α＝1对于任意角α∈R 都成立，而sin αcos α＝tan α并不是对任意角α∈R 都成立，这时α≠k π＋π2，k ∈Z . 思考3 对于平方关系sin 2α＋cos 2α＝1可作哪些变形？对于商数关系sin αcos α＝tan α可作哪些变形？答 sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α (sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α， (sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α， sin α＝cos α·tan α，cos α＝sin αtan α.例1 已知sin α＝－35，求cos α，tan α的值.解 因为sin α<0，sin α≠－1， 所以α是第三或第四象限角.由sin 2α＋cos 2α＝1得cos 2α＝1－sin 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－352＝1625. 如果α是第三象限角，那么cos α<0. 于是cos α＝－1625＝－45， 从而tan α＝sin αcos α＝⎝⎛⎭⎫－35×⎝⎛⎭⎫－54＝34.如果α是第四象限角，那么cos α＝45，tan α＝－34.反思与感悟 同角三角函数的基本关系揭示了同角之间的三角函数关系，其最基本的应用是“知一求二”，要注意这个角所在的象限，由此来决定所求的是一解还是两解，同时应体会方程思想的应用.跟踪训练1 已知tan α＝43，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值.解 由tan α＝sin αcos α＝43，得sin α＝43cos α.① 又sin 2α＋cos 2α＝1，②由①②得169cos 2α＋cos 2α＝1，即cos 2α＝925.又α是第三象限角，∴cos α＝－35，sin α＝43cos α＝－45.探究点二 三角函数式的化简 例2 已知α是第三象限角，化简：1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α.解 原式＝(1＋sin α)2(1－sin α)(1＋sin α)－(1－sin α)2(1＋sin α)(1－sin α)＝(1＋sin α)2cos 2α－(1－sin α)2cos 2α＝1＋sin α|cos α|－1－sin α|cos α|＝2sin α|cos α|. ∵α是第三象限角，∴cos α<0.∴原式＝2sin α－cos α＝－2tan α.即1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α＝－2tan α.反思与感悟 解答此类题目的关键在于公式的灵活运用，切实分析好同角三角函数间的关系.化简过程中常用的方法有：(1)化切为弦，即把非正弦、非余弦的函数都化成正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的.(2)对于含有根号的，常把根号下化成完全平方式，然后去根号，达到化简的目的.(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解.(4)关于sin α，cos α的齐次式的求值方法：①sin α，cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin α，cos α的式子且它们的次数之和相同，设为n 次，将分子，分母同除以cos α的n 次幂，其式子可化为关于tan α的式子，再代入求值.②若无分母时，把分母看作1，并将1用sin 2α＋cos 2α来代换，将分子、分母同除以cos 2α，可化为关于tan α的式子，再代入求值. 跟踪训练2 已知tan α＝3，则 (1)2sin α－3cos α4sin α－9cos α＝ ； (2)sin 2α－3sin αcos α＋1＝ . 答案 (1)1 (2)1解析 (1)2sin α－3cos α4sin α－9cos α＝2tan α－34tan α－9＝2×3－34×3－9＝1；(2)sin 2α－3sin αcos α＋1＝sin 2α－3sin αcos α＋sin 2α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2sin 2α－3sin αcos α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan 2α－3tan α＋1tan 2α＋1 ＝2×32－3×3＋132＋1＝1.探究点三 三角恒等式的证明 例3 求证：cos α1－sin α＝1＋sin αcos α.证明 方法一 左边＝cos 2αcos α(1－sin α)＝1－sin 2αcos α(1－sin α)＝(1－sin α)(1＋sin α)cos α(1－sin α)＝1＋sin αcos α＝右边，∴原等式成立.方法二 ∵sin 2α＋cos 2α＝1，∴cos 2α＝1－sin 2α. ∴cos 2α＝(1－sin α)·(1＋sin α). ∴cos α1－sin α＝1＋sin αcos α.方法三 右边＝(1＋sin α)(1－sin α)cos α(1－sin α)＝1－sin 2αcos α(1－sin α)＝cos 2αcos α(1－sin α)＝cos α1－sin α＝左边， ∴原等式成立.方法四 左边＝cos 2αcos α(1－sin α)，右边＝(1＋sin α)(1－sin α)cos α(1－sin α)＝1－sin 2αcos α(1－sin α)＝cos 2αcos α(1－sin α)， ∵左边＝右边，∴原等式成立. 方法五 ∵cos α1－sin α－1＋sin αcos α＝cos 2α－(1＋sin α)(1－sin α)cos α(1－sin α)＝cos 2α－(1－sin 2α)cos α(1－sin α)＝cos 2α－cos 2αcos α(1－sin α)＝0，∴cos α1－sin α＝1＋sin αcos α.反思与感悟 证明三角恒等式的实质是清除等式两端的差异，有目的地进行化简.证明三角恒等式的基本原则：由繁到简.常用方法：从左向右证；从右向左证；左、右同时证.常用技巧：切化弦、整体代换.跟踪训练3 求证：2sin x cos x －1cos 2x －sin 2x ＝tan x －1tan x ＋1.证明 方法一 ∵左边＝2sin x cos x －(sin 2x ＋cos 2x )cos 2x －sin 2x ＝－(sin 2x －2sin x cos x ＋cos 2x )cos 2x －sin 2x ＝(sin x －cos x )2sin 2x －cos 2x＝(sin x －cos x )2(sin x －cos x )(sin x ＋cos x )＝sin x －cos x sin x ＋cos x ＝tan x －1tan x ＋1＝右边. ∴原式成立.方法二 ∵右边＝sin xcos x－1sin x cos x ＋1＝sin x －cos x sin x ＋cos x ；左边＝1－2sin x cos x sin 2x －cos 2x ＝(sin x －cos x )2sin 2x －cos 2x ＝(sin x －cos x )2(sin x －cos x )·(sin x ＋cos x )＝sin x －cos xsin x ＋cos x . ∴左边＝右边，原等式成立.1.化简：1－2sin 40°cos 40°＝ . 答案 cos 40°－sin 40° 解析 原式＝sin 240°＋cos 240°－2sin 40°cos 40°＝(sin 40°－cos 40°)2＝|cos 40°－sin 40°|＝cos 40°－sin 40°.2.已知α是第三象限角，sin α＝－13，则tan α＝ .答案24解析 由α是第三象限的角，得到cos α<0， 又sin α＝－13，所以cos α＝－1－⎝⎛⎭⎫－132＝－223， 则tan α＝sin αcos α＝24. 3.若α是第三象限角，化简：1＋cos α1－cos α＋1－cos α1＋cos α.解 ∵α是第三象限角，∴sin α<0， 由三角函数线可知－1<cos α<0.∴1＋cos α1－cos α＋1－cos α1＋cos α＝(1＋cos α)21－cos 2α＋(1－cos α)21－cos 2α＝ (1＋cos α)2sin 2α＋(1－cos α)2sin 2α＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋cos αsin α＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－cos αsin α＝－1＋cos αsin α－1－cos αsin α＝－2sin α.4.求证：tan θ·sin θtan θ－sin θ＝1＋cos θsin θ.证明 左边＝sin θcos θ·sin θsin θcos θ－sin θ＝sin 2θsin θ－sin θcos θ＝1－cos 2θsin θ(1－cos θ) ＝(1－cos θ)·(1＋cos θ)sin θ·(1－cos θ)＝1＋cos θsin θ＝右边.∴原等式成立. [呈重点、现规律]1.同角三角函数的基本关系揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，它的精髓在“同角”二字上，如sin 22α＋cos 22α＝1，sin 8αcos 8α＝tan 8α等都成立，理由是式子中的角为“同角”.2.已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值时，要注意公式的合理选择.一般是先选用平方关系，再用商数关系.在应用平方关系求sin α或cos α时，其正负号是由角α所在象限来决定，切不可不加分析，凭想象乱写公式.3.在三角函数的变换求值中，已知sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α中的一个，可以利用方程思想，求出另外两个的值.4.在进行三角函数式的化简或求值时，细心观察题目的特征，灵活、恰当地选用公式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系式变形的出发点.利用同角三角函数的基本关系式主要是统一函数，要掌握“切化弦”和“弦化切”的方法.5.在化简或恒等式证明时，注意方法的灵活运用，常用的技巧有：①“1”的代换；②减少三角函数的个数(化切为弦、化弦为切等)；③多项式运算技巧的应用(如因式分解、整体思想等)；④对条件或结论的重新整理、变形，以便于应用同角三角函数关系来求解.一、基础过关1.已知α是第二象限角，sin α＝513，则cos α等于 ( )A.－1213B.－513C.513D.1213答案 A解析 因为α为第二象限角， 所以cos α＝－1－sin 2α＝－1213.2.已知sin α＝55，则sin 4α－cos 4α的值为( ) A.－15 B.－35 C.15 D.35答案 B解析 sin 4α－cos 4α＝sin 2α－cos 2α＝2sin 2α－1 ＝2×15－1＝－35.3.已知α是第二象限的角，tan α＝－12，则cos α等于( )A.－55 B.－15 C.－255 D.－45答案 C解析 ∵α是第二象限角，∴cos α<0. 又sin 2α＋cos 2α＝1，tan α＝sin αcos α＝－12， ∴cos α＝－255.4.若sin α＋sin 2α＝1，则cos 2α＋cos 4α等于( ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案 B解析 sin α＋sin 2α＝1得sin α＝cos 2α， ∴cos 2α＋cos 4α＝sin α＋sin 2α＝1.5.化简：sin 2α＋sin 2β－sin 2αsin 2β＋cos 2αcos 2β＝ . 答案 1解析 原式＝sin 2α＋sin 2β(1－sin 2α)＋cos 2αcos 2β ＝sin 2α＋sin 2βcos 2α＋cos 2αcos 2β ＝sin 2α＋cos 2α(sin 2β＋cos 2β) ＝sin 2α＋cos 2α＝1.6.已知直线l 的倾斜角是θ，且sin θ＝513，则直线l 的斜率k ＝ .答案 ±512解析 因为直线l 的倾斜角是θ，所以θ∈[0，π). 又因为sin θ＝513，sin 2θ＋cos 2θ＝1，所以cos θ＝±1－(513)2＝±1213，于是直线l 的斜率k ＝sin θcos θ＝±512.7.(1)化简1－sin 2100°；(2)用tan α表示sin α＋cos α2sin α－cos α，sin 2α＋sin αcos α＋3cos 2α.解 (1)1－sin 2100°＝cos 2100°＝|cos 100°|＝－cos 100°.(2)sin α＋cos α2sin α－cos α＝sin α＋cos αcos α2sin α－cos αcos α＝tan α＋12tan α－1， sin 2α＋sin αcos α＋3cos 2α＝sin 2α＋sin αcos α＋3cos 2αsin 2α＋cos 2α＝sin 2α＋sin αcos α＋3cos 2 αcos 2αsin 2α＋cos 2αcos 2α＝tan 2α＋tan α＋3tan 2α＋1. 二、能力提升8.已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ等于( ) A.－43 B.54 C.－34 D.45答案 D解析 sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1， 又tan θ＝2，故原式＝4＋2－24＋1＝45.9.已知sin α－cos α＝－52，则tan α＋1tan α的值为( ) A.－4 B.4 C.－8 D.8 答案 C解析 tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α.∵sin αcos α＝1－(sin α－cos α)22＝－18，∴tan α＋1tan α＝－8. 10.已知tan α＝－12，则1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α的值是 . 答案 －13解析 原式＝(sin α＋cos α)2sin 2α－cos 2α＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝－12＋1－12－1＝－13. 11.已知4sin θ－2cos θ3sin θ＋5cos θ＝611，求下列各式的值. (1)5cos 2θsin 2θ＋2sin θcos θ－3cos 2θ； (2)1－4sin θcos θ＋2cos 2θ.解 由已知4sin θ－2cos θ3sin θ＋5cos θ＝611， ∴4tan θ－23tan θ＋5＝611.解得：tan θ＝2. (1)原式＝5tan 2θ＋2tan θ－3＝55＝1. (2)原式＝sin 2θ－4sin θcos θ＋3cos 2θ＝sin 2θ－4sin θcos θ＋3cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ－4tan θ＋31＋tan 2θ＝－15. 12.求证：cos α1＋sin α－sin α1＋cos α＝2(cos α－sin α)1＋sin α＋cos α. 证明 方法一 左边＝cos α(1＋cos α)－sin α(1＋sin α)(1＋sin α)(1＋cos α)＝cos 2α－sin 2α＋cos α－sin α1＋sin α＋cos α＋sin αcos α＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α＋1)12(cos α＋sin α)2＋sin α＋cos α＋12 ＝2(cos α－sin α)(cos α＋sin α＋1)(sin α＋cos α＋1)2＝2(cos α－sin α)1＋sin α＋cos α＝右边.∴原式成立. 方法二 ∵cos α1＋sin α＝1－sin αcos α＝cos α＋1－sin α1＋sin α＋cos α， sin α1＋cos α＝1－cos αsin α＝sin α＋1－cos α1＋cos α＋sin α， ∴cos α1＋sin α－sin α1＋cos α＝2(cos α－sin α)1＋cos α＋sin α. ∴原式成立.三、探究与拓展13.已知sin α＋cos α＝－13，其中0<α<π，求sin α－cos α的值. 解 因为sin α＋cos α＝－13，所以(sin α＋cos α)2＝19， 所以1＋2sin αcos α＝19，所以sin αcos α＝－49. 因为0<α<π且sin αcos α<0，所以sin α>0，cos α<0，所以sin α－cos α>0.又因为(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝179， 所以sin α－cos α＝173.。
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1.2.2 同角三角函数的基本关系一、重点难点解读知识点一 同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1．(2)商数关系：sin αcos α＝tan_α⎝⎛⎭⎫a ≠k π＋π2，k ∈Z . 知识点二 公式变形(1)sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2 α. (2)sin α＝cos α·tan α⎝⎛⎭⎫α≠k π＋π2，k ∈Z ，cos α＝sin αtan α⎝⎛⎭⎫α≠k π2，k ∈Z . 温馨提示 ①sin 2 α是(sin α)2的简写，读作“sin α的平方”，不能将sin 2 α写成sin α2，前者是α的正弦的平方，后者是α的平方的正弦．②必须是同角，如：sin 22α＋cos 22α＝1，sin α2cos α2＝tan α2等都成立，而sin 2α＋cos 2β＝1不成立．二、常考题型归类题型一 利用同角三角函数的基本关系求值例1 (1)已知α为第三象限的角，且tan α＝13，则cos α的值为( )A.31010 B ．±31010 C ．－31010 D ．－1010(2)已知sin α＋cos α＝13，其中0<α<π，求sin α－cos α的值．(1)解析：由题意tan α＝sin αcos α＝13，故cos α＝3sin α，代入sin 2α＋cos 2α＝1得sin 2α＝110，因α为第三象限的角，有sin α＝－1010，故cos α＝－31010.答案：C(2)解：因为sin α＋cos α＝13，所以(sin α＋cos α)2＝19，可得：sin α·cos α＝－49.因为0<α<π，且sin α·cos α<0， 所以sin α>0，cos α<0. 所以sin α－cos α>0，又(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝179，所以sin α－cos α＝173.例2 (1)sinα＝13且α为第二象限的角，求cosα，tanα.【解析】 ∵sinα＝13，α在第二象限，∴cosα＝－1－sin 2α＝－1－（13）2＝－223.∴tanα＝sinαcosα＝－24.(2) 已知sinα＝－45，求cosα，tanα的值．【思路分析】 先根据题设确定α所在的象限，然后求值．【解析】 ∵sinα＝－45<0，∴α是第三或第四象限角．①若α是第三象限角，则cosα＝－1－sin 2α＝－35，tanα＝sinαcosα＝43.②若α是第四象限角，则cosα ＝1－sin 2α＝35，tanα＝sinαcosα＝－43.(3) 已知tanα＝－2，求sinα，cosα.【解析】 ∵tanα＝－2，∴α是第二或第四象限角．当α是第二象限角时，将sinα＝－2cosα代入sin 2α＋cos 2α＝1，得5cos 2α＝1.∴cosα＝－55，sinα＝－2×(－55)＝255.当α是第四象限角时，同理可得5cos 2α＝1.故cosα＝55，sinα＝－2×55＝－255.变式题1 (1)已知cosα＝－817，求sinα，tanα的值．【解析】 因为cosα<0，且cosα≠－1，所以α是第二或第三象限角． 如果α是第二象限角，那么sinα＝1－cos 2α＝1－（－817）2＝1517，tanα＝sinαcosα＝1517×(－178)＝－158.如果α是第三象限角，那么sinα＝－1517，tanα＝158.(2)已知tanα＝－33，则cosα＝________．【答案】 ±32变式题2 (1)已知sin α＝15，求cos α，tan α；(2)已知tan α＝3，求3sin2α－cos2α2sin2α－6cos2α.解：(1)因为sin α＝15＞0，且sin α≠1，所以α是第一或第二象限角． ①当α为第一象限角时，cos α＝1－sin2α＝1－125＝265，tan α＝sin αcos α＝612；②当α为第二象限角时，cos α＝－1－sin2α＝－265，tan α＝－612.(2)分子、分母同除以cos2α， 得3sin2α－cos2α2sin2α－6cos2α＝3tan2α－12tan2α－6. 又tan α＝3，所以3sin2α－cos2α2sin2α－6cos2α＝3×32－12×32－6＝136.题型二 利用同角三角函数关系式化简及求值例1 (1)若α为第二象限角，则sin 2α－sin 4αcos α＝( )A ．sin αB ．－sin αC ．cos αD ．－cos α(2)化简：1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α，其中α为第三象限的角．解析：(1) sin 2α－sin 4α＝ sin 2α（1－sin 2α）＝ sin 2α·cos 2α＝|sin αcos α|.因为a 为第二象限角，则cos α<0，sin α>0，则|sin αcos α|＝－sin αcos α，所以原式＝－sin α.答案：B(2)解：因为α为第三象限的角，所以－1<sin α<0，－1<cos α<0，1＋sin α>0，1－sin α>0.则1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α＝（1＋sin α）2（1－sin α）（1＋sin α）－（1－sin α）2（1－sin α）（1＋sin α）＝（1＋sin α）－（1－sin α）|cos α|＝2sin α－cos α＝－2tan α.例2 (1)已知tanα＝23，求cosα－sinαcosα＋sinα＋cosα＋sinαcosα－sinα的值．（2）已知tanα＝2，求2sin 2α－3sinαcosα－2cos 2α的值．【思路分析】 如果由tanα＝sinαcosα＝23和sin 2α＋cos 2α＝1求sinα，cosα的值，再代入原式求值，这里求sinα，cosα的时候，涉及到开平方，对角α要讨论，显然不可取，因此可考虑把原式转化为只含tanα的表达式．【解析】 (1)cosα－sinαcosα＋sinα＋cosα＋sinαcosα－sinα＝1－tanα1＋tanα＋1＋tanα1－tanα＝1－231＋23＋1＋231－23＝265.(2)2sin 2α－3sinαcosα－2cos 2α ＝2sin 2α－3sinαcosα－2cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2sin 2αcos 2α－3sinαcosαcos 2α－2cos 2αcos 2αsin 2αcos 2α＋cos 2αcos 2α＝2tan 2α－3tanα－2tan 2α＋1＝2×22－3×2－222＋1＝0. 例3 已知θ是三角形的内角，sinθ＋cosθ＝15，求下列各式的值：(1)s inθ－cosθ； (2)tanθ.【思路分析】 由完全平方求出sinθcosθ，得sinθ－cosθ，利用方程联立即可求出sinθ、cosθ，进而求tanθ.【解析】 (1)∵sinθ＋cosθ＝15，两边平方，得1＋2sinθcosθ＝125，2sinθcosθ＝－2425，∵θ为三角形的内角， ∴cosθ<0，90°<θ<180°，而(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ＝1＋2425＝4925，(2)由⎩⎨⎧sinθ＋cosθ＝15，sinθ－cosθ＝75，解得⎩⎨⎧sinθ＝45，cosθ＝－35.∴tanθ＝－43.∴sinθ－cosθ＝75.例4 (1)化简sin 2α·tanα＋cos 2α·1tanα＋2sinα·cosα.【思路分析】 用同角三角函数关系式求解．【解析】 原式＝sin 2α·sinαcosα＋cos 2α·cosαsinα＋2sinα·cosα＝sin 4α＋cos 4α＋2sin 2αcos 2αsinα·cosα＝1sinαcosα.(2)1－2sinαcosα＋1＋2sinαcosα(0<α<π2)．【解析】 原式＝sin 2α＋cos 2α－2sinαcosα＋sin 2α＋cos 2α＋2sinαcosα ＝（sinα－cosα）2＋（sinα＋cosα）2 ＝|sinα－cosα|＋|sinα＋cosα|，当0<α<π4时，原式＝cosα－sinα＋sinα＋cosα＝2cosα；当α＝π4时，原式＝2；当π4<α<π2时，原式＝sinα－cosα＋sinα＋cosα＝2sinα.变式题1 设tanα＝2，求1＋2sinαcosαsin 2α－cos 2α的值．【解析】 1＋2sinαcosαsin 2α－cos 2α＝sin 2α＋cos 2α＋2sinαcosαsin 2α－cos 2α＝tan 2α＋1＋2tanαtan 2α－1＝22＋1＋2×222－1＝93＝3. 变式题2 (1)化简sin α1＋sin α－sin α1－sin α的结果为________．(2)化简sin 2α＋sin 2β－sin 2αsin 2β＋cos 2αcos 2β.(1)解析：sin α1＋sin α－sin α1－sin α＝sin α（1－sin α）－sin α（1＋sin α）（1＋sin α）（1－sin α）＝－2sin 2αcos 2α＝－2tan 2α. 答案：－2tan 2α(2)解：原式＝sin 2α(1－sin 2β)＋sin 2β＋cos 2αcos 2β＝ sin 2αcos 2β＋cos 2αcos 2β＋sin 2β＝ (sin 2α＋cos 2α)cos 2β＋sin 2β＝1.变式题3 (1)若α是三角形的一个内角且sinα＋cosα＝23，则这个三角形是( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形【解析】 ∵(sinα＋cosα)2＝49，∴sinα·cosα＝－518.∴sinα>0，cosα<0.∴90°<α<180°. 【答案】 D(2)已知sinα＋cosα＝m(|m|≤2，且|m|≠1)，则 ①sinα·cosα＝________． ②sin 3α＋cos 3α＝________． ③sin 4α＋cos 4α＝________．【答案】 ①m 2－12 ②3m －m 32 ③1＋2m 2－m 42探究 对于三角函数式sinα＋cosα、sinα－cosα、sinαcosα，它们之间可通过(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα，(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα进行转换．若已知sinα＋cosα，sinα－cosα，sinα·cosα中三者之一，可求其余两个函数式：如设sinα＋cosα＝t ，则sinα·cosα＝12(t 2－1)，sin 3α＋cos 3α＝12t(3－t 2)，sin 4α＋cos 4α＝(sin 2α＋cos 2α)2－2sin 2α·cos 2α＝1－12(t 2－1)2.这样利用方程的思想解三角题在三角函数中应用比较广泛．题型三 利用同角三角函数关系式证明例1 求证：sin α－cos α＋1sin α＋cos α－1＝1＋sin αcos α.[常规解答] 法一：左边＝（sin α－cos α＋1）（sin α＋cos α＋1）（sin α＋cos α－1）（sin α＋cos α＋1）＝（sin α＋1）2－cos 2α（sin α＋cos α）2－1＝sin 2α＋2sin α＋1－1＋sin 2 α1＋2sin αcos α－1＝2sin α（1＋sin α）2sin αcos α＝1＋sin αcos α＝右边．∴原式成立．法二：左边—右边＝所以，左边＝右边，原式成立． [巧妙解法] 由cos 2α＝1－sin 2α得 －cos 2α＝(sin α＋1)(sin α－1),所以sin α＋1cos α＝－cos αsin α－1，由等比定理得sin α＋1cos α＝sin α＋1－cos αcos α＋sin α－1，所以，原式成立.例2 求证：sinθ(1＋tanθ)＋cosθ·(1＋1tanθ)＝1sinθ＋1cosθ.【思路分析】 化简的方向一般采用切化弦的方式，即把左边的正切值用tanθ＝sinθcosθ换掉．【解析】 左边＝sinθ(1＋sinθcosθ)＋cosθ·(1＋cosθsinθ)＝sinθ＋sin 2θcosθ＋cosθ＋cos 2θsinθ＝(sinθ＋cos 2θsinθ)＋(sin 2θcosθ＋cosθ)＝(sin 2θ＋cos 2θsinθ)＋(sin 2θ＋cos 2θcosθ)＝1sinθ＋1cosθ.变式题1 证明下列恒等式．(1)sinθ1＋cosθ＋1＋cosθ＝2；(2)2(1＋sinα)(1＋cosα)＝(1＋sinα＋cosα)2.【证明】 (1)左边＝sin 2θ＋（1＋cosθ）2sinθ（1＋cosθ）＝2＋2cosθsinθ（1＋cosθ）＝2sinθ＝右边； (2)左边＝2(1＋sinα＋cosα＋sinαcosα) ＝2＋2sinα＋2cosα＋2sinαcosα，右边＝1＋sin 2α＋cos 2α＋2sinα＋2cosα＋2sinαcosα＝2sinα＋2cosα＋2＋2sinαcosα.变式题2 求证：2(1－sin α)(1＋cos α)＝(1－sin α＋cos α)2.[常规解答] 左边＝1＋1－2sin α＋2cos α－2sin αcos α＝ 1＋sin 2α＋cos 2α－2sin αcos α＋2(cos α－sin α)＝ 1＋2(cos α－sin α)＋(cos α－sin α)2＝ (1－sin α＋cos α)2＝右边．[巧妙解法] 令1－sin α＝x ，cos α＝y ， 则(x －1)2＋y 2＝1，即x 2＋y 2＝2x .故左边＝2x (1＋y )＝2x ＋2xy ＝x 2＋y 2＋2xy ＝(x ＋y )2＝ 右边．题型四 综合应用例 已知sinθ、cosθ是关于x 的方程x 2－ax ＋a ＝0的两个根，求：(1) sin 3θ＋cos 3θ的值； (2)tanθ＋1tanθ的值．【解析】 由韦达定理得sinθ＋cosθ＝a ，sinθ·cosθ＝a ， ∴a 2＝(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθ·cosθ＝1＋2a. ∴a 2－2a －1＝0，解得a ＝1±2.又方程有两个根，故Δ＝a 2－4a ≥0，∴a ≤0或a ≥4. ∴a ＝1－ 2.于是有sinθ＋cosθ＝sinθ·cosθ＝1－ 2.(1)sin 3θ＋cos 3θ＝(sinθ＋cosθ)(sin 2θ－sinθ·cosθ＋cos 2θ)＝(1－2)(1－1＋2)＝2－2.(2)tanθ＋1tanθ＝sinθcosθ＋cosθsinθ＝sin 2θ＋cos 2θsinθcosθ＝1sinθcosθ＝11－2＝－2－1. 探究 解答此类求值问题的具体步骤：(1)利用韦达定理，用a 的代数式表示sinθ＋cosθ与sinθ·cosθ；(2)利用同角三角函数的基本关系sin 2θ＋cos 2θ＝1，构造关于a 的方程； (3)解方程，求a 的值，结合题意，对a 的值进行取舍； (4)将所求式用sinθ＋cosθ，sinθ·cosθ表示，进而求解.三、课后强化训练A 级 基础巩固一、选择题1．化简1－sin 2160°的结果是( ) A ．cos 160° B ．－cos 160° C ．±cos 160° D ．±|cos 160°| 解析： 1－sin 2160°＝ cos 2160°＝ |cos 160°|＝－cos 160°. 答案：B2．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且sin α＝35，则tan α＝( ) A.34 B ．－34 C.43 D ．－43解析：由sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π得cos α＝－1－sin 2α＝－45，所以tan α＝sin αcos α＝－34. 答案：B3．若α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝23，则三角形是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．等边三角形解析：将sin α＋cos α＝23两边平方，得1＋2sin αcos α＝49，即2sin α·cos α＝－59.又α是三角形的内角，所以sin α＞0，cos α＜0，所以α为钝角．答案：A4．若sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2mm ＋5，则m 的值为( ) A ．0 B ．8 C ．0或8 D ．3<m <9解析：由sin 2θ＋cos 2θ＝1得⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3m ＋52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－2m m ＋52＝1，解得m ＝0或8. 答案：C5．已知sin αcos α＝18，且π＜α＜5π4，则cos α－sin α的值为( )A.32 B ．－32 C.34 D ．－34解析：(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34，因为π＜α＜54π，所以cos α＜sin α，所以cos α－sin α＜0，所以cos α－sin α＝－34＝－32.答案：B 二、填空题6．在△ABC 中，若cos(A ＋B )>0，sin C ＝13，则tan C 等于________．解析：在△ABC 中，因为cos(A ＋B )>0，所以0<A ＋B <π2，又C ＝π－(A ＋B )，所以角C 是钝角，所以cos C ＝－ 1－sin 2C ＝－223，所以tan C ＝sin C cos C ＝13－223＝－24.答案：－247．若4sin α－2cos α5cos α＋3sin α＝10，则tan α的值为________．解析：因为4sin α－2cos α5cos α＋3sin α＝10，所以4sin α－2cos α＝50cos α＋30si n α，所以26sin α＝－52cos α，即sin α＝－2cos α. 所以tan α＝－2. 答案：－28．已知－π2<x <0，sin x ＋cos x ＝15，则sin x －cos x ＝________．解析：由sin x ＋cos x ＝15，平方得sin 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝125，即2sin x cos x ＝－2425，所以(sin x －cos x )2＝1－2sin x ·cos x ＝4925，又因为－π2<x <0，所以sin x <0，cos x >0，sin x －cos x <0，所以sin x －cos x ＝－75.答案：－75三、解答题9．已知tan α＝23，求下列各式的值；(1)1sin αcos α； (2)sin 2α－2sin αcos α＋4cos 2α.解：(1)1sin αcos α＝sin 2α＋cos 2αsin αcos α＝tan 2α＋1tan α＝136.(2)sin 2α－2sin αcos α＋4cos 2a ＝ sin 2α－2sin αcos α＋4cos 2αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－2tan α＋4tan 2α＋1＝49－43＋449＋1＝2813. 10．化简：tan α·1sin2α－1(α是第二象限角)．解：tan α·1sin2α－1＝tan α·1－sin2αsin2α＝tan α·cos2αsin2α＝sin αcos α·⎪⎪⎪⎪cos αsin α.因为α为第二象限角， 所以sin α＞0，c os α＜0，所以原式＝sin αcos α·－cos αsin α＝－1.B 级 能力提升1．已知α是锐角，且tan α是方程4x 2＋x －3＝0的根，则sin α＝( ) A.45 B.35 C.25 D.15解析：因为方程4x 2＋x －3＝0的根为x ＝34或x ＝－1，又因为tan α是方程4x 2＋x －3＝0的根且α为锐角，所以tan α＝34，所以sin α＝34cos α，即cos α＝43sin α，又sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin 2α＋169sin 2α＝1，所以sin 2α＝925(α为锐角)，所以sin α＝35.答案：B2．使 1－cos α1＋cos α＝cos α－1sin α成立的α的范围是__________．解析： 1－cos α1＋cos α＝ （1－cos α）2sin 2α＝1－cos α|sin α|＝cos α－1sin α，所以sin α<0，故2k π－π<α<2k π，k ∈Z.答案：{α|2k π－π<α<2k π，k ∈Z}3．求证：sin α(1＋tan α)＋cos α·⎝⎛⎭⎫1＋1tan α＝1sin α＋1cos α. 证明：左边＝sin α·⎝⎛⎭⎫1＋sin αcos α＋cos α·⎝⎛⎭⎫1＋cos αsin α ＝sin α＋sin2αcos α＋cos α＋cos2αsin α＝sin2α＋cos2αsin α＋sin2α＋cos2αcos α＝1sin α＋1cos α＝右边． 即原等式成立．。