高中抛物线知识点归纳总结与练习题及答案
抛物线知识点总结及练习
抛物线知识点总结及练习一、抛物线的定义：平面上给予一直线L 及L 外一定点F ，则平面上所有到直线L 的距离恰等于到定点F 的距离之所有动点P 所形成的图形就称为抛物线，其中L 称为准线，F 称为焦点。
二、名词的认识：(一)对称轴﹕通过焦点F 且与准线L 垂直之直线M ，又简称为轴。
(二)顶 点﹕抛物线与对称轴的交点V 。
(三)焦 距﹕焦点F 与顶点V 的距离VF 。
(四)弦﹕抛物线上任取相异两点A 、B 的连线段。
(五)焦弦﹕过焦点F 的弦AC 。
(六)正焦弦﹕垂直于对称轴的焦弦MN 。
(注) 正焦弦长 MN 是焦距 FV 的 4 倍.三、抛物线的标准式：2y ax bx c =++ 配方 2()y a x h k =-+四、抛物线方程式：标准式焦点准线图形24y cx = F (,0)c :L x c =-0c >0c <24x cy = F (0,)c:L y c =-0c >0c <观念延伸：平移后的抛物线之方程式与其图形则会变成？标准式图形2y k c x h-=-()4()c<c>02-=-x h c y k()4()c<c>0例1：右图是一张科学家所记录的草图。
草图描绘着一颗绕着太阳运行之彗星的轨迹，其中的A、B、C、D、E 五点是科学家观察到彗星所在的位置。
经过仔细的计算，这颗彗星所运行的轨迹是一条抛物线，太阳位于其焦点且其准线是一条水平线。
则根据这张草图，彗星在被观察到的五点A、B、C、D、E与太阳之距离的大小顺序为何？【练习题】右图为一抛物线的部分图形， A、B、C、D、E个点中有一为其焦点。
试判断何点是其焦点？例2：求满足下列各条件的抛物线方程式：(1)焦点 F (2,0)，准线:2L x =- (2)焦点 F (0,3)-，准线:3L y =.【练习题】求满足下列各条件的抛物线方程式：(1) 焦点 F (1,0)-，准线:1L x = (2) 焦点 F (0,4)，准线:4L y =-例3：求抛物线216y x =-的顶点、焦点、准线与正焦弦长。
20XX高中抛物线知识点归纳总结与练习题及答案
-----------------------------------精品考试资料---------------------学资学习网-----------------------------------一．直线与抛物线的位置关系直线，抛物线，，消y得：（1）当k=0时，直线与抛物线的对称轴平行，有一个交点；时，）当k≠0（2，直线与抛物线相交，两个不同交点；0 Δ＞直线与抛物线相切，一个切点；Δ=0，，直线与抛物线相离，无公共点。
0Δ＜（3）（不一定）则直线与抛物线必相切吗?若直线与抛物线只有一个公共点,二．关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法抛物线，直线：①联立方程法：以及，还可进一步求出，，则有,设交点坐标为,在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如1.的弦长相交弦AB或，b. 中点,②点差法：，代入抛物线方程，得设交点坐标为，将两式相减，可得a.在涉及斜率问题时，b.，在涉及中点轨迹问题时，设线段的中点为，即，同理，对于抛物线，若直线与抛物线相交于两点，点是弦的中点，则有（注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且不等于零）抛物线练习及答案到抛物线焦点距离之）的距离与点P到点Q（2，－11、已知点P在抛物线y2 = 4x上，那么点P1）。
（,－的坐标为和取得最小值时，点P到该抛物线准线的距离之和）的距离与PP到点（0，22、已知点P是抛物线上的一个动点，则点。
的最小值为、直线与抛物线交于两点，过两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为，则梯形的面积3。
为。
4、设是坐标原点，是抛物线的焦点，是抛物线上的一点，与轴正向的夹角为，则为，垂足为，、抛物线的焦点为，准线为，经过且斜率为的直线与抛物线在轴上方的部分相交于点，5。
则的面积是。
6、已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在上且，则的面积为。
、已知双曲线，则以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为顶点的抛物线方程为7。
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抛物线y 2 2 px y 2 2 px x 2 2 py x22py ( p0)( p0)( p0)( p0)y y yyl l lFOx O F x F O xO x Fl定义范围对称性焦点极点离心率准线方程极点到准线的距离焦点到准线的距离焦半径A( x1 , y1 )焦点弦长AB 平面内与一个定点 F 和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点 F 叫做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的准线。
{ M MF =点 M到直线 l 的距离 }x 0, y R x 0, y R x R, y 0x R, y0对于 x 轴对称对于 y 轴对称(p,0)(p,0)(0,p)(0,p ) 2222焦点在对称轴上O (0,0)e=1pxp p p x y2y222准线与焦点位于极点双侧且到极点的距离相等。
p2ppAFp pAFp AF x1x1AF y1y1 2222( x1x2 ) p( y1y2 ) p( y1y2 )p ( x1x2 )pyA x1 , y1o FxB x2 , y2焦点弦AB 的几条性质以 AB 为直径的圆必与准线l相切A(x1, y1 ) 2 p 2 p若 AB 的倾斜角为若 AB 的倾斜角为，则 AB，则 ABB(x2 , y2 )sin 2cos2p22x1x2y1 y2p4切线方程11AF BF AB2AF BF AF ? BF AF ? BF py0 y p( x x0 )y0 y p( x x0 )x0 x p( y y0 )x0 x p( y y0 )一．直线与抛物线的地点关系直线，抛物线，，消 y 得：（1）当 k=0 时，直线 l 与抛物线的对称轴平行，有一个交点；（2）当 k≠ 0 时，＞0，直线 l 与抛物线订交，两个不一样交点；=0，直线 l 与抛物线相切，一个切点；＜ 0，直线 l 与抛物线相离，无公共点。
（3）若直线与抛物线只有一个公共点, 则直线与抛物线必相切吗?（不必定）二．对于直线与抛物线的地点关系问题常用办理方法直线 l ：y kx b抛物线， ( p0)①联立方程法：y kx bk2 x22(kb p)x b20y2 2 px设交点坐标为(,y1), B( x2 , y2 ) ，则有0, 以及 x1x2 , x1 x2，还可进一步求出A x1y1 y2kx1 b kx2 b k (x1x2 ) 2b，y1 y2( kx1b)(kx2b) k 2 x1 x2kb( x1x2 ) b2在波及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比方1.订交弦 AB的弦长AB 1 k 2 x1x2 1 k 2(x1x2 )24x1x2 1 k 2a或1121 k 2AB1k 2 y1y21k 2( y1y2 ) 4 y1 y2ab. 中点M (x0, y0) , x0x1x2，y0y1y222②点差法：设交点坐标为 A( x1, y1 ) ， B(x2 , y2 ) ，代入抛物线方程，得y12 2 px1y22 2 px2将两式相减，可得( y1y2 )( y1y2 ) 2 p(x1 x2 )y1y2 2 px1x2 y1 y2a.在波及斜率问题时，k AB 2 py1y2b.在涉及中点轨迹问题时，设线段 AB 的中点为 M ( x0 , y0 ) ，y1y2 2 p2p p ，x1x2y1 y2 2 y0y0即 k AB p ，y0同理，对于抛物线x 22(p0)，若直线 l 与抛物线订交于A、, y0 ) py B 两点，点M ( x0是弦 AB 的中点，则有 k AB x1 x22x0x0 2 p 2 p p（注意能用这个公式的条件： 1）直线与抛物线有两个不一样的交点， 2）直线的斜率存在，且不等于零）抛物线练习及答案1、已知点 P 在抛物线 y 2 = 4x 上，那么点P 到点 Q （ 2，－ 1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和获得最小值时，点P 的坐标为。
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条性质11(,)A x y 22(,)B x y以AB 为直径的圆必及准线l 相切假设AB 的倾斜角为α，那么22sin pAB α=假设AB 的倾斜角为α，那么22cos pAB α=2124p x x = 212y y p =-112AF BF AB AF BF AF BF AF BF p++===•• 切线 方程00()y y p x x =+ 00()y y p x x =-+ 00()x x p y y =+ 00()x x p y y =-+一． 直线及抛物线的位置关系 直线，抛物线，，消y 得：〔1〕当0时，直线l 及抛物线的对称轴平行，有一个交点； 〔2〕当k ≠0时，Δ＞0，直线l 及抛物线相交，两个不同交点； Δ=0， 直线l 及抛物线相切，一个切点； Δ＜0，直线l 及抛物线相离，无公共点。
（3）假设直线及抛物线只有一个公共点,那么直线及抛物线必相切吗〔不肯定〕 二． 关于直线及抛物线的位置关系问题常用途理方法 直线l ：b kx y += 抛物线，)0( p① 联立方程法：⎩⎨⎧=+=pxy bkx y 22⇒0)(2222=+-+b x p kb x k 设交点坐标为),(11y x A ,),(22y x B ，那么有0 ∆,以及2121,x x x x +，还可进一步求出bx x k b kx b kx y y 2)(212121++=+++=+，2212122121)())((b x x kb x x k b kx b kx y y +++=++=在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比方 1. 相交弦的弦长2122122124)(11x x x x k x x k AB -++=-+=ak ∆+=21 或 2122122124)(1111y y y y k y y k AB -++=-+=ak ∆+=21b. 中点),(00y x M , 2210x x x +=， 2210y y y +=② 点差法：设交点坐标为),(11y x A ，),(22y x B ，代入抛物线方程，得1212px y = 2222px y =将两式相减，可得)(2))((212121x x p y y y y -=+-2121212y y px x y y +=--a. 在涉及斜率问题时，212y y pk AB +=b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段AB 的中点为),(00y x M ，021*******y py p y y p x x y y ==+=--， 即0y pk AB =， 同理，对于抛物线)0(22≠=p py x ，假设直线l 及抛物线相交于B A 、两点，点),(00y x M 是弦AB 的中点，那么有px p x p x x k AB 0021222==+=〔留意能用这个公式的条件：1〕直线及抛物线有两个不同的交点，2〕直线的斜率存在，且不等于零〕抛物线练习及答案1、点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q 〔2，－1〕的间隔 及点P 到抛物线焦点间隔 之和获得最小值时，点P 的坐标为 。
高中抛物线知识点归纳总结与练习题(含答案)
则 AFK 的面积为
。
7、已知双曲线 x2 y2 1，则以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为顶点的抛物线方程 45
为
。
8、在平面直角坐标系 xoy 中，有一定点 A(2,1) ,若线段 OA 的垂直平分线过抛物线
y2 2 px( p 0) 焦点，则该抛物线的方程是
高中抛物线知识点归纳总结与练习题
y 2 2 px ( p 0)
抛
y l
物
线
OF x
y 2 2 px ( p 0)
y l
FO x
x 2 2 py ( p 0)
y
F
O
x
l
x 2 2 py ( p 0)
y l
O x
F
定义 范围
平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点 F 叫 做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的准线。
二． 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法
直线 l ： y kx b 抛物线
1 联立方程法：
y kx b
y
2
2
px
k 2x22源自kbp)x
b2
0
， ( p 0)
设交点坐标为 A(x1, y1) , B(x2, y2 ) ，则有 0 ,以及 x1 x2, x1x2 ，还可进一步求出
距离之和的最小值为
。
3、直线 y x 3 与抛物线 y2 4x 交于 A, B 两点，过 A, B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分
别为 P,Q ，则梯形 APQB 的面积为
。
4、设 O 是坐标原点， F 是抛物线 y2 2 px( p 0) 的焦点， A 是抛物线上的一点， FA 与 x 轴正
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抛物线专题复习•直线与抛物线的位置关系，消y得：1）当k=0 时，直线l 与抛物线的对称轴平行，有一个交点；（2）当k丰0时，△>0,直线l与抛物线相交，两个不同交点；△=0,直线I与抛物线相切，一个切点；△v0，直线I与抛物线相离，无公共点。
3）若直线与抛物线只有一个公共点, 则直线与抛物线必相切吗?（不一定）．关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法直线I : y kx b 抛物线，(p 0)联立方程法：y kx b 2 2 22k x 2(kb p)x b 0y 2px设交点坐标为A(x「y i) , B(x2,y2),则有0 ,以及为X2,%X2 ,还可进一步求出2 2y y2kx.( b kx2 b k(x1x2) 2b，y1 y2(kx1b)(kx2b) k X j X2kb(X j x2) b在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如 相交弦AB 的弦长AB v 1 k 2|% x 2| 』k 2x 2)2 4x 1x 2 4l __k 2或 AB y 1 召 y i y 2抛物线练习1、 已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q (2，— 1)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为 ___________2、 已知点P 是抛物线y 2 2x 上的一个动点，则点 P 到点(0，2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的 最小值为 ___________23、 直线y x 3与抛物线y 4x 交于A, B 两点，过代B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为 P,Q ，则梯形APQB 的面积为 __________2 ULWo4、 设O 是坐标原点，F 是抛物线y 2 2px(p 0)的焦点，A 是抛物线上的一点，FA 与x 轴正向的夹角为60°， uuu 则OA 为 ___________5、 抛物线y 2 4x 的焦点为F ,准线为I ,经过F 且斜率为 3的直线与抛物线在 x 轴上方的部分相交于点 A ，1「2心1 y 2)2 4y 』2ki 2 a.5AK 丄l ，垂足为K ,则△ AKF 的面积是 ______________6、 已知抛物线C: y 2 8x 的焦点为F ,准线与x 轴的交点为K ,点A 在C 上且AK| J 2|AF |，贝U AFK的面积为 ___________2 27、 已知双曲线 —1，则以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为顶点的抛物线方程为4 52&在平面直角坐标系 xoy 中，有一定点 A(2,1)，若线段0A 的垂直平分线过抛物线 y 2 px( p 0)则该抛物线的方程是 ___________ 。
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一． 直线与抛物线的位置关系 直线，抛物线，，消y 得：（1）当k=0时，直线l 与抛物线的对称轴平行，有一个交点； （2）当k ≠0时，Δ＞0，直线l 与抛物线相交，两个不同交点； Δ=0， 直线l 与抛物线相切，一个切点； Δ＜0，直线l 与抛物线相离，无公共点。
（3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定）二． 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法 直线l ：b kx y += 抛物线，)0( p① 联立方程法：⎩⎨⎧=+=pxy bkx y 22⇒0)(2222=+-+b x p kb x k 设交点坐标为),(11y x A ,),(22y x B ，则有0 ∆,以及2121,x x x x +，还可进一步求出bx x k b kx b kx y y 2)(212121++=+++=+，2212122121)())((b x x kb x x k b kx b kx y y +++=++=在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如 1. 相交弦AB 的弦长2122122124)(11x x x x k x x k AB -++=-+=ak ∆+=21 或 2122122124)(1111y y y y k y y k AB -++=-+=ak ∆+=21 b. 中点),(00y x M , 2210x x x +=， 2210y y y += ② 点差法：设交点坐标为),(11y x A ，),(22y x B ，代入抛物线方程，得1212px y = 2222px y =将两式相减，可得)(2))((212121x x p y y y y -=+-2121212y y px x y y +=--a. 在涉及斜率问题时，212y y pk AB +=b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段AB 的中点为),(00y x M ，021*******y py p y y p x x y y ==+=--， 即0y p k AB =， 同理，对于抛物线)0(22≠=p py x ，若直线l 与抛物线相交于B A 、两点，点),(00y x M 是弦AB 的中点，则有px p x p x x k AB 0021222==+=（注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且不等于零）抛物线练习及答案1、已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为 。
抛物线练习题带答案,知识点总结(提高版)
抛物线重难点复习一．知识点总结2.,,C F p M C 焦抛物线的焦点为为是准距上的点min ;.2pMF OF MF MF p ===(1)(2)若与对称轴垂直，则2000(,)2(0)23p M x y y px p MF x =>=±+±若是抛物线上的点则() 2000(,)224p P x y x py PF y =±=±+若是抛物线上的(点，则) (5).()(90)1cos s ()1co p MF MF pp or MF p MF MF θθθθ≥≤-+==≤若与抛物线的为则夹角，对称轴1)2MF MF MF 以为直径的圆与坐标轴相切(的中点到坐标轴的距离为(6)1122(,)(,),.F l A x y B x y l k θ3.过焦点的直线交抛物线于点、，记直线的斜率为倾斜角为221222:2,(),sin 2sin AOB p p C y px AB x x p S θθ∆==++==（1）若抛物线则 221222:2,()cos 2cos AOB p p C x py AB y y p S θθ∆==++==（2）若抛物线则，112(3)2();p AF BF p+=通焦点弦的最径小值为222222121212124:2,,;:2,,44p p C y px y y p x x C x py x x p y y ==-===-=（）若抛物线则若抛物线则 (5)以AB 为直径的圆与准线相切12MN AB ⎛⎫=⎪⎝⎭标准方程22(0)y px p => 22(0)y px p =-> 22(0)x py p => 22(0)x py p =>图形焦点坐标 (,0)2p (,0)2p -(0,)2p(0,)2p -准线方程 2p x =-2p x =2p y =-2p y =范围 0x ≥ 0x ≤ 0y ≥0y ≤对称性 x 轴x 轴y 轴 y 轴 顶点 (0,0)(0,0)(0,0)(0,0)离心率 1e =1e =1e =1e =通径2p（6）以CD 为直径的圆与AB 相切与焦点F1．已知抛物线C ： 2x的焦点为F ， ()00A x y ，是C 上一点，则0x =（ ）A. 2B. 2±C. 4D. 4± 【答案】D【解析】28x y =，如图，由抛物线的几何意义，可知0022AF Al y y ===+，所以02y =， 。
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焦点弦AB 的几条性质11(,)A x y 22(,)B x y以AB 为直径的圆必与准线l 相切若AB 的倾斜角为α，则22sin p AB α=若AB 的倾斜角为α，则22cos pAB α= 2124p x x = 212y y p =-112AF BF AB AF BF AF BF AF BF p++===•• 切线 方程 00()y y p x x =+ 00()y y p x x =-+ 00()x x p y y =+ 00()x x p y y =-+一． 直线与抛物线的位置关系 直线，抛物线，，消y 得：（1）当k=0时，直线l 与抛物线的对称轴平行，有一个交点； （2）当k ≠0时，Δ＞0，直线l 与抛物线相交，两个不同交点； Δ=0， 直线l 与抛物线相切，一个切点； Δ＜0，直线l 与抛物线相离，无公共点。
（3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定）二． 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法 直线l ：b kx y += 抛物线，)0( p① 联立方程法：⎩⎨⎧=+=pxy bkx y 22⇒0)(2222=+-+b x p kb x k 设交点坐标为),(11y x A ,),(22y x B ，则有0 ∆,以及2121,x x x x +，还可进一步求出ox ()22,B x yFy ()11,A x ybx x k b kx b kx y y 2)(212121++=+++=+，2212122121)())((b x x kb x x k b kx b kx y y +++=++=在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如 1. 相交弦AB 的弦长2122122124)(11x x x x k x x k AB -++=-+=ak ∆+=21 或 2122122124)(1111y y y y k y y k AB -++=-+=ak ∆+=21 b. 中点),(00y x M , 2210x x x +=， 2210y y y += ② 点差法：设交点坐标为),(11y x A ，),(22y x B ，代入抛物线方程，得1212px y = 2222px y =将两式相减，可得)(2))((212121x x p y y y y -=+-2121212y y px x y y +=--a. 在涉及斜率问题时，212y y pk AB +=b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段AB 的中点为),(00y x M ，021*******y py p y y p x x y y ==+=--， 即0y pk AB =， 同理，对于抛物线)0(22≠=p py x ，若直线l 与抛物线相交于B A 、两点，点),(00y x M 是弦AB 的中点，则有px p x p x x k AB 0021222==+=（注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且不等于零）抛物线练习及答案1、已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为 。
2、已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为 。
3、直线3y x =-与抛物线24y x =交于,A B 两点，过,A B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为,P Q ，则梯形APQB 的面积为 。
4、设O 是坐标原点，F 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，A 是抛物线上的一点，FA 与x 轴正向的夹角为60，则OA 为 。
5、抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，经过F x 轴上方的部分相交于点A ，AK l ⊥，垂足为K ，则AKF △的面积是 。
6、已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且AK =，则AFK ∆的面积为 。
7、已知双曲线22145x y -=，则以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为顶点的抛物线方程为 。
8、在平面直角坐标系xoy 中，有一定点(2,1)A ,若线段OA 的垂直平分线过抛物线22(0)y px p =>焦点，则该抛物线的方程是 。
9、在平面直角坐标系xoy 中，已知抛物线关于x 轴对称，顶点在原点O ，且过点P(2，4)，则该抛物线的方程是10、抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是 。
11、已知抛物线y 2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点，则y 12+y 22的最小值是 。
12、若曲线2y ＝|x |＋1与直线y ＝kx ＋b 没有公共点，则k 、b 分别应满足的条件是 。
13、已知抛物线y-x 2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A 、B ，则|AB|等于（ ） A.3 B.4 C.32 D.4214、已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点111222()()P x y P x y ，，，，333()P x y ，在抛物线上，且2132x x x =+， 则有（ ）Ａ．123FP FP FP += Ｂ．222123FP FP FP +=Ｃ．2132FP FP FP =+Ｄ．2213FP FP FP =·15、已知点11(,)A x y ,22(,)B x y 12(0)x x ≠是抛物线22(0)y px p =>上的两个动点,O 是坐标原点,向量OA ,OB 满足OA OB OA OB +=-.设圆C 的方程为221212()()0x y x x x y y y +-+-+=。
(1) 证明线段AB 是圆C 的直径;(2)当圆C 的圆心到直线x-2y=0的距离的最小值为5时，求p 的值。
解： (1)证明1:22,()()OA OB OA OB OA OB OA OB +=-∴+=-，222222OA OA OB OB OA OA OB OB +⋅+=-⋅+，整理得: 0OA OB ⋅=，12120x x y y ∴⋅+⋅=，设M(x,y)是以线段AB 为直径的圆上的任意一点,则0MA MB ⋅=，即1212()()()()0x x x x y y y y --+--=，整理得:221212()()0x y x x x y y y +-+-+=，故线段AB 是圆C 的直径。
证明2:22,()()OA OB OA OB OA OB OA OB +=-∴+=-，222222OA OA OB OB OA OA OB OB +⋅+=-⋅+，整理得: 0OA OB ⋅=，12120x x y y ∴⋅+⋅= (1)设(x,y)是以线段AB 为直径的圆上则即2112211(,)y y y y x x x x x x x x --⋅=-≠≠--， 去分母得: 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=，点11122122(,),(,),(,)(,)x y x y x y x y 满足上方程,展开并将(1)代入得:221212()()0x y x x x y y y +-+-+=，故线段AB 是圆C 的直径。
证明3:22,()()OA OB OA OB OA OB OA OB +=-∴+=-，222222OA OA OB OB OA OA OB OB +⋅+=-⋅+，整理得: 0OA OB ⋅=，12120x x y y ∴⋅+⋅=……(1) 以线段AB 为直径的圆的方程为2222121212121()()[()()]224x x y y x y x x y y ++-+-=-+-，展开并将(1)代入得:221212()()0x y x x x y y y +-+-+=，故线段AB 是圆C 的直径(2)解法1:设圆C 的圆心为C(x,y),则121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩ 2211222,2(0)y px y px p ==>，22121224y y x x p ∴=，又因12120x x y y ⋅+⋅=，1212x x y y ∴⋅=-⋅，22121224y y y y p∴-⋅=，12120,0x x y y ⋅≠∴⋅≠，2124y y p ∴⋅=-， 2222121212121211()(2)2444x x y y x y y y y y y p p p +==+=++-221(2)y p p=+， 所以圆心的轨迹方程为222y px p =-， 设圆心C 到直线x-2y=0的距离为d,则22221|(2)2|y p y d +-===22=当y=p 时,d=，2p ∴=. 解法2: 设圆C 的圆心为C(x,y),则121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩ 2211222,2(0)y px y px p ==>，22121224y y x x p ∴=，又因12120x x y y ⋅+⋅=，1212x x y y ∴⋅=-⋅，22121224y y y y p∴-⋅=，12120,0x x y y ⋅≠∴⋅≠，2124y y p ∴⋅=-，2222121212121211()(2)2444x x y y x y y y y y y p p p +==+=++-221(2)y p p=+， 所以圆心的轨迹方程为222y px p =-，设直线x-2y+m=0到直线x-2y=0,则2m =±，因为x-2y+2=0与222y px p =-无公共点,所以当x-2y-2=0与222y px p =-仅有一个公共点时,该点到直线x-2y=0的距离最小值为522220(2)2(3)x y y px p--=⎧⎨=-⎩ 将(2)代入(3)得222220y py p p -+-=，2244(22)0p p p ∴∆=--=，02.p p >∴=解法3: 设圆C 的圆心为C(x,y),则121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩ 圆心C 到直线x-2y=0的距离为d,则1212|()|x x y y d +-+=2211222,2(0)y px y px p ==>，22121224y y x x p∴=，又因12120x x y y ⋅+⋅=，1212x x y y ∴⋅=-⋅， 22121224y y y y p ∴-⋅=，12120,0x x y y ⋅≠∴⋅≠，2124y y p ∴⋅=-，2212122221|()()|y y y y d +-+∴==22=， 当122y y p +=时,d5=，2p ∴=. 16、已知椭圆C 1:22143x y +=,抛物线C 2:2()2(0)y m px p -=>,且C 1、C 2的公共弦AB 过椭圆C 1的右焦点.(1)当AB ⊥x 轴时,求m 、p 的值，并判断抛物线C 2的焦点是否在直线AB 上； (2)是否存在m 、p 的值，使抛物线C 2的焦点恰在直线AB 上？若存在，求出符合条件的m 、p 的值；若不存在，请说明理由.解：（1）当AB ⊥x 轴时，点A 、B 关于x 轴对称，所以m ＝0，直线AB 的方程为x=1，从而点A 的坐标为（1，23）或（1，－23）. 因为点A 在抛物线上，所以p 249=，即89=p . 此时C 2的焦点坐标为（169，0），该焦点不在直线AB 上. （2）解法一 当C 2的焦点在AB 时，由（Ⅰ）知直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为)1(-=x k y .由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134)1(22y x x k y 消去y 得01248)43(2222=-+-+k x k x k . ……①设A 、B 的坐标分别为（x 1,y 1）, （x 2,y 2）, 则x 1,x 2是方程①的两根，x 1＋x 2＝22438kk +.因为AB 既是过C 1的右焦点的弦，又是过C 2的焦点的弦，所以)(214)212()212(2121x x x x AB +-=-+-=，且1212()()22p pAB x x x x p =+++=++.从而121214()2x x p x x ++=-+.所以12463px x -+=，即22846343k p k -=+. 解得6,62±==k k 即.因为C 2的焦点),32(m F '在直线)1(-=x k y 上，所以k m 31-=.即3636-==m m 或. 当36=m 时，直线AB 的方程为)1(6--=x y ； 当36-=m 时，直线AB 的方程为)1(6-=x y . 解法二 当C 2的焦点在AB 时，由（Ⅰ）知直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为)1(-=x k y . 由⎪⎩⎪⎨⎧-==-)1(38)(2x k y x m y 消去y 得x m k kx 38)(2=--. ……①因为C 2的焦点),32(m F '在直线)1(-=x k y 上，所以)132(-=k m ，即k m 31-=.代入①有x k kx 38)32(2=-.即094)2(342222=++-k x k x k . ……②设A 、B 的坐标分别为（x 1,y 1）, （x 2,y 2）, 则x 1,x 2是方程②的两根，x 1＋x 2＝223)2(4kk +.由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134)1(22y x x k y 消去y 得01248)43(2222=-+-+k x k x k . ……③由于x 1,x 2也是方程③的两根，所以x 1＋x 2＝22438kk +.从而223)2(4k k +＝22438k k +. 解得6,62±==k k 即.因为C 2的焦点),32(m F '在直线)1(-=x k y 上，所以k m 31-=.即3636-==m m 或. 当36=m 时，直线AB 的方程为)1(6--=x y ； 当36-=m 时，直线AB 的方程为)1(6-=x y . 解法三 设A 、B 的坐标分别为（x 1,y 1）, （x 2,y 2）,因为AB 既过C 1的右焦点)0,1(F ，又是过C 2的焦点),32(m F '，所以)212()212()2()2(212121x x p x x p x p x AB -+-=++=+++=. 即916)4(3221=-=+p x x . ……① 由（Ⅰ）知21x x ≠，于是直线AB 的斜率m m x x y y k 313201212=--=--=， ……② 且直线AB 的方程是)1(3--=x m y , 所以32)2(32121mx x m y y =-+-=+. ……③ 又因为⎪⎩⎪⎨⎧=+=+1243124322222121y x y x ，所以0)(4)(312122121=--⋅+++x x y y y y x x . ……④将①、②、③代入④得322=m ，即3636-==m m 或. 当36=m 时，直线AB 的方程为)1(6--=x y ； 当36-=m 时，直线AB 的方程为)1(6-=x y . 17、如图，倾斜角为a 的直线经过抛物线x y 82=的焦点F ，且与抛物线交于A 、B 两点。