清华大学固体物理：第六章 晶格动力学
清华大学固体物理：第六章 晶格动力学
清华大学固体物理：第六章晶格动力学6.1固体物理性质的变化依赖于他们的晶格动力学行为：红外、拉曼和中子散射谱；比热，热膨胀和热导；和电声子相互作用相关的现象如金属电阻，超导电性和光谱的温度依赖关系是其中的一部分。
事实上，借助于声子对这些问题的了解最令人信服地说明了目前固体的量子力学图像是正确的。
晶格动力学的基础理论建立于30年代，玻恩和黄昆1954年的专题论文至今仍然是这个领域的参考教科书。
这些早期的系统而确切地陈述主要建立了动力学矩阵的一般性质，他们的对称和解析性质，没有考虑到和电子性质的联系，而实际上正是电子性质决定了他们。
直到1970年才系统地研究了这些联系。
一个系统电子的性质和晶格动力学之间的联系的重要性不仅在原理方面，主要在于通过使用这些关系，才有可能计算特殊系统的晶格动力学性质。
现在用ab initio 量子力学技术，只要输入材料化学成分的信息，理论凝聚态物理和计算材料科学就可以计算特殊材料的特殊性质。
在晶格动力学性质的特殊情况下，基于晶格振动的线性响应理论，大量的ab initio 计算在过去十年中通过发展密度泛函理论已经成为可能。
密度泛函微扰理论是在密度泛函理论的理论框架之内研究晶格振动线性响应。
感谢这些理论和算法的进步，现在已经可以在整个布里渊区的精细格子上精确计算出声子色散关系，直接可以和中子衍射数据相比。
由此系统的一些物理性质（如比热、熱膨胀系数、能带隙的温度依赖关系等等）可以计算。
1从固体电子自由度分离出振动的基本近似是Born-Oppenhermer (1927) 的绝热近似。
在这个近似中，系统的晶格动力学性质由以下薛定谔方程的本征值,R和本征函数决定。
,22ERRR,,, (6.1.1) 22MRIII这里RRER是第I个原子核的坐标，是相应原子核的质量，是所有原子核坐标的集合，是RMIII系统的系统的限位离子能量，常常称为Born-Oppenhermer能量表面。
无机功能材料电子—声子及声子—声子耦合的计算机模拟研究
谨以此文献给关爱我的家人与朋友论文提要晶格动力学是现代固体物理的基础之一。
晶体中的原子在热激发下，不断地在平衡位置附近振动。
这些由原子集体振动所产生的声子可以与许多激发态发生耦合，其中最主要的耦合是：电子-声子和声子-声子耦合。
它们决定了材料中与电子和声子输运相关的许多物理性质，比如金属的电导率、超导电性和热导率等。
本论文选取高压下氢化物和铁基方钴矿热电材料作为研究电子-声子和声子-声子耦合的对象，采用基于密度泛函理论的第一性原理从头算方法，进行了系统性的输运性质研究，获得如下创新性成果：1. 高压下预测的两个富氢磷族化合物（AsH8和SbH4）的超导转变温度都超过了100K；发现了二元氢化物高压性质的一般化学趋势。
系统探索了磷族氢化物的高压相图，发现所有的磷氢化物高压下都倾向于分解，砷氢和锑氢化物中发现存在两个稳定的富氢化合物（AsH8和SbH4）。
AsH8和SbH4的超导转变温度（T c）都超过100K。
特别是SbH4具有最高的能量稳定性，其合成压力只有150GPa。
通过对已探索的二元氢化物的理论数据挖掘，我们发现了氢化物高压性质的一般化学趋势，其高压下的热力学稳定性、成键特征和电声耦合等性质与组成元素在常压下的电负性差存在紧密的联系。
该研究工作为寻找稳定的固态氢化物以及探索高温超导电性提供了有价值的理论指导。
2. 发现了二元未填方钴矿材料FeSb3具有超低的本征晶格热导率，改变了人们在方钴矿体系中对热输运规律的传统认识。
室温下，FeSb3的晶格热导率只有1.14W/mK，是同类材料CoSb3的十分之一。
填充原子并未导致FeSb3的晶格热导率的降低，这改变了人们在方钴矿体系中的传统认识（填充原子会显著地降低方钴矿材料的晶格热导率）。
FeSb3中的超低晶格热导率主要来自于整个声子谱的软化，尤其是与结构中Sb-Sb共价键关联的低频光学支声子的软化相关。
3. 发现高电负性元素填充的方钴矿SnFe4Sb12具有超低的本征晶格热导率，为优化方钴矿材料的热电性能提供了新的途径。
《固体物理·黄昆》第六章
由于 F 外 只是外场对电子的作用力，它并不是电子所 受的合外力，因此， k并不是电子的真实动量，而 是电子的准动量就不难理解了。
在讨论晶体中电子的准经典运动时， k 是一个很有 用的量，它往往比电子的真实动量 mv 更有用。这 是因为在 k 空间中去理解电子的运动往往比在真实 空间中更容易。
电子的有效质量和电子的准动量是两个人为引入的 物理量，至少我们可以在形式上不必考虑晶格力， 而只考虑外场力对电子运动的影响。
倒有效质量张量的分量为：
1 2E 2 k k
倒有效质量张量对角化
若选kx, ky, kz在张量主轴方向上，则倒有效质量张量 可对角化。
2E k 2 x 1 0 2 0 0 2E k 2 y 0 0 0 2E k 2 z
第六章 晶体中电子在电场和磁场中的运动
对第二类问题：
讨论晶体中的电子在外加场的作用下的运动规律。外 加场包括： 电场、磁场、杂质势场等。通常外场与晶 体的势场相比弱许多，可用电子在晶体周期性势场中 的本征态为基础进行讨论。 方法一 ：求解在外加势场 U 时电子的薛定谔方程 方法二：满足一定条件下将电子的运动近似当作经典粒 子来处理。如均匀电、磁场中各种电导效应。
F vk dt dk vk d (k ) vk
三、 加速度和有效质量
1 电子准经典运动的两个基本关系式 v k E k
电子的速度分量 电子的加速度分量
dv 1 F 比较，可定义有效质量m*和 与牛顿定律 dt m
1 dk E ( k ) 1 ( ) dt k k 2
第六章 晶体中电子在电场和磁场中的运动
人们对晶体中电子的关注主要分为两大块：
清华大学考研专业课839固体物理考试范围及历年真题汇编
第二卷固体物理知识点（参考黄昆的书，学有余力也建议学习韦丹固体物理，各有特色）第一章晶体结构1.1 晶格的相关概念及几种不同晶格1.2 理解原胞概念1.3 晶面晶向的标定1.4 倒易点阵的定义及相关性质1.5 立方体、正四面体、正六角柱的对称操作1.6 五种旋转对称的推导1.7 十四种布拉伐格子，结合材料科学基础，弄清楚。
1.8 表1-2记住，材科基会考第二章固体的结合2.1 离子性结合的特点，推导马德隆常数，系统内能的表示，求平衡距离和体变模量2.2 共价结合的特点2.3 金属性结合的特点，排斥作用来源2.4 范德瓦尔斯结合的特点，Lennard-Jones 势的相关推导第三章晶格振动与晶体的热学性质3.1 了解简谐近似、简正坐标、振动模的概念3.2 格波、声子概念，一维单原子链的色散关系等计算，q 的范围，长波极限特点3.3 一维双原子链相关推导，q 的取值范围，声学波光学波的概念，长波极限的特点3.4 声学波，光学波的数量判断，q 的分布密度，第一布里渊区的概念，画法3.5 了解LST 关系3.6 确定色散关系的几种方法及其原理3.8 爱因斯坦模型和德拜模型的假设、结果、适用范围、缺陷及全部推导过程3.9 不同条件下推导晶格振动模式密度3.10 热膨胀产生原因3.11晶格热传导原理，热导率的影响因素，N、U过程，不同温度下晶格热导原理第四章能带理论4.1 布洛赫定理内容，简约波矢概念4.2 一维周期长中求带隙大小，解释其成因4.3 三维周期场的布里渊区和能带，SC、BCC、FCC的简约布里渊区及相关数据。
结合2015年十一题和课后4.8弄懂图4-114.5 紧束缚近似的概念，该近似下求SC、BCC、FCC的能带函数E（k）4.7 不同维度下求能态密度，近自由电子的等能面，费米面，费米半径的相关计算第五章晶体中电子在电场和磁场中的运动5.1 波包概念，E、F、v、a、m*的相关公式及计算5.2 恒定电场下电子的运动过程，振荡频率5.3 导体、半导体、绝缘体的能带特点5.4 了解廊道能级概念5.5 回旋共振的应用5.6 德·哈斯-范·阿尔芬效应的原理及作用第六章金属电子论（可参考材科学习辅导第九章：功能材料基础）6.1 电子热容量公式（掌握大致证明过程），电子热容量与晶格热容量大小比较及原理6.3 了解定态导电过程中的玻尔兹曼方程6.4 了解弛豫时间的概念及电导率公式6.5 了解对各向同性散射过程中弛豫时间表达式的理解6.6 晶格散射的 U 过程和 N 过程，弛豫时间公式中包含的两个重要结论第七章至第十一章：出现频率极低，搞懂相关真题，学有余力关注其中一些概念即可。
计算晶格能的公式
计算晶格能的公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：晶格能是固体材料中一种非常重要的物理量，它是描述固体内部晶格结构稳定性的一个重要参数。
在固体物理学中，晶格能通常用于描述晶体中原子或离子之间的相互作用力强度，是一个评价固体结构稳定性和形变行为的重要指标。
晶格能的计算方法有多种，其中一种常用的方法是利用电子结构理论和分子动力学模拟来计算固体的晶格能。
在电子结构理论中，晶格能可以通过计算晶体中原子或离子之间相互吸引或排斥的相互作用力来获取。
具体而言，电子结构理论将固体中的原子或离子看作是受到外部势场影响的粒子，通过计算这些粒子之间相互作用的库伦势和交换-相关能来得到晶格能。
晶格能的计算公式通常可以表示为以下形式：\[E_{\text{总}} = E_{\text{能带}} + E_{\text{核}} + E_{\text{排斥}}\]\(E_{\text{总}}\)表示晶格的总能量，\(E_{\text{能带}}\)表示晶格中电子的能带结构对晶格能的贡献，\(E_{\text{核}}\)表示核之间的库伦势能和交换-相关能对晶格能的贡献，\(E_{\text{排斥}}\)表示晶格中原子或离子之间的排斥力对晶格能的影响。
在实际计算中，通常会采用密度泛函理论（DFT）来计算固体的晶格能。
密度泛函理论是一种基于量子力学原理的电子结构计算方法，通过求解固体中电子的薛定谔方程来得到晶格的总能量。
在密度泛函理论中，采用交换-相关泛函来描述电子之间的交换和相关作用，从而得到晶体的总能量。
分子动力学模拟也是一种常用的计算晶格能的方法。
通过分子动力学模拟，可以模拟固体中原子或离子的运动行为，通过计算原子或离子之间的相互作用力和位移来得到晶格的总能量。
分子动力学模拟可以更直观地模拟固体内部的结构和性质，对于探索固体的晶格能具有重要意义。
计算晶格能是一个复杂而重要的问题，涉及到多种物理量和计算方法。
通过电子结构理论、密度泛函理论和分子动力学模拟等方法，我们可以得到固体的晶格能，从而进一步了解固体结构的稳定性和性质。
晶胞的综合计算知识点总结
晶胞的综合计算知识点总结一、晶胞的基本概念1. 晶体的基本概念晶体是由原子、分子或离子按照一定的规则排列而形成的固体物质，具有长程有序性和周期性。
晶体是材料科学的基础，它们在材料的物理性质、化学性质和加工工艺方面都具有重要的影响。
晶体的结构可以用晶胞来描述。
2. 晶胞的定义晶胞是晶体中最小的具有完整空间周期性的几何体，它是由重复排列的原子、分子或离子组成的。
晶胞在晶体结构的研究中具有基本的意义，可以描述晶体的周期性结构和晶格。
3. 晶体的几何结构晶体的几何结构可以用晶胞的几何形状和晶格参数来描述。
晶格参数包括晶胞的边长和夹角，它们可以用来描绘晶胞的形状和晶体的几何结构。
4. 晶体的空间群晶体的空间群是指对称性元素与晶胞所具有的平移关系。
晶体学中有32个立体群，它们是对称性元素在三维空间中的所有可能组合。
空间群可以用来描述晶体的对称性和空间结构。
5. 晶体的晶体学指数晶体的晶体学指数是指晶胞的晶向和晶面的指数，它可以用来描述晶胞的空间排列和晶体的晶格结构。
晶体学指数对于研究晶体的晶格和晶面特征具有重要的意义。
二、晶体结构的综合计算方法1. 密度泛函理论密度泛函理论是量子化学中的一种重要理论方法，它可以用来计算固体材料的电子结构和物理性质。
密度泛函理论是基于电子的波函数密度来描述固体材料的物理性质，它可以用来计算晶体的几何结构、电子能带结构、光学性质等方面的信息。
2. 分子动力学模拟分子动力学模拟是一种用数值方法来模拟原子或分子在时间上的运动的方法，它可以用来研究晶体的热力学性质和动力学性质。
分子动力学模拟可以计算晶体的热膨胀系数、热传导系数、热导率等方面的信息。
3. 自洽场方法自洽场方法是一种计算电子结构的方法，它可以用来计算固体材料的电子能带结构、带隙能量、电子态密度等方面的信息。
自洽场方法是基于量子力学的理论，在计算固体材料的电子结构和物理性质方面具有重要的应用价值。
4. 第一性原理计算方法第一性原理计算方法是一种基于量子力学的理论方法，它可以用来计算固体材料的几何结构、电子能带结构、光学性质等方面的信息。
固体物理学习笔记
固体物理学习笔记固体物理学是研究固体物质的物理性质、微观结构、构成物质的各种粒子的运动形态及其相互关系的科学。
它是物理学中内容极丰富、应用极广泛的分支学科。
固体物理学是研究固体的性质、它的微观结构及其各种内部运动，以及这种微观结构和内部运动同固体的宏观性质的关系的学科。
固体的内部结构和运动形式很复杂，这方面的研究是从晶体开始的，因为晶体的内部结构简单，而且具有明显的规律性，较易研究。
以后进一步研究一切处于凝聚状态的物体的内部结构、内部运动以及它们和宏观物理性质的关系。
这类研究统称为凝聚态物理学。
固体通常指在承受切应力时具有一定程度刚性的物质，包括晶体和非晶态固体。
简单地说，固体物理学的基本问题有：固体是由什么原子组成？它们是怎样排列和结合的？这种结构是如何形成的？在特定的固体中，电子和原子取什么样的具体的运动形态？它的宏观性质和内部的微观运动形态有什么联系？各种固体有哪些可能的应用？探索设计和制备新的固体，研究其特性，开发其应用。
新的实验条件和技术日新月异，为固体物理不断开拓出新的研究领域。
极低温、超高压、强磁场等极端条件、超高真空技术、表面能谱术、材料制备的新技术、同步辐射技术、核物理技术、激光技术、光散射效应、各种粒子束技术、电子显微术、穆斯堡尔效应、正电子湮没技术、磁共振技术等现代化实验手段，使固体物理性质的研究不断向深度和广度发展。
由于固体物理本身是微电子技术、光电子学技术、能源技术、材料科学等技术学科的基础，也由于固体物理学科内在的因素，固体物理的研究论文已占物理学中研究论文三分之一以上。
同时，固体物理学的成就和实验手段对化学物理、催化学科、生命科学、地学等的影响日益增长，正在形成新的交叉领域。
固体物理对于技术的发展有很多重要的应用，晶体管发明以后，集成电路技术迅速发展，电子学技术、计算技术以至整个信息产业也随之迅速发展。
其经济影响和社会影响是革命性的。
这种影响甚至在日常生活中也处处可见。
第六章 晶格动力学
第六章 晶格动力学 6.1 密度泛函微扰理论固体物理性质的变化依赖于他们的晶格动力学行为：红外、拉曼和中子散射谱；比热，热膨胀和热导；和电声子相互作用相关的现象如金属电阻，超导电性和光谱的温度依赖关系是其中的一部分。
事实上，借助于声子对这些问题的了解最令人信服地说明了目前固体的量子力学图像是正确的。
晶格动力学的基础理论建立于30年代，玻恩和黄昆1954年的专题论文至今仍然是这个领域的参考教科书。
这些早期的系统而确切地陈述主要建立了动力学矩阵的一般性质，他们的对称和解析性质，没有考虑到和电子性质的联系，而实际上正是电子性质决定了他们。
直到1970年才系统地研究了这些联系。
一个系统电子的性质和晶格动力学之间的联系的重要性不仅在原理方面，主要在于通过使用这些关系，才有可能计算特殊系统的晶格动力学性质。
现在用ab initio 量子力学技术，只要输入材料化学成分的信息，理论凝聚态物理和计算材料科学就可以计算特殊材料的特殊性质。
在晶格动力学性质的特殊情况下，基于晶格振动的线性响应理论，大量的ab initio 计算在过去十年中通过发展密度泛函理论已经成为可能。
密度泛函微扰理论是在密度泛函理论的理论框架之内研究晶格振动线性响应。
感谢这些理论和算法的进步，现在已经可以在整个布里渊区的精细格子上精确计算出声子色散关系，直接可以和中子衍射数据相比。
由此系统的一些物理性质（如比热、熱膨胀系数、能带隙的温度依赖关系等等）可以计算。
1 基于电子结构理论的晶格动力学从固体电子自由度分离出振动的基本近似是Born-Oppenhermer (1927) 的绝热近似。
在这个近似中，系统的晶格动力学性质由以下薛定谔方程的本征值ε和本征函数()ΦR 决定。
()()()2222I I I E M εΦΦ⎛⎫∂-+= ⎪∂⎝⎭∑R R R R (6.1.1) 这里I R 是第I 个原子核的坐标，I M 是相应原子核的质量，{}I ≡R R 是所有原子核坐标的集合，()E R 是系统的系统的限位离子能量，常常称为Born-Oppenhermer 能量表面。
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清华大学固体物理：第六章晶格动力学6.1固体物理性质的变化依赖于他们的晶格动力学行为：红外、拉曼和中子散射谱；比热，热膨胀和热导；和电声子相互作用相关的现象如金属电阻，超导电性和光谱的温度依赖关系是其中的一部分。
事实上，借助于声子对这些问题的了解最令人信服地说明了目前固体的量子力学图像是正确的。
晶格动力学的基础理论建立于30年代，玻恩和黄昆1954年的专题论文至今仍然是这个领域的参考教科书。
这些早期的系统而确切地陈述主要建立了动力学矩阵的一般性质，他们的对称和解析性质，没有考虑到和电子性质的联系，而实际上正是电子性质决定了他们。
直到1970年才系统地研究了这些联系。
一个系统电子的性质和晶格动力学之间的联系的重要性不仅在原理方面，主要在于通过使用这些关系，才有可能计算特殊系统的晶格动力学性质。
现在用ab initio 量子力学技术，只要输入材料化学成分的信息，理论凝聚态物理和计算材料科学就可以计算特殊材料的特殊性质。
在晶格动力学性质的特殊情况下，基于晶格振动的线性响应理论，大量的ab initio 计算在过去十年中通过发展密度泛函理论已经成为可能。
密度泛函微扰理论是在密度泛函理论的理论框架之内研究晶格振动线性响应。
感谢这些理论和算法的进步，现在已经可以在整个布里渊区的精细格子上精确计算出声子色散关系，直接可以和中子衍射数据相比。
由此系统的一些物理性质（如比热、熱膨胀系数、能带隙的温度依赖关系等等）可以计算。
1从固体电子自由度分离出振动的基本近似是Born-Oppenhermer (1927) 的绝热近似。
在这个近似中，系统的晶格动力学性质由以下薛定谔方程的本征值,R和本征函数决定。
,22ERRR,,, (6.1.1) 22MRIII这里RRER是第I个原子核的坐标，是相应原子核的质量，是所有原子核坐标的集合，是RMIII系统的系统的限位离子能量，常常称为Born-Oppenhermer能量表面。
ER是在固定原子核场中运动的R相互作用电子系统的基态能量。
他们依赖参量作用在电子变量上的哈密顿量为 2222Zee1IHERR (6.1.2) 2BONijiI22mrrRiIirrij这里eER是第I个原子核的电荷数，是电子电荷，是不同核之间的静电相互作用： ZNI2ZZeIJER (6.1.3) NIJ2RRIJ系统的平衡几何排布由作用在每一个原子核上为零决定：ERF0 (6.1.4) IRI而振动频率,由Born-Oppenhermer能量的Hassian本征值决定，由原子核的质量标度为：2ER12 (6.1.5) det0,RRMMIJIJ这样系统平衡几何排布和振动性质的计算实际是计算Born-Oppenhermer能量表面的一阶和二阶微分。
实现这一目标的基本工具是Hellmann-Feynman定理：依赖于参数哈密顿量本征值的一阶微分由哈密H,,顿量微分的期待值给出：EH,,,, (6.1.6) ,,,,是对应于本征值哈密顿量的本征函数：HE,,。
在Born-Oppenhermer中原子核的坐标作,EH,,,,,,,为方程（2）中电子哈密顿量的参数。
在电子基态作用在第I个原子核上的力为EHRRBOFRR,, (6.1.7) IRRII,rR,是Born-Oppenhermer哈密顿量的电子基态波函数。
这个哈密顿量通过电子－离子相互作用依赖R于，电子－离子相互作用仅仅通过电子电荷密度耦合到电子自由度。
在这种情况下Hellmann-Feynman定理表述为172VErRRN (6.1.8) FrrndIRRRII这里Vr是电子和原子核之间的相互作用 R2ZeIr (6.1.9) VRiIiIrRRnr是对应于原子核排布的基态电子电荷密度。
在方程（5）中出现的Born-Oppenhermer能量表面的RHessian是通过Hellmann-Feynman力相对于原子核坐标的微分得到的：222EnVVERrrrRFNIRRR (6.1.10) dndr+rr+RIJJJIIJIJRRRRRRRRR方程 (6.1.10) 说明Born-Oppenhermer能量表面的Hessian计算需要计算基态电子电荷密度nr和原子R核几何排布变形的线性响应nrR。
这个Hessian矩阵通常称为原子间力常数矩阵。
RI2Hohenberg-Kohn根据前面的讨论，相应于原子核坐标的Born-Oppenhermer能量表面微分的计算需要电子电荷密度分布的知识。
这实际上是 Hohenberg-Kohn 定理描述的相互作用电子系统一般性质的特例。
根据这个定理，不可能有两个不同的势作用在给定系统上给出相同的基态电子电荷密度。
这个性质和标准的量子力学的Reyleigh-Ritz 变分原理一起显示存在电子电荷密度普适泛函，这个泛函(6.1.11) EnFnnVdrrr在nrVr的积分等于总电子数的约束下相应于外加势的基态的电子电荷密度的情况下取极小值。
这个极小值就是基态能量。
这个定理提供了现行的密度泛函理论的基础。
这允许对探求具有相互作用的电子系统基态性质的量子力学问题进行巨大的概念的简化，传统的依赖于N个电子，3N独立变量的波函数的描述，被易处理的只有3个变量的电荷密度代替。
妨碍这个不平常的简单结果直接应用的两个主要问题是：(1) F函数的形式是不知道的，(2) 满足nr作为一个可接受的基态电荷分布和F函数的域的条件很不清楚。
这第二个问题几乎不被强调，通常是利用拉格朗日乘子使电荷密度适当正交化的内容。
第一个问题可以通过将系统变换到一个没有相互作用的电子系统（Kohn-Sham）。
Kohn-ShamHohenberg-Kohn定理说明了相互作用电子系统的所有物理性质都唯一地由此电子系统的基态电荷密度分布决定。
这个性质不依赖于电子电子相互作用的精确的形式。
特别是当电子电子相互作用强度消失时，FnTn定义为无相互作用电子系统的动能，作为基态电荷密度分布的泛函。
这个事实1965年被0Kohn-Sham用来将一个相互作用的电子系统变换到一个等价的无相互作用的系统。
结果这个不知道的泛函Fn投射为2nnrr'eFnTnddEnrr' (6.1.12) 0XC2'rr第二项是电子电荷密度分布的经典静电自相互作用。
由 (6.1.12) 式定义的En 被称为交换相关能。
在XC电子数不变的条件下能量泛函相对于nr的变分在形式上导致一个相同的方程，这个方程对无相互作用电子系统成立，这些电子感受到一个有效势，也称为自洽场势，他的形式为：nr'2VVedrrrr', (6.1.13) SCFXCrr'其中,EXC,r (6.1.14) XC,nr是交换相关能的泛函导数。
也称为交换相关势。
这个技巧的威力在于，如果知道了有效势Vr，无相互作用多电子问题就可以很一般地解出，不SCF需要知道无相互作用动能泛函T的形式。
最后，简单地解单电子薛定谔方程：022Vrrr,,ε (6.1.15) 2SCFnnn2mr173基态电荷密度分布和无相互作用动能泛函借助于辅助的Kohn-Sham轨道,r得到： nN22 (6.1.16) nrr2,nn1222N,rn (6.1.17) Tnd2,rr0n21n2mrN是电子数。
系统假定为非磁的。
在最低的个轨道的每一个轨道上容纳自旋相反的两个电子。
在周N2k期系统中，指数n可以通过两个指标取遍所有的占据态：n,,k，,指明一组价带，是属于第一布里渊区的波矢。
在方程 (6.1.11) 和 (6.1.12) 中给出的基态能量可以按照Kohn-Sham本征值等价地表示出来：N22nnrr'e (6.1.18) EnddEnnnd2'εrrrrr,nXCXCn12'rr方程 (6.1.15) 有非线性薛定谔方程的形式，他的势通过电子电荷密度分布依赖于自己的本征函数。
一旦交换关联能的明确的形式可以得到，这个方程可以用种种方法以自恰的方式解出。
如果交换关联能有一个精确的合理的容易使用的近似，Kohn-Sham方案建立了一个实用的途经实现密度泛函理论En。
1965年Kohn和Sham在他们的原始论文中提出一个假定：系统的每一个电荷密XC度被认为是常数的小体积，贡献一个和相同体积相同密度均匀电子气相同的交换关联能。
依照这个假定，交换关联能泛函和势为：Ennndεrr (6.1.19) XCXCnnrdnεXCnnn,rε (6.1.20) XCXCdn nnrεn是密度为n的均匀电子气中每一个粒子的交换关联能。
这个近似称为局域密度近似（LDA）。
XCεn的近似形式已经知道很长时间了。
由Ceperley和Alder给出的从几乎精确的Monte Carlo计算得XC到的均匀电子气的数值结果，被Perdew和Zunger用简单的解析形式参数化了。
最近Ortiz和Ballone提出了更精确的参数化形式。
所有这些不同的形式在和凝聚态物质应用相关的电子密度范围内是非常相似的并产生非常类似的结果。
LDA在高密度极限和缓慢变化电荷密度分布的情况下是精确的。
尽管这个近似极其简单，已经取得了比原来期待的更为成功。
对于弱关联的材料，如半导体和简单金属，LDA近似精确地描述了结构和振动性质：正确的结构往往具有最低的能量。
而键长、体积模量和声子频率精确到百分之几之内。
LDA也具有一些共知的缺点。
基态内聚能和分子键能的过分高估（～20％）可能是这个近似的最坏的失败。
同时也不能恰当地描述强关联系统如过渡金属氧化物。
已经作了寻找比LDA更好泛函的努力。
对于LDA的梯度修正是近年来普遍采用的。
梯度修正改善在有限和半无限系统中电子关联的重要性。
如分子和表面，而在无限晶体中没有什么用处。
一般说，LDA是一个基态理论，而Kohn-Sham本征值和本征矢没有一个很好的定义。
不过，在没有更好的同样普遍的方法情况下，Kohn-Sham本征值常常用来估算激发能。
用此方法得到的固体中的低能带的特征一般认为至少定性的是正确的，尽管事实上都知道LDA充分地低估了绝缘体中的光学能隙。
3在晶态固体中，出现在原子间力常数定义方程 (6.1.5) 中的原子核的位置通过指数I来标注。
它指明单胞l及其中给定原子的位置Ils,。
第I个原子的位置为：RRul (6.1.21) IlssulR是第l个单胞在布拉菲格子中的位置。
是原子在这个单胞中的平衡位置。
是原子核位置从平sls衡位置的偏离。
由于平移不变性，方程 (6.1.10) 中的原子间力常数矩阵仅仅通过差RRR依赖于 lm2E,,,,ClmC,RR (6.1.22) ststlm,,ulumst,,,,RCq上标希腊字母指明笛卡尔分量。