中考数学复习指导：《三角形》中数学思想方法的应用[1]
解三角形题型中数学思想的运用
解题篇经典题突破方法高考数学2021年1月付生細化解三南形题型中數学思醒的运闲■江苏省宿迁中学在利用正余弦定理解三角形的问题中，数学思想的应用同样可以发挥得淋漓尽致。
并且，在历年的高考试题中，我们也可以见到它们熟悉的“身影”。
下面我们就来谈一谈数学思想是怎样在解三角形问题中发挥作用的。
一、函数思想的应用!!若A A B C的内角满足A +/2sin B#2sin C，求cos C 的最小值。
解析：由 sin A* /2sin B #2sin C 及正弦定理可得a* 2^ # 2 c。
a2*b2~c2许丽由余弦定理知cos C2abl*b2~\*2b2ab8 !b "/ " 4 c 3a2*2b2— 2 2ab8ab设工#皆，则％c#8^+忐一孕，其中工10。
这样我们就构造了一^个cos C关于工的3 1 2函数cos— — 丁，工〉0。
8 4j c4然后，再用“对号”函数cos C求得最小值c〇s C#8工 *士一孕#(亙/^2—2.8 4 工 4 4—42*foe>1-2 *4一 4(-厂 1 \2,-2、—一 2 I t00—2〇"*4一当且仅当8」4*，即23,*—3时，等号成立。
所以c的最小值是-一2~~4^c点评：求解最值问题最常用的思路：首先构造函数，然后通过所构造的函数获取最值。
该题就是通过题设条件结合余弦定理构造了cos C关于* !其中*#a"的函数：cos C #3 1 2-**厂一丁，*〉0。
根据此函数利用基本4*不等式求得cos C的最小值。
这就是函数思想解答最值问题最为典型的应用。
二、方程思想的应用!"在A A B C中，内角A，B，C所—对的边分别为a，b，c，且a#3，cos A#〇〇，B二A*.2a)求b的值；(2)求A A B C的面积。
解析：（1)由题意知sin A #/1一 cos2A/33由B#A *y，构造三角方程：sin B: sin f a*j)，由此求sin B，即 sin Bs in f a*21s i n A co s ^—* cos A s i n ^co s A#3/。
《三角形》中数学思想方法简介
《三角形》中数学思想方法简介三角形是几何学中重要的概念，也是我们日常生活中经常遇到的形状。
它具有独特的数学思想方法，通过对其性质和关系的研究，可以帮助我们更好地理解和应用数学知识。
本文将简要介绍三角形的数学思想方法。
一、三角形的定义和性质三角形是由三条线段组成的平面图形，其中任意两条线段的长度之和大于第三条线段的长度。
根据三边的长度关系，三角形可分为等边三角形、等腰三角形和普通三角形等不同类型。
三角形具有丰富的性质，如角的性质、边的性质和面积的性质等。
其中，角的性质包括内角和外角之和等于180度，且内角可以根据边的关系分为锐角、直角和钝角。
边的性质包括边长之间的关系和角边关系，如直角三角形中的勾股定理。
三角形的面积可以通过底边长度和高的乘积除以2来计算，也可以通过海伦-秦九韶定理等公式计算。
二、三角形的基本构造在解决与三角形相关的问题时，我们常常需要进行三角形的基本构造。
其中，根据已知条件构造三角形的方法包括重心法和相似三角形法。
重心法是通过三角形的三个顶点的重心（三条中线的交点）来构造三角形。
具体操作是，将三角形中任意一边的中点连接到它所对的顶点，然后将这条线段与其他两个顶点所在的边连接，最终得到一个新的三角形。
相似三角形法是通过已知三角形的一些性质，判断和应用相似三角形的关系来构造三角形。
相似三角形具有相同的内角和边比例，根据这个性质，我们可以通过已知三角形的一些边的长度和角的大小，推导出其他角和边的长度。
三、三角形的应用三角形作为数学的基础概念，广泛应用于各个领域。
以下是三角形在几何学、物理学和工程学等方面的应用举例：1. 几何学：三角形的性质可以帮助我们解决平面几何中的角度关系和长度关系问题，如证明两个三角形相似、计算三角形的面积等。
2. 物理学：三角形的三边和内角的关系可以帮助我们解决物理学中的力的合成问题，如分解一个力为两个力的合力。
3. 工程学：三角形可以用于测量不可直接测量的物体的高度或距离，如三角仪的使用。
2021初中数学三角形的运用_初中数学三角形知识点总结
2021初中数学三角形的运用_初中数学三角形知识点总结数学是中考必考科目之一，初中数学三角形的知识点有哪些？下面是小编收集整理的一些2021初中数学三角形的运用_初中数学三角形知识点总结，欢迎大家前来阅读。
初中数学三角形知识点：三角形的四心定义1、内心：三角形三条内角平分线的交点，即内切圆的圆心。
内心是三角形角平分线交点的原理：经圆外一点作圆的两条切线，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角(原理：角平分线上点到角两边距离相等)。
2、外心：是三角形三条边的垂直平分线的交点，即外接圆的圆心。
外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。
该点叫做三角形的外心。
3、中心：三角形只有五种心重心、垂心、内心、外心、旁心，当且仅当三角形是正三角形的时候，四心合一心，称做正三角形的中心。
4、重心：重心是三角形三边中线的交点。
三角形中常见辅助线的添加1. 与角平分线有关的(1) 可向两边作垂线。
(2)可作平行线，构造等腰三角形(3)在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形2. 与线段长度相关的(1)截长：证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，经常在较长的线段上截取一段，使得它和其中的一条相等，再利用全等或相似证明余下的等于另一条线段即可(2)补短：证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，也可以在较短的线段上延长一段，使得延长的部分等于另外一条较短的线段，再利用全等或相似证明延长后的线段等于那一条长线段即可(3)倍长中线：题目中如果出现了三角形的中线，方法是将中线延长一倍，再将端点连结，便可得到全等三角形。
(4)遇到中点，考虑中位线或等腰等边中的三线合一。
3. 与等腰等边三角形相关的(1)考虑三线合一(2)旋转一定的度数，构造全都三角形，等腰一般旋转顶角的度数，等边旋转60度三角形的旁心的性质1、三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。
2、每个三角形都有三个旁心。
3、旁心到三边的距离相等。
解三角形题型中数字思想的运用
解三角形题型中数字思想的运用作者：***
来源：《中学生数理化·高考数学》2021年第01期
在利用正余弦定理解三角形的問题中，数学思想的应用同样可以发挥得淋漓尽致。
并且，在历年的高考试题中，我们也可以见到它们熟悉的“身影”。
下面我们就来谈一谈数学思想是怎样在解三角形问题中发挥作用的。
一、函数思想的应用
点评：该题的解题思路是：由正弦定理求sin B→判断∠B的范围→确定∠B的值（解决的途径是分类讨论）一求边c。
利用正弦定理解三角形，若已知三角形的两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，就可能会用到分类讨论的思想方法，因为可能会出现一解、两解或无解的情况。
应结合图形并根据“三角形中大边对大角”来判断解的情况，作出正确取舍。
（责任编辑王福华）。
《三角形》中的数学思想与方法
《三角形》中的数学思想与方法
1..转化的思想
⑴.如图，∠A=30︒，∠B=50︒，∠C=20︒，∠ADC = . ⑵.如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F = .
2.方程的思想
⑴.如图，∠B=∠C,∠ADE=∠AED,∠1=40︒，求∠EDC 的度数.
⑵
.如图，在△ABC 中，∠C=2∠A,BD 是AC 边上的高，BE 是∠ABC 的平分线，且∠DBE=18︒,
求∠A 的度数.
3、分类讨论的思想
⑴.在△ABC 中，AD 是高，∠BAD=60︒，∠CAD=20
︒,AE 平分∠BAC ，则∠EAD 的度数为 . ⑵.在△ABC 中，∠ABC=∠C ，BD 是AC 边上的高，∠ABD=40︒
，求∠C 的度数.
4、整体的思想
⑴.如图，△ABC 中，高BD ，CE 交于点H ，∠1+∠2=246︒，求∠BHC 的度数.
B
C B
E
B
C
B
C
⑵.如图，将△ABC 沿EF 折叠，使点C 落到点C ’处，试探究∠1，∠2与∠C 的数量关系.
5、从特殊到一般
⑴.△ABC 中，∠ABC=∠ACB,CD ⊥AB 于点D
①如图1，若∠A=40︒，则∠BCD 的度数为 .②如图2，若∠BAC=100︒，则∠BCD 的度数为 . ③若∠BAC=α，求∠BCD 的度数.
C。
三角形中的数学思想
教师寄语春来春去，燕离燕归，枝条吐出点点新绿，红花朵朵含苞欲放，杨柳依依书写无悔年华， 白云点点唱响人生奋斗的凯歌，微冷的春风淡去了烟尘与伤痛，沉淀在内心的却是缤纷的梦想以及那收获前的耕耘与奋斗。
三角形中的数学思想学习数学知识,掌握蕴含在其中的数学思想方法是重中之重，现举例说明本部分知识中的数学思想，以期对同学们有所帮助.一、 方程思想例1 如图1，在△ABC 中，∠B=70°，∠BAC ：∠BCA=3：2，CD ⊥AD 于D ，且∠ACD=35°，求∠BAE 的度数.分析：因∠BAE 不是三角形的内角，但∠BAD 与其互为补角，为此欲求出∠BAE ，可先求出∠BAD ，即先求出∠BAC 和∠CAD ，∠BAC 是△BAC 的内角，且∠B=70°，∠BAC ：∠BCA=3：2，根据三角形的内角和为180°，可求出∠BAC ，而∠CAD 是△ACD 的内角，根据CD ⊥AD ，∠ACD=35°，由直角三角形的两个锐角互余可求∠CAD ，则问题可解.解：在△ABC 中，因为∠B=70°，∠BAC ：∠BCA=3：2所以可设∠BAC=3x°，则∠BCA=2x°因为∠B+∠BAC+∠BCA=180°所以70+3x+2x=180所以x=22所以∠BAC=3×22°=66°又因为CD ⊥AD ，A DC BE 图１所以∠D=90°所以∠CAD+∠ACD=90°所以∠CAD=90°-∠ACD=90°-35°=55°因为∠DAE是平角所以∠BAE=180°-∠BAC-∠CAD=180°-66°-55°=59°评注：运用代数列方程的方法解决几何问题，是解几何题的基本方法之一，要学会并熟练运用这一方法.二、分类讨论思想例2有四条线段，分别是x-3，x，x+1，x+2（x＞3），则以其中的三条为边，能不能组成三角形？分析：四条线段由三条组成一组，共有四种情况，可一一列出再用三角形三边关系判断.解：可组合的情况为：①x-3，x，x+1；②x-3，x，x+2；③x-3，x+1，x+2；④x，x+1，x+2①中x-3+x=2x-3与x+1相比较，已知x＞3，则①不一定能构成三角形，因为2x-3有可能等于x+1，如x=4．②中x-3+x=2x-3与x+2相比较，因为当x=5时，2x-3=x+2=7，则也可能组不成三角形.③中x-3+x+1=2x-2与x+2相比较，不保证2x-2＞x+2，则不一定构成三角形.④中x+x+1=2x+1与x+2相比较，因为x＞3，所以x+x+1-（x+2）＞0，则可以组成三角形.评注：由于x为大于3的数，则可先将各数排序后再讨论，分类讨论思想能提高同学们解题思路的严谨性.。
中考数学复习指导：解直角三角形中的数学思想
1 / 3AD图1E解直角三角形中的数学思想数学思想方法反映了数学的本质特征，是分析和处理数学问题的指导思想，数学思想方法是具体数学知识技能转化为能力的纽带，是知识与技能的升华．下面以解直角三角形为例,谈谈是如何运用数学思想解决问题的.一、转化思想例1 如图1，一游人由山脚A 沿坡角为30的山坡AB 行走600m ，到达一个景点B ，再由B 沿山坡BC 行走200m 到达山顶C ，若在山顶C 处观测到景点B 的俯角为45，则山高CD 等于 （结果用根号表示）分析:考查作辅助线解非直角三角形的能力.由于涉及的几何图形是非直角三角形可，所以需要作辅助线转化为直角三角形求解.解:过B 点作BF ⊥CD,BE ⊥AD,则四边形BEDF 在Rt △ABE 中,BE=AB sin30°=600×21在Rt △CBF 中, 由于∠C BF ＝45°,所以CF=BC sin45°=200×22=2100(m), 所以山高CD=DF+CF=BE+CF=(300+2100)(m),评注:非直角三角形通常都要通过作辅助线转化为直角三角形后求解. 二、分类讨论的思想例2 在平面直角坐标系xOy 中,已知一次函图22 / 3图 360数y=kx+b(k ≠0)的图象过点A(1,1),与x 轴交于点B,且tan ∠ABO=31,那么B 点的坐标是_______.分析:本题需要在直角坐标系中画出函数图象,利用平面内点的坐标的几何意义和解直角三角形的知识求解.因为B 点有可能在x 轴正半轴,也有可能在x 轴负半轴,所以画出如图2的函数图象,过点A 作AC ⊥x 轴.由点A 的坐标为(1,1),则AC=1,OC=1. 第一种情况:在Rt △ABC 中,由tan ∠ABO=，31=BC AC 得BC=3,所以OB=OC+BC=1+3=4,即点B 的坐标为(4,0);第二种情况:在Rt △O B A '中,由tan ∠O B A '=，31='C B AC 得C B '=3, 所以B O '=C B '-OC=3-1=2,即点B '的坐标为(-2,0). 评注:本题存在两种情况,需分类讨论,千万不要漏解. 三、数形结合思想例3 如图3，A B ，两镇相距60km ，小山C 在A 镇的北偏东60方向，在B 镇的北偏西30方向．经探测，发现小山C 周围20km 的圆形区域内储有大量煤炭，有关部门规定，该区域内禁止建房修路．现计划修筑连接A B ，两镇的一条笔直的公路，试分析这条公路是否会经过该区域？分析: 要判断这条公路是否会经过该区域,实际就是计算C 点到直线AB 的距离与20km 进行比较,所以需要作高,求高即可.解：作CD AB ⊥于D ，3 / 3由题意知：30CAB =∠60CBA =∠ 90ACB =∠30DCB ∴=∠ ∴在Rt ABC △中，1302BC AB == 在Rt DBC △中，cos30CD BC=302=⨯20=> 答：这条公路不经过该区域．评注: 解答本题首先结合图形弄清题意,将实际问题转化为解直角三角形的问题来解决,数形结合是顺利解决问题的关键.。
(文章)三角形中数学思想方法的应用
三角形中数学思想方法的应用一、方程的思想方法：例1、如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 上，且BD=BC=AD ，求∠A ，∠ADB 的度数．分析：根据等腰三角形的两底角相等，可设∠A=x 0，再利用三角形的外角的性质及内角和便可求解．解：设∠A=x 0，∵BD=AD ，∴∠ABD=∠A =x 0．又∵∠BDC 是△ABD 的外角，∴∠BDC=∠A +∠ABD=2 x 0．∵BD=BC ，∴∠C=∠BDC =2x 0．∵AB=AC ，∴∠ABC=∠C =2x 0．∵△ABC 的内角和为1800，∴x 0+2 x 0，+2 x 0= 1800，解得，x 0=360．∴∠A=360， ∠ABD=1800-360-720=1080．二、分类讨论的思想方法：例2、等腰△ABC 中，∠A=700，求∠B 、∠C 的度数．分析：此题没有说明哪一个角是顶角，应进行分类讨论． 解：（1）若∠A 是顶角，则∠B=∠C=180180705522A -∠-===（2）若∠B 是顶角，则∠C=∠A=700，∠B=1800-∠A-∠C=400．（3）若∠C 是顶角， 则∠B=∠A=700，∠C=1800-∠A-∠B=400．综上，∠B 、∠C 的度数分别是550，550或400，700或700， 400．三、转化的数学思想方法：例3、图中，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝ 度．分析：本题所给的图形不是三角形，无法直接利用三角形的内角和求值，我们可以将该图形转化为三角形后再利用三角形的内角和的知识解决，如图，连接∠2与∠4的顶点，即可将原图形分解成两个三角形．解：如上右图，连接∠2与∠4的顶点，得∠1＋∠4＋∠6=180°，∠3＋∠5＋∠7=180°．所以∠1＋∠2＋∠3＋∠4=（∠1＋∠4＋∠6）＋（∠3＋∠5＋∠7）=180°＋180°=360°．四、推理的思想方法A B C D例4、如图，△ABC中，∠B＝∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，∠AFD＝158°，则∠EDF等于度．分析：要想求出∠EDF等于多少度，由于DF⊥BC，所以必须先求出∠EDB的度数，由于在△BED中，已知DE⊥AB，∠BED=90°．所以需求出∠B的度数．而∠B＝∠C，需先求出∠C的度数，在△CDF中，需求出∠CFD的度数．而∠CFD与∠AFD是邻补角，∠AFD=158°．至此问题得解．解：由于∠AFD＝158°，所以∠CFD=180°－158°=22°．在△CDF中，DF⊥BC，∠CDF=90°．所以∠C=180°－90°－22°=68°．所以∠B＝∠C=68°．在△BDE中，DE⊥AB，∠BED=90°．所以∠BED=180°－90°－68°=22°．又因为DF⊥BC，∠CDF=90°，所以∠EDF=90°－22°=68°．五、整体的思想方法例5、如图，∠1十∠2十∠3十∠4＝__度．分析：根据已知条件，我们无法具体求出∠1，∠2，∠3，∠4的度数，但根据三角形的内角和可求出∠1十∠2和∠3十∠4的度数，然后把二者相加即可．解：由图可知，∠1十∠2=180°－40°=140°，∠3十∠4＝180°－40°=140°．所以∠1十∠2十∠3十∠4=140°＋140°=280°．。
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《三角形》中数学思想方法的应用
数学思想方法是数学知识的重要组成部分，掌握数学思想方法是数学学习的重要目的。
为了很好地帮助同学们复习，现将《三角形》一章中的数学思想方法的应用举例说明如下：
一、数学建模思想：
针对要解决的问题，构建适当的数学模型，再通过对数学模型的研究来达到解决问题的目的的思维方式就是数学建模思想。
例1．一个零件的形状如图1所示，按规定，∠CAB应等于900，∠C、∠B应分别等于200和300。
李师傅量得∠CDB=1420，就断定了这个零件不合格，你能说出其中的道理吗？
【解析】解决实际问题时，善于将实际问题抽象成
数学问题，建立适当的数学模型。
由∠A、∠B、∠C的度数计算出∠BDC的大小，即作
出判断。
本题需将∠BDC转化为三角形的外角。
解：延长BD交AC于E，则∠CDB=∠C+∠CED；
又∠CED=∠CAB+∠B，所以∠CDB=∠C+∠CAB+∠B=1400。
而实际测量∠CDB=1420，所以可以断定这个零件不合格。
（此题还有其它解法，图中给出了辅助线）
二、转化与化归思想：
转化与化归思想是中学数学中常见的一种数学思想方法，它的应用十分广泛，我们在解决数学问题时，经常运用转化与化归的思想，将复杂问题转化成简单的问题，将未知转化为已知，将生疏的问题转化为熟悉的问题等等。
例如在本章中多边形的内角和公式和外角和公式都是通过将多边形转化成三角形
来解决的。
大家可以观察下面例子。
例2．如图2，一艘货轮在A处看见巡逻艇M在其北偏东620的方向上，此时一艘客轮在B处看见巡逻艇M在其北偏东130的方向上，此时从巡逻艇上看这两艘轮船的视角∠AMB有多大？
【解析】F、B、M的连线构成△FBM，所求的
∠AMB是△FBM的一个内角，如果能求出△FBM的
外角∠AFB、△FBM的内角∠FBM，就能求出∠AMB。
本题材可将方位角的问题转化为三角形的内角或外角的问题，这是解决此类问题的关键。
解：由AD∥BF，可得∠AFB=∠DAM=620，因为∠AFB=∠AMB+∠FBM 所以∠AMB=∠AFB-∠FBM=620-130=490。
答：从巡逻艇上看这两艘轮船的视角∠AMB是490。
三、分类讨论思想：
当被研究的问题包含多种可能情况，不能一概而论时，必须按可能出现的所有情况分别来讨论，得出各种情况下相应的结论的处理问题的思维方法。
例如三角形的分类：
①按边分：
⎧
⎪
⎧
⎨
⎨
⎪
⎩
⎩
不等边三角形
三角形腰和底边不相等的三角形等腰三角形
等边三角形
②按角分：
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
锐角三角形（三个角都是锐角）三角形直角三角形（有一个角是直角）钝角三角形（有一个角是钝角）
例3．已知等腰三角形的周长为21㎝，两条边长之差为3㎝，求各边的长。
【解析】已知两边之差为3㎝，则较长的边有可能是腰也有可能是底，故应分两种财政部进行进行讨论。
解：设腰长为x ㎝，①当较长边为腰时，则有2(3)21x x +-=，解得8x =。
此时三边长分别为8㎝，8㎝，5㎝。
符合题意。
②当较长边为底时，则有2(3)21x x ++=，解得6x =。
此时三边长分别为6㎝，6㎝，9㎝。
符合题意。
所以三边为8㎝，8㎝，5㎝或6㎝，6㎝，9㎝。
四、方程思想：
运用列方程的方法来解决与图形有关的计算问题是十分有效的手段。
例4．已知一个多边形，它的内角和等于外角和的3倍，且它的每一个内角都相等，求这个多边形各角的度数。
【解析】由于内角和等于外角和的3倍，可求出内角和，根据内角和反求出边数是解本题的关键；通过列方程来求解是解此类问题的一般方法。
解：设这个多边形的边数为n ，则有00180(2)3360n ⨯-=⨯，解得8n =。
所以每内角的度数为00(82)1808135-⨯÷=，或每外角的度数为00360845÷=所以每内角的度数为0135。