New-第5章(2)_无限冲击响应滤波器IIR设计

k (4K个参量）
,K
求解非线性方程组：
[ E (, A)] 0 k
利用Fletcher—Powell算法—最陡下降法求解
4) 几点说明 ：
(1)、 这种最优化算法， 对零 、 极点位置没有任何限制， 因 此有可能得到不稳定的滤波器( 极点在单位圆外）。在这种情 况下，可级联一全通网络将单位圆外极点反射到单位圆内。 (2)、 通 过 级 联 全 通 网 络 得 到 稳 定 滤 波 器 后， 可 再 次 用 此 最 优 化 算 法， 使 均 方 误 差 更 小。


k
有
Ts 1 S Sk 1 e S k Ts z 1
3）S平面与Z平面的映射关系
ha(t)
×
ˆ h a (t )
离散时间 序列转换
h(n) Ts ha (nTs )
H ( z ) z e sTs Ts ha (nTs )e
n 0

snT s
2 H a [ s jk ( )] Ts k
(3)、 所 选 频 率 组{ωi} (i=1,2, ,M ) 可 以 是 均 匀 分 布， 也 可 以 是 不 均 匀 分 布 的。
s1=jΩ1
令：s=jΩ,
1s T 1s T 1 21 1 e s 1T 2 e e k s k 1 s T 1 s T 1 e s1T e2 1 e 2 1
•
z es1T
变换：S1平面→Z平面

H (e ) H ( z ) z e j e jTs
• 频域有混叠：
j
2 H a [ j jk ( )] Ts Ts k 关系： z e sT eT e jT
s s
s
*
s j , z e jTs e j
非线性方程组，来确定滤波器各参数。 2.设计原理： 1) 频域均方误差最小准则： 在频率特性上，指定一系列关键频率点{ωi}(i=1,2, ,M ),
利用最小均方误差：
E [ H(e jω i ) H d (e jω i ) ] min
i 1 M

2) 选用的数字滤波器形式：采用二阶节级联
N
（N决定于[0 ~ 2π]间的通带个数）
3 . 变换方法：
1)低通→低通： • N=1
G( Z) Z α 1 1 α 1Z
• 变换要求：
z 1 Z 1 e
jθ p jω e p
• 求出常数
θ p ωp sin( ) 2 α1 θ p ωp sin( ) 2
2)低通→高通：
k k 1
k 0 N
dk sk
M
Ak N sk t ha (t ) Ts Ak e u (t ) k 1 ( s sk ) k 1
N
其中
sk 为H a ( s)的单极点 Ak ( s sk ) H a ( s) s s
N N s k nTs s k nTs n H ( z ) Ts [ha (t ) t nT ] Ts [ Ak e u (nTs )] Ts [ Ak e ]z s k 1 n 0 k 1 N 1 sk Ts 1 n N Ts Ak (e z ) Ak Ts 1 e sk Ts z 1 k 1 n 0 k 1
• S的左半平面：Re[s]=σ＜0
2 2 s (σ jΩ) z T T 2 2 s (σ jΩ) T T 2 ( σ ) 2 Ω2 z T ＜1 2 2 2 ( σ ) Ω T σ ＜0
4）Ω与ω间的非线性影响及设计时的预畸变
预畸变：设计时若给定ω，求相应的模拟滤波器指标时， 2 对Ω必须做预畸变： tan( ) T 2 5）设计举例：参考教材
一 一 映 射 关 系， 可 消 除 频 谱 的 混 叠 现 象。 1） 双线性变换法的变换途径 如 图：
→
压缩
z=esT变换
• 压缩变换：S平面→S1平面 Ω 1T k tan( ) 2
π 1T T
2 )
0
k tan(
π T
Ω1
j 1 1T j 1 1T e 2 e 2 j k 1 1 j 1T j 1T e 2 e 2

2 . 数字频率变换基本原理 1) 变换要求：
(Prototype low pass filter)
① 单位圆变换到单位圆：
e
jθ
G (e
jω
)e
j arg[G (e jω )]
—变换函数G(Z)为全通函数
②单位圆内的零极点经变换后仍在单位圆内；
因而有：
Z < 1 G ( Z) Z > 1 G ( Z)
• N=1
Z α 2 G ( Z) 1α 2Z
• 变换要求：
z 1 Z 1 e
jθ p jω p e
• 求出常数
θ p ωp cos( ) 2 α2 θ p ωp cos( ) 2
旋转180°,再复制
3)低通→带通： • N=2
Z α 2 Z α 1 G ( Z) ( )( ) 1 α 2 Z 1 α 1Z z 2 d1z d 2 1 d1z d 2 z 2
<1
>1
Z 1 G ( Z) 1
且G(Z)的自乘G1(Z)*G2(Z)和G[G(Z)]都是变换函数； ③ 经变换后的Hd(Z)仍是有理函数； 2) 变换函数形式： 一般变换函数为一全通函数：
Z N d1Z N 1 d N Z αk D( Z) G( Z) N 1 αk 1 d1Z d N Z Z N D( Z) k 1
sk
1 z 1 1 z
1
或
z
ks k s
这一映射关系是单一的，也就是S平面与Z平面是一一对应的。 2）变换常数k的确定：k被称为频带调节系数
它可以把模拟滤波器的某一频率调整到要求的数字滤
波器对应的频率处。 • 让数字滤波器在低频处与模拟滤波器有相同的特性：
1 1 k tan( 1T ) 0 k ( 1T ) 1 2 2 2 1 k T
5.2 无限冲激响应滤波器的间接法设计
1.概述： • 优点：模拟滤波器设计的成熟性，简单，闭合形式的
设计公式；
缺点：缺乏灵活性； • 步骤：
数字滤波器 技术指标 模拟滤波器 技术指标 实现 模拟滤波器 s=f(z) 求出 数字滤波器
• 映射要求： ① [S=jΩ，－∞＜Ω＜∞]→［Z=ejω ，－π＜ω＜π ］
3）S平面与Z平面的映射关系
• S=jΩ，
2 s 1 2 1 z 或 zT s ( )( ) 1 2 T 1 z s T
2 j j 2 arctan(T ) 2 zT e e j 2 j T
∴虚轴jΩ映射为Z平面的单位圆，且有模拟角频率Ω与数字 角频率ω间的关系： T 2 arct an( ) 2 2 t an( ) T 2
• 变换要求：
z 1 Z e jω 0 e e
jθ p
e jω 2 e jω 1
旋转二周,每次复制一个频带
jθ p
• 求出常数
5. 4 IIR滤波器的频域直接法设计（简述）
1.概述： 当要设计的滤波器频率特性不是很规则时则用直接法
设计，它是在某种最小化误差准则下，用计算机求解线性或
1 ak z 1 bk z 2 H ( z ) A 1 d k z 2 k 1 1 ck z
K
—共有(4k+1)个未知数
优点：①对系数量化敏感度比较低；
②在优化过程中计算导数比较容易； 3) 优化算法：

误差函数：E(A, ak, bk, ck, dk ) k=1, 2, 3,
5. 3 数字滤波器的频率变换 1.概述： • 频率变换法是设计IIR 数字滤波器的一种间接方法。 它从归一化模 拟低通滤波器出发，通过在一定频带范围的 频率变换， 实现低通到高 通、 带 通、 带 阻的映射，从而 完成各种常见滤波器的设计。 z G ( Z) H (z) H d ( Z) • 二种变换途径： H (z)称为数字低通原型
—jΩ轴映射为单位圆，ω=ΩTs
* Re[s]=σ＜0，z eσ Ts e jΩTs
*
2 s j ( k ), Ts
＜1—左半平面位于单位内；
z e j (Ts 2k ) e j —映射的多值性；
4) 设计举例：参考教材
3. 双线性变换法：
• 双 线 性 变 换 法 从 频 域 出 发， 实 现 S 平 面 和 Z 平 面 的
② Re[s]<0
→ |z|<1，稳定的Ha(s) →稳定的H(z)
2. 冲激响应不变法
1) 定义： h(n) Ts ha (t ) t nTs Ts ha (nTs ) 2）替代关系：
这一步很重要呵！
H a ( s)
dk s
k 0 N k 1
M
k
1 ck s k

(s s )