无限长单位冲激响应IIR数字滤波器的设计方法
无限长单位脉冲响应IIR滤波器的设计方法MATLAB
数字信号处理实验指导实验四、 无限长单位脉冲响应(IIR)滤波器的设计方法（一） 实验目的加深对无限冲激响应（ IIR ）数字滤波器的常用指标和设计过程的理解。
（二） 实验内容常用函数介绍：1、Matlab 信号处理工具箱中提供了设计巴特沃思模拟滤波器的函数buttord 、buttap 和butter ，格式如下：（1）[,](,,,,C P S P S N W buttord W W R R s ='')用于计算巴特沃思模拟低通滤波器的阶N 和3dB 截止频率Wc (即本书中的符号c Ω)。
其中，Wp 和Ws 分别是滤波器的通带截止频率p Ω和阻止截止频率s Ω，单位为rad/s ；Rp 和Rs 分别是通带最大衰减系数p α和阻带最小衰减系数s α，单位为dB 。
（2）[,,]()z p G buttap N =用于计算N 阶巴特沃思归一化（c Ω=1）模拟低通滤波器系统函数的零、极点和增益因子，返回长度为N 的向量z 和p 分别给出N 个零点和极点，G 是滤波器增益。
得到的滤波器系统函数形式如下：1212()()()()()()()()()a N a a N Q s s z s z s z H s G P s s p s p s p ---==--- 其中，k z 和k p 分别是向量z 和p 的第k 个元素。
如果要从零、极点得到系统函数的分子和分母多项式系数向量B 和A ，可以调用结构转换函数（3）[,]2(,,)B A zp tf z p G =，结构转换后系统函数的形式为111111()()()M M M a N N Nb s b s b B s H s A s a s a s a ----+++==+++ 其中，M 是向量B 的长度，N 是向量A 的长度，k k b a 和分别是向量B 和A 的第k 个元素。
（3）[,](,,,)C B A butter N W ftype s =''''用于计算巴特沃思模拟滤波器系统函数中分子和分母多项式系数向量B 和A ，其中N 和C W 分别是滤波器的阶和3dB 截止频率c Ω，返回向量B 和A 中的元素k a 和k b 分别是上面的()a H s 表示式中的分母和分子系数。
iir数字滤波器设计原理
iir数字滤波器设计原理IIR数字滤波器设计原理IIR（Infinite Impulse Response）数字滤波器是一种常用的数字滤波器，其设计原理基于无限冲激响应。
与FIR（Finite Impulse Response）数字滤波器相比，IIR数字滤波器具有更低的计算复杂度和更窄的频率过渡带。
在信号处理和通信系统中，IIR数字滤波器被广泛应用于滤波、陷波、均衡等领域。
IIR数字滤波器的设计原理主要涉及两个方面：滤波器的结构和滤波器的参数。
一、滤波器的结构IIR数字滤波器的结构通常基于差分方程来描述。
最常见的结构是直接型I和直接型II结构。
直接型I结构是基于直接计算差分方程的形式，而直接型II结构则是通过级联和并联方式来实现。
直接型I结构的特点是简单直接，适用于一阶和二阶滤波器。
它的计算复杂度较低，但对于高阶滤波器会存在数值不稳定性的问题。
直接型II结构通过级联和并联方式来实现，可以有效地解决数值不稳定性的问题。
它的计算复杂度相对较高，但适用于高阶滤波器的设计。
二、滤波器的参数IIR数字滤波器的参数包括滤波器的阶数、截止频率、增益等。
这些参数根据实际需求来确定。
滤波器的阶数决定了滤波器的复杂度和性能。
阶数越高，滤波器的频率响应越陡峭，但计算复杂度也越高。
截止频率是指滤波器的频率响应开始衰减的频率。
截止频率可以分为低通、高通、带通和带阻滤波器。
根据实际需求，选择合适的截止频率可以实现对信号的滤波效果。
增益是指滤波器在特定频率上的增益或衰减程度。
增益可以用于滤波器的频率响应的平坦化或强调某些频率。
IIR数字滤波器的设计通常包括以下几个步骤：1. 确定滤波器的类型和结构，如直接型I或直接型II结构；2. 确定滤波器的阶数，根据要求的频率响应和计算复杂度来选择；3. 设计滤波器的差分方程，可以使用脉冲响应不变法、双线性变换法等方法；4. 根据差分方程的系数，实现滤波器的级联和并联结构；5. 进行滤波器的参数调整和优化，如截止频率、增益等；6. 对滤波器进行性能测试和验证，确保设计满足要求。
第五章 无限冲激响应(IIR)数字滤波器的设计资料
得：
Xˆ a (s) xa (nT )esnT
n
当z esT时，X (z) Xˆ a (s)
16
当 z esT 时
抽样序列的z变换=理想抽样信号的Laplace变换
即：
X (z) zesT X (esT ) Xˆ a (s)
是复平面s平面到z平面的映射：
s平面：s j (直角坐标）
k 0 N
1 ak zk
k 1
FIR滤波器（N-1阶）
N 1
H (z) h(n)zn n0
6
§5-1 IIR数字滤波器的设计思想
IIR滤波器（N阶）
M
bk zk
H(z)
k 0 N
1 ak zk
k 1
特点： h（n）无限长
H（Z）有理分式
H（S）有理分式（带宽无限长）
数字滤波器的设计思想 • 按设计任务，确定滤波器性能要求，制定技术指标 • 用一个因果稳定的离散LSI系统的系统函数H(z)逼近此性
s
1
3
试用冲激响应不变法，设计IIR数字滤波器
Ha (s) ha (t) ha (nT ) h(n) H (z)
Ha (s)
N k 1
s
Ak sk
N
ha (t) L1[Ha (s)] Akesktu(t)
h(n) ha (nT )
N
k 1
AkesknTu(nT )
N
Ak
eskT
n
u(n)
k 1
k 1
H (z)
1 1 H (e j ) 1 H (e j ) 2
c ：通带截止频率 st ：阻带截止频率 1 ：通带容限 2 ：阻带容限
第3章 无限长单位脉冲响应(IIR)滤波器的设计方法
ˆ H a ( s)
[ha (t ) (t nT )]e
n
st
dt
n
h
ha (t ) (t nT )e st dt
nsT
n
a
(nT )e
n
h(n )e nsT
H ( z)
ut e e u nT e u n e u n
nT 3nT
T n 3T n
1 1 H ( z) 1 T 1 z e 1 z 1e 3T
z (e e ) 1 z 1 (e T e 3T ) e 4T z 2
数字滤波器的设计步骤： 1）按照实际需要确定滤波器的性能要求。 2）用一个因果稳定系统的 H(z) 或 h(n) 去逼近这个 性能要求，即求 h(n) 的表达式。 确定系数 a i 、 bi 或零极点 c i 、 d，以使滤波器 i 满足给定的性能要求——第三章、四章讨论 3）用一个有限精度的运算去实现这个系统函数。包 括 选择运算结构：如级联型、并联型、卷积型、频 率采样型以及快速卷积（FFT）型等; 选择合适的字长和有效数字的处理方法等(第五 章)。
这时数字滤波器的频响才能不失真地重现模拟滤 波器的频响（存在于折叠频率ΩS/2以内）
H (e
j
1 ) Ha ( j ) T T
但任何一个实际的模拟滤波器，其频响都不可能 是真正带限的，因此不可避免地存在频谱的交叠， 即混淆，如图，这时，数字滤波器的频响将不同于 原模拟滤波器的频响而带有一定的失真。模拟滤波 器频响在折叠频率以上衰减越大，失真则越小，这 时，采用脉冲响应不变法设计的数字滤波器才能得 到良好的效果。
IIR数字滤波器的设计方法
将IIR滤波器的系统函数用极、零点表示：
M
M
bk zk
(1 ck z1)
H(z)
k 0 N
A
k 1 N
1 ak zk
(1 dk z1)
k 1
k 1
M≤N
对系统函数的设计就是确定各系数ak, bk或零极点ck，dk和A， 使滤波器满足给定的性能要求
14
第12讲 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 6.3.2 巴特沃思低通逼近 （最平幅度逼近）
巴特沃思低通滤波器在通带内有最大平坦的幅度特 性，因而又称为最平幅度特性滤波器
巴特沃思低通滤波器幅度平方函数定义
|
H
a
(
j)
|2
1
(
1 / c
)2
N
式中，N为正整数，代表滤波器的阶数。Ωc为 3dB截止频率。当Ω=Ωc时，衰减为 3 dB
器• Ha(s)Ha(-s)的极点为
sk
1
(1)2N ( jc )
ej
1 2
22kN1
c
k=1, 2, …, 2N
• Ha(s)Ha(-s)的2N个极点等间隔分布在半径为Ωc的圆（巴特沃 思圆）上，极点间的角度间隔为π/N rad
16
第12讲 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法
|Ha(jΩ)|2单调减小，N越大，通带内特性越平坦，过渡带越窄
15
第12讲 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法
巴特沃思滤波器的极(零)点分布 (公式法求解低通Ha(s))
|
H
无限冲激响应(IIR)数字滤波器设计
实验四 无限冲激响应（IIR ）数字滤波器设计一、实验目的1．熟悉用双线性变换法设计IIR 数字滤波器的原理和方法；2．了解用脉冲响应不变法设计IIR 数字滤波器的原理和方法；3．掌握双线性变换及脉冲响应不变法设计的滤波器的频域特性，了解双线性变换法及脉冲响应不变法的特点；4．掌握数字滤波器的计算机仿真方法；二、实验原理介绍IIR 数字滤波器的系统函数为1z -的有理分式： 1011()1N kk Nk k b z H z a z -=-==+∑∑ 设计IIR 滤波器的系统函数，就是要确定()H z 的阶数N 及分子分母多项式的系数k a 和k b ，使其()()j j z e H e H z ωω==满足指定的频率特性。
由于模拟滤波器的设计有许多简单而严谨的设计公式和大量的图表可以利用，因此IIR 滤波器设计的方法之一是：先设计一个合适的模拟滤波器，然后将模拟滤波器通过适当的变换转换成满足给定指标的数字滤波器。
1、Butterworth 模拟低通滤波器221()1a N c H j Ω=⎛⎫Ω+ ⎪Ω⎝⎭幅度平方函数：其中，N 为滤波器的阶数，c Ω为通带截止频率。
2．Chebyshev 模拟低通滤波器 2221()1()a N c H j C εΩ=Ω+Ω幅度平方函数：3、脉冲响应不变法原理 用数字滤波器的单位脉冲响应序列h(n)逼近模拟滤波器的冲激响应()a h t ，让h(n)正好等于()a h t 的采样值，即：()()a h n h nT =其中，T 为采样间隔。
如果以()a H s 和H(z)分别表示()a h t 的拉氏变换及h(n)的Z 变换，则：12ˆ()()sT a a z e k H z H s H s j k T T π∞==-∞⎛⎫==- ⎪⎝⎭∑4、双线性变换法原理双线性变换法是通过两次映射采用非线性频率压缩的方法，将整个频率轴上的频率范围压缩到±π/T 之间，再用sTz e =转换到z 平面上，从而使数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频率响应相似。
第3章无限长单位脉冲响应IIR滤波器设计第一节
Ω c tan( Ω1T )
(1)
2
这里c是待定常数， c使模拟滤波器的频率特性与数 字源波器的频率特性在不同频率点有对应关系。
经过这样的频率变换， 当Ω由 0 时, Ω1由-π/T经过０变化到π/T ，即S平面的整个jΩ轴被 压缩到S1平面的2π/T 一段。
(1)式可以写为：
j
1T 2
例如线性相位的贝塞尔低通滤波器，通过脉冲响应不变法
2)在某些场合，要求数字滤波器在时域上能模仿模拟滤波器 的功能时，如要实现时域冲激响应的模仿，一般使用脉冲响应
3)如果Ha(s)是稳定的，即其极点在S左半平面，映射后得到 的H(Z)也是稳定的。
4)脉冲响应不变法的最大缺点：存在周期延拓而导致的频 谱混叠效应，因此只能用于带限的频响特性，例如衰减特性很 好的低通或带通，而高频衰减越大，频响的混淆效应越小。至 于高通和带阻滤波器,由于它们在高频部分不衰减，因此不宜采 用脉冲响应不变法。
Hˆ a (s)
1 T
m
H
a
s
j
2
T
m
以上表明，采用脉冲响应不变法将模拟滤波器变换 为数字滤波器时，它所完成的 s 平面到 z 平面的变换， 正是拉氏变换到z变换的标准变换关系，即首先对Ha(s)
作周期延拓，然后再经过 zeST的映射关系映射到 z
平面上。
H z
z esT
Hˆ a
(s)
Ha( j T )
0
H (e j )
0
脉冲响应不变法中的频响混淆
（4）几个 结论
1)脉冲响应不变法的一个重要特点是频率坐标的变换是线性 的，ω＝ΩΤ，ω与Ω是线性关系。
因此如果模拟滤波器的频响带限于折叠频率以内的话，通 过变换后数字滤波器的频响可不失真地反映原响应与频率的关
无限长单位脉冲响应IIR
第5章 无限长单位脉冲响应（IIR ） 数字滤波器的设计方法5.1 基本概念5.1.1 选频滤波器的分类可分为低通、高通、带通、带阻和全通满足奈奎斯特采样定理时，信号的频率特性只能限带于|ω|<π的范围。
5.1.2 滤波器的技术指标在通带内，幅度响应以最大误差±δ1逼近于1，即1111 δδωω+<≤-≤）（jw P e H在阻带内，幅度响应以误差小于δ2而逼近于零，即2 ,δπωω≤≤≤）（jw S e H1)()ωj e H (π1 δ阻带过渡带ωπ2 δ通带11δ+11δ-sw p wN 为奇数时实轴上有极点，N 为偶数时实轴上没有极点。
要称为稳定的滤波器)s (H a 表示为：∏=-Ω=Nk k N Ca )s s ()s (H 1方法2:,s s p A A P 、、由模拟ΩΩc ,Ω→N c ,Ω→N⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡ΩΩ+=Ω-Ω=ΩNa P j H A 2c p 2p )(11lg 10)(lg 10 －＝在 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ΩΩ+=Ω-Ω=ΩN a P j H A 2c S 2S )(11lg 10)(lg 10 －＝在 ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡ΩΩ--=)(lg 2])110()110(lg[s p 1010sp A A N NA sc s 210110-Ω=Ω（通带指标改善）或 NA Pc P 210110-Ω=Ω（阻带指标改善）方法3: )()(s H s H a aN →NN N aN ss a s a s a s H ++++=--1122111)( caN a s s s H s H Ω'=→)()( 例 1 导出三阶巴特沃思模拟低通滤波器的系统函数， 设Ωc ＝2 rad/s 。
解 幅度平方函数是62)2/(11|)(|Ω+=Ωj H 令Ω2=-s 2即s =j Ω，则有)2/(11)()(66s s H s H a a -=-π⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=612212k j k es k =1, 2, …, 6会产生频率混叠，适合低通、带通滤波器的设计，不适合高通、带阻滤波器的设计。
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| H ( e j0 )| jωc δ1 20lg 20 lg | H ( e ) | 20lg(1 α1 ) （6-2a） jωc | H( e )| | H ( e j0 )| jωst δ2 20lg 20 lg | H ( e ) | 20lg α2 jωst | H( e )|
第6章 无限长单位冲激响应（IIR）数字滤波器的设计方法
第6章 无限长单位冲激响应（IIR） 数字滤波器的设计方法
6.1 引言
6.2 IIR滤波器设计的特点
6.3 常用模拟低通滤波器的设计方法
第6章 无限长单位冲激响应（IIR）数字滤波器的设计方法
6.1 引
6.1.1 选频滤波器的分类
言
数字滤波器是数字信号处理的重要基础。在对信号的过滤、 检测与参数的估计等处理中, 数字滤波器是使用最广泛的线性系 统。 数字滤波器是对数字信号实现滤波的线性移不变系统。它 将输入的数字序列通过特定运算转变为输出的数字序列。因此， 数字滤波器本质上是一台完成特定运算的数字计算机。
第6章 无限长单位冲激响应（IIR）数字滤波器的设计方法
6.2 IIR滤波器设计的特点
IIR滤波器的系统函数用极、零点表示如下：
M M
H ( z)
b z
k 0 N k k 1
k
1 ak z k
A
(1 c z
k 1 N k k 1
1
)
1 ( 1 d z ) k
第6章 无限长单位冲激响应（IIR）数字滤波器的设计方法
H( e
jω
) H( e
2. 相位响应 jω j arg H ( e )
)e
jω
Re[ H ( e jω ) j Im H ( e jω )] β ( e jω
jω Im H ( e ) tan1 jω Re H ( e ＊ jω
Y (e j ) X (e j ) H (e j )
式中， Y(ejω) 、 X(ejω) 分别为输出序列和输入序列的频谱函数， H(ejω)是系统的频率响应函数。
第6章 无限长单位冲激响应（IIR）数字滤波器的设计方法
可 以 看 出 ， 输 入 序 列 的 频 谱 X(ejω) 经 过 滤 波 后 ， 变 为 X(ejω)H(ejω) 。如果|H(ejω)| 的值在某些频率上是比较小的，则输入 信号中的这些频率分量在输出信号中将被抑制掉。因此，只要按 照输入信号频谱的特点和处理信号的目的，适当选择 H(ejω) ，使 得滤波后的X(ejω)H(ejω)符合人们的要求，这就是数字滤波器的滤
模拟滤波器幅度响应常用幅度平方函数|Ha(jΩ)|2来表示，即
| Ha ( j) | Ha ( j)H ( j)
2 * a
由于滤波器冲激响应ha(t)是实函数，因而Ha(jΩ)满足
* Ha ( j) Ha ( j)
所以
| Ha ( j) |2 Ha ( j)Ha ( j) Ha (s)Ha (s) |s j （6-7）
方法：
1）
首先，设计一个合适的模拟滤波器；然后，变换成满足预
定指标的数字滤波器。这种方法很方便，因为模拟滤波器已经
具有很多简单而又现成的设计公式，并且设计参数已经表格化
了，设计起来既方便又准确。
第6章 无限长单位冲激响应（IIR）数字滤波器的设计方法
2）
最优化设计法一般分两步来进行:
第一步要选择一种最优准则。例如，选择最小均方误差准
jω
第6章 无限长单位冲激响应（IIR）数字滤波器的设计方法
6.1.4 滤波器的设计步骤
① 按照实际任务要求， 确定滤波器的性能指标。
② 用一个因果稳定的离散线性移不变系统的系统函数去逼
近这一性能要求。根据不同要求可以用IIR系统函数，也可以用
FIR系统函数去逼近。
③ 利用有限精度算法来实现这个系统函数。这里包括选择 运算结构（如第5章中的各种基本结构），选择合适的字长（第 9章中包括系数量化及输入变量、中间变量和输出变量的量化） 以及有效数字的处理方法（舍入、截尾）等。
则。它是指在一组离散的频率｛ωi｝(i=1, 2, …, M)上，所设计出
的实际频率响应幅度 |H(ejω)| 与所要求的理想频率响应幅度 |Hd
(ejω)|的均方误差ε最小。
[| H (e ) | | H d (e ) |]
ji ji i 1
M
2
此外还可以有其他许多种误差最小的准则，如最大误差最小准则等。
一般满足M≤N，这类系统称为 N阶系统，当M>N时， H(z) 可 看成是一个 N 阶 IIR 子系统与一个 (M-N) 阶的 FIR 子系统的级联。
以下讨论都假定M≤N。
第6章 无限长单位冲激响应（IIR）数字滤波器的设计方法
IIR滤波器的系统函数的设计就是确定各系数 ak, bk或零极点 ck，dk和A，以使滤波器满足给定的性能要求。通常有以下两种
式中，Ha(s)是模拟滤波器的系统函数，它是s的有理函数; Ha(jΩ) 是滤波器的频率响应特性； |Ha(jΩ)|是滤波器的幅度特性。
第6章 无限长单位冲激响应（IIR）数字滤波器的设计方法
6.3.2 巴特沃思低通逼近
巴特沃思逼近又称最平幅度逼近。巴特沃思低通滤波器幅度
平方函数定义为
第6章 无限长单位冲激响应（IIR）数字滤波器的设计方法
第二步，求在此最佳准则下滤波器系统函数的系数 ak, bk。 一般是通过不断改变滤波器系数ak、bk，分别计算ε; 最后，找到 使ε为最小时的一组系数ak, bk，从而完成设计。这种设计需要进 行大量的迭代运算，故离不开计算机。所以最优化方法又称为
线和图表供设计人员使用。这些典型的滤波器各有特点：巴特沃
思滤波器具有单调下降的幅频特性；切比雪夫滤波器的幅频特性 在通带或者在阻带有波动，可以提高选择性；贝塞尔滤波器通带 内有较好的线性相位特性；椭圆滤波器的选择性相对前三种是最 好的, 但在通带和阻带内均为等波纹幅频特性。这样根据具体要求 可以选用不同类型的滤波器。
) 1 H ( e jω ) jω ) j H( e )
j β ( e jω )
又 H ( e
) H( e
jω
)e
jω H ( e jω ) 1 1 H ( e ) jω β( e ) ln * ln jω 2 j H ( e ) 2 j H ( e jω ) H( z ) 1 ln 2 j H ( z ) z e jω
计算机辅助设计法。
第6章 无限长单位冲激响应（IIR）数字滤波器的设计方法
6.3 常用模拟低通滤波器的设计方法
常用的模拟原型滤波器有巴特沃思（ Butterworth ）滤波器、 切比雪夫（Chebyshev）滤波器、椭圆（Ellipse）滤波器、贝塞尔 （Bessel）滤波器等。这些滤波器都有严格的设计公式，现成的曲
| H ( e jω ) | α2
ωst≤|ω|≤π
式中，ωc, ωst分别为通带截止频率和阻带截止频率，它们都是 数字域频率。幅度响应在过渡带（ ωst−ωc）中从通带平滑地下 降到阻带，过渡带的频率响应不作规定。
第6章 无限长单位冲激响应（IIR）数字滤波器的设计方法
虽然给出了通带的容限α1及阻带的容限α2，但是，在具体技 术指标中往往使用通带允许的最大衰减（波纹） δ1 和阻带应达 到的最小衰减δ2描述， δ1及δ2的定义分别为：
第6章 无限长单位冲激响应（IIR）数字滤波器的设计方法
6.1.3 DF频率特性
• 它是由三个参量来表征： 1.幅度平方响应 2.相位响应 3.群延时
滤波器H ( e ) H ( e ) e
jω jω
j ar， 它又等效由 H ( e jω )、群时延τ( e jω )决定。
－2
－
o
H (e j )
(b )
－2
－
o
H (e j )
(c)
－2
－
o
H (e j )
(d )
－2
－
o
图 6-1 数字滤波器的理想幅频特性
第6章 无限长单位冲激响应（IIR）数字滤波器的设计方法
满足奈奎斯特采样定理时，信号的频率特性只能限带于 |ω|<π的范围。由图6-1可知，理想低通滤波器选择出输入信号中 的低频分量，而把输入信号频率在 ωc<ω≤π 范围内所有分量全部 滤掉。相反地，理想高通滤波器使输入信号中频率在 ωc≤ω≤π 范 围内的所有分量不失真地通过，而滤掉低于ωc 的低频分量。带
通滤波器只保留介于低频和高频之间的频率分量。
第6章 无限长单位冲激响应（IIR）数字滤波器的设计方法
6.1.2 滤波器的技术指标
理想滤波器(如理想低通滤波器)是非因果的， 其单位冲激响
应从-∞延伸到+∞， 因此，无论用递归还是非递归方法， 理想滤
波器是不能实现的， 但在概念上极为重要。
一般来说，滤波器的性能要求往往以频率响应的幅度特性的
允许误差来表征。以低通滤波器为例，如图 6-2（称容限图）所 示， 频率响应有通带、 过渡带及阻带三个范围（而不是理想的 陡截止的通带、阻带两个范围）。图中α1为通带的容限， α2为阻 带的容限。
第6章 无限长单位冲激响应（IIR）数字滤波器的设计方法
H (e j )
1+a1 1-α1
通带
过渡带
（6-2b）
式 中 ， 假 定 |H(ej0)|=1( 已 被 归 一 化 ) 。 例 如 |H(ejω)| 在 ωc 处 满 足
|H(ejωc)|=0.707，则δ1=3 dB；在ωst处满足|H(ejωst)|=0.001，则δ2 =60 dB（参考图6-2）。(注：lg是log10的规范符号表示。)