第一讲 三角函数的基本概念(一)

第一讲 三角函数的基本概念(一)
知识点一、角度与弧度
（1）角度与弧度的互换：360°=2π，180°=π，1°=0.01745， 1=57.30°=57°18′ 注：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. （2）弧长公式：r l
⋅=||α； 扇形面积公式：211
||22
s lr r α=
=⋅扇形 知识点二、任意角的三角函数
设α是一个任意角，α的终边上任意一点P （x ，y ）与原点的距离是r （r =22y x +＞0），则:
sin α=
r y ，cos α=r x ，tan α=x y ，cot α=x y ，sec α=r
x ，csc α=r y
.
知识点三、三角函数的图形
象限与符号
象限与符号
象限与符号
知识点四、反三角函数的图形及性质
反三角函数的性质
y =2sin x 的单调增区间是（ ）
A.［2k π－
2
π
，2k π＋
2
π］（k ∈Z ） B.［2k π＋
2
π
，2k π＋
2
3π］（k ∈Z ） C.［2k π－π，2k π］（k ∈Z ） D.［2k π，2k π＋π］（k ∈Z ）
解：A, 函数y =2x 为增函数, 因此求函数y =2sin x
的单调增区间即求函数y =sin x 的单调增区间. 2、（2002北京）已知f （x ）是定义在（0，3）上的函数，f （x ）的图象如图1所示，那么不等式f （x ）cos x ＜0的解集是（ ）
A.（0，1）∪（2，3）
B.（1，
2
π）∪（
2
π，3）
C.（0，1）∪（
2
π，3） D.（0，1）∪（1，3）
解：解不等式f （x ）cos x ＜0⎪⎩
⎪⎨⎧<<><⎪⎩⎪⎨⎧<<<>⇒300cos 0
)(300cos 0)(x x x f x x x f 或
∴ ⎩⎨⎧<<<<⎪⎩⎪⎨⎧<<<<10102
3
1x x x x 或ππ ∴0＜x ＜1或2π＜x ＜3，答案：C. 3、（2002上海）函数y =
x +sin|x |，x ∈［－π，π］的大致图象是（ ）
解：由奇偶性定义可知函数y =x +sin|x |，x ∈［－π，π］为非奇非偶函数. 选项A 、D 为奇
函数，B 为偶函数，C 为非奇非偶函数. 故选答案：C.
4、已知cos α=31，且－2π＜α＜0，求ααααtan cos π2sin πcot ⋅-+⋅--）（）
（）（的值.
解：∵cos α=31，且－2
π
＜α＜0，∴sin α=－322，cot α=－42.
∴原式=
ααααtan cos sin cot ⋅-⋅-）（）（=α
α
αsin sin
cot ⋅-=－cot α=42.
5、已知函数12
()log (sin cos )f x x x =-
（1）求它的定义域和值域；（2）判断它的奇偶性；（3）判断它的周期性.
解（1）x 必须满足sin x -cos x
>0，利用单位圆中的三角函数线及52244
k x k ππππ+<<
+，
k ∈Z ∴ 函数定义域为)45
k 2,4k 2(π+ππ+π，k ∈Z ∵ sin cos )4
x x x π--
∴当x
∈5(2,2)4
4
k k ππππ++时，0sin()14
x π<-≤∴ 0sin cos x x <-∴ 12
1log 2
y -≥∴ 函数值域为[+∞-
,2
1
） （2）∵()f x 定义域在数轴上对应的点关于原点不对称,∴()f x 不具备奇偶性 （3）∵ f(x+2π)=f(x)∴ 函数f(x)最小正周期为2π
A 、
B 是锐角△AB
C 的两个内角，则点P （cos B －sin A ，sin B －cos A ）在（ ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限 解：∵A 、B 是锐角三角形的两个内角，∴A ＋B ＞90°，∴B ＞90°－A ，
∴cos B ＜sin A ，sin B ＞cos A ，故选B. 2、（2001全国）tan300°+cot405°的值是（ ） A.1＋3 B.1－3 C.－1－3 D.－1＋3 解：tan300°＋cot405°＝tan(360°－60°)＋cot(360°＋45°)＝－tan60°＋cot45° ＝1－3. 选B. 3、（2000全国）函数y ＝－x cos x 的部分图象是（ ）
解：因为函数y ＝－x cos x 是奇函数，它的图象关于原点对称，所以排除A 、C ，当
x ∈（0，
2
π
）时，y ＝－x cos x ＜0. 答案：D.
4、（1999全国）若sin α＞tan α＞cot α（－
2
π
＜α＜
2
π
)，则α∈（ ） A.（－2π，－4π） B.（－4π，0） C.（0，4π） D.（4π，2π）
解：取α＝±3π，±6π代入求出sin α、tan α、cot α之值，易知α＝－6π
适合，
又只有－6π∈（－4
π
，0），故答案为B.
5、（1998全国）已知点P （sin α－cos α，tan α）在第一象限，则在［0，2π］内α的取值范围是（ ）
A.（2π，43π）∪（π，
45π） B.（4π，2π）∪（π，45π
） C.（2π，
4
3π）∪（45π，23π） D.（4π，2π）∪（4
3π，π）
解：P （sin α－cos α，tan α）在第一象限，有tan α＞0，A 、C 、D 中都存在使tan α＜0的
α，故答案为B. 6、（1997全国）函数y =tan （
3
1
21-x π）在一个周期内的图象是（ ）
解：y ＝tan(
3121-x π)＝tan 2
1
(x －32π)，函数周期为T ＝2π，且x ＝32π时，y =0，选A.
7、（1）任意角三角函数定义为：
（2）
8、（2002北京）sin 52π，cos 56π，tan 5
7
π从小到大的顺序是 .
解：cos 56π＜0，tan 57π＝tan 52π ∵0＜x ＜2π时，tan x ＞x ＞sin x ＞0
∴tan 52π＞sin 52π＞0 ∴tan 57π＞sin 52π＞cos 5
6π.
9、求函数f (x )=12
1log cos()34
x π
+
的单调递增区间
解：∵f (x )=12
1log cos()3
4
x π
+
令4
3
1π+=x t ,∴y=t cos log 21,t 是x 的增函数,又∵0<2
1<1,
∴当y=t cos log 2
1为单调递增时,cost 为单调递减 且cost>0,∴2k π≤t<2k π+2π
(k ∈Z), ∴2k π≤431π
+x <2k π+2π (k ∈Z) ,6k π-43π≤x<6k π+43π (k ∈Z),∴f (x )=)431cos(log 2
1π+x 的
单调递减区间是[6k π-43π,6k π+4
3π
) (k ∈Z) 10、若关于x 的方程2cos 2(π + x ) - sin x + a = 0 有实根，求实数a 的取值范围。

解：原方程变形为：2cos 2x - sin x + a = 0 即 2 - 2sin 2x - sin x + a = 0, ∴8
17)4
1(sin 22sin sin 222-+=-+=x x x a ,∵- 1≤sin x ≤1 ,
∴8
17
41
sin min -=-=a x 时，当； 11sin max ==a x 时，
当, ∴a 的取值范围是[1,8
17-].
θ l
r。