上海市进才中学高三数学理科月考试卷(三)暨期中考试
2020-2021学年上海市浦东新区进才中学高三上学期期中数学试卷(含解析)
2020-2021学年上海市浦东新区进才中学高三上学期期中数学试卷一、单选题（本大题共4小题，共20.0分）1.下列命题正确的是()A. 若ac>bc，则a>bB. 若a>b，c>d，则ac>bdC. 若a>b，则1a <1bD. 若ac2>bc2，则a>b2.已知函数f(x)=cos(2ωx)(ω>0)，若f(x)的最小正周期为π，则f(x)的一条对称轴是()A. x=π8B. x=π4C. x=π2D. x=3π43.函数f(x)=lg(x−2)+1x−3的定义域是()A. (2,3)B. (3,+∞)C. [2,3)∪(3,+∞)D. (2,3)∪(3,+∞)4.下列命题中的真命题是()A. 互余的两个角不相等B. 相等的两个角是同位角C. 若a2=b2，则|a|=|b|D. 三角形的一个外角等于和它不相等的一个内角二、单空题（本大题共12小题，共54.0分）5.已知全集集合则．6.已知点A(2,−1)在角α的终边上，则sinα=______．7.函数f(x)=lgx−sinx在定义域(0,+∞)上的零点有个．8.(1−x2)8的二项展开式中含x2项的系数是______ ．9.设数列{a n}的前n项和为S n，如果a1=−5，a n+1=a n+2，n∈N∗，那么S1，S2，S3，S4中最小的为______．10.在斜三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若2sinAcosC=sinB，则ac的值为______ ．11.定义新运算为：，例如，则函数的值域为12.若a>0，b>0，且2a+b=1，则ba2+1b2的最小值为______13. 已知sinα−sinβ=−12，cosα−cosβ=12，且α、β均为锐角，则cos(α−β)= ______ ．14. 已知偶函数f(x)满足f(x +2)=f(x)，当x ∈(0,1)时，f(x)=2x ，则f(−52)= ______ ．15. 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1，2a 2，a 3成等差数列，若a 1=1，则S 10=______．16. 已知定义在R 上的函数f(x)周期为2，且∀x ∈R ，f(x)−f(−x)=0恒成立，当x ∈[−1,0]时，f(x)=x 2，若g(x)=f(x)−log 2020x 在(0,m]上恰有2019个零点，则整数m 的最小值为______．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17. 如图，四棱锥P −ABCD 的底面是边长为1的正方形，PA ⊥CD ，PA =1，PD =√2．(Ⅰ)求证：PA ⊥平面ABCD ；(Ⅱ)求四棱锥P −ABCD 的体积．18. 设函数f(x)=3⋅log 2(4x)，14≤x ≤4；(1)若t =log 2x ，求t 取值范围；(2)求f(x)的最值，并给出最值时对应的x 的值．19. 已知锐角△ABC 的三个内角A 、B 、C 对边分别是 a 、b 、c ，a+b cosA+cosB =ccosC ．(1)求证：角A 、C 、B 成等差数列；(2)若角A 是△的最大内角，求cos(B +C)+√3sinA 的范围(3)若△ABC 的面积S △ABC =√3，求△ABC 周长的最小值．20. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =n 2+2n ．(1)求数列的通项a n；(n∈N+)，求数列的前n项和为T n．(1)令b n=1a n2+4n−121. 设函数f(x)=4x+a，ℎ(x)=2f(x)−ax−b．2x+1(Ⅰ)判断f(x)的奇偶性，并说明理由；(Ⅱ)若f(x)为奇函数，且ℎ(x)在[−1,1]有零点，求实数b的取值范围．【答案与解析】1.答案：D解析：解：对于A，若ac>bc，c≤0，则a>b不成立，不正确；对于B，若a>b>0，c>d>0，则ac>bd，不正确；对于C，若a>b>0，则1a <1b，不正确；对于D，若ac2>bc2，则a>b，正确．故选D．利用不等式的性质，对4个选项分别进行判断，即可得出结论．本题考查不等式的性质，考查学生的计算能力，比较基础．2.答案：C解析：解：函数f(x)=cos(2ωx)(ω>0)，若f(x)的最小正周期为π，则：π=2π2ω．所以：ω=1．故f(x)=cos2x．令：2x=kπ(k∈Z)，解得：x=kπ2(k∈Z)，当k=1时，x=π2．故选：C．直接利用余弦型函数的性质求出结果．本题考查的知识要点：余弦型函数的性质的应用．3.答案：D解析：解：要使函数有意义，需满足{x−2>0x−3≠0解得x>2且x≠3故选D令对数的真数x−2大于0；分母x−3非0，列出不等式组，求出函数的定义域．求函数的定义域：常需考虑开偶次方根的被开方数大于等于0；对数的真数大于0底数大于0且不等于1；分母不为0等．注意函数的定义域一定以集合形式或区间形式表示．4.答案：C解析：解：A.互余的两角可相等，比如都为45°，故A错；B.相等的两个角可以是对顶角，故B错；C.若a2=b2，则a2−b2=0，(a+b)(a−b)=0，即a=b或a=−b，则不管a，b是实数还是复数，均有|a|=|b|，故C正确；D.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和，故D错．故选：C．由两角互余的概念可判断A；可举对顶角相等来判断B；运用平方差公式，得到a=b或a=−b，从而|a|=|b|可判断C；运用三角形的外角的性质即可判断D．本题以命题的真假判断为载体，考查三角形的外角与内角的关系，两角互余的概念，同位角的概念以及复数范围内模与平方的关系，是一道基础题．5.答案：解析：本题主要考查集合的应用，熟悉交并补的运算法则是解答本题的关键，属于基础题．解：由题意得，∴，故答案为．6.答案：−√55解析：解：设O为坐标原点，因为A(2,−1)．由已知得|OA|=√22+(−1)2=√5，∴sinα=−1|OA|=−√55．故答案为：−√55．根据三角函数的坐标法定义，直接计算即可．本题考查三角函数的坐标法定义，以及学生的运算能力，属于基础题．7.答案：3解析：。
上海市进才中学2020届高三数学上学期期中试题(含解析)
上海市进才中学2020届高三数学上学期期中试题（含解析）一. 填空题1.方程4220x x +-=的解是【答案】0x =【解析】【分析】利用换元法，结合指数方程和一元二次方程之间的关系进行求解即可．【详解】由4220x x +-=得()22220x x +-=，设t ＝2x ，则t ＞0，则方程等价为t 2+t-2＝0，即（t+2）（t ﹣1）＝0，解得t ＝1，或t ＝-2（舍） 由2x ＝1得x ＝0，故答案为：0x =．【点睛】本题主要考查指数的方程的求解，利用换元法将方程转化为一元二次方程是解决本题的关键，属于基础题．2.若集合{|20}M x x =-<，2{|5}N x x ==，则M N =I ________【答案】{【解析】【分析】求出集合M 、N 中x 的取值，根据交集定义求解即可．【详解】∵{|20}{|2}M x x x x =-<=<，2{|5}N x x ===，∴M ∩N ＝{．故答案为：{【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3.函数sin cos y x x =的最小正周期是______．【答案】p【解析】1sin 22y x =，周期2ππ2T ==. 4.设函数2()log (1)f x x =-的反函数为1()f x -，则1(3)f -=________【答案】7-【解析】【分析】互为反函数的两个函数图象关于直线y ＝x 对称，若f （x ）的图象上有（a ，b ）点，则（b ，a ）点一定在其反函数的图象上．【详解】令()13f -=a则2()log (1)3f a a =-=，即321a =-，∴a ＝7-，故答案为：7-【点睛】本题考查了互为反函数的两个函数图象的性质的应用，考查了指对互化的运算，属于基础题．5.函数f （x ）=x+|x ﹣2|的值域是 ．【答案】[2，+∞）【解析】试题分析：根据函数的解析式，去绝对值符号，根据函数的单调性求得函数的值域． 解：因为当x∈（﹣∞，2]时，f （x ）=2；当x∈（2，+∞）时，f （x ）=2x ﹣2＞2，故f （x ）的值域是[2，+∞）．故答案：[2，+∞）．考点：函数的值域．6.若3a >，则13a a +-的最小值是 . 【答案】5【解析】试题分析：3a >Q ，11333533a a a a +=-++≥=--，当且仅当133a a -=-，即4a =时取等号，13a a ∴+-的最小值是5， 考点：基本不等式7.设函数()f x 是R 上的奇函数，函数()g x 是R 上的偶函数，且对任意的x ∈R ，都有()()2x f x g x +=，于是22()()g x f x -=________【答案】1【解析】【分析】利用奇偶性列出关于(),()f x g x 的方程组，再利用平方差公式直接得解.【详解】∵函数()f x 是R 上的奇函数，函数()g x 是R 上的偶函数，且对任意的x ∈R ，都有()()2x f x g x +=①，∴将x 换为-x 代入可得()()2x f x g x --+-=，即()()2x f x g x --+=， 与①相乘可得22()()g x f x -=22x x -⋅=1，故答案为：1【点睛】本题考查了奇偶性的应用，属于基础题.8.设正数x ，y满足a ≥恒成立，则a的最小值是______.【解析】【分析】的最大值的问题，然后利用均值不等式求得其最值即可确定实数a 的最小值.【详解】由已知maxa ≥，Q x y =时等号成立，≤max∴=，a ∴≥【点睛】本题主要考查恒成立问题的处理方法，基本不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9.若函数y =R ，则a 的取值范围为__________.【答案】[]04，【解析】由题意得210ax ax ++≥在R 上恒成立．①当0a =时，则10≥恒成立，∴0a =符合题意；②当0a ≠时，则2040a a a >⎧⎨-≤⎩，解得04a <≤． 综上可得04a ≤≤，∴实数a 的取值范围为[0,4]．答案：[0,4]点睛：不等式20ax bx c >＋＋解是全体实数(或恒成立)的条件是当0a ＝时，0,0b c >＝；当0a ≠时，00a >⎧⎨∆<⎩；不等式20ax bx c <＋＋的解是全体实数(或恒成立)的条件是当0a ＝时，0,0bc <＝；当0a ≠时，00a <⎧⎨∆<⎩． 10.如图，由曲线()1sin f x k x =+（其中[0,2]x πÎ，常数(0,1]k ∈）、x 轴、y 轴及直线2x π=所围成图形（阴影部分）的面积等于________【答案】2π【解析】【分析】利用正弦函数的对称性及周期性，直接计算即可．【详解】由()1sin f x k x =+可知曲线关于（,π1）对称，且周期为2π，故阴影部分的底面边长为2π，且图中M 与N 的面积相等，利用割补法将M 补到N 中，则阴影部分的面积为212ππ⨯=，故答案为：2π【点睛】本题考查了割补法求面积，关键是利用正弦函数的对称性得到M 与N 的面积相等．11.若“a b >”是“11a b<”的必要非充分条件，则a 、b 满足的条件为________ 【答案】答案不唯一：0a >【解析】【分析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断． 【详解】由题意可得11b a a b ab--=， 若11a b ＜成立，则b ﹣a 与ab 异号，即b <a 且ab>0，或b >a 且ab<0，若“a b >”是“11a b <”的必要非充分条件，则由11a b <⇒a b >，但由a b >¿11a b <， ∴a 、b 满足的条件可以为0a >（也可以写0b <），故答案为：0a >．【点睛】本题主要考查不等式的性质以及充分条件和必要条件的应用，要求熟练掌握不等式的性质，比较基础．12.设函数()f x 满足对任意x ∈Z ，都有()(1)(1)f x f x f x =-++成立，(1)f a -=，(1)f b =，则(2019)(2020)f f +=________【答案】2a b --【解析】【分析】根据周期函数的定义推导f （x +T ）＝f （x ）即可．【详解】∵函数()f x 满足()(1)(1)f x f x f x =-++，∴(1)()(2)f x f x f x +=++，两式相加得到0(1)(2)f x f x =-++，即()(3)0f x f x ++=，①∴f （x +3）+f （x+6）＝0，②由①②可得f （x ）＝f （x+6）∴函数f （x ）的一个周期T ＝6，∴f （2019）＝f （6×336+3）＝f （3）＝-f （0），f （2020）＝f （6×336+4）＝f （4）＝-f（1）,又(0)(01)(01)(1)(1)f f f f f a b =-++=-+=+，∴(2019)(2020)(0)(1)2f f f f a b +=--=--故答案为：2a b --．【点睛】本题主要考查函数周期的求解，根据条件推导f （x +T ）＝f （x ）的形式是解决本题的关键．二. 选择题13.设{4,5,6}A =，{1,2,3}B =，则集合{|,,}C x x m n m A n B ==-∈∈中的所有元素之和为（ ）A. 15B. 14C. 27D. 14-【答案】A【解析】【分析】由C ＝{x |x ＝m ﹣n ，m ∈A ，n ∈B }，A ＝{4，5，6}，B ＝{1，2，3}，先求出C ，然后再求集合C 中的所有元素之和．【详解】∵C ＝{x |x ＝m ﹣n ，m ∈A ，n ∈B }，A ＝{4，5，6}，B ＝{1，2，3}，∴C ＝{1，2，3，4，5}，∴集合 C 中的所有元素之和＝1+2+3+4+5＝15．故选：A ．【点睛】本题考查元素与集合的关系的判断，解题时要认真审题，注意新定义的合理运用．14.设不等式20ax bx c ++>的解集为(2,3)，则不等式20cx bx a ++>的解集为（ ）A. (2,3)B. (3,2)--C. 11(,)32D. 11(,)23-- 【答案】C【解析】【分析】根据一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系,求出b 、c 与a 的关系，代入所求不等式，求出解集即可．【详解】一元二次不等式ax 2+bx +c ＞0的解集为（2，3），∴a ＜0，且2，3是方程ax 2+bx +c ＝0两个实数根， ∴2323b a c a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩， 解得b ＝﹣5a ，c ＝6a ，其中a ＜0；∴不等式cx 2+bx +a >0化为6ax 2﹣5ax +a >0，即6x 2﹣5x +1＜0， 解得1132x ＜＜， 因此所求不等式的解集为（13，12）． 故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法以及一元二次方程的根与系数的关系，是基础题．15.将函数(24)y f x =+的图像上的所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，然后再将所得图像经过怎样的变换才能得到()y f x =的图像（ ）A. 向左平移4个单位B. 向右平移4个单位C. 向左平移2个单位D. 向右平移2个单位 【答案】B【解析】【分析】根据函数的图象的变化规律：先把函数(24)y f x =+变为(4)y f x =+，再根据平移规律得出结论．【详解】由于函数y ＝f （2x +4）的图像上的所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到(4)y f x =+，故只需把函数(4)y f x =+的图象向右平移4个单位可得到函数y ＝f （x ）的图象，故选：B ．【点睛】本题主要考查函数的图象的变化规律，熟练掌握伸缩变换及平移变换是关键，属于基础题．16.函数213()22f x x x =-+是区间I 上是增函数，且函数()f x y x=在区间I 上又是减函数，那么区间I 可以是（ ）A. [1,)+∞B. )+∞C. [1,3]D. 【答案】D【解析】【分析】由题意，求f （x ）21322x x =-+的增区间，再求y ()12f x x ==x ﹣132x +的减函数，从而求得结果．【详解】f （x ）21322x x =-+在区间[1，+∞）上是增函数，y ()12f x x ==x ﹣132x +，y ′22213130222x x x-=-⋅=<，解得x ∈[0）U (0]；故y ()12f x x ==x ﹣132x +在[，0）及(0上是减函数，故区间I 为[1；故选：D ．【点睛】本题考查了函数的性质应用，属于基础题．三. 解答题17.记函数()f x =A ，3()log [(2)()]g x x m x m =---定义域为B . （1）求A ；（2）若A B ⊆，求实数m 的取值范围.【答案】（1）(1,2]A =-；（2）(,3](2,)-∞-+∞U .【解析】【分析】（1）根据使函数解析式有意义的原则，构造关于x 的不等式，解不等式可以求出x 的取值范围，即集合A ；（2）根据对数函数真数大于0的原则，我们可以求出集合B ，进而根据A ⊆B ，构造关于m 的不等式，解不等式即可求出实数m 的取值范围．【详解】（1）41x x +-+2≥0，得21x x -≤+0，﹣1＜x ≤2，即A ＝（﹣1，2]. （2）由（x ﹣m ﹣2）（x ﹣m ）＞0，得B ＝（﹣∞，m ）∪（m +2，+∞），∵A ⊆B ∴m ＞2或m +2≤﹣1，即m ＞2或m ≤﹣3故当B ⊆A 时，实数a 的取值范围是（﹣∞，﹣3]∪（2，+∞）．【点睛】本题考查的知识点是函数定义域及其求法，集合关系中的参数取值问题，其中根据使函数解析式有意义的原则，构造不等式求出函数的定义域是解答本题的关键．18.举行动物运动会其中有小兔大兔接力赛跑一项，跑道从起点A 经过点P 再到终点B ，其中10AP =米，40PB =米，规定小兔跑第一棒从A 到P ，大兔在P 处接力完成跑第二棒从P 到B ，假定接力赛跑时小兔大兔的各自速度都是均匀的，且它们的速度之和为定值10米/秒，试问小兔和大兔应以怎样的速度接力赛跑，才能使接力赛成绩最好（所需时间最短），并求其最短时间. 【答案】小兔和大兔应分别以103米/秒、203米/秒的速度接力赛跑，到达终点最快时间为9秒.【解析】【分析】设出小兔大兔的速度，构造基本不等式求解即可.【详解】设小兔和大兔应分别以x 米/秒、y 米/秒的速度接力赛跑，则由题意知x +y =10， 问题相当于求解1040x y+的最小值， 1040x y +=1040110x y +⋅⋅（）（x +y ）=11040150505491010y x x y ++≥+=+=（）（，当且仅当1040y x x y =，即y=2x=203时等号成立， 所以小兔和大兔应分别以103米/秒、203米/秒的速度接力赛跑，到达终点最快时间为9秒. 【点睛】本题考查了基本不等式的实际应用，找准模型是解题的关键，属于中档题.19.已知函数2()sin (2)sin (2)2cos 133f x x x x ππ=++-+-，x ∈R . （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）当[,]44x ππ∈-时，求函数()f x 的值域以及函数()f x 的单调区间.【答案】（1）π；（2）值域为[-，递增区间为[,]48ππ-，递减区间为[,]84ππ. 【解析】【分析】（1）利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据周期的公式进行求解；（2）利用（1）得出的正弦函数，根据正弦函数单调区间及性质，可得出增减区间及值域；【详解】f （x ）＝sin 2x 11222222x sin x x cos x ⨯++ ＝sin 2x +cos 2x24x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（1）22T ππ==； （2）∵x ∈[44ππ-，] ∴32444x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦， 根据正弦函数的增减区间可知： 当2x 44ππ+=-时，f （x ）min ＝﹣1；当2x 42ππ+=时f （x ）max =∴f （x ）1⎡∈-⎣又函数f （x ）的增区间为2x 4π+∈[2222k k ππππ-++，]，减区间为2x 4π+∈[32222k k ππππ++，]，即函数f （x ）的增区间为：[388k k ππππ-++，]k ∈Z ，减区间为[588k k ππππ++，]k ∈Z ，又∵x ∈[44ππ-，]∴递增区间为[,]48ππ-，递减区间为[,]84ππ. 【点睛】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及正弦函数的周期、定义域和值域，熟练掌握公式是解本题的关键．20.设函数()f x 、()g x 满足关系()()()g x f x f x α=⋅+，其中α是常数. （1）设()cos sin f x x x =+，2πα=，求()g x 的解析式；（2）是否存在函数()f x 及常数α（0||απ<<）使得()sin 2g x x =恒成立？若存在，请你设计出函数()f x 及常数α；不存在，请说明理由；（3）已知1202x x π<<<时，总有1212sin sin x x x x >成立，设函数()f x =（01k <<）且0α=，对任意(0,)2x π∈，试比较sin[()]g x 与(sin )g x 的大小.【答案】（1）()cos2g x x =；（2）当()f x x =时，2πα=；当()f x x =时，2πα=-；（3）sin[()](sin )g x g x >. 【解析】 【分析】（1）由f （x ）的解析式求出f （x +α）的解析式，相乘后得到函数g （x ）的解析式； （2）由逆向思维可知f （x ）•f （x +α）＝sinxcosx ，由此可得函数f （x ）及一个α； （3）由给出的f （x ）求出g （x ），从而求出sin [g （x ）]与g （sinx ），借助于1212sinx sinx x x ＞可得答案．【详解】（1）∵f （x ）＝cosx +sinx ，2πα=∴f （x +α）＝cosx ﹣sinx ；∴g （x ）＝f （x ）•f （x +α）＝（cosx +sinx ）（cosx ﹣sinx ） ＝cos 2x ﹣sin 2x ＝cos 2x ；（2）∵g （x ）=sin 2x ＝2sinxcosx ，若f （xsinx ，则f （x +αsin （x +αcosx 2πα⇒=∴f （xsinx ，常数2πα=；也可以设f （x，则f （x +αcos （x +α2πα⇒=-∴f （xcosx ，常数2πα=-；∴当()f x x =时，2πα=；当()f x x =时，2πα=-；（3）由题意g （x ）＝kx ，sin [g （x ）]＝sinkx ，g （sinx ）＝ksinx 又0＜k ＜1，所以02kx x π＜＜＜，则sinkx sinxkx x＞，所以sinkx ＞ksinx ， 即sin [g （x ）]＞g （sinx ）．【点睛】本题考查了与三角函数有关的复合函数的单调性，考查了倍角公式，训练了三角函数的诱导公式，是中档题．21.定义：若函数()f x 对任意的12,x x D ∈，都有1212|()()|||f x f x x x -≤-成立，则称()f x 为D 上的“淡泊”函数.（1）判断211()42f x x x =+是否为[1,1]-上的“淡泊”函数，说明理由； （2）是否存在实数k ，使()2kf x x =+为[1,)-+∞上的“淡泊”函数，若存在，求出k 的取值范围；不存在，说明理由；（3）设()f x 是[0,1]上的“淡泊”函数（其中()f x 不是常值函数），且(0)(1)f f =，若对任意的12,[0,1]x x ∈，都有12|()()|f x f x a -≤成立，求a 的最小值. 【答案】（1）是,理由详见解析；（2）存在，[1,1]k ∈-；（3）最小值为12. 【解析】 【分析】（1）任取x 1，x 2∈[﹣1，1]，可得|f （x 1）﹣f （x 2）|的不等式，结合题意可判函数为“淡泊”函数；（2）假设存在k ∈R ，使得()2kf x x =+在[﹣1，+∞）上为“淡泊”函数，则满足对任意x 1，x 2∈[﹣1，+∞），都有|f （x 1）﹣f （x 2）|≤|x 1﹣x 2|成立，代入已知可得k 的不等式，解不等式可得；（3）不妨令0＜x 1≤x 2＜1，运用绝对值不等式的性质以及新定义，即可得到结论． 【详解】（1）任取x 1，x 2∈[﹣1，1]，可得|f （x 1）﹣f （x 2）|＝|（2111142x x +）﹣（2221142x x +）| ＝|14（x 1+x 2）（x 1﹣x 2）12+（x 1﹣x 2）|＝|x 1﹣x 2||14（x 1+x 2）12+|∵x 1，x 2∈[﹣1，1]，∴14（x 1+x 2）∈[12-，12]，∴14（x 1+x 2）12+|∈[0，1]，即|14（x 1+x 2）12+|≤1， ∴|x 1﹣x 2||14（x 1+x 2）12+|≤|x 1﹣x 2|∴|f （x 1）﹣f （x 2）|≤|x 1﹣x 2|∴函数1,012211lim,1232,1n n n k b k b k →∞⎧-<<⎪⎪-⎪==⎨+⎪>⎪⎪⎩在[﹣1，1]上是“淡泊”函数； （2）假设存在k ∈R ，使得()2kf x x =+在[﹣1，+∞）上为“淡泊”函数， 则满足对任意x 1，x 2∈[﹣1，+∞），都有|f （x 1）﹣f （x 2）|≤|x 1﹣x 2|成立， 故|1222k kx x -++|＝|k ||()()211222x x x x -++|≤|x 1﹣x 2|，∴|k |≤|（x 1+2）（x 2+2）|，∵x 1，x 2∈[﹣1，+∞），∴（x 1+2）（x 2+2）＞1， ∴|k |≤1，解得﹣1≤k ≤1；（3）不妨令0＜x 1≤x 2＜1，由“淡泊”函数性质，有|f （x 1）﹣f （x 2）|≤|x 1﹣x 2|成立，若x 2﹣x 112≤，则|f （x 1）﹣f （x 2）|≤|x 1﹣x 2|12≤； 若x 2﹣x 112＞，|f （x 1）﹣f （x 2）|＝|f （x 1）﹣f （0）+f （1）﹣f （x 2）|≤|f （x 1）﹣f （0）|+|f （1）﹣f （x 2）|≤|x 1﹣0|+|1﹣x 2|＝1﹣x 2+x 1＝1﹣（x 2﹣x 1）12＜， 综上，对任意0＜x 1≤x 2＜1，|f （x 1）﹣f （x 2）|12≤恒成立， 而12|()()|f x f x a -≤对任意的12,[0,1]x x ∈，都成立，则a ≥12max |()()|f x f x - ∴12a ≥,即a 的最小值为12． 【点睛】本题考查新定义，涉及函数的单调性和不等式的性质，属中档题．。
上海市进才中学2022届高三下学期3月月考数学试题(解析版)
又 ，当 时， ，所以函数 在 时单调递增；
当 时， ，所以函数 在 时单调递增，
所以函数 在R时单调递增.
所以不等式 化为 ，所以 ，解得 ，
所以不等式 的解集为 ，
故答案为： .
【点睛】本题考查根据函数的奇偶性和单调性求解不等式，属于中档题.
9.把3本不同的语文书，4本不同的数学书随机的排在书架上，则语文书排在一起的概率是________.
【2题答案】
【答案】
【解析】
【分析】
根据抛物线的性质得结论．
【详解】由抛物线方程得 ，焦点为 ，准线方程为 ．
故答案为： ．
3.如果函数 的反函数为 ，那么 __________．
【3题答案】
【答案】
【解析】
【分析】根据反函数性质求结果.
【详解】令
故答案为：
【点睛】本题考查反函数性质，考查基本分析求解能力，属基础题.
7. 设由复数组成的数列 满足：对任意的 ，都有 ( 是虚数单位)，则数列 的前2020项和的值为_________.
【7题答案】
【答案】0
【解析】
【分析】根据等比数列的定义和通项公式得前n项和公式，可求得 ，再运用 可得答案.
【详解】设数列 的首项为 ，数列 的前n项和为 ，则由已知得
一､填空题（第1—6题每题4分，第7—12题每题5分，满分54分）
1. 已知集合 ， ，则 ___________.
【1题答案】
【答案】
【解析】
【分析】
利用交集的定义直接求解即可
【详解】解：因为集合 ， ，
所以 ，
故答案为：
2. 抛物线 的准线方程为______________.
上海市浦东新区进才中学2024届高三上学期11月月考数学试题
n
ö ÷ø
的展开式中恰好第
5
项的二项式系数最大，则展开式中含
x2
项的
系数是 ．
9．已知函数
f
(
x)
=
ìï2 - x ,( x
í ïî
x2
-
4
x
+
£ 2) 4,( x
>
2)
．若
f
(
f
(m))
³
0
，则实数
m
的取值范围是
．
试卷第11 页，共33 页
10．已知
f(x)＝x2，g(x)＝
æ çè
1 2
ö ÷ø
设 cos x = t Î[-1,1] ， f (t) = 4t2 + 2t - 2 ，
令
f
(t)
=
0
，得
t
=
1 2
或t
=
-1 ，
所以当 t
Î
(-1,
1) 2
时，
f
(t )
<
0
，
即在 (-πk+π2kπ
,
-
π 3
+2
)
和
(
π 3
+
2kπ,πkπ+k2
Z)(
Î
y ) 上 单调递减，
当t
Î
(
1 2
,1)
3
12．设常数 a Î R ，函数 f ( x ) = a sin 2 x + 2cos2 x . (1)若 f ( x) 为偶函数，求 a 的值；
(2)若
f
æ çè
π 4
ö ÷ø
上海市进才中学2023-2024学年高三上学期期中考试数学试卷
-1}
是等比数列，求得
an
-1=
3n
，由已知可得出
k
³
2n 3n
5
，令
f
(n)
=
2n 3n
5
(nÎ
N*
)
，分析数列{
f
(n)}
的单调性，求出数列{
f
(n)}
最大项的值，即可得
出实数 k 的最小值.
【详解】由 an+1 = 3an - 2 有 an+1 -1 = 3( an -1) ，且 a1 -1 = 4 -1 = 3 ，
可得圆 C 的半径为 3 ，
因为圆心 C (1,0) 到直线 5x +12 y + 8 = 0 的距离为 5 + 0 + 8 = 1，
AB = CD = 2EF = 2BC = 8 ， EA = ED = FB = FC = 3 ，则五面体 FE - ABCD 的表面积为 ．
11．已知 f (x) = sinwx coswx -
3 cos2 w x
(w > 0) ， x1, x2 是函数 y =
f
(
x)
+
2
+ 2
3 的两个
零点，且
x1
-
x2
min
=
π
，当
x Î éêë0,
7π 12
ù úû
时，
f
(x)
最小值与最大值之和为
．
12．已知一个正方形
ABCD
的四个顶点都在函数
f
(x)
=
x3
-
9 2
x
+ 1 的图象上，则此正方
2020-2021学年上海市浦东新区进才中学高三上学期期中数学试卷 (解析版)
2020-2021学年上海市浦东新区进才中学高三（上）期中数学试卷一、填空题（共12小题）.1．（4分）集合U＝R，集合A＝{x|x﹣3＞0}，B＝{x|x+1＞0}，则B∩∁U A＝．2．（4分）已知角α的终边过点（3，﹣4），则sinα＝．3．（4分）函数f（x）＝的定义域是．4．（4分）（2x﹣1）6的展开式中含x3的项的系数为．5．（4分）设等差数列{a n}的前n项之和S n满足S10﹣S5＝40，那么a8＝．6．（4分）在△ABC中，已知tan A＝1，tan B＝2，则tan C＝．7．（5分）方程cos（3x+）＝0在[0，π]上的解的个数为．8．（5分）若实数x，y满足x2+y2＝1，则xy的取值范围是．9．（5分）已知定义在[﹣a，a]上的函数f（x）＝cos x﹣sin x是减函数，其中a＞0，则当a 取最大值时，f（x）的值域是．10．（5分）设a、b∈R，且a≠2、b＞0，若定义在区间（﹣b，b）上的函数f（x）＝lg 是奇函数，则a+b的值可以是.（写出一个值即可）11．（5分）已知等比数列{a n}的首项为2，公比为﹣，其前n项和记为S n．若对任意的n∈N*，均有A≤3S n﹣≤B恒成立，则B﹣A的最小值为．12．（5分）已知函数f（x）＝，若函数g（x）＝f（x）﹣|kx2﹣2x|（k∈R）恰有4个不同的零点，则k的取值范围是．二、选择题（共4小题）.13．（5分）对于任意实数a，b，c，d，下列命题正确的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若ac2＞bc2，则a＞bC．若a＞b，则D．若a＞b＞0，c＞d，则ac＞bd 14．（5分）关于函数f（x）＝sin x+，下列观点正确的是（）A．f（x）的图象关于直线x＝0对称B．f（x）的图象关于直线对称C．f（x）的图象关于直线对称D．f（x）的图象关于直线x＝π对称15．（5分）设函数y＝f（x）存在反函数y＝f﹣1（x），且函数y＝x﹣f（x）的图象过点（1，3），则函数y＝f﹣1（x）+3的图象一定经过定点（）A．（1，1）B．（3，1）C．（﹣2，4）D．（﹣2，1）16．（5分）已知a1，a2，a3，a4均为正数，且a1+a2+a3+a4＝10，以下有两个命题：命题一：a1，a2，a3，a4中至少有一个数小于3；命题二：若a1a2a3a4＝7，则a1，a2，a3，a4中至少有一个数不大于1．关于这两个命题正误的判断正确的是（）A．命题一错误、命题二错误B．命题一错误、命题二正确C．命题一正确、命题二错误D．命题一正确、命题二正确三、解答题（满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，正方形ABCD的边长为2，PA＝4，设E为侧棱PC的中点．（1）求正四棱锥E﹣ABCD的体积V；（2）求直线BE与平面PCD所成角θ的大小．18．（14分）已知f（x）＝ax2﹣（a+1）x，g（x）＝﹣a+13x，其中a∈R．（1）当a＜0时，解关于x的不等式f（x）＜0；（2）若f（x）＜g（x）在x∈[2，3]时恒成立，求实数a的取值范围．19．（14分）在△ABC中，已知tan A＝．（1）若△ABC外接圆的直径长为，求BC的值；（2）若△ABC为锐角三角形，其面积为6，求BC的取值范围．20．（16分）已知{a n}为等差数列，前n项和为，{b n}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3＝12，b3＝a4+a1，S16＝16b4．（1）求{a n}和{b n}的通项公式；（2）求数列{a n•b n}的前n项和；（3）设集合，，将A∪B的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{c n}，记U n为数列{c n}的前n项和，求|U n﹣2020|的最小值．21．（18分）设f（x）是定义在D上的函数，若对任何实数α∈（0，1）以及D中的任意两数x1、x2，恒有f（αx1+（1﹣α）x2）≤αf（x1）+（1﹣α）f（x2），则称f（x）为定义在D上的C函数．（1）判断函数f（x）＝x2是否是定义域上的C函数，说明理由；（2）若f（x）是R上的C函数，设a n＝f（n），n＝0，1，2，…，m，其中m是给定的正整数，a0＝0，a m＝2m，记S f＝a1+a2+…+a m，对满足条件的函数f（x），试求S f的最大值；（3）若f（x）是定义域为R的函数，最小正周期为T，试证明f（x）不是R上的C函数．参考答案一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分或5分，否则一律得零分.1．（4分）集合U＝R，集合A＝{x|x﹣3＞0}，B＝{x|x+1＞0}，则B∩∁U A＝（﹣1，3]．解：∵集合U＝R，集合A＝{x|x﹣3＞0}＝{x|x＞3}，B＝{x|x+1＞0}＝{x|x＞﹣1}，∴∁U A＝{x|x≤3}，∴B∩∁U A＝{x|﹣1＜x≤3}＝（﹣1，3]．故答案为：（﹣1，3]．2．（4分）已知角α的终边过点（3，﹣4），则sinα＝．解：∵角α的终边过点（3，﹣4），∴x＝3，y＝﹣4，r＝5，∴sinα＝＝﹣，故答案为：．3．（4分）函数f（x）＝的定义域是[﹣1，2]．解：由题意得：3﹣|1﹣2x|≥0，即|2x﹣1|≤3，故﹣3≤2x﹣1≤3，解得：﹣1≤x≤2，故函数的定义域是[﹣1，2]，故答案为：[﹣1，2]．4．（4分）（2x﹣1）6的展开式中含x3的项的系数为﹣160．解：（2x﹣1）6的展开式的通项公式为T r+1＝•（﹣1）r•（2x）6﹣r，令6﹣r＝3，可得r＝3，故展开式中含x3的项的系数为﹣•23＝﹣160，故答案为：﹣160．5．（4分）设等差数列{a n}的前n项之和S n满足S10﹣S5＝40，那么a8＝8．解：由S10﹣S5＝a6+a7+…+a10＝（a6+a10）+（a7+a9）+a8＝5a8＝40，所以a8＝8．故答案为：86．（4分）在△ABC中，已知tan A＝1，tan B＝2，则tan C＝3．解：在△ABC中，∵已知tan A＝1，tan B＝2，∴tan C＝tan[π﹣（A+B）]＝﹣tan（A+B）＝﹣＝﹣＝3，故答案为：3．7．（5分）方程cos（3x+）＝0在[0，π]上的解的个数为3．解：由cos（3x+）＝0，可得3x+＝kπ+，k∈Z，解得x＝+，k∈Z，可得在[0，π]上的解为，，，共3个解．故答案为：3．8．（5分）若实数x，y满足x2+y2＝1，则xy的取值范围是[﹣，]．【解答】因为x2+y2＝1，所以可设x＝cosθ，y＝sinθ，则xy＝cosθsinθ＝sin2θ∈[﹣，]故答案为[﹣，]9．（5分）已知定义在[﹣a，a]上的函数f（x）＝cos x﹣sin x是减函数，其中a＞0，则当a 取最大值时，f（x）的值域是[0，]．解：∵定义在[﹣a，a]上的函数f（x）＝cos x﹣sin x＝cos（x+）是减函数，其中a ＞0，∴x+∈[﹣a+，a+]，∴﹣a+≥0，且a+≤π，求得0＜a≤，故a的最大值为，则当a取最大值时，x+∈[0，]，f（x）＝cos（x+）的值域为[0，]，故答案为：[0，]．10．（5分）设a、b∈R，且a≠2、b＞0，若定义在区间（﹣b，b）上的函数f（x）＝lg是奇函数，则a+b的值可以是﹣2.（写出一个值即可）解：根据题意，函数f（x）＝lg是奇函数，则有f（﹣x）+f（x）＝0，即lg+lg＝lg＝0，则有a2＝4，解可得a＝±2，又由a≠2，则a＝﹣2，则f（x）＝lg，有＞0，解可得：﹣＜x＜，即函数的定义域为（﹣，），即0＜b≤，故有﹣2≤a+b≤﹣，故答案为：﹣2，（答案不唯一）11．（5分）已知等比数列{a n}的首项为2，公比为﹣，其前n项和记为S n．若对任意的n∈N*，均有A≤3S n﹣≤B恒成立，则B﹣A的最小值为．解：S n＝＝﹣•（﹣）n，①n为奇数时，S n＝+•（）n，可知：S n单调递减，且S n＝，∴＜S n≤S1＝2；②n为偶数时，S n＝﹣•（）n，可知：S n单调递增，且S n＝，∴＝S2≤S n＜，∴S n的最大值与最小值分别为：2，，考虑到函数y＝3t﹣在（0，+∞）上单调递增，∴A≤（3S n﹣）min＝3×﹣＝，B≥（3S n﹣）max＝3×2﹣＝，∴B﹣A的最小值＝﹣＝，故答案为：．12．（5分）已知函数f（x）＝，若函数g（x）＝f（x）﹣|kx2﹣2x|（k∈R）恰有4个不同的零点，则k的取值范围是（﹣∞，0）∪（2，+∞）．解：若函数g（x）＝f（x）﹣|kx2﹣2x|（k∈R）恰有4个零点，则f（x）＝|kx2﹣2x|有四个根，即y＝f（x）与y＝h（x）＝|kx2﹣2x|有四个交点，当k＝0时，y＝f（x）与y＝|﹣2x|＝2|x|图象如下：两图象只有两个交点，不符合题意；当k＜0时，y＝|kx2﹣2x|与x轴交于两点x1＝0，x2＝（x2＜x1），图象如图所示：当x＝时，函数y＝|kx2﹣2x|的函数值为﹣，函数y＝﹣x的函数值为﹣，∴两图象有4个交点，符合题意；当k＞0时，y＝|kx2﹣2x|与x轴交于两点x1＝0，x2＝（x2＞x1），在[0，）内两函数图象有两个交点，则若有四个交点，只需y＝x3与y＝kx2﹣2x在（，+∞）内有两个交点即可，即x3＝kx2﹣2x在（，+∞）还有两个根，也就是k＝x+在（，+∞）内有两个根，函数y＝x+≥2，（当且仅当x＝时，取等号），∴0＜＜，且k＞2，得k＞2，综上所述，k的取值范围为（﹣∞，0）∪（2，+∞）．故答案为：（﹣∞，0）∪（2，+∞）．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且仅有一个正确。
上海市进才中学2024届高三上学期10月月考数学试题
【详解】因为
S7
= 14
，所以有
7(a1 + 2
a7 )
= 14
Þ
a1
+
a7
=
4
Þ
a3
+
a5
=
4，
故答案为： 4 3． -3 【分析】利用复数相等即可求出结果.
【详解】因为 (1+ ai)i = i + ai2 = -a + i = 3 + i ，
Hale Waihona Puke 则由复数相等可得： -a = 3 ，
即 a = -3 .
二、单选题 13．下列函数中，既是定义域内单调递增函数，又是奇函数的为（ ）
A． f ( x) = tanx
B．
f
(x)
=
-
1 x
C． f ( x) = x - cosx
D． f ( x) = ex - e-x
14．已知 x > y > z 且 x + y + z = 0 ，则下列不等式恒成立的是（ ）
标均为整数的点）；命题②：曲线 C 上任意一点到原点的距离都不大于 2 2 .下列判断
正确的是（ ） A．①为真命题，②为假命题 C．①②均为假命题
B．①为假命题，②为真命题 D．①②均为真命题
三、解答题 17．如图，在四棱锥 O - ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，其中 AB = 1， AD = 2 ， OA ^
底面 ABCD ， OA = 2 ， M 为 OA 的中点， N 为 BC 的中点.
(1)证明：直线 MN / / 平面 OCD ； (2)求点 B 到平面 OCD 的距离.
18．1.已知函数
上海市进才中学2018-2019学年高三下3月月考数学试题
进才中学2018-2019学年度第二学期高三年级3月月考数学试题一、填空题1.若集合{}{}，＜，2|31|x x B x x A =≤≤=则=B A _________. 2.方程23log log 3=+x x 的解是=x ________.4.若圆锥的侧面积为2π,底面积为π,则该圆锥的体积为_________.5.若关于y x 、的方程组⎩⎨⎧=-+=-+02401ay x y ax 有无数多组解,则实数=a ________.6.若()*1N n x x n ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+展开式中各项系数的和等于64,则展开式中3x 的系数是________. 7.设n m 、分别为连续两次娜骰子得到的点数,且向量()()，，，，11-==b n m a 则a 与b 的夹角为锐角的概率是_______.8.已知函数()，x xx f --=2019若对任意的R x ∈都有()()，＜02ax f a x f ++则实数a 的取值范围是________. 9.已知实数，＞1m 实数y x 、满足不等式，⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤≥12y x x y x y 若有目标函数my x z +=的最大值等于3，则m 的值是_________.10.在△4BC 中,()，02=⋅-则角A 的最大值为_______(结果用反三角形式表示). 1l.已知数列{}n a 是首项为1,公差为m 2的等差数列,其前n 项和为，n S 设 ()，*2N n n S b n n n ∈⋅=若数列{}n b 是递减数列,则m 的取值范围是__________.12.已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧≤+--++=03012x ax x x x a x x f ，＞，的最小值为，1+a 则实数a 的取值范围是_____. 二、选择题13.若，，R b a ∈则“22b a ＞”是“b a ＞”的A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件14.设n m l 、、表示三条直线,γβα、、表示是三个平面,给出下列四个命题：①若，，αα⊥⊥m l 则；∥m l②若n m ，β⊂是l 在β内的射影,，l m ⊥则；n m ⊥③若，∥，n m m β⊂则；∥αn④若，，γβγα⊥⊥则.βα∥其中真命题为A.①②B.①②③C.②③④D.①③④15.已知双曲O y x C ，13:22=-为坐标点,F 为C 的右焦点,过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N,若△OMN 为直角三角形,则MN 的值为 A.23 B.3 C.32 D.4 16.已知集合(){}，，1|≤+=y x y x M 若实数对()μλ，满足:对任意的()，，M y x ∈都有 ()，，M y x ∈μλ则称()μλ，是集合M 的“嵌入实数对”，则以下集合中,不存在集合M 的 “嵌入实数对”的是A.(){}2|=-μλμλ，B.(){}232|22=+μλμλ，C.(){}2|22=-μλμλ，D.(){}2|22=+μλμλ， 三、解答题17.如图,PA ⊥平面ABCD,四边形ABCD 为矩形,PA=AB=1,AD=2,点F 是PE 的中点,点E 在边BC 上移动.(1)求三棱锥PAD E -的体积；(2)证明:无论点E 在边BC 的何处,都有AF⊥PE .18.已知函数()()0sin 3＞ωωx x f =的部分图像如图所示,P 、Q 分别是图像上相邻的一个最高点和最低点，R 为图像与x 轴的交点,且四边形OQPR 为矩形.(1)求点P 的坐标并求()x f 解析式；(2)将()x f y =的图像向右平移21个单位长度后,得到函数()x g y =图像,已知: ()，，，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=252333ααg 求()αf 的值.19.某通讯公式生产某款手机的年固定成本为40万美元,每生产1只还需另投入16美元,设通讯公司一年内共生产该款手机x 万只并全部销售完,每万只的销售收入为()x R 万美元，且().4040000740040064002⎪⎩⎪⎨⎧-≤-=＞，＜，x x xx x x R (1)写出年利润w (万美元)关于年产量x (万只)的函数解析式；(2)当年产里为多少万只时,该通讯公司在该款手机的生产中所获得的利润最大?并求出最大利润.20.如图，由半圆()00222＞，r y r y x ≥=+和部分抛物线()()0012＞，a y x a y ≥-=合成的曲线C 称为“羽毛球开线”,曲线C 与x 轴有A 、B 两个焦点,且经过点().32，(1)求r a 、的值；(2)设()，，20N M 为曲线C 上的动点，求MN 的最小值；(3)过A 且斜率为k 的直线l 与“羽毛球形线”相交于点P 、A 、Q 三点,问是否存在实数，k 使得∠QBA=∠PBA?若存在,求出k 的值；若不存在,请说明理由。
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上海市进才中学2008届高三月考(三)暨期中考试理科数学试题满分：150分 时间：120分钟 命题人：李文邗 审题人：卢 明一、填空题（本大题满分44分，本大题共有11题，每题4分） 1．函数||12)(x x f -=的值域为___________。
2．设集合},51|{Z x x x M ∈≤≤=，非空集合A 满足以下条件：①M A ；②若A x ∈，则A x ∈-5。
试写出满足条件的一个集合=A _____________（写出一个即可）。
3．已知集合}1|||{≤-=a x x A ，}045|{2≥+-=x x x B 。
若∅=B A ，则实数a 的取值范围是____________。
4．已知z 为复数，若44=z ，则z 的一个值可以为___________（只要写出一个即可）。
5．已知+∈R y x ,，且12=+y x ，则yx 11+的最小值为____________。
6．函数)0,0()(sin >>+=ωϕωA x A y 的图象的一个最高点为)2,6(πP ，与之相邻的一个最低 点为)2,3(-πQ ，则=ω________。
7．对于非零实数b a 、，则下列四个命题都成立： ①01≠+aa ；②2222)(b ab a b a ++=+；③若||||b a =，则b a ±=；④若ab a =2，则b a =。
那么，对于非零复数b a 、，仍然成立的命题的所有序号是____________。
8．已知）（x f y 1-=是⎩⎨⎧<<-<<-+=)10()01(1x x x x x f ）（的反函数，则函数)()()(1x f x f x g -+=的表达式是=)(x g ______________。
9．ABC ∆中，如果c b a 、、成等差数列， 30=∠B ，ABC ∆的面积为23，那么=b ________。
10．符号][x 表示不超过x 的最大整数，如2]08.1[,3][-=-=π。
定义函数][}{x x x -=，给出如下四个命题：①函数}{x 的定义域为R ，值域为]1,0[；②方程21}{=x 有无数解；③函数}{x是周期函数；④函数}{x 是R 上的增函数。
其中正确命题的序号是____________。
≠⊂11．对于在区间],[b a 上有意义的两个函数)(x f 和)(x g ，如果对任意],[b a x ∈，均有 1|)()(|≤-x g x f , 那么我们称)(x f 和)(x g 在],[b a 上是接近的。
若)1(log )(2+=ax x f 与x x g 2log )(=在闭区间]2,1[上是接近的，则a 的取值范围是__________。
二、选择题（本大题满分16分，本大题共有4题，每题4分） 12．“0)0(=f ”是“函数)(x f 是奇函数”的 （ ） （A ）仅充分条件 （B ）仅必要条件 （C ）充要条件 （D ）非充分非必要条件13．已知βα、是不同的两个锐角，则下列各式中一定不成立的是 （ ）（A ）0)sin(sin cos 2)sin(>-+++βαβαβα （B ）0)cos(sin sin 2)cos(<-+++βαβαβα（C ）0)cos(sin sin 2)cos(>-+-+βαβαβα （D ）0)sin(sin cos 2)sin(<-+-+βαβαβα14．2002年8月在北京召开了国际数学家大会，会标如图示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中较小的锐角为θ，大正方形面积是1, 小正方形面积是251，则 θθ22cos sin -的值是 （ ）（A ）1 （B ）257 （C ）257- （D ）252415．由方程1||||=+y y x x 确定的函数)(x f y =在),(∞+-∞上是（ ）（A ）增函数 （B ）减函数 （C ）先增后减 （D ）先减后增三、解答题（本大题满分90分，本大题共有6题） 16．（本题满分12分）第1小题满分6分，第2小题满分6分。
已知z 是复数，izi z -+22、均为实数（i 为虚数单位）。
（1）求复数z ；（2）复数2)(i a z +在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围。
17．（本题满分14分）第1小题满分7分，第2小题满分7分。
已知函数a x x x x f ++=cos sin 32cos 2)(2（a 为常数）。
（1）若R x ∈，求)(x f 的最大值及当)(x f 取得最大值时自变量x 的集合； （2）若]2,0[π∈x 时，2|)(|<x f 恒成立，求实数a 的取值范围。
18．（本题满分14分）第1小题满分6分，第2小题满分8分。
某工厂生产的新型儿童玩具，当每天的产品数量依次为98,,3,2,1 件时，废品率依次为1,,972,982,992 。
正品每件赢利10元，废品每件亏本5元（正品率与废品率之和等于1）。
（1）设每日可获得的利润为y 元，将y 表示为每天生产的玩具数量x 的函数)(x f y =；（2）每日生产多少件玩具，才能使所获利润最大，最大值是多少？（精确到01.0元）19．（本题满分14分）第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分6分。
已知C B A 、、是ABC ∆的三个内角，)(cos cos sin 2cot C B A AA y -++=。
（1）若ABC ∆是正三角形，求y 的值；（2）若任意交换ABC ∆中两个角的位置，y 的值是否变化？证明你的结论； （3）若ABC ∆中有一内角为 45，求y 的最小值。
20．（本题满分18分）第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分。
已知111)(++++=x x x x x f 及111)(++-+=x x xx x g 。
（1）分别求)()(x g x f 、的定义域，并求)()(x g x f ⋅的值；（2）求)(x f 的最小值并说明理由；（3）若1,,12+==++=x c x t b x x a ，是否存在满足下列条件的正数t ，使得对于任意的正数x ，c b a 、、都可以成为某个三角形三边的长？若存在，则求出t 的取值范围；若不存在，请说明理由。
21．（本题满分18分）第1小题满分6分，第2小题满分4分，第3小题满分8分。
为研究“原函数与其反函数的图象的交点是否在直线x y =上”这个课题，我们分三步研究：（1）首先选取如下函数：12+=x y ，12+=x xy ，1+-=x y ，分别求出以上函数与其反函数图象的交点坐标；（2）观察分析上述结果得到研究结论；（3）对得到的结论进行证明。
上海市进才中学2008届高三月考三暨期中考试（理科）数学试题满分：150分 时间：120分钟 命题人：李文邗 审题人：卢 明一、填空题（本大题满分44分，本大题共有11题，每题4分） 1．函数||12)(x x f -=的值域为]2,0(。
2．设集合},51|{Z x x x M ∈≤≤=，非空集合A 满足以下条件：①M A ；②若A x ∈，则 A x ∈-5。
试写出满足条件的一个集合=A )(}4,3,2,1{,}3,2{,}4,1{以上集合写出一个即可。
3．已知集合}1|||{≤-=a x x A ，}045|{2≥+-=x x x B 。
若∅=B A ，则实数a 的取值范围是)3,2(。
≠⊂4．已知z 为复数，若44=z ，则z 的一个值可以为均可i i 2,2,2,2--（只要写出一个即可）。
5．已知+∈R y x ,，且12=+y x ，则yx 11+的最小值为223+。
6．函数)0,0()(sin >>+=ωϕωA x A y 的图象的一个最高点为)2,6(πP ，与之相邻的一个最低 点为)2,3(-πQ ，则=ω 67．对于非零实数b a 、，则下列四个命题都成立： ①01≠+aa ；②2222)(b ab a b a ++=+；③若||||b a =，则b a ±=；④若ab a =2，则b a =。
那么，对于非零复数b a 、，仍然成立的命题的所有序号是 ②④ 。
8．已知）（x f y 1-=是⎩⎨⎧<<-<<-+=)10()01(1x x x x x f ）（的反函数，则函数)()()(1x f x f x g -+=的表达式是：=)(x g ⎩⎨⎧<<-<<-)10(1)01(1x x 。
9．ABC ∆中，如果c b a 、、成等差数列， 30=∠B ，ABC ∆的面积为23，那么=b 31+。
10．符号][x 表示不超过x 的最大整数，如2]08.1[,3][-=-=π。
定义函数][}{x x x -=，给出如下四个命题：①函数}{x 的定义域为R ，值域为]1,0[；②方程21}{=x 有无数解；③函数}{x是周期函数；④函数}{x 是R 上的增函数。
其中正确命题的序号是 ②③ 。
11．对于在区间],[b a 上有意义的两个函数)(x f 和)(x g ，如果对任意],[b a x ∈，均有1|)()(|≤-x g x f , 那么我们称)(x f 和)(x g 在],[b a 上是接近的。
若)1(log )(2+=ax x f 与x x g 2log )(=在闭区间]2,1[上是接近的，则a 的取值范围是]1,0[。
二、选择题（本大题满分16分，本大题共有4题，每题4分） 12．“0)0(=f ”是“函数)(x f 是奇函数”的 （ D ） （A ）仅充分条件 （B ）仅必要条件 （C ）充要条件 （D ）非充分非必要条件13．已知βα、是不同的两个锐角，则下列各式中一定不成立的是 （ B ）（A ）0)sin(sin cos 2)sin(>-+++βαβαβα （B ）0)cos(sin sin 2)cos(<-+++βαβαβα（C ）0)cos(sin sin 2)cos(>-+-+βαβαβα （D ）0)sin(sin cos 2)sin(<-+-+βαβαβα14．2002年8月在北京召开了国际数学家大会，会标如图示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中较小的锐角为θ，大正方形面积是1, 小正方形面积是251，则 θθ22cos sin -的值是 （ C ）（A ）1 （B ）257 （C ）257- （D ）252415．由方程1||||=+y y x x 确定的函数)(x f y =在),(∞+-∞上是（ B ）（A ）增函数 （B ）减函数 （C ）先增后减 （D ）先减后增三、解答题（本大题满分90分，本大题共有6题） 16．（本题满分12分）第1小题满分6分，第2小题满分6分。