高一数学下学期期中试题
人教版高一下学期期中考试数学试卷及答案解析(共五套)
人教版高一下学期期中考试数学试卷（一）注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是（）A．B．C．D．2.已知复数z满足z（3+i）＝3+i2020，其中i为虚数单位，则z的共轭复数的虚部为（）A．B．C．D．3.如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，则•的值为（）A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．4.设i是虚数单位，则2i+3i2+4i3+……+2020i2019的值为（）A．﹣1010﹣1010i B．﹣1011﹣1010iC．﹣1011﹣1012i D．1011﹣1010i5.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与CD所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），△ABC的面积为a2sin，则C＝（）A．B．C．D．7.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列四个结论中错误的是（）A．直线B1C与直线AC所成的角为60°B．直线B1C与平面AD1C所成的角为60°C．直线B1C与直线AD1所成的角为90°D．直线B1C与直线AB所成的角为90°8.如图，四边形ABCD为正方形，四边形EFBD为矩形，且平面ABCD与平面EFBD互相垂直．若多面体ABCDEF的体积为，则该多面体外接球表面积的最小值为（）A．6πB．8πC．12πD．16π二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2+bc，则角A可为（）A．B．C．D．10.如图，四边形ABCD为直角梯形，∠D＝90°，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．11.下列说法正确的有（）A．任意两个复数都不能比大小B．若z＝a+bi（a∈R，b∈R），则当且仅当a＝b＝0时，z＝0C．若z1，z2∈C，且z12+z22＝0，则z1＝z2＝0D．若复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的最大值为312.如图，已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，E，F分别是BC，A1C的中点，则（）A．B．C．向量与向量的夹角是60°D．异面直线EF与DD1所成的角为45°三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知正方形ABCD的边长为2，点P满足＝（+），则||＝；•＝．14.若虛数z1、z2是实系数一元二次方程x2+px+q＝0的两个根，且，则pq＝．15.已知平面四边形ABCD中，AB＝AD＝2，BC＝CD＝BD＝2，将△ABD沿对角线BD折起，使点A到达点A'的位置，当A'C＝时，三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．16.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为，在该圆锥内放置一个棱长为a 的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a的最大值为．四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BD＝CD＝1．（1）若AB＝，求BC；（2）若AB＝2BC，求cos∠BDC．18.（1）已知z1=1﹣2i，z2=3+4i，求满足=+的复数z．（2）已知z，ω为复数，（1+3i）﹣z为纯虚数，ω=，且|ω|=5．求复数ω．19.如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米．观察者从距离墙x（x＞1）米，离地面高a（1≤a≤2）米的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB＝θ．（1）若a＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？（2）若tanθ＝，当a变化时，求x的取值范围．20.如图，已知复平面内平行四边形ABCD中，点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，对应的复数为4﹣4i．（Ⅰ）求D点对应的复数；（Ⅱ）求平行四边形ABCD的面积．21.如图所示，等腰梯形ABFE是由正方形ABCD和两个全等的Rt△FCB和Rt△EDA组成，AB＝1，CF＝2．现将Rt△FCB沿BC所在的直线折起，点F移至点G，使二面角E﹣BC﹣G的大小为60°．（1）求四棱锥G﹣ABCE的体积；（2）求异面直线AE与BG所成角的大小．22.如图，四边形MABC中，△ABC是等腰直角三角形，AC⊥BC，△MAC是边长为2的正三角形，以AC为折痕，将△MAC向上折叠到△DAC的位置，使点D在平面ABC内的射影在AB上，再将△MAC向下折叠到△EAC的位置，使平面EAC⊥平面ABC，形成几何体DABCE．（1）点F在BC上，若DF∥平面EAC，求点F的位置；（2）求直线AB与平面EBC所成角的余弦值．参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据共线向量的定义即可得结论．【解答】解：由题，点C是线段AB靠近点B的三等分点，＝3＝﹣3，所以选项A错误；＝2＝﹣2，所以选项B和选项C错误，选项D正确．故选：D．【知识点】平行向量（共线）、向量数乘和线性运算2.已知复数z满足z（3+i）＝3+i2020，其中i为虚数单位，则z的共轭复数的虚部为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．【解答】解：∵z（3+i）＝3+i2020，i2020＝（i2）1010＝（﹣1）1010＝1，∴z（3+i）＝4，∴z＝，∴＝，∴共轭复数的虚部为，故选：D．【知识点】复数的运算3.如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，则•的值为（）A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．【答案】C【分析】利用图形，求出数量积的向量，然后转化求解即可．【解答】解：由题意，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，可知＝+＝，＝﹣＝﹣2，所以•＝（）•（﹣2）＝﹣2﹣2＝1．故选：C．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算4.设i是虚数单位，则2i+3i2+4i3+……+2020i2019的值为（）A．﹣1010﹣1010i B．﹣1011﹣1010iC．﹣1011﹣1012i D．1011﹣1010i【答案】B【分析】利用错位相减法、等比数列的求和公式及其复数的周期性即可得出．【解答】解：设S＝2i+3i2+4i3+ (2020i2019)∴iS＝2i2+3i3+ (2020i2020)则（1﹣i）S＝i+i+i2+i3+……+i2019﹣2020i2020．＝＝i+＝＝﹣2021+i，∴S＝＝．故选：B．【知识点】复数的运算5.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与CD所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°【答案】B【分析】易知∠ABA1即为所求，再由△ABA1为等腰直角三角形，得解．【解答】解：因为AB∥CD，所以∠ABA1即为异面直线A1B与CD所成的角，因为△ABA1为等腰直角三角形，所以∠ABA1＝45°．故选：B．【知识点】异面直线及其所成的角6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），△ABC的面积为a2sin，则C＝（）A．B．C．D．【答案】C【分析】先利用正弦定理将已知等式中的边化角，再结合两角和公式与三角形的内角和定理，可推出sin B＝2sin A；然后利用三角形的面积公式、正弦定理，即可得解．【解答】解：由正弦定理知，＝＝，∵（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），∴（sin A﹣2sin B）cos C＝sin C（2cos B﹣cos A），即sin A cos C+sin C cos A＝2（sin B cos C+cos B sin C），∴sin（A+C）＝2sin（B+C），即sin B＝2sin A．∵△ABC的面积为a2sin，∴S＝bc sin A＝a2sin，根据正弦定理得，sin B•sin C•sin A＝sin2A•sin，化简得，sin B•sin cos＝sin A•cos，∵∈（0，），∴cos＞0，∴sin＝＝，∴＝，即C＝．故选：C．【知识点】正弦定理、余弦定理7.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列四个结论中错误的是（）A．直线B1C与直线AC所成的角为60°B．直线B1C与平面AD1C所成的角为60°C．直线B1C与直线AD1所成的角为90°D．直线B1C与直线AB所成的角为90°【答案】B【分析】连接AB1，求出∠ACB1可判断选项A；连接B1D1，找出点B1在平面AD1C上的投影O，设直线B1C与平面AD1C所成的角为θ，由cosθ＝可判断选项B；利用平移法找出选项C和D涉及的异面直线夹角，再进行相关运算，即可得解．【解答】解：连接AB1，∵△AB1C为等边三角形，∴∠ACB1＝60°，即直线B1C与AC所成的角为60°，故选项A正确；连接B1D1，∵AB1＝B1C＝CD1＝AD1，∴四面体AB1CD1是正四面体，∴点B1在平面AD1C上的投影为△AD1C的中心，设为点O，连接B1O，OC，则OC＝BC，设直线B1C与平面AD1C所成的角为θ，则cosθ＝＝＝≠，故选项B错误；连接BC1，∵AD1∥BC1，且B1C⊥BC1，∴直线B1C与AD1所成的角为90°，故选项C正确；∵AB⊥平面BCC1B1，∴AB⊥B1C，即直线B1C与AB所成的角为90°，故选项D正确．故选：B．【知识点】直线与平面所成的角、异面直线及其所成的角8.如图，四边形ABCD为正方形，四边形EFBD为矩形，且平面ABCD与平面EFBD互相垂直．若多面体ABCDEF的体积为，则该多面体外接球表面积的最小值为（）A．6πB．8πC．12πD．16π【答案】A【分析】由题意可得AC⊥面EFBD，可得V ABCDEF＝V C﹣EFBD+V A﹣EFBD＝2V A﹣EFBD，再由多面体ABCDEF 的体积为，可得矩形EFBD的高与正方形ABCD的边长之间的关系，再由题意可得矩形EFBD的对角线的交点为外接球的球心，进而求出外接球的半径，再由均值不等式可得外接球的半径的最小值，进而求出外接球的表面积的最小值．【解答】解：设正方形ABCD的边长为a，矩形BDEF的高为b，因为正方形ABCD，所以AC⊥BD，设AC∩BD＝O'，由因为平面ABCD与平面EFBD互相垂直，AC⊂面ABCD，平面ABCD∩平面EFBD＝BD，所以AC⊥面EFBD，所以V ABCDEF＝V C﹣EFBD+V A﹣EFBD＝2V A﹣EFBD＝2•S EFBD•CO'＝•a•b•a ＝a2b，由题意可得V ABCDEF＝，所以a2b＝2；所以a2＝，矩形EFBD的对角线的交点O，连接OO'，可得OO'⊥BD，而OO'⊂面EFBD，而平面ABCD⊥平面EFBD，平面ABCD∩平面EFBD＝BD，所以OO'⊥面EFBD，可得OA＝OB＝OE＝OF都为外接球的半径R，所以R2＝（）2+（a）2＝+＝+＝++≥3＝3×，当且仅当＝即b＝时等号成立．所以外接球的表面积为S＝4πR2≥4π•3×＝6π．所以外接球的表面积最小值为6π．故选：A．【知识点】球的体积和表面积二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2+bc，则角A可为（）A．B．C．D．【答案】BC【分析】由已知利用余弦定理整理可得cos A＝，对于A，若A＝，可得b＝＜0，错误；对于B，若A＝，可得b＝＞0，对于C，若A＝，可得b＝＞0，对于D，若A＝，可得c＝0，错误，即可得解．【解答】解：因为在△ABC中，a2＝b2+bc，又由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A，所以b2+bc＝b2+c2﹣2bc cos A，整理可得：c＝b（1+2cos A），可得：cos A＝，对于A，若A＝，可得：﹣＝，整理可得：b＝＜0，错误；对于B，若A＝，可得：＝，整理可得：b＝＞0，对于C，若A＝，可得：cos＝＝，整理可得：b＝＞0，对于D，若A＝，可得：cos＝﹣＝，整理可得：c＝0，错误．故选：BC．【知识点】余弦定理10.如图，四边形ABCD为直角梯形，∠D＝90°，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】ABC【分析】由向量的加减法法则、平面向量基本定理解决【解答】解：由，知A正确；由知B正确；由知C正确；由N为线段DC的中点知知D错误；故选：ABC．【知识点】向量数乘和线性运算、平面向量的基本定理11.下列说法正确的有（）A．任意两个复数都不能比大小B．若z＝a+bi（a∈R，b∈R），则当且仅当a＝b＝0时，z＝0C．若z1，z2∈C，且z12+z22＝0，则z1＝z2＝0D．若复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的最大值为3【答案】BD【分析】通过复数的基本性质，结合反例，以及复数的模，判断命题的真假即可．【解答】解：当两个复数都是实数时，可以比较大小，所以A不正确；复数的实部与虚部都是0时，复数是0，所以B正确；反例z1＝1，z2＝i，满足z12+z22＝0，所以C不正确；复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的几何意义，是复数的对应点到（0，﹣2）的距离，它的最大值为3，所以D正确；故选：BD．【知识点】复数的模、复数的运算、虚数单位i、复数、命题的真假判断与应用12.如图，已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，E，F分别是BC，A1C的中点，则（）A．B．C．向量与向量的夹角是60°D．异面直线EF与DD1所成的角为45°【答案】ABD【分析】在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，建立合适的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，根据空间向量的坐标运算，以及异面直线所成角的向量求法，逐项判断即可．【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1为x 轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则A（0，0，0），A1（0，0，2），B（2，0，0），B1（2，0，2），C （2，2，0），D（0，2，0），D1（0，2，2），所以，故，故选项A正确；又，又，所以，，则，故选项B正确；，所以，因此与的夹角为120°，故选项C错误；因为E，F分别是BC，A1C的中点，所以E（2，1，0），F（1，1，1），则，所以，又异面直线的夹角大于0°小于等于90°，所以异面直线EF与DD1所成的角为45°，故选项D正确；故选：ABD．【知识点】异面直线及其所成的角三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知正方形ABCD的边长为2，点P满足＝（+），则||＝；•＝．【分析】根据向量的几何意义可得P为BC的中点，再根据向量的数量积的运算和正方形的性质即可求出．【解答】解：由＝（+），可得P为BC的中点，则|CP|＝1，∴|PD|＝＝，∴•＝•（+）＝﹣•（+）＝﹣2﹣•＝﹣1，故答案为：，﹣1．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算14.若虛数z1、z2是实系数一元二次方程x2+px+q＝0的两个根，且，则pq＝．【答案】1【分析】设z1＝a+bi，则z2＝a﹣bi，（a，b∈R），根据两个复数相等的充要条件求出z1，z2，再由根与系数的关系求得p，q的值．【解答】解：由题意可知z1与z2为共轭复数，设z1＝a+bi，则z2＝a﹣bi，（a，b∈R 且b≠0），又，则a2﹣b2+2abi＝a﹣bi，∴（2a+b）+（a+2b）i＝1﹣i，∴，解得．∴z1＝+i，z2＝i，（或z2＝+i，z1＝i）．由根与系数的关系，得p＝﹣（z1+z2）＝1，q＝z1•z2＝1，∴pq＝1．故答案为：1．【知识点】复数的运算15.已知平面四边形ABCD中，AB＝AD＝2，BC＝CD＝BD＝2，将△ABD沿对角线BD折起，使点A到达点A'的位置，当A'C＝时，三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．【分析】由题意画出图形，找出三棱锥外接球的位置，求解三角形可得外接球的半径，再由棱锥体积公式求解．【解答】解：记BD的中点为M，连接A′M，CM，可得A′M2+CM2＝A′C2，则∠A′MC＝90°，则外接球的球心O在△A′MC的边A′C的中垂线上，且过正三角形BCD的中点F，且在与平面BCD垂直的直线m上，过点A′作A′E⊥m于点E，如图所示，设外接球的半径为R，则A′O＝OC＝R，，A′E＝1，在Rt△A′EO中，A′O2＝A′E2+OE2，解得R＝．故三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．故答案为：．【知识点】球的体积和表面积16.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为，在该圆锥内放置一个棱长为a的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a的最大值为．【分析】根据题意，该四面体内接于圆锥的内切球，通过内切球即可得到a的最大值．【解答】解：依题意，四面体可以在圆锥内任意转动，故该四面体内接于圆锥的内切球，设球心为P，球的半径为r，下底面半径为R，轴截面上球与圆锥母线的切点为Q，圆锥的轴截面如图：则OA＝OB＝，因为SO＝，故可得：SA＝SB＝＝3，所以：三角形SAB为等边三角形，故P是△SAB的中心，连接BP，则BP平分∠SBA，所以∠PBO＝30°；所以tan30°＝，即r＝R＝×＝，即四面体的外接球的半径为r＝．另正四面体可以从正方体中截得，如图：从图中可以得到，当正四面体的棱长为a时，截得它的正方体的棱长为a，而正四面体的四个顶点都在正方体上，故正四面体的外接球即为截得它的正方体的外接球，所以2r＝AA1＝a＝a，所以a＝．即a的最大值为．故答案为：．【知识点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BD＝CD＝1．（1）若AB＝，求BC；（2）若AB＝2BC，求cos∠BDC．【分析】（1）直接利用余弦定理的应用求出结果；（2）利用余弦定理的应用建立等量关系式，进一步求出结果．【解答】解：（1）在四边形ABCD中，AD＝BD＝CD＝1．若AB＝，所以：cos∠ADB＝＝，由于AB∥CD，所以∠BDC＝∠ABD，即cos∠BDC＝cos∠ABD＝，所以BC2＝BD2+CD2﹣2•BD•CD•cos∠BDC＝＝，所以BC＝．（2）设BC＝x，则AB＝2BC＝2x，由余弦定理得：cos∠ADB＝＝，cos∠BDC＝＝＝，故，解得或﹣（负值舍去）．所以．【知识点】余弦定理18.（1）已知z1=1﹣2i，z2=3+4i，求满足=+的复数z．（2）已知z，ω为复数，（1+3i）﹣z为纯虚数，ω=，且|ω|=5．求复数ω．【分析】（1）把z1，z2代入=+，利用复数代数形式的乘除运算化简求出，进一步求出z；（2）设z=a+bi（a，b∈R），利用复数的运算及（1+3i）•z=（1+3i）（a+bi）=a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，可得，又ω==i，|ω|=5，可得，即可得出a，b，再代入可得ω．【解答】解：（1）由z1=1﹣2i，z2=3+4i，得=+==，则z=；（2）设z=a+bi（a，b∈R），∵（1+3i）•z=（1+3i）（a+bi）=a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，∴．又ω===i，|ω|=5，∴．把a=3b代入化为b2=25，解得b=±5，∴a=±15．∴ω=±（i）=±（7﹣i）．【知识点】复数的运算19.如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米．观察者从距离墙x（x＞1）米，离地面高a（1≤a≤2）米的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB＝θ．（1）若a＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？（2）若tanθ＝，当a变化时，求x的取值范围．【分析】（1）首项利用两角和的正切公式建立函数关系，进一步利用判别式确定函数的最大值；（2）利用两角和的正切公式建立函数关系，利用a的取值范围即可确定x的范围．【解答】解：（1）如图，作CD⊥AF于D，则CD＝EF，设∠ACD＝α，∠BCD＝β，CD＝x，则θ＝α﹣β，在Rt△ACD和Rt△BCD中，tanα＝，tanβ＝，则tanθ＝tan（α﹣β）＝＝（x＞0），令u＝，则ux2﹣2x+1.25u＝0，∵上述方程有大于0的实数根，∴△≥0，即4﹣4×1.25u2≥0，∴u≤，即（tanθ）max＝，∵正切函数y＝tan x在（0，）上是增函数，∴视角θ同时取得最大值，此时，x＝＝，∴观察者离墙米远时，视角θ最大；（2）由（1）可知，tanθ＝＝＝，即x2﹣4x+4＝﹣a2+6a﹣4，∴（x﹣2）2＝﹣（a﹣3）2+5，∵1≤a≤2，∴1≤（x﹣2）2≤4，化简得：0≤x≤1或3≤x≤4，又∵x＞1，∴3≤x≤4．【知识点】解三角形20.如图，已知复平面内平行四边形ABCD中，点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，对应的复数为4﹣4i．（Ⅰ）求D点对应的复数；（Ⅱ）求平行四边形ABCD的面积．【分析】（I）利用复数的几何意义、向量的坐标运算性质、平行四边形的性质即可得出．（II）利用向量垂直与数量积的关系、模的计算公式、矩形的面积计算公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）依题点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，得A（﹣1，0），＝（2，2），可得B（1，2）．又对应的复数为4﹣4i，得＝（4，﹣4），可得C（5，﹣2）．设D点对应的复数为x+yi，x，y∈R．得＝（x﹣5，y+2），＝（﹣2，﹣2）．∵ABCD为平行四边形，∴＝，解得x＝3，y＝﹣4，故D点对应的复数为3﹣4i．（Ⅱ）＝（2，2），＝（4，﹣4），可得：＝0，∴．又||＝2，＝4．故平行四边形ABCD的面积＝＝16．【知识点】复数的代数表示法及其几何意义21.如图所示，等腰梯形ABFE是由正方形ABCD和两个全等的Rt△FCB和Rt△EDA组成，AB＝1，CF＝2．现将Rt△FCB沿BC所在的直线折起，点F移至点G，使二面角E﹣BC﹣G的大小为60°．（1）求四棱锥G﹣ABCE的体积；（2）求异面直线AE与BG所成角的大小．【分析】（1）推导出GC⊥BC，EC⊥BC，从而∠ECG＝60°．连接DG，推导出DG⊥EF，由BC⊥EF，BC⊥CG，得BC⊥平面DEG，从而DG⊥BC，进而DG⊥平面ABCE，DG是四棱锥G ﹣ABCE的高，由此能求出四棱锥G﹣ABCE的体积．（2）取DE的中点H，连接BH、GH，则BH∥AE，∠GBH既是AE与BG所成角或其补角．由此能求出异面直线AE与BG所成角的大小．【解答】解：（1）由已知，有GC⊥BC，EC⊥BC，所以∠ECG＝60°．连接DG，由CD＝AB＝1，CG＝CF＝2，∠ECG＝60°，有DG⊥EF①，由BC⊥EF，BC⊥CG，有BC⊥平面DEG，所以，DG⊥BC②，由①②知，DG⊥平面ABCE，所以DG就是四棱锥G﹣ABCE的高，在Rt△CDG中，．故四棱锥G﹣ABCE的体积为：．（2）取DE的中点H，连接BH、GH，则BH∥AE，故∠GBH既是AE与BG所成角或其补角．在△BGH中，，，则．故异面直线AE与BG所成角的大小为．【知识点】异面直线及其所成的角、棱柱、棱锥、棱台的体积22.如图，四边形MABC中，△ABC是等腰直角三角形，AC⊥BC，△MAC是边长为2的正三角形，以AC为折痕，将△MAC向上折叠到△DAC的位置，使点D在平面ABC内的射影在AB上，再将△MAC向下折叠到△EAC的位置，使平面EAC⊥平面ABC，形成几何体DABCE．（1）点F在BC上，若DF∥平面EAC，求点F的位置；（2）求直线AB与平面EBC所成角的余弦值．【分析】（1）点F为BC的中点，设点D在平面ABC内的射影为O，连接OD，OC，取AC 的中点H，连接EH，由题意知EH⊥AC，EH⊥平面ABC，由题意知DO⊥平面ABC，得DO∥平面EAC，取BC的中点F，连接OF，则OF∥AC，从而OF∥平面EAC，平面DOF∥平面EAC，由此能证明DF∥平面EAC．（2）连接OH，由OF，OH，OD两两垂直，以O为坐标原点，OF，OH，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB与平面EBC所成角的余弦值．【解答】解：（1）点F为BC的中点，理由如下：设点D在平面ABC内的射影为O，连接OD，OC，∵AD＝CD，∴OA＝OC，∴在Rt△ABC中，O为AB的中点，取AC的中点H，连接EH，由题意知EH⊥AC，又平面EAC⊥平面ABC，平面EAC∩平面ABC＝AC，∴EH⊥平面ABC，由题意知DO⊥平面ABC，∴DO∥EH，∴DO∥平面EAC，取BC的中点F，连接OF，则OF∥AC，又OF⊄平面EAC，AC⊂平面EAC，∴OF∥平面EAC，∵DO∩OF＝O，∴平面DOF∥平面EAC，∵DF⊂平面DOF，∴DF∥平面EAC．（2）连接OH，由（1）可知OF，OH，OD两两垂直，以O为坐标原点，OF，OH，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则B（1，﹣1，0），A（﹣1，1，0），E（0，1，﹣），C（1，1，0），∴＝（2，﹣2，0），＝（0，2，0），＝（﹣1，2，﹣），设平面EBC的法向量＝（a，b，c），则，取a＝，则＝（，0，﹣1），设直线与平面EBC所成的角为θ，则sinθ＝＝＝．∴直线AB与平面EBC所成角的余弦值为cosθ＝＝．【知识点】直线与平面平行、直线与平面所成的角人教版高一下学期期中考试数学试卷（二）注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（2﹣i）z对应的点位于虚轴的正半轴上，则复数z对应的点位于（）1.已知复平面内，A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2.平行四边形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点（靠近B），则＝（）A．B．C．D．3.已知向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），若（+）∥（﹣），则t＝（）A．﹣1 B．﹣C．D．14.已知矩形ABCD的一边AB的长为4，点M，N分别在边BC，DC上，当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝0．若+＝x+y，x+y＝3，则线段MN的最短长度为（）A．B．2 C．2D．25.若z∈C且|z+3+4i|≤2，则|z﹣1﹣i|的最大和最小值分别为M，m，则M﹣m的值等于（）A．3 B．4 C．5 D．96.已知球的半径为R，一等边圆锥（圆锥母线长与圆锥底面直径相等）位于球内，圆锥顶点在球上，底面与球相接，则该圆锥的表面积为（）A．R2B．R2C．R2D．R27.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为4的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为（）A．πB．πC．πD．π8.已知半球O与圆台OO'有公共的底面，圆台上底面圆周在半球面上，半球的半径为1，则圆台侧面积取最大值时，圆台母线与底面所成角的余弦值为（）A．B．C．D．二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.下列有关向量命题，不正确的是（）A．若||＝||，则＝B．已知≠，且•＝•，则＝C．若＝，＝，则＝D．若＝，则||＝||且∥10.若复数z满足，则（）A．z＝﹣1+i B．z的实部为1 C．＝1+i D．z2＝2i11.如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为线段AD，CD的中点，AF∩CE＝G，则（）A．B．C．D．12.已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，棱长为2，E为线段B1C上的动点，O为AC的中点，P 为棱CC1上的动点，Q为棱AA1的中点，则以下选项中正确的有（）A．AE⊥B1CB．直线B1D⊥平面A1BC1C．异面直线AD1与OC1所成角为D．若直线m为平面BDP与平面B1D1P的交线，则m∥平面B1D1Q三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知向量＝（m，1），＝（m﹣6，m﹣4），若∥，则m的值为．14.将表面积为36π的圆锥沿母线将其侧面展开，得到一个圆心角为的扇形，则该圆锥的轴截面的面积S＝．15.如图，已知有两个以O为圆心的同心圆，小圆的半径为1，大圆的半径为2，点A 为小圆上的动点，点P，Q是大圆上的两个动点，且•＝1，则||的最大值是．16.如图，在三棱锥A﹣BCD的平面展开图中，已知四边形BCED为菱形，BC＝1，BF＝，若二面角A﹣CD﹣B的余弦值为﹣，M为BD的中点，则CD＝，直线AD与直线CM所成角的余弦值为．四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知，．（1）若与同向，求；（2）若与的夹角为120°，求．18.已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，a＝4，b＝6，cos A＝﹣．（1）求c；（2）求cos2B的值．19.已知：复数z1与z2在复平面上所对应的点关于y轴对称，且z1（1﹣i）＝z2（1+i）（i为虚数单位），|z1|＝．（Ⅰ）求z1的值；（Ⅱ）若z1的虚部大于零，且（m，n∈R），求m，n的值．20.（Ⅰ）在复数范围内解方程|z|2+（z+）i＝（i为虚数单位）（Ⅱ）设z是虚数，ω＝z+是实数，且﹣1＜ω＜2．（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；（2）设，求证：μ为纯虚数；（3）在（2）的条件下求ω﹣μ2的最小值．21.如图，直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB＝AC＝1，，A1A＝4，点M为线段A1A 的中点．（1）求直三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积；（2）求异面直线BM与B1C1所成的角的大小．（结果用反三角表示）22.如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点G在棱D1C1上，且D1G＝D1C1，点E、F、M分别是棱AA1、AB、BC的中点，P为线段B1D上一点，AB＝4．（Ⅰ）若平面EFP交平面DCC1D1于直线l，求证：l∥A1B；（Ⅱ）若直线B1D⊥平面EFP．（i）求三棱锥B1﹣EFP的表面积；（ii）试作出平面EGM与正方体ABCD﹣A1B1C1D1各个面的交线，并写出作图步骤，保留作图痕迹．设平面EGM与棱A1D1交于点Q，求三棱锥Q﹣EFP的体积．答案解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（2﹣i）z对应的点位于虚轴的正半轴上，则复数z对应的点位于（）1.已知复平面内，A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【分析】直接利用复数的运算和几何意义的应用求出该点所表示的位置．【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），所以（2﹣i）（a+bi）＝2a+b+（2b﹣a）i，由于对应的点在虚轴的正半轴上，所以，即，所以a＜0，b＞0．故该点在第二象限．故选：B．【知识点】复数的代数表示法及其几何意义2.平行四边形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点（靠近B），则＝（）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用平行四边形的性质以及向量相等的概念，再利用平面向量基本定理进行转化即可．【解答】解：因为ABCD为平行四边形，所以，故．故选：D．【知识点】平面向量的基本定理3.已知向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），若（+）∥（﹣），则t＝（）A．﹣1 B．﹣C．D．1【答案】B【分析】根据平面向量的坐标表示和共线定理，列方程求出t的值．【解答】解：向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），所以+＝（6t+3，11），﹣＝（4t+2，5）．又（+）∥（﹣），所以5（6t+3）﹣11（4t+2）＝0，解得t＝﹣．故选：B．【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示4.已知矩形ABCD的一边AB的长为4，点M，N分别在边BC，DC上，当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝0．若+＝x+y，x+y＝3，则线段MN的最短长度为（）A．B．2 C．2D．2【答案】D【分析】先根据M，N满足的条件，将（+）•＝0化成的表达式，从而判断出矩形ABCD为正方形；再将+＝x+y，左边用表示出来，结合x+y ＝3，即可得NC+MC＝4，最后借助于基本不等式求出MN的最小值．【解答】解：当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝＝＝，所以AD＝AB，则矩形ABCD为正方形，设，，则＝．则x＝2﹣λ，y＝2﹣μ．又x+y＝3，所以λ+μ＝1．故NC+MC＝4，则MN＝＝（当且仅当MC＝NC＝2时取等号）．故线段MN的最短长度为2．故选：D．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算5.若z∈C且|z+3+4i|≤2，则|z﹣1﹣i|的最大和最小值分别为M，m，则M﹣m的值等于（）A．3 B．4 C．5 D．9【答案】B【分析】由题意画出图形，再由复数模的几何意义，数形结合得答案．【解答】解：由|z+3+4i|≤2，得z在复平面内对应的点在以Q（﹣3，﹣4）为圆心，以2为半径的圆及其内部．如图：|z﹣1﹣i|的几何意义为区域内的动点与定点P得距离，则M＝|PQ|+2，m＝|PQ|﹣2，则M﹣m＝4．故选：B．【知识点】复数的运算6.已知球的半径为R，一等边圆锥（圆锥母线长与圆锥底面直径相等）位于球内，圆锥顶点在球上，底面与球相接，则该圆锥的表面积为（）A．R2B．R2C．R2D．R2【答案】B【分析】设圆锥的底面半径为r，求得圆锥的高，由球的截面性质，运用勾股定理可得r，由圆锥的表面积公式可得所求．【解答】解：如图，设圆锥的底面半径为r，则圆锥的高为r，则R2＝r2+（r﹣R）2，解得r＝R，则圆锥的表面积为S＝πr2+πr•2r＝3πr2＝3π（R）2＝πR2，故选：B．【知识点】球内接多面体、旋转体（圆柱、圆锥、圆台）7.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为4的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为（）A．πB．πC．πD．π【答案】A【分析】先根据题意求得正四面体的体积，进而得到六面体的体积，再由图形的对称性得，内部的丸子要是体积最大，就是丸子要和六个面相切，设丸子的半径为R，则，由此求得R，进而得到答案．【解答】解：由题意可得每个三角形面积为，由对称性可知该六面体是由两个正四面体合成的，可得该四面体的高为，故四面体的体积为，∵该六面体的体积是正四面体的2倍，。
【常考题】高一数学下期中试题含答案
【常考题】高一数学下期中试题含答案一、选择题1．已知三棱锥A BCD -中，5AB CD ==，2==AC BD ，3AD BC ==，若该三棱锥的四个顶点在同一个球面上，则此球的体积为（ ） A ．32π B ．24π C ．6π D ．6π2．陀螺是汉族民间最早的娱乐工具之一，也称陀罗，北方叫做“打老牛”.陀螺的主体形状一般是由上面部分的圆柱和下面部分的圆锥组成.如图画出的是某陀螺模型的三视图，已知网格纸中小正方形的边长为1，则该陀螺模型的体积为（ ）A ．1073π B ．32453π+ C ．16323π+ D ．32333π+ 3．已知a ，b 是两条异面直线，且a b ⊥，直线c 与直线a 成30角，则c 与b 所成的角的大小范围是( )A ．[]60,90︒︒B ．[]30,90︒︒C ．[]30,60︒︒D ．[]45,90︒︒4．一正四面体木块如图所示，点P 是棱VA 的中点，过点P 将木块锯开，使截面平行于棱VB 和AC ，则下列关于截面的说法正确的是（ ）．A ．满足条件的截面不存在B ．截面是一个梯形C ．截面是一个菱形D ．截面是一个三角形 5．已知m ，n 是空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若m α⊂，则m β⊥B ．若m α⊂，n β⊂，则m n ⊥C ．若m α⊄，m β⊥，则//m αD ．若m αβ=，n m ⊥，则n α⊥ 6．已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是（ ） A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离 7．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球表面积为 （ ）A 3πB ．3πC ．43πD ．12π8．四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，2AB =，72PA =，若该四棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A ．812π B ．814π C ．65π D ．652π 9．用一个平面去截正方体，则截面不可能是（ ）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．正方形D ．正六边形 10．从点(,3)P m 向圆22(2)(2)1x y +++=引切线，则切线长的最小值( )A ．26B ．5C 26D ．4211．若方程21424x kx k -=-+ 有两个相异的实根，则实数k 的取值范围是（ ） A ．13,34⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ．13,34⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．53,124⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．53,12412．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，ABC 是等腰三角形，BA BC =，123AC CC ==，，D 是AC 的中点，点F 在侧棱1A 上，若要使1C F ⊥平面BDF ，则1AF FA 的值为( )A ．1B ．12或2C ．22或2D ．13或3 二、填空题 13．若过点(8,1)P 的直线与双曲线2244x y -=相交于A ，B 两点，且P 是线段AB 的中点，则直线AB 的方程为________．14．在平面直角坐标xOy 系中,设将椭圆()2222110y x a a a +=>-绕它的左焦点旋转一周所覆盖的区域为D ，P 为区域D 内的任一点，射线()02x y x =≥－上的点为Q ，若PQ 的最小值为a ，则实数a 的取值为_____．15．已知圆O ：224x y +=, 则圆O 在点(1,3)A 处的切线的方程是___________.16．直线10ax y ++=与连接A （4，5），B （-1，2）的线段相交，则a 的取值范围是___．17．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A BD C --，①AB 与平面BCD 所成角的大小为60②ACD ∆是等边三角形③AB 与CD 所成的角为60④AC BD ⊥⑤二面角B AC D --为120︒则上面结论正确的为_______．18．在平面直角坐标系内，到点A （1，2），B （1，5），C （3，6），D （7，﹣1）的距离之和最小的点的坐标是 ．19．若圆C ：222430x y x y ++-+=，关于直线260ax by ++=对称，则由点(),a b 向圆所作的切线长的最小值为______．20．已知四面体ABCD 的外接球球心O 在棱CD 上，AB=3，CD=2，则A 、B 两点在四面体ABCD 的外接球上的球面距离是________.三、解答题21．如图，在三棱台DEF ABC -中，2,,AB DE G H =分别为,AC BC 的中点．（Ⅰ）求证：//BD 平面FGH ；（Ⅱ）若CF ⊥平面ABC ,,AB BC CF DE ⊥=，45BAC ∠=，求平面FGH 与平面ACFD 所成角（锐角）的大小．22．如图，在以,,,,A B C D E 为顶点的五面体中，O 为AB 的中点，AD ⊥平面ABC ，AD ∥BE ，AC CB ⊥，22AC =，244AB BE AD ===.（1）试在线段BE 找一点F 使得OF //平面CDE ，并证明你的结论；（2）求证：AC ⊥平面BCE ；（3）求直线DE 与平面BCE 所成角的正切值.23．在梯形ABCD 中，//AD BC ，AC BD ⊥于点O ，2BC AD =，9AC =，将ABD ∆沿着BD 折起，使得A 点到P 点的位置，35PC =（Ⅰ）求证：平面PBD ⊥平面BCD ；（Ⅱ）M 为BC 上一点，且2BM CM =，求证：//OM 平面PCD .24．如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆O 上除A ，B 外的一个动点，DC 垂直于半圆O 所在的平面，DC ∥EB ，DC ＝EB ＝1，AB ＝4.（1）证明：平面ADE ⊥平面ACD ；（2）当C 点为半圆的中点时，求二面角D ﹣AE ﹣B 的余弦值.25．如图，已知三棱锥A BPC -中，AP PC ⊥，AC BC ⊥，M 为AB 的中点，D 为PB 的中点，且PMB △为正三角形.（1）求证：//DM 平面APC ；（2）求证：BC ⊥平面APC ；（3）若4BC =，10AB =，求三棱锥D BCM -的体积.26．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，90ADC ∠=︒，12BC AD =，PA PD =，M ，N 分别为AD 和PC 的中点．（1）求证：//PA 平面MNB ；（2）求证：平面PAD ⊥平面PMB ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【解析】【分析】作出三棱锥A BCD -的外接长方体AEBF GDHC -，计算出该长方体的体对角线长，即可得出其外接球的半径，然后利用球体体积公式可计算出外接球的体积.【详解】作出三棱锥A BCD -的外接长方体AEBF GDHC -，如下图所示：设DG x =，DH y =，DE z =，则2223AD x z =+=，2224DB y z =+=，2225DC x y =+=，上述三个等式相加得()222222234512AD BD CD x y z ++=++=++=， 2226x y z ++=62R =， 因此，此球的体积为34663ππ⨯=⎝⎭. 故选：C.【点睛】本题考查三棱锥外接球体积的计算，将三棱锥补成长方体，利用长方体的体对角线作为外接球的直径是解题的关键，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题. 2．D解析：D【解析】【分析】由三视图可知，该陀螺模型是由一个正四棱锥、一个圆柱、一个圆锥组合而成.根据柱体、锥体的体积计算公式即得该陀螺模型的体积.【详解】由三视图可知，该陀螺模型是由一个正四棱锥、一个圆柱、一个圆锥组合而成. 所以该陀螺模型的体积222113242333233333V πππ=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=+. 故选：D .【点睛】本题考查三视图，考查学生的空间想象能力，属于基础题. 3．A解析：A【解析】【分析】将异面直线所成的角转化为平面角，然后由题意，找出与直线a 垂直的直线b 的平行线，与直线c 平行线的夹角.【详解】在直线a 上任取一点O ，过O 做//c c '，则,a c '确定一平面α，过O 点做直线b 的平行线b '，所有平行线b '在过O 与直线a 垂直的平面β内， 若存在平行线1b '不在β内，则1b '与b '相交又确定不同于β的平面，这与过一点有且仅有一个平面与一条直线垂直矛盾，所以b '都在平面β内，且,l αβαβ⊥=，在直线c '上任取不同于O 的一点P ，做PP l '⊥于P '，则PP β'⊥，POP '∠为是c '与β所成的角为60︒，若b l '⊥，则,b b c α'''⊥⊥，若b '不垂直l 且不与l 重合，过P '做P A b ''⊥，垂足为A ，连PA ，则b '⊥平面PP A '，所以b PA '⊥，即1,cos 2OA OP OA PA AOP OP OP '⊥∠=<=， 60AOP ∠>︒，综上b '与c '所成角的范围为[60,90]︒︒，所以直线b 与c 所成角的范围为[]60,90︒︒.故选：A.【点睛】本题考查异面直线所成角，空间角转化为平面角是解题的关键，利用垂直关系比较角的大小，属于中档题.4．C解析：C【解析】【分析】取AB 的中点D ，BC 的中点E ，VC 的中点F ，连接,,,PD PF DE EF ，易得即截面为四边形PDEF ，且四边形PDEF 为菱形即可得到答案.【详解】取AB 的中点D ，BC 的中点E ，VC 的中点F ，连接,,,PD PF DE EF ，易得PD ∥VB 且12PD VB =，EF ∥VB 且12EF VB =，所以PD ∥EF ，PD EF =， 所以四边形PDEF 为平行四边形，又VB ⊄平面PDEF ，PD ⊂平面PDEF ,由线面平行 的判定定理可知，VB ∥平面PDEF ，AC ∥平面PDEF ，即截面为四边形PDEF ，又1122DE AC VB PD ===，所以四边形PDEF 为菱形，所以选项C 正确. 故选：C【点睛】本题考查线面平行的判定定理的应用，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.5．C 解析：C【解析】由题设，,αβ⊥ 则A. 若m α⊂，则m β⊥，错误；B. 若m α⊂，n β⊂，则m n ⊥ 错误；D. 若m αβ⋂=，n m ⊥，当n β⊄ 时不能得到n α⊥，错误.故选C.6．B解析：B【解析】化简圆到直线的距离， 又 两圆相交. 选B7．C解析：C【解析】【分析】 由三视图知几何体是一个侧棱与底面垂直的三棱锥，底面是斜边上的高为2的等腰直角三角形，与底面垂直的侧面是个等腰三角形，底边长为2，高为2，故三棱锥的外接球与以棱长为2的正方体的外接球相同，由此可得结论【详解】由三视图知几何体是一个侧棱与底面垂直的三棱锥，底面是斜边上的高为2的等腰直角三角形，与底面垂直的侧面是个等腰三角形，底边长为2，高为2，故三棱锥的外接球与以棱长为2的正方体的外接球相同，其直径为23，半径为3∴三棱锥的外接球体积为()343433ππ⨯=故选C【点睛】 本题主要考查了三视图，几何体的外接球的体积，考查了空间想象能力，计算能力，属于中档题．8．B解析：B【解析】【分析】根据题意可知，该四棱锥的外接球即为其所在长方体的外接球，根据公式即可求得.【详解】根据题意，为方便说明，在长方体中找出该四棱锥如图所示：由图可知在长方体中的四棱锥P ABCD -完全满足题意，故该四棱锥的外接球即是长方体的外接球，故外接球半径2 22722294R⎛⎫++ ⎪⎝⎭==，故该球的表面积为28144S Rππ==.故选：B.【点睛】本题考查四棱锥外接球的问题，关键的步骤是将问题转化为求长方体的外接球.9．A解析：A【解析】【分析】【详解】画出截面图形如图显然A正三角形C正方形：D正六边形可以画出三角形但不是直角三角形；故选A．用一个平面去截正方体，则截面的情况为：①截面为三角形时，可以是锐角三角形、等腰三角形、等边三角形，但不可能是钝角三角形、直角三角形；②截面为四边形时，可以是梯形（等腰梯形）、平行四边形、菱形、矩形，但不可能是直角梯形；③截面为五边形时，不可能是正五边形；④截面为六边形时，可以是正六边形．故可选A ．10．A解析：A【解析】【分析】设切线长为d ,则2222(2)51(2)24d m m =++-=++再利用二次函数的图像和性质求函数的最小值得解.【详解】设切线长为d ,则2222(2)51(2)24d m m =++-=++, min 26d ∴=.故选:A.【点睛】本题主要考查圆的切线问题,考查直线和圆的位置关系,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 11．D解析：D【解析】 【分析】由题意可得，曲线22(1)4(1)x y y +-=与直线4(2)y k x -=-有2个交点，数形结合求得k 的范围.【详解】如图所示，化简曲线得到22(1)4(1)x y y +-=，表示以(0,1)为圆心，以2为半径的上半圆，直线化为4(2)y k x -=-，过定点(2,4)A ，设直线与半圆的切线为AD ，半圆的左端点为(2,1)B -，当AD AB k k k <，直线与半圆有两个交点，AD 221k =+，解得512AD k =，4132(2)4AB k -==--，所以53,124k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦. 故选：D【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，属于中档题.12．B解析：B【解析】【分析】易证1BD C F ⊥，故要使1C F ⊥平面BDF ，只需1C F DF ⊥，然后转化到平面11AAC C 中，根据勾股定理计算，即可得结果.【详解】1CC ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，所以1BD CC ⊥，又BA BC =，D 为AC 中点，所以BD AC ⊥，又1AC CC C =，所以BD ⊥平面11AAC C ，1C F 平面11AAC C ，所以1C F BD ⊥，因为DF BD D =，故要使1C F 平面BDF ，只需1C F DF ⊥，在四边形11AAC C 中，1231AC CC AD CD ====，，， 设AF x =，则13FA x =-，由22211C D DF C F =+得()()2219143x x ⎡⎤+=+++-⎣⎦， 即2320x x -+=，解得1x =或2x =， 所以112AF FA =或者12AF FA =， 故选：B.【点睛】本题考查了棱柱的结构特征，考查了空间中直线与平面的垂直的性质，勾股定理，考查空间想象能力和推理能力，属于中档题．二、填空题13．【解析】【分析】设出的坐标代入双曲线方程两式相减根据中点的坐标可知和的值进而求得直线的斜率根据点斜式求得直线的方程【详解】设则直线的方程为即故答案为【点睛】本题主要考查双曲线的方程直线的斜率公式直线 解析：2150x y --=【解析】【分析】设出,A B 的坐标，代入双曲线方程，两式相减,根据中点的坐标可知12x x +和12y y +的值,进而求得直线AB 的斜率，根据点斜式求得直线的方程.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则1216x x +=，122y y +=，2222112244,44x y x y -=-=，()()()()121212120x x x x y y y y ∴+--+-=()()12121680x x y y ∴---=，12121628y y x x -==- 2AB k ∴=，∴直线的方程为()128y x -=-，即2150x y --=，故答案为2150x y --=.【点睛】本题主要考查双曲线的方程、直线的斜率公式、直线点斜式方程的应用，意在考查灵活运用所学知识解答问题的能力，属于中档题. 涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化.14．【解析】【分析】先确定轨迹再根据射线上点与圆的位置关系求最值即得结果【详解】所以为以为圆心为半径的圆及其内部设射线的端点为所以的最小值为故答案为：【点睛】本题考查动点轨迹以及点与圆位置关系考查数形结解析：12-+ 【解析】【分析】先确定D 轨迹，再根据射线上点与圆的位置关系求最值，即得结果.【详解】2222222(1)1,111,y x c a a c a a =+∴=--=∴=-， 所以D 为以(1,0)F -为圆心，1a +为半径的圆及其内部，设射线()02x y x =≥－的端点为(2,2)A ，所以PQ 的最小值为||(1),12,AF a a a a -+===.【点睛】本题考查动点轨迹以及点与圆位置关系，考查数形结合思想以及基本分析求解能力，属中档题. 15．【解析】【分析】先求出kOA=从而圆O 在点处的切线的方程的斜率由此能出圆O 在点处的切线的方程【详解】kOA=∴圆O 在点处的切线的方程的斜率∴圆O 在点A 处的切线的方程整理得即答案为【点睛】本题考查圆的30y +-=【解析】【分析】先求出k OA ，从而圆O 在点(处的切线的方程的斜率k = ，由此能出圆O在点A 处的切线的方程．【详解】k OA =O 在点(处的切线的方程的斜率k =，∴圆O 在点A (处的切线的方程1y x =-） ，30y +-=．30y +-=.【点睛】本题考查圆的切线方程的求法，属中档题.16．或【解析】【分析】判断直线恒过定点P （0-1）计算PAPB 的斜率再利用数形结合求a 的取值范围【详解】解：由直线ax+y+1=0的方程判断直线恒过定点P （0-1）如图所示计算且或则或即实数a 的取值范围 解析：32a ≤-或3a ≥ 【解析】【分析】判断直线0ax by c ++=恒过定点P （0，-1），计算PA 、PB 的斜率，再利用数形结合求a 的取值范围．【详解】解：由直线ax+y+1=0的方程，判断直线恒过定点P （0，-1），如图所示，计算513402PA k +==-，21310PB k +==--- 且PA k k ≥或PB k k ≤，则PA a k ≤-或PB a k ≥-，即实数a 的取值范围是：32a ≤-或3a ≥． 故答案为：32a ≤-或3a ≥． 【点睛】本题考查直线的斜率与直线方程的应用问题，是基础题． 17．②③④【解析】【分析】作出此直二面角的图象由图形中所给的位置关系对命题逐一判断即可得出正确结论【详解】作出如图的图象E 是BD 的中点易得∠AED＝90°即为此直二面角的平面角对于命题①AB 与平面BCD解析：②③④【解析】【分析】作出此直二面角的图象，由图形中所给的位置关系对命题逐一判断，即可得出正确结论．【详解】作出如图的图象，E是BD的中点，易得∠AED＝90°即为此直二面角的平面角对于命题①AB与平面BCD所成的线面角的平面角是∠ABE＝45°，故AB与平面BCD成60°的角不正确；对于命题②，在等腰直角三角形AEC中AC等于正方形的边长，故△ACD是等边三角形，此命题正确；对于命题③可取AD中点F，AC的中点H，连接EF，EH，FH，则EF，FH是中位线，故∠EFH或其补角为异面直线AB与CD所成角，又EF,FH其长度为正方形边长的一半，而EH是直角三角形AEC的中线，其长度是AC的一半即正方形边长的一半，故△EFH是等边三角形，由此AB与CD所成的角为60°，此命题正确；对于命题④，BD⊥面AEC，故AC⊥BD，此命题正确；对于命题⑤，连接BH，HD,则BH⊥AC, DH⊥AC,则∠BHD为二面角B AC D--的平面角，又BH=DH=3AC,BD=2,AC cos∠BHD=-1,3故二面角B AC D--不是120︒综上知②③④是正确的故答案为②③④【点睛】本题考查与二面角有关立体几何中线线之间的角的求法，线面之间的角的求法，以及线线之间位置关系的证明方法．综合性较强，对空间立体感要求较高．18．（24）【解析】【分析】【详解】取四边形ABCD对角线的交点这个交点到四点的距离之和就是最小值可证明如下：假设在四边形ABCD中任取一点P在△APC中有AP＋PC＞AC在△BPD中有PB＋PD＞BD解析：（2，4）【解析】【分析】【详解】取四边形ABCD 对角线的交点，这个交点到四点的距离之和就是最小值．可证明如下： 假设在四边形ABCD 中任取一点P ，在△APC 中，有AP ＋PC ＞AC ，在△BPD 中，有PB ＋PD ＞BD ，而如果P 在线段AC 上，那么AP ＋PC ＝AC ；同理，如果P 在线段BD 上，那么BP ＋PD ＝BD.如果同时取等号，那么意味着距离之和最小，此时P 就只能是AC 与BD 的交点． 易求得P(2,4)．19．4【解析】因为圆=关于直线=对称所以圆心在直线=上所以即又圆的半径为当点(ab)与圆心的距离最小时切线长取得最小值又点(ab)与圆心的距离为=所以切线长的最小值为=故答案为4点睛：本题主要考查直线与解析：4【解析】因为圆22:243C x y x y ++-+=0关于直线26ax by ++=0对称,所以圆心()1,2C -在直线26ax by ++=0上,所以2260a b -++=,即3a b -=,2,当点(a,b )与圆心的距离最小时,切线长取得最小值,又点(a,b )与圆心的距离为()()2212a b ++-()2221832a -+≥所以切线长的最小值为()22(32)2-=4.故答案为4 点睛：本题主要考查直线与圆的位置关系,考查了转化思想.利用勾股关系，切线长取得最小值时即为当点(a,b )与圆心的距离最小时.20．【解析】【分析】根据球心到四个顶点距离相等可推断出O 为CD 的中点且O A ＝OB ＝OC ＝OD 进而在△A0B 中利用余弦定理求得cos ∠AOB 的值则∠AOB 可求进而根据弧长的计算方法求得答案【详解】解：球心解析：23π【解析】【分析】根据球心到四个顶点距离相等可推断出O 为CD 的中点，且OA ＝OB ＝OC ＝OD ，进而在△A 0B 中，利用余弦定理求得cos ∠AOB 的值，则∠AOB 可求，进而根据弧长的计算方法求得答案．【详解】解：球心到四个顶点距离相等，故球心O 在CD 中点，则OA ＝OB ＝OC ＝OD ＝1，再由AB =A 0B 中，利用余弦定理cos ∠AOB 11312112+-==-⨯⨯， 则∠AOB 23π=，则弧AB 23π=•123π=． 故答案为：23π． 【点睛】本题主要考查了余弦定理的应用、四面体外接球的性质等，考查了学生观察分析和基本的运算能力． 三、解答题21．（Ⅰ）略；（Ⅱ）60【解析】试题分析：（Ⅰ）思路一：连接,DG CD ，设CD GF O ⋂=，连接OH ，先证明//OH BD ，从而由直线与平面平行的判定定理得//BD 平面HDF ；思路二：先证明平面//FGH 平面ABED ，再由平面与平面平行的定义得到//BD 平面HDF .（Ⅱ）思路一：连接,DG CD ，设CD GF O ⋂=，连接OH ，证明,,GB GC GD 两两垂直, 以G 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系G xyz -，利用空量向量的夹角公式求解；思路二：作HM AC ⊥于点M ，作MN GF ⊥于点N ，连接NH ，证明MNH ∠即为所求的角，然后在三角形中求解.试题解析：（Ⅰ）证法一：连接,DG CD ，设CD GF O ⋂=，连接OH ，在三棱台DEF ABC -中，2,AB DE G =为AC 的中点可得//,DF GC DF GC =所以四边形DFCG 为平行四边形则O 为CD 的中点又H 为BC 的中点所以//OH BD又OH ⊂平面,FGH BD ⊂平面,FGH所以//BD 平面FGH ．证法二：在三棱台DEF ABC -中，由2,BC EF H =为BC 的中点可得//,,BH EF BH EF =所以四边形BHFE 为平行四边形可得//BE HF在ABC ∆中，G 为AC 的中点，H 为BC 的中点， 所以//GH AB又GH HF H ⋂=，所以平面//FGH 平面ABED 因为BD ⊂平面ABED所以//BD 平面FGH（Ⅱ）解法一：设2AB =，则1CF =在三棱台DEF ABC -中，G 为AC 的中点 由12DF AC GC ==， 可得四边形DGCF 为平行四边形，因此//DG CF又FC ⊥平面ABC所以DG ⊥平面ABC在ABC ∆中，由,45AB BC BAC ⊥∠=，G 是AC 中点， 所以,AB BC GB GC =⊥因此,,GB GC GD 两两垂直,以G 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系G xyz -所以())()()0,0,0,2,0,0,2,0,0,0,1G B C D 可得()22,0,2,122H F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ 故()22,,0,0,2,1GH GF ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭ 设(),,n x y z =是平面FGH 的一个法向量，则 由0,{0,n GH n GF ⋅=⋅=可得0{20x y z +=+= 可得平面FGH 的一个法向量(1,1,2n =- 因为GB 是平面ACFD 的一个法向量，()2,0,0GB = 所以21cos ,222GB nGB n GB n ⋅===⋅ 所以平面与平面所成的解（锐角）的大小为60 解法二：作HM AC ⊥于点M ，作MN GF ⊥于点N ，连接NH 由FC ⊥平面ABC ，得HM FC ⊥又FC AC C ⋂=所以HM ⊥平面ACFD因此GF NH ⊥所以MNH ∠即为所求的角在BGC ∆中,12//,,22MH BG MH BG == 由GNM ∆∽GCF ∆ 可得,MN GM FC GF= 从而66MN =由MH ⊥平面,ACFD MN ⊂平面ACFD得,MH MN ⊥ 因此tan 3HM MNH MN∠==所以60MNH ∠=所以平面FGH 与平面ACFD 所成角（锐角）的大小为60.考点：1、空间直线与平面的位置关系；2、二面角的求法；3、空间向量在解决立体几何问题中的应用.22．（1）在BE 上取点F ，使得14BF BE =；证明见解析；（2）证明见解析；（3）223【解析】【分析】（1）在BE 上取点F ，使得14BF BE =，根据直线和平面平行的判定定理即得；（2）由线面垂直的判定定理即得；（3）取BE 中点G ，连接AG ，CG ，由//DE AG ，可知AG 与平面CBE 所成的角等于DE 与平面CBE 所成的角，已知AC ⊥平面BCE ，根据所给条件计算即得.【详解】（1）如图，在BE 上取点F ，使得14BF BE =， 理由如下：OF 是ABG 中位线，//,//OF AG FO DE ∴∴，OF ⊄平面CDE ，//OF ∴平面CDE .（2）已知AD ⊥平面ABC ，又//AD BE ，BE ∴⊥平面ABC ，BE AC ∴⊥，又AC CB ⊥AC ∴⊥平面EBC .（3）取BE 中点G ，连接AG ，CG ，//DE AG ，∴AG 与平面CBE 所成的角等于DE 与平面CBE 所成的角，又AC ⊥平面BCE ， AGC ∴∠是AG 与平面CBE 所成的角，在Rt ABC ∆中，4AB =，22AC =，22BC ∴=，∴在Rt BCG ∆中，223CG BC BG =+=，∴在Rt ACG ∆中，22tan AC AGC CG ∠==， 即直线DE 与平面CBE 所成角的正切值为223.【点睛】本题考查直线和平面平行的判定定理，直线和平面垂直的判断定理，以及求直线和平面所成的角的正切值，属于中档题.23．（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）见证明【解析】【分析】（Ⅰ）先证明PO ⊥平面BCD ，再证明平面PBD ⊥平面BCD ；（Ⅱ）先证明//OM DC .再证明//OM 平面PCD .【详解】（Ⅰ）因为//AD BC ，2BC AD =，所以2CO AO =，所以6CO =，3AO =.即3PO =，又因为35PC =PO CO ⊥ .因为AC BD ⊥于点O ，所以PO BD ⊥.又因为BD OC O ⋂=，所以PO ⊥平面BCD .又因PO ⊂平面PBD ，所以平面PBD ⊥平面BCD .（Ⅱ）因为//AD BC ，2BC AD =，所以2BO DO =， 又因为2BM CM =，因此BO BM DO CM=，所以//OM DC . 又因为OM ⊄平面PCD ，DC ⊂平面PCD ，所以//OM 平面PCD .【点睛】本题主要考查线面平行和面面垂直的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.24．（1）证明见解析（2） 【解析】【分析】（1）由BC ⊥AC ，BC ⊥CD 得BC ⊥平面ACD ，证明四边形DCBE 是平行四边形得DE ∥BC ，故而DE ⊥平面ACD ，从而得证面面垂直；（2）建立空间坐标系，求出两半平面的法向量，计算法向量的夹角得出二面角的大小.【详解】（1）证明：∵AB 是圆O 的直径，∴AC ⊥BC ，∵DC ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴DC ⊥BC ，又DC ∩AC ＝C ，∴BC ⊥平面ACD ，∵DC ∥EB ，DC ＝EB ，∴四边形DCBE 是平行四边形，∴DE ∥BC ，∴DE ⊥平面ACD ，又DE ⊂平面ADE ，∴平面ACD ⊥平面ADE.（2）当C 点为半圆的中点时，AC ＝BC ＝，以C 为原点，以CA ，CB ，CD 为坐标轴建立空间坐标系如图所示：则D （0，0，1），E （0，，1），A （，0，0），B （0，，0）， ∴AB =（﹣，，0），BE =（0，0，1），DE =（0，，0），DA =（0，﹣1），设平面DAE 的法向量为m =（x 1，y 1，z 1），平面ABE 的法向量为n =（x 2，y 2，z 2）， 则00m DA m DE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，00n AB n BE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即11100z ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，22200z ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩， 令x 1＝1得m =（1，0，），令x 2＝1得n =（1，1，0）.∴cos 232m n m n m n ⋅===⨯<，>. ∵二面角D ﹣AE ﹣B 是钝二面角，∴二面角D ﹣AE ﹣B 的余弦值为26-.【点睛】本题考查了面面垂直的判定，空间向量与二面角的计算，属于中档题.25．（1）见详解；（2）见详解；（353. 【解析】【分析】(1)先证DM AP ∥，可证//DM 平面APC .(2)先证AP PBC ⊥平面，得⊥AP BC ，结合AC BC ⊥可证得BC ⊥平面APC .(3)等积转换，由D BCM M DBC V V --＝，可求得体积.【详解】(1)证明：因为M 为AB 的中点，D 为PB 的中点，所以MD 是ABP △的中位线，MD AP .又MD APC ⊄平面，AP APC ⊂平面，所以MD APC ∥平面.(2)证明：因为PMB △为正三角形，D 为PB 的中点，所以MD PB ⊥.又MD AP ，所以AP PB ⊥.又因为AP PC ⊥，PB PC P ＝，所以AP PBC ⊥平面.因为BC PBC ⊂平面，所以⊥AP BC .又因为BC AC ⊥，AC AP A ⋂＝，所以BC APC ⊥平面.(3)因为AP PBC ⊥平面，MD AP ，所以MD PBC ⊥平面，即MD 是三棱锥M DBC -的高.因为10AB =，M 为AB 的中点，PMB △为正三角形，所以3535,22PB MB MD MB ====. 由BC APC ⊥平面，可得BC PC ⊥，在直角三角形PCB 中，由54PB BC ＝，＝，可得3PC ＝.于是111433222BCD BCP S S ⨯⨯⨯=△△＝＝.所以115353333D BCM M DBC BCD V V S MD --⨯⨯=△＝＝＝. 【点睛】本题考查空间线面平行与垂直的证明，体积的计算.空间中的平行与垂直的证明过程就是利用相关定义、判定定理和性质定理实现线线平行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)的转换.求三棱锥的体积常采用等积转换的方法，选择易求的底面积和高来求体积.26．（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）通过证明//NQ PA ，即可得到本题结论；（2）由题，先证PM AD ⊥和AD MB ⊥，即可得到AD ⊥平面PMB ，由此即可得到本题结论.【详解】（1）连接AC 交MB 于Q ，连接,NQ MC ．因为//AM BC ，12AM AD BC ==， 所以四边形ABCM 是平行四边形，所以Q 是AC 的中点．又N 是PC 的中点，所以//NQ PA ，因为NQ ⊂平面MNB ，PA ⊄平面MNB ，所以//PA 平面MNB ；（2）因为PA PD =，AM MD =，所以PM AD ⊥，因为//MD BC ，MD BC =，所以四边形BCDM 是平行四边形，所以//MB DC ，因为=90ADC ∠︒，即AD DC ⊥，所以AD MB ⊥，因为PM MB M ⋂=，,PM MB ⊂平面PMB ，所以AD ⊥平面PMB ，又AD ⊂平面PAD ，所以平面PAD ⊥平面PMB ．【点睛】本题主要考查线面平行的判定与面面垂直的判定，考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力.。
河南省焦作市第一中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题
河南省焦作市第一中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题一、单选题1．设21i (i i i z +=+为虚数单位)，则z =（ ） A ．i B ．i - C ．1i + D ．1i -- 2．下列命题正确的是（ ）A ．若直线//a b ，则a 平行于经过b 的任何平面B ．若直线a ，b 和平面α，β，满足a αβ⋂=，//b α，//b β，则//a bC ．若直线a ，b 和平面α满足//a α，//b α，则//a bD ．若直线a 和平面α满足//a α，则a 与α内任何直线平行3．如图，四边形ABCD 的斜二测画法直观图为等腰梯形A B C D ''''．已知4A B ''=，2C D ''=，则下列说法正确的是（ ）A ．2AB = B ．A D ''=C．四边形ABCD 的周长为4+D ．四边形ABCD 的面积为4．已知直角ABC V 斜边BC 的中点为O ，且OA AB =u u u r u u u r ，则向量CA u u u r 在向量CB u u u r 上的投影向量为（ ）A ．14CB u u u r B ．34CB u u u rC ．14CB -u u u rD ．34CB -u u u r 5．已知e r 为单位向量，向量a r 满足2a e ⋅=r r ，1a e λ-=r r ，则a r 的最大值为（ ）A ．4B ．2CD ．56．ABC V 中，a 、b 、c 分别是内角A 、B 、C 的对边，若222ABC a b c =+-V ，且()0||||AB AC BC AB AC +⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，则ABC V 的形状是（ ） A ．等腰非直角三角形 B ．三边均不相等的直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形7．已知直三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的表面上，若11,4AB AC AA ===，2π3BAC ∠=，则球O 的表面积为（ ） A ．16πB ．20πC ．28πD ．32π 8．在锐角ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2cos a b B =，且b c ≠，则下列命题正确的有（ ）个①2A B = ②角B 的取值范围是0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭③cos A 的取值范围是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭④a b 的取值范围是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、多选题9．已知复数z 满足11z z =-=，且复数z 对应的点在第一象限，则下列结论正确的是（ ）A ．复数z 的虚部为32B ．11z 2=C ．21z z =-D ．复数z 的共轭复数为12- 10．下列说法中正确的有（ ）A ．与()2,1a =-r 垂直的单位向量为⎝⎭B ．已知a r 在b r 上的投影向量为12b r 且5b =r ，则252a b ⋅=r r C ．若非零向量a r ，b r 满足a b a b ==-r r r r ，则a r 与a b +r r 的夹角是30︒D ．已知()1,2a =r ，()1,1b =r ，且a r 与a b λ+r r 夹角为锐角，则λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭11．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，已知M ，N ，P 分别是棱11C D ，1AA ，BC 的中点，点Q 满足1CQ CC λ=u u u r u u u u r ，[]0,1λ∈，下列说法正确的是（ ）A ．//PQ 平面11ADD AB ．若Q ，M ，N ，P 四点共面，则14λ=C ．若13λ=，点F 在侧面11BB C C 内，且1//A F 平面APQ ，则点FD ．若12λ=，由平面MNQ 分割该正方体所成的两个空间几何体为1Ω和2Ω，某球能够被整体放入1Ω或2Ω，则该球的表面积最大值为(12π-三、填空题12．如图，在平面五边形ABCDE 中， 1,2,AB DE BC CD AE =====90ABC BCD CDE ∠=∠=∠=︒，则五边形ABCDE 绕直线AB 旋转一周所成的几何体的体积为13．在ABC V 中，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，2π,43ABC BD ∠==，则ABC V 周长的最小值为． 14．已知非零向量a b r r ､，满足π2,1,,3a b a b ===r r r r ，且()()0c a c b -⋅-=r r r r ，则c r 的最大值为.四、解答题15．已知,,a b c r r r 是同一平面内的三个向量，其中()1,2a =r .(1)若c =r //c a r r ，求c r 向量；(2)若b =r 2a b +r r 与2a b -r r 垂直，求a r 与b r 的夹角的余弦值. 16．记ABC V 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且sin 2sin cos 2sin c A B A a A+=． (1)求B 的大小；(2)若b =ABC V 的面积为ABC V 的周长．17．如图，在几何体ABCDFE 中，四边形ABCD 为直角梯形，2,2DC AB GC FG ==，平面ABEF ⋂平面CDEF EF =(1)证明：AF //平面BDG(2)证明：//AB EF18．在ABC V 中，已知4AB =，10AC =，60BAC ∠=︒，BC 、AC 边上的两条中线AM 、BN 相交于点G.(1)求BN u u u r 、AM u u u u r ；(2)求CN u u u r 与GM u u u u r 夹角的余弦值.19．“但有一枝堪比玉，何须九畹始征兰”，盛开的白玉兰是上海的春天最亮丽的风景线，除白玉兰外，上海还种植木兰科的其他栽培种，如黄玉兰和紫玉兰等．某种植园准备将如图扇形空地AOB 分成三部分，分别种植白玉兰、黄玉兰和紫玉兰；已知扇形的半径为70米，圆心角为2π3，动点P 在扇形的弧上，点Q 在OB 上，且//PQ OA ．(1)求扇形空地AOB 的周长和面积；(2)当50OQ =米时，求PQ 的长；(3)综合考虑到成本和美观原因，要使白玉兰种植区OPQ △的面积尽可能的大．设AOP θ∠=，求OPQ △面积的最大值．。
甘肃省白银市会宁县第四中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题(含答案)
会宁县第四中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量，且 ，则向量与的夹角为（ ）A. B. C. D. 2. 若复数纯虚数，则实数（ ）A. B. C. 2 D. 33. （ ）A. B. C. D. 4. 平行四边形（是原点，按逆时针排列），，则点坐标（ ）A. B. C. D. 5. 在中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若，，，则（ ）A. 8B. 5C. 4D. 36. 在中，，且（ ）A. B. 3 C. 2 D.7. 如图，，是九个相同的正方形拼接而成的九宫格中的两个角，则（）A. B. C. D. 为10a = 12b = 60a b ⋅=- a b 60︒120︒135︒150︒2i 3i a a z ++=-=a 3-2-sin145cos35︒︒=sin 70-︒1sin 702-︒sin 70︒1sin 702︒OABC O ,,,O A B C ()()1,2,3,7A B -C ()4,5-()4,4-()3,5-()5,4-ABC V 6a =sin A =9cos 16B =b =ABC V 2π,3A AC ==ABC V AB =αβαβ+=π6π4π35π128. 已知向量.若与的夹角的余弦值为，则实数的值为（ ）A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 某校对参加高校综合评价测试的学生进行模拟训练，从中抽出名学生，其数学成绩的频率分布直方图如图所示．已知成绩在区间内的学生人数为2人．则（ ）A. 的值为0.015，的值为40B. 平均分72，众数为75C. 中位数为75D. 已知该校共1000名学生参加模拟训练，则不低于90分的人数一定为50人10. 已知直角三角形中，，，则实数k 值可以为（ ）A. B. C. D.11 设函数，则（ ）A. 是偶函数 B. 在上单调递减C. 的最大值为2 D. 的图象关于直线对称三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知，则的值为__________.13. 已知平面向量满足，与的夹角为，则的值______.14._________.为的.()(),2,2,1a t b ==- a bt 5252-3232-N [90,100]x N ABC (2,3)AB = (1,)AC k = 23-32113ππ()sin 2cos 244f x x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x ()f x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦()f x ()f x π2x =1sin 3α=-cos2α,a b ||1a = ||2,b a = b 60︒|2|a b + sin 31cos59+cos31cos31︒︒︒︒=四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知，，求以及的值．16. 已知为第二象限角，且满足．求值：（1）；（2）．17. 已知复数，且纯虚数.（1）求复数；（2）若，求复数以及模.18. 已知.（1）求函数的最小正周期；（2）已知均为锐角，的值.19. 在中，角，，所对的边分别为，，，且，再从条件①、条件②这两个条件中选一个条件作为已知，求：（1）的值；（2）的面积和边上的高．条件①：，；条件②：，．为3cos 5θ=()π,2πθ∈πsin 6θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭πtan 4θ⎛⎫- ⎪⎝⎭α2sin cos αα=-sin cos 3sin cos αααα-+πcos 3α⎛⎫+ ⎪⎝⎭()3i R z b b =+∈()13i z +⋅z 2iz ω=+ωω()2cos 2sin 1222x x x f x =+-()f x ,αβ8,co 6πs 5f αβ⎛⎫+== ⎪⎝⎭()sin αβ-ABC V A B C a b c 3a =sin A ABC V AC 2cos 3C =4b =2cos 3C =1cos 9B =会宁县第四中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】B【2题答案】【答案】A【3题答案】【答案】D【4题答案】【答案】A【5题答案】【答案】B【6题答案】【答案】A【7题答案】【答案】B【8题答案】【答案】D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.【9题答案】【答案】AB【10题答案】【答案】ACD【11题答案】【答案】ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.【12题答案】【答案】【13题答案】【答案】【14题答案】【答案】1四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【15题答案】【答案】，7【16题答案】【答案】（1）3（2）【17题答案】【答案】（1）；（2），．【18题答案】【答案】（1）（2）【19题答案】【答案】（1（2）的面积为79πsin 6θ⎛⎫+⎪⎝⎭πtan =4θ⎛⎫- ⎪⎝⎭3i z =+71i 55ω=-ω=2πABC V AC。
高一数学期中考试题及答案
高一数学期中考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，不是一次函数的是（）A. y = 2x + 1B. y = 3x^2 + 5C. y = 1/xD. y = -4x2. 已知集合A={1, 2, 3}，B={2, 3, 4}，则A∪B等于（）A. {1, 2, 3}B. {1, 2, 3, 4}C. {2, 3}D. {1, 4}3. 若sinα=0.6，则cosα的值是（）A. 0.8B. -0.8C. -0.4D. 0.44. 函数f(x) = |x - 2| + |x + 3|的最小值是（）A. 5B. 2C. 1D. 45. 不等式x^2 - 4x + 3 ≤ 0的解集是（）A. (1, 3)B. (-∞, 3]C. [1, 3]D. (-∞, 1] ∪ [3, +∞)6. 已知数列1, 3, 5, 7, ...，其第n项an等于（）A. 2n - 1B. 2n + 1C. 2nD. n + 17. 若a + b + c = 0，则a^2 + b^2 + c^2 =（）A. 0B. 2abC. 2bcD. 2ac8. 函数y = x^3 - 6x^2 + 12x - 4的极大值点是（）A. x = 1B. x = 2C. x = 3D. x = 49. 已知tanθ = 2，求sin^2θ + cos^2θ的值是（）A. 1B. 5C. 3D. 410. 下列哪个选项是二元一次方程（）A. x^2 + y = 7B. 3x + 2y = 10C. x^2 - y = 0D. 2x/3 + y/4 = 1二、填空题（每题4分，共20分）11. 等差数列的首项是5，公差是3，则其第10项是_________。
12. 若函数f(x) = x^2 - 2x在区间[1, 4]上是增函数，则f(1) = ________。
13. 已知三角形ABC中，∠A = 90°，a = 3，b = 4，则c=_________。
北京市日坛中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题(含答案)
北京市日坛中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷（本试卷共4页，考试时间120min ，满分150分）第一部分（选择题 共50分）一、单选题：（共10小题，每小题5分）1. 已知复数，则的共轭复数等于（ ）A. 0B. C. D. 2. 已知三条直线a ，b ，c 满足：a 与b 平行，a 与c 异面，则b 与c （ ）A. 一定异面B. 一定相交C. 不可能平行D. 不可能相交3. 已知锐角，，，且，则为（ ）A. 30°B. 45°C. 60°D. 30°或60°4. 在复平面内，复数对应的点位于（ ）A 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限5. 如图，在矩形中，为中点，那么向量等于（ ）A. B. C. D. 6. 如图，正方体的棱长为1，E 、F 分别为棱AD、BC 的中点，则平面与底面ABCD 所成的二面角的余弦值为（）A.B.C.D.是.2zi =z z 2i2i-4-α()1,1a =- ()cos ,sin b αα= a b ⊥αi1i-ABCD E BC 12AD AE +ABACBC BE1111ABCD A B C D -11C D EF7. 中，若，，，则a 等于（ ）A. B. C.D.8. 已知两条直线m ，n 和平面，那么下列命题中的真命题是（ ）A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，则9. 在中，，，点在线段上.当取得最小值时，（ ）A.B.C.D.10. 如图，在棱长为的正方体中，P 为线段上的动点（不含端点），则下列结论错误的是（）A 平面平面 B. C. 三棱锥的体积为定值D. 的取值范围是第二部分（非选择题共 100分）二、填空：（共6小题，每小题5分）11. 已知复数，其中是虚数单位，则的模是__.12. 2020年5月1日起，新版《北京市生活垃圾管理条例》实施，根据该条例：小区内需设置可回收垃圾桶和有害垃圾桶.已知李华要去投放这两类垃圾，他从自家楼下出发，向正北方向走了80米，到达有害垃圾桶，随后向南偏东方向走了30米，到达可回收物垃圾桶，则他回到自家楼下至少还需走___________米 .13. 已知圆锥的轴截面是一个边长为2的等边三角形，则该圆锥的侧面积为______.在.ABC V b =3c =30B =︒αm n ⊥n ⊂αm α⊥m n ⊥n α⊥//m αm α⊥n ⊂αm n⊥//m α//n α//m nABC V 2AB AC ==BC =P BC PA PB ⋅PA =347411111ABCD A B C D -1A B CBP ⊥1BB P1DC PC⊥11C D PC -1APD ∠0,2π⎛⎤⎥⎝⎦13z i =-+i z 6014. 设向量满足，则______.15. 如图，已知正三棱柱的底面边长为1，侧棱的长为2，E 、F 分别为和AC 中点，则直线EF 与平面所成角的余弦值为______，异面直线与所成角的余弦值为______．16. 如图，从长、宽、高分别为的长方体中截去部分几何体后，所得几何体为三棱锥.下列四个结论中，所有正确结论的序号是_____.①三棱锥的体积为；②三棱锥的每个面都是锐角三角形；③三棱锥中，二面角不会是直二面角；④三棱锥中，三条侧棱与底面所成的角分别记为，则.三、解答题：（共70分）17. 如图，三棱柱的侧面是平行四边形，，平面平面，且P ，E ，F 分别是AB ，BC ，的中点．,a b2,1,,60a b a b ===︒ 2a b += 111ABC A B C -1AA 11A B ABC 1A B 1AC ,,a b c AEBF GCHD -A BCD -A BCD -13abc A BCD -A BCD-A CD B --A BCD -,,αβγ222sin sin sin 2αβγ++≤111ABC A B C -11BCC B 11BC C C ⊥11AC CA ⊥11BCC B 11A B（1）求证：平面；（2）求证：平面平面．18. 设的内角的对边分别为．已知，．（1）求的值；（2）求的面积．19. 如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面底面ABCD ，E 为侧棱PD 上一点．（Ⅰ）求证：平面ABE ；（II ）求证：；（III）若E 为PD 中点，平面ABE 与侧棱PC 交于点F ，且，求四棱锥P-ABFE 的体积．20. 在①，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中．若问题中的三角形存在，求出的值；若问题中的三角形不存在，请说明理由．问题：是否存在，它的内角的对边分别为，__________，且，.注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分．21. 已知集合（，），若存在数阵满足：1BC ⊥11A C CA EFP ⊥11BCC B ABC V ,,A B C ,,a b c b =3c =1cos 6B =-sinC ABC V PAD ⊥//CD CD AE ⊥2PA PD AD ===1a b +=sin 2c A =b =c ABC V ,,A B C ,,a b c sin B A =π6C ={}*N 2n M x x n =∈≤n ∈N 4n ≥1212n n a a a T b b b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦①；②．则称集合为“好集合”，并称数阵为的一个“好数阵”．（1）已知数阵是的一个“好数阵”，试写出，，，的值；（2）若集合为“好集合”，证明：集合的“好数阵”必有偶数个；（3）判断是否为“好集合”．若是，求出满足条件所有“好数阵”；若不是，说明理由．的{}{}1212,,,,,,n n n a a a b b b M = ()1,2,,k k a b k k n -== n M T n M 6712x y z T w ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦4M x y z w n M n M ()5,6n M n ={}12,,,n n a a a ∈北京市日坛中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷答案第一部分（选择题共50分）一、单选题：（共10小题，每小题5分）【1题答案】【答案】C【2题答案】【答案】C【3题答案】【答案】B【4题答案】【答案】B【5题答案】【答案】B【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】D【8题答案】【答案】C【9题答案】【答案】B【10题答案】【答案】D第二部分（非选择题共100分）二、填空：（共6小题，每小题5分）【11题答案】.【12题答案】【答案】70【13题答案】【答案】【14题答案】【答案】【15题答案】【答案】①.②.##【16题答案】【答案】①②④三、解答题：（共70分）【17题答案】【答案】（1）证明略；（2）证明略；【18题答案】【答案】（1；（2.【19题答案】【答案】（Ⅰ）证明略；（II ）证明略；（III ．【20题答案】【答案】答案不唯一，具体略．【21题答案】【答案】（1），，，（2）证明略 （3）是“好集合”，满足的“好数阵”有，，，；不是“好集合”，证明略2π7100.78x =5y =4z =3w =5M {}5125,,...,a a a ∈38105926714⎡⎤⎢⎥⎣⎦83510971264⎡⎤⎢⎥⎣⎦41095738612⎡⎤⎢⎥⎣⎦95410783162⎡⎤⎢⎥⎣⎦6M。
【必考题】高一数学下期中试卷带答案
①直线 AM 与 CC1 是相交直线； ②直线 AM 与 BN 是平行直线；
③直线 BN 与 MB1 是异面直线；
④直线 AM 与 DD1 是异面直线．
其中正确的结论的序号为________．
14．如图，在长方形 ABCD 中， AB 2 ， BC 1， E 为 DC 的中点， F 为线段 EC （端 点除外）上一动点，现将 AFD 沿 AF 折起，使平面 ABD 平面 ABC ，在平面 ABD 内 过点 D 作 DK AB， K 为垂足，设 AK t ，则 t 的取值范围是__________．
B．若 a / /b,b ,则 a / /
C．若 / /, a, b, 则 a / /b
D．若 a ,b , a //,b // ,则 / /
4．已知平面 / / 平面 ，直线 m ，直线 n ，点 Am ,点 B n ，记点 A、B 之
间的距离为 a ,点 A 到直线 n 的距离为 b,直线 m 和 n 的距离为 c,则
A． 7 2
B． 56
C．14
D． 64
10．设直线 a, b 是空间中两条不同的直线，平面, 是空间中两个不同的平面，则下列说
法正确的是（ ）
A．若 a ∥ ， b ∥ ，则 a ∥ b
B．若 a ∥ b ， b ∥ ，则 a ∥
C．若 a ∥ ， ∥ ，则 a ∥
D．若 ∥ ， a ，则 a ∥
A． 8π
B．12π
C． 20π
D． 24π
6．如图是某四面体 ABCD 水平放置时的三视图（图中网格纸的小正方形的边长为 1，则四
面体 ABCD 外接球的表面积为
A． 20
B． 125 6
C． 25
高一数学期中考试题及答案
高一数学期中考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项不是实数集R的子集？A. 整数集ZB. 有理数集QC. 无理数集D. 复数集C2. 函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1在区间[0, 2]上的最大值是：A. 1B. 5C. 7D. 93. 已知集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，求A∩B的元素个数。
A. 1B. 2C. 3D. 44. 若a > 0，b < 0，且|a| < |b|，则a + b的符号是：A. 正B. 负C. 零D. 不确定5. 下列哪个不等式是正确的？A. √2 < πB. e < 2.72C. √3 > √2D. log2(3) > log3(2)6. 已知等差数列的首项为a1 = 3，公差为d = 2，第5项a5的值是：A. 9B. 11C. 13D. 157. 函数y = x^3 - 6x^2 + 9x + 2的零点个数是：A. 0B. 1C. 2D. 38. 已知f(x) = x^2 - 4x + 4，求f(x)的最小值。
A. 0B. 4C. 8D. 169. 抛物线y = x^2 - 2x - 3与x轴的交点个数是：A. 0B. 1C. 2D. 310. 已知等比数列的首项为a1 = 2，公比为r = 3，求第4项a4的值。
A. 162B. 486C. 729D. 1458二、填空题（每题2分，共20分）11. 圆的一般方程为x^2 + y^2 + dx + ey + f = 0，其中d^2 + e^2 - 4f > 0时，表示______。
12. 若函数f(x) = 3x - 2在区间[1, 4]上是增函数，则f(1) =______。
13. 已知集合M = {x | x^2 - 5x + 6 = 0}，则M的补集∁_R M = {x | ______ }。
14. 函数y = log_2(x)的定义域是{x | x > ______ }。
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2015-2016学年第二学期武威第五中学高一年级数学试卷
（满分150分，考试时间120分）
一选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分。
） 1. 对赋值语句的描述正确的是 （ ）
①可以给变量提供初值 ②将表达式的值赋给变量 ③可以给一个变量重复赋值 ④不能给同一变量重复赋值 A ．①②③ B ．①② C ．②③④ D ．①②④
2. 用秦九韶算法求n 次多项式0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=-- ，当0x x =时，求)(0x f 需
要算乘方、乘法、加法的次数分别为 （ ） A ．
n n n n ,,2
)
1(+ B. n,2n,n C. 0,2n,n D. 0,n,n 3. 已知sin αcos α=8
1,且4π
<α<2π则cos α－sin α的值为 （ ）
(A)
2
3 (B)4
3 (C) (D)±23
４.从一个不透明的口袋中摸出红球的概率为
1
5
,已知袋中红球有3个,则袋中共有除颜色外完全相同的球的个数为 ( ) A. 5 B. 8 C. 10 D.15 5 下列叙述错误的是（ ）
A ． 频率是随机的，在试验前不能确定，随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
B ． 若随机事件A 发生的概率为()A p ，则()10≤≤A p
C ． 互斥事件不一定是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件
D 5张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，那么乙与甲抽到有奖奖券的可能性相同
6 从12个同类产品（其中10个是正品，2个是次品）中任意抽取3个的必然事件是（ ）
A. 3个都是正品 B 至少有1个是次品
C. 3个都是次品 D 至少有1个是正品
7 y=sin(x-π
3
)的单调增区间是（ ）
A. [k π-π6 ,k π+5π6 ] (k ∈Z)
B. [2k π-π6 ,2k π+5π
6
](k ∈Z)
C. [k π-7π6 , k π-π6 ] (k ∈Z)
D. [2k π-7π6 ,2k π-π
6
] (k ∈Z)
8 02120sin 等于（ ）
A 23±
B 23
C 23-
D 2
1 9 从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于4.8g 的概率为0.3，质量小于4.85g 的概率为0.32，
那么质量在[)85.4,8.4（ g ）范围内的概率是（ ） A 0.62 B 0.38 C 0.02 D 0.68
10． 已知点P （ααcos ,tan ）在第三象限，则角α在 ( ) A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
11. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则出现两个正面朝上的概率是（ ） A.
21 B. 41 C. 31
D. 8
1 12. 函数|tan |x y =的周期和对称轴分别为（ ）
A. )(2,Z k k x ∈=
ππ B. )(,2
Z k k x ∈=ππ
C. )(,Z k k x ∈=ππ
D.
)(2
,2
Z k k x ∈=
π
π
二、填空题（本大题共4小题，每小题４分，共１６分，把答案填在答题纸的相应位置上．） 13 某电子产品，它可以正常使用的概率为0.992，则它不能正常使用的概率是
14 已知4
sin 5
α=
，并且α是第二象限的角，那么tan α的值等于 15. 半径为10 cm ，面积为100cm 2
的扇形中，弧所对的圆心角为
１６．函数）４
ｓｉｎ（ｘ＋ｙ＝－π的最大值为 三、解答题 (本题共７小题，请写出每个题的必要的解题过程，满分共7４分)
17 .化简：)sin()
360cos()
810tan()450tan(1)900tan()540sin(00000x x x x x x --⋅
--⋅--
18 . 已知2tan =x ，求(1)
x
x x
x sin cos sin cos -+的值
(2)求x x x x 2
2cos cos sin sin 2+-的值
19 求函数y = ＋１
ｃｏｓｘ２的定义域、值域，并求当x 为何值时，y 取到最大值，最大值为多少？
20 从甲、乙、丙、丁四个人中选两名代表，写出所有结果，并求出：
（１）甲被选中的概率 （２）丁没被选中的概率
21 一个路口的红绿灯,红灯的时间为30秒,黄灯的时间为5秒,绿灯的时间为40秒,当你到达路口
时看见下列三种情况的概率各是多少?
(1) 红灯 (2) 黄灯 (3) 不是红灯
22.已知函数y=)4
2sin(3π
-
x 求：
（1） 求函数的最小正周期； （2） 判断函数的奇偶性； （3） 求函数的单调区间。
２３. 设函数图象的一条对称轴是直线，
(1) 求；
(2)(2) 求函数
的单调增区间； (3)(3) 画出函数
在区间[0，
]上的图象.
武威第五中学2015-2016学年第二学期高一年级数学期中测试卷
（满分150分，考试时间120分）答题卡
一、 选择题（每题5分，共60分） 答题卡：
二、填空题（本大题共4小题，每小题４分，共１６分，把答案填在答题纸的相应位置上．） 13． 0.008 ．14． 4
3
-
．15． 2 ．16. 0 ． 三、解答题(本题共７小题，请写出每个题的必要的解题过程，满分共7４分)
17.（满分８）化简：)sin()
360cos()810tan()450tan(1)900tan()540sin(00000x x x x x x --⋅
--⋅-- 17 解：原式=000
sin(180)1cos tan()tan(90)tan(90)sin()
x x
x x x x -⋅⋅---- sin 1tan tan ()sin tan tan x x x x x x
=⋅⋅-=-
18．（满分１０）已知2tan =x ，求(1)
x
x x
x sin cos sin cos -+的值
(2)求x x x x 2
2
cos cos sin sin 2+-的值
18 解：(1)
cos sin 1tan 12
3cos sin 1tan 12
x x x x x x +++===----
（2）222
2
22
2sin sin cos cos 2sin sin cos cos sin cos x x x x
x x x x x x
-+-+=+ 22tan tan 17
tan 15
x x x -+=
=+
19.（满分１０） 求函数y = ＋１ｃｏｓｘ２的定义域、值域，并求当x 为何值时，y 取到最大值，最大值为多少？ １９.
20.（满分１０）从甲、乙、丙、丁四个人中选两名代表，写出所有结果，并求出：
（１）甲被选中的概率 （２）丁没被选中的概率
20 解：四个人中选两个所有结果为： 甲乙、 甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁６个
（1）记甲被选中为事件A ，则事件Ａ包含３个基本事件 Ｐ（Ａ）＝２
１＝６３
（2）记没被丁被选中为事件B ，则事件Ｂ包含３个基本事件 Ｐ（Ｂ）＝２
１＝６３
21.（满分１２）21 一个路口的红绿灯,红灯的时间为30秒,黄灯的时间为5秒,绿灯的时间为40秒,
当你到达路口时看见下列三种情况的概率各是多少?
(1) 红灯 (2) 黄灯 (3) 不是红灯
21 解：总的时间长度为3054075++=秒，设红灯为事件A ，黄灯为事件B ，
（1）出现红灯的概率302
()755
P A =
==构成事件A 的时间长度总的时间长度
（2）出现黄灯的概率51
()7515
P B =
==构成事件B 的时间长度总的时间长度
（3）不是红灯的概率2
3
()1()155P A P A =-=-=
22.（满分１２）22.已知函数y=3sin(2x- )
（1） 求函数的最小正周期； （2） 判断函数的奇偶性； （3） 求函数的单调区间。
22．（1）Ｔ＝
ω
π
２＝π （2）因为函数y=3sin(2x- ４
π)的定义域R,且f(-x)=－f(x),所以该函数为奇函数。
（３）
2３.（满分１２）２３. 设函数图象的一条对称轴是
直线， （１) 求；
（2) 求函数的单调增区间；
(3) 画出函数在区间[0，]上的图象.
4π
4
π
２３．解：（Ⅰ）的图像的对称轴
（Ⅱ）由（Ⅰ）知由题意得
所以函数
（Ⅲ）由。