数学北师大版八年级上册5.5 应用二元一次方程组——里程碑上的数
北师大版-数学-八年级上册-5.5 应用二元一次方程组——里程碑上的数
应用二元一次方程组——里程碑上的数教学目标1．会应用二元一次方程组解决数学问题．2．能归纳应用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤．教学重点用二元一次方程组解决数学问题．教学难点将实际问题转化成二元一次方程组的数学模型.教学过程一、情景导入 感受新知小明爸爸骑着摩托车带着小明在马路上匀速行驶，下面是小明每隔1h 看到的里程情况，你能确定小明在12：00时看到里程碑上的数吗？12：00 是一个两位数，它的两个数字之和为7.13：00 十位与个位数数字与12：00时所看到的正好互换了．14：00 比12：00时看到的两位数中间多了个0.12：00－13：00与13：00－14：00两段时间内摩托车的行驶路程有什么关系？你能列出相应的方程吗？二、自学互研 生成新知【自主探究】活动：师生合作完成下面问题的学习与探究．问题：两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数．已知前一个四位数比后一个四位数大2178，求这两个两位数． 为了帮助学生理清思路，分析各数之间的关系，教师可以引导学生分析：设较大的两位数为x ，较小的两位数为y ，在较大数的右边接着写较小的数，所写的数可表示为________；在较大的数的左边写上较小的数，所写的数可表示为________．为了让学生有一个清晰的解题过程，展示如下：解：设较大的两位数为x ，较小的两位数为y ，根据题意得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝68，（100x ＋y ）－（100y ＋x ）＝2178，化简，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝68，99x －99y ＝2178，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝68，x －y ＝22，解这个方程组得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝45，y ＝23.所以这两个两位数分别是45和23. 思考讨论：经历前面一系列的解决二元一次方程组的应用题，你认为列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤是怎样的？与同学们交流．归纳总结：列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤为：审、找、设、列、解、验、答．【师生活动】①明了学情：关注学生对根据实际问题建立数学模型的掌握情况；②差异指导：对学生在探究中产生的疑惑及时引导与点拨；③生生互助：学生小组内交流讨论，相互释疑，达成共识．三、典例剖析 再探新知【合作探究】例：某人骑车外出旅游，已知他的路程分为上坡和下坡，上坡速度为8 km/h ，下坡速度为12 km/h ，去时他共用了4.5 h ，原路返回共用了4.25 h ，求去时上坡路长和下坡路长．解：设去时上坡路长为x km ，下坡路长为y km ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧x 8＋y 12＝4.5，x 12＋y 8＝4.25.解之得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝24，y ＝18. 答：去时上坡路长为24 km ，下坡路长为18 km.四、课堂小结 回顾新知通过本节课的学习，你有什么收获？还有哪些疑惑？请谈一谈你的想法和同学们一起分享！五、检测反馈 落实新知(2018年永州中考)在永州市青少年禁毒教育活动中，某班男生小明与班上同学一起到禁毒教育基地参观，以下是小明和奶奶的对话，请根据对话内容，求小明班上参观禁毒教育基地的男生和女生的人数.解：设小明班上参观禁毒教育基地的男生人数为x 人，女生人数为y 人，依题意得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝55，x ＝1.5y ＋5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝35，y ＝20. 答：小明班上参观禁毒教育基地的男生人数为35人，女生人数为20人．六、课后作业 巩固新知(见学生用书)。
八年级数学北师大版(上册)《5.5应用二元一次方程组--里程碑上的数》课件
x y
5, 6.
答：这个两位数是56．
56-3(5+6)=23 56÷(5+6)=5…1
4．一个两位数是另一个两位数的3倍，如果把这个两位 数放在另一个两位数的左边与放在右边所得的数之和为 8484．求这个两位数．
解：设这个两位数为x，另一个为y，由题意，得
x 3y, (100x y) (100 y x) 8484.
【解析】设上坡用x时，下坡用y时，据题意得： 6x+12y=4.8， x＋y＝0.5.
x＝0.2， 解得
y＝0.3.
0.26 1.2,0.312 3.6
故选A.
2.李刚骑摩托车在公路上匀速行驶，早晨7:00时看到
里程碑上的数是一个两位数，它的数字之和是9；
8:00时看里程碑上的两位数与7:00时看到的个位数和
四、探索数字之谜3
1、有一个两位数和一个一位数，若在这个一位数后面多写一个0， 则它与这个两位数的和是146,若用这个两位数除以这个一位数，则 商为6余2,求这两个数.
2、聪聪在给妈妈过生日时发现自己的年龄与妈妈的年龄的十位数字 与个位数字刚好相反，同时他还发现，过10年,妈妈岁数减1（岁）刚 好是自己岁数加1（岁）的2倍；再过1岁，他们两人的年龄又一次相 反，且十位数字与个位数字的和为7,求聪聪和他妈妈现在的年龄.
二、复习2
列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤: (1)审(2)设(⑶找惇(4)列(5)解(6)验(7)答
三、探索数字之谜1
小明爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，下图是小明每
隔1小时看到的里程情况．你能确定小明在12:00时看到的里程碑上 的数吗?
三、探索数字之谜2
在川藏公路的建设中有很多守在一线的劳动者，曾双全，罗卫东 就是在一线，一干就是很多年.罗卫东比曾双全工作时间长，你能够 通过以下的问题找出他们工作年数么?这两个两位数的和是41，在较 大的两位数的的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数;在较大 的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数，已知前一 个四位数比后一个四位数大495，求这两个两位数.
北师大版八年级数学上册：5.5应用二元一次方程组-里程碑上的数(教案)
-例如：在本节课的里程碑问题中，学生需要理解小明和小华行走速度与相遇时间的关系，将这一关系转化为方程组中的未知数和方程。
（2）熟练运用加减消元法和代入法解二元一次方程组，求解实际问题。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解二元一次方程组的基本概念。二元一次方程组是由两个含有一个未知数的方程构成的，它们共同拥有两个未知数。它在解决两个相关联的量的问题中起着重要作用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了如何将里程碑问题转化为二元一次方程组，并通过求解方程组找到小明和小华相遇的情况。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调如何建立方程组和如何选择消元方法这两个重点。对于难点部分，如如何从实际问题中抽象出数学模型，我会通过举例和逐步引导来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与二元一次方程组相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的模拟实验。通过角色扮演，学生可以直观地感受方程组中各变量的意义。
二、核心素养目标
1.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提升数学应用意识。
2.通过二元一次方程组的建立与求解，锻炼学生的逻辑思维和推理能力，增强数学抽象素养。
3.在小组合作与交流中，提高学生的数学表达与沟通能力，培养团队合作精神。
4.引导学生体会数学在生活中的广泛应用，增强数学建模素养，激发学习兴趣。
-通过实际例题，让学生动手操作，加深对方程组解的实际意义的理解。
-对于拓展案例，鼓励学生自主探索，教师适时提供指导，帮助学生适应问题条件的变化，灵活运用所学知识。
5.5 应用二元一次方程组——里程碑上的数(课件)北师大版数学八年级上册
知1－练
解题秘方：设出数位上的数字，利用数位上的数
字表示出数，根据题目中的等量关系
列出方程组.
解决数字问题一定要明确多位数 的书写形式，灵活设未知数.正确用代 数式表示多位数是解题的关键 .
感悟新知
知1－练
解：设原百位数字为x，原三位数去掉百位数字后的两位
数为y，由题意，得ቊ190xy＝＋yx－＝31，00x＋y－45，解得ቊxy＝＝349，. 则4×100＋39＝439. 答：原三位数为439.
解得ቊxy==115200，.
答： 平路和坡路分别有 150 km 和 120 km.
知3－练
3-1.从 A 地 到 B 地，先下坡然后走平路，某人骑自行车 以 12 km/h的速度下坡，然后以9 km/h 的速 度通 过 平路，到 达 B 地共用 55min. 回来时以 8 km/h的 速 度通 过平路，以 4km/h 的速度上坡，回到A 地 共 用 1.5 h，从 A地到 B 地有多少千米？
感悟新知
特别提醒 年龄问题解题口诀：
岁差不会变，同时相加减. 岁数若改变，倍数也改变.
知2－讲
感悟新知
知2－练
例2 父亲给儿子出了一道题，要儿子猜出答案：有一对母
女，5 年前母亲的年龄是女儿年龄的15 倍，15 年后，
母亲的年龄比女儿年龄的2 倍还多6 岁. 那么现在这对
母女的年龄分别是多少？
感悟新知
知3－练
解：设从 A 地到 B 地坡路为 x km，平路为 y km， 根据题意，得18yx2＋＋x49＝y＝156.550，，解得xy＝＝63.， 所以 x＋y＝9，答：从 A 地到 B 地有 9 km.
课堂小结
应用二元一次方程组 ——里程碑上的数
北师大版初中八年级数学上册第5章5应用二元一次方程组——里程碑上的数课件
x
y
10x+y
原两位数
y
x
10y+x
新两位数
相等关系:①个位数字+十位数字=7;②原来的两位数+45=对调后组成的
两位数.
解 设这个两位数的十位数字为x,个位数字为y,根据题意,得
+ = 7,
= 1,
解得
= 6.
10 + + 45 = 10 + ,
所以原两位数是16.
知识点二
工程问题
【例2】 某服装厂接到生产一种工作服的订货任务,要求在规定期限内完
成,按照这个服装厂原来的生产能力,每天可生产这种服装150套,按这样的
生产进度在客户要求的期限Leabharlann 只能完成订货的45
;现在工厂改进了人员组
织结构和生产流程,每天可生产这种工作服200套,这样不仅比规定时间少
用1天,而且比订货量多生产25套,求定做的工作服是几套?要求的期限是几
所以定做的工作服是3 375套,要求的期限是18天.
【规律总结】
解决工程问题关键要抓好三个基本量的关系,即“工作量=工作时间×工作
效率”以及它们的变式“工作时间=工作量÷工作效率,工作效率=工作量÷
工作时间”.其次注意当题目与工作量的大小、多少无关时,通常用“1”表示
总工作量.
二元一次方程组
5
应用二元一次方程组——里程碑上的数
核心·重难探究
知识点一
数字问题
【例1】 一个两位数的十位数字与个位数字的和是7,如果这个两位数加上
45,则恰好成为个位数字与十位数字对调后组成的两位数,求这个两位数.
思路分析 设这个两位数的十位数字为x,个位数字为y,用下表表示:
北师大版八年级数学上册5.5应用二元一次方程组——里程碑上的数共23张PPT
例：建设中的大外环路是我市的一项重点民生工程．某工程 公司承建的一段路基工程的施工土方量为 120 万立方， 原计划由公司的甲、乙两个工程队从公路的两端同时相 向施工 150 天完成．由于特殊情况需要，公司抽调甲队 外援施工，由乙队先单独施工 40 天后甲队返回，两队又 共同施工了 110 天，这时甲、乙两队共完成土方量 103.2 万立方．问甲、乙两队原计划平均每天的施工土方量分 别为多少万立方？
阶梯
电量
电价
一档 0～180度 0.6元/度
二档 181～400度 二档电价
三档 401度及以上 三档电价
解：设二档电价是x元/度，三档电价是y元/度．根据题 意，得： 180×0.6＋220x＋100y＝352， 180×0.6＋220x＋60y＝316， 解得xy＝＝00..97.， 答：二档电价是0.7元/度，三档电价是0.9元/度．
(2)13:00时小明看到的数可表示为_________.
一个两位数为x,另一个两位数为y,则x在y左边构成的四位数为100x+y.
x＋y＝50， 12:00～13:00间摩托车行驶的路程 是____________.
分析：设较大的两位数为x，较小的两位数为y，
根据题意，得 (3)14:00时小明看到的数可以表示为_______，
5.5应用二元一次方程组 ——里程碑上的数
知识点一 数字问题 1.奇数、偶数的表示 当n为整数时,奇数可表示为2n+1(或2n-1), 偶数可表示为2n. 2.一般地,两位数的表示方法是十位数字×10+个位数字,如:78= 7×10+8;三位数的表示方法是百位数字×100+十位数字×10+个 位数字,如:231=2×100+3×10+1. 注意:不要错误地认为将各位上的数字排列起来就可以表示数 3.一个两位数为x,另一个两位数为y,则x在y左边构成的四位数 为100x+y.
北师大版八年级数学上册5.5： 应用二元一次方程组——里程碑上的数
探究1 14:00 比12：00时看到的两位数中间多了个0
如果设小明在12：00看到的数的十位数字是x，个 位数字是y，那么：
（3）14：00时小明看到的数可表示为__1_0__0_x_+_y____,
1.如果一个两位数的十位数字与个位数字之和为6，
那么这样的两位数的个数是（ B）
A.3 B.6
C.5
D.4
2. 一个两位数，十位数字与个位数字的和是7，如果
这个两位数加上45，则恰好成为个位数字与十位数字
对调后组成的两位数，设十位数字为x,个位数字为y， x+y=7
列出方程__1_0x_+_y_+_4_5_=_1_0y+x
探究2
两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边 接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的 两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位 数．已知前一个四位数比后一个四位数大2178，求 这两个两位数．
两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小 的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小 的两位数，也得到一个四位数．已知前一个四位数比后一个四 位数大2178，求这两个两位数．
5.5应用二元一次方程组
——里程碑上的数
授课人：王梓锋
知识回顾
64 （1）一个两位数，十位上的数是6，个位上的数是4，这个两位数是______.
（2）10一b+个a 两位数，个位数字是a，十位数字是b，则这个两位数用代数式表示为
，
若交1换0a个+b位和十位上的数字，得到一个新的两位数用代数式表示为
北师大版八年级数学上册5.5 应用二元一次方程组——里程碑上的数
小红将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，
设未知数 x，y，已经列出一个方程x＋y＝54，则另一个 3 4 60
方程正确的是( B )
A．4x＋3y＝4620 C．4x＋5y＝4602
B．5x＋4y＝4620 D．3x＋4y＝4620
9. 甲、乙两数之和为 16，甲数的 3 倍等于乙数的 5
倍，若设甲数为 x，乙数为 y，给出下列方程组：
7. 甲、乙两人相距 8 km，两人同时出发，如果同向
而行，甲 4 小时可追上乙；如果相向而行，两人 1 小时
相遇.问两人的平均速度各是多少？若设甲的平均速度
是每小时行 x km，乙的平均速度是每小时行 y km，根据
题意，列方程组正确的是( A )
A．
4x＝4y＋8， x＋y＝8
C．
4x＝4y＋8， x－y＝8
x－y＝19，
(2)由(1)及题意得 1.5y＝12x＋8.5，
化简得
x－y＝19，① 3y－x＝17，②
解得
x＝37， y＝18，
所以小王的实际乘车时间为 37 分钟，小张的实际乘
车时间为 18 分钟.
14：30 比 12：00 时看 到的两位数中
间多了个 0
则 12：00 时看到的两位数是多少？
解：设 12：00 时看到的两位数是 10a＋b，则 13：00 时看到的数是 10b＋a，14：30 时看到的数为 100a ＋b，小明在公路上行驶速度为 9(b－a)里/小时，由已知 可得
a＋b＝6， （100a＋b）－（10b＋a）＝9（b－a）×32， 解得 ab＝＝15，，所以 12：00 时看到的两位数是 15.
5.5 应用二元一次方程组——里程碑上的数
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5.5应用二元一次方程组----里程碑上的数
备课：曹玉辉
一、学习准备：
（1）有两个两位数45和23，如果将45放在23的左边，就得到一个四位数，那么这个四位数为；如果将45放在23的右边，将得到一个新的四位数，那么这个四位数为．
（2）一个两位数，个位数字是a，十位数字是b，则这个两位数用代数式表示为；若交换个位和十位上的数字得到一个新的两位数，用代数式表示为．
（3）一个两位数，个位上的数为x，十位上的数为y，如果在它们之间添上一个0，就得到一个三位数，这个三位数用代数式可以表示为．
二、学习目标：
用二元一次方程组解决有趣场景中的数字问题和行程问题，归纳用方程（组）解决实际问题的一般步骤．
三、学习提示：
小明爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，下图是小明每隔1小时看到的里程情况．你能确定小明在12:00时看到的里程碑上的数吗？
时间12:00 是一个两位数，它的两个数字之和为7
时间13:00 十位与个位数字与12:00时所看到的正好互换了
时间14:00 比12:00时看到的两位数中间多了个0.
如果设小明在12：00时看到的数的十位数字是x，个位数字是y，那么
（1）12：00时小明看到的数可表示为，根据两个数字和是7，可列出方程；
（2）13：00时小明看到的数可表示为，12：00～13：00间摩托车行驶的路程是；
（3）14：00时小明看到的数可表示为，13：00～14：00间摩托车行驶的路程是；
（4）12：00～13：00与13：00～14：00两段时间内摩托车的行驶路程有什么关系？
你能列出相应的方程组吗？
例2 ：两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数．已知前一个四位数比后一个四位数大2178，求这两个两位数．
四、学习小结：你有哪些收获？
五、夯实基础：
P121随堂练习
六、能力提升：
某铁路桥长1000米，一列火车从桥上通过，从上桥到离开桥共用1分钟，整列火车全在桥上的时间为40秒，求火车的长度和速度．。