高中数学第四讲用数学归纳法证明不等式综合检测新人教A版选修4_5

第四讲 用数学归纳法证明不等式讲末综合检测(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．用数学归纳法证明不等式1＋123＋133＋…＋1n 3<2－1n (n ≥2，n ∈N ＋)时，第一步应验证不等式( )A ．1＋123<2－12B ．1＋123＋133<2－13C ．1＋123<2－13D ．1＋123＋133<2－14解析：选A.第一步验证n ＝2时不等式成立，即1＋123<2－12.2.设S (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2，则( )A ．S (n )共有n 项，当n ＝2时，S (2)＝12＋13B ．S (n )共有n ＋1项，当n ＝2时，S (2)＝12＋13＋14C ．S (n )共有n 2－n 项，当n ＝2时，S (2)＝12＋13＋14D ．S (n )共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，S (2)＝12＋13＋14解析：选D.S (n )的项数应为n 2－(n －1)＝n 2－n ＋1，S (2)＝12＋13＋14，故选D.3．设f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋ (12)(n ∈N ＋)，那么f (n ＋1)－f (n )等于( ) A ．12n ＋1 B ．12n ＋2 C ．12n ＋1＋12n ＋2 D ．12n ＋1－12n ＋2解析：选D.因为f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋ (12)， 所以f (n ＋1)＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋12n ＋1＋12n ＋2， 所以f (n ＋1)－f (n )＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2.4．k 棱柱有f (k )个对角面，则k ＋1棱柱的对角面个数f (k ＋1)为( )A ．f (k )＋k ＋1B ．f (k )＋kC ．f (k )＋k －1D ．f (k )＋k －2解析：选C.当k 棱柱变为k ＋1棱柱时，新增的一条侧棱与和它不相邻的k －2条侧棱确定k －2个对角面，而原来的一个侧面变为对角面，所以共增加k －1个对角面．5．已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋1＝2a n ＋a n －1(n ∈N ＋)，用数学归纳法证明a 4n 能被4整除，假设a 4k 能被4整除，然后应该证明( )A ．a 4k ＋1能被4整除B ．a 4k ＋2能被4整除C ．a 4k ＋3能被4整除D ．a 4k ＋4能被4整除解析：选D.由假设a 4k 能被4整除，则当n ＝k ＋1时，应该证明a 4(k ＋1)＝a 4k ＋4能被4整除．6．设0<θ<π2，a 1＝2cos θ，a n ＋1＝2＋a n ，则猜想a n 等于( )A ．2cos θ2nB ．2cos θ2n －1C ．2cos θ2n ＋1D ．2sin θ2n解析：选 B.因为a 1＝2cos θ，所以a 2＝2＋2cos θ＝ 2 2cos2θ2－1＋1＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2.又因为0<θ<π2，所以0<θ2<π4，所以a 2＝2cos θ2，所以a 3＝2＋2cos θ2＝2cos θ4＝2cos θ22，故猜想a n ＝2cos θ2n －1.7．F (n )是一个关于自然数n 的命题，若F (k )(k ∈N ＋)真，则F (k ＋1)真，现已知F (7)不真，则有①F (8)不真； ②F (8)真； ③F (6)不真； ④F (6)真； ⑤F (5)不真； ⑥F (5)真． 其中真命题是( ) A ．③⑤ B ．①② C ．④⑥D ．③④解析：选A.因为F (k )(k ∈N ＋)真，则F (k ＋1)真的逆否命题是：F (k ＋1)不真，则F (k )不真，从而可结合数学归纳法的原理知：当F (7)不真时，F (6)不真，F (5)亦不真，故③⑤是真命题．8．用数学归纳法证明：“n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3(n ∈N ＋)能被9整除”，要利用归纳假设证n ＝k ＋1时的情况，只需展开( )A ．(k ＋3)3B ．(k ＋2)3C ．(k ＋1)3D ．(k ＋1)3＋(k ＋2)3解析：选A.当n ＝k ＋1时，证明“(k ＋1)3＋(k ＋2)3＋(k ＋3)3能被9整除”．由归纳假设，n ＝k 时，k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3能被9整除，所以只需将(k ＋3)3展开．9．数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2a n (n ≥2)，且a 1＝1，通过计算a 2，a 3，a 4，猜想a n 等于( ) A ．2（n ＋1）2 B ．2n （n ＋1）C ．22n －1D ．1n －1解析：选B.由已知a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ≥2)，得a 1＋a 2＝4a 2，解得a 2＝13＝22×3，同理a 3＝23×4，a 4＝24×5，…，猜想a n ＝2n （n ＋1）.10．对任意n ∈N ＋，34n ＋2＋a2n ＋1都能被14整除，则最小的自然数a 为( )A ．1B ．2C ．5D ．3解析：选C.因为当n ＝1时，34n ＋2＝36＝729＝52×14＋1，所以只需1＋a 3是14的倍数． 于是可排除选项A 、B ， 若a ＝3，则当n ＝2时，34n ＋2＋32n ＋1＝35×22×61，不是14的倍数，这样又排除选项D. 因此答案只能是C.11．上一个n 层的台阶，若每次可上一层或两层，设所有不同上法总数为f (n )，则下列猜想中正确的是( )A ．f (n )＝nB ．f (n )＝f (n －1)＋f (n －2)C ．f (n )＝f (n －1)f (n －2)D ．f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n （n ＝1，2）f （n －1）＋f （n －2）（n ≥3）解析：选D.当n ＝1时，有1种上法，当n ＝2时，有2种上法．当n ≥3时，f (n )为第1次上一层的上法f (n －1)与第1次上两层f (n －2)的和．故选D.12．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n ×3n －1＝3n(na －b )＋c 对一切n ∈N ＋都成立，则a ，b ，c 的值为( )A ．a ＝12，b ＝c ＝14B ．a ＝b ＝c ＝14C ．a ＝0，b ＝c ＝14D ．不存在这样的a ，b ，c解析：选A.因为等式对一切n ∈N ＋均成立， 所以n ＝1，2，3时等式成立， 即⎩⎪⎨⎪⎧1＝3（a －b ）＋c ，1＋2×3＝32（2a －b ）＋c ，1＋2×3＋3×32＝33（3a －b ）＋c ，整理得⎩⎪⎨⎪⎧3a －3b ＋c ＝1，18a －9b ＋c ＝7，81a －27b ＋c ＝34，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝14，c ＝14.二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．用数学归纳法证明cos α＋cos 3α＋…＋cos(2n －1)α＝sin 2n α2sin α(sin α≠0，n ∈N ＋)，在验证n ＝1时，等式右边的式子是________．解析：当n ＝1时，右边＝sin 2α2sin α＝2sin αcos α2sin α＝cos α.答案：cos α14．对于任意自然数n ，n 3＋11n 都能被m 整除，则m 的最大值为________． 解析：设f (n )＝n 3＋11n ，则f (1)＝12，f (2)＝30，f (3)＝60，f (4)＝108.因为12，30，60，108的最大公约数为6， 所以m 的最大值为6. 答案：615．设f (n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ＋1…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ＋n ，用数学归纳法证明f (n )≤3.在“假设n＝k 时成立”后，f (k ＋1)与f (k )的关系是f (k ＋1)＝f (k )·________．解析：当n ＝k 时，f (k )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k ＋1…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k ＋k ；当n ＝k ＋1时，f (k ＋1)＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋1k ＋1·(1＋1k ＋2)…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k ＋2， 所以应乘⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k ＋2·k k ＋1. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k ＋2·k k ＋1 16．已知数列{a n }，其中a 2＝6，且满足a n ＋1＋a n －1a n ＋1－a n ＋1＝n ，则a 1＝________，a 3＝________，a 4＝________，猜想a n ＝________．解析：由已知可得a 2＋a 1－1a 2－a 1＋1＝1，a 3＋a 2－1a 3－a 2＋1＝2，a 4＋a 3－1a 4－a 3＋1＝3，将a 2＝6代入以上三式，解得：a 1＝1，a 3＝15，a 4＝28.由于a 1＝1，a 2＝2×3，a 3＝3×5，a 4＝4×7， 猜想得a n ＝n (2n －1)． 答案：1 15 28 n (2n －1)三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.(本小题满分10分)求证：平面上通过同一点的n 条直线分平面为2n 个部分． 证明：(1)当n ＝1时，一条直线把平面分成两部分，故命题成立．(2)假设n ＝k(k≥1，k ∈N ＋)时，平面上通过同一点的k 条直线把平面分成2k 个部分，设第(k ＋1)条直线落在相邻的两条直线之间，它把这两条直线所围成的平面上的两个区域变成4个区域，也即增加一条直线后，平面上的区域共有2k ＋2＝2(k ＋1)个，故命题对于n ＝k ＋1也成立．由(1)、(2)知，原命题对于任何正整数n 都成立．18．(本小题满分12分)用数学归纳法证明：f (n )＝3·52n ＋1＋23n ＋1(n ∈N ＋)能被17整除．证明：(1)当n ＝1时，f (1)＝3×53＋24＝391＝17×23， 故f (1)能被17整除．(2)假设n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时，命题成立． 即f (k )＝3·52k ＋1＋23k ＋1能被17 整除，则当n ＝k ＋1时，f (k ＋1)＝3·52k ＋3＋23k ＋4＝52·3·52k ＋1＋52·23k ＋1－52·23k ＋1＋23k ＋4＝25f (k )－17·23k ＋1.由归纳假设，可知f (k )能被17整除，又17·23k ＋1显然可被17整除，故f (k ＋1)能被17整除．综合(1)(2)可知，对任意正整数n ，f (n )能被17整除．19．(本小题满分12分)已知a i >0(i ＝1，2，3，…，n )，考察下列式子： ①a 1·1a 1≥1；②(a 1＋a 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋1a 2≥4；③(a 1＋a 2＋a 3)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋1a 2＋1a 3≥9.归纳对a 1，a 2，…，a n 都成立的类似不等式，并用数学归纳法证明． 解：由所给不等式可归纳(a 1＋a 2＋…＋a n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≥n 2.证明如下：(1)当n ＝1时，显然成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时，不等式成立． 当n ＝k ＋1时，(a 1＋a 2＋…＋a k ＋1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋1a 2＋…＋1a k ＋1＝(a 1＋a 2＋…＋a k )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋1a 2＋…＋1a k ＋a k ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋1a 2＋…＋1a k ＋1a k ＋1(a 1＋a 2＋…＋a k )＋1≥k 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1a 1＋a 1a k ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1a 2＋a 2a k ＋1＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1a k ＋a k a k ＋1＋1≥k 2＋2k ＋1＝(k ＋1)2， 即n ＝k ＋1时，不等式成立．综上，(a 1＋a 2＋…＋a n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≥n 2.20．(本小题满分12分)设函数f (x )＝x －x ln x ，数列{a n }满足0<a 1<1，a n ＋1＝f (a n )． (1)证明：函数f (x )在区间(0，1)上是增函数； (2)证明：a n <a n ＋1<1.证明：(1)f ′(x )＝1－(1＋ln x )＝－ln x . 因为x ∈(0，1)，所以ln x <0. 所以f ′(x )>0，所以f (x )在(0，1)上为增函数． (2)运用数学归纳法证明0<a n <1， 当n ＝1时，由于0<a 1<1， 所以不等式成立．假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时，0<a k <1， 则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝f (a k )＝a k －a k ln a k ＝a k (1－ln a k )．因为ln a k <0，所以a k ＋1>0. 因为f (x )在(0，1)上为增函数， 又0<a k <1，所以a k ＋1＝f (a k )<f (1)＝1－0＝1. 即对于任意的正整数n 均有0<a n <1. 而a n ＋1－a n ＝－a n ·ln a n >0， 所以a n ＋1>a n ， 故a n <a n ＋1<1.21．(本小题满分12分)设集合M ＝{1，2，3，…，n }(n ≥3)，记M 的含有三个元素的子集个数为S n ，同时将每一个子集中的三个元素由小到大排列，取出中间的数，所有这些中间的数的和记为T n .(1)求T 3S 3，T 4S 4，T 5S 5，T 6S 6的值； (2)猜想T n S n的表达式，并证明．解：(1)当n ＝3时，M ＝{1，2，3}，S 3＝1，T 3＝2，T 3S 3＝2，当n ＝4时，M ＝{1，2，3，4}，S 4＝4，T 4＝2＋2＋3＋3＝10，T 4S 4＝52，T 5S 5＝3，T 6S 6＝72. (2)猜想T n S n ＝n ＋12.下面用数学归纳法证明． ①当n ＝3时，由(1)知猜想成立． ②假设当n ＝k (k ≥3)时，猜想成立， 即T k S k ＝k ＋12，而S k ＝C 3k ，所以T k ＝k ＋12C 3k ，则当n ＝k ＋1时，易知S k ＋1＝C 3k ＋1.而当集合M 从{1，2，3，…，k }变为{1，2，3，…，k ，k ＋1}时，T k ＋1在T k 的基础上增加了1个2，2个3，3个4，…，(k －1)个k ，所以T k ＋1＝T k ＋2×1＋3×2＋4×3＋…＋k (k －1) ＝k ＋12C 3k ＋2(C 22＋C 23＋C 24＋…＋C 2k ) ＝k ＋12C 3k ＋2(C 33＋C 23＋C 24＋…＋C 2k ) ＝k －22C 3k ＋1＋2C 3k ＋1 ＝k ＋22C 3k ＋1＝（k ＋1）＋12S k ＋1， 即T k ＋1S k ＋1＝（k ＋1）＋12. 所以当n ＝k ＋1时，猜想也成立． 综上所述，猜想成立．22．(本小题满分12分)记f n (x ，y )＝(x ＋y )n－(x n＋y n)，其中x ，y 为正实数，n ∈N ＋.给定正实数a ，b 满足a ＝bb －1.用数学归纳法证明：对于任意正整数n ，f n (a ，b )≥f n (2，2)．证明：欲证不等式为(a ＋b )n－a n－b n≥22n－2n ＋1.(*)(1)当n ＝1时，不等式(*)左边＝0，右边＝0，不等式(*)成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N ＋)时，不等式(*)成立，即(a＋b)k－a k－b k≥22k－2k＋1.由a>0，b>0及a＝bb－1，得a＋b＝ab.因为a>0，b>0，所以a＋b≥2ab，从而ab≥4，a＋b＝ab≥4.进而a k b＋ab k≥2（ab）k＋1≥24k＋1＝2k＋2，则当n＝k＋1(k∈N＋)时，(a＋b)k＋1－a k＋1－b k＋1＝(a＋b)[(a＋b)k－a k－b k]＋a k b＋ab k≥4[(a＋b)k－a k－b k]＋2k＋2≥4(22k－2k＋1)＋2k＋2＝22(k＋1)－2(k＋1)＋1，所以当n＝k＋1时，不等式也成立．由(1)(2)知，对n∈N＋，不等式(*)成立，即原不等式成立．。