2.3.1圆的标准方程学案1
高中数学_2.3.1圆的标准方程教学设计学情分析教材分析课后反思
.高中数学必修2 新授课导学案2.3.1圆的标准方程（一）学习目标：1.知识与技能目标:（1）理解并掌握圆的标准方程,会根据不同条件求得圆的标准方程，并从圆的标准方程中熟练地求出圆心和半径；（2）运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题。
2.过程与方法目标：（1）通过对圆的标准方程的推导，渗透数形结合、待定系数法等数学思想，进一步提高学生的观察、比较、分析、概括等思维能力；（2）学会借助实例分析探究数学问题 3.情感、态度与价值观目标：（1）通过学生的主动参与，师生、生生的合作交流，提高学生的学习兴趣，激发其求知欲，培养探索精神； （2）树立事物之间相互联系、相互转化的辩证唯物主义的观点。
（二）学习重点和难点：1．重点：圆的标准方程的推导以及根据已知条件求圆的标准方程。
2．难点：运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题。
(三)学习过程： 一、课前准备复习回顾： 1.已知点),(),,(2211y x B y x A ，两点间的距离AB =___________ 。
2.已知点,直线,点A 到直线l 的距离为3.圆的定义：平面内到一_____的距离等于_____的点的轨迹是圆，_____是圆心，___是半径。
二、新课导学探究1：在平面直角坐标系中，求圆心为点C 、半径为r 的圆的方程。
( 思考:如何建立平面直角坐标系? )MC r新知1：圆的标准方程： _______ ，圆心为C（，），半径为。
写出下列方程表示的圆的圆心坐标和半径.说明：y探究2：点与圆的位置关系试一试：写出圆心为C（0,0）半径为2的圆的方程，在平面直角坐标系中,画出此圆, 2并判断点与圆的位置关系。
1-2 -10 1 2 x新知2：判断点A(与圆C：()()222rbyax=-+-（r>0）的位置关系的方法：（1）点A在圆内 |CA| rA A A（2）点A在圆上 |CA| rC.（3）点A在圆外 |CA| r 三、新知应用例1：根据下列条件，求圆的标准方程：（1）圆心在点C(-2,1)，并过点A(2,-2)。
高中数学2.3圆的方程2.3.1圆的标准方程预习导学案新人教B版必修1
2．3.1 圆的标准方程预习导航1．圆的定义 平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹是圆，定点是圆心，定长是圆的半径．设M(x ，y)是⊙C 上的任意一点，点M 在⊙C 上的条件是|CM|＝r ，r 为⊙C 的半径．思考1 平面内到一个定点的距离小于或等于定长的点的集合是什么？提示：是一个以定点为圆心，以定长为半径的圆面．2．圆的方程(1)圆心在坐标原点，半径为r 的圆的标准方程为x 2＋y 2＝r 2.(2)圆心坐标为(a ，b)，半径为r 的圆的标准方程为(x －a)2＋(y －b)2＝r 2.思考2在平面直角坐标系中，圆是函数的图象吗？提示：根据函数知识，对于平面直角坐标系中的某一曲线，如果垂直于x 轴的直线与此曲线至多有一个交点，那么这条曲线是函数的图象，否则，不是函数的图象．对于平面直角坐标系中的圆，垂直于x 轴的直线与其至多有两个交点，因此圆不是函数的图象．但是存在图象是圆弧形状的函数．例如：函数y ＝b 的图象是以(a ，b)为圆心，半径为r 的位于直线y ＝b 上方的半圆弧；函数y ＝b 的图象是以(a ，b)为圆心，半径为r 的位于直线y ＝b 下方的半圆弧．3．点与圆的位置关系设点P(x0，y0)和圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则：点P在圆上⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔|PC|＝r；点P在圆外⇔(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔|PC|>r；点P在圆内⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔|PC|＜r.思考3直线y＝k(x－3)与圆x2＋y2＝16的位置关系怎样？提示：相交．因为直线y＝k(x－3)恒过定点(3,0)，又(3,0)点在圆x2＋y2＝16的内部，故直线与圆是相交的．。
圆的标准方程学案
圆的标准方程学案圆的标准方程学案一、教学目标1、理解圆的标准方程的意义，掌握圆的标准方程的推导过程；2、会根据圆的标准方程求出圆心坐标和半径，掌握圆的标准方程的应用；3、通过对圆的标准方程的学习，初步了解解析几何的基本思想和方法，提高数学思维能力和解决实际问题的能力。
二、教学内容1、圆的标准方程的推导2、圆的标准方程的形式及其意义3、圆的标准方程的应用三、教学过程1、引入：通过实例展示圆的结构和特点，引出圆的标准方程的概念。
2、圆的标准方程的推导：通过几何法和代数法两种方法，推导出圆的标准方程。
3、圆的标准方程的形式及其意义：介绍圆的标准方程的形式，解释各项参数的意义，明确圆心坐标和半径的求解方法。
4、圆的标准方程的应用：通过实例演示，说明圆的标准方程在解决实际问题中的应用，如求圆与直线的交点、求圆的外接正方形边长等。
四、教学步骤1、教师引导学生通过实例理解圆的结构和特点，引出圆的标准方程的概念。
2、教师介绍圆的标准方程的推导过程，通过几何法和代数法两种方法，推导出圆的标准方程。
3、教师解释圆的标准方程的形式，说明各项参数的意义，明确圆心坐标和半径的求解方法。
4、教师通过实例演示，说明圆的标准方程在解决实际问题中的应用，如求圆与直线的交点、求圆的外接正方形边长等。
五、教学重点与难点1、教学重点：掌握圆的标准方程的推导过程，理解圆的标准方程的意义，掌握圆的标准方程的应用。
2、教学难点：理解圆的标准方程的意义，掌握圆的标准方程的应用。
六、教学方法与手段1、教学方法：讲解、演示、练习、互动交流。
2、教学手段：PPT、板书、实物展示。
七、教学评估1、课堂练习：通过练习题检验学生对圆的标准方程的理解和掌握情况。
2、课后作业：布置相关题目，加强学生对圆的标准方程的掌握和应用能力。
3、课堂讨论：引导学生对圆的标准方程的应用进行讨论，提高学生对该知识的理解和应用能力。
八、教学反思1、总结课堂效果：对本次课程的教学效果进行总结，分析学生的掌握情况。
学案2：2.3.1 圆的标准方程
2.3.1 圆的标准方程基础梳理1．圆的标准方程：圆心为C (a ，b )、半径为r 的圆的标准方程为 ． 练习1： (1)圆心在原点，半径是3的圆的标准方程为： ． (2)圆心在x 轴上，半径为1，且过点(－1，1)的圆的标准方程为： ． 2．点与圆的位置关系．设点P 到圆心的距离为d ，圆的半径为r ，则点与圆的位置有如下表所示的对应关系：练习2：圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝32的圆心为 ，半径为 ． ►思考应用下列几种特殊位置的圆的方程是什么？自测自评1．圆心是O(－3，4)，半径为5的圆的方程为() A ．(x －3)2＋(y ＋4)2＝5 B ．(x －3)2＋(y ＋4)2＝25 C ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝5 D ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝25 2．点P(m ，5)与圆x 2＋y 2＝24的位置关系是( )A ．在圆外B ．在圆内C ．在圆上D ．不确定 3．圆的一条直径的两个端点是(2，0)、(2，－2)，则此圆的方程是( ) A ．(x －2)2＋(y －1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 C ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝9 D ．(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝1 4．圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心到直线y ＝33x 的距离是( ) A.12 B.32 C.1 D.3 基础达标1．已知点P(a ，a ＋1)在圆x 2＋y 2＝25内部，那么a 的取值范围是( ) A ．－4<a <3 B ．－5<a <4 C ．－5<a <5 D ．－6<a <4 2．方程y ＝－25－x 2表示的曲线是( )A ．一条射线B ．一个圆C ．两条射线D ．半个圆 3．圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于原点(0，0)对称的圆的方程为( )A(x －2)2＋y 2＝5 B ．x 2＋(y －2)2＝5 C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝5 D ．x 2＋(y ＋2)2＝5 4．已知圆上三点A (0，4)，B (3，0)，C(0，0)，则该圆的方程为________________． 5．过点A (1，2)的直线l 将圆(x －2)2＋y 2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k ＝________．6．圆x 2＋y 2＝4上的点到点A (3，4)的距离的最大值是________，最小值是________． 巩固提升7．一辆卡车宽1.6 m ，要经过一个半径为3.6 m 的半圆形隧道，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过( )A ．1.4 mB ．3.5 mC ．3.6 mD ．2.0 m 8．已知点P 是圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1上的任意一点，点A (－1，0)、B (1，0)， 试求|P A |2＋|P B |2的最大值和最小值．9．已知集合A ＝{(x ，y )|x ＝3a ＋1，y ＝4a }，集合B ＝{(x ，y )|(x －2)2＋y 2<25a 2}，且A ∩B ≠∅，求实数a 的取值范围．参考答案基础梳理1．(x－a)2＋(y－b)2＝r2练习1：x2＋y2＝9(2)(x＋1)2＋y2＝1练习2：(1，－2)，3．►思考应用下列几种特殊位置的圆的方程是什么？自测自评1．【答案】D【解析】直接代入圆的标准方程可得．2．【答案】A【解析】：m2＋52＝25＋m2≥25>24，点在圆外．3．【答案】B【解析】∵所求圆的圆心为(2，－1)，半径r＝（2－2）2＋（0＋2）22＝1，∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝1. 4．【答案】A【解析】圆心C(1，0)，再利用点到直线的距离公式得d ＝12.基础达标 1．【答案】A【解析】由a 2＋(a ＋1)2<25可得2a 2＋2a －24<0，解得－4<a <3. 2．【答案】D【解析】当y ≤0时，平方得x 2＋y 2＝25，表示下半圆． 3．【答案】A【解析】(x ＋2)2＋y 2＝5的圆心为(－2，0)，圆心关于原点的对称点为(2，0)，即为对称圆的圆心，所以关于原点的对称圆的方程为(x －2)2＋y 2＝5. 4．【解析】利用待定系数法或利用几何性质求解． 【答案】⎝⎛⎭⎫x －322＋(y －2)2＝2545．【解析】由图形可知点A (1，2)在圆(x －2)2＋y 2＝4的内部，圆心为O(2，0)，要使得劣弧所对的圆心角最小，只能是直线l ⊥O A ，所以k ＝－1k OA ＝－1－2＝22. 【答案】226．【答案】7 3 巩固提升 7．【答案】B【解析】下图所示为隧道与卡车的横截面，以半圆的直径为x 轴，圆心为原点建立直角坐标系，则半圆的方程为x 2＋y 2＝3.62(y ≥0)，点A 的坐标为(0.8，h)，设M(0.8，y )在半圆上，则y ＝ 3.62－0.82≈3.5，∴h≤y ＝3.5(m )．8 .【解析】设P(x ，y )，则有P 是圆上任一点，|P A |2＋|P B |2＝(x ＋1)2＋y 2＋(x －1)2＋y 2＝2x 2＋2y 2＋2＝2(x 2＋y 2)2＋2 ＝2[（x －0）2＋（y －0）2]2＋2＝2|OP|2＋2. 则O 在圆C 外．由题意得|OP|的最大值是|OC|＋r ＝5＋1＝6，最小值是|OC|－r ＝5－1＝4. 所以|P A |2＋|P B |2的最大值是2×62＋2＝74，最小值是2×42＋2＝34.9．【解析】集合A 表示点M(3a ＋1，4a )，集合B 表示圆N ：(x －2)2＋y 2＝25a 2的内部部分． A ∩B ≠∅表示点M(3a ＋1，4a )在圆N 内部，∴(3a ＋1－2)2＋(4a )2<25a 2，解得a >16，∴a 的取值范围是⎩⎨⎧a ⎪⎪⎭⎬⎫a>16.。
圆的标准方程学案
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(3) 数学建构 2 2 2 圆的标准方程：(x－a) + (y－b) ＝r 以 C(a，b)为圆心，r 为半径. 2 2 2 方法迁移：由一般到特殊：当圆心在坐标原点时，圆的方程是 x + y ＝r 单位圆：半径为 1 的圆 (4) 【练习强化】 1. 写出下列圆的圆心坐标和半径。 圆心坐标 半径
A.一条射线 B.一个圆 C.两条射线 D.半个圆 2 2 5.已知 BC 是圆 x ＋y ＝25 的动弦，且|BC|=6，则 BC 中点的轨迹方程是(
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A．x2＋y2＝4 C．x2＋y2＝16 6. 若 圆 为 7.求过点 与圆 . ,且圆心
B．x2＋y2＝9 D．x＋y＝4 关于原点对称，则圆 的标准方程
__________ __________ ___________ __________ __________ ___________
总结： 特别地，当 (a, b) (0,0) 时，圆的方程变为___________ 2. 根据下列条件，写出圆的标准方程。 (1) 圆心在 A(2,1) ，半径长为 4； __________________________
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(6) 总结： 1.圆的标准方程 圆心和半径 圆心为（a，b）半径为 r 圆心为（0，0）半径为 r 2.特殊位置的圆的方程 圆心在原点 圆心在 X 轴上 圆心在 Y 轴上 圆心在 X 轴上且过原点 圆心在 Y 轴上且过原点 与 X 轴相切 与 Y 轴相切 与两坐标轴相切 3.点与圆的位置关系 设点 P(x0,y0)到圆心（a，b）的距离为 d，圆的半径为 r，则点与圆的位置关系如下： 位置关系 d 与 r 的关系 代数表示 点 P(x0,y0)到圆的最短距离 ，最大距离为 . 点在圆外 点在圆上 点在圆内 圆的标准方程
2.3.1 圆的标准方程
9．过点(1，)的直线l将圆(x－2)2＋y2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k＝________.
10．求满足下列条件的圆的方程．
(1)经过点P(5,1)，圆心为点C(8，－3)；(2)经过点P(4,2)，Q(－6，－2)，且圆心在y轴上．
高一数学导学案
编号：B2-21课型：新授课编制人：李震审核人：李震年级主任：班级：姓名：
课题：2.3.1圆的标准方程
【学习目标】
1.理解圆的定义及圆的标准方程的形式，会求圆的标准方程．
2．理解点与圆的位置关系，并会判断点与圆的位置关系．
3．掌握求曲线方程的一般步骤．
【学习内容】
1．圆的标准方程
(1)圆的定义：___________________的点的集合(轨迹)是圆，定点就是圆心，定长就是半径．
11．平面直角坐标系中有A(0,1)，B(2,1)，C(3,4)，D(－1,2)四点，这四点能否在同一个圆上？为什么？
12．设A(－c,0)、B(c,0)(c＞0)为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a(a＞0)，求P点的轨迹．
【课后小结】
个性笔记
3．方程y＝表示的曲线是()
A．一条射线B．一个圆C．两条射线D．半个圆
4．圆心在直线y＝x上且与x轴相切于点(1,0)的圆的方程为________．
5．若坐标原点在圆(x－a)2＋(y－a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是________．
【课后练习】
1．点P(m2,5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是()
【课内练习】
1．圆心是O(－3,4)，半径长为5的圆的方程为()
圆的标准方程
2.3 圆的方程2.3.1 圆的标准方程(一)一、复习:1.初中学的圆的定义是什么？2.平面上两点),(11y x A ,),(22y x B 间的距离d （A,B ）= .二、学习目标:1.已知圆心、半径会求圆的标准方程;2.已知圆的标准方程会独处圆心、半径.三、自主学习:已知圆的圆心为),(b a C ,半径为r,),(y x M 是平面上任意一点,自学93P 回答:1.若︱C Ｍ︱＝ ,则Ｍ在⊙Ｃ上；反之,若Ｍ在⊙Ｃ上,则︱C Ｍ︱＝ .2. ︱C Ｍ︱=r 用坐标表示为 .3.圆的标准方程:（1）圆心为),(b a C ,半径为r 的圆的标准方程为: .（２）圆心在原点,半径为r 的圆的标准方程为: .4.设圆Ｃ的方程为:222)()(r b y a x =-+-,（1）若点Ｍ（x,y ）在圆上,则222___)()(r b y a x -+-;（２）若点Ｍ（x,y ）在圆外,则222___)()(r b y a x -+-;（３）若点Ｍ（x,y ）在圆内,则222___)()(r b y a x -+-.四、典型例题:自学94P 例1-例3补充例题4：（A ）已知圆C 的圆心C （3,-4），半径5，求圆的标准方程；（B ）求圆心在直线032=--y x 上且过点(5,2)和点(3,-2)的圆的方程.（C ）已知圆C 的标准方程为22(1)(+2)=25x y -+和点A （5，a ）,B(b+4,2b-6),(1)若点A 在圆C 上，求a 的值；（2）若点B 在圆C 内，求b 的取值范围；五、学生练习:96P 练习A 、B六、作业:（A ）1.圆2)1()1(22=-++y x 的圆心坐标和半径分别为( )A (1,-1),2B (-1,1),2C (-1,1),2D (1,-1), 2（B ）2.过点C (-1,1)和D (1,3),圆心在x 轴上的圆的方程为( )A 10)2(22=-+y xB 10)2(22=++y xC 10)2(22=++y xD 10)2(22=+-y x（B ）3.已知圆心 (2,3)P -,且与 y 轴相切,则该圆方程是（ ）A 22(2)(3)4x y -++=B 22(2)(3)9x y -++=C 22(2)(3)4x y ++-=D 22(2)(3)9x y ++-=（B ）4.过点(1,1)A -,(1,1)B -且圆心在直线 20x y +-=上的圆的方程是（ ）A 22(3)(1)4x y -++=B 22(3)(1)4x y ++-=C 22(1)(1)4x y -+-=D 22(1)(1)4x y +++=（B ）5.方程2222(4)0x x y ++-=表示的图形是（ ）A 两个点 .B 一个点和一个圆.C 一条直线和一个圆.D 一个点和一条直线.（B ）6.直线y ax b =+经过第一,二,四象限,则圆222()()x a y b r -+-=的圆心位于第（ ）象限.A.一B.二C.三D.四（B ）7.设M 是圆22(5)(3)9x y -+-=上的点,则点M 到直线3420x y +-= 的最短距离是（ ）A. 9B. 8C. 5D. 2（B ）8.以原点为圆心且被直线34150x y ++=截得的弦长为8的圆的标准方程是（ ）A. 2225x y +=B. 222257x y += C. 229x y += D. 2273x y +=（B ）9.已知圆C 和圆C '关于点(3,2)成中心对称,若圆C 的方程是224x y +=,则圆C '方程是( )A. 22(4)(6)4x y -+-=B. 22(4)(6)4x y +++=C. 22(6)(4)4x y -+-=D. 22(6)(4)4x y -++=（B ）10.圆22(1)1x y -+=的圆心到直线 y x =的距离是 （A ）11.已知圆的方程为25)1()2(22=-++y x ,则圆心坐标为 ,半径为 .（A ）12. 已知圆心坐标是（-2,-1）,半径为3,则圆的方程是 .（B ）13. 圆222)()(r b y a x =-+-过原点的条件是 .（B ）14. 若坐标原点在圆4)()(22=++-m y m x 内部,则实数m 的范围 .（B ）15.已知圆的直径的两个端点分别是点A(1,1), B(1,2),则圆的方程是 .（C ）16.若实数,x y 满足221x y +=,则21y x --的最小值是 （C ）18.若过点P (51,12)m m +总可作两条直线和圆22(1)1x y -+=相切,则实数m 的范围是 .(B)19.已知圆心在x 轴上, 半径是5,且以(5,4)A 为中点的弦长是则这个圆的标准方程是（B ）20. 已知圆C 的圆心在直线:210l x y --=上,并且经过原点和(2,1)A ,求圆的标准方程.（C ）已知圆C 和y 轴相切,圆心在直线30x y -=上,且被直线y x =截得的弦长为, 求圆C 的方程.七、反思总结。
学案1：2.3.1 圆的标准方程
2.3.1圆的标准方程学习目标核心素养1．会用定义推导圆的标准方程并掌握圆的标准方程的特征．(重点)2．能根据所给条件求圆的标准方程．(重点)3．掌握点与圆的位置关系．(重点)4．圆的标准方程的求解．(难点)1．通过圆的标准方程及其特征的学习，培养数学抽象的核心素养．2．借助圆的标准方程的求解与应用，提升数学运算的核心素养．【情境导学】情景引入我们的祖先很早就发明了建桥技术，现存最早的拱桥是由著名工匠李春设计建造于1 400多年前、横跨在我国河北赵县的河上的赵州桥．赵州桥又名安济桥，全长50多米，拱圆净跨37米多，是一座单孔坦拱式桥梁．赵州桥外形秀丽，结构合理，富有民族风格．虽然历经千年风霜及车压人行，但赵州桥至今仍可通行车辆，被公认为是世界上最古老的一座拱桥．由桥拱的一部分能求出拱桥所在圆的方程吗？新知初探1．圆的定义：平面内到一定点的距离等于的点的集合是圆，其中定点是圆心，定长是圆的半径．确定一个圆的条件：(1) ；(2) ．2．方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)是以点为圆心，为半径的圆的方程，叫做圆的．3．设点P到圆心的距离为d，圆的半径为r，则点与圆的位置关系对应如下：位置关系点在圆外点在圆上点在圆内d与r的大小关系思考：若点P(x0，y0)在圆C：(x－a)2＋(y－b)2上，需要满足(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2，那么P在圆C内和圆C外又满足怎样的关系？初试身手1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)圆心位置和圆的半径确定，圆就唯一确定．()(2)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆．()(3)圆(x＋2)2＋(y＋3)2＝9的圆心坐标是(2,3)，半径是9．()2．圆心为O(－1,1)，半径为2的圆的方程为()A．(x－1)2＋(y＋1)2＝2B．(x＋1)2＋(y－1)2＝2C．(x＋1)2＋(y－1)2＝4 D．(x－1)2＋(y＋1)2＝43．点P(m,5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是()A．在圆外B．在圆内C．在圆上D．不确定4．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是．【合作探究】【例1】根据下列条件，求圆的标准方程．(1)圆心在点C(－2,1)，且过点A(2，－2)；(2)已知一圆的圆心为点(2，－3)，一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上．[思路探究]只要确定圆心坐标和半径即可求得圆的标准方程．[规律方法]确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，因此用直接法求圆的标准方程时，一般先从确定圆的两个要素入手，即首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程.[跟进训练]1．求圆心在x轴上，半径为5且过点A(2，－3)的圆的标准方程．【例2】求下列各圆的标准方程．(1)圆心在y＝0上且过两点A(1,4)，B(3,2)；(2)圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)．[思路探究]由圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定a，b，r三个参数．[规律方法]待定系数法求圆的标准方程的一般步骤设方程((x－a)2＋(y－b)2＝r2)→列方程组(由已知条件，建立关于a、b、r的方程组)→解方程组(解方程组，求出a、b、r)→得方程(将a、b、r代入所设方程，得所求圆的标准方程)．[跟进训练]2．求经过点A(10,5)，B(－4,7)，半径为10的圆的方程．类型三圆的标准方程的实际应用【例3】已知某圆拱桥，当水面距拱顶2米时，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽多少米？[思路探究]桥是圆拱桥，可通过建立适当的平面直角坐标系，求出圆拱桥所在圆的标准方程，然后根据圆的对称性求水面宽度．解决圆的方程的实际应用题时应注意以下几个方面[跟进训练]3．已知隧道的截面是半径为4 m的半圆，车辆只能在道路中心线的一侧行驶，问一辆宽为2．7 m，高为3 m的货车能不能驶入？[探究问题]1．若P (x ，y )为圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝14上任意一点，请求出P (x ，y )到原点的距离的最大值和最小值．2．若P (x ，y )是圆C ：(x －3)2＋y 2＝4上任意一点，请求出P (x ，y )到直线x －y ＋1＝0的距离的最大值和最小值．【例4】 已知实数x ，y 满足方程(x －2)2＋y 2＝3．求yx的最大值和最小值．[思路探究] yx 的几何意义是圆上的点与原点构成直线的斜率，根据直线与圆相切求得．[母题探究]1．在本例条件下，求y －x 的最大值和最小值．2．在本例条件下，求x 2＋y 2的最大值和最小值．[规律方法]与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型(1)形如u ＝y －bx －a 形式的最值问题，可转化为过点(x ，y )和(a ，b )的动直线斜率的最值问题.(2)形如l ＝ax ＋by (b ≠0)形式的最值问题，可转化为动直线y ＝－a b ＋lb 截距的最值问题.(3)形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点(x ，y )到定点(a ，b )的距离的平方的最值问题.【课堂小结】1．圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝m ．当m ＞0时，表示圆心为C (a ，b )，半径为m 的圆； 当m ＝0时，表示一个点C (a ，b )； 当m ＜0时，不表示任何图形． 2．确定圆的方程的方法及步骤(1)直接代入法，根据已知条件求圆心坐标和半径． 直接写出圆的标准方程．(2)待定系数法：第一步：设圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2． 第二步：根据条件列方程组求待定系数a ，b ，r ． 第三步：代入所设方程中得到圆的标准方程．3．在实际应用问题求解过程中，应灵活运用几何性质(如弦的垂直平分线过圆心、半弦长、弦心距、半径长构成的勾股关系)． 4．重点掌握的方法 (1)求标准方程的方法． (2)求与圆相关的最值的方法．【学以致用】1．圆C ：(x －2)2＋(y ＋1)2＝3的圆心坐标( )A．(2,1)B．(2，－1)C．(－2,1) D．(－2，－1)2．以(2 020,2 020)为圆心，2 021为半径的圆的标准方程为()A．(x－2 020)2＋(y－2 020)2＝2 0212B．(x＋2 020)2＋(y＋2 020)2＝2 0212C．(x－2 020)2＋(y－2 020)2＝2 021D．(x＋2 020)2＋(y＋2 020)2＝2 0213．点(2a，a－1)在圆x2＋(y－1)2＝5的外部，则a的取值范围为．4．点(1,1)在圆(x＋2)2＋y2＝m上，则圆的方程是．5．已知圆M的圆心坐标为(3,4)，且A(－1,1)，B(1,0)，C(－2，3)三点一个在圆M内，一个在圆M上，一个在圆M外，求圆M的方程．【参考答案】【情境导学】新知初探1．定长(1)圆心(2)半径2．(a，b)r标准方程3．d＞r d＝r d＜r思考：[提示]若点P在圆C内，则有(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2．若点P在圆C外，则有(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2．初试身手1．[答案](1)√(2)×(3)×[提示](1)正确．确定圆的几何要素就是圆心和半径．(2)错误．当m＝0时，不表示圆．(3)错误．圆(x＋2)2＋(y＋3)2＝9的圆心为(－2，－3)，半径为3．2．C[将O(－1,1)，r＝2代入圆的标准方程可得．]3．A[∵m2＋25＞24，∴点P在圆外．]4．x2＋(y－2)2＝1[设圆心为(0，b)，则圆的方程为x2＋(y－b)2＝1，又点(1,2)在圆上，所以(2－b)2＋1＝1，∴b＝2，故方程为x2＋(y－2)2＝1．]【合作探究】【例1】[解](1)所求圆的半径r＝|CA|＝(2＋2)2＋(－2－1)2＝5．又因为圆心为(－2,1)，所以所求圆的方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝25．(2)设此直径两端点分别为(a,0)，(0，b)，由于圆心坐标为(2，－3)，所以a＝4，b＝－6，所以圆的半径r＝(4－2)2＋(0＋3)2＝13，从而所求圆的方程是(x－2)2＋(y＋3)2＝13．[跟进训练]1．[解]设圆的标准方程为(x－a)2＋y2＝25，因为点A(2，－3)在圆上，所以有(2－a)2＋(－3)2＝25，解得a＝－2或a＝6，所以所求圆的标准方程为(x ＋2)2＋y 2＝25或(x －6)2＋y 2＝25．【例2】[解] (1)设圆心坐标为(a ，b )，半径为r ， 则所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2． ∵圆心在y ＝0上，故b ＝0， ∴圆的方程为(x －a )2＋y 2＝r 2． 又∵该圆过A (1,4)，B (3,2)两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧(1－a )2＋16＝r 2，(3－a )2＋4＝r 2，解得a ＝－1，r 2＝20． ∴所求圆的方程为(x ＋1)2＋y 2＝20．(2)设所求圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 由条件知⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )2＋(－3－b )2＝r 2，(－2－a )2＋(－5－b )2＝r 2，a －2b －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，r 2＝10.故所求圆的标准方程为 (x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10． [跟进训练]2．[解] 设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝100，将A 、B 两点代入得⎩⎪⎨⎪⎧(10－a )2＋(5－b )2＝100 ①(－4－a )2＋(7－b )2＝100 ② ①－②得7a －b －15＝0，即b ＝7a －15 ③ 将③代入得：a 2＋8－6a ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝13.故所求圆的方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝100或(x －4)2＋(y －13)2＝100．【例3】[解] 以拱顶为坐标原点，以过拱顶且与圆拱相切的直线为x 轴， 以过拱顶的竖直直线为y 轴建立如图所示的直角坐标系， 则O (0,0)，A (6，－2)．设圆的标准方程为x 2＋(y ＋r )2＝r 2(r ＞0)． 将A (6，－2)的坐标代入方程得r ＝10， ∴圆的标准方程为x 2＋(y ＋10)2＝100．当水面下降1米后，可设点A ′(x 0，－3)(x 0＞0)． 将A ′(x 0，－3)代入圆的标准方程，求得x 0＝51， ∴水面下降1米，水面宽为2x 0＝251≈14．28(米)． [跟进训练]3．[解] 以隧道截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB 所在的直线为x 轴， 过圆心且垂直于直径AB 的直线为y 轴，建立直角坐标系(如图)，那么半圆的方程为x 2＋y 2＝16(y ≥0)．将x ＝2．7代入圆方程，得y ＝16－2.72＝8.71＜3，即在离中心线2．7米处，隧道的高度低于货车的高度，因此货车不能驶入这个隧道．类型四与圆有关的最值问题[探究问题]1．[提示] 原点到圆心C (－1,0)的距离d ＝1，圆的半径为12，故圆上的点到坐标原点的最大距离为1＋12＝32，最小距离为1－12＝12．2．[提示] P (x ，y )是圆C 上的任意一点，而圆C 的半径为2， 圆心C (3,0)，圆心C 到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝|3－0＋1|12＋(－1)2＝22，所以点P 到直线x －y ＋1＝0的距离的最大值为22＋2，最小值为22－2．【例4】[解] 原方程表示以点(2,0)为圆心，以3为半径的圆，设y x＝k ，即y ＝kx ， 当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值和最小值， 此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝±3． 故y x的最大值为3，最小值为－3． [母题探究]1．[解] 设y －x ＝b ，即y ＝x ＋b ，当y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值和最小值，此时|2－0＋b |2＝3，即b ＝－2±6． 故y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－6．2．[解] x 2＋y 2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，它在原点与圆心所在直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值， 又圆心到原点的距离为2，故(x 2＋y 2)max ＝(2＋3)2＝7＋43，(x 2＋y 2)min ＝(2－3)2＝7－43．【学以致用】1．B [结合圆的标准形式可知，圆C 的圆心坐标为(2，－1)．]2．A [由圆的标准方程知(x －2 020)2＋(y －2 020)2＝2 0212．]3．a ＞1或a ＜－15[因为(2a ，a －1)在圆x 2＋(y －1)2＝5的外部，所以4a 2＋(a －2)2＞5，解得a ＞1或a ＜－15．] 4．(x ＋2)2＋y 2＝10 [因为点(1,1)在圆(x ＋2)2＋y 2＝m 上，故(1＋2)2＋1＝m ． ∴m ＝10，即圆的方程为(x ＋2)2＋y 2＝10．]5．[解] ∵|MA |＝(－1－3)2＋(1－4)2＝5，|MB |＝(1－3)2＋(0－4)2＝25，|MC |＝(－2－3)2＋(3－4)2＝26，∴|MB |＜|MA |＜|MC |，∴点B 在圆M 内，点A 在圆M 上，点C 在圆M 外，∴圆的半径r ＝|MA |＝5，∴圆M 的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25．。
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【概念探究】1．以C （a ，b ）为圆心，r 为半径的圆的标准方程为：
2．知点)
,(111y x M ；如何判断断点M 1与圆C 的位置关系: 3．确定圆的两要素是什么:
【自学检测】课本96页练习A1，3
【合作探究】例1：判断点A （5，3）与圆（x-2）2+(y+1)2=9的位置关系 练习：课本96页练习A2
例2 根据下列条件，求圆的方程：（1）圆心在点C （-2，1），并过点A(2,-2);
(2)圆心在点C （1，3），并与直线3x-4y-6=0相切;(3)过点（0，1）和点（2，1），半径为5．
练习：课本96页练习B 第1题
【交流提升】1。
完成习册61页第1，2，3，4，5，10题
2．已知圆C ：,922=+y x 点A （3，4）与圆的位置关系是（ ）
A.在圆内
B.在圆外
C.在圆上
D.不确定．
3.点（1，1）在圆4)()(22=++-a y a x 的内部，则a 的取值范围为
4．已知A （-2，4），B （8，-2），求AB 为直径的圆的标准方程
5．求 圆心为（1，2）且与直线5x-12y-7=0相切的圆的方程
【知识再现】1、圆的标准方程：
2、两点间的距离公式 ：
【合作探究】
例2 求过点A （6,0）,B(1,5),且圆心在直线l ：2x-7y+8=0上的圆的方程
练习：课本96页练习B 第2题，104页 习题A 第3题
例3．若x,y 满足1)3(22=+-y x ，求22)1(y x ++的取值范围
练习：习册61页第6题
【交流提升】1.习册61页第7题
2．已知点P （3，-4），M 为圆922=+y x 上任一点，则|PM|的取值范围
3.过点（-2，1）和（4，3），圆心在y 轴上的圆的方程
4.求圆心为C （-1，1），过直线x+3y+7=0和直线3x-2y-12=0的交点的圆的方程 求过P （-2，2），Q （-4，2），且圆心在直线x+y=0上的圆的标准方程。