2011年四川初中数学联赛(初二组)初赛参考解答与评分标准
四川省全国初中数学联赛初赛
四川省全国初中数学联赛初赛试卷及解析一、选择题（本题满分42分，每小题7分）本题共有6个小题，每题均给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个答案，其中有且只有一个是正确的，将你选择的答案的代号填在题后的括号内，每小题选对得7分；不选、错选或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。
1、某件商品的标价为13200元，若以8折降价出售，仍可获利10%（相对于进货价），则该商品的进货价是 （ ）A 、9504元B 、9600元C 、9900元D 、10000元2、如图，在凸四边形ABCD 中，80,AB BC BD ABC ==∠=︒，则ADC ∠等于（ ） A 、80° B 、100° C 、140° D 、160°3、如果方程2240()()x x x m --+=的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么，实数m 的取值范围是 （ ） A 、04m <≤ B 、3m ≥ C 、4m ≥ D 、34m <≤4、如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，60306,,,BAD ABC AB AD CD ∠=︒∠=︒==且,那么BD 的长度是 ( )AB 、4 C、 D、5、如果20140a -<<，那么20142014x a x x a -+++-+的最小值是 （ ）A 、2014B 、2014a +C 、4028D 、4028a +AABA B6、方程223()x xy y x y ++=+的整数解有 （ ） A 、3组 B 、4组 C 、5组 D 、6组二、填空题（本大题满分28分，每小题7分）1、如图，扇形AOB 的圆心角90AOB ∠=︒，半径为5，正方形CDEF 内接于该扇形，则正方形CDEF 的边长为 。
2、已知四个自然数两两的和依次从小到大的次序是：23、28、33、39、x 、y ，则x y += 。
3、已知6x y -=9=的值是 。
2008年四川初中数学联赛(初二组)初赛试题 参考解答及评分细则
2008年四川初中数学联赛（初二组）初赛试题参考解答及评分细则一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1、若b a ,为实数，满足b a b a +=-111，则ba ab -的值是（ D ）． （A ）1- （B ）0 （C ）21（D ）１解：由题设条件知ab a b =-22，两边同时除以ab ，得1=-ba ab ．故答案选Ｄ．2、下面4种说法：（1）一个有理数与一个无理数的和一定是无理数； （2）一个有理数与一个无理数的积一定是无理数； （3）两个无理数的和一定是无理数； （4）两个无理数的积一定是无理数. 其中，正确的说法种数为( A )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解：在上述四种说法中（1）正确；（2）、（3）、（4）错误．故答案选Ａ．3、已知一次函数b kx y +=，其中0>kb ．则所有符合条件的一次函数的图象一定通过（ Ｂ ）．Ａ．第一、二象限 Ｂ．第二、三象限 Ｃ．第三、四象限 Ｄ．第一、四象限解：因为0>kb ，故b k 、同号．当b k 、同为正数时，则一次函数的图象通过第一、二、三象限；当b k 、同为负数时，则一次函数的图象通过第二、三、四象限．所以，符合条件的一次函数的图形一定通过第二、三象限．故答案选Ｂ．４、在凸四边形ABCD 中，H G F E 、、、分别为DA CD BC AB 、、、的中点，EG 与FH 相交于O ，设四边形CGOF BFOE AEOH 、、的面积分别为3、4、5，则四边形DHOG 的面积为（ C ）A ．215B ．415C ．4D ．6解：如图，连结OD OC OB OA ,,,，则BEO AEO S S ∆∆=，CFO BFO S S ∆∆=，DGO CGO S S ∆∆=，AHO DHO S S ∆∆=．于是D H O G BFO E CFO G AEO H S S S S +=+， 所以4453=-+=DH OG S ．故答案选Ｃ．５、20082007=x ，则x 除以10的余数是（ A ）．Ａ．1 Ｂ． 3 Ｃ．7 Ｄ．9 解：x 除以10的余数等于20087除以10的余数．又 、、、、、543277777除以10的余数分别为 、、、、、71397．它们以4为周期．又45022008⨯=，于是20087除以10的余数为1，即x 除以10的余数是1．故答案选A ．6、已知c b a ,,为互不相同的有理数，满足)2)(2()2(2++=+c a b .则符合条件的c b a ,,的组数共有( Ａ )Ａ．０组 Ｂ．１组 Ｃ．２组 Ｄ．４组解：因为)2)(2()2(2++=+c a b ，即2)(22222c a ac b b +++=++，则2b ac =，b c a 2=+．于是ac b c a ac c a 44)(22222==+=++．所以0)(2=-c a ，故c a =，这与条件矛盾．故答案选Ａ．二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1、关于x 的不等式：6|12|<-x 的所有非负整数解的和为 ．解：原不等式等价于⎩⎨⎧->-<-612612x x ，解得2725<<-x ．于是，符合条件的所有非负整数解为3210，，，=x ．所以，所有非负整数解的和为6． 故答案填６． 2、已知321+=x ，321-=y ，则=++3312y xy x .解：32-=x ，32+=y ，则4=+y x ．于是64)()(31233333=+=+++=++y x y x xy y x y xy x .故答案填64.３、用三种边长相等的正多边形地砖铺地，其顶点拼在一起，刚好能完全铺满地面．已知正多边形的边数为z y x 、、，则zy x 111++的值为 ． 解：依题意，有360180218021802=⨯-+⨯-+⨯-zz y y x x ，化简得21111=++z y x ．故答案填21．４、如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AC AB =，DB DA =，90=∠ADB ， 则ACD ∠的度数等于 ．解：如图，过A 作CD AE ⊥交CD 延长线于E ，过D 作AB DF ⊥于F ．由DB DA =，90=∠ADB 知ADB ∆为等腰直角三角形． 故45=∠=∠DAF DBA ．因为AB ∥DC ，故45=∠ADE ． 因为AB DF ⊥，则AB DF 21=， 45=∠ADF ． 于是90=∠FDE ，即CD FD ⊥．又CD AE ⊥，故AE ∥FD ．又AF ∥ED ，故AFDE 为平行四边形． 从而AC AB DF AE 2121===．所以， 30=∠ACD ．故答案填 30．三、（本大题20分）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，DB AC ⊥，5=AC ， 30=∠DBC .（1）求对角线BD 的长度； （2）求梯形ABCD 的面积. 解：（１）如图，过A 作AE ∥DB 交CB 延长线于E∵ DB AC ⊥，AE ∥DB ．∴ AE AC ⊥，30=∠=∠DBC AEC ．∴90=∠EAC ，即EAC ∆为直角三角形． ∴ 102==ACEC ． ∴ 355102222=-=-=AC EC AE ．∵ AD ∥BC 且AE ∥DB ． ∴ 四边形AEBD 为平行四边形． ∴ 35==AE DB ．（２）记梯形ABCD 的面积为S ，过A 作BC AF ⊥于F ，则AFE ∆为直角三角形． ∵30=∠AEF ． ∴ 23521==AE AF ，即梯形ABCD 的高235=AF ．∵ 四边形AEBD 为平行四边形． ∴ EB AD =． ∴475235352121)(21=⨯⨯=⨯=⨯+=AF EC AF BC AD S ．四、(本大题25分) 设实数x 满足：1013536324213--≥---x x x . 求|4||1|2++-x x 的最小值.解：原不等式两边同乘以30，得：39)36(6)24(10)13(15--≥---x x x 化简得：6231-≥-x .解得：2≤x ．记|4||1|2++-=x x y（１）当4-≤x 时，23)4()1(2--=+---=x x x y ． 所以，y 的最小值都为102)4()3(=--⨯-，此时4-=x ． （２）当14≤≤-x 时，6)4()1(2+-=++--=x x x y ． 所以，y 的最小值为５，此时1=x ．（３）当21≤≤x 时，23)4()1(2+=++-=x x x y ． 所以，y 的最小值为５，此时1=x ．综上所述，|4||1|2++-x x 的最小值为５，在1=x 时取到． 五、（本大题25分）已知正整数c b a ,,满足：c b a <<，且a b c ca bc ab =++．求所有符合条件的c b a ,,．解：由c b a <<≤1知bc ca bc ab abc 3<++=，所以3<a ．故1=a 或者2=a ．（１）当1=a 时，有bc c bc b =++，即0=+c b ，这与c b ,为正整数矛盾． （２）当2=a 时，有bc c bc b 222=++，即022=--c b bc ． 所以4)2)(2(=--c b ．又因为c b <<2，故220-<-<c b ． 于是42,12=-=-c b ．即6,3==c b ．所以，符合条件的正整数仅有一组：6,3,2===c b a ．。
2011年四川决赛试题(评分标准)
2011年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准：选择题和填空题只设7分和0分两档；其余各题,请严格按照本评分标准规定的评分档次给分,不要再增加其他中间档次.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时请参照本评分标准划分的档次,给予相应的分数.一、选择题(本题满分42分，每小题7分)1、B2、D3、A4、C5、B6、A二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1、12、03、23 4、1 三、解答题（本题共三小题，第1题20分，第2、3题各25分）1、（本题满分20分）已知21,x x 是关于x 的一元二次方程012)13(22=-+-+a x a x 的两个实数根，使得80)3)(3(2121-=--x x x x 成立。
求实数a 的所有可能值。
`解：由条件知056)12(4)13(222≥+-=---=∆a a a a ，解得5≥a 或1≤a ． （5分） 又由根与系数的关系知)13(21--=+a x x ，12221-=a x x ，于是21221212221212116)(310)(3)3)(3(x x x x x x x x x x x x -+=-+=--19185)12(16)13(3222+--=---=a a a a ， （10分）由80191852-=+--a a ，解得3=a （舍去）或533-=a ． （15分） 于是533-=a ．综上所述，所求的实数533-=a ． （ 20分 ） 2、（本题满分25分） 抛物线c bx ax y ++=2的图象与x 轴有两个交点)0,(),0,(21x N x M ，且经过点)1,0(A ，其中210x x <<．过点A 的直线l 与x 轴交于点.C ，与抛物线交于点B （异于点A ），满足CAN ∆是等腰直角三角形，且AMN BMN S S ∆∆=25．求该抛物线的解析式． 解：由条件知该抛物线开口向上，与x 的两个交点在y 轴的右侧．由于CAN ∆是等腰直角三角形，故点C 在x 轴的左侧，且90=∠CAN ． 故 45=∠ACN ，从而)0,1(-C ，)0,1(N ． （5分）于是直线l 的方程为：1+=x y ．设),(33y x B ，由AMN BMN S S ∆∆=25知253=y ， （10分） 从而233=x ，即)25,23(B ． （15分） 综上可知，该抛物线通过点)1,0(A ，)25,23(B ，)0,1(N ． 于是⎪⎩⎪⎨⎧++=++==cb ac b a c 02349251， （20分） 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-==154c b a ．所以所求抛物线的解析式为1542+-=x x y ． （25分）3、（本题满分25分）如图，AD 、AH 分别是ABC ∆（其中AC AB >）的角平分线、高线，M 是AD 的中点．MDH ∆的外接圆交CM 于E ．求证：90=∠AEB ．证明：如图，连结EH MH ,,∵M 是AHD Rt ∆斜边AD 的中点∴MD MH MA == （5分）∴MDH MHD ∠=∠∵E H D M ,,,四点共圆∴MDH CEH ∠=∠∴HEC MDH MHD ∠=∠=∠∴MEH HEC MHD MHC ∠=∠-=∠-=∠ 180180 （10分）∵HME CMH ∠=∠,∴CMH ∆∽HME ∆ ∴MHME MC MH =,即MC ME MH ⋅=2 （15分） ∴MC ME MA ⋅=2,又∵AME CMA ∠=∠∴CMA ∆∽AME ∆,∴MAE MCA ∠=∠ （20分）∴MAE BAD DHE BAE BHE ∠+∠+∠=∠+∠MCA MAC DHE ∠+∠+∠= 180=∠+∠=DME DHE∴E H B A ,,,四点共圆，∴ 90=∠=∠AHB AEB . （25分）。
2011年初二三科联赛数学试题
2011年八年级三科联赛数学试题分数：100分 时间：120分钟一、选择题（每题5分，共30分） 1、若10,20==c b b a 则cb b a ++的值为（ ） A 、2111 B 、1121 C 、21110 D 、112102、如图，H 是正方形ABCD 一边BC 延长线上一点，E 为CD 上一点，且CE=CH ，则下列结论错误的是（ ）A 、BE=DH ；B 、∠H+∠BEC=90°C 、BG ⊥DHD 、∠HDC+∠ABE=90° 3、若a ≠b ，化简b a ab --2的结果是（ ）A 、b a -B 、b a --C 、b a ---D 、O 4、已知点A （1,2），B （2,1），线段AB 与直线y=3x+b 有交点，则b 的取值范围是（ ）A 、b ＞－5B 、b ＜－1C 、－5＜b ＜－1D 、－5≤b ≤－1 5、已知∠MON ＝40°，P 是∠MON 内的一定点，点A 、B 分别在射线OM 、ON 上移动，当△PAB 周长最小时，∠APB 的值为（ ）A 、80° A 、100° A 、120° A 、140° 6、方程abc=2（a+b+c ）的正整数解有（ ）A 、3组B 、4组C 、6组D 、12组 二、填空题（每题5分，共30分）7、如图，平行四边行ABCD 中，AC 、BD 交于点O ，E 、F 是BD 上两点，且BF=DE ，则图中全等三 角形有 对。
8、若100x 2－Kxy+49y 2是一个完全平方式，则K 值为 。
9、如图，平面直角坐标系中，多边形OABCDE 的顶点分别是O （0,0），A （0,6），B （4,6）C （4,4）， D （6,4），E （6,0）若直线l 经过点M （2,3）， 且将多边形OABCDE 分割成面积相等的两部分，则直线l 的函数表达式为 。
10、有一列数为1,1,5,13,25,41,…，按此规律排列，第101个数为 。
2011年全国初中数学联合竞赛四川地区试题
绝密★启用前2011年全国初中数学联合竞赛四川地区试题试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：82分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、若一个三角形的任意两边都不相等，则称之为不规则三角形,用一个正方体上的任意三个顶点构成的所有三角形中，不规则三角形的个数是（ ） A ．18 B ．24 C ．30 D ．362、一个凸多边形的每一个内角都等于150°，则这个多边形所有对角线的条数共有（ ） A ．42条 B ．54条 C ．66条 D ．78条3、设方程的两根是、，则方程的根是（ ）A ．，B ．，C ．，D ．，4、如图，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，AE 平分∠BAD 交BC 于E ，若∠CAE=15°则∠BOE=（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°5、若不等式有解，则实数最小值是（ ）A ．1B ．2C ．4D ．66、不定方程的正整数解的组数是（ ）A ．0组B ．2组C ．4组D ．无穷多组第II卷（非选择题）二、填空题（题型注释）7、二次函数的图像关于对称，则的最小值是 .8、已知△ABC中，AB=；BC=6；CA=.点M是BC中点，过点B作AM延长线的垂线，垂足为D，则线段BD的长度是 .9、一次棋赛，有n个女选手和9n个男选手，每位参赛者与其个选手各对局一次，计分方式为：胜者的2分，负者得0分，平局各自得1分。
比赛结束后统计发现所有参赛男选手的分数和是所有女选手的分数和的4倍，则n的所有可能值是 .三、解答题（题型注释）10、已知、是关于x的一元二次方程的两个实数根，使得成立，求其实数的可能值。
2011年全国高中数学联赛四川初赛试题及答案
2011年全国高中数学联赛 四川初赛试题详细解答一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）1、双曲线12222=-by a x 的左、右准线l 1、l 2将线段F 1F 2三等分（其中1F 、2F 分别为双曲线的左、右焦点），则该双曲线的离心率e 等于（ ）．A 、26B 、3C 、233D 、32解：由题意得ca c 2232⨯=，解得3=e ． 故答案选B ．2、已知三次函数d cx bx ax x f +++=23)(，R d c b a ∈,,,(), 命题p ：)(x f y =是R 上的单调函数； 命题q ：)(x f y =的图像与x 轴恰有一个交点． 则p 是q 的（ ）A 、充分但不必要条件B 、必要但不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件解：选A ．3、甲、乙、丙三人一起玩“剪刀、石头、布”的游戏．每一局甲、乙、丙同时出“剪刀、石头、布”中的一种手势，且是相互独立的．设在一局中甲赢的人数为ξ，则随机变量ξ的数学期望ξE 的值为（ ）A 、31 B 、94C 、32D 、1解：942743)0(=⨯==ξP , 942743)1(=⨯==ξP ,912713)2(=⨯==ξP ,于是32291194094=⨯+⨯+⨯=ξE . 故答案选C ．4、函数x x x f 3245)(-+-=的最大值为（ ）A 、3B 、3C 、32D 、33 解：法一：()f x 的定义域为85≤≤x ，由0324525332432423521)(=-⋅----=--+-='xx x x xx x f ，解得423=x ． 因为3)5(=f ，32)423(=f ，3)8(=f ，于是32)423()(max ==f x f ． 故答案选C ．法二：()f x 的定义域为85≤≤x ，当且仅当3815xx -=-，即423=x 时，()f x 取到最大值32．故答案选C ． 5、如图，边长为2的正方形ABCD 和正方形ABEF 所在的面成60°角，M 、N 分别是线段AC 和BF 上的点，且FN AM =，则线段MN 的长的取值范围是A 、]2,21[ B 、[1,2] C、2] D、2] 解：过点M 作MH//BC 交AB 于H ，则AM AHAC AB=， 又AM=FN ，AC=FB ，∴FN AHFB AB=，∴NH//AF ， ∴NH ⊥AB ，MH ⊥AB ，∴∠MHN=60°．设AH=x (0≤x ≤2)，则MH=x ，x NH -=2，∴MN ==1)1(32+-=x∴ 21≤≤MN ．选答案选B ．6、设数列}{n a 为等差数列，数列}{n b 满足：11a b =，322a a b +=，6543a a a b ++=，……，若2lim3=∞→n b nn ，则数列}{n a 的公差d 为（ ） A 、21B 、1C 、2D 、4 解：nn n n n n n n a a a b +-+-+-+++=2)1(22)1(12)1( ][22)1(12)1(n n n n n a a n+-+-+=于是22)2(21lim lim213==+-=∞→∞→dd nd a n b n n n ，解得4=d ．故答案选D ． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）7、已知实数x 满足6|52||12|=-++x x ，则x 的取值范围是 ． 解：因为6|)25()12(||52||12|=-++≥-++x x x x ， 等号成立当且仅当0)52)(12(≤-+x x ，即2521≤≤-x ．故答案填]25,21[-． 8、设平面内的两个非零向量与相互垂直，且1||=，则使得向量m +与m )1(-+互相垂直的所有实数m 之和为 ．解：由于])1([)(0m m -+⋅+==22)1(m m -+⋅+)1(||2m m -+=， 即22||m m --=0，所以由根与系数的关系知符合条件所有实数m 之和为1．故答案填1．9、记实数等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若70,103010==S S ，则=40S ． 解：记101S b =，10202S S b -=，20303S S b -=，30404S S b -=设q 为{}n a 的公比，则4321,,,b b b b 构成以10q r =为公比的等比数列，于是)1(10)1(7022132130r r r r b b b b S ++=++=++==即062=-+r r ，解得2=r 或3-=r （舍去），故150)1(103240=+++=r r r S ．故答案填150.10、设x 为实数，定义⎡⎤x 为不小于x 的最小整数，例如⎡⎤4=π，⎡⎤3-=-π．关于实数x 的方程⎡⎤21213-=+x x 的全部实根之和等于 ． 解：设Z k x ∈=-212，则412+=k x ，432113+++=+k k x ，于是原方程等价于1432-=⎥⎥⎤⎢⎢⎡+k ，即14322-≤+<-k ，从而27211-≤<-k ，即45--=或k ． 相应的x 为47,49--．于是所有实根之和为4-．故答案填4-．11、已知3)31(n n n b a +=+，其中n n b a ,为整数，则=+∞→nnn b a lim ．解：由条件3)31(n n n b a +=+知3)31(n n n b a -=-， 于是])31()31[(321],)31()31[(21n n n n n n b a --+=-++=， 故n n n n n nn n b a )31()31()31()31(3lim lim --+-++⨯=+∞→+∞→3)3131(1)3131(13lim =+--+-+⨯=+∞→nnn ． 故答案填3．12、已知三棱锥S-ABC 的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，且SA=SB=SC=AB=2,设S 、A 、B 、C 四点均在以O 为球心的某个球面上，则点O 到平面ABC 的距离为 ．解：如图，因为SA=SB=SC ，所以S 在平面ABC 上的射影是△ABC 的外心，即AB 的中点H ，同理O 点在平面ABC 上的射影也是△ABC 的外心H ，即在等边△SAB 中，求OH 的长，其中OA=OB=OS ． 显然，332323131=⨯⨯==SH OH．故答案填3． 三、解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分）13、已知0>m ，若函数mx x x f -+=100)(的最大值为)(m g ，求)(m g 的最小值．解：令mx t -=100，则m t x 2100-=， （5分）∴4100)2(110022mm m t m t m t y ++--=+-=， ∴当2m t =时，y 有最大值4100m m +，即4100)(m m m g +=． （10分） ∴10410024100)(=⨯≥+=mm m m m g ， （15分） 等号当且仅当20=m 时成立，∴当20=m 时，)(m g 有最小值10． （20分） 14、已知函数444)cos (sin )cos (sin 2)(x x m x x x f +++=在]2,0[π∈x 有最大值5，求实数m 的值．解：422222)cos (sin cos sin 4)cos (sin 2)(x x m x x x x x f ++-+=42)cos (sin )cos sin 2(2x x m x x ++-= （5分） 令]2,1[)4sin(2cos sin ∈+=+=πx x x t ，则1cos sin 22-=t x x ，从而12)1()1(2)(24422++-=+--=t t m mt t x f （10分）令]2,1[2∈=t u ，由题意知12)1()(2++-=u u m u g 在]2,1[∈u 有最大值5.当01=-m 时，12)(+=u u g 在2=u 时有最大值5，故1=m 符合条件； （15分） 当01>-m 时，5122)2()(max =+⨯>≥g u g ，矛盾！ 当01<-m 时，512)(≤+<u u g ，矛盾！综上所述，所求的实数1=m ． （20分） 15、抛物线2y x =与过点(1,1)P --的直线l 交于1P 、2P 两点． （I ）求直线l 的斜率k 的取值范围； (II) 求在线段12P P 上满足条件12112PP PP PQ +=的点Q 的轨迹方程． 解：（I ）直线l 的方程为1(1)y k x +=+，与抛物线方程2y x =联立得21(1)y x y k x ⎧=⎨+=+⎩，消去y 得2(1)1x k x =+-，即2(1)0x kx k ---=， 由2()4(1)0k k ∆=-+->，解得2k >-+2k <-- （5分）（II ）设Q 点坐标为(,)x y ，1P 点坐标为11(,)x y ，2P 点坐标为22(,)x y ， 则12x x k +=，12(1)x x k ⋅=--，又1P 、2P 、Q 都在直线l 上，所以有1(1)y k x +=+，111(1)y k x +=+，221(1)y k x +=+， 由12112PP PP PQ +=得化简得12112|1||1||1|x x x +=+++ （10分）又121212(1)(1)1(1)120x x x x x x k k ++=+++=--++=>，点Q 在线段12P P 上， 所以121,1,1x x x +++同号．则12112111x x x +=+++ 因此121212122122x x x x kx x x k +++-=-=+++ ①，232(1)1(1)122k k y k x k k k --=+-=⋅+-=++ ②， 由①得221x k x -=+代入②得22321122221x x y x x x --+==--++,即210x y -+=， （15分）又因为2k >-+2k <--412x k =-+的取值范围是11x <<且1x ≠-，因此点Q 的轨迹方程是210x y -+=（11x <<且1x ≠-）． （20分）16、已知m 为实数，数列}{n a 的前n 项和为n S ，满足：m a S n n n +⨯-=33489，且364≥n a 对任何的正整数n 恒成立．求证：当m 取到最大值时，对任何正整数n 都有16331<∑=nk kk S ．证明：当1=n 时，由m a a +-=48911得)4(81m a -=， 当1≥n 时，m a S n n n +⨯-=33489，m a S n n n +⨯-=+++11133489，∴n n n n a a a 338898911⨯--=++，即nn n a a 336491⨯+=+， （5分） ∴)3932(9393211n n n n a a ⨯+=⨯+++ ∴119)332(3932-⨯+=⨯+n n n a a ，即n n n m a 39329)316(278⨯-⨯-=（10分） 由条件知，36439329)316(278≥⨯-⨯-n n m 对任何正整数n 恒成立， 即n n m 3193291364)316(278⨯+⨯≥-对任何正整数n 恒成立， 由于n n 3193291364⨯+⨯在1=n 时取最大值27963193291364=⨯+⨯， 于是2796)316(278≥-m ，解得34≤m ． 由上式知道m 的最大值为34． （15分）当34=m 时，nn n a 3929932⨯3-⨯=，于是34334)39329932(89+⨯-⨯-⨯=n n n n S)13)(13(34]134)3(3[3412--=+⨯-⨯=+nn n n ，所以∑∑=+=--=n k kk knk k k S 111)13)(13(3433)131131(8311---=+=∑k n k k 1632183)131131(831=⨯<---=+n ． （20分）。
2011年四川初中数学联赛(初二组)初赛
2011年四川初中数学联赛(初二组)初赛解答与评分标准一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1、分式)0(≠++xyz zy x xyz中z y x ,,的值都变为原来的2倍，则分式的值变为原来的（ ）。
（A ）2倍 （B ）4倍 （C ） 6倍 （D ） 8倍 答：选B 。
2、有甲、乙两班，甲班有m 个人，乙班有n 个人。
在一次考试中甲班平均分是a 分，乙班平均分是b 分。
则甲乙两班在这次考试中的总平均分是（ ）．（A ）2b a + （B ） 2n m + （C ） b a bn am ++ （D ）n m bnam ++ 答：选D 。
3、若实数a 满足a a -=||，则||2a a -一定等于（ ）． （A ）2a （B ）0 （C ） -2a （D ）-a a a a a a a 2|2|||||||2-==-=-，选C 。
答：因为aa -=||，所以≤a ，故60=∠BAC ，则ABC ∠的大小为（ ）4、ABC ∆中，AD 是BAC ∠的平分线，且CD AC AB +=。
若（A ）40 （B ）60 （C ）80 （D ）100答：作C 关于AD 的对称点C ’。
因为AD 是角平分线，则C ’一定落在AB 上。
由CD AC AB +=，得D C AC AB ''+=，故D C BC ''=，所以B D AC C ∠=∠=∠2'，又120180=∠-=∠+∠A C B ，故40=∠B ，选A 。
5、在梯形ABCD 中，AD 平行BC ，2:1:=BC AD ，若ABO ∆的面积是2，则梯形ABCD的面积是（ ）。
（A ）7 （B ）8 （C ）9 （D ）10答：设xS ADO=∆。
由2:1:::===∆∆C D O A D O S S OC AO BC AD ，故x S C DO 2=∆，同理xS ABO 2=∆，x S CBO 4=∆，故1=x ，所以梯形面积是9，选C 。
四川初中数学联赛(初二组)决赛试卷及其答案
2011年四川初中数学联赛（初二组）决赛试卷（4月10日 上午8：45—11：15）一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1．我国邮政国内外埠邮寄印刷品邮资标准如下：100克以内0.7元，每增加100克（不足100克按100克计）0.4元．某人从成都邮寄一本书到上海，书的质量是470克，那么他应付邮资（ ） A ．2.3元 B ．2.6元 C ．3元 D ．3.5元2．设关于x 的分式方程2222a a x x --=--有无穷多个解，则a 的值有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．无穷多个3．实数a 、b 、c 满足0a b c ++=，且0abc >，则111a b c++的值（ ）A ．是正数B ．是负数C ．是零D ．正负不能确定4．若a ，b ，c 分别是三角形三边长，且满足1111a b c a b c+-=+-，则一定有（ ）A ．a =b =cB ．a =bC ．a =c 或b =cD ．a 2+b 2=c 25．已知如图，长方形ABCD ，AB ＝8，BC ＝6，若将长方形顶点A 、C 重合折叠起来，则折痕PQ 长为（ ）A ．152B ．7C ．8D ．1726．用三个2，能写出最大的数一定是（ ）A ．等于222 B ．等于222 C ．等于242 D ．大于1000 二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1．x 是实数，那么115x x x -++++的最小值是_________． 2．已知1a =，则20122011201022a a a +-的值为_____________．3．右图是一个由6个正方形构成的长方形，如果最小的正方形的面积是1，则这 个长方形的面积是_______．4．若△ABC 的三条中线长为3、4、5，则S △ABC 为____________． 三、（本大题满分20分）设有m 个正n 边形，这m 个正n 边形的内角总和度数能够被8整除，求m +n 的最小值．QP DCBA四、（本大题满分25分）现有红、黄、蓝、白4种颜色的袜子若干（足够多），若只要两只同色的袜子就可以配成1双，请问至少需要多少只袜子就一定能够配成10双袜子． 五、（本大题满分25分）已知如图：正方形ABCD ，BE ＝BD ，CE 平行于BD ，BE 交CD 于F ，求证：DE ＝DF ．FE D C B A2011年四川初中数学联赛(初二组)决赛参考解答与评分标准一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1、我国邮政国内外埠邮寄印刷品邮资标准如下：100克以内0.7元，每增加100克（不足100克按100克计）0.4元。
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2011年四川初中数学联赛(初二组)初赛
解答与评分标准
一、选择题（本题满分42分，每小题7分）
1、分式
)0(≠++xyz z
y x xyz
中z y x ,,的值都变为原来的2倍，则分式的值变为原来的
（ ）。
（A ）2倍 （B ）4倍 （C ） 6倍 （D ） 8倍 答：选B 。
2、有甲、乙两班，甲班有m 个人，乙班有n 个人。
在一次考试中甲班平均分是a 分，乙班平均分是b 分。
则甲乙两班在这次考试中的总平均分是（ ）．
（A ）
2b a + （B ） 2
n
m + （C ） b a bn am ++ （D ）n m bn am ++ 答：选D 。
3、若实数a 满足a a -=||，则||2a a -
一定等于（ ）
． （A ）2a （B ）0 （C ） -2a （D ）-a 答：因为a a -=||，所以0≤a ，故a a a a a a 2|2|||||||2-==-=-
，选C 。
4、ABC ∆中，AD 是BAC ∠的平分线，且CD AC AB +=。
若
60=∠BAC ，则ABC ∠的大小为（ ）
（A ）
40 （B ）
60 （C ）
80 （D ）
100
答：作C 关于AD 的对称点C ’。
因为AD 是角平分线，则C ’一定落在AB 上。
由CD AC AB +=，得D C AC AB ''+=，故D C BC ''=，所以B D AC C ∠=∠=∠2'，又
120180=∠-=∠+∠A C B ，故
40=∠B ，选A 。
5、在梯形ABCD 中，AD 平行BC ，2:1:=BC AD ，若A B O ∆的面积是2，则梯形ABCD 的面积是（ ）。
（A ）7 （B ）8 （C ）9 （D ）10
答
：
设
x
S A
D
O
=∆。
由
2:1:::===∆∆C D O A D O S S OC AO BC AD ，故x S C D O
2=∆，同理x S ABO 2=∆，
x S CBO 4=∆，故1=x ，所以梯形面积是9，选C 。
6、有一个最多能称10千克的弹簧秤，称重发现，弹簧的长度与物体重量满足一定的
关系，如下表。
那么，在弹簧秤的称重范围内，弹簧最长为（ ）。
第5题
第4题
A 10厘米
B 13.5厘米
C 14厘米
D 14.5厘米
答：由表中关系可以得到，弹簧长度（y ）与称重（x ）的关系是x y +=5.3，故弹簧最长为13.5厘米，选B 。
二、填空题（本题满分28分，每小题7分）
1、已知1
31
,131-=+=
b a ，则722++b a 的值为 . 答：由题设有：4
3
24,432422+=
-=
b a ，则3722=++b a 。
2、已知在ABC ∆中，
90=∠C ，AD 是BAC ∠的平分线交BC 于点D ，1:2:=DC BD ，则B ∠的度数是 。
答：因为AD 是角平分线，所以1:2::==
AC AB DC BD ，故
30=∠B 。
３、在ABC ∆中，
80=∠A ，
I 是C B ∠∠,的角平分线的交点，则BIC ∠的度数为 ． 答：由题知
1
90)180(21180)2121(180+=∠--=∠+∠-=∠A C B BIC 。
４、设函数)0(>=k
kx y 与x
y 1
=
的图像相交于A 、C ，过A 作x 轴的垂线相交于B ，则ABC ∆的面积是 。
答：由题得
B
的坐标为),1
(k k
，所以2
1121=⋅⋅=∆k k S ABO
，又显然O 为AC 的中点，故12==∆∆ABO ABC S S 。
三、（本大题满分20分）
设t x tx +=-22是关于x 的方程。
当方程的解分别：（1）大于0；（2）等于0；（3）小于0时，求t 的取值范围。
解：方程整理为t x t +=-2)2( 当2≠t
时，方程的解为：2
2-+=
t t
x …………………5分 第2题
第4题
（1）当0>x 时，则
022>-+t t
，此时，2-<t 或2>t ；…………………10分 （2）当0=x 时，则
022=-+t t
，此时，2-=t ； …………………15分 （3）当0<x 时，则
02
2<-+t t
，此时，22<<-t 。
…………………20分 四、(本大题满分25分)
在平面直角坐标系中，A （2,0），B （3,0），P 是直线x y =上的点，当PB PA +最小时，试求P 点的坐标。
解：如图，作A 关于直线x y =的对称点A ’，则'PA PA =，故
PB PA PB PA +=+'。
…………………5分 由图知，只有当A 、P 、B 共线时，PB PA +最小。
……10分 又由A 与A ’关于x y =对称知，A ’（0,2）。
………………15分
由'A 、B 两点坐标得AB 直线方程：123=+y
x 。
………20分
联立⎪⎩
⎪⎨⎧==+x y y
x 1
23解得56==y x ，
故当PB PA +最小时，P 的坐标为)5
6
,56(。
…………………25分 五、（本大题满分25分）
求证：有两条中线相等的三角形是等腰三角形。
设BD 、CE 是ABC ∆的两条中线（如图），证明AC AB =。
……5分 证明1 作中线AF ，则三条中线交于重心G 。
……10分
因为BD BG 32=，CE CG 3
2
=，所以CG BG =； ………15分
所以BC GF ⊥，即BC AF ⊥。
………20分 又AF 是中线，故AC AB =。
……………25分
证明2：
如图，将EC 沿ED 平移得DF ，连接ED 、CF ，则四边形EDFC 是平行四边形，所以DF EC BD ==. …………10分
又D 、E 分别AC 、AB 的中点，所以DE 平行BC ，所以B 、C 、F 共线。
所以 ECB DFB DBF ∠=∠=∠ ………15分
又 BD =CE ，BC =CB 所以)(SAS DBC ECB ∆≅∆ ………20分 所以ACB ABC ∠=∠，故AB=AC 。
……………25分。