初等数论第一章引言

0引言 自然数与整数
定理4(第二种数学归纳法 设 是关于自然数n 定理 第二种数学归纳法)设P(n)是关于自然数 第二种数学归纳法 是关于自然数 的一种性质或命题.如果 的一种性质或命题 如果 (i)当n=1时，p(1)成立 当 成立; 时 成立 (ii)设n>1.若对所有的自然数 <n, P(m)成立， 设 若对所有的自然数m 成立， 若对所有的自然数 成立 则必可推出P(n)成立， 成立， 则必可推出 成立 那么. 对所有自然数n成立 那么 P(n)对所有自然数 成立 对所有自然数 成立. 考虑所有这样的自然数t组成的集合 。 考虑所有这样的自然数 组成的集合T。 组成的集合
初等数论
Number Theory
第一章 整除理论
• 整除性理论是初等数论的基础。本章 整除性理论是初等数论的基础。 要介绍自然数与整数，带余数除法， 要介绍自然数与整数，带余数除法， 辗转相除法，最大公约数， 辗转相除法，最大公约数，最小公倍 数，算术基本定理以及它们的一些应 用。
第一章 整除理论
a, a ∈ N ; | a |= 0, a = 0; −a, −a ∈ N .
显然有性质： 显然有性质：
i) | |=| a || b |, ∀a , b ∈ Z . |ab ii) | + b |≤| a | + | b |, ∀a , b ∈ Z . |a
0引言 自然数与整数
那么, S = N .
0引言 自然数与整数
这原理是我们常用的数学归纳的基础，实 这原理是我们常用的数学归纳的基础， 际上两者是一回事. 际上两者是一回事 定理1(数学归纳法 设P(a)是关于自然数 的一 是关于自然数n的一 定理 数学归纳法) 数学归纳法 是关于自然数 种性质或命题.如果 种性质或命题 如果
1、 合律： (a + b) + c = a + (b + c ), a , b, c ∈ Z . 合律 2、 交律： a + b = b + a , a , b ∈ Z . 交律
3、相消律： a + b = a + c ⇒ b = c, a , b, c ∈ Z .
4、 a + 0 = a , a ∈ Z .
4、 a ∗ 0 = 0, a ∈ Z .
5、 1 ∗ a = a , a ∈ Z .
6、分配律： (a + b) ∗ c = a ∗ c + b ∗ c , a , b, c,∈ Z .
0引言 自然数与整数
在整数中有大小(即顺序 关系， 即顺序)关系 三、 在整数中有大小 即顺序 关系，并用符 号:(>，≥， <， ≤) 来表示。整数的顺序有以下 ， ， ， 来表示。 性质: 性质 i) 对任意的 ,b∈Z, 关系: 对任意的a 关系 有且仅有一个成立. 有且仅有一个成立 a=b, a<b, a>b
第一章 整除理论
本章内容是是这样安排的： 本章内容是是这样安排的：为了使讨论自 然和方便， 然和方便，在§1中先概述了熟知的整数的有 关知识，包括整数的加法、 关知识，包括整数的加法、减法及乘法运算的 概念与性质；整数的大小关系及其性质； 概念与性质；整数的大小关系及其性质；特别 是讨论了自然数的最重要的两个性质: 是讨论了自然数的最重要的两个性质:自然数 的归纳原理及由此推出的最小自然数原理， 的归纳原理及由此推出的最小自然数原理，这 造建立整除理论的基础， 造建立整除理论的基础，在本章及以后各章中 经常要用到. 经常要用到.
i) n = 1, p(1)成立. 成立 ii)由 p ( n ) 成 立 ⇒ p ( n + 1) 成 立 .
那 么 , p ( n )所 有 的 自 然 n成 立 . S ： p ( n ) 成 立 的 所 有 的 自 然 n的 集 合 .
0引言 自然数与整数
由归纳原理还可推出两个在数学中，特别是 由归纳原理还可推出两个在数学中， 初等数论中常用的自然数的重要性质. 初等数论中常用的自然数的重要性质 定理2(最小自然数原理 设T是N的一个非空子 定理 最小自然数原理) 最小自然数原理 是 的一个非空子 那么， 使对任意的t属于 集.那么，必有 0 属于 使对任意的 属于 有 那么 必有t 属于T,使对任意的 属于T有 t0≤t，即t0是T中的最小自然数。 中的最小自然数。 ， 中的最小自然数 考虑所有这样的自然数s组成的集合 。 考虑所有这样的自然数 组成的集合S。 组成的集合
等号仅当b=1时成立 时成立. vi) ∀a , b, c ∈ N , 若c = ab ⇒ a ≤ c , 等号仅当 时成立
vii) ∀a , b ∈ Z , c ∈ N , ac ≤ bc ⇔ a ≤ b.
vii) ∀a , b ∈ Z , a ≤ b ⇔ −a ≥ −b.
0引言 自然数与整数
在整数中引入绝对值的概念： 四、 在整数中引入绝对值的概念：
第一章 整除理论
在§2中，讨论整除的基本概念与最简单 的性质，这些性质实质上是不涉及加法、 的性质，这些性质实质上是不涉及加法、减法 运算的；还引进了素数、最大公约数、最小公 运算的；还引进了素数、最大公约数、 倍数的概念，讨论了有关的最简单性质。 倍数的概念，讨论了有关的最简单性质。在 §3中，我们讨论建立整除理论的重要工具： 我们讨论建立整除理论的重要工具： 带余数除法，并介绍了它的若干应用. 带余数除法，并介绍了它的若干应用.以及辗 转相除法。 转相除法。
0引言 自然数与整数
定义1 自然数，也叫正整数， 定义 自然数，也叫正整数，是我们熟悉的数 1，2，3，……，n, n+1 , …… ， ， ， ， 我们以N表示全体自然数的集合。 我们以 表示全体自然数的集合。 表示全体自然数的集合 整数是指正整数、负整数以及零， 整数是指正整数、负整数以及零，即
整除理论是初等数论的彗础， 整除理论是初等数论的彗础，它是对在小 学就学过的整数的算术， 学就学过的整数的算术，主要是涉及除法运算 的内容，作抽象的、系统的总结， 的内容，作抽象的、系统的总结，看起来似乎 很简单，但是它的内涵是十分重要而深刻的。 很简单，但是它的内涵是十分重要而深刻的。 本章的主要内容最大公约数理论和数学中最重 最基本、最著名的定理之一—— ——算术基本 要、最基本、最著名的定理之一——算术基本 定理，即每个大于1 定理，即每个大于1的正整数必可唯一地表为 若干个素数的乘积，前者在§ 讨论 讨论， 若干个素数的乘积，前者在§4讨论，后者则 在§6及§7讨论。 讨论。
i) n = 1, p(1)成立. 成立 ii)由 p ( n ) 成 立 ⇒ p ( n + 1) 成 立 .
那 么 , p ( n )所 有 的 自 然 n成 立 .
0引言 自然数与整数
这原理是我们常用的数学归纳的基础，实 这原理是我们常用的数学归纳的基础， 际上两者是一回事. 际上两者是一回事 定理1(数学归纳法 设P(n)是关于自然数 的一 是关于自然数n的一 定理 数学归纳法) 数学归纳法 是关于自然数 种性质或命题.如果 种性质或命题 如果
以上列举了一些熟知的有关整数的知识.对 以上列举了一些熟知的有关整数的知识 对 自然数来说它的最重要、 自然数来说它的最重要、最本质的性质是 归纳原理：设S是N的一个了集，满足条件 的一个了集， 归纳原理： 是 的一个了集 满足条件:
i) 1 ∈ s. ii)如果n ∈ S ⇒ n + 1 ∈ S .
ii)自反性 ： a ≤ a, a ∈ Z . iii) 反对称 性 ： ∀a, ∈ Z , 若a ≤ b且b ≤ a ⇒ a = b. b iv) 传递 性 ： ∀a, , c ∈ Z , 若a ≤ b且b ≤ c ⇒ a ≤ c . b
0引言 自然数与整数
v) ∀a , b, c ∈ Z , a + c ≤ b + c ⇔ a ≤ b.
第一章 整除理论
在§4中我们建立最大公约数理论，它是整 中我们建立最大公约数理论， 除理论的核心内容， 除理论的核心内容，对此我们作了较全面的讨 论.在第一部分，利用带余数除法建立了完整的 在第一部分， 最大公约数及最小公倍数的理论， 最大公约数及最小公倍数的理论，在这一部分 中我们直接从定义出发给出最大公约数及最小 公倍数的性质； 公倍数的性质；第二部分在带余数除法的基础 上建立了完整的最大公约数与最小公倍数理论。 上建立了完整的最大公约数与最小公倍数理论。
0引言 自然数与整数
是一个自然数.现有守 现有守:个盒子和 鸽巢原理 设”是一个自然数 现有守 个盒子和 11十工个物体 无论怎样把这儿十工个物体放 十工个物体.无论怎样把这儿十工个物体放 十工个物体 入这”个盒子中，一定有一个盒子中被放了 入这”个盒子中， 两个或两个以上的物体. 两个或两个以上的物体
5、任意的a , b ∈ Z，必有x ∈ Z , 使得 a = b + x . 5就是法的定： a − b = x .
0引言 自然数与整数
二、在整数集中可以作乘法运算（*)，但不 在整数集中可以作乘法运算（ ) 一定可作其逆运算除法运算，乘法运算满足 一定可作其逆运算除法运算， 除法运算
1、 合律： (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c ), a , b, c ∈ Z . 合律 2、 交律： a ∗ b = b ∗ a , a , b ∈ Z . 交律 3、相消律： 若a ≠ 0, a ∗ b = a ∗ c ⇒ b = c, a, b, c ∈ Z .
0引言 自然数与整数
的非空子集， 定理3(最大自然数原理 定理 最大自然数原理) 设M是N的非空子集， 最大自然数原理 是 的非空子集 有上界， 属于M,使对任意的 若M有上界，即存在 属于 使对任意的 m 有上界 即存在a属于 使对任意的: 属于M有 属于 有m≤a，那么，必有 0属于 使对任 ，那么，必有m 属于M,使对任 意的m属于 ， 意的 属于M，有m≤ m0 ，即 m0 是M中的最 属于 中的最 大自然数。 大自然数。 考虑所有这样的自然数t组成的集合 。 考虑所有这样的自然数 组成的集合T。 组成的集合