1.3线段的垂直平分线(2)
1.3线段的垂直平分线
回顾 思考 线段的垂直平分线
我们曾经利用折纸的方法得到:
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等.
你能证明这一结论吗?
已知:如图,直线MN⊥AB,垂足为C, 且AC=CB.
P是MN上任意一点.
求证:PA=PB.
M P
分析:要证明PA=PB,
1.3线段的垂直平分线
第１课时
驶向胜利 的彼岸
• 1. 掌握线段垂直平分线的性质定理和判 定定理的证明方法．
• 2.会用尺规作已知线段的垂直平分线．
• 3、会用线段垂直平分线的性质定理和 判定定理进行计算或证明。
1.什么是线段垂直平分线？
垂直 并且 平分 一条线段的直线称为这条 线段的垂直平分线，简称 中垂线 .
这条线段的垂直平分线上.
P
∵PA=PB(已知),
∴点P在AB的垂直平分线上(到一条
线段两个端点距离相等的点,在这条
线段的垂直平分线上).
A
B
老师提示:这个结论是经常用来
证明点在直线上(或直线经过某一点) 的根据之一.
从这个结果出发,你还能联想到什么?
你能根据上述定
M
理和逆定理，说出
线段的垂直平分线
A
AE
B D
E BD C
2.已知:如图,AD是ABC的高,E为AD上一点,且 BE=CE,则ABC为 等腰 三角形.
巩固练习 ２
挑战自我
3.如图，已知点D在AB的垂直平分线上，如
果AC=5cm,BC=4cm,则△BDC的周长为
_９__cm__。
C
P
Байду номын сангаас
M
2020版八年级数学下册第一章三角形的证明1.3线段的垂直平分线(第2课时)课件(新版)北师大版
(2)∵MD⊥AC,NE⊥BC, ∴∠ACB=180°-∠MFN=110°, ∴∠A+∠B=70°, ∵MA=MC,NB=NC, ∴∠MCA=∠A,∠NCB=∠B, ∴∠MCN=40°.
【母题变式】 【变式一】(变换条件) 如图,在△ABC中,AB边的垂直 平分线l1交BC于点D,AC边的垂直平分线l2交BC于点E,l1 与l2相交于点O,连接OB,OC,若△ADE的周长为6 cm, △OBC的周长为16 cm.
1.三角形三条边的垂直平分线的性质
探究:利用尺规分别作出锐角三角形、直角三角形、钝 角三角形三边的垂直平分线,说明交点分别在什么位置,
并测量各个交点到三角形顶点的距离.
结论:①锐角三角形三边的垂直平分线交点在___三__角__ __形__内___;直角三角形三边的垂直平分线交点在___斜__边__ __上___;钝角三角形三边的垂直平分线交点在___三__角__形__ __外___.②三角形三边的垂直平分线交点到三个顶点的 距离____相__等___.
【规范解答】∵P为△ABC三边垂直平分线的交点, ∴PA=PC=PB,
……………………三角形三条边的垂直平分线的性质
∴∠PAC=∠PCA=20°, …………等边对等角 ∠PBC=∠PCB=30°, …………等边对等角
∵∠PAB=∠PBA, ∴∠PAB= 1(180°-2×20°-2×30°)
2
……………………三角形内角和等于180°
2
交BC于点D,连接AD.若△ADC的周长为10,AB=7,则△ABC 的周长为 ( C )
A.7
B.14
C.17
D.20
【学霸提醒】
此题考查了线段垂直平分线的性质与作法.解题时要注 意数形结合思想的应用.
线段的垂直平分线(二)教学设计 (优质)
第一章证明（二）3．线段的垂直平分线(二)河南省郑州八中刘正峰一、学生知识状况分析学生在证明三角形三边垂直平分线交于一点时可能也较抽象．教学时，教师对此不要操之过急，应逐步引导，学生对它的理解要有一个过程．二、教学任务分析本节课的教学目标是：1．知识目标：①经历折纸和作图、猜想、证明的过程，能够证明三角形三边垂直平分线交于一点②经历猜想、探索，能够作出以a为底，h为高的等腰三角形．2．能力目标：①经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力．②体验解决问题的方法，发展实践能力和创新意识．③学会与他人合作，并能与他人交流思维的过程和结果．3. 情感与价值观要求①能够积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．②在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．4．教学重点、难点重点：①能够证明与线段垂直平分线相关的结论．②已知底边和底边上的高，能利用尺规作出等腰三角形．难点：证明三线共点是难点。
三、教学过程分析本节课设计了五个教学环节：第一环节：提出问题，引入新课；第二环节：讲述新课；第三环节：议一议； 第四环节：课时小结；第五环节：课后作业。
第一环节：提出问题，引入新课活动内容：尺规作图作三条边的垂直平分线。
活动目的：让学生利用自己的动手体会三类三角形三条边的垂直平分线交于一点的正确性。
活动过程：教师提问：“[师]习题1．6的第1题：利用尺规作三角形三条边的垂直平分线，当作完此题时你发现了什么?(教师可用多媒体演示作图过程)”“三角形三边的垂直平分线交于一点．”、“这一点到三角形三个顶点的距离相等．”等都是学生可以发现的直观性质。
下面请同学们剪一个三角形纸片，通过折叠找出每条边的垂直平分线，观察这三条垂直平分线，你是否发现同样的结论?与同伴交流．学生会有和习题1．6有着同样的结论．教师质疑：“这只是用我们的眼睛观察到的，看到的一定是真的吗？我们还需运用公理和已学过的定理进行推理证明，这样的发现才更有意义．”这节课我们来学习探索和线段垂直平分线有关的结论．[板演题目：§1．3．2线段垂直平分线(二)]活动效果及注意事项：上述活动中，教师要注意多画几种特殊的三角形让学生亲自体验和观察结论的正确性。
线段的垂直平分线(二)
02 垂直平分线的作法
利用直角三角形的性质作垂直平分线
直角三角形斜边的中线等于斜 边的一半。
直角三角形斜边的中线也是斜 边上的高。
直角三角形斜边的中线将直角 三角形分为两个等腰三角形。
利用等腰三角形的性质作垂直平分线
等腰三角形底边上的中点到两腰的距 离相等。
垂直平分线上的任意 一点到线段两端点的 距离相等。
垂直平分线是唯一的， 即一条线段只有一条 垂直平分线。
垂直平分线与线段垂 直，且与线段相交于 中点。
垂直平分线的判定
如果一条直线通过线段的中点，并且与线段垂直，那么这条直线就是线段的垂直平 分线。
如果一条直线上的任意一点到线段两端点的距离相等，那么这条直线就是线段的垂 直平分线。
1 2
确定点与线段的位置关系
通过垂直平分线，可以确定一个点是否在线段的 中垂线上，从而确定该点与线段的位置关系。
证明三角形等腰
如果一个三角形两边上的中点在同一条垂直平分 线上，则这个三角形是等腰三角形。
3
计算线段长度
利用垂直平分线性质，可以计算线段的长度。
在日常生活中的应用
01
02
03
确定物体位置
在几何证明和作图中有重要应用， 如利用角的平分线作平行线。
平行线的性质与判定
性质
平行线具有同位角相等、内错角 相等、同旁内角互补等性质。
判定
平行线的判定包括同位角相等、 内错角相等、同旁内角互补等条
件。
应用
在几何证明和作图中有重要应用， 如利用平行线的性质证明线段的
比例关系。
三角形的高、中线与角平分线
1.3 线段的垂直平分线(2)
∴c,a,b相交于一点P,且PA=PB=PC(三角
形三条边的垂直平分线相交于一点,并 且这一点到三个顶点的距离相等). B
c
P
1.分别作出直角三角形、锐角三角形、钝角三角形三边的
垂直平分线，说明交点分别在什么位置.
1.证明了定理:三角形三条边的垂 直平分线相交于一点,并且这一点 c B
a
A b
到三个顶点的距离相等.
2.已知等腰三角形的底边和底边 上的高作等腰三角形. P C
自信和希望是青年人的特权． ——大仲马
除底边的中点外的任意一点，和底边的两个
端点相连接，都可以得到一个等腰三角形． 如图所示，这些三角形不都全等．
(3)已知等腰三角形的底及底边上的高,你能用尺规作出等 腰三角形吗？能作几个？ 这样的等腰三角形只有两个，并且它们 是全等的，分别位于已知底边的两侧． 所以满足这一条件的三角形是唯一确定 的.
【解析】选D.等边三角形关于任一边上的垂直平分线成 轴对称，等腰三角形关于底边上的垂直平分线成轴对称， 一般三角形不是轴对称图形，D选项没有说明三角形的
形状，所以D选项说法错误.
3 .如图所示，在△ABC中，∠B＝22.5º, AB的垂直平分线交BC于点D，DF⊥AC于 点F,并与BC边上的高AE交于G. 求证：EG＝EC.
3 线段的垂直平分线
第2课时
1、能够证明三角形三边的垂直平分线相交于一点；
2、会作以a为底、高为h的等腰三角形.
C 1.线段的垂直平分线的性质定理和判断 定理？ 2.线段的垂直平分线的作法？ A B
D
操作：
利用尺规作三角形三条边的垂直平分线做完之后，你 发现了什么？ 发现：三角形三边的垂直平分线
2015年春学期北师大八年级数学下册同步课件1.3线段的垂直平分线(2)
三、 线段的垂直平分线的集合定义： 线段的垂直平分线可以看作是到线 段两上端点距离相等的所有点的集合．
C
B
N
线段的垂直平分线
性质定理：线段垂直平分线上的到这条线段两个端点 的距离相等． 逆命题： 到线段两个端点距离相等的点，在这条线 段的垂直平分线上．
P
点P在线段 AB的垂直 平分线上
？
PA=PB
几何语言叙述： ∵PA=PB A ∴点P在线段AB的垂直平分线上
C
B
线段的垂直平分线
性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两 个端点的 距离相等． M
命题：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的 距离相等． M 已知：如图， 直线MN⊥AB，垂足 为C， 且AC=CB， 点P在MN上. P 求证：PA=PB
证明：∵MN⊥AB ∴ ∠ PCA= ∠ PCB=90° 在 ΔPAC和Δ PBC中， AC=BC ∠ PCA= ∠ PCB A PC=PC ∴ ΔPAC ≌Δ PBC ∴PA=PB
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线段的垂直平分线
实际问题
2、如图，在直线L上求 作一点P，使PA=PB．
数学化
A L
实 际 问 题 2
B
p
PA=PB
数学问题源于生活实践，反过来数学又为生活实践服务
线段的垂直平分线
一、性质定理：线段垂直平分线上的点到这 条线段两个端 点的距离相等． 二、逆定理：到线段两个端点距离相等的点， 在这条线段的垂直平分线上．
线段的垂直平分线
例 已知：如图，在ΔABC中，边AB，BC的垂直平 分线交于P ．求证：点P在AC的垂直平分线上．
分析：
点P在线段AB的 垂直平分线上 PA=PB 点P在线段BC的 垂直平分线上 PB=PC
精品-1.3 线段的垂直平分线 第2课时 三角形三边的垂直平分线及作图 教案
第2课时 三角形三边的垂直平分线及作图1．理解并掌握三角形三边的垂直平分线的性质，能够运用其解决实际问题；(重点) 2．能够利用尺规作出三角形的垂直平分线．一、情境导入现在有A 、B 、C 三个新建的小区，开发商为了方便业主需求，打算在如图所示的区域内建造一座购物中心，要求购物中心到三个小区的距离相等，你能帮购物中心选址吗？二、合作探究探究点一：三角形三边的垂直平分线【类型一】 运用三角形三边的垂直平分线的性质求角度如图，在△ABC 中，∠BAC ＝110°，点E 、G 分别是AB 、AC 的中点，DE ⊥AB 交BC 于D ，FG ⊥AC 交BC 于F ，连接AD 、AF .求∠DAF 的度数．解析：根据三角形内角和定理求出∠B ＋∠C ，根据线段垂直平分线得出AD ＝BD ，AF ＝CF ，推出∠BAD ＝∠B ，∠CAF ＝∠C ，即可求出答案．解：在△ABC 中，∵∠BAC ＝110°，∴∠B ＋∠C ＝180°－110°＝70°.∵E 、G 分别是AB 、AC 的中点，DE ⊥AB ，FG ⊥AC ，∴AD ＝BD ，AF ＝CF ，∴∠BAD ＝∠B ，∠CAF ＝∠C ，∴∠DAF ＝∠BAC －(∠BAD ＋∠CAF )＝∠BAC －(∠B ＋∠C )＝110°－70°＝40°.方法总结：本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理的应用．注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第2题【类型二】 运用三角形三边的垂直平分线的性质求线段如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A＝120°，BC ＝8cm ，AB 的垂直平分线交BC 于点M ，交AB 于点D ，AC 的垂直平分线交BC 于点N ，交AC 于点E ，求MN 的长．解析：首先连接AM ，AN ，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝120°，可求得∠B ＝∠C ＝30°.又由AB 的垂直平分线交BC 于点M ，交AB 于点D ，AC 的垂直平分线交BC 于点N ，交AC 于点E ，易得△AMN 是等边三角形，继而求得答案．解：连接AM ，AN ，∵在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝120°，∴∠C ＝∠B ＝30°.∵AB 的垂直平分线交BC 于点M ，交AB 于点D ，AC 的垂直平分线交BC 于点N ，交AC 于点E ，∴AN ＝CN ，AM ＝BM ，∴∠CAN ＝∠C ＝30°，∠BAM ＝∠B ＝30°，∴∠ANM ＝∠AMN ＝60°，∴△AMN是等边三角形，∴AM＝AN＝MN，∴BM＝MN＝CN.∵BC＝8cm，∴MN＝8 3cm.方法总结：此题考查了线段垂直平分线的性质以及等边三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法．【类型三】三角形三边的垂直平分线的性质的应用某公园有海盗船、摩天轮、碰碰车三个娱乐项目，现要在公园内建一个售票中心，使得三个娱乐项目所处位置到售票中心的距离相等，请在图中确定售票中心的位置．解析：由三个娱乐项目所处位置到售票中心的距离相等，可得售票中心是海盗船、摩天轮、碰碰车三个娱乐场组成三角形的三边的垂直平分线的交点．解：如图，①连接AB，AC，②分别作线段AB，AC的垂直平分线，两垂直平分线相交于点P，则P即为售票中心．方法总结：此题考查了线段垂直平分线的性质．此题难度不大，注意掌握线段垂直平分线的作法．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题探究点二：作图已知线段c，求作△ABC，使AC＝BC，AB＝c，AB边上的高CD＝12c.解析：由题意知，△ABC是等腰三角形，高把底边垂直平分，且高等于底边长的一半．解：作法：1.作线段AB＝c；2．作线段AB的垂直平分线EF，交AB于D；3．在射线DF上截取DC＝12c，连接AC，BC，则△ABC即为所求作的三角形，如图所示．方法总结：已知底边长作等腰三角形时，一般可先作底边的垂直平分线，再结合等腰三角形底边上的高确定另一个顶点的位置．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第3题三、板书设计1．三角形三边的垂直平分线三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等．2．作图本节课学习了用尺规作三角形，作图时要学会分析．一般先画一个满足题目已知条件的草图，有时结合基本作图和已知条件可作一个与求作三角形相关联的三角形，然后应用有关条件结合基本作图作出其余的图形.。
1.3、线段的垂直平分线2
程
五、试着画一画 已知底边及底边上的高，求作等腰三角形
反馈练习： 1．如图，△ABC 中，DE 垂直平分 BC， 垂足为 E，交 AB 于 D，若 AB=10cm，
AC=6cm， 则△ACD 的周长为CDB=30° ， 若 BC=3cm， 则 AD=_________cm． 3．如图，B 在 AC 上，D 在 CE 上， AD=BD=BC， ∠ACE=25° ，∠ADE=_________．
科
目
数学 新授课 唐建花
章 节 年 级 审核人
课 型 主备人
第一章 第三节 九年级
课
题
教材版本
线段的垂直 平分线(二) 北师大版
学习 目标
1．通过折纸和作图、猜想、证明的过程，学生会证明三 角形三边垂直平分线交于一点，能够利用直尺和圆规作已 知线段的垂直平分线。 2．通过合作交流学生能够作：已知底边及底边上的高， 能够利用直尺和圆规作出等腰三角形。从而学生熟练地使 用直尺和圆规作图的能力得到提高。 3．通过探索、猜测、证明的过程，学生的推理证明意识 和能力进一步拓展。 作已知线段的垂直平分线。 会说三线共点的证明方法。5 活动——探究——交流 1、通过学生的交流和练习完成学习目标一，达成率 95％。 2、通过合作交流完成学习目标二，达成率 88％。. 3、在教师的引导下解决学习目标三，达成率 85％。 线段垂直平分线的性质定理 一、动手操作： 学生折出三角形三条边的垂直平分线。 仔细观察三角形的三条垂直平分线， 思考它们之间的关系。 二、动手画： （自主解决） 拿出圆规和直尺，作一个任意的三角形，作出三边的垂直 平分线。 （注意作图的方法和步骤）
4.已知线段 a，求作以 a 为底边、以 a 为高的等腰三角形。
1 2
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证明：三角形三条边的垂直平分线交于一点，并且
这一点到三角形三个顶点的距离相等．
点拨：要证明三条直线相交于一
怎样证明这个 结论呢? 点，只要证明其中两条直线的交
点在第三条直线上即可
证明：三角形三条边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三 角形三个顶点的距离相等． 已知：如图,在△ABC中,AB,BC的垂直平分线相交于点P, 求证：点P也在AC的垂直平分线上，且PA=PB=PC
这样的等腰三角形只有两个，并且它 们是全等的，分别位于已知底边的两侧． 所以满足这一条件的三角形是唯一确 定的。 你能尝试着用尺规作出这个三角形吗?
例3.已知一个等腰三角形的底及底边上的高,求作 这个等腰三角形
a
点和直线的位置关系有几种？
①点在直线上 ②点在直线外 Nhomakorabea过一点作已知直线的垂线：
①过直线上一点作已知直线的垂线 ②过直线外一点作已知直线的垂线
1.3 线段的垂直平分线 (2)
回顾
思考
C
1.线段的垂直平分线的性质定理和
判断定理。
2.线段的垂直平分线的作法。
A D
B
1.如图，在△ABC中， ∠C=90°，∠A=30°，AB的 垂直平分线交AB于点D，交AC 于点E， 求证：AE=2CE．
剪一个三角形纸片，通过折叠找出每条边的 垂直平分线，观察这三条垂直平分线，你是否发 现同样的结论?与同伴交流．
①经过已知直线上的一点作已知直线的垂线 已知:直线AB和AB上一点C 求作:AB的垂线,使它经过点C.
A
C
B
②经过已知直线l外一点作已知直线的垂线 已知:直线l和l外一点C 求作:l的垂线,使它经过点C.
C
l
P26 习题1.8 第2题
1.证明了定理:三角形三条边的垂
直平分线相交于一点,并且这一
A
B
P
C
2．分别作出直角三角形、锐角三角形、钝角三角 形三边的垂直平分线，说明交点分别在什么位置.
B本P8，第九题图
(1) 已知三角形的一条边及这条边上的高，你能 作出三角形吗?如果能，能作几个?所作出的三角 形都全等吗?
(2)已知等腰三角形的底及底边上的高,你
能用尺规作出等腰三角形吗？能作几个？
点到三个顶点的距离相等。 c B
a
A
b
P C
2.已知等腰三角形的底边和底边
上的高作等腰三角形