《线段的垂直平分线》典型例题

典型例题

例1．如图，已知：在ABC ∆中，︒=∠90C ，︒=∠30A ，BD 平分ABC ∠交AC 于D .

求证：D 在AB 的垂直平分线上.

分析：根据线段垂直平分线的逆定理，欲证D 在AB 的垂直平分线上，只需证明DA BD =即可.

证明：∵︒=∠90C ，︒=∠30A （已知），

∴ ︒=∠60ABC （∆Rt 的两个锐角互余）

又∵BD 平分ABC ∠（已知）

∴ A ABC DBA ∠=︒=∠=∠302

1. ∴AD BD =（等角对等边）

∴D 在AB 的垂直平分线上（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.

例2．如图，已知：在ABC ∆中，AC AB =，︒=∠120BAC ，AB 的垂直平分线交AB 于E ，交BC 于F 。

求证：BF CF 2=。

分析：由于︒=∠120BAC ，AC AB =，可得︒=∠=∠30C B ，又因为EF 垂直平分AB ，连结AF ，可得BF AF =. 要证BF CF 2=，只需证AF CF 2=，即证︒=∠90FAC 就可以了.

证明：连结AF ，

∵EF 垂直平分AB （已知）

∴FB FA =（线段垂直平分线上的点和这条线段两端点的距离相等） ∴B FAB ∠=∠（等边对等角）

∵AC AB =（已知），

∴C B ∠=∠（等边对等角）

又∵︒=∠120BAC （已知），

∴︒=∠=∠30C B （三角形内角和定理）

∴︒=∠30BAF

∴︒=∠90FAC

∴FA FC 2=（直角三角形中，︒30角所对的直角边等于斜边的一半） ∴FB FC 2=

说明：线段的垂直平分线的定理与逆定理都由三角形的全等证得，初学者往往不习惯直接使用绝无仅有垂直平分线的定理与逆定理，容易舍近求远，由三角形全等来证题.

例3．如图，已知：AD 平分BAC ∠，EF 垂直平分AD ，交BC 延长线于F ，连结AF 。

求证：CAF B ∠=∠。

分析：B ∠与CAF ∠不在同一个三角形中，又B ∠，CAF ∠所在的两个三角形不全等，所以欲证CAF B ∠=∠，不能利用等腰三角形或全等三角形的性质. 那么注意到EF 垂直平分AD ，可得FD FA =，因此ADF FAD ∠=∠，又因为CAD FAD CAF ∠-∠=∠，BAD ADF B ∠-∠=∠，而BAD CAD ∠=∠，所以可证明B CAF ∠=∠.

证明：∵EF 垂直平分AD （已知），

∴FD FA =（线段垂直平分线上的点和这条线段的两端点的距离相等）. ∴ADF FAD ∠=∠（等边对等角）

∵BAD ADF B ∠-∠=∠（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和），

CAD FAD CAF ∠-∠=∠，

又CAD

∠（角平分线定义），

=

BAD∠

∴CAF

∠

B∠

=

说明：运用线段的垂直平分线的定理或逆定理，能使问题简化，如本例题中，EF垂直平分AD，可以直接有结论FD

FA=，不必再去证明两个三角形全等.

例4．如图，已知直线l和点A，点B，在直线l上求作一点P，使PB

PA=.

分析：假设P点已经作出，则由PB

PA=，那么根据“到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”可知，点P在线段AB的垂直平分线上. 而点P又在直线l上，则点P应是AB的垂直平分线与垂线l的交点。

作法：1．连结AB.

2．作线段AB的垂直平分线，交直线l于点P.

则P即为所求的点.

说明：在求作一个点时，要考虑该点具备什么样的特点，如它到一条线段的两个端点距离相等，它就在连结这两点的线段的垂直平分线上，如果它到一个角的两边的距离相等，它就在这个角的平分线上.