线段的垂直平分线
垂直平分线
段的垂直平分线上）
课堂练习
(1)如图，已知在△ABC中， AB= AC=24cm，AC的
垂直平分线分别交AB、 AC于点E、F ，且△BCE的
周长为34cm，求底边BC的长.
A
解：∵EF是AC的垂直平分线(已知)，
∴AE=EC
（线段垂直平分线上的任意一点到这
E
F
条线段两个端点的距离相等）. ∴AB=AE+EB=CE+BE（等量代换）.
已知：如图，PA=PB. 求证：点P在线段AB的垂直平分线上.
P
分析： 1、先作垂直 等腰三角形
2、再证平分 三线合一
A
B
1、先取中点 等腰三角形
2、再证垂直 三线合一
如果一个点到一条线段的两个端点的距离相等， 那么这个点在这条线段的垂直平分线上.
P
A
D
已知：如图，PA=PB. 求证：点P在线段AB的垂直平分线上.
∴点A在线段BC的垂直平分线上
E
（和一证条明线段A两D个是端点线距段离相B等C的的点，垂在直这条平线段
的垂直分平分线线上的）目的是什么？
同理点D也在线段BC的垂直平分
B
C线上
∴直线AD是线段BC的垂直平分线
AD是∴BC垂B直E平=C分E线（！ 线段垂直平分线上的任意一点到这
D
条线段两个端点的距离相等）
∴PA=PB（全等三角形对应边相等）
N
（2）若点P在线段AB上，则点P与点C重合，即PA=PB.
线段垂直平行线的性质定理
文字语言：
M
线段垂直平分线上的任意一点到这条线 P 段两个端点的距离相等.
符号语言：
12
∵MN⊥AB, CA=CB(已知)
线段垂直平分线定理知识总结
线段垂直平分线定理知识总结一、线段垂直平分线的性质定理说明：1、这里的距离指的是点与点之间的距离，也就是两点之间线段的长度。
2、在使用该定理时必须保证两个前提条件：一是垂直于线段，二是平分这条线段。
例题、如图所示，在△ABC 中，已知AC=27，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，△BCE 的周长等于50，求BC 的长。
分析：题中给出了线段垂直平分线这个条件，所以可以考虑运用其性质定理，从而得出AE=BE ，把BE 与AE 进行等量代换，再根据△BCE 的周长及AC 的长，可求出BC 的长。
解：因为ED 是线段AB 的垂直平分线， 所以BE=AE 。
因为△BCE 的周长等于50， 即BE ＋EC ＋BC=50， 所以AE ＋EC ＋BC=50。
又因为AE ＋EC=AC=27， 所以BC=50－27=23。
二、线段垂直平分线定理的逆定理证明某一条直线是另一条线段的垂直平分线有两种方法：第一种：根据线段垂直平分线的定义，也就是经过线段的中点，并且垂直于这条EDCBA线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。
使用这种方法必须满足两个条件：一是垂直二是平分；第二种：可以证明有两个点都在线段的垂直平分线上，根据两点确定一条直线，就可以判断这两点所在的直线就是这条线段的垂直平分线。
例题1、如图所示，P 为线段AB 外的一点，并且PA=PB 。
求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上。
分析：要想说明某一点在线段的垂直平分线上，可以根据线段的垂直平分线的定义来进行判断。
证明：过点P 作PC ⊥AB ，垂足为点C 。
因为PA=PB ， 所以∠A=∠B 。
又因为PC ⊥AB ， 所以∠PAB=∠PBA=90°. 在△PAC 和△PBC 中A B PAC PBC PC PC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所以△PAC ≌△PBC ， 所以AC=BC 。
又因为PC ⊥AB ，所以PC 垂直平分线段AB ，所以点P 在线段AB 的垂直平分线上。
15.2线段的垂直平分线
∴BE+EC=AC.
∵AC=17，BC=16.
D
E
∴ △BCD的周长=BE+EC+BC=AC+BC=17+16=33.
练习3、如右图，△ABC中，AB=AC=16cm，AB的垂 直平分线ED交AC于D点. (1)当AE=13cm时，BE= cm； (2)当△BEC的周长为26cm时，则BC= cm； (3)当BC=15cm，则△BEC的周长是 cm.
C
A
O
B
线段垂直平分线的判定定理
定理 到线段两端距离相等的点在线段 的垂直平分线上.
P
几何语言 如图，
∵ PA=PB（已知）
∴点P在线段AB的垂直平分线上 （到线段两端距离相等的点在 A 线 段的垂直平分线上.）
线段垂直平分线的判定定理
B
练习1、
已知:如图,AC=AD，BC=BD， 求证：AB垂直平分CD。
E
交流与小结 本节课你学到了什么呢？
• • • • • 线段垂直平分线的折法 线段垂直平分线的画法 线段垂直平分线的性质 线段垂直平分线的判定 线段垂直平分线的应用
尺规作图 三角板取中点 画垂线
五、线段垂直平分线的判定
线段垂直平分线的性质定理 •线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等. • 思考：你能写出上面定理的逆命题吗？ • 它是真命题吗？如何证明呢？ 命题 到线段两端距离相等的点在 这条线段的垂直平分线上. •
<一>操作：画线段垂直平分线 方法一
尺规画法
1
①分别以点A、B为圆心，大于 ½ AB长为半径画弧交于点E、F 则直线EF就是线段AB的垂直平分 线(如图) 方法二 利用三角板过中点画垂线
线段的垂直平分线及其应用
线段的垂直平分线性质及其应用一、基础知识归纳1 线段的垂直平分线的性质定理线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．说明：它是证明两条线段相等的重要的方法之一，在证明线段相等时，不要再证明两个三角形全等了，方便了证明的过程.2 线段的垂直平分线的性质定理的逆定理逆定理：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.说明：（1）关于线段垂直平分线性质定理的逆定理实际就是线段垂直平分线的判定定理；区分线段垂直平分线性质定理和判定定理的区别的关键在于区分它们的题设和结论；（2）要想证明一条直线是一条线段的垂直平分线，只要证明这条直线上任意一点到这条线段的两个端点距离相等即可；（3）关于线段垂直平分线的判定定理的证明有多种思路，如①过点P作已知线段AB的垂线PC，再证明PC平分AB；②取AB的中点C，证明PC⊥AB；③作∠APC的平分线PC，证明PC⊥AB，且AC=AB.3 三角形的三边的垂直平分线定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等．说明：（1）上面的定理是由实践操作（折纸）发现猜想，然后又经过逻辑推理而获得的，它是由实践到理论，从感性到理性的认识过程；（2）该定理综合了线段垂直平分线性质定理和判定定理，是两个定理的升华；（3）锐角三角形的三条边的垂直平分线相交三角形的内部的一点，直角三角形的三条边的垂直平分线相交三角形斜边的中点，钝角三角形的三条边的垂直平分线相交三角形的外部的一点，但无论这个点在什么位置，它到这个三角形的三个顶点的距离是相等的．二、典型例题剖析典例1：如图1，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=120°，AB 的垂直平分线MN 分别交BC 、AB 于点M 、N.求证：CM=2BM.【研析】：由于MN 为线段AB 的垂直平分线，所以如果连接MA ，就可以得到MA=MB ，然后通过△M AC 把CM 和MA 联系起来。
线段的垂直平分线的性质
创作编号：GB8878185555334563BT9125XW创作者： 凤呜大王*线段的垂直平分线的性质知识点：1、垂直且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线。
2、逆定理是：3、在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半。
典例分析：例1：如图1，在△ABC 中，已知AC=27，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，△BCE 的周长等于50，求BC 的长.变式1：如图1，在△ABC 中， AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，若∠BEC=70°，则∠A=变式2：如图3，在Rt △ABC 中，AB 的垂直平分线交BC 边于点E 。
若BE=2，∠B =15° 求：AC 的长。
[变式练习1] 如图4，在Rt △ABC 中，AB 的垂直平分线交BC 边于点E.若BC=2+2，AE=2,∠B =22.5° 求：AC 的长.B CA E D 图1AE DC B 图3 A EDCB图4例2: 如图5，在△ABC 中，AB=AC, BC=12,∠BAC =120°,AB 的垂直平分线交BC 边于点E, AC 的垂直平分线交BC 边于点N. (1) 求△AEN 的周长.(2) 求∠EAN 的度数.(3) 判断△AEN 的形状.[变式练习3]:如图7，在△ABC 中， BC=12,∠BAC =100°,AB 的垂直平分线交BC边于点E, AC 的垂直平分线交BC 边于点N. (1) 求△AEN 的周长. (2) 求∠EAN 的度数.创作编号：GB8878185555334563BT9125XW创作者： 凤呜大王*[变式练习4]如图8，△ABC 中, ∠BAC =70°, BC=12,AB 的垂直平分线交BC 边于点E, AC 的垂直平分线交BC 边于点N.求:∠EAN 的度数.A B CD E M N 图5 C图7 图8练习（1）如图，已知：BD BC AD AC ==,，那么（ ） （A ）CD 垂直平分AB （B ）AB 垂直平分CD （C ）CD 与AB 互相垂直平分 （D ）以上说法都正确（2）如果三角形三边的垂直平分线的交点正好在三角形的一条边上， 那么这个三角形是（ ）（A ）直角三角形 （B ）锐角三角形（C ）钝角三角形 （D ）以上都有可能（3）在ABC ∆中，AC AB =，AD 为角平分线，则有AD______BC （填⊥或//），=BD _____. 如果E 为AD 上的一点，那么=EB _______. 如果︒=∠120BAC ，8=BC ，那么点D 到AB 的距离是______.5. （4）如图，在ABC ∆中，AC 的垂直平分线交AC 于E ，交BC 于D ，ABD ∆的周长为cm 12，cm AC 5=，则ABC ∆的周长为_______cm .（5）如图，已知在直角三角形ABC 中，︒=∠90C ，︒=∠15B ，DE 垂直平分AB ，交BC 于E ，5=BE ，则=AC ______. ．证明题（1）如图，已知：AD 是ABC ∆的高，E 为AD 上一点，且CE BE =. 求证：ABC ∆是等腰三角形.（2）如图，已知：在ABC ∆中，A B AC AB ∠=∠=2,，DE 垂直平分线AC 交AB 于D ，交AC 于E . 求证：BC AD =.（3）如图，已知：在ABC ∆中，AB 、BC 边上的垂直平分线相交于点P . 求证：点P 在AC 的垂直平分线上.（4）如图，已知：AD 是ABC ∆的BAC ∠的平分线，AD 的垂直平分线EF ，交B C 的延长线于F ，交AD 于E ，求证：CAF BAF ∠=∠.(5)、如图，已知：BC AB ⊥，BC CD ⊥，︒=∠75AMB ，︒=∠45DMC ，DM AM =. 求证：BC AB = （6）如图，已知：在ABC ∆中，BAC ∠的平分线交BC 于D ，且AB DE ⊥，AC DF ⊥，垂足分别是E 、F . 求证：AD 是EF 的垂直平分线.创作编号：GB8878185555334563BT9125XW创作者：凤呜大王*（7）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．求证：（1）FC=AD；（2）AB=BC+AD．创作编号：GB8878185555334563BT9125XW创作者：凤呜大王*。
线段的垂直平分线
点的集合是一条射线
点的集合是一条直线
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六两啊！这四十两，她就算半年不吃不喝，也是绝对拿不出来的。“方蛤蟆，钱我先帮你垫着，你什么时候攒齐了什么时候 还。”“说话算数吗？”慕容凌娢呆毛一怔，然后阴险的笑道，“那你可要努力多活些日子哦。”“没问题。”韩哲轩笑 道。……第二天清晨，慕容凌娢拖着被剧情掏空的身体去上任。俗话说的好，新官上任三把火，慕容凌娢虽然没权利放火，但 还是可以假装自带BGM的，就是武侠片里高手出场时的那种，气场满满。由于轻微的路痴，慕容凌娢也不知道自己跑了几圈才 找到通政司。当她站在门口时，调整了一下呼吸，平静而又淡定的推开了大门，习惯性的从左往右扫视了一圈，居然木有人！ 那刚才的气场岂不是白放了！慕容凌娢走进门，转身轻巧的把门踢上，却吓得差点没蹲下。就在最右边，窗户旁边阳光照不到 的阴影处，一个人背对着慕容凌娢，好像正在摆有一些奏折的架子上寻找着什么。那人听到动静，回头看向慕容凌娢，目光很 是犀利，还有些阴惨的。慕容凌娢习惯性的将目光稍微倾斜，不去直视他的眼睛。实际上，那人个头不算高，小麦色的皮肤， 五官却长的及其端正，鼻梁高挺，侧颜很上镜。撇开要债般的眼神，慕容凌娢觉得这个人还是可以相处的，但硬要加上那双黑 化桃花眼的话，慕容凌娢下的定义是——这个人，从小缺钙，长大缺爱。脑洞大开后回归正题，慕容凌娢只能友好的朝他笑笑， 居然一句寒暄的话都说不出来。幸好那个人也没想搭理慕容凌娢，往门的方向瞥了一眼之后，就又干起了自己的事。慕容凌娢 尴尬的来到桌前，上面已经摆满了奏折，按照套路，也就当是给皇帝划重点，重要的呈报上去，不重要的……慕容凌娢看了看 那些架子，真心佩服这个年代的人能把放错了地方的资源保存得这么一丝不苟。认真的翻看了几本，慕容凌娢觉得她可能看了 假奏折，这都什么鬼啊！还没手机上的头条信息重要呢。这要拿到现代当作文，不被判为跑题只能说是老师遇到了什么大喜事。 身为奏折，记叙文的特点一定要有，可慕容凌娢怎么看都觉得散文的调调多一些,还掺杂着许多很规范的议论——先说在头儿 的领导下，我们过的很好，只是光辉成就就能扯半张，然后用渐变色般的语气委婉转移话题，不是吐槽这个大臣搞出小事情了， 就算说那个地方转款不够用了，但大多都是一笔带过。这含蓄的程度让慕容凌娢怀疑是否会有人注意到这是奏折而不是一封普 通的信。慕容凌娢习惯性看东西不认真，目光上下乱窜，还没看懂到底发生了什么事，奏折就戛然而止了。这是留白吗？这是 留白。这居然是留白！这种东西也用留白啊？（古风一言）你是我终生求医不得的隐疾始于一见钟情终于挫骨扬灰第103章 什 么鸟都不止一只这含蓄的程度让慕容凌娢怀疑是
线段的垂直平分线---知识讲解(提高)
线段的垂直平分线——-知识讲解(提高)【学习目标】1。
掌握线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理，能够利用尺规作已知线段的垂直平分线．2。
会证明三角形的三条中垂线必交于一点.掌握三角形的外心性质定理。
3.已知底边和底边上的高，求作等腰三角形。
4.能运用线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理解决简单的几何问题及实际问题．【要点梳理】要点一、线段的垂直平分线1。
定义经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线．2。
线段垂直平分线的做法求作线段AB 的垂直平分线。
作法：(1)分别以点A ，B 为圆心,以大于21AB 的长为半径作弧，两弧相交于C ，D 两点； (2）作直线CD ，CD 即为所求直线．要点诠释：（1）作弧时的半径必须大于21AB 的长，否则就不能得到两弧的交点了． （2）线段的垂直平分线的实质是一条直线.要点二、线段的垂直平分线定理线段的垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．要点诠释：线段的垂直平分线定理也就是线段垂直平分线的性质,是证明两条线段相等的常用方法之一．同时也给出了引辅助线的方法，“线段垂直平分线，常向两端把线连”.就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段,直接或间接地为构造全等三角形创造条件．要点三、线段的垂直平分线逆定理线段的垂直平分线逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上．要点诠释：到线段两个端点距离相等的所有点组成了线段的垂直平分线.线段的垂直平分线可以看作是与这条线段两个端点的距离相等的所有点的集合．要点四、三角形的外心三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心。
要点诠释:1。
三角形三条边的垂直平分线必交于一点（三线共点），该点即为三角形外接圆的圆心。
2.锐角三角形的外心在三角形内部；钝角三角形的外心在三角形外部；直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合.3.外心到三顶点的距离相等。
垂直平分线的定理
垂直平分线的定理
1 垂直平分线的定义
经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，又称“中垂线”。
垂直平分线可以看成到线段两个端点距离相等的点的集合，垂直平分线是线段的一条对称轴。
2 垂直平分线定理
经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，又称“中垂线”。
垂直平分线定理为：垂直平分线垂直且平分其所在线段。
垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。
三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等。
3 垂直平分线的逆定理
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
4 垂直平分线的判定方法
1、利用定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线是线段的垂直平分线。
2、到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．（即线段垂直平分线可以看成到线段两端点距离相等的点的集合）。
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2.4线段的垂直平分线
姓名： 班级： 小组： 评价：_____________
【课标要求】
理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；反之，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。
【核心素养体现】
直观想象、逻辑推理 【学习目标】
1.通过折纸实验，理解线段垂直平分线的定义，探究线段垂直平分线的性质及判定，并会用几何语言表示；
2.通过小组交流合作，会用尺规作已知线段的垂直平分线，并能利用性质定理求解线段.
——线段垂直平分线的定义
同学们，从你的卡片纸上，找到线段AB ，请进行以下操作： ①通过对折，使端点A 与端点B 重合；
②将纸展开后铺平，记折痕所在的直线为CD ，直线CD 与线段AB 的交点为M ； ③请动手测量AM 与BM 的长度，∠CMB 的大小。
你有什么发现？
AM______ BM ，∠CMB=____________
【归纳总结】
这时候，直线CD 为线段AB 的垂直平分线
________且_________ 一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线。
——线段垂直平分线的性质及判定
找到卡片纸上的直线CD ，任取一点P ,连接PA ，PB ，把卡片纸再沿CD 对折，PA 与PB 重合吗？你有什么发现？ 所以，PA______ PB 【归纳总结】
由此，就得到线段垂直平分线的性质：
线段垂直平分线上的______ 到______________________________相等 你能证明你的猜想吗？
1. 已知：CD 是线段AB 的垂直平分线，垂足为点M ，P 是直线CD 上的任意一点。
求证：PA=PB
如何用几何语言表示？
∵AM=MB,CD ⊥AB (或者CD 为线段AB 的垂直平分线） ∴PA=PB
学习活动1
学习活动2
反过来，到线段两端距离相等的点是否都在线段的垂直平分线上？请证明你的猜想。
【合作探究】
如图，已知线段AB ,PA=PB
求证:点P在线段AB的垂直平分线上.m
【归纳总结】
于是，我们又得到线段垂直平分线的判定定理
到线段两端距离_________的点在线段的_________________________ 上。
——线段垂直平分线的作法
你能根据上面的结论，用尺规作出线段的垂直平分线吗？【迁移提升】
1. 如图，在△ABC中，BC=10cm，AB的中垂线交BC于点D，AC 的中垂线交BC于点E，则△ADE的周长为。
2.如图，已知AC=AD，BC=BD，则有（）
A. AB垂直平分CD
B. CD垂直平分AB
C. AB与CD互相垂直平分
D. CD平分∠ACB
【学以致用】
你能帮助学校解决这个问题吗？
器材室应该建在哪里，才能到篮球场（A点）、足球场（B点）、羽毛球场(C点）三
个场地的距离相等呢？请用尺规帮助学校找到这个位置。
加油站。