线段的垂直平分线及其应用
垂直平分线性质与判定应用
几何语言:如图，∵⊥AB，AC＝BC，点P在上，∴PA＝PB
例题讲解
如图，在△ 中，的垂直平分线分别交、于、两点，＝4，
△ 的周长是25，则△ 的周长为（ ）
. 13
. 15
. 17
. 19
解题方法
根据线段垂直平分线性质得出＝，＝＝4，求出＝8， +
上，作∠ = 90°，且 = ，过点作//，且 = ，
联结，CE．
（1）求证： ⊥ ；
（2）如果 = ，求证：点在线段的垂直平分线上
课堂小结
课堂大总结
垂直平分线性质：
垂直平分线判定：
帮助每一个孩子成就最好的自己！
∴∠ = ∠ = 70°，
∵是的垂直平分线，
∴ = ，
∴∠ = ∠ = 40°，
∴∠ = ∠ − ∠ = 30°
应用练习
如图，在△ 中，∠ = 90°，垂直平分，平分∠，
则∠ =
. 30°
. 35°
. 45°
. 60°
∠ = ∠
=
∴△ ≅△ ，
∴ = ，
∴点在线段的垂直平分线上．
应用练习
已知，如图， = ， = ， ⊥ 于点， ⊥ 于点，
（1）求证： = ．
（2）连接，求证：线段垂直平分线段．
应用练习
如图，已知在△ 中，∠ = 90°， = ，点在边
垂直平分线性质与判定
√
√
思维导图
课程目标
掌握并能运用垂直平分线性质求边长以及角度
掌握并能运用垂直平分线判定进行证明
能灵活应用判定和性质解决综合题
知识讲解
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.
24.7线段垂直平分线的性质定理及其逆定理
线段垂直平分线的应用线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，这是线段垂直平分线的一个重要性质，在解题过程中，若题目中出现或经过构造出现线段垂直平分线，利用上述性质可顺利解决问题．一、用于计算例1 如图1，点P 在∠AOB 内，点M 、N 分别是点P PEF 的周长为5，求MN 的长．分析：由图1知MN 的长是ME 、EF 、FN 而P 与M 关于OA 对称，P 与N 关于OB 对称，所以OA 、 OB 分别是PM 、PN 知EM=EP ， FP=FN ，故MN 的长就是△PEF 的周长．解：因为P 与M 关于OA 对称，P 与N 关于OB 的垂直平分线，所以EM=EP ， FP=FN ．所以例2 如图2所示，DE 是△ABC 的边AB E 平分∠B AC ，若∠B=30º，求∠C 的度数．分析：由DE 是AB 边的垂直平分线可知BE=A E ∠B=∠1，又因为A E 是∠B AC 的角平分线，所以∠1=∠即可求出∠C 的度数． 解：因为DE 是AB 边的垂直平分线，所以BE=A E ∠B=∠1．因为∠B=30º，所以∠1=30º．又因为A E 平分∠B AC ，所以∠2=∠1=30º，即∠B AC=60º．因为∠C=180º－∠B AC －∠B ，所以∠C=90º．点评：通过以上两例可以看出，我们在求一些边长、周长或角的度数时，如果能恰当地二、用于证明例3 如图3，已知AB=AC ， AD 平分∠BAC ，求证：∠分析：由已知AB=AC 及AD 平分∠BAC ，易想到连结BC ，得 等腰△ABC ，且AD 垂直平分BC ，从而有DB=CD 及BE=EC ，可得∠EBC=∠ECB ，∠DBC=∠DCB ，两式相减即有∠DBE=∠ECD ．证明：连结BC ，因为AB=AC ，AD 平分∠BAC ，所以AD 垂 直平分BC ，所以BE=EC ，DB=CD ，所以∠EBC=∠ECB ，∠DBC= ∠DCB ，所以∠EBC －∠DBC=∠ECB －∠DCB ，即∠DBE=∠ECD 点评：本题也可以通过证明△ABE ≌△ACE 得∠AEB=∠AEC 及BE=EC ，再证明△BDE ≌△DCE ．但这种证法显然没有利用线段垂直平分线性质来得简捷．例4 如图4，在△ABC 中，AB=2AC ，∠BAD=∠CAD ，分析：要证明CD ⊥CA ，只要使∠ACD=90º．由于AD=DB 可在AB 边上取中点E ，连结DE ，由AB=2AC 及∠BAD=∠得△ADE ≌△ADC ，从而得∠ACD=∠AED ，由AD=DB 知D 在AB 的垂直平分线上，可知∠AED=90º，问题解决．证明：在AB 边上取中点E ，连结DE ，因为AD=DB ，E 为中点，所以ED ⊥AB ．因为AB=2AC ，所以AE=21AB= AC ．在△ADE 和△ADC 中，AE= AC ，∠DAE=∠DAC ，AD 共用，所以△ADE ≌△ADC ，所以∠ACD=∠AED=90º，所以CD ⊥CA ．点评：由于受习惯思维的影响，同学们在解题过程中，在可以用线段垂直平分线性质说明的问题，仍然用三角形全等的方法来解决，这就给解题增加的麻烦，我们应有意识地应用这个性质探求新的解题途径，切勿机械套用全等三角形知识．线段垂直平分线定理知识总结一、线段垂直平分线的性质定理说明：1、这里的距离指的是点与点之间的距离，也就是两点之间线段的长度2、在使用该定理时必须保证两个前提条件：一是垂直于线段，二是平分这条线段。
线段的垂直平分线
线段的垂直平分线线段的垂直平分线是指一条垂直于给定线段，并且将该线段平分为两段长度相等的线。
在几何学中，垂直平分线是一种常见的概念，具有重要的应用价值。
本文将探讨线段的垂直平分线的性质、构造方法以及其在实际生活中的应用。
一、线段的垂直平分线的性质线段的垂直平分线有一些重要的性质。
首先，垂直平分线与线段相交于线段的中点。
这是由于垂直平分线平分了线段，所以垂直平分线必定与线段的中点相交。
其次，线段的两侧到垂直平分线的距离相等。
这是因为垂直平分线将线段平分为两等分，所以线段的两侧到垂直平分线的距离必定相等。
这些性质使得垂直平分线在几何学中具有重要的地位和应用。
二、线段的垂直平分线的构造方法线段的垂直平分线可以通过多种方法进行构造。
以下介绍两种常见的构造方法。
1. 使用尺规作图法通过使用尺规作图法，可以准确地构造出线段的垂直平分线。
具体步骤如下：（1）以线段的两个端点为圆心，作一对同心圆；（2）以同一半径，分别从线段的两个端点处画弧，将两个圆交于两点；（3）以这两个交点为圆心，作两个同心圆；（4）连接两个圆的交点和线段的两个端点，即可得到线段的垂直平分线。
2. 使用数学计算方法通过使用数学计算方法，也可以得到线段的垂直平分线。
具体步骤如下：（1）使用坐标系表示线段的两个端点；（2）根据两个端点的坐标，计算出线段的中点；（3）根据两个端点的坐标，计算出线段的斜率；（4）根据斜率的倒数，计算出线段的垂直平分线的斜率；（5）使用中点和垂直平分线的斜率，可以确定垂直平分线的方程。
三、线段的垂直平分线的应用线段的垂直平分线在实际生活中有广泛的应用。
例如，在建筑设计中，通过垂直平分线可以确定墙壁的位置，使得建筑物更加均衡美观。
在地图制作中，通过垂直平分线可以准确绘制出各个地理位置之间的距离和方位关系。
此外，垂直平分线还用于解决一些实际生活中的问题，如切割食物、划分地块等。
总结：线段的垂直平分线是几何学中的重要概念，具有重要的性质和应用。
线段的垂直平分线性质
谢谢观看
性质
因此，l是AB的垂直 平分线。
设线段为AB，中点 为M，垂直平分线为l。 在l上任取一点P，连 接PA、PB。
证明方法二：利用角 平分线的性质证明
性质
01
02
03
04
由于M为AB中点，所以 AM=BM。
又因为l与AB垂直，所以 ∠PAM=∠PBM=90°。
根据角平分线的性质， ∠PMA=∠PMB（角平分 线的性质）。
方法二
利用向量的性质。通过向量运算，证 明线段的中点和直线的交点满足垂直 平分线的性质。
判定定理的证明
• 证明过程：首先，设线段AB的中点为M，直线l过M并与AB垂直。根据中点性质，有MA=MB。再根据直线与线段垂直的性 质，有∠A=∠B=90°。最后，根据三角形的全等判定，可以证明△AOB为直角三角形，从而得出l为AB的垂直平分线。
已知三角形，作三角形的垂直平分线
总结词
通过三边中点作垂直平分线
详细描述
首先，找到三角形三边的中点，然后分别过这三个中点作垂直平分线。这些垂直平分线会交于一点， 这个点就是三角形的重心。
已知圆和直径，作垂直平分线的作法
总结词
通过直径两端点作垂直平分线
VS
详细描述
首先，确定圆的直径的两个端点，然后分 别过这两个端点作垂直于该直径的直线， 即为该直径的垂直平分线。这个过程可以 通过几何作图或使用圆规来完成。
最值问题
利用垂直平分线的性质，可以解决一 些求最值的数学问题。例如，在给定 区域内求点到线段两端点距离之和的 最小值等。
04
垂直平分线的作法
已知线段和点，作线段的垂直平分线
总结词
通过中点作垂直平分线
详细描述
15.2线段的垂直平分线
∴BE+EC=AC.
∵AC=17，BC=16.
D
E
∴ △BCD的周长=BE+EC+BC=AC+BC=17+16=33.
练习3、如右图，△ABC中，AB=AC=16cm，AB的垂 直平分线ED交AC于D点. (1)当AE=13cm时，BE= cm； (2)当△BEC的周长为26cm时，则BC= cm； (3)当BC=15cm，则△BEC的周长是 cm.
C
A
O
B
线段垂直平分线的判定定理
定理 到线段两端距离相等的点在线段 的垂直平分线上.
P
几何语言 如图，
∵ PA=PB（已知）
∴点P在线段AB的垂直平分线上 （到线段两端距离相等的点在 A 线 段的垂直平分线上.）
线段垂直平分线的判定定理
B
练习1、
已知:如图,AC=AD，BC=BD， 求证：AB垂直平分CD。
E
交流与小结 本节课你学到了什么呢？
• • • • • 线段垂直平分线的折法 线段垂直平分线的画法 线段垂直平分线的性质 线段垂直平分线的判定 线段垂直平分线的应用
尺规作图 三角板取中点 画垂线
五、线段垂直平分线的判定
线段垂直平分线的性质定理 •线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等. • 思考：你能写出上面定理的逆命题吗？ • 它是真命题吗？如何证明呢？ 命题 到线段两端距离相等的点在 这条线段的垂直平分线上. •
<一>操作：画线段垂直平分线 方法一
尺规画法
1
①分别以点A、B为圆心，大于 ½ AB长为半径画弧交于点E、F 则直线EF就是线段AB的垂直平分 线(如图) 方法二 利用三角板过中点画垂线
垂直平分线定理及其应用
垂直平分线定理及其应用垂直平分线定理是几何学中的重要概念，它可以帮助我们解决一些与垂直平分线有关的问题。
本文将为您详细介绍垂直平分线定理以及其应用，并通过一些例子帮助您更好地理解。
一、垂直平分线定理的定义垂直平分线定理是指：若一条线段的中垂线与该线段垂直相交，那么这条中垂线被认为是该线段的垂直平分线。
在几何学中，中垂线是指由线段的中点引出的垂直于该线段的线段。
从垂直平分线定理的定义中，我们可以得出以下结论：1. 垂直平分线将线段分为两个相等的部分。
即，线段的两侧与垂直平分线的交点到线段两端的距离相等。
2. 两个垂直平分线相交于所对应线段的中点。
3. 任意一个点到线段两端的距离相等于该点到垂直平分线的距离。
二、垂直平分线定理的应用1. 查找点到线段的最短距离当我们需要确定一个点到一条线段的最短距离时，可以通过画出该线段的垂直平分线，然后测量该点到垂直平分线的距离，即可得到所求的最短距离。
2. 构造等腰三角形在给定一个线段的情况下，我们可以通过垂直平分线定理来构造一个等腰三角形。
具体步骤如下：（1）取线段的中点，作出垂直于该线段的中垂线；（2）以线段的其中一端点为圆心，以线段的一半长度为半径作圆弧，与中垂线相交于另一端点；（3）连接两个端点和线段中点，即构成了一个等腰三角形。
3. 证明垂直关系垂直平分线定理在证明垂直关系的时候也经常被使用。
例如，当我们需要证明两个线段的垂直关系时，可以通过画出两个线段的垂直平分线，并证明这两条垂直平分线相交于同一点，从而得出结论。
三、案例分析为了更好地理解垂直平分线定理及其应用，我们来看两个具体案例：案例一：找到点到线段的最短距离已知线段AB的长度为8厘米，点C位于该线段上，欲求点C到线段的最短距离。
解决方案如下：（1）以线段AB的中点O为圆心，长度为4厘米的半径作圆；（2）连接点C和圆心O，并延长到圆上的两个交点D和E；（3）连接点D和点E，画出直线DE；（4）点C到直线DE的距离即为点C到线段AB的最短距离。
线段的垂直平分线及其应用
线段的垂直平分线性质及其应用一、基础知识归纳1 线段的垂直平分线的性质定理线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．说明：它是证明两条线段相等的重要的方法之一，在证明线段相等时，不要再证明两个三角形全等了，方便了证明的过程.2 线段的垂直平分线的性质定理的逆定理逆定理：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.说明：（1）关于线段垂直平分线性质定理的逆定理实际就是线段垂直平分线的判定定理；区分线段垂直平分线性质定理和判定定理的区别的关键在于区分它们的题设和结论；（2）要想证明一条直线是一条线段的垂直平分线，只要证明这条直线上任意一点到这条线段的两个端点距离相等即可；（3）关于线段垂直平分线的判定定理的证明有多种思路，如①过点P作已知线段AB的垂线PC，再证明PC平分AB；②取AB的中点C，证明PC⊥AB；③作∠APC的平分线PC，证明PC⊥AB，且AC=AB.3 三角形的三边的垂直平分线定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等．说明：（1）上面的定理是由实践操作（折纸）发现猜想，然后又经过逻辑推理而获得的，它是由实践到理论，从感性到理性的认识过程；（2）该定理综合了线段垂直平分线性质定理和判定定理，是两个定理的升华；（3）锐角三角形的三条边的垂直平分线相交三角形的内部的一点，直角三角形的三条边的垂直平分线相交三角形斜边的中点，钝角三角形的三条边的垂直平分线相交三角形的外部的一点，但无论这个点在什么位置，它到这个三角形的三个顶点的距离是相等的．二、典型例题剖析典例1：如图1，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=120°，AB 的垂直平分线MN 分别交BC 、AB 于点M 、N.求证：CM=2BM.【研析】：由于MN 为线段AB 的垂直平分线，所以如果连接MA ，就可以得到MA=MB ，然后通过△M AC 把CM 和MA 联系起来。
5.3.4 线段垂直平分线的四种应用
第五章生活中的轴对称5.3 简单的轴对称图形第4课时线段垂直平分线的四种应用12341．如图，MP ，NQ 分别垂直平分AB ，AC ，且BC ＝13 cm ，求△APQ 的周长．1应 用应用线段垂直平分线的性质求线段的长解：因为MP，NQ分别垂直平分AB，A 所以AP＝BP，AQ＝QC.所以△APQ的周长＝AP＋AQ＋PQ＝BP＋QC＋PQ＝BC＝13 cm.返回2．如图，在直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，AB 边的垂直平分线DE 交BC 于点D ，交AB 于点E ，连接AD ，AD 将∠CAB 分成两个角，且∠1∶∠2＝2∶5，求∠ADC 的度数．2应 用应用线段垂直平分线的性质求角的度数解：因为∠1∶∠2＝2∶5，所以设∠1＝2x，则∠2＝5x.因为DE是线段AB的垂直平分线，所以AD＝BD.所以∠B＝∠2＝5x.所以∠ADC＝180°－∠ADB＝∠2＋∠B＝10x.因为在△ADC中，∠1＋∠ADC＝90°，所以2x＋10x＝90°.解得x＝7.5°.所以∠ADC＝10x＝75°.返回3．如图，某城市规划局为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A ，B ，C 之间修建一个购物中心，试问：该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？3应 用应用线段垂直平分线的性质解决实际问题解：如图，连接AB，BC，分别作AB，BC的垂直平分线DE，GF，两直线交于点M，则点M就是所要确定的购物中心的位置．返回4．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线交AB 于点N ，交BC 的延长线于点M .(1)若∠A ＝40°，求∠NMB 的度数．4应 用应用线段垂直平分线的性质探究规律解：因为在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，所以∠ABC＝∠ACB＝70°.因为AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M，所以MN⊥AB.所以∠NMB＝90°－∠ABC＝20°.(2)如果将(1)中∠A的度数改改为70°，其余条条件不变变，求．∠NMB的度数．因为在△ABC中，AB＝AC，∠A＝70°，所以∠ABC＝∠ACB＝55°.线于点M，因为AB的垂直平交AB于点N，交BC的延长线平分线交所以MN⊥AB.所以∠NMB＝90°－∠ABC＝35°.(3)由(1)(2)你发现了了什么规规律？并并说明理理由．返回。
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线段的垂直平分线性质及其应用
一、基础知识归纳
1 线段的垂直平分线的性质定理
线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． 说明：它是证明两条线段相等的重要的方法之一，在证明线段相等时，不要再证明两个三角形全等了，方便了证明的过程.
2 线段的垂直平分线的性质定理的逆定理
逆定理：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
说明：（1）关于线段垂直平分线性质定理的逆定理实际就是线段垂直平分线的判定定理；区分线段垂直平分线性质定理和判定定理的区别的关键在于区分它们的题设和结论；（2）要想证明一条直线是一条线段的垂直平分线，只要证明这条直线上任意一点到这条线段的两个端点距离相等即可；
（3）关于线段垂直平分线的判定定理的证明有多种思路，如①过点P 作已知线段AB 的垂线PC ，再证明PC 平分AB ；②取AB 的中点C ，证明PC⊥AB；③作∠APC 的平分线PC ，证明PC⊥AB，且AC=AB.
3 三角形的三边的垂直平分线
定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等． 说明：（1）上面的定理是由实践操作（折纸）发现猜想，然后又经过逻辑推理而获得的，它是由实践到理论，从感性到理性的认识过程；
（2）该定理综合了线段垂直平分线性质定理和判定定理，是两个定理的升华；
（3）锐角三角形的三条边的垂直平分线相交三角形的内部的一点，直角三角形的三条边的垂直平分线相交三角形斜边的中点，钝角三角形的三条边的垂直平分线相交三角形的外部的一点，但无论这个点在什么位置，它到这个三角形的三个顶点的距离是相等的．
二、典型例题剖析
典例1：如图1，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=120°，
AB 的垂直平分线MN 分别交BC 、AB 于点M 、N.
求证：CM=2BM.
【研析】：由于MN 为线段AB 的垂直平分线，所以如果连接MA ，就可以得到MA=MB ，然后通过△M AC 把CM 和MA 联系起来。
证明：连接AM ，∵AB =AC ，∠BAC =120°，∴∠B =∠C =30°，∵MN 垂直平分AB ， ∴MB =MA ，∴∠B =∠MAB =30°，∴∠MAC =90°，∴AM =2
1CM ， ∴CM =2BM
典例2：城A 和城B 相距24千米，如今政府为便利两城居民生活，
决定修建一个仓库，使得仓库到两城距离相等，请问这样的
仓库位应该修建在什么位置？仓库的位置惟一吗？
若要求仓库到两城距离均为15千米，则仓库的位置惟一吗？ 【研析】：这是一个把数学知识运用到生活中的实际问题，也就是找一个点到线段AB 的两个端点的距离相等，因此仓库的位置在线段AB 的垂直平分线上，这样的点有无数个，所以仓库的位置不惟一；若仓库到两城距离均为15千米，则AM=BM=15，AC=BC=12，所以
图1 图2
MC=9，所以仓库可以修建在点M 的位置，同理也可以修建在点N 的位置，故仓库到两城距离均为15千米，则仓库的位置也惟一。
典例3： 已知：三个村庄分别是A 、B 、C ，其位置如图所示，现在三个村庄联合打一机井向三个村庄供水，从各自的利益考虑，都为了使机井到自己的村庄的距离最近，请你帮助他们设计一个方案.
【研析】：这是一个实际问题，它的本质就是寻求一个点
到A 、B 、C 三个点的距离都最小，实际就是找一个点P 到
A 、
B 、
C 三个点的距离相等,因此，可以作三边的垂直平分线，
相交于点P.
典例4。
(1)在△ABC 中，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线交AB 于N ，
交BC 的延长线于M ，∠A＝40°，求∠NMB 的大小；
(2)如果将(1)中的∠A 的度数改为70°，其余条件不变，再求∠NMB 的大小．
(3)你发现了什么样的规律?试证明之；
(4)将(1)中的∠A 改为钝角，对这个问题的规律性认识是否需要修改．
【研析】由(1)、(2)不难认识到之BMN 的大小是∠A 的一半，但也容易认为点M 一定在BC 的延长线上，通过(4)也就是让△ABC 保持AB ＝AC 的前提下发生变化，认识就会更全面、更准确了．
(1)∵AB＝AC ，∴∠B＝∠ACB(等边对等角)．
∴∠B＝21(180°-∠A)＝2
1 (180°-40°)＝70°． ∵∠BNM＝90°， ∴∠M＝90°-∠B=90°-70°＝20°[如图(1)]．
(2)如图(2)，同(1)求得∠BMN＝35°．
(3)如图(3)，∠NMB 的大小为∠A 的一半．
证明：设∠A＝α． ∵AB＝AC,∴∠B=∠C(等边对等角)． ∴∠B=
21 (180°-α)． ∵∠BNM＝90°，∴∠BMN=90°-∠B=90°-21 (180°-α)= 2
1α， 即∠BMN 等于顶角的一半．
(4)完整的叙述上述规律为：等腰三角形一腰上的垂直平分线与底边或底边的延长线相交，所成的锐角等于顶角的一半．
图3 图4。