精选题库高一数学 课堂训练7-5北师大版

第7章 第5节时间：45分钟 满分：100分一、选择题(每小题7分，共42分)1．在正方体的八个顶点中，有四个恰好是正四面体的顶点，则此正方体的表面积与正四面体的表面积的比值为( )A. 2B. 3C.62D.33答案：B解析：如图所示的正方体AC 1中，连接面对角线A 1C 1、A 1B 、BC 1、A 1D 、BD 、DC 1，由于四面体C 1－A 1BD 中的各条棱长都相等，可知该四面体为正四面体．设正方体的边长为a ，则正四面体的棱长为2a ，且S △A 1BD ＝34(2a )2＝32a 2.∴S 正方体表S 四面体表＝6a 24×S △A 1BD ＝6a 223a 2＝ 3. 2．如图，E 、F 分别为正方形ABCD 的边BC 、CD 的中点，沿图中虚线将边长为2的正方形折起来，围成一个三棱锥，则此三棱锥的体积是( )A. 1B. 13 C. 23 D. 32答案：B解析：折叠起来后，B 、C 、D 三点重合为S 点，则围成的三棱锥为S —AEF .这时，SA ⊥SE ，SA ⊥SF ，SE ⊥SF ，且SA ＝2，SE ＝SF ＝1，所以此三棱锥的体积为V ＝13×12×1×1×2＝13.3. [2011·广东]如图1～3，某几何体的正视图(主视图)是平行四边形，侧视图(左视图)和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为( )A. 6 3B. 9 3C. 12 3D. 18 3答案：B解析：由几何体的三视图知直观图如右图所示．原几何体为底面ABCD 为矩形的四棱柱，且AB ＝3，侧面A 1ABB 1⊥底面ABCD ，A 1A ＝2.过A 1作A 1G ⊥AB 于G ，由三视图知AG ＝1，A 1D 1＝3，A 1G ＝A 1A 2－AG 2＝ 3.底面ABCD 的面积S ＝3×3＝9， VABCD －A 1B 1C 1D 1＝S ·h ＝9×3＝9 3.4. [2012·石家庄一模]两球O 1和O 2在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的内部，且互相外切，若球O 1与过点A 的正方体的三个面相切，球O 2与过点C 1的正方体的三个面相切，则球O 1和O 2的表面积之和的最小值为( )A. (6－33)πB. (8－43)πC. (6＋33)πD. (8＋43)π答案：A解析：设球O 1、球O 2的半径分别为r 1、r 2，则3r 1＋r 1＋3r 2＋r 2＝3，r 1＋r 2＝3－32，从而4π(r 21＋r 22)≥4π·(r 1＋r 2)22＝(6－33)π.故选A.5．正六棱锥P －ABCDEF 中，G 为PB 的中点，则三棱锥D －GAC 与三棱锥P －GAC 体积之比为( )A ．1∶1B ．1∶2C ．2∶1D ．3∶2答案：C解析：由题意可知V B －GAC ＝V P －GAC ，∵三棱锥V B －GAC ＝V G －BAC ，V D －GAC ＝V G －ADC ，又∵三棱锥G －BAC 与三棱锥G －ADC 等高，且S △BAC ∶S △ADC ＝1∶2， 综上可知V D －GAC ∶V P －GAC ＝2∶1，故选C.6. [2011·全国]已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N .若该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为( )A. 7πB. 9πC. 11πD. 13π答案：D解析：由圆M 的面积知圆M 的半径为2，|OM |＝42－22＝2 3.|ON |＝|OM |·sin30°＝ 3.从而圆N 的半径r ＝42－3＝13，所以圆N 的面积S ＝πr 2＝13π.故选D.二、填空题(每小题7分，共21分)7. [2011·全国新课标]已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的316，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为________．答案：13解析：设球半径为R ，圆锥底面半径为r ， 球心O 到圆锥底面的距离d ， 则R 2＝r 2＋d 2. ∴又πr 2＝3164πR 2，∴r 2＝34R 2，∴d 2＝R 2－r 2＝14R 2，∴d ＝12R .∴较小圆锥的高h 1＝R －d ＝12R .较大圆锥高h 2＝R ＋12R ＝32R ，h 1h 2＝13.8.[2010·江西]如图，在三棱锥O －ABC 中，三条棱OA ，OB ，OC 两两垂直，且OA >OB >OC ，分别经过三条棱OA ，OB ，OC 作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为S 1，S 2，S 3，则S 1，S 2，S 3的大小关系为________．答案：S 3<S 2<S 1解析：取BC 中点D ，AB 中点E ，AC 中点F ，易知面AOD ，面BOF ，面COE 平分三棱锥的体积． S 1＝S △AOD ，S 2＝S △BOF ，S 3＝S △COE .设OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ，则S 1＝12a ·OD ＝12a ·12BC ＝14a ·b 2＋c 2＝14a 2b 2＋a 2c 2.同理S 2＝14a 2b 2＋b 2c 2，S 3＝14a 2c 2＋b 2c 2.∵a >b >c ，∴S 1>S 2>S 3.9. [2011·课标全国]已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且AB ＝6，BC ＝23，则棱锥O －ABCD 的体积为__________．答案：8 3解析：如图所示，OO ′垂直于矩形ABCD 所在的平面，垂足为O ′，连接O ′B ，OB ，则在Rt △OO ′B 中，由OB ＝4，O ′B ＝23，可得OO ′＝2，故V O －ABCD ＝13S 矩形ABCD ·OO ′＝13×6×23×2＝8 3.三、解答题(10、11题12分、12题13分)10. [2010·福建]如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、H 分别是棱A 1B 1，D 1C 1上的点(点E 与B 1不重合)，且EH ∥A 1D 1，过EH 的平面与棱BB 1，CC 1相交，交点分别为F ，G .(1)证明：AD ∥平面EFGH ；(2)设AB ＝2AA 1＝2a .在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内随机选取一点，记该点取自于几何体A 1ABFE －D 1DCGH 内的概率为p .当点E ，F 分别在棱A 1B 1、B 1B 上运动且满足EF ＝a 时，求p 的最小值．解：(1)证明：在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ∥A 1D 1. 又∵EH ∥A 1D 1，∴AD ∥EH .∵AD ⃘平面EFGH ，EH 平面EFGH . ∴AD ∥平面EFGH . (2)解：法一：设BC ＝b ，则长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积V ＝AB ·AD ·AA 1＝2a 2b ， 几何体EB 1F －HC 1G 的体积V 1＝(12EB 1·B 1F )·B 1C 1＝b2EB 1·B 1F . ∵EB 21＋B 1F 2＝a 2，∴EB 1·B 1F ≤EB 21＋B 1F22＝a 22，当且仅当EB 1＝B 1F ＝22a 时等号成立． 从而V 1≤a 2b4.故p ＝1－V 1V ≥1－a 2b 42a 2b ＝78，当且仅当EB 1＝B 1F ＝22a 时等号成立． ∴p 的最小值等于78.法二：设BC ＝b ，则长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积V ＝AB ·AD ·AA 1＝2a 2b ， 几何体EB 1F －HC 1G 的体积 V 1＝(12EB 1·B 1F )·B 1C 1＝b 2EB 1·B 1F .设∠B 1EF ＝θ(0°≤θ<90°)， 则EB 1＝a cos θ，B 1F ＝a sin θ.故EB 1·B 1F ＝a 2sin θcos θ＝a 22sin2θ≤a22，当且仅当sin2θ＝1即θ＝45°时等号成立． 从而V 1≤a 2b4.∴p ＝1－V 1V ≥1－a 2b 42a 2b ＝78，当且仅当sin2θ＝1即θ＝45°时等号成立．∴p 的最小值等于78.11. 如图所示，平行四边形ABCD 中，∠DAB ＝60°，AB ＝2，AD ＝4.将△CBD 沿BD 折起到△EBD 的位置，使平面EBD ⊥平面ABD.(1)求证：AB ⊥DE ；(2)求三棱锥E －ABD 的侧面积． 解：(1)在△ABD 中，∵AB ＝2，AD ＝4，∠DAB ＝60°，∴BD ＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos ∠DAB ＝23， ∴AB 2＋BD 2＝AD 2，∴AB ⊥BD . 又∵平面EBD ⊥平面ABD ，平面EBD ∩平面ABD ＝BD ，AB 平面ABD ， ∴AB ⊥平面EBD .∵DE 平面EBD ，∴AB ⊥DE .(2)由(1)知AB ⊥BD .∵CD ∥AB ，∴CD ⊥BD ，从而DE ⊥BD . 在Rt △DBE 中，∵DB ＝23，DE ＝DC ＝AB ＝2， ∴S △DBE ＝12DB ·DE ＝2 3.又∵AB ⊥平面EBD ，BE 平面EBD ，∴AB ⊥BE . ∵BE ＝BC ＝AD ＝4，∴S △ABE ＝12AB ·BE ＝4.∵DE ⊥BD ，平面EBD ⊥平面ABD ，∴ED ⊥平面ABD ， 而AD 平面ABD ，∴ED ⊥AD ，∴S △ADE ＝12AD ·DE ＝4.综上，三棱锥E －ABD 的侧面积S ＝8＋2 3.12．两个相同的正四棱锥(底面是正方形，顶点在底面的射影是正方形的中心)底面重合组成一个八面体，可放于棱长为1的正方体中，重合的底面与正方体的某一个面平行，各顶点均在正方体的表面上，把满足上述条件的八面体称为正方体的“正子体”．(1)若正子体的六个顶点分别是正方体各面的中心，求异面直线DE 与CF 所成的角； (2)问此正子体的体积V 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，求出体积大小的取值范围．解：(1)依题意，“正子体”任一棱都是正方体相邻两个面中心的连线，因为，“正子体”的所有棱的长均相等，且E 、C 、F 、A 在同一个平面上，即四边形ECF A 为菱形．∴EA ∥CF ，故相交直线DE 与EA 所成的角就是异面直线DE 与CF 所成的角． 由△ADE 为正三角形，得DE 与EA 所成的角为60°. 因此 ，异面直线DE 与CF 所成的角为60°. (2)正子体的体积不是定值．设正方形ABCD 与正方体的截面四边形为A ′B ′C ′D ′，设AA ′＝x (0≤x ≤1)，则AB ′＝1－x ，|AD |2＝x 2＋(1－x )2＝2(x －12)2＋12，故S 正方形ABCD ＝|AD |2∈[12，1]，V ＝13·S 正方形ABCD ·h ·2＝13·S 正方形ABCD ·12·2＝13S 正方形ABCD ∈[16，13]．。