湘教版数学七年级下册第三章因式分解3.3公式法(1)
七年级数学下册第3章因式分解3.3公式法教案(新版)湘教版
3.3 公式法第1课时 用平方差公式分解因式教学目标经历用平方差公式因式分解的探索过程；会用平方差公式对多项式进行因式分解；经历探索运用平方差公式分解因式的过程，体会逆向思维的作用，渗透化归思想. 体会从正、反两个方向认识和研究事物的方法。
重点难点重点 ： 能灵活运用平方差公式进行因式分解。
难点：对平方差公式特点的理解和把握。
教学过程一、复习回顾1. 什么特点的多项式可以用提公因式法进行因式分解？2. 如果一个多项式的各项没有公因式，是否就不能因式分解了呢？通过讨论，感受到还需要寻找其它方法3. 观察乘法公式：22()()a b a b a b +-=-大家判断一下，把这个式子反过来，从右边到左边地使用，是否是因式分解？学生观察、讨论：反过来就是22()()a b a b a b -=+-根据因式分解的定义，这是因式分解。
教师总结：把乘法公式从右到左地使用，就可以把某些形式的多项式进行因式分解，这种因式分解的方法叫做公式法。
什么形式的多项式可以用平方差公式进行因式分解？怎样分解呢？二、公式探究1.请大家观察公式左边的式子22a b -，找出它的特点。
学生讨论交流，并用数学语言叙述：是一个二项式，每一项都可以化成整式的平方，整体看是两个整式的平方差。
体会式子中的字母,a b 可以是单项式，也可以是多项式。
2.师生共同归纳：如果一个二项式，它能够化成两个整式的平方差，就可以用平方差公式因式分解，分解成两个整式的和与这两个整式的差的积。
3. 把下列多项式因式分解：（1）29a -； （2）21y -； （3）2116m -； （3）24a - 学生口答，教师给予肯定或点拨。
三、典例剖析例1、 把下列多项式因式分解.（1）22254x y -；（2）44x y -教师引导学生将每个多项式化成两个单项式的平方差，利用平方差公式因式分解，板书分解过程.注意，因式分解要进行到不能分解为止。
专项训练：填空：（1）229()y =；（2）2236()25x =；（3）229()4t =；（4）2424()x y = 例2、把22()()x y x y +--因式分解.教师引导学生观察多项式的特点，是否是两个整式的平方差，体会两个多项式的平方差也可以用公式来分解。
湘教版7年级数学下册(课件) 3.3 公式法(1)
1.选择题：
1)下列各式能用平方差公式分解因式的是（ D ）
A. 4X²+y² B. 4 x- (-y)² C. -4 X²-y³ D. - X²+ y²
2) -4a²+1分解因式的结果应是 （ D ）
A. -(4a+1)(4a-1)
B. -( 2a –1)(2a –1)
C. -(2a +1)(2a+1)
把 x y2 x y2 因式分解．
解 x y2 x y2 x y x y x y x y
=2x·2y =4xy
例3 把 x4 y4 因式分解．
分析： 可以用平方差公式进行因式分解吗？
D. -(2a+1) (2a-1)
2. 把下列各式分解因式：
1）18-2b² 2) x4 –1
2.把下列多项式因式分解：
1 9y2 4x2
3y 2x3y 2x
2 1 25x2
1 5x15x
3 9 x2 16 y2
25
3 5
x
4
y
可以！因为
x4 y4
x2
2
y2
2
解
x4 y4
x2
2
y2
2
x2 y2 x2 y2
x2 y2 x yx y
注意：在例3中，在第一次用平方差公式因式分解后， 得到的一个因式 还可以再用平方差公式因式分解，在 因式分解中，必须进行到每一个因式都不能再分解为 止．
3 5
x
4
y
七年级数学下册第3章因式分解3.3公式法第1课时习题ppt课件(新版)湘教版
的形式，但y与-x2都不能变为平方的形式，因此A，B，D都不
符合平方差公式的特点.
2.多项式1-x4进行因式分解后的结果是( ) (A)(1-x2)(1+x2) (B)(1-x)2(1+x2) (C)(1-x)(1+x)(1+x2) (D)(1-x)2(1+x)2 【解析】选C.1-x4=12-(x2)2=(1+x2)(1-x2) =(1+x2)(1+x)(1-x).
2.下列多项式：(1)x2+y2;(2)-2a2-4b2;
(3)(-m)2-(-n)2;(4)-144x2+169y2;
(5)(3a)2-4(2b)2中，能用平方差公式因式分解的有( )
(A)1个
(B)2个
(C)3个
(D)4个
【解析】选C.(3)，(4)，(5)可以用平方差公式因式分解，能用
平方差公式分解的多项式应是两项的平方差.
3.(2012·义乌中考)因式分解：x2-9=______. 【解析】x2-9=(x+3)(x-3). 答案：(x+3)(x-3)
4.(2012·黔西南州中考)因式分解：a4-16a2=_______. 【解析】a4-16a2=a2(a2-16)=a2(a+4)(a-4). 答案：a2(a+4)(a-4)
ห้องสมุดไป่ตู้
4.在边长为18.2 cm的正方形纸片的四角各剪 去一边长为0.9 cm的正方形，则余下的纸片 的面积为_______. 【解析】18.22-4×0.92=(18.2+2×0.9)(18.2-2×0.9) =20×16.4=328(cm2). 答案：328 cm2
5.把下列各式因式分解: (1)2x3-8x; (2)(x-y+1)2-(x+y-3)2. 【解析】(1)原式=2x(x2-4)=2x(x+2)(x-2). (2)(x-y+1)2-(x+y-3)2 =［(x-y+1)+(x+y-3)］［(x-y+1)-(x+y-3)］ =(2x-2)(-2y+4)=2(x-1)·［-2(y-2)］ =-4(x-1)(y-2).
新湘教版七年级数学下册《3章 因式分解 3.3 公式法 3.3公式法(1)》课件_1
公式法（一） 平方差公式
1.会用平方差公式对多项式进行因式分解。 2.会灵活运用公式法或提公因式法进行因式分 解，能正确判断因式分解的彻底性。
自学互研
知识模块一 用平方差公式因式分解
阅读教材P63“动脑________
适用平方差公式因式分解的多项式特点：
（5）4x²-(y-z)² （6）25(x+y)²-(y-x)²
自学互研
知识模块二 两次因式分解
阅读教材P64例3、例4，完成下列内容
1.把多项式2x²-8因式分解，结果正确的是（
）
A. 2(x²-8)
B. 2(x²-4)
C. 2(x-2) ²
D.2(x+2)(x-2)
2.因式分解a⁴-1的结果为（
）
A.(a²-1)(a²+1)
B.(a+1)²(a-1)²
C.(a-1)(a+1)(a+1)²
D. (a-1)(a+1)³
3.把下列因式分解 （1）x⁴-16
(2)a³-ab²
知识模块三 平方差公式分解因式的应用
1.已知a+b=4,且a²-b²=24,则a=____,b=____。
2.利用因式分解进行计算
义务教科书湘教版七年级下册第三章第二节
课题 公式法
第一课时 平方差公式
1.计算
温故知新
(1). (a+b)(a-b)=______
(2). (9a²+3b)(9a²-3b)=________
2.分解因式
(1). a(x+3)-b(x+3)=_________
(2). x(y-3)-(3-y)=__________
湘教版 七年级数学(下册)第三章 3.3 公式法(1)(2019年春)
1.选择题：
1)下列各式能用平方差公式分解因式的是（ D ）
A. 4X²+y² B. 4 x- (-y)² C. -4 X²-y³ D. - X²+ y²
2) -4a²+1分解因式的结果应是 （ D ）
A. -(4a+1)(4a-1)
B. -( 2a –1)(2a –1)
C. -(2a +1)(2a+1)
自主探究
例： 把 x y2 x y2 因式分解．
解 x y2 x y2
=2x·2y =4xy
例 把 x4 y4 因式分解．
分析： 可以用平方差公式进行因式分解吗？
解
x4 y4
x2
2y22Fra bibliotek可以！因为
注意：在例3中，在第一次用平方差公式因式分解后， 得到的一个因式 还可以再用平方差公式因式分解， 在因式分解中，必须进行到每一个因式都不能再分 解为止．
例：把 x3 y 2 x因5 式分解．
分析 第一步作什么？
先提出公因式x3
解:
知识梳理
1、分解因式的方法
(1)提公因式法
(2)公式法：平方差公式 2、分解因式的步骤：
(1).优先考虑提公因式法 (2).其次看是否能用公式 (3).两者都不行，综合运用两种方法 (4).务必检查是否分解到底了
随堂练习
4x² - 9y²=(2x)²-(3y)²=( 2x+3y)(2x-3y)
自主预习 例： 把 25x2 因4 式y2 分解。
分析 ： 可以用平方差公式进行因式分解吗？
因为25x2可以写成(5x)2，所以
能用平方差公式因式分解．
解：
湘教版七年级数学下册 3.3 公式法(1)
3.3公式法——用平方差公式分解因式（1）〖教学目标〗1.经历用公式法因式分解的探索过程.2.知道平方差公式的特点,能判断一个二项式是否适合平方差公式因式分解.3.能较熟练地应用平方差公式因式分解.4.会用提公因式法和平方差公式法解决较复杂多项式的因式分解.〖教学重点与难点〗教学重点：用平方差公式分解因式是本节教学的重点。
教学难点：例2和例4因式分解和化简过程较为复杂，是本节教学的难点。
〖教学过程〗一、复习导入1、上一章我们已学过平方差公式，现在请同学们一起来回忆下平方差公式。
学生回答，教师板书：平方差公式：(a+b)(a－b)=a2－b2，教师提问：那么，a2－b2＝？学生回答：a2－b2＝(a+b)(a－b)这就是说，两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。
我们运用这个公式可以把平方差形式的多项式进行分解因式。
这就是我们今天要学习的内容，运用平方差公式因式分解（教师板书）2、做一做：（学生口答完成）下列各式能用平方差公式a2－b2＝(a+b)(a－b)分解因式吗？a，b分别表示什么？（1）4x2―1; (2)n2―36; (3)9x2―16y2由此可见，运用平方差公式分解因式的关键是把要分解的多项式看成两个数的平方差。
公式中的字母可以是一个数、一个字母、也可以是一个式，所以在运用平方差公式分解因式前，首先能够找出字母所表示的数或式，尤其当项的系数是分数或小数时，给我们在判别上带来一定的困难，为此我们先来完成下面填空练习：3、填空：9y2＝()22536x2＝()249t2 =()2 4(x-y)2－9(x+y)2＝[ ]2－[]2-252+0.25x2=()2－()24、例题讲解：例1把下列各式分解因式：（1）25x2－4y2（2）(x+y)2－(x-y)2(3) x4－y4例题小结：能用平方差公式分解因式的一般步骤：①表示成哪个数的平方差的形式；②运用平方差公式分解因式。
当然在分解因式的过程中，有的时候需要对某些多项式能否运用平方差公式分解作出判断。
七年级数学下册第3章因式分解公式法(第1课时)课件(新版)湘教版
【学霸提醒】 提公因式法与平方差公式综合应用的一般步骤
“一提”“二套”“三查”. 一提:将一个多项式分解因式时,第一要视察被分解的 多项式是否有公因式,若有,就要先提公因式;
二套:再视察另一个因式特点,进而发现其能否用公式 法继续分解; 三查:因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止.
【题组训练】
2.下列各式应用平方差公式进行因式分解: ①32-y2=9-y2;②a2-9b2=(a+9b)(a-9b); ③4x4-1=(2x2+1)(2x2-1);
④m2n2- 1 = (mn 1 )(mn 1 ) ;⑤-a2-b2=(-a+b)(-a-b).
9
3
3
其中正确的有 ( B )
A.1个
B.2个
【学霸提醒】 能应用平方差公式因式分解的多项式特点 等号左边: ①是二项式; ②每一项都可以表示成平方的情势;
③两项的符号相反. 等号右边是等号左边两底数的和与两底数的差的积.
【题组训练】 1.下列多项式不能用平方差公式因式分解的是( A ) A.-m2-n2 B.-16x2+y2 C.b2-a2 D.4a2-49n2
C.(-x)2+y2
D.x2+(-y)2
(B)
2.多项式n2-4m2因式分解的结果为 ___(_n_+_2_m_)_(_n_-_2_m_)___. 3.因式分解:(a-2b)2-b2.
解:(a-2b)2-b2 =(a-2b+b)(a-2b-b) =(a-b)(a-3b).
知识点一 用平方差公式进行因式分解(P63-64例1,2,
3拓展)
【典例1】因式分解:
16- m21.
25
81y4-16x4.
湘教版初中七年级下册数学教案 第3章 因式分解 3.3 公式法 第1课时 用平方差公式因式分解
3.3 公式法第1课时用平方差公式因式分解1.会用平方差公式进行因式分解.2.经历探索利用平方差公式进行因式分解的过程，发展学生的逆向思维，渗透数学的“互逆”、“换元”、“整体”的思想，感受数学知识的完整性.3.在探究的过程中培养学生独立思考的习惯，在交流的过程中学会向别人清晰地表达自己的思维和想法，在解决问题的过程中让学生深刻感受到“数学是有用的”.【教学重点】掌握公式法中的平方差公式进行分解因式.【教学难点】灵活运用公式法或已学过的提公因式法进行分解因式，正确判断因式分解的彻底性.一、情景导入，初步认知填空：(1)(x+5)(x-5)= ；(2)(3x+y)(3+2n)(3m-2n)= .它们的结果有什么共同特征？尝试将它们的结果分别写成两个因式的乘积：x2－25= ;92－4n2= .【教学说明】对平方差公式进行复习，利于本节课的教学.二、思考探究，获取新知1.探究如何把x2-25因式分解？我们以前学过平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2,把这个公式从右到左地使用，得a2-b2=(a+b)(a-b)x2-25=x2-52=(x+5)(x-5)【归纳结论】像那样，把乘法公式从右到左地使用，就可以把某些形式的多项式进行因式分解，这种因式分解的方法叫做公式法.2.找特征：a2-b2=(a+b)(a-b)(1)公式左边：(是一个将要被分解因式的多项式)被分解的多项式含有两项，且这两项异号，并且能写成 ( )2－( )2的形式.(2)公式右边:(是分解因式的结果)分解的结果是两个底数的和乘以两个底数的差的形式.3.下列各式能用平方差公式a2－b2=(a＋b)(a－b)分解因式吗？a、b 分别表示什么？把下列各式分解因式；(1)2－9；(3)x2－4y2.采用抢答形式.【教学说明】学生进一步理解能用平方差公式分解多项式的特点.三、运用新知，深化理解1.见教材P63~64例1、例2、例3、例4.2.下列多项式能转化成( )2－( )2的形式吗？如果能，请将其转化成( )2－( )2的形式.(1)m2－81=m2－92；(2)1－16b2=12－(4b)2；(3)4m2+9，不能转化为平方差形式；(4)a2x2－25y2=(ax)2－(5y)2；(5)－x2－25y2，不能转化为平方差形式.3.下列各式中，能用平方差公式分解因式的是(B)A.a2＋b2B.－a2＋b2C.－a2－b2D.－(－a2)＋b24.因式分解(x＋1)2－9(x－1)2.解：原式=4(2x－1)(2－x)5.将下列各式分解因式.(1)a2b2-a2c2；解：a2b2-a2c2=a2(b2-c2)=a2(b+c)(b-c)(2)-x5y3+x3y5；解：-x5y3+x3y5=x3y3(-x2+y2)=x3y3(x+y)(-x+y)(3)(a+b)2-9(a-b)2；解：(a+b)2-9(a-b)2=［(a+b)+3(a-b)］［(a+b)-3(a-b)］=(a+b+3a-3b)(a+b-3a+3b)=(4a-2b)(4b-2a)=4(2a-b)(2b-a)(4)p4－1.解：p4－1=(p2+1)(p2－1)=(p2+1)(p+1)(p-1)6.若a＋b=,a－b=1,求a2－b2的值.解：a2－b2=(a＋b)(a－b)=×1=7.简便计算：(1)5652－4352；解：原式=(565+435)(565-435)=1000×130=130000(2)25×2652－1352×25.解：原式=25×(2652－1352)=25×(265+135)(265－135)=25×400×130=1300000【教学说明】在讲解使用整体法进行分解因式时，需注意强调括号前的系数变化和去括号后的符号变化，这往往是大多数学生容易出现错误的地方.四、师生互动,课堂小结1.本节课我们主要学习了运用平方差公式进行因式分解，利用平方差公式时主要先判断能否使用平方差公式进行因式分解，判断的依据：①是一个二项式(或可看成一个二项式)；②每项可写成平方的形式；③两项的符号相反.2.在综合运用多种方法分解因式时，多项式中有公因式的先提取公因式，后再用平方差公式分解因式.3.分解因式，应进行到每一个多项式因式不能再分解为止.1.布置作业:教材第66页“习题3.3”中第1题.2.完成同步练习册中本课时的练习.本节课上下来我整体感觉完成了我课前设定的目标，学生能够很快地掌握利用平方差公式来进行因式分解，而且对一般形式的能使用平方差公式的多项式能够进行因式分解.学生在课堂上和老师的互动也比较好，自我感觉这节课上的比较成功.在复习了平方差公式后，通过一组由浅入深、由易到难的题组逐题递进，落实本节课的教学重点.在教学形式上采用学生口述、互评等多种方法，激活学生的思维，营造良好的课堂氛围.。
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3.3公式法（1）
学习目标：
1、会应用平方差公式进行因式分解，发展学生推理能力．
2、经历探索利用平方差公式进行因式分解的过程，发展学生的逆向思维，感受数学知识的完整性．
3、培养学生良好的互动交流的习惯，体会数学在实际问题中的应用价值． 重点：利用平方差公式分解因式．
难点：领会因式分解的解题步骤和分解因式的彻底性．
预习导学——不看不讲
学一学：阅读教材P63-64
说一说：平方差公式：（a+b ）（a －b ）= a 2－b 2
．
平方差公式中的字母a 、b ，教学中还要强调一下，可以表示数、含字母的代数式（单项式、多项式）．
学一学：请同学们计算下列各式． （1）（a+5）（a －5）； （2）（4m+3n ）（4m －3n ）．
议一议：如何把25-a 2和 229-16m n 进行因式分解
用平方差公式因式分解．
平方差公式：a 2－b 2=（a+b ）（a －b ）．
【归纳总结】
运用平方差公式因式分解，首先应注意每个公式的特征．分析多项式的次数和项数，然后再确定公式．如果多项式是二项式，通常考虑应用平方差公式；如果多项式中有公因式可提，应先提取公因式，而且还要“提”得彻底，最后应注意两点：一是每个因式要化简，二是分解因式时，每个因式都要分解彻底．
选一选：下列分解因式正确的是（ ）
A.)1(23-=-x x x x
B.)2)(3(62
-+=-+m m m m
C.16)4)(4(2-=-+a a a
D.))((22y x y x y x -+=+ 填一填：=29y （ ）2
=29
4x （ ）2 【课堂展示】把下列各式分解因式：（投影显示或板书）
（1）x 2－9y 2； （2）m 2（16x －y ）+n 2（y －16x ）． 解：（1）x 2－9y 2= =-2)3(2
y x （x+3y ）（x －3y ）
（2）m 2（16x －y ）+n 2（y －16x ）
=（16x －y ）（m 2－n 2）
=（16x －y ）（m+n ）（m －n ）． 合作探究——不议不讲
互动探究一：P63例题2
互动探究二：P64例题3
互动探究三：P64例题4
【当堂检测】：
1. 选择题
（1）把多项式分解因式等于（
） A 、 B 、
C 、m(a-2)(m-1)
D 、m(a-2)(m+1) （2）分解因式得（ ）
A 、
B 、
C 、
D 、 2.填空题
（1）简便计算： （2）因式分解
3.把下列多项式因式分解 （1）2216ay ax - （2）
4.利用分解因式证明： 能被120整除。
)2()2(2a m a m -+-))(2(2m m a +-))(2(2m m a --14-x )1)(1(22-+x x 22)1()1(-+x x )1)(1)(1(2++-x x x 3)1)(1(+-x x 。
－=
2271.229.7=
-222y y x 2222)1(2ax x a -+127525-。