中考几何中的类比探究解题方法分析
几何类比探究题型-2024年中考数学答题技巧与模板构建(解析版)
几何类比探究题型题型解读|模型构建|通关试练几何的类比探究题型是近年中招解答题的必考题型，该题型往往以压轴题的形式出现，有一定的难度。
探究型问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的一类问题．根据其特征大致可分为：条件探究型、结论探究型、规律探究型和存在性探究型等四类。
由于探究型试题的知识覆盖面较大，综合性较强，灵活选择方法的要求较高，再加上题意新颖，构思精巧，具有相当的深度和难度，所以要求同学们在复习时，首先对于基础知识一定要复习全面，并力求扎实牢靠；其次是要加强对解答这类试题的练习，注意各知识点之间的因果联系，选择合适的解题途径完成最后的解答．模型01图形旋转模型模型一、A字形(手拉手)及其旋转模型二、K字型及其旋转手拉手模型是有两个等腰的三角形或者两个等边的三角形，他们有一个共同的顶点，且两个等腰三角形的顶角是相等的，那么就可以用角的和差求得共顶点的另外两个角相等等，然后利用等腰的边对应相等，可证明两个三角形全等(边角边)组成这样的图形模样的我们就说他是手拉手模型。
在类比探究题型中，往往会对等腰三角形或者等边三角形进行演变，变成一般三角形进行旋转，通常全等三角形变为相似三角形。
模型特征：双等腰；共顶点；顶点相等；绕着顶点作旋转解题依据：等腰共顶手拉手，旋转全等马上有；左手拉左手，右手拉右手，两根拉线抖一抖，它们相等不用愁；拉线夹角与顶角，相等互补答案有。
模型02图形平移模型探究1.四边形平移变换四边形的平移变换题型中主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平移几何性质、三角形内角和定理的应用，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形全等或相似的判定方法，画出相应的图形，注意分类讨论．2.三角形平移变换三角形平移变换主要利用三角形全等和三角形相似的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，平移性质、平行线的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法.3.其它图形平移类比探究问题综合考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法，画出相应的图形，注意分类讨论.模型03动点引起的题型探究动点型问题是指题设中的图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线、直线、抛物线、双曲线、弧线等上运动的一类非常具有开放性的题目。
中考数学复习考点知识专题讲解18---几何变式探究和类比变换综合类问题
（1）求证：DE∥AB； （2）当 x＝1 时，求点 E 到 AB 的距离；
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（3）将△DCE 绕点 E 逆时针方向旋转，使得点 D 落在 AB 边上的 D′处．在旋转的过程 中，若点 D′的位置有且只有一个，求 x 的取值范围． 5．在△ABC 中，∠B＝45°，∠C＝30°，作 AP⊥AB，交 BC 于 P 点． （1）如图 1，若 AB＝3 ，求 BC 的长； （2）点 D 是 BC 边上一点，连接 AD，将线段 AD 绕点 A 逆时针旋转 90°，得到线段 AE． ①如图 2，当点 E 落在 AC 边上时，求证：CE＝2BD；
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PC = 1，直接写出 PA 长的最大值．
【变式 1-2】（2018•亭湖区二模）如图，在等腰 Rt∆ABC 与等腰 Rt∆ADE 中，∠BAC = ∠DAE = 90° ． （1）连接 BD ， CE （如图① ) ，请直接写出线段 BD ， CE 的数量关系____； （2）在（1）的基础上，延长 BD 交 CE 于点 F ，连接 AF （如图② ) ，试探究线段 AF ， BF ，
全等．
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【达标检测】 1．如图 1，在 Rt△ABC 中，AB＝AC，D、E 是斜边 BC 上两动点，且∠DAE＝45°，将△ABE
绕点 A 逆时针旋转 90 后，得到△AFC，连接 DF． （1）试说明：△AED≌△AFD； （2）当 BE＝3，CE＝9 时，求∠BCF 的度数和 DE 的长； （3）如图 2，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，D 是斜边 BC 所在直线上一点，BD＝3，BC＝8，求 DE2 的长．
中考几何中的类比探究解题方法分析
（2）作 EH⊥CD，EQ⊥AB，先证△EFQ∽△EGH，易得 EF EQ ， EG EH
再证△AQE∽△EHC，那么 EA EQ 2 ， EC EH 1
CD m
∴=
CG 2
（3）拓展迁移
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如图 3，梯形 ABCD 中，DC//AB，点 E 是 BC 的延长线上一点，AE 和 BD 相交于点 F。
若
AB
a
BC
，
b(a
0,b 0) ，则
AF
的值是
AF
ab（用含 a，b
的代数式表示）。
CD
BE
EF
EF
E
【解析】过 E 作 EH∥AB，交 BD 延长线于点 H
∴ EA EQ 2 EG EH 1
∴ EF 2 EG
∴EF=2EG；
（3）EF=kEG．
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【上题基本思路：过直角顶点，作横平竖直的线，找全等或相似。】
中考数学类比探题思维误区： 第一问通常是特殊的图形，题中的条件比较充分，而且一般有提示，所以学生做的时，
基本上能得心应手，但做第二、三问时，往往有部分学生，没有按照第一问的思路去思考， 而且是对着题干思考第二、三问，这样就陷入了“自己布置的陷阱”结果做不出来，把一 道题当成三道题来做了。
H
由题意可知:EH∥DC∥AB
∴ BC CD BE EH
∴CD = b EH
D
C
F
又∵ AB a CD
∴AB=a CD
中考数学压轴几何综合中类比法解决问题
几何综合中类比思想问题：1.已知：E 是边长为1的正方形ABCD 对角线BD 上一动点，点E 从D 点向B 点运动（与点B 、D 不重合），过点E 的直线MN ∥DC ，交AD 于点M ，交BC 于点N ，EF ⊥AE 于点E ，交CB （或CB 的延长线）于点F ．（1）如图甲，线段EM 与FN 之间有怎样的大小关系？请证明你的结论．（2）点E 在运动过程中（如图乙），线段EM 与FN 之间的数量关系是否发生变化？若变化，请说明理由。
（3）点E 在运动的过程中（图甲、图乙），四边形AFNM 的面积是否发生变化？请说明理由．2.如图，将三角板放在正方形ABCD 上，使三角板的直角顶点E 与正方形ABCD 的顶点A 重合。
三角板的一边交CD 于点F ，另一边交CB 的延长线于点G 。
（1）求证：EF=EG（2）移动三角板，使顶点E 始终在正方形ABCD 的对角线AC 上，其它条件不 变，（1）中的结论“EF=EG ”是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。
（3）若将（2）中的“正方形ABCD ”改为“矩形ABCD ”，其使三角板的一边经过点B,其它条件不变，若AB=2，BC=3，求EGEF的值。
3.一直角三角尺的直角顶点P在正方形ABCD的对角线AC上滑动（P与A、C两点不重合），且它的一条直角边始终经过点D,另一条直角边与射线BC交于点E.（1）如图1，当点E在BC边上时，①判断△PBE的形状，并说明理由；②过点E作EF⊥BC交AC所在的直线于点F,求证：CP-AP=2EF.（2）如图2，当点E在BC的延长线上时，判断（1）中的①、②这两个结论是否任然成立？若不成立，请写出你认为正确的结论。
4.正方形ABCD中，点O是对角线DB的中点，点P是DB所在直线上的一个动点，PE⊥BC于E，PF⊥DC于F．（1）当点P与点O重合时（如图①），猜测AP与EF的数量及位置关系，并证明你的结论；（2）当点P在线段DB上（不与点D、O、B重合）时（如图②），探究（1）中的结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由；（3）当点P在DB的长延长线上时，请将图③补充完整，并判断（1）中的结论是否成立？若成立，直接写出结论；若不成立，请写出相应的结论．图③图②图①AAEFFEAA5.如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．90AEF∠= ，且EF交正方形外角DCG∠的角平分线CF于点F。
中考数学类比研究(二)(讲义及答案)
A D
D
A
A
P
P
E
E
B
CB 图1
图2
CB
C 备用图
2. 如图 1，四边形 ABCD 是正方形，点 E 是 AB 边的中点，以 AE 为边作正方形 AEFG，连接 DE，BG． （1）发现 ①线段 DE，BG 之间的数量关系是__________； ②直线 DE，BG 之间的位置关系是__________． （2）探究 如图 2，将正方形 AEFG 绕点 A 逆时针旋转，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成 立，请说明理由． （3）应用 如图 3，将正方形 AEFG 绕点 A 逆时针旋转一周，记直线 DE 与 BG 的交点为 P，若 AB=4，请直接写出点 P 到 CD 所在直线距离的最大值和最小值．
2. 作图 作图既是理解题意的体现，也是辅助思考，分析问题的一种手段． ①往往需要先画草图理解题意，然后根据分析题目得到的特征不断精准作图． ②精准作图，往往需要先辨识特征，然后依据不变特征分析运动轨迹，设计作图方案． 常见作图特征 （1）与作圆相关 ①一定点一动点，两点间距离确定，则动点在圆上； ②两定点一动点，满足以动点为顶点的角为 90°，则动点在圆上； ③直角三角形中，直角顶点固定，斜边运动但长度不变，则斜边中点在圆上． （2）与折叠相关 ①折痕运动但过定点，则折叠后的对应点在圆上； ②对应点确定，折痕为对应点连线的垂直平分线． （3）与旋转相关 ①注意旋转中心、旋转方向、旋转角度； ②旋转作图时往往只需保留研究目标即可． （4）与平移相关 根据平移方向和平移距离画出点的运动路径（平移通道）．
把△DEA 绕点 A 在平面内自由旋转，若 AC= 10 ，AD=2，请直接写出当点 B，D，E 在一条直线上时 CE 的长．
中考数学动态几何、类比探究题型结构及答题规范动作
中考数学真题演练之动态几何、类比探究专项训练训练目标1.熟悉题型结构及解题方法；2.书写框架明晰，踩点得分（完整、快速、简洁）。
题型结构及解题方法中考数学第22题常考查方程不等式或二次函数应用题、动态几何、类比探究。
本讲重点对动态几何、类比探究进行专项训练。
答题规范动作1.试卷上探索思路、在演草纸上演草。
2.合理规划答题卡的答题区域：两栏书写，先左后右。
作答前根据思路，提前规划，确保在答题区域内写完答案；同时方便修改。
3.作答要求：框架明晰，结论突出，过程简洁。
22题作答要明确关键步骤，通过关键步骤之间的顺承关系来表达思路。
如动点问题，先分段，再对每种情形做出解答；类比探究问题，问与问的关键步骤要相对应，书写框架保持一致，对于变化的部分需要模块书写进行论证。
在过程书写上关键步骤不可或缺，否则会因为漏掉得分点而丢分，但过程要简洁、结论要突出，以便于清晰地展示解题思路，方便阅卷老师快速捕捉信息、快速评分。
4.15分钟内完成。
需注意，实力才是考试发挥的前提。
若在训练过程中，发现自己的知识漏洞，需要查找资源解决，比如查课本，请教老师、同学，或借助众享在线课程（或）等网络资源。
查漏补缺相关资源（登录或搜索课程名称即可）下方所列资源集中训练每类问题的解题套路，如遇到类比探究问题时应该如何思考，帮学生准确把握题型特征，快速聚焦思维，迅速找到解题思路。
这些训练与真题演练本阶段的训练互相补充，帮学生系统解决动态几何及类比探究问题，以到中考考场时，不仅题目会做，而且能高效拿到满分。
课程名称：2013中考数学类比探究与动点（十一短训班实录）【2013年中考数学总复习】知识梳理和综合运用之几何中的类比探究【2013年中考数学总复习】知识梳理和综合运用之图形运动产生的面积问题【2013年中考数学总复习】知识梳理和综合运用之存在性问题【2013年中考数学总复习】知识梳理和综合运用之几何中的最值问题。
【秒杀数学】几何综合题秒杀技之----类比探究
（2）如图2，当OA =OB ，且14AD OA 时，求tan ∠BPC 的值；（3）如图3，当AD :OA :OB =1:n :2n 时，直接写出tan ∠BPC 的值．PC （1）如图1，当OA =OB ，且D 为OA 中点时，求的值；AP 连接AC ，BD 交于点P ．.已知：线段OA ⊥OB ，点C 为OB 中点，D 为线段OA 上一点．1精讲精练（一）③结合所求目标，依据__________，大胆猜测、尝试、验证．②类比解决下一问．如果不能，分析条件变化，寻找______________．①根据题干条件，结合_______________先解决第一问．2、不常见结构：等、出等腰）、平行结构（有比例、做平行、找相似）．斜直角结构（斜直角、做垂线、斜变正）、旋转结构（等线段共点、做全中点结构（遇中点、做倍长、有平行）1、常见结构：思路：【秒杀数学】几何综合问题秒杀技-----类比探究2.如图1，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AD ⊥BC 于点D ，点O 是AC 边上一点，连接BO ，交AD 于点F ，OE ⊥OB 交BC 于点E ．（1）求证：ABF COE △∽△；（2）如图2，当O 为AC 边中点，2AC AB =时，求OF OE 的值；（3）如图3，当O 为AC 边中点，AC n AB =时，请直接写出OF OE 的3.如图1，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AD ⊥BC 于点D ，点O 是AC 边上一点，连接BO ，交AD 于点F ，OE ⊥OB 交BC 于点E ．（1）如图1，当O 为AC 边中点，2AC AB =时，求OF OE 的值；（2）如图2，当O 为AC 边中点，AC n AB =时，请直接写出OF OE的值．（3）如图3，当4.（1）问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．填空：①∠AEB的度数为___________；②线段AD，BE之间的数量关系为___________．（2）拓展探究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．（3）解决问题如图3，在正方形ABCD中，CD．若点P满足PD=1，且∠BPD=90°，请直接写出点A到BP的距离．数学课上，王老师出示图1和下面框中条件：如图1，两块等腰直角三角板ABC 和DEF 有一条边在同一条直线l 上，∠ABC =∠DEF =90°，AB =1，DE =2．将直线EB 绕点E 逆时针旋转45°，交直线AD 于点M ．将图1中的三角板ABC 沿直线l 向右平移，设C ，E 两点间的距离为x ．图1图2（1）①当点C 与点F 重合时，如图2所示，可得AM DM 的值为___________；②在平移过程中，AM DM的值为______（用含x 的代数式表示）．（2）将图2中的三角板ABC 绕点C 逆时针旋转，原题中的其他条件保持不变．当点A 落在线段DF 上时，如图3所示，请计算AM DM 的值．（3）将图1中的三角板ABC 绕点C 逆时针旋转m 度，090m ≤，原题中的其他条件保持不变，如图4所示，请计算AM DM的值（用含x 的代数式表示）．图3图46、△ABC 中，AD 为BC 边上中线，E 为AD 上一动点，设DE =nEA ，连接CE 并延长交AB 于点F ．（1）如图1，当∠BAC =90°，∠B =30°，DE =EA 时，求FB FA的值；（2）如图2，当△ABC 为锐角三角形，DE =EA 时，求FB FA的值；（3）如图3，当△ABC 为锐角三角形，DE =nEA 时，求FB FA 的值．7、如图1，在□ABCD 中，点E 是BC 边的中点，点F 是线段AE 上一点，BF 的延长线交射线CD 于点G ．（1）尝试探究：如图1，若3AF EF =，则CD CG的值是_______．（2）类比延伸：如图2，在原题的条件下，若AF m EF =（m >0），则CD CG的值是_______（用含m 的代数式表示），试写出解答过程．（3）拓展迁移：如图3，在梯形ABCD 中，DC ∥AB ，点E 是BC 延长线上一点，AE 和BD 相交于点F ．若AB a CD =，BC b BE =（a >0，b >0），则AF EF的值是_______（用含a ，b 的代数式表示）．8.如图1，一副直角三角板满足AB =BC ，AC =DE ，∠ABC =∠DEF =90°，∠EDF =30°．【操作】将三角板DEF 的直角顶点E 放置于三角板ABC 的斜边AC 上，再将三角板DEF 绕点E 旋转，并使边DE 与边AB 交于点P ，边EF 与边BC 交于点Q ．【探究】在旋转过程中，（1）如图2，当1=EACE 时，EP 与EQ 满足怎样的数量关系？并给出证明．（2）如图3，当2=EACE 时，EP 与EQ 满足怎样的数量关系？并给出证明．（3）根据（1），（2）的结果，当m EACE =时，EP 与EQ 满足的数量关系式为_____________________．9、如图1，在等边三角形ABC 中，线段AD 为其内角角平分线，过点D 的直线B 1C 1⊥AC 于C 1，交AB 的延长线于B 1．（1）请你探究：1111AC C D AC CD AB BD AB DB ==，是否都成立？（2）请你继续探究：如图2，若△ABC 为任意三角形，线段AD 为其内角角平分线，请问AC CD AB BD =一定成立吗？并证明你的判断．（3）如图3，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =8，AB =403，E 为AB 上一点且AE =5，CE 交其内角角平分线AD 于F ．试求DF FA的值．10、将两个完全相同的三角形纸片ABC 和DEC 重合放置，其中∠C =90°，∠B =∠E =30°．（1）操作发现如图2，固定△ABC ，使△DEC 绕点C 旋转，当点D 恰好落在AB 边上时，填空：①线段DE 与AC 的位置关系是___________________；②设△BDC 的面积为S 1，△AEC 的面积为S 2，则S 1与S 2的数量关系是___________________．（2）猜想论证当△DEC 绕点C 旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中S 1与S 2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC 和△AEC 中BC ，CE 边上的高，请你证明小明的猜想．（3）拓展探究如图4，已知∠ABC =60°，点D 是其角平分线上一点，BD =CD =4，DE ∥AB 交BC 于点E ．若在射线BA 上存在点F ，使S △DCF =S △BDE ，请直接写出．．．．相应的BF 的长．图1图2【参考答案】1.（1）EP =EQ ，证明略（2）12EP EQ =（3）1EP EQ m=2.（1）都成立，证明略（2）结论仍然成立（3）58DF FA =3.（1）①DE ∥AC ，②S 1=S 2（2）证明略（3）BF 的长为3或3【参考答案】1.（1）2FBFA =（2）2FBFA =（3）2FBnFA =精讲精练（二）例：如图1，在等腰直角△ABC和等腰直角△CDE中，CD>BC，点C，B，D在同一直线上，M是AE的中点，易证MD⊥MB，MD=MB．（1）如图2，将图1中的△CDE绕点C顺时针旋转45°，使△CDE的斜边CE恰好与△ABC的边BC垂直，题干中的其他条件不变，则上述结论是否仍然成立？（2）将图2中的△ABC绕点C逆时针旋转大于0°且小于45°的角，如图3所示，请直接写出你的结论．第一步构造“平行夹中点”的辅助线，过点E作AB的平行线，交BM的延长线于点N，连接BD，DN；第二步证明；第三步证明，过程中需要证明∠BCD=∠NED，请在图中给出简要证明；第四步根据△DBN是等腰直角三角形，得到结论MD⊥MB，MD=MB．1.如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，点E在AC上，BE交CD于点G，EF⊥BE交AB于点F，AC=mBC，CE=nEA（m，n为实数）.试探究线段EF与EG的数量关系．（1）如图2，当m=1，n=1时，求EF与EG的数量关系．（2）如图3，当m=1，n为任意实数时，求EF与EG的数量关系．（3）如图1，当m，n均为任意实数时，求EF与EG的数量关系．2.如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =30°，P 为BC 边上任意一点，Q 为AC 边上一动点，分别以CP ，PQ 为边作等边三角形PCF 和等边三角形PQE ，连接EF ．（1）试探索EF 与AB 的位置关系，并证明．（2）如图2，当点P 为BC 延长线上任意一点时，（1）中的结论是否成立？请说明理由．（3）如图3，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =m °，P 为BC 延长线上一点，Q 为AC 边上一动点，分别以CP ，PQ 为腰作等腰三角形PCF 和等腰三角形PQE ，使得PC =PF ，PQ =PE ，连接EF ．要使（1）中的结论依然成立，则需要添加怎样的条件？为什么？3.已知等腰三角形ABC 中，∠ACB =90°，点E 在AC 边的延长线上，且∠DEC =45°，点M ，N 分别是DE ，AE 的中点，连接MN 交直线BE 于点F ．当点D 在CB 边的延长线上时，如图1所示，易证MF +FN =12BE ．（1）当点D 在CB 边上时，如图2所示，上述结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请写出你的猜想，并说明理由．4.（1）如图1，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，BD ⊥AC 于点D ．求证：AB 2=AD ·AC ．（2）如图2，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，D 为BC 边上的点，BE ⊥AD 于点E ，延长BE 交AC 于点F ．若1AB BD BC DC ==，求AF FC的值．（3）在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，点D 为直线BC 上的动点（点D 不与B ，C 重合），直线BE ⊥AD 于点E ，交直线AC 于点F ．若AB BD n BC DC ==，请探究并直接写出AF FC的所有可能的值（用含n 的式子表示），不必证【参考答案】1.（1）EF EG=（2）EG nEF=（3）EG mnEF=2.（1）EF⊥AB，证明略（2）成立，理由略（3）∠CPF=∠QPE=∠B，理由略3.（1）不成立，FN-MF=12BE（2）MF-FN=12 BE4.（1）证明略（2）2（3）n2+n或n2-n或n-n2【参考答案】1．（1）2APPC =（2）tan ∠BPC =12（3）tan ∠BPC=n 2．（1）证明略（2）2OFOE =（3）OFnOE =3．（1）60°，AD =BE（2）AE =2CM +BE（3）AQ =312或312-4．（1）①1，②2x（2）1（3）2x。
几何难点突破之类比探究讲义及答案
几何难点突破之类比探究（讲义）一、知识点睛识别类比探究题型特征：1.题目中一般有三问或者更多，每小问的条件和图形相似度很高，因此可以“照搬”第一问的方法；2.每一问的图形或点的位置会有所变化（通常条件从特殊走向一般），但可以在这些变化过程中按照第一问的思路和对应关系找角、找边、找全等．二、精讲精练1. 如图1所示，在△ABC 和△ADE 中，AB =AC ，AD =AE ，∠BAC =∠DAE ，且点B 、A 、D 在一条直线上，连接BE 、CD ，M 、N 分别为BE 、CD 的中点．（1）求证：①BE =CD ；②△AMN 是等腰三角形．（2）在图1的基础上，将△ADE 绕点A 按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图2所示的图形．（1）中的两个结论是否仍然成立，若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．图2ME CBNDA图1CBMN ED A2. 已知△ABC 为等边三角形，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与B ，C 重合），以AD 为边作菱形ADEF （A 、D 、E 、F 按逆时针排列），使∠DAF ＝60°，连接CF ． （1）如图1，当点D 在边BC 上时，求证：①BD ＝CF ；②AC ＝CF ＋CD ；（2）如图2，当点D 在边BC 的延长线上且其他条件不变时，结论AC ＝CF ＋CD 是否成立？若不成立，请写出AC 、CF 、CD 之间存在的数量关系，并说明理由；（3）如图3，当点D 在边CB 的延长线上且其他条件不变时，探究AC 、CF 、CD 之间存在的数量关系．图1AFECDB图2ABC DFEABCD F3. 如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点．且90AEF ∠=，且EF 交正方形外角DCG ∠的平分线CF 于点F ．（1）求证：AE =EF ；（2）如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE =EF ”仍然成立吗？如果成立，写出证明过程；如果不成立，请说明理由；（3）如图3，点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE =EF ”是否成立？如果成立，写出证明过程；如果不成立，请说明理由．图1GFE DC B A图2A B CDE FG图3GFE DCBA4.如图1，在△ABC 中，点P 为BC 边的中点，直线a 绕顶点A 旋转，若B 、P 在直线a 的异侧，BM ⊥直线a 于点M ，CN ⊥直线a 于点N ，连接PM 、PN ；（1）求证：PM =PN ；（2）若直线a 绕点A 旋转到图2的位置时，点B 、P 在直线a 的同侧，其它条件不变．此时PM =PN 还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，若直线a 绕点A 旋转到与BC 边平行的位置时，其它条件不变．请判断四边形MBCN 的形状及此时PM =PN 还成立吗？图1ABCP aMN图2ABCP aM N图3NMaP CBA5.如图1所示,已知A、B为直线l上两点，点C为直线l上方一动点，连接AC、BC，分别以AC 、BC为边向△ABC外作正方形CADF和正方形CBEG，过点D作DD1⊥l于点D1，过点E作EE1⊥l于点E1.(1)如图2，当点E恰好在直线l上时(此时E1与E重合)，试说明DD1=AB；(2)在图1中，当D、E两点都在直线l的上方时，试探求三条线段DD1、EE1、AB之间的数量关系，并说明理由；(3)如图3，当点E在直线l的下方时，请探究三条线段DD1、EE1、AB之间的数量关系.DA BGEFCl D1E1图1GEBACFD1DE1()l图2图3lFGEBACD1DE16. 如图，点P 是正方形ABCD 对角线AC 上一动点，点E 在射线BC 上，且PE ＝PB ，连接PD ，O 为AC 中点． （1）如图1，当点P 在线段AO 上时，试猜想PE 与PD 的数量关系和位置关系，不用说明理由；（2）如图2，当点P 在线段OC 上时，（1）中的猜想还成立吗？请说明理由；（3）如图3，当点P 在AC 的延长线上时，判断（1）中的猜想是否成立？若成立，请直接写出结论；若不成立，请说明理由．图1BB图2三、课后作业1．已知：如图所示，直线MA∥NB，∠MAB与∠NBA的平分线交于点C，过点C作一条直线l与两条直线MA、NB分别相交于点D、E．（1）如图1所示，当直线l与直线MA垂直时，猜想线段AD、BE、AB之间的数量关系，请直接写出结论，不用证明；（2）如图2所示，当直线l与直线MA不垂直且交点D、E都在AB的同侧时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请证明：如果不成立，请说明理由；（3）如图3所示，当直线l与直线MA不垂直且交点D、E在AB的异侧时，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，那么线段AD、BE、AB之间还存在某种数量关系吗？如果存在，请写出它们之间的数量关系．【几何难点突破之类比探究参考答案】二、精讲精练图1A lCEBDNM图2M NDBElACMNDBEClA图3(1)lCENM1.提示：（1）①证△CAD≌△BAE（SAS）；②证△ACN≌△ABM（SAS）；或证△MEA≌△NDA（SAS）；（2）成立，同（1）可证．2.证明：（1）如图1，在等边△ABC中，AB=AC=BC，∠BAC=60°∴ ∠BAD+∠DAC=60°∵ 在菱形ADEF中，∠DAF=60°∴ AD=AF，∠DAC+∠CAF=60°∴ ∠BAD=∠CAF∴ △ABD≌△ACF（SAS）∴ BD=CF∵ BC=BD+DC∴ BC=CF+CD即AC= CF+CD（2）此时AC=CF+CD不成立，CF = AC +CD.理由如下：如图2，在等边△ABC中，AB=AC=BC，∠BAC=60°∵ 在菱形ADEF中，∠DAF=60°∴ AD=AF∴ ∠BAC+∠CAD=∠DAF+∠CAD∴ ∠BAD=∠CAF∴ △ABD≌△ACF（SAS）∴ BD=CF∵ BD=BC+CD∴ CF= BC+CD即CF = AC +CD（3）CF = CD-AC.理由如下：如图3，在等边△ABC中，AB=AC=BC，∠BAC=60°∴ ∠CAF+∠BAF=60°∵ 在菱形ADEF中，∠DAF=60°∴ AD=AF，∠DAB+∠BAF=60°∴ ∠DAB+∠BAF =∠CAF+∠BAF∴ ∠DAB=∠F AC∴△ABD≌△ACF（SAS）∴ BD=CF图1AFECDB图2AB C DFE图3AB CDEF∵ BD=CD-CB∴ CF= CD-CB即CF = CD-AC3.提示：（1）在AB上取点M，使得AM=CE，证△AME≌△ECF（ASA）；（2）成立，同（1）可证；（3）成立，在BA的延长线上取点M，使得AM=CE，证△AME≌△ECF（ASA）．4.提示：（1）延长MP交CN于点E，证△BPM≌△CPE（ASA），直角三角形斜边中线等于斜边一半；（2）延长MP交NC的延长线于点E，同（1）可证；（3）四边形MBCN为矩形；成立，同（1）可证．5.提示：（1）△ADD1≌△CAB；（2）AB＝DD1＋EE1，过点C作CM⊥AB于点M，证△ADD1≌△CAM，△EBE1≌△BCM；（3）DD1=AB＋EE1，同（2）可证．6.提示：（1）过P作PM⊥BC于点M，PN⊥DC于点N．证△APB≌△APD（SAS），△PME≌△PND（HL）即可；（2）成立，同（1）可证；（3）作图略；成立，过P分别作BC，DC的垂线，交BE于点M，DC的延长线于点N，同（1）可证．四、课后作业1．解：（1）AD+BE＝AB（2）成立．证明：（方法一）：在AB上截取AG=AD，连接CG．∵ ∠1＝∠2，AC＝AC∴△ADC≌△AGC（SAS）∴∠5＝∠6∵ AM∥BN∴ ∠1+∠2+∠3+∠4=180°图1A lCEBDNM876541C lEDNM∵∠1＝∠2，∠3＝∠4∴ ∠2+∠3=90°∴ ∠ACB＝90°即∠6＋∠7＝90°∵ ∠5+∠6+∠7+∠8=180°∴ ∠5＋∠8＝90°∴∠7＝∠8∵∠3＝∠4，BC＝BC∴△BGC≌△BEC（ASA）∴BG＝BE∴AG+BG＝AD+BE∴AD+BE＝AB（方法二）：过点C作直线FG⊥AM，垂足为点F，交BN于点G．作CH⊥AB，垂足为点H．由（1）得AF+BG=AB∵AM∥BN，∠AFG＝90°∴ ∠BGF＝∠FGE＝90°∵∠1＝∠2，∠3＝∠4∴ CF＝CH，CH＝CG∴ CF＝CG∵ ∠FCD＝∠GCE∴△CFD≌△CGE（ASA）∴DF＝EG∴ AD+BE=AF-DF+GE+BG=AF+BG=AH+BH=AB （方法三）：延长BC，交AM于点F．∵AM∥BN∴∠5＝∠4∵ ∠3＝∠4∴∠5＝∠3HFG1234CAlEBDNM图2方法二51234FCAlEBDNM∴ AF =AB∵ ∠1＝∠2，∴ CF ＝CB∵∠FCD ＝∠BCE∴ △FCD ≌△BCE （ASA ）∴ DF ＝BE∴ AD +BE =AD +DF =AF =AB（3）不成立．存在．当点D 在射线AM 上，点E 在射线BN 的反向延长线上时（如图3（1）），AD -BE =AB当点D 在射线AM 的反向延长线上，点E 在射线BN 上时（如图3（2）），BE -AD =AB图3(2)图3(1)A l C E B D N M MN DBEClA。
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中考几何中的类比探究解题方法分析
河南省息县城郊中学敖勇
河南省中考几何中的类比探究题是中考的第22题，题型以能力立意，突出“发展性”，侧重数学思想方法、数学基本活动经验的考查，试题有一定难度。
试题特点关注知识的衔接点和交汇处，综合性较强。
由于学生没有科学正确的解题方法，得分率很低。
其原因不是学生知识的能量达不到，而是类比探究题中所隐含的数学思想和几何模型没有很好地理解与运用。
初中阶段学习的几何模型主要有：奶站模型，天桥模型，倍长中线模型，弦图模型，双垂直模型，三垂直模型……还有对称，平移，旋转，相似，折叠等知识，这些基本的数学知识学生实际上已经掌握，因不能结合已知条件的特征及结论和图形的情况，灵活把握，所以不能举一反三，触类旁通。
（这些模型都隐含在教材的例题中）因此明确解题方向，正确作辅助线是我们做好几何类比探究题的最基本的思想。
那么什么叫类比探究呢？类比探究：是一类共性条件与特殊条件相结合，由特殊情形到一般情形（或由简单情形到复杂情形）逐步深入，解决思想方法一脉相承的综合性题目，常以几何综合题为主）。
解决类比探究问题的一般方法：
1、根据题干条件，结合分支条件先解决第一问；
2、用解决上一问的方法类比解决下一问，如果不能，两问结合起来分析，找出不能类比的原因和为变特征，依据不变的特征，探索新的方法。
类比探究：图形结构类似、问题类似、常含探究、类比等关键词。
【类比探究解题方法和思路】
1、找特征（中点、特殊角、折叠等），找模型：相似（母子型、A字型、八字型）三线合一、面积等；
2、借助问与问之间的联系，寻找条件和思路。
3、照搬：照搬上一问的方法，思路解决问题，如照搬字母、照搬辅助线、照搬全等、照搬相似等。
4、找结构：寻找不变的结构，利用不变结构的特征解决问题。
常见不变结构及方法：
①直角：作横平竖直的线，找全等或相似；
②中点：作倍长、通过全等转移边和角；
③平行：找相似、转比例。
5、哪些是不变的，哪些是变化的。
哪些条件没有用，如何进行转化，寻找能够类比的方法和思路。
类比转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整。
（2012河南省中考数学试题第22题）
原题：如图1，在□ABCD 中，点E 是BC 边的中点，点F 是线段AE 上一点，BF 的延长线交射线CD 于点G 。
若3=EF AF ，求3=EF AF
的值。
（1）尝试探究
在图1中，过点E 作EH //AB 交BG 于点H ，则AB 和EH 的数量关系是__AB=_3EH _，CG 和EH 的数量关系是__CG =_2EH_，3=EF
AF 的值是 3=EF AF （2）类比延伸
如图2，在原题的条件下，若3=EF AF ，则3=EF
AF 的值是 3=EF AF （用含m 的代数式表示），试写出解答过程。
解：过E 点作EH ∥AB,交BG 于点H,则△ABF ∽△ EHF ∴m
EH AB EF AF ==
∴AB=mEH ，在□ABCD 中，AB=CD ，∴CD=mEH ，
同理可证 △BEH ∽△ BCG ∴CG=2EH
∴ = 3
=EF AF
（3）拓展迁移
如图3，梯形ABCD 中，DC //AB ，点E 是BC 的延长线上一点，AE 和BD 相交于点F 。
若3=EF AF ，3=EF AF ，则3=EF AF 的值是
（用含a ，b 的代数式表示）。
【解析】过E 作EH ∥AB ，交BD 延长线于点H
由题意可知:EH ∥DC ∥AB H
∴
∴CD = b EH 又∵
∴AB=a CD
∴
3
EF AF
( 照搬：照搬上一问的方法，思路解决问题，如照搬字母、照搬辅助线、照搬全等、照搬相似等。
也就是知识的迁移。
平行：找相似、转比例。
)
案例2、操作发现：如图1，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE。
点F 在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G．猜想线段GF与GC有何数量关系？并证明你的结论．（2）类比探究：
如图（2），将（1）中的矩形ABCD改为平行四边形，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请
说明理由．
解：分析：（1）根据翻折的性质得出BE=EF，∠B=∠EFA，利用三角形全等的判定得△ECG≌△EFG，即可得出答案；
（2）利用平行四边形的性质，首先得出∠C=180°-∠D，∠EFG=180°-∠AFE=180°-∠B=180°-∠D，进而得出∠ECG=∠EFG，再利用EF=EC，得出∠EFC=∠ECF，即可得出答案．
解答：解：（1）猜想线段GF=GC，
证明：连接EG，
∵E是BC的中点，∴BE=CE，
∵将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，
∴BE=EF，∴EF=EC，
∵EG=EG，∠C=∠EFG=90°，∴△ECG≌△EFG（HL），
∴FG=CG；
（2）（1）中的结论仍然成立．
证明：连接EG，FC，
∵E是BC的中点，
∴
BE=CE ，
∵将△ABE 沿AE 折叠后得到△AFE ，∴BE=EF ，∠B=∠AFE ，∴EF=EC ，
∴∠EFC=∠ECF ，
∵矩形ABCD 改为平行四边形，∴∠B=∠D ，
∵∠ECD=180°-∠D ，∠EFG=180°-∠AFE=180°-∠B=180°-∠D ，
∴∠ECD=∠EFG ，
∴∠GFC=∠GFE-∠EFC=∠ECG-∠ECF=∠GCF ，
∴∠GFC=∠GCF ，
∴FG=CG ；
即（1）中的结论仍然成立．
【此题主要考查了矩形的性质与平行四边形的性质以及翻折变换、全等三角形的判定等知识，根据已知得出EF=EC ，∠EFC=∠ECF 是解决问题的关键．】
解法二：延长AE 到P 交DC 的延长线于点P ，用倍长中线的方法更简单。
口诀：倍长中线等中线，等量关系一大片。
（如下图）
案例3，如图，在△ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，点E 在AC 上，BE 交CD 于点G ，EF ⊥BE 交AB 于点F ，
P P
（1）如图1：若EA=CE，探索线段EF与EG的数量关系，并证明你的结论；
（2）如图2：若EA=2CE，探索线段EF与EG的数量关系，并证明你的结论；
（3）若EA=kCE，探索线段EF与EG的数量关系，请直接写出你的结论．
（1）作EH⊥CD，EQ⊥AB，利用AAS先证△AEQ≌△ECH，易得EQ=EH，把EQ=EH作为一个条件，再利用ASA易证Rt△EFQ≌Rt△EGH，从而有EF=EG；
（2）作EH⊥CD，EQ⊥AB，先证△EFQ∽△EGH，易得
3
= EF
AF
，
再证△AQE∽△EHC，那么
3
= EF
AF
，
等量代换易得
3
=
EF
AF
，于是EF=2EG；
（3）根据（1）（2）的结论易得EF=kEG．解答：证明：作EH⊥CD，EQ⊥AB，
∵AC=BC，CD⊥AB，∠ACB=90°，
∴∠ADC=90°，∠A=∠ACD=45°，
∵EH⊥CD，EQ⊥AB，
∴∠AQE=∠EHC=90°，
又∵EA=CE，
∴△AEQ≌△ECH，
∴EQ=EH，∵EH⊥CD，EQ⊥AB，CD⊥AB，∴四边形EQDH是矩形，
∴∠QEH=90°，
∴∠FEQ=∠GEH=90°-∠QEB，
又∵∠EQF=∠EHG=90°，EQ=EH，
∴Rt△EFQ≌Rt△EGH，
∴EF=EG；
（2）作EH⊥CD，EQ⊥AB（如图2），
【上题基本思路：过直角顶点，作横平竖直的线，找全等或相似。
】
中考数学类比探题思维误区：
第一问通常是特殊的图形，题中的条件比较充分，而且一般有提示，所以学生做的时，基本上能得心应手，但做第二、三问时，往往有部分学生，没有按照第一问的思路去思考，而且是对着题干思考第二、三问，这样就陷入了“自己布置的陷阱”结果做不出来，把一道题当成三道题来做了。
第二种情况：由于第一问，图形特殊，条件充分，所以解题方法有多种，因此，在做第二题的时候，如果不能按照第一问的思路去“照搬”，就要再重新思考，第一问是否有其它的解题方法，如果有，第二问再按照另外的解题方法去类比、迁移，自然就“水到渠成”。