中考几何中的类比探究解题方法分析
几何类比探究题型-2024年中考数学答题技巧与模板构建(解析版)
几何类比探究题型题型解读|模型构建|通关试练几何的类比探究题型是近年中招解答题的必考题型，该题型往往以压轴题的形式出现，有一定的难度。
探究型问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的一类问题．根据其特征大致可分为：条件探究型、结论探究型、规律探究型和存在性探究型等四类。
由于探究型试题的知识覆盖面较大，综合性较强，灵活选择方法的要求较高，再加上题意新颖，构思精巧，具有相当的深度和难度，所以要求同学们在复习时，首先对于基础知识一定要复习全面，并力求扎实牢靠；其次是要加强对解答这类试题的练习，注意各知识点之间的因果联系，选择合适的解题途径完成最后的解答．模型01图形旋转模型模型一、A字形(手拉手)及其旋转模型二、K字型及其旋转手拉手模型是有两个等腰的三角形或者两个等边的三角形，他们有一个共同的顶点，且两个等腰三角形的顶角是相等的，那么就可以用角的和差求得共顶点的另外两个角相等等，然后利用等腰的边对应相等，可证明两个三角形全等(边角边)组成这样的图形模样的我们就说他是手拉手模型。
在类比探究题型中，往往会对等腰三角形或者等边三角形进行演变，变成一般三角形进行旋转，通常全等三角形变为相似三角形。
模型特征：双等腰；共顶点；顶点相等；绕着顶点作旋转解题依据：等腰共顶手拉手，旋转全等马上有；左手拉左手，右手拉右手，两根拉线抖一抖，它们相等不用愁；拉线夹角与顶角，相等互补答案有。
模型02图形平移模型探究1.四边形平移变换四边形的平移变换题型中主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平移几何性质、三角形内角和定理的应用，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形全等或相似的判定方法，画出相应的图形，注意分类讨论．2.三角形平移变换三角形平移变换主要利用三角形全等和三角形相似的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，平移性质、平行线的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法.3.其它图形平移类比探究问题综合考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法，画出相应的图形，注意分类讨论.模型03动点引起的题型探究动点型问题是指题设中的图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线、直线、抛物线、双曲线、弧线等上运动的一类非常具有开放性的题目。
三角形与四边形类比探究题(中考专题)
类比研究解决类比研究问题的一般方法：1、依据题设条件，联合各问条件，先解决第一问；2、用解决第一问的方法类比解决下一问，假如不可以，两问综合进行剖析，找出不可以类比的原由和不变特色，依照不变的特色，研究新的方法。
类比研究：图形构造近似、问题近似、常含研究、类比等重点词。
类比研究解题方法和思路1、找特色（中点、特别角、折叠等），找模型：相像（母子型、 A 型、非 A 型、X 型、非 X 型）三线合一、面积、全等三角形等；2、借助几问之间的联系，找寻条件和思路。
3、照搬上一问的方法思路，解决问题，照搬协助线、照搬全等、照搬相像等。
4、找构造：找寻不变的构造，利用不变构造的特色解决问题。
常有不变构造及方法：①直角：作横平竖直的线，找全等或相像；②中点：作倍长、经过全等转移边和角；③平行：找相像、转比率。
5、哪些是不变的，哪些是变化的。
哪些条件没实用，如何进行转变，找寻能够类比的方法和思路。
1．以下图，在正方形上连结等腰直角三角形和正方形，无穷重复同一过程，第一个正方形的边长为1，第一个正方形与第一个等腰直角三角形的面积和为S1，第二个正方形与第二个等腰直角三角形的面积和为S2，，第n 个正方形与第n 个等腰直角三角形的面积和为S n．（1）计算 S1、 S2、 S3、 S4．（2）总结出S n与 S n﹣1的关系，并猜想出S1+S2+S3+S4++S n与 n 的关系．2．（淄博）分别以 ? ABCD （∠ CDA≠ 90°）的三边 AB ，CD， DA 为斜边作等腰直角三角形，△ABE ，△CDG ，△ ADF ．（1）如图 1，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外面时，连结GF， EF．请判断GF 与 EF 的关系（只写结论，不需证明）；（2）如图 2，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时，连结GF，EF，（ 1）中结论还建立吗？若建立，给出证明；若不建立，说明原由．3．将两个用钢丝设计成的能够完整重合的直角三角形模型ABC 和直角三角形DEF 按如图所示的地点摆放，使点 B、 F、 C、 D 在同一条直线上，且 AB 和 DE、EF 分别订交于点 P、 M ，AC 和 DE 订交于点 N．（1）试判断线段 AB 和 DE 的地点关系，并说明原由；（2）若 PD=AC ，线段 PE 和 BF 有什么数目关系，请说明你的原由．4．如图，四边形 ABCD 为正方形，△ BEF 为等腰直角三角形（∠ BFE=90°，点 B、 E、F按逆时针摆列），点 P 为 DE 的中点，连 PC，PF（1）如图①，点 E 在 BC 上，则线段 PC、PF 的数目关系为 ________，地点关系为 _________（不证明）．（2）如图②，将△BEF 绕点 B 顺时针旋转 a（ O＜ a＜ 45°），则线段 PC，PF 有何数目关系和地点关系？请写出你的结论，并证明．（3）如图③，△AEF 为等腰直角三角形，且∠ AEF=90°，△ AEF 绕点 A 逆时针旋转过程中，能使点 F 落在 BC 上，且 AB 均分 EF，直接写出AE 的值是_________．5．如图，在△ ABC 中， AB=AC ，点 E 为 BC 边上一动点（不与点 B、 C 重合），过点 E 作射线EF 交 AC 于点 F，使∠ AEF= ∠ B．（1）判断∠ BAE 与∠ CEF 的大小关系，并说明原由；（2）请你研究：当△ AEF为直角三角形时，求∠AEF 与∠ BAE 的数目关系．CE 6．如图，△ ABC 为等腰直角三角形，∠BAC=90°， BC=2 ， E 为 AB 上随意一动点，以为斜边作等腰直角△CDE ，连结 AD ，（1）当点 E 运动过程中∠ BCE 与∠ ACD 的关系是 ________．（2） AD 与 BC 有什么地点关系？说明原由．（3）四边形 ABCD 的面积能否有最大值？假如有，最大值是多少？假如没有，说明原由．7．直角三角形ABC 中，∠ C=90°， AC=BC ，点 P 是三角形 ABC 内一点，且知足∠P AB= ∠PBC= ∠ PCA ，（1）判断 PC 与 PB 的地点关系，并对你的判断加以说明．（2）△ ABP 与△ APC 的面积比．8．（内江）如图，△ACD和△ BCE都是等腰直角三角形，∠ACD= ∠ BCE=90°， AE 交 CD 于点 F，BD 分别交 CE、AE 于点 G、H．试猜想线段 AE 和 BD 的数目和地点关系，并说明原由．9．如图，在等腰 Rt△ABC 中，∠ ACB=90°， D 为 BC 的中点， DE ⊥ AB ，垂足为 E，过点 B作 BF∥ AC 交 DE 的延伸线于点 F，连结 CF．（1）证明：△ BDF 是等腰直角三角形．（2）猜想线段 AD 与 CF 之间的关系并证明．10．如图，等腰直角三角形 ABC 中，AC=BC ，将△ ABC 绕斜边 AB 的中点 O 旋转至△ DEF 的地点， DF 交 AB 于点 P， DE 交 BC 于点 Q．请猜想 OQ 与 OP 有如何的数目关系？并证明你的结论．11．（ 1）如图甲，直角三角形 ABC 中，∠ C=90°，分别以 AB ，AC ，BC 为边作正方形 ABEF ，ACMN ， BCGH ，面积分别设为 S， P， Q，则 S， P， Q 知足如何的等量关系？（直接写出结果，不需证明）（2）如图乙，直角三角形 ABC 中，∠ C=90°，分别以 AB ，AC ，BC 为边作等边三角形 ABE ，ACM ，BCH ，面积分别设为 S，P， Q，则 S，P， Q 知足如何的等量关系？并证明；（3）如图丙，锐角三角形ABC 中，分别以 AC ，BC 为边作随意平行四边形ACMN ，BCGH ，面积分别设为 P，Q，NM 和 HG 的延伸线订交于点 D ，连结 CD，在 AB 外侧作平行四边形ABEF ，使得 BE， AF 平行且等于 CD ，面积设为 S，则 S， P， Q 知足如何的等量关系？并证明．12．以下图，四边形 ABCD 为正方形，△BEF 为等腰直角三角形（∠ BFE=90°，点 B、E、 F 按逆时针次序），P 为 DE 的中点，连结 PC、PF．（1）如图（ 1），E 点在边 BC 上，则线段 PC、PF 的数目关系为________，地点关系为 _________（不需要证明）．（2）如图（ 2），将△ BEF 绕 B 点顺时针旋转α°（ 0＜α＜ 45），则线段 PC、PF 有何数目关系和地点关系？请写出你的结论并证明．（3）如图（ 3）， E 点旋转到图中的地点，其余条件不变，达成图（3），则线段PC、 PF 有何数目关系和地点关系？直接写出你的结论，不需要证明．13．（富宁县）将两个全等的直角三角形ABC 和 DBE 如图①方式摆放，此中∠ACB= ∠ DEB=90°，∠ A= ∠ D=30°，点 E 落在 AB 上，DE 所在直线交AC 所在直线于点F．（1）求证： AF+EF=DE ；（2）若将图①中的直角三角形ABC 绕点 B 顺时针方向旋转，且∠ABD=30°，其余条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出你在（1）中猜想的结论能否仍旧建立；（3）若将图①中的直角三角形DBE 绕点 B 顺时针方向旋转，且∠ABD=65°，其余条件不变，如图③，你以为（ 1）中猜想的结论还建立吗？若建立，写出证明过程；若不建立，请写出 AF 、 EF 与 DE 之间的关系，并说明原由．14．（营口）如图 1，△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB=90°，F 是 AC 边上的一个动点（点F 与 A、 C 不重合），以 CF 为一边在等腰直角三角形外作正方形CDEF，连结 BF 、 AD ．（1）①猜想图 1 中线段 BF、 AD 的数目关系及所在直线的地点关系，直接写出结论；②将图 1 中的正方形CDEF ，绕着点 C 按顺时针（或逆时针）方向旋转随意角度α，获得如图 2、图 3 的情况．图 2 中 BF 交 AC 于点 H，交 AD 于点 O，请你判断①中获得的结论能否仍旧建立，并选用图 2 证明你的判断．（2）将原题中的等腰直角三角形ABC 改为直角三角形 ABC ，∠ ACB=90°，正方形 CDEF改为矩形 CDEF ，如图 4，且 AC=4 ， BC=3 ，CD=，CF=1，BF交AC于点H，交AD于点O，连结 BD 、 AF，求 BD 2+AF2的值．15．（石家庄）在图 1 到图 3 中，点 O 是正方形 ABCD 对角线 AC 的中点，△ MPN 为直角三角形，∠ MPN=90° ．正方形 ABCD 保持不动，△ MPN 沿射线 AC 向右平移，平移过程中 P 点一直在射线 AC 上，且保持 PM 垂直于直线 AB 于点 E， PN 垂直于直线 BC 于点 F．（1）如图 1，当点 P 与点 O 重合时， OE 与 OF 的数目关系为_________；（2）如图 2，当 P 在线段 OC 上时，猜想 OE 与 OF 有如何的数目关系与地点关系？并对你的猜想结果赐予证明；（3）如图 3，当点 P 在 AC 的延伸线上时，OE关系为_________．与 OF 的数目关系为_________；地点16．己知：正方形ABCD ．（1）如图①，点E、点 F 分别在边AB 和 AD 上，且 AE=AF ．此时，线段BE、DF 的数目关系和地点关系分别是什么？请直接写出结论．（2）如图②，等腰直角三角形 FAE 绕直角极点 A 顺时针旋转∠α，当 0°＜α＜ 90°时，连结BE 、 DF，此时（ 1）中的结论能否建立，假如建立，请证明；假如不建立，请说明原由．（3）如图③，等腰直角三角形 FAE 绕直角极点 A 顺时针旋转∠α，当 90°＜α＜ 180°时，连结 BD 、 DE 、 EF、 FB，获得四边形 BDEF ，则按序连结四边形 BDEF 各边中点所构成的四边形是什么特别四边形？请直接写出结论．17．（葫芦岛）已知：△ ABC 和△ ADE 都是等腰直角三角形，∠ ABC= ∠ADE=90°，点 M 是CE 的中点，连结 BM ．（1）如图①，点 D 在 AB 上，连结 DM ，并延伸 DM 交 BC 于点 N ，可研究得出BD 与 BM 的数目关系为_________；（2）如图②，点 D 不在 AB 上，（1）中的结论还建立吗？假如建立，请证明；假如不建立，说明原由．18．（南通）如图 1，O 为正方形 ABCD 的中心，分别延伸 OA 、OD 到点 F、E，使 OF=2OA ，OE=2OD ，连结 EF．将△ EOF 绕点 O 逆时针旋转α角获得△E1OF1（如图 2）．（1）研究 AE 1与 BF 1的数目关系，并赐予证明；（2）当α=30°时，求证：△AOE 1为直角三角形．19．勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记录．如图 1 是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，能够用其面积关系考证勾股定理．图 2 是由图 1 放入矩形内获得的，∠BAC=90°， AB=3 ， AC=4 ，点 D， E，F， G， H ， I 都在矩形 KLMJ 的边上，则矩形KLMJ 的面积为多少？20．如图，等腰直角三角形 ABC 中，∠ BAC=90°，D、E 分别为 AB 、AC 边上的点， AD=AE ，AF ⊥BE 交 BC 于点 F，过点 F 作 FG⊥ CD 交 BE 的延伸线于点 G，交 AC 于点 M ．（1）求证：△ EGM 为等腰三角形；（2）判断线段 BG 、 AF 与 FG 的数目关系并证明你的结论．21．（辽阳）已知直角梯形ABCD ，AB ∥ CD，∠ C=90°， AB=BC=CD ， E 为 CD 的中点．（1）如图（ 1）当点 M 在线段 DE 上时，以 AM 为腰作等腰直角三角形 AMN ，判断 NE 与 MB 的地点关系和数目关系，请直接写出你的结论；（2）如图（ 2）当点 M 在线段 EC 上时，其余条件不变，（ 1）中的结论能否建立？请说明原由．22．如图，△ ABC 与△DEC 是两个全等的直角三角形，∠ ACB= ∠ CDE=90°，∠ CAB= ∠DCE ，AB=4 ， BC=2 ，△DEC 绕点 C 旋转， CD 、 CE 分别与 AB 订交于点 F、 G（都不与 A 、B 点重合），设 BG=x ．回答以下问题：（1）设 CG=y1，请研究y1与 x 的函数关系，并直接写出y1的最小值；（2）设 AF=y 2，请研究y2与 x 的函数关系．23．（丰台区）已知：△ ABC和△ ADE是两个不全等的等腰直角三角形，此中BA=BC ，DA=DE ，连结 EC，取 EC 的中点 M ，连结 BM 和 DM ．（1）如图 1，假如点 D、E 分别在边AC 、AB 上，那么 BM 、DM 的数目关系与地点关系是_________；（2）将图 1 中的△ADE 绕点 A 旋转到图 2 的地点时，判断（ 1）中的结论能否仍旧建立，并说明原由．24．若直角三角形三边长为正整数，且周长与面积数值相等，则称此三角形为角形”，求“完满直角三角形”的三边长．“完满直角三25．以△ ABC 的两边 AB 、 AC 为腰分别向外作等腰Rt △ ABD 和等腰 Rt△ ACE ，∠B AD= ∠ CAE=90°，连结 DE，M 、N 分别是 BC 、DE 的中点．研究： AM 与 DE 的地点关系及数目关系．（1）如图①当△ ABC 为直角三角形时，AM 与 DE 的地点关系是_________，线段AM 与 DE 的数目关系是_________；（2）将图①中的等腰 Rt△ ABD 绕点 A 沿逆时针方向旋转θ°（0＜θ＜ 90）后，如图②所示，（1）问中获得的两个结论能否发生改变？并说明原由．26．（邯郸）（ 1）如图 1，四边形直线上，连结DE 并延伸交线段求证： AB=DE ，AB ⊥ DE ；ACDGAB 于点与四边形F．ECBH都是正方形，且B， C，D在一条（2）假如将（1）中的两个正方形换成两个矩形，如图2，且==，则AB与DE的数目关系与地点关系会发生什么变化？请说明你的见解和原由．（3）假如将（1）中的两个正方形换成两个直角三角形，如图3，∠ BCE= ∠ ACD=90°，且=k ，且请直接写出AB 与 DE 的数目关系与地点关系．27．锐角为 45°的直角三角形的两直角边长也相等，这样的三角形称为等腰直角三角形．我们常用的三角板中有一块就是这样的三角形，也可称它为等腰直角三角板．把两块全等的等腰直角三角板按如图 1 搁置，此中边BC、 FP 均在直线 l 上，边 EF 与边 AC 重合．（1）将△EFP 沿直线 l 向左平移到图 2 的地点时， EP 交 AC 于点 Q，连结 AP， BQ．猜想并写出 BQ 与 AP 所知足的数目关系和地点关系，请证明你的猜想；（2）将△EFP 沿直线 l 向左平移到图 3 的地点时， EP 的延伸线交 AC 的延伸线于点Q，连接 AP， BQ ．你以为（ 1）中所猜想的 BQ 与 AP 的数目关系和地点关系还建立吗？若建立，给出证明；若不建立，请说明原由．28．如图1，E 是等腰Rt△ABC 边AC 边在Rt△ABC 作等腰Rt △CDE，连结长度关系及所在直线的地点关系：上的一个动点（点 E 与 A、C 不重合），以 CE 为一AD ， BE．我们研究以下图中线段AD 、线段 BE 的（1）①猜想如图 1 中线段 AD 、线段 BE 的长度关系及所在直线的地点关系；②将图 1 中的等腰 Rt△ CDE 绕着点 C 按顺时针方向旋转随意角度a，获得如图2、如图 3情况．请你经过察看、丈量等方法判断①中获得的结论能否仍旧建立，并选用图 2 证明你的判断．（2）将原题中等腰直角三角形改为直角三角形（如图6），且AC=a，BC=b，CD=ka，CE=kb （a≠b， k＞0），第（ 1）题①中获得的结论哪些建立，哪些不建立？若建立，以图 5 为例简要说明原由．（3）在第（2）题图 5 中，连结BD、AE ，且a=4， b=3， k=，求 BD 2+AE 2的值．29．如图1，在△ ABC中，∠ ACB为锐角，点 D 为射线BC上一动点，连结AD ，以AD 为直角边且在AD 的上方作等腰直角三角形ADF ．（1）若 AB=AC ，∠ BAC=90° ．①当点 D 在线段 BC 上时（与点 B 不重合），尝试讨CF 与 BD 的数目关系和地点关系；②当点 D 在线段 BC 的延伸线上时，①中的结论能否仍旧建立，请在图 2 中画出相应图形并说明原由；（2）如图 3，若 AB≠AC ，∠ BAC≠90°，∠ BCA=45°点 D 在线段 BC 上运动，尝试究CF 与BC 地点关系．30．已知△ ABC 和△ ADE 分别是以 AB ．AE 为底的等腰直角三角形，以CE，CB 为边作平行四边形 CEHB ，连 DC， CH．（1）如图 1，当 D 点在 AB 上时，则∠ DEH 的度数为_________；CH与CD的数目关系是_________，并说明原由；（2）将图 1 中的△ ADE 绕 A 点逆时针旋转45°得图 2：则∠ DEH 的度数为_________，CH 与 CD 之间的数目关系为_________；（3）将图 1 中的△ADE 绕 A 点顺时针旋转α（O°＜α＜ 45°）得图 3，请研究 CH 与 CD 之间的数目关系，并赐予证明．类比找规律专题训练题1、以以下图，将一张正方形纸片，剪成四个大小形状相同的小正方形，而后将此中的一个小正方形再按相同的方法剪成四个小正方形，再将此中的一个小正方形剪成四个小正方形，这样循环进行下去；（1）填表：剪的次数12345正方形个数（2）假如剪 n 次，共剪出多少个小正方形？（3）假如剪了 100 次，共剪出多少个小正方形？（4）察看图形，你还可以得出什么规律？2、现有黑色三角形“▲”和“△ ”共200个，依照必定规律摆列以下：▲▲△ △▲△▲▲ △△ ▲△▲▲则黑色三角形有个，白色三角形有个。
中考数学复习考点知识专题讲解18---几何变式探究和类比变换综合类问题
（1）求证：DE∥AB； （2）当 x＝1 时，求点 E 到 AB 的距离；
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（3）将△DCE 绕点 E 逆时针方向旋转，使得点 D 落在 AB 边上的 D′处．在旋转的过程 中，若点 D′的位置有且只有一个，求 x 的取值范围． 5．在△ABC 中，∠B＝45°，∠C＝30°，作 AP⊥AB，交 BC 于 P 点． （1）如图 1，若 AB＝3 ，求 BC 的长； （2）点 D 是 BC 边上一点，连接 AD，将线段 AD 绕点 A 逆时针旋转 90°，得到线段 AE． ①如图 2，当点 E 落在 AC 边上时，求证：CE＝2BD；
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PC = 1，直接写出 PA 长的最大值．
【变式 1-2】（2018•亭湖区二模）如图，在等腰 Rt∆ABC 与等腰 Rt∆ADE 中，∠BAC = ∠DAE = 90° ． （1）连接 BD ， CE （如图① ) ，请直接写出线段 BD ， CE 的数量关系____； （2）在（1）的基础上，延长 BD 交 CE 于点 F ，连接 AF （如图② ) ，试探究线段 AF ， BF ，
全等．
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【达标检测】 1．如图 1，在 Rt△ABC 中，AB＝AC，D、E 是斜边 BC 上两动点，且∠DAE＝45°，将△ABE
绕点 A 逆时针旋转 90 后，得到△AFC，连接 DF． （1）试说明：△AED≌△AFD； （2）当 BE＝3，CE＝9 时，求∠BCF 的度数和 DE 的长； （3）如图 2，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，D 是斜边 BC 所在直线上一点，BD＝3，BC＝8，求 DE2 的长．
中考几何中的类比探究解题方法分析
（2）作 EH⊥CD，EQ⊥AB，先证△EFQ∽△EGH，易得 EF EQ ， EG EH
再证△AQE∽△EHC，那么 EA EQ 2 ， EC EH 1
CD m
∴=
CG 2
（3）拓展迁移
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如图 3，梯形 ABCD 中，DC//AB，点 E 是 BC 的延长线上一点，AE 和 BD 相交于点 F。
若
AB
a
BC
，
b(a
0,b 0) ，则
AF
的值是
AF
ab（用含 a，b
的代数式表示）。
CD
BE
EF
EF
E
【解析】过 E 作 EH∥AB，交 BD 延长线于点 H
∴ EA EQ 2 EG EH 1
∴ EF 2 EG
∴EF=2EG；
（3）EF=kEG．
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【上题基本思路：过直角顶点，作横平竖直的线，找全等或相似。】
中考数学类比探题思维误区： 第一问通常是特殊的图形，题中的条件比较充分，而且一般有提示，所以学生做的时，
基本上能得心应手，但做第二、三问时，往往有部分学生，没有按照第一问的思路去思考， 而且是对着题干思考第二、三问，这样就陷入了“自己布置的陷阱”结果做不出来，把一 道题当成三道题来做了。
H
由题意可知:EH∥DC∥AB
∴ BC CD BE EH
∴CD = b EH
D
C
F
又∵ AB a CD
∴AB=a CD
中考数学压轴几何综合中类比法解决问题
几何综合中类比思想问题：1.已知：E 是边长为1的正方形ABCD 对角线BD 上一动点，点E 从D 点向B 点运动（与点B 、D 不重合），过点E 的直线MN ∥DC ，交AD 于点M ，交BC 于点N ，EF ⊥AE 于点E ，交CB （或CB 的延长线）于点F ．（1）如图甲，线段EM 与FN 之间有怎样的大小关系？请证明你的结论．（2）点E 在运动过程中（如图乙），线段EM 与FN 之间的数量关系是否发生变化？若变化，请说明理由。
（3）点E 在运动的过程中（图甲、图乙），四边形AFNM 的面积是否发生变化？请说明理由．2.如图，将三角板放在正方形ABCD 上，使三角板的直角顶点E 与正方形ABCD 的顶点A 重合。
三角板的一边交CD 于点F ，另一边交CB 的延长线于点G 。
（1）求证：EF=EG（2）移动三角板，使顶点E 始终在正方形ABCD 的对角线AC 上，其它条件不 变，（1）中的结论“EF=EG ”是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。
（3）若将（2）中的“正方形ABCD ”改为“矩形ABCD ”，其使三角板的一边经过点B,其它条件不变，若AB=2，BC=3，求EGEF的值。
3.一直角三角尺的直角顶点P在正方形ABCD的对角线AC上滑动（P与A、C两点不重合），且它的一条直角边始终经过点D,另一条直角边与射线BC交于点E.（1）如图1，当点E在BC边上时，①判断△PBE的形状，并说明理由；②过点E作EF⊥BC交AC所在的直线于点F,求证：CP-AP=2EF.（2）如图2，当点E在BC的延长线上时，判断（1）中的①、②这两个结论是否任然成立？若不成立，请写出你认为正确的结论。
4.正方形ABCD中，点O是对角线DB的中点，点P是DB所在直线上的一个动点，PE⊥BC于E，PF⊥DC于F．（1）当点P与点O重合时（如图①），猜测AP与EF的数量及位置关系，并证明你的结论；（2）当点P在线段DB上（不与点D、O、B重合）时（如图②），探究（1）中的结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由；（3）当点P在DB的长延长线上时，请将图③补充完整，并判断（1）中的结论是否成立？若成立，直接写出结论；若不成立，请写出相应的结论．图③图②图①AAEFFEAA5.如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．90AEF∠= ，且EF交正方形外角DCG∠的角平分线CF于点F。
中考数学类比研究(二)(讲义及答案)
A D
D
A
A
P
P
E
E
B
CB 图1
图2
CB
C 备用图
2. 如图 1，四边形 ABCD 是正方形，点 E 是 AB 边的中点，以 AE 为边作正方形 AEFG，连接 DE，BG． （1）发现 ①线段 DE，BG 之间的数量关系是__________； ②直线 DE，BG 之间的位置关系是__________． （2）探究 如图 2，将正方形 AEFG 绕点 A 逆时针旋转，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成 立，请说明理由． （3）应用 如图 3，将正方形 AEFG 绕点 A 逆时针旋转一周，记直线 DE 与 BG 的交点为 P，若 AB=4，请直接写出点 P 到 CD 所在直线距离的最大值和最小值．
2. 作图 作图既是理解题意的体现，也是辅助思考，分析问题的一种手段． ①往往需要先画草图理解题意，然后根据分析题目得到的特征不断精准作图． ②精准作图，往往需要先辨识特征，然后依据不变特征分析运动轨迹，设计作图方案． 常见作图特征 （1）与作圆相关 ①一定点一动点，两点间距离确定，则动点在圆上； ②两定点一动点，满足以动点为顶点的角为 90°，则动点在圆上； ③直角三角形中，直角顶点固定，斜边运动但长度不变，则斜边中点在圆上． （2）与折叠相关 ①折痕运动但过定点，则折叠后的对应点在圆上； ②对应点确定，折痕为对应点连线的垂直平分线． （3）与旋转相关 ①注意旋转中心、旋转方向、旋转角度； ②旋转作图时往往只需保留研究目标即可． （4）与平移相关 根据平移方向和平移距离画出点的运动路径（平移通道）．
把△DEA 绕点 A 在平面内自由旋转，若 AC= 10 ，AD=2，请直接写出当点 B，D，E 在一条直线上时 CE 的长．
几何难点突破之类比探究讲义及答案
几何难点突破之类比探究（讲义）一、知识点睛识别类比探究题型特征：1.题目中一般有三问或者更多，每小问的条件和图形相似度很高，因此可以“照搬”第一问的方法；2.每一问的图形或点的位置会有所变化（通常条件从特殊走向一般），但可以在这些变化过程中按照第一问的思路和对应关系找角、找边、找全等．二、精讲精练1. 如图1所示，在△ABC 和△ADE 中，AB =AC ，AD =AE ，∠BAC =∠DAE ，且点B 、A 、D 在一条直线上，连接BE 、CD ，M 、N 分别为BE 、CD 的中点．（1）求证：①BE =CD ；②△AMN 是等腰三角形．（2）在图1的基础上，将△ADE 绕点A 按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图2所示的图形．（1）中的两个结论是否仍然成立，若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．图2ME CBNDA图1CBMN ED A2. 已知△ABC 为等边三角形，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与B ，C 重合），以AD 为边作菱形ADEF （A 、D 、E 、F 按逆时针排列），使∠DAF ＝60°，连接CF ． （1）如图1，当点D 在边BC 上时，求证：①BD ＝CF ；②AC ＝CF ＋CD ；（2）如图2，当点D 在边BC 的延长线上且其他条件不变时，结论AC ＝CF ＋CD 是否成立？若不成立，请写出AC 、CF 、CD 之间存在的数量关系，并说明理由；（3）如图3，当点D 在边CB 的延长线上且其他条件不变时，探究AC 、CF 、CD 之间存在的数量关系．图1AFECDB图2ABC DFEABCD F3. 如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点．且90AEF ∠=，且EF 交正方形外角DCG ∠的平分线CF 于点F ．（1）求证：AE =EF ；（2）如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE =EF ”仍然成立吗？如果成立，写出证明过程；如果不成立，请说明理由；（3）如图3，点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE =EF ”是否成立？如果成立，写出证明过程；如果不成立，请说明理由．图1GFE DC B A图2A B CDE FG图3GFE DCBA4.如图1，在△ABC 中，点P 为BC 边的中点，直线a 绕顶点A 旋转，若B 、P 在直线a 的异侧，BM ⊥直线a 于点M ，CN ⊥直线a 于点N ，连接PM 、PN ；（1）求证：PM =PN ；（2）若直线a 绕点A 旋转到图2的位置时，点B 、P 在直线a 的同侧，其它条件不变．此时PM =PN 还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，若直线a 绕点A 旋转到与BC 边平行的位置时，其它条件不变．请判断四边形MBCN 的形状及此时PM =PN 还成立吗？图1ABCP aMN图2ABCP aM N图3NMaP CBA5.如图1所示,已知A、B为直线l上两点，点C为直线l上方一动点，连接AC、BC，分别以AC 、BC为边向△ABC外作正方形CADF和正方形CBEG，过点D作DD1⊥l于点D1，过点E作EE1⊥l于点E1.(1)如图2，当点E恰好在直线l上时(此时E1与E重合)，试说明DD1=AB；(2)在图1中，当D、E两点都在直线l的上方时，试探求三条线段DD1、EE1、AB之间的数量关系，并说明理由；(3)如图3，当点E在直线l的下方时，请探究三条线段DD1、EE1、AB之间的数量关系.DA BGEFCl D1E1图1GEBACFD1DE1()l图2图3lFGEBACD1DE16. 如图，点P 是正方形ABCD 对角线AC 上一动点，点E 在射线BC 上，且PE ＝PB ，连接PD ，O 为AC 中点． （1）如图1，当点P 在线段AO 上时，试猜想PE 与PD 的数量关系和位置关系，不用说明理由；（2）如图2，当点P 在线段OC 上时，（1）中的猜想还成立吗？请说明理由；（3）如图3，当点P 在AC 的延长线上时，判断（1）中的猜想是否成立？若成立，请直接写出结论；若不成立，请说明理由．图1BB图2三、课后作业1．已知：如图所示，直线MA∥NB，∠MAB与∠NBA的平分线交于点C，过点C作一条直线l与两条直线MA、NB分别相交于点D、E．（1）如图1所示，当直线l与直线MA垂直时，猜想线段AD、BE、AB之间的数量关系，请直接写出结论，不用证明；（2）如图2所示，当直线l与直线MA不垂直且交点D、E都在AB的同侧时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请证明：如果不成立，请说明理由；（3）如图3所示，当直线l与直线MA不垂直且交点D、E在AB的异侧时，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，那么线段AD、BE、AB之间还存在某种数量关系吗？如果存在，请写出它们之间的数量关系．【几何难点突破之类比探究参考答案】二、精讲精练图1A lCEBDNM图2M NDBElACMNDBEClA图3(1)lCENM1.提示：（1）①证△CAD≌△BAE（SAS）；②证△ACN≌△ABM（SAS）；或证△MEA≌△NDA（SAS）；（2）成立，同（1）可证．2.证明：（1）如图1，在等边△ABC中，AB=AC=BC，∠BAC=60°∴ ∠BAD+∠DAC=60°∵ 在菱形ADEF中，∠DAF=60°∴ AD=AF，∠DAC+∠CAF=60°∴ ∠BAD=∠CAF∴ △ABD≌△ACF（SAS）∴ BD=CF∵ BC=BD+DC∴ BC=CF+CD即AC= CF+CD（2）此时AC=CF+CD不成立，CF = AC +CD.理由如下：如图2，在等边△ABC中，AB=AC=BC，∠BAC=60°∵ 在菱形ADEF中，∠DAF=60°∴ AD=AF∴ ∠BAC+∠CAD=∠DAF+∠CAD∴ ∠BAD=∠CAF∴ △ABD≌△ACF（SAS）∴ BD=CF∵ BD=BC+CD∴ CF= BC+CD即CF = AC +CD（3）CF = CD-AC.理由如下：如图3，在等边△ABC中，AB=AC=BC，∠BAC=60°∴ ∠CAF+∠BAF=60°∵ 在菱形ADEF中，∠DAF=60°∴ AD=AF，∠DAB+∠BAF=60°∴ ∠DAB+∠BAF =∠CAF+∠BAF∴ ∠DAB=∠F AC∴△ABD≌△ACF（SAS）∴ BD=CF图1AFECDB图2AB C DFE图3AB CDEF∵ BD=CD-CB∴ CF= CD-CB即CF = CD-AC3.提示：（1）在AB上取点M，使得AM=CE，证△AME≌△ECF（ASA）；（2）成立，同（1）可证；（3）成立，在BA的延长线上取点M，使得AM=CE，证△AME≌△ECF（ASA）．4.提示：（1）延长MP交CN于点E，证△BPM≌△CPE（ASA），直角三角形斜边中线等于斜边一半；（2）延长MP交NC的延长线于点E，同（1）可证；（3）四边形MBCN为矩形；成立，同（1）可证．5.提示：（1）△ADD1≌△CAB；（2）AB＝DD1＋EE1，过点C作CM⊥AB于点M，证△ADD1≌△CAM，△EBE1≌△BCM；（3）DD1=AB＋EE1，同（2）可证．6.提示：（1）过P作PM⊥BC于点M，PN⊥DC于点N．证△APB≌△APD（SAS），△PME≌△PND（HL）即可；（2）成立，同（1）可证；（3）作图略；成立，过P分别作BC，DC的垂线，交BE于点M，DC的延长线于点N，同（1）可证．四、课后作业1．解：（1）AD+BE＝AB（2）成立．证明：（方法一）：在AB上截取AG=AD，连接CG．∵ ∠1＝∠2，AC＝AC∴△ADC≌△AGC（SAS）∴∠5＝∠6∵ AM∥BN∴ ∠1+∠2+∠3+∠4=180°图1A lCEBDNM876541C lEDNM∵∠1＝∠2，∠3＝∠4∴ ∠2+∠3=90°∴ ∠ACB＝90°即∠6＋∠7＝90°∵ ∠5+∠6+∠7+∠8=180°∴ ∠5＋∠8＝90°∴∠7＝∠8∵∠3＝∠4，BC＝BC∴△BGC≌△BEC（ASA）∴BG＝BE∴AG+BG＝AD+BE∴AD+BE＝AB（方法二）：过点C作直线FG⊥AM，垂足为点F，交BN于点G．作CH⊥AB，垂足为点H．由（1）得AF+BG=AB∵AM∥BN，∠AFG＝90°∴ ∠BGF＝∠FGE＝90°∵∠1＝∠2，∠3＝∠4∴ CF＝CH，CH＝CG∴ CF＝CG∵ ∠FCD＝∠GCE∴△CFD≌△CGE（ASA）∴DF＝EG∴ AD+BE=AF-DF+GE+BG=AF+BG=AH+BH=AB （方法三）：延长BC，交AM于点F．∵AM∥BN∴∠5＝∠4∵ ∠3＝∠4∴∠5＝∠3HFG1234CAlEBDNM图2方法二51234FCAlEBDNM∴ AF =AB∵ ∠1＝∠2，∴ CF ＝CB∵∠FCD ＝∠BCE∴ △FCD ≌△BCE （ASA ）∴ DF ＝BE∴ AD +BE =AD +DF =AF =AB（3）不成立．存在．当点D 在射线AM 上，点E 在射线BN 的反向延长线上时（如图3（1）），AD -BE =AB当点D 在射线AM 的反向延长线上，点E 在射线BN 上时（如图3（2）），BE -AD =AB图3(2)图3(1)A l C E B D N M MN DBEClA。
九年级数学寒假专题六动态几何—类比探究
专题六动态几何—类比探究★河南近9年中招热点命题规律探究性问题见年来每年必考，考查类型包含两种：1.动态探究题；2.类比探究题。
主要考察对矩形、菱形、直角三角形的判定；涉及到的知识点有三角形的旋转、平行四边形的性质、相似、矩形折叠、勾股定理等。
近两年还出现了，线段的比例问题，以及运动路程问题。
★解题技巧：类型一、图形旋转变化探究1．如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．（1）问题发现①当α=0°时，=；②当α=180°时，=．（2）拓展探究试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．（3）问题解决当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BD的长．2．（1）【问题发现】如图1，在Rt△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=90°，点D为BC的中点，以CD为一边作正方形CDEF，点E恰好与点A重合，则线段BE与AF的数量关系为（2）【拓展研究】在（1）的条件下，如果正方形CDEF绕点C旋转，连接BE，CE，AF，线段BE与AF的数量关系有无变化？请仅就图2的情形给出证明；（3）【问题发现】当正方形CDEF旋转到B，E，F三点共线时候，直接写出线段AF的长．3．某研究性学习小组进行了探究活动，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=6，点O是AB的中点，将一块直角三角板的直角顶点绕点O旋转，图中的M、N分别为直角三角形的直角边与AC、BC的交点．（1）如图①，当三角板的一条直角边与OB重合时，点M与点A也重合，①求此时CN的长；②写出AC2、CN2、BN2满足的数量关系；（2）当三角板旋转到如图②所示的位置时，即点M在AC上（不与A、C重合），①猜想图②中AM2、CM2、CN2、BN2这四条线段满足的数量关系：；②说明你得出此结论的理由．（1）若在三角板旋转的过程中满足CM=CN，请你利用图③并联系上述结论，求出此时BN的长．4．（1）发现问题如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，当△DCE旋转至点A，D，E在同一直线上，连接BE．填空：①∠AEB的度数为；②线段AD，BE之间的数量关系为．（2）拓展研究如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E三点在同一直线上，CM为△DCE 中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之前的数量关系，并说明理由．（3）探究发现图1中的△ACB和△DCE，在△DCE旋转中当点A，D，E在不同一直线上时，设AD与BE相交于点O，旋转角θ（0°＜θ＜180°）尝试在图3中探索∠AOE的度数，直接写出结果，不必说明理由．5．在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O；在Rt△PMN中，∠MPN=90°．（1）如图1，若点P与点O重合且PM⊥AD、PN⊥AB，分别交AD、AB于点E、F，请直接写出PE与PF的数量关系；（2）将图1中的Rt△PMN绕点O顺时针旋转角度α（0°＜α＜45°）．①如图2，在旋转过程中（1）中的结论依然成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；②如图2，在旋转过程中，当∠DOM=15°时，连接EF，若正方形的边长为2，请直接写出线段EF的长；③如图3，旋转后，若Rt△PMN的顶点P在线段OB上移动（不与点O、B重合），当BD=3BP时，猜想此时PE与PF的数量关系，并给出证明；当BD=m•BP时，请直接写出PE与PF的数量关系．类型二、动点及图形变化探究1．（1）发现：如图1，点A为线段BC外一动点，且BC=a，AB=b，填空：当点A位于时，线段AC 的长取得最大值，且最大值为（用含a，b的式子表示）（2）应用：点A为线段BC外一动点，且BC=3，AB=1，如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE．①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；②直接写出线段BE长的最大值．（3）拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（7，0），点P为线段AB 外一动点，且PA=2，PM=PB，∠BPM=90°，请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标．2．已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作菱形ADEF （A、D、E、F按逆时针排列），使∠DAF=60°，连接CF．（1）如图1，当点D在边BC上时，求证：①BD=CF；②AC=CF+CD；（2）如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由；（3）如图3，当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系．3．（1）问题发现如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．填空：①∠AEB的度数为；②线段AD，BE之间的数量关系为．（2）拓展探究如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE 中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．（3）解决问题如图3，在正方形ABCD中，CD=，若点P满足PD=1，且∠BPD=90°，请直接写出点A到BP的距离．4．（1）问题发现如图1，△ABC和△ADE均为等边三角形，点D在边BC上，连接CE．请填空：①∠ACE的度数为；②线段AC、CD、CE之间的数量关系为．（2）拓展探究如图2，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点D在边BC上，连接CE．请判断∠ACE 的度数及线段AC、CD、CE之间的数量关系，并说明理由．（3）解决问题如图3，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD=2，CD=1，AC与BD交于点E，请直接写出线段AC 的长度．5．【问题提出】在△ABC中，AB=AC≠BC，点D和点A在直线BC的同侧，BD=BC，∠BAC=α，∠DBC=β，且α+β=120°，连接AD，求∠ADB的度数．（不必解答）【特例探究】小聪先从特殊问题开始研究，当α=90°，β=30°时，利用轴对称知识，以AB为对称轴构造△ABD 的轴对称图形△ABD′，连接CD′（如图2），然后利用α=90°，β=30°以及等边三角形等相关知识便可解决这个问题．请结合小聪研究问题的过程和思路，在这种特殊情况下填空：△D′BC的形状是三角形；∠ADB的度数为．【问题解决】在原问题中，当∠DBC＜∠ABC（如图1）时，请计算∠ADB的度数；【拓展应用】在原问题中，过点A作直线AE⊥BD，交直线BD于E，其他条件不变若BC=7，AD=2．请直接写出线段BE的长为．6．问题发现：如图1，在△ABC中，∠C=90°，分别以AC、BC为边向外侧作正方形ACDE和正方形BCFG．（1）△ABC与△DCF面积的关系是；（请在横线上填写“相等”或“不相等”）（2）拓展探究：若∠C≠90°，（1）中的结论还成立吗？若成立，请结合图2给出证明；若不成立，请说明理由；（3）解决问题：如图3，在四边形ABCD中，AC⊥BD，且AC与BD的和为10，分别以四边形ABCD的四条边为边向外侧作正方形ABFE、正方形BCHG、正方形CDJI、正方形DALK，运用（2）的结论，图中阴影部分的面积和是否有最大值？如果有，请求出最大值，如果没有，请说明理由．1．（1）问题发现如图1，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M．填空：①的值为；②∠AMB的度数为．（2）类比探究如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，连接AC交BD的延长线于点M．请判断的值及∠AMB的度数，并说明理由；（3）拓展延伸在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M，若OD=1，OB=，请直接写出当点C与点M重合时AC的长．2．如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD=AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．（1）观察猜想图1中，线段PM与PN的数量关系是，位置关系是；（2）探究证明把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；（3）拓展延伸把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=4，AB=10，请直接写出△PMN面积的最大值．3．（1）发现：如图1，点A为线段BC外一动点，且BC=a，AB=b．填空：当点A位于时，线段AC的长取得最大值，且最大值为（用含a，b的式子表示）（2）应用：点A为线段BC外一动点，且BC=3，AB=1，如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE．①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；②直接写出线段BE长的最大值．（3）拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），点P为线段AB 外一动点，且PA=2，PM=PB，∠BPM=90°，请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标．。
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中考几何中的类比探究解题方法分析河南省息县城郊中学敖勇河南省中考几何中的类比探究题是中考的第22题，题型以能力立意，突出“发展性”，侧重数学思想方法、数学基本活动经验的考查，试题有一定难度。
试题特点关注知识的衔接点和交汇处，综合性较强。
由于学生没有科学正确的解题方法，得分率很低。
其原因不是学生知识的能量达不到，而是类比探究题中所隐含的数学思想和几何模型没有很好地理解与运用。
初中阶段学习的几何模型主要有：奶站模型，天桥模型，倍长中线模型，弦图模型，双垂直模型，三垂直模型……还有对称，平移，旋转，相似，折叠等知识，这些基本的数学知识学生实际上已经掌握，因不能结合已知条件的特征及结论和图形的情况，灵活把握，所以不能举一反三，触类旁通。
（这些模型都隐含在教材的例题中）因此明确解题方向，正确作辅助线是我们做好几何类比探究题的最基本的思想。
那么什么叫类比探究呢？类比探究：是一类共性条件与特殊条件相结合，由特殊情形到一般情形（或由简单情形到复杂情形）逐步深入，解决思想方法一脉相承的综合性题目，常以几何综合题为主）。
解决类比探究问题的一般方法：1、根据题干条件，结合分支条件先解决第一问；2、用解决上一问的方法类比解决下一问，如果不能，两问结合起来分析，找出不能类比的原因和为变特征，依据不变的特征，探索新的方法。
类比探究：图形结构类似、问题类似、常含探究、类比等关键词。
【类比探究解题方法和思路】1、找特征（中点、特殊角、折叠等），找模型：相似（母子型、A字型、八字型）三线合一、面积等；2、借助问与问之间的联系，寻找条件和思路。
3、照搬：照搬上一问的方法，思路解决问题，如照搬字母、照搬辅助线、照搬全等、照搬相似等。
4、找结构：寻找不变的结构，利用不变结构的特征解决问题。
常见不变结构及方法：①直角：作横平竖直的线，找全等或相似； ②中点：作倍长、通过全等转移边和角； ③平行：找相似、转比例。
5、哪些是不变的，哪些是变化的。
哪些条件没有用，如何进行转化，寻找能够类比的方法和思路。
类比转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整。
（2012河南省中考数学试题第22题）原题：如图1，在□ABCD 中，点E 是BC 边的中点，点F 是线段AE 上一点，BF 的延长线交射线CD 于点G 。
若3=EF AF ，求CGCD的值。
（1）尝试探究在图1中，过点E 作EH //AB 交BG 于点H ，则AB 和EH 的数量关系是__AB=_3EH _，CG 和EH 的数量关系是__CG =_2EH_，CG CD 的值是 23（2）类比延伸如图2，在原题的条件下，若)0(>=m m EF AF ，则CG CD 的值是 2m （用含m 的代数式表示），试写出解答过程。
解：过E 点作EH ∥AB,交BG 于点H,则△ABF ∽△ EHF ∴m EHABEF AF == ∴AB=mEH ，在□ABCD 中，AB=CD ，∴CD=mEH ， 同理可证 △BEH ∽△ BCG ∴CG=2EH ∴CG CD = 2mE F CD BGA图1HE F CD BGA图2H（3）拓展迁移如图3，梯形ABCD 中，DC //AB ，点E 是BC 的延长线上一点，AE 和BD 相交于点F 。
若a CD AB =，)0,0(>>=b a b BE BC ，则EF AF 的值是AFab EF=（用含a ，b 的代数式表示）。
【解析】过E 作EH ∥AB ，交BD 延长线于点H 由题意可知:EH ∥DC ∥AB ∴BC CDBE EH =∴CD = b EH 又∵a CD AB=∴AB=a CDAF ABEF EH =∴ab EHabEH EF AF == ( 照搬：照搬上一问的方法，思路解决问题，如照搬字母、照搬辅助线、照搬全等、照搬相似等。
也就是知识的迁移。
平行：找相似、转比例。
)案例2、操作发现：如图1，在矩形ABCD 中，E 是BC 的中点，将△ABE 沿AE 折叠后得到△AFE 。
点F 在矩形ABCD 内部，延长AF 交CD 于点G ．猜想线段GF 与GC 有何数量关系？并证明你的结论． （2）类比探究：如图（2），将（1）中的矩形ABCD 改为平行四边形，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．解：分析：（1）根据翻折的性质得出BE=EF ，∠B=∠EFA ，利用三角形全等的判定得△ECG ≌△EFG ，即可得出答案；（2）利用平行四边形的性质，首先得出∠C=180°-∠D ，∠EFG=180°-∠AFE=180°-∠B=180°-∠D ，进而得出∠ECG=∠EFG ，再利用EF=EC ，得出∠EFC=∠ECF ，即可得出答案．解答：解：（1）猜想线段GF=GC ，证明：连接EG ，E FCD BA图3H∵E是BC的中点，∴BE=CE，∵将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，∴BE=EF，∴EF=EC，∵EG=EG，∠C=∠EFG=90°，∴△ECG≌△EFG（HL），∴FG=CG；（2）（1）中的结论仍然成立．证明：连接EG，FC，∵E是BC的中点，∴BE=CE，∵将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，∴BE=EF，∠B=∠AFE，∴EF=EC，∴∠EFC=∠ECF，∵矩形ABCD改为平行四边形，∴∠B=∠D，∵∠ECD=180°-∠D，∠EFG=180°-∠AFE=180°-∠B=180°-∠D，∴∠ECD=∠EFG，∴∠GFC=∠GFE-∠EFC=∠ECG-∠ECF=∠GCF，∴∠GFC=∠GCF，∴FG=CG；即（1）中的结论仍然成立．【此题主要考查了矩形的性质与平行四边形的性质以及翻折变换、全等三角形的判定等知识，根据已知得出EF=EC，∠EFC=∠ECF是解决问题的关键．】解法二：延长AE到P交DC的延长线于点P，用倍长中线的方法更简单。
口诀：倍长中线等中线，等量关系一大片。
（如下图）案例3，如图，在△ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，点E 在AC 上，BE 交CD 于点G ，EF ⊥BE 交AB 于点F ，（1）如图1：若EA=CE ，探索线段EF 与EG 的数量关系，并证明你的结论； （2）如图2：若EA=2CE ，探索线段EF 与EG 的数量关系，并证明你的结论； （3）若EA=kCE ，探索线段EF 与EG 的数量关系，请直接写出你的结论．（1）作EH ⊥CD ，EQ ⊥AB ，利用AAS 先证△AEQ ≌△ECH ，易得EQ=EH ，把EQ=EH 作为一个条件，再利用ASA 易证Rt △EFQ ≌Rt △EGH ，从而有EF=EG ； （2）作EH ⊥CD ，EQ ⊥AB ，先证△EFQ ∽△EGH ，易得 EHEQEG EF =， 再证△AQE ∽△EHC ，那么 12==EH EQ EC EA ， 等量代换易得2=EGEF，于是EF=2EG ； （3）根据（1）（2）的结论易得EF=kEG ． 解答：证明：作EH ⊥CD ，EQ ⊥AB ， ∵AC=BC ，CD ⊥AB ，∠ACB=90°， ∴∠ADC=90°，∠A=∠ACD=45°，PP∵EH ⊥CD ，EQ ⊥AB ， ∴∠AQE=∠EHC=90°， 又∵EA=CE ，∴△AEQ ≌△ECH ，∴EQ=EH ，∵EH ⊥CD ，EQ ⊥AB ，CD ⊥AB ， ∴四边形EQDH 是矩形， ∴∠QEH=90°，∴∠FEQ=∠GEH=90°-∠QEB ， 又∵∠EQF=∠EHG=90°，EQ=EH ， ∴Rt △EFQ ≌Rt △EGH ， ∴EF=EG ；（2）作EH ⊥CD ，EQ ⊥AB （如图2），∵EH ⊥CD ，EQ ⊥AB ，CD ⊥AB ， ∴四边形EQDH 是矩形， ∴∠QEH=90°，∴∠FEQ=∠GEH=90°-∠QEB ，又∵∠EQF=∠EHG=90°， ∴△EFQ ∽△EGH ， ∴EHEQEG EF =， ∵AC=BC ，CD ⊥AB ，∴∠ADC=90°，∠A=∠ACD=45°， ∵EH ⊥CD ，EQ ⊥AB ，∴∠AQE=∠EHC=90°， ∴△AQE 和△EHC 是等腰直角三角形， ∴△AQE ∽△EHC ，∴12==EH EQ EG EA ∴2=EGEF ∴EF=2EG ； （3）EF=kEG ．【上题基本思路：过直角顶点，作横平竖直的线，找全等或相似。
】中考数学类比探题思维误区：第一问通常是特殊的图形，题中的条件比较充分，而且一般有提示，所以学生做的时，基本上能得心应手，但做第二、三问时，往往有部分学生，没有按照第一问的思路去思考，而且是对着题干思考第二、三问，这样就陷入了“自己布置的陷阱”结果做不出来，把一道题当成三道题来做了。
第二种情况：由于第一问，图形特殊，条件充分，所以解题方法有多种，因此，在做第二题的时候，如果不能按照第一问的思路去“照搬”，就要再重新思考，第一问是否有其它的解题方法，如果有，第二问再按照另外的解题方法去类比、迁移，自然就“水到渠成”。
二〇一四年元月十九日。