2020年中考数学三轮易错复习：类比、探究类综合题(含解析)
【附2套中考卷】2020年中考数学最易出错的61个知识点
2020年中考数学最易出错的61个知识点初三同学们一轮复习已经紧张的开始了，在复习的过程中，同学们要注意知识的来源与应用，还要知道这个知识容易出错的地方，所以今天给大家汇总了考试中常常出错的八个模块的易错知识点，同学们务必记住哦！数与式易错点1：有理数、无理数以及实数的有关概念理解错误，相反数、倒数、绝对值的意义概念混淆。
以及绝对值与数的分类。
每年选择必考。
易错点2：实数的运算要掌握好与实数有关的概念、性质，灵活地运用各种运算律，关键是把好符号关；在较复杂的运算中，不注意运算顺序或者不合理使用运算律，从而使运算出现错误。
易错点3：平方根、算术平方根、立方根的区别。
填空题必考。
易错点4：求分式值为零时学生易忽略分母不能为零。
易错点5：分式运算时要注意运算法则和符号的变化。
当分式的分子分母是多项式时要先因式分解，因式分解要分解到不能再分解为止，注意计算方法，不能去分母，把分式化为最简分式。
填空题必考。
易错点6：非负数的性质：几个非负数的和为0，每个式子都为0；整体代入法；完全平方式。
易错点7：计算第一题必考。
五个基本数的计算：0 指数，三角函数，绝对值，负指数，二次根式的化简。
易错点8：科学记数法。
精确度，有效数字。
这个上海还没有考过，知道就好！易错点9：代入求值要使式子有意义。
各种数式的计算方法要掌握，一定要注意计算顺序。
方程（组）与不等式（组）易错点1：各种方程（组）的解法要熟练掌握，方程（组）无解的意义是找不到等式成立的条件。
易错点2：运用等式性质时，两边同除以一个数必须要注意不能为0 的情况，还要关注解方程与方程组的基本思想。
（消元降次）主要陷阱是消除了一个带X 公因式要回头检验！易错点3：运用不等式的性质３时，容易忘记改不改变符号的方向而导致结果出错。
易错点4：关于一元二次方程的取值范围的题目易忽视二次项系数不为0导致出错。
易错点5：关于一元一次不等式组有解无解的条件易忽视相等的情况。
易错点6：解分式方程时首要步骤去分母，分数相相当于括号，易忘记根检验，导致运算结果出错。
2020年中考数学三轮易错复习：专题13 类比、探究类综合题解析版
2020年中考数学三轮易错复习：专题13 类比、探究类综合题【例1】（2019·洛阳二模）如图 1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=4，点D，E分别是边AB，AC的中点，连接DE，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角为α，BD，EC所在直线相交所成的锐角为β．（1）问题发现当α=0°时，CEBD= ，β=（2）拓展探究试判断：当0°≤α＜360°时，CEBD和β的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．（3）在△ADE旋转过程中，当DE∥AC时，直接写出此时△CBE的面积．图1 图2【变式1-1】（2019·洛阳三模）如图 1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，AB=10，D，E两点分别是AC，CB上的点，且CD=6，DE∥AB，将△CDE绕点C顺时针旋转一周，记旋转角为α．（1）问题发现①当α=0°时，ADEB= ；②当α=90°时，ADEB= ．（2）拓展探究请你猜想当△CDE在旋转的过程中，ADEB是否发生变化？根据图2证明你的猜想．（3）问题解决在将△CDE绕点C顺时针旋转一周的过程中，当AD BE= ，此时α= ．图1 图2【例2】（2019·南阳毕业测试）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC mAC n，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F．（1）探究发现：如图1，若m＝n，点E在线段AC上，则DEDF＝；（2）数学思考：①如图2，若点E在线段AC上，则DEDF＝（用含m，n的代数式表示）；②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明；图1 图2 图3 备用图【变式2-1】（2019·开封二模）如图1，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是边CD上的点，且CE ＝4，过点E作CD的垂线，并在垂线上截取EF＝3，连接CF．将△CEF绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为a．（1）问题发现当a＝0°时，AF＝，BE＝，AEBE＝；（2）拓展探究试判断：当0°≤a°＜360°时，AEBE的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明．（3）问题解决当△CEF 旋转至A ，E ，F 三点共线时，直接写出线段BE 的长．图1 图2 备用图强化精炼1.（2018·河师大附中模拟）如图①，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，=1ABAC. 点P 是边BC 上一个动点（不与B 重合），∠PAD =90°，∠APD =∠B ，连接CD .填空：①PBCD= ;②∠ACD 的度数为 .（2）拓展探究如图②，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，=ABk AC. 点P 是边BC 上一个动点（不与B 重合），∠PAD =90°，∠APD =∠B ，连接CD . 请判断∠ACD 与∠B 的数量关系以及PB 与CD 之间的数量关系，并说明理由.（3）解决问题如图③，在△ABC 中，∠B =45°，AB ，BC =12，P 是边BC 上一动点（不与B 重合），∠PAD =∠BAC ，∠APD =∠B ，连接CD . 请直接写出所有CD 的长.① ② ③2.（2018·河南第一次大联考）如图1，在等边三角形ABC 中，点M 为BC 边上异于B 、C 的一点，以AM 为边作等边三角形AMN ，连接CN ，NC 与AB 的位置关系为__________；（2）深入探究：如图2，在等腰三角形ABC 中，BA =BC ，点M 为BC 边上异于B 、C 的一点，以AM 为边作等腰三角形AMN ，使∠ABC =∠AMN ，AM =MN ，连接CN ，试探究∠ABC 与∠ACN 的数量关系，并说明理由；（3）拓展延伸：如图3，在正方形ADBC中，AD=AC，点M为BC边上异于B、C的一点，以AM为边作正方形AMEF，点N为正方形AMEF的中点，连接CN，若BC=10，CN，试求EF的长．3.（2017·新野一模）如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°，点E，F分别是线段BC，AC的中点，连接EF．（1）说明线段BE与AF的位置关系和数量关系；（2）如图②，当△CEF绕点C顺时针旋转α（0°＜α＜90°）时，连接AF，BE，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；（3）如图③，当△CEF绕点C顺时针旋转α（0°＜α＜180°）时，延长FC交AB于点D，如果AD=6﹣α的度数．4.（2019·安阳一模）（1）问题发现：如图1，在等边△ABC中，点D为BC边上一动点，DE∥AB交AC于点E，将AD绕点D顺时针旋转60°得到DF，连接CF．则AE与FC的数量关系是__________，∠ACF的度数为_________．（2）拓展探究：如图2，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=60°，点D为BC边上一动点，DE∥AB交AC于点E，当∠ADF=∠ACF=90°时，求AEFC的值．（3）解决问题：如图3，在△ABC中，BC:AB=m，点D为BC的延长线上一点，过点D作DE∥AB交AC的延长线于点E，直接写出当∠ADF =∠ACF =∠ABC 时AEFC 的值．图1 图2 图3 5.（2019·南阳模拟）（1）【问题发现】如图1，△ABC 和△CEF 都是等腰直角三角形，∠BAC ＝∠EFC ＝90°，点E 与点A 重合，则线段BE 与AF 的数量关系为 ；（2）【拓展研究】在（1）的条件下，将△CEF 绕点C 旋转，连接BE ，AF ，线段BE 与AF 的数量关系有无变化？仅就图2的情形给出证明；（3）【问题发现】当AB ＝AC ＝2，△CEF 旋转到B ，E ，F 三点共线时候，直接写出线段AF 的长．图1 图2 备用图6.（2019·商丘二模）如图，在△ABC 和△ADE 中，∠BAC ＝∠DAE ＝90°，点P 为射线BD ，CE 的交点． （1）问题提出：如图1，若AD ＝AE ，AB ＝AC ． ①∠ABD 与∠ACE 的数量关系为 ； ②∠BPC 的度数为 ．（2）猜想论证：如图2，若∠ADE ＝∠ABC ＝30°，则（1）中的结论是否成立？请说明理由． （3）拓展延伸：在（1）的条件中，若AB ＝2，AD ＝1，若把△ADE 绕点A 旋转，当∠EAC ＝90°时，直接写出PB 的长．图1 图2 备用图7.（2019·名校模考）问题发现：图1AC D EF图2AB C D EF图3AB CDEF（1）如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝k•AC（k＞1），D是AB上一点，DE∥BC，则BD，EC的数量关系为．类比探究：（2）如图2，将△AED绕着点A顺时针旋转，旋转角为a（0°＜a＜90°），连接CE，BD，请问（1）中BD，EC的数量关系还成立吗？说明理由.拓展延伸：（3）如图3，在（2）的条件下，将△AED绕点A继续旋转，旋转角为a（a＞90°）．直线BD，CE交于F点，若AC＝1，AB，则当∠ACE＝15°时，BF•CF的值为．图1 图2 图38.（2019·枫杨外国语三模）已知，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，点D是直线AB上的动点，连接CD，以CD为边，在CD的左侧作等边△CDE，连接EB（1）问题发现：如图(1)，当CD⊥AB时，ED和EB的数量关系是 .（2）规律论证：如图(2)当点D在线段AB上运动时，(1)中ED，EB的数量关系是否仍然成立？若成立，请仅就图(2)加以证明；若不成立，请写出新的数量关系，并说明理由.（3）拓展应用：如图(3)当点D在直线AB上运动时，若AC，且△BCE恰好为等腰直角三角形时，请直接写出符合条件的AD的长.图1 图2 图39.（2017·郑州一模）如图，在矩形ABCD 中，E 为CD 的中点，F 为BE 上的一点，连结CF 并延长交AB 于点M ，MN ⊥CM 交射线AD 于点N ．（1）当F 为BE 中点时，求证：AM =CE ； （2）若2AB EF BC BF ==，求ANDN的值.10. (2019·郑州名校二模) 如图1，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD ＝AE ，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．（1）观察猜想：图1中，线段PM 与PN 的数量关系是 ，位置关系是 ； （2）探究证明：把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断△PMN 的形状，并说明理由； （3）拓展延伸：把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若AD ＝4，AB ＝10，请直接写出△PMN 面积的最大值．图1 图22020年中考数学三轮易错复习：专题13 类比、探究类综合题【例1】（2019·洛阳二模）如图 1，在 Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB =BC =4，点 D ，E 分别是边 AB ，AC 的中点，连接 DE ，将△ADE 绕点 A 按顺时针方向旋转，记旋转角为 α，BD ，EC 所在直线相交所成的锐角为 β．（1）问题发现 当 α=0°时，CEBD= ，β=（2）拓展探究试判断：当0°≤α＜360°时，CEBD和β的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明． （3）在△ADE 旋转过程中，当 DE ∥AC 时，直接写出此时△CBE 的面积．图1 图2【答案】见解析.【解析】解：（1）由题意知，AC ，CE =AE ，BD =AD =2，∴CEBD，β=∠A =45°， （2）无变化，理由如下： 延长CE 交BD 于F ，∵△ABC 、△ADE 是等腰直角三角形，∴AC AEAB AD==DAE =∠BAC =45°， ∴∠DAB =∠CAE ， ∴△ABD ∽△ACE ，∴CE ACBD AB==, ∠ABD =∠ACE ， ∴∠CFB =45°， 即β=∠CFB =45°. (3)①如图所示，S =12BC ·BE =12×4×（）； ②如下图所示，S =12BC ·BE =12×4×（）； 综上所述，在△ADE 旋转过程中，DE ∥AC 时，此时△CBE 的面积为8－或.【变式1-1】（2019·洛阳三模）如图 1，在 Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =8，AB =10，D ，E 两点分别是AC ，CB 上的点，且 CD =6，DE ∥AB ，将△CDE 绕点 C 顺时针旋转一周，记旋转角为 α．（1）问题发现①当 α=0°时，ADEB = ； ②当 α=90°时，ADEB=．（2）拓展探究请你猜想当△CDE 在旋转的过程中，ADEB是否发生变化？根据图2证明你的猜想． （3）问题解决AD在将△CDE 绕点 C 顺时针旋转一周的过程中，当 AD BE = ，此时α= ．图1 图2【答案】（1）43，43；（2）见解析；（360或300.【解析】解：（1）∵AB =10，AC =8， ∴由勾股定理得：BC =6， ①∵DE ∥AB ，∴CD CEAC BC =, 即686CE =， ∴CE =92，∴BE =32，∴AD EB =43； ②由勾股定理得：AD =10，BE =152， ∴AD EB =43； （2）不变化，理由如下： 由题意知：△DCE ∽△ACB ， ∴CD CEAC BC=， 由旋转性质得：∠ACD =∠BCE ， ∴△ACD ∽△BCE ，∴AD AC BE BC=,即8463 ADBE==.（3）由(2)知43 ADBE=，∵AD，∴BE如图，过D作DF⊥AC于F，设AF=x，则CF=8－x，由勾股定理得：（2－x2=62－（8－x）2，解得：x=5，即AF=5，CF=3，由CD=6，得∠FDC=30°，∴∠DCF=60°，即α=60°；同理可得，当α=300°时，AD，300°.【例2】（2019·南阳毕业测试）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC mAC n=，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F．（1）探究发现：如图1，若m＝n，点E在线段AC上，则DEDF＝；（2）数学思考：①如图2，若点E在线段AC上，则DEDF＝（用含m，n的代数式表示）；②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明；图1 图2 图3 备用图【答案】（1）1；（2）①mn；②见解析．【解析】解：（1）当m＝n时，即：BC＝AC，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，∵CD⊥AB，∴∠DCB+∠ABC＝90°，∴∠A＝∠DCB，∵∠FDE＝∠ADC＝90°，∴∠FDE﹣∠CDE＝∠ADC﹣∠CDE，即∠ADE＝∠CDF，∴△ADE∽△CDF，∴DEDF=ADCD，∵∠A＝∠DCB，∠ADC＝∠BDC＝90°，∴△ADC∽△CDB，∴ADCD=ACBC=1，即DEDF=1，（2）①由（1）中方法可证得：△ADE∽△CDF，△ADC∽△CDB，∴DEDF=ADCD=ACBC=nm，即DEDF=nm，②成立．∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，又∵CD⊥AB，∴∠DCB+∠ABC＝90°，∴∠A＝∠DCB，∵∠FDE＝∠ADC＝90°，∴∠FDE+∠CDE＝∠ADC+∠CDE，即∠ADE＝∠CDF，∴△ADE∽△CDF，∴DEDF=ADCD，∵∠A＝∠DCB，∠ADC＝∠BDC＝90°，∴△ADC∽△CDB，∴ADCD=ACBC=nm，∴DEDF=nm．【变式2-1】（2019·开封二模）如图1，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是边CD上的点，且CE ＝4，过点E作CD的垂线，并在垂线上截取EF＝3，连接CF．将△CEF绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为a．（1）问题发现当a＝0°时，AF＝，BE＝，AEBE＝；（2）拓展探究试判断：当0°≤a°＜360°时，AEBE的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明．（3）问题解决当△CEF旋转至A，E，F三点共线时，直接写出线段BE的长．图1 图2 备用图【答案】（1）54；（2）（3）见解析；【解析】解：（1）当a＝0°时，过点F作FG⊥AD于G，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝∠BCE＝90°，AD＝BC＝8，AB＝CD＝6，由∠G＝∠EDG＝∠DEF＝90°，知四边形DEFG是矩形，∴DG＝EF＝3，AG＝11，∵CE＝4，CD＝6，∴FG＝DE＝2，Rt△AGF中，由勾股定理得：AF＝同理，BE＝∴AEBE=54.（2）AEBE的大小无变化，理由如下：连接AC，∵AB＝6，BC＝8，EF＝3，CE＝4，∴12EFAB=，12CEBC=，∴EFAB=CEBC，∵∠CEF＝∠ABC＝90°，∴△CEF∽△CBA，∴CF CEAC BC=，∠ECF＝∠ACB，∴54CF AC CE BC ==，∠ACF ＝∠BCE ， ∴△ACF ∽△BCE ， ∴54AE CF BE CE ==，即AE BE的大小无变化； （3）当△CEF 旋转至A ，E ，F 三点共线时，存在两种情况：①E 在A 、F 之间，如图，连接AC ，Rt △ABC 中，由勾股定理得：AC ＝10，同理得：CF ＝5，由（2）知：54AE CF BE CE ==，Rt △AEC 中，由勾股定理得：AE ＝∴AF ＝AE +EF ＝，∴BE ＝45AF ＝45（； ②点F 在A 、E 之间时，如图所示，连接AC ，同理得：AF ＝AE ﹣EF ＝3，∴BE ＝45AF ＝45（；综上所述，BE 的值为125或125． 强化精炼1.（2018·河师大附中模拟）如图①，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，=1AB AC . 点P 是边BC 上一个动点（不与B 重合），∠PAD =90°，∠APD =∠B ，连接CD . 填空：①PB CD = ;②∠ACD 的度数为 .（2）拓展探究如图②，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，=AB k AC. 点P 是边BC 上一个动点（不与B 重合），∠PAD =90°，∠APD =∠B ，连接CD . 请判断∠ACD 与∠B 的数量关系以及PB 与CD 之间的数量关系，并说明理由.（3）解决问题如图③，在△ABC 中，∠B =45°，AB ，BC =12，P 是边BC 上一动点（不与B 重合），∠PAD =∠BAC ，∠APD =∠B ，连接CD . 请直接写出所有CD 的长.① ② ③【答案】见解析.【解析】解：（1）∵AB =AC ，∠BAC =90°，∠PAD =90°，∴∠BAP =∠CAD ，∠B =45°，∵∠APD =∠B ，∴∠APD =∠ADP =45°，∴AP =AD ，∴△ABP ≌△ACD ，∴BP =CD ，∠ACD =∠B =45°， 即PB CD=1，∠ACD =45°， 故答案为：1，45°.（2）∠ACD =∠B ，PB CD=k ，理由如下： ∵∠BAC =90°，∠PAD =90°，∠APD =∠B ，∴△ABC ∽△APD ，∴=AB AP AC AD=k ， 由∠BAP +∠PAC =∠PAC +∠CAD =90°，得：∠BAP =∠CAD ，∴△ABP ∽△CAD ，∴∠ACD =∠B ， ∴=PB AB CD AC=k . （3）①过A 作AH ⊥BC 于H ，如图所示，∵∠B =45°，∴△BAH 是等腰直角三角形，∵AB ，∴AH =BH =4，∵BC =12，∴CH =8，在Rt △ACH 中，由勾股定理得：AC ，在Rt △APH 中，由勾股定理得：PH =3，∴BP =1，∵∠PAD =∠BAC ，∠APD =∠B ，∴△ABC ∽△APD ， ∴=AB AP AC AD， 由∠BAP +∠PAC =∠PAC +∠CAD ，得：∠BAP =∠CAD ，∴△ABP ∽△CAD ， ∴=PB AB CD AC，即1CD解得：CD ， ②如图所示，过A 作AH ⊥BC 于H ，同理可得：△ABP ∽△CAD ， ∴=PB AB CD AC，即7CD解得：CD综上所述，CD 2.（2018·河南第一次大联考）如图1，在等边三角形ABC 中，点M 为BC 边上异于B 、C 的一点，以AM 为边作等边三角形AMN ，连接CN ，NC 与AB 的位置关系为__________；（2）深入探究：如图2，在等腰三角形ABC 中，BA =BC ，点M 为BC 边上异于B 、C 的一点，以AM 为边作等腰三角形AMN ，使∠ABC =∠AMN ，AM =MN ，连接CN ，试探究∠ABC 与∠ACN 的数量关系，并说明理由；（3）拓展延伸：如图3，在正方形ADBC 中，AD =AC ，点M 为BC 边上异于B 、C 的一点，以AM 为边作正方形AMEF ，点N为正方形AMEF 的中点，连接CN ，若BC =10，CN ，试求EF 的长．【答案】见解析.【解析】解：（1）NC ∥AB ；（2）∠ABC =∠ACN ，理由如下：∵AB =BC ，AM =MN ，即AB :BC =AM :MN =1，又∠ABC =∠ACN ，∴△ABC ∽△AMN ， ∴AB AC AM AN=, ∴∠BAC =12（180°－∠ABC ）， ∵AM =MN ，∴∠MAN =12（180°－∠AMN ）， 由∠ABC =∠AMN ，得∠BAC =∠MAN ，∴∠BAM =∠CAN ， 又AB AC AM AN=, ∴△ABM ∽△ACN ，∴∠ABC =∠ACN ，(3)连接AB ，AN ，∵四边形ADBC ，AMEF 为正方形，∴∠ABC =∠BAC =45°，∠MAN =45°，∴∠BAM =∠CAN ，由AB AM BC AN=, ∴AB BC AC AM AN AN ==, ∴△ABM ∽△ACN ，∴BM AB CN AC=,=，∴BM=2，∴CM=BC－BM=10－2=8，在Rt△AMC中，由勾股定理得：AM=∴EF=AM=3.（2017·新野一模）如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°，点E，F分别是线段BC，AC的中点，连接EF．（1）说明线段BE与AF的位置关系和数量关系；（2）如图②，当△CEF绕点C顺时针旋转α（0°＜α＜90°）时，连接AF，BE，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；（3）如图③，当△CEF绕点C顺时针旋转α（0°＜α＜180°）时，延长FC交AB于点D，如果AD=6﹣α的度数．【答案】见解析．【解析】（1）解：BE⊥AF，AF；理由如下：在△ABC中，∠ABC=90°，BC=2，∠A=30°，∴AC，∵点E，F分别是线段BC，AC的中点，∴BE⊥AF，BE=CE，AF=CF，∴AE AC BE BC=∴AF ；（2）解：（1）中的结论仍然成立，理由如下：∵点E ，F 分别是线段BC ，AC 的中点，∴EC =12BC ，FC =12AC ， ∴CE CF BC AC ==12， ∵∠BCE =∠ACF ，∴△BEC ∽△AFC ，∴AE AC BE BC=CBE =∠CAF ， 延长BE 交AC 于点O ，交AF 于点M ，如图所示：∵∠BOC =∠AOM ，∠CBE =∠CAF ，∴∠BCO =∠AMO =90°，即BE ⊥AF ；（3）解：∵∠ACB =90°，BC =2，∠A =30°，∴AB =2BC =4，∠B =60°，∴DB =AB ﹣AD =4﹣（6﹣﹣2，过点D 作DH ⊥BC 于点H ，如图所示：∴BH =12DB﹣1，DHDB =3又∵CH =BC ﹣BH =21）=3∴CH =DH ，∴∠HCD =45°，∴∠DCA =45°，∴α=135°．4.（2019·安阳一模）（1）问题发现：如图1，在等边△ABC 中，点D 为BC 边上一动点，DE ∥AB 交AC 于点E ，将AD 绕点D 顺时针旋转60°得到DF ，连接CF ．则AE 与FC 的数量关系是__________，∠ACF 的度数为_________．（2）拓展探究：如图2，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，∠ACB =60°，点D 为BC 边上一动点，DE ∥AB 交AC 于点E ，当∠ADF =∠ACF =90°时，求AE FC的值． （3）解决问题： 如图3，在△ABC 中，BC :AB =m ，点D 为BC 的延长线上一点，过点D 作DE ∥AB 交AC 的延长线于点E ，直接写出当∠ADF =∠ACF =∠ABC 时AE FC的值．图1 图2 图3 图1AC D E F 图2A B C D E F图3A B C D E F【答案】（1）AE =FC ，60；（2）（3）见解析；【解析】解：（1）∵△ABC 是等边三角形，DE ∥AB ，∴△DCE 是等边三角形，∴CD =DE ，∠CDE =60°，由旋转性质知，AD =DF ，∠ADF =60°，∴∠ADE =∠CDF ，∴△ADE ≌△FDC ，∴AE =FC ，∠DCF =∠DEA =120°，∴∠ACF =60°；（2）∵DE ∥AB ，∴∠EDC =∠ABC =90°，∵∠ADF =90°，∴∠ADC =∠CDF ，∵∠ACF =90°，即∠AED =∠EDC +∠ACB ，∠FCD =∠ACF +∠ACB ，∴∠AED =∠FCD ，∴△DAE ∽△DFC ， ∴AE DE CF CD=, ∵DE ∥AB ，∴△EDC ∽△ABC ， ∴DE AB CD BC=,∴AE AB CF BC =(3)与（2）证明可得：AE AB CF BC ==1m. 5.（2019·南阳模拟）（1）【问题发现】如图1，△ABC 和△CEF 都是等腰直角三角形，∠BAC ＝∠EFC ＝90°，点E 与点A 重合，则线段BE 与AF 的数量关系为 ；（2）【拓展研究】在（1）的条件下，将△CEF 绕点C 旋转，连接BE ，AF ，线段BE 与AF 的数量关系有无变化？仅就图2的情形给出证明；（3）【问题发现】当AB ＝AC ＝2，△CEF 旋转到B ，E ，F 三点共线时候，直接写出线段AF 的长．图1 图2 备用图【答案】（1）BE AF ；（2）（3）见解析.【解析】解：（1）BE AF ．∵△AFC 是等腰直角三角形，∴AC AF∵AB ＝AC∴BE ＝AB AF ；（2）BE AF ，理由如下：在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ＝45°，在Rt △EFC 中，∠FEC ＝∠FCE ＝45°，∠EFC ＝90°，∴∠ABC ＝∠FEC =45°，∴sin ∠ABC ＝sin ∠FEC 即:AC CF BC CE= ∵∠FEC ＝∠ACB ＝45°，∴∠FEC ﹣∠ACE ＝∠ACB ﹣∠ACE ．即：∠FCA ＝∠ECB ．∴△ACF ∽△BCE ，∴AC BE BC AF =∴BE AF ；（3）①当E 在B 、F 之间时，如图2，由（1）知，CF ＝EF ，在Rt △BCF 中，CF ，BC ＝，根据勾股定理得，BF∴BE ＝BF ﹣EF∵BE AF ，∴AF ﹣1；②当F 在B 、E 之间时，由（1）可证，△ACF ∽△BCE ，∴BC BE AC AF==∴BE AF ；由①知：CF ，BC ＝，BF∴BE ＝BF +EF ，BE AF ，∴AF +1．当B ，E ，F 三点共线时，线段AF 1+1．6.（2019·商丘二模）如图，在△ABC 和△ADE 中，∠BAC ＝∠DAE ＝90°，点P 为射线BD ，CE 的交点．（1）问题提出：如图1，若AD ＝AE ，AB ＝AC ．①∠ABD 与∠ACE 的数量关系为 ；②∠BPC 的度数为 ．（2）猜想论证：如图2，若∠ADE ＝∠ABC ＝30°，则（1）中的结论是否成立？请说明理由．（3）拓展延伸：在（1）的条件中，若AB ＝2，AD ＝1，若把△ADE 绕点A 旋转，当∠EAC ＝90°时，直接写出PB的长．图1 图2 备用图【答案】（1）∠ABD=∠ACE，90°；（2）（3）见解析.【解析】解：（1）①∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，∴AB＝AC，AD＝AE，∠DAB＝∠CAE．∠ABC＝∠ACB＝45°∴△ADB≌△AEC∴∠ABD＝∠ACE，②∠BPC＝180°﹣∠ABD﹣∠ABC﹣∠BCP＝180°﹣45°﹣（∠BCP+∠ACE）=180°﹣45°﹣45°=90°；（2）（1）中结论成立，理由：在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，AB AC，同理，AD，∴AD AE AB CE，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∴△ADB∽△AEC．∴∠ABD＝∠ACE；∠BPC＝180°﹣∠ABD﹣∠ABC﹣∠BCP ＝180°﹣30°﹣60°=90°，（3）解：①当点E在线段AB上时，BE ＝AB ﹣AE ＝1．在Rt △AEC 中，由勾股定理得：CE ，易证：△ADB ≌△AEC ．∴∠DBA ＝∠ECA ．∵∠PEB ＝∠AEC ，∴△PEB ∽△AEC ． ∴PB BEAC CE =， ∴2PB=∴PB ；②当点E 在BA 延长线上时，BE ＝AB +AE ＝3． 同理得：PBBEAC CE =， ∴32PBCE =∴PB ，综上所述，PB .7.（2019·名校模考）问题发现：（1）如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝k•AC（k＞1），D是AB上一点，DE∥BC，则BD，EC的数量关系为．类比探究：（2）如图2，将△AED绕着点A顺时针旋转，旋转角为a（0°＜a＜90°），连接CE，BD，请问（1）中BD，EC的数量关系还成立吗？说明理由.拓展延伸：（3）如图3，在（2）的条件下，将△AED绕点A继续旋转，旋转角为a（a＞90°）．直线BD，CE交于F点，若AC＝1，AB，则当∠ACE＝15°时，BF•CF的值为．图1 图2 图3 【答案】（1）BD＝k•EC；（2）（3）见解析．【解析】解：（1）∵DE∥BC，∴BD CEAB AC=，AD AEAB AC=,即BD AD AB CE AE AC==,∵AB＝k•AC，∴BD＝k•EC；（2）成立，理由如下：连接BD由旋转的性质可知，∠BAD＝∠CAE∵AD ABAE AC==tan∠ADE，∴△ABD∽△ACE，∴BD ABCE AC＝k，即：BD＝k•EC；（3）BF•CF的值为2或1；由（2）知△ABD∽△ACE∴∠ACE＝∠ABD＝15°∵∠ABC+∠ACB＝90°∴∠FBC+∠FCB＝90°∴∠BFC＝90°由∠BAC＝90°，AC＝1，AB ABC＝30°，∠ACB＝60°，BC＝2AC＝2，分两种情况讨论：①如图，此时，∠CBF＝30°+15°＝45°，BC＝2∴BF＝CF＝∴BF•CF＝2；②如图在BF上取点G，使∠BCG＝15°，则∠BCF＝75°，∠CBF＝∠ABC﹣∠ABD＝15°，∴∠CFB＝90°，∠GCF＝60°∴CG＝BG＝2CF，GF，BF)CF由勾股定理知：CF2+BF2＝BC2∴CF2+（CF2＝22，∴CF2＝2∴BF•CF＝（CF2＝1，即：BF•CF＝2或1．8.（2019·枫杨外国语三模）已知，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，点D是直线AB上的动点，连接CD，以CD为边，在CD的左侧作等边△CDE，连接EB（1）问题发现：如图(1)，当CD⊥AB时，ED和EB的数量关系是 .（2）规律论证：如图(2)当点D在线段AB上运动时，(1)中ED，EB的数量关系是否仍然成立？若成立，请仅就图(2)加以证明；若不成立，请写出新的数量关系，并说明理由.（3）拓展应用：如图(3)当点D在直线AB上运动时，若AC，且△BCE恰好为等腰直角三角形时，请直接写出符合条件的AD的长.图1 图2 图3【答案】（1）ED=EB；（2）（3）见解析．【解析】解：（1）∵△CDE是等边三角形，∴∠CDE=60°，∵CD⊥AB，∴∠CDB=90°，∴∠BDE=30°，∵∠B=30°，∴∠BDE=∠B，∴ED=EB；（2）成立；过点C作CF⊥AB于F，过E作EH⊥BC于H，则∠CFB=∠EHC=90°，∵∠CBA=30°，∴∠BCF=60°，∵△CED是等边三角形，∴∠DCE=60°，CE=CD，∴∠ECH=∠DCF，∴△CDF≌△CEH，∴CH=CF，在Rt△CBF中，由∠CBF=30°，得：BC=2CF，∴BH=CH=CF，即H为BC中点，∵EH=EH，∠BHE=∠CHE=90°，∴△BEH≌△CEH，∴BE=CE，∵CE=DE，∴BE=DE；（3）过点C作CH⊥AB于H，如下图所示，由题意知：AC，∴AH，CHBC=2CHBE=CE=CDBC在Rt△CDH中，由勾股定理得：DH∴AD=DH－AH；②如图所示，同理可得：DH AH，∴AD=DH+AH；综上所述，符合条件的AD.9.（2017·郑州一模）如图，在矩形ABCD中，E为CD的中点，F为BE上的一点，连结CF并延长交AB 于点M，MN⊥CM交射线AD于点N．（1）当F为BE中点时，求证：AM=CE；（2）若2AB EFBC BF==，求ANDN的值.【答案】见解析．【解析】解：（1）当F为BE中点时，即BF=EF，∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC，AB∥DC，∴∠MBF=∠CEF，∠BMF=∠ECF，∴△BMF≌△ECF，∴BM=EC．∵E为CD的中点，∴EC =12DC =12AB ， ∴AM =BM =EC ；（2）设MB =x ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD =BC ，AB =DC ，∠A =∠ABC =∠BCD =90°，AB ∥DC ， ∴2CE EF BM BF==， ∴EC =2x ，∴AB =CD =2CE =4x ，AM =AB ﹣MB =3x ， 由2AB BC=，得BC =AD =2x ， ∵MN ⊥MC ，∴∠CMN =90°，∵∠A =90°，∴∠BMC =∠ANM ，∴△AMN ∽△BCM ， ∴AN AM BM CB=, ∴32AN x x x=， ∴AN =32x ，ND =AD ﹣AN =12x ， ∴AN DN =3. 10. (2019·郑州名校二模) 如图1，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD ＝AE ，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．（1）观察猜想：图1中，线段PM 与PN 的数量关系是 ，位置关系是 ；（2）探究证明：把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断△PMN 的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若AD ＝4，AB ＝10，请直接写出△PMN 面积的最大值．图1 图2 【答案】见解析.【解析】解：（1）∵点P，N是BC，CD的中点，∴PN∥BD，PN＝12 BD，同理：PM∥CE，PM＝12 CE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴BD＝CE，∴PM＝PN，∵PN∥BD，∴∠DPN＝∠ADC，∵PM∥CE，∴∠DPM＝∠DCA，∵∠BAC＝90°，∴∠ADC+∠ACD＝90°，∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCA+∠ADC＝90°，∴PM⊥PN，故答案为：PM＝PN，PM⊥PN；（2）△PMN是等腰直角三角形．由旋转性质知，∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE，∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE，由（1）中知：PN＝12BD，PM＝12CE，PM∥CE，PN∥BD，∴PM＝PN，∠DPM＝∠DCE，∠PNC＝∠DBC，∴△PMN是等腰三角形，∵∠DPN＝∠DCB+∠PNC＝∠DCB+∠DBC，∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCE+∠DCB+∠DBC＝∠BCE+∠DBC＝∠ACB+∠ACE+∠DBC＝∠ACB+∠ABD+∠DBC＝∠ACB+∠ABC＝90°，∴△PMN是等腰直角三角形；（3）由（2）知，△PMN是等腰直角三角形，PM＝PN＝12 BD，∴当PM最大时，即BD最大时，△PMN面积最大，∴点D在BA的延长线上，BD最大，最大值为：BD＝AB+AD＝14，即PM＝7，∴S△PMN最大＝12PM2＝492。
2020年中考数学三轮易错复习：专题12 类比、探究类综合题之全等知识
2020年中考数学三轮易错复习：专题12 类比、探究类综合题之全等知识【例1】（2019·济源一模）在菱形ABCD中，∠ABC=60°，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE，点E的位置随着点P的位置变化而变化．（1）探索发现如图1，当点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE．填空：BP与CE的数量关系是，CE与AD的位置关系是．（2）归纳证明当点E在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．（选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理）（3）拓展应用如图4，当点P在线段BD的延长线上时，连接BE，若AB=BE=ADPE 的面积．图1 图2图3 图4【变式1-1】（2019·周口二模）在△ABC中，∠ABC为锐角，点M为射线AB上一动点，连接CM，以点C为直角顶点，以CM为直角边在CM右侧作等腰直角三角形CMN，连接NB．（1）如图1，图2，若△ABC为等腰直角三角形，问题初现：①当点M为线段AB上不与点A重合的一个动点，则线段BN，AM之间的位置关系是_____________，数量关系是______________；深入探究:②当点M 在线段AB 的延长线上时，判断线段BN ，AM 之间的位置关系和数量关系，并说明理由；类比拓展:（2）如图3，∠ACB ≠90°，若当点M 为线段AB 上不与点A 重合的一个动点，MP ⊥CM 交线段BN 于点P ，且∠CBA =45°，BC=BM =_________时，BP 的最大值为__________．图1 图2图3【例2】（2018·洛阳三模）在正方形ABCD 中，动点E 、F 分别从D 、C 两点出发，以相同的速度在直线DC ，CB 上移动.（1）如图1，当点E 在边CD 上自D 向C 移动，同时点F 在边CB 上自C 向B 移动时，连接AE 和DF 交于点P ，请你写出AE 与DF 的数量关系和位置关系，并说明理由；（2）如图2，当E ，F 分别在边CD ，BC 的延长线上移动时，连接AE ，DF ，（1）中的结论还成立吗？（请你直接回答“是”或“否”，不需证明）；连接AC ，请你直接写出△ACE 为等腰三角形时CE ：CD 的值；（3）如图3，当E ，F 分别在直线DC ，CB 上移动时，连接AE 和DF 交于点P ，由于点E ，F 的移动，使得点P 也随之运动，请你画出点P 运动路径的草图．若AD =2，试求出线段CP 的最大值．【变式2-1】（2019·西华县一模）如图1，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别是边BC ，AB 上的点，且CE =BF ．连接DE ，过点E 作EG ⊥DE ，使EG =DE ，连接FG ，FC ．（1）请判断：FG 与CE 的数量关系是 ，位置关系是 ；（2）如图2，若点E ，F 分别是边CB ，BA 延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？图1CBMNABC图2图3CB AMNP请作出判断并给予证明；（3）如图3，若点E，F分别是边BC，AB延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请直接写出你的判断．图1 图2 图3强化精炼：1.（2019·河南南阳一模）我们定义：如图1，在△ABC中，把AB绕点A顺时针旋转α（0°<α<180°）得到AB’，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC’，连接B’C’，当α+β=180°时，我们称△AB’C’是△ABC的“旋补三角形”，△AB’C’边B’C’上的中线AD是△ABC的旋补中线，点A叫旋补中心.特例感知：（1）在图2，图3中，△AB’C’是△ABC的“旋补三角形”，△AB’C’边B’C’上的中线AD是△ABC 的旋补中线，①如图2，当△ABC是等边三角形时，AD与BC的数量关系是②如图3，当∠BAC=90°，BC=8时，则AD的长为猜想论证：（2）如图1，当△ABC是任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明.2.（2019·郑州外国语测试）已知如图1所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D在AB上，DE⊥AB 交BC于E，点F是AE的中点，（1）写出线段FD与线段FC的关系并证明；（2）如图2所示，将△BDE绕点B逆时针旋转α（0°＜α<90°），其它条件不变，线段FD与线段FC 的关系是否变化，写出结论并证明；（3）将△BDE绕点B逆时针旋转一周，如果BC=4，BE，直接写出线段BF的范围.3.（2019·偃师一模）特殊：（1）如图 1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°．作CM平分∠ACB 交AB于点M，点D为射线CM上一点，以点C为旋转中心将线段CD逆时针旋转90°得到线段CE，连接DE交射线CB于点F，连接BD，BE．填空：①线段BD，BE的数量关系为；②线段BC，DE的位置关系为．一般：（2）如图 2，在等腰三角形ABC中，∠ACB=α，作CM平分∠ACB交AB于点M，点D为△ABC 外部射线CM上一点，以点C为旋转中心将线段CD逆时针旋转α度得到线段CE，连接DE，BD，BE．请判断（1）中的结论是否成立，请说明理由．特殊：（3）如图 3，在等边三角形ABC中，作BM平分∠ABC交AC于点M，点D为射线BM上一点，以点B为旋转中心将线段BD逆时针旋转60°得到线段BE，连接DE交射线BA于点F，连接AD，AE．若AB=4，当△ADM与△AFD全等时，请直接写出DE的值．图1 图2 图34.（2019·省实验一模）观察猜想（1）如图①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝3，点D与点A重合，点E在边BC上，连接DE，将线段DE绕点D顺时针旋转90°得到线段DF，连接BF，BE与BF的位置关系是，BE+BF＝；探究证明（2）在（1）中，如果将点D沿AB方向移动，使AD＝1，其余条件不变，如图②，判断BE与BF的位置关系，并求BE+BF的值，请写出你的理由或计算过程；拓展延伸（3）如图③，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝a，点D在边BA的延长线上，BD＝n，连接DE，将线段DE 绕着点D顺时针旋转，旋转角∠EDF＝a，连接BF，则BE+BF的值是多少？请用含有n，a的式子直接写出结论．图1 图2 图35.（2019·濮阳二模）在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝α，点D为直线BC上一动点，过点D作DF∥AC 交AB于点F，将AD绕点D顺时针旋转α得到ED，连接BE．（1）特例猜想如图1，当α＝90°时，试猜想：①AF与BE的数量关系是；②∠ABE＝；（2）拓展探究如图（2），当0°＜α＜90°时，请判断AF与BE的数量关系及∠ABE的度数，并说明理由．（3）解决问题如图（3），在△ABC中，AC＝BC，AB＝8，∠ACB＝α，点D在射线BC上，将AD绕点D顺时针旋转α得到ED，连接BE，当BD＝3CD时，请直接写出BE的长度．图1 图2 图36.（2019·开封二模）问题发现如图1，△ABC是等边三角形，点D是边AD上的一点，过点D作DE∥AC交AC于E，则线段BD与CE有何数量关系？拓展探究如图2，将△ADE绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜360°），上面的结论是否仍然成立？如果成立，请就图中给出的情况加以证明．问题解决如果△ABC的边长等于AD＝2，直接写出当△ADE旋转到DE与AC所在的直线垂直时BD的长．图1 图2 备用图7.（2019·安阳二模）（1）问题发现：如图1，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，则AB，AD，DC之间的数量关系为．（2）问题探究：如图2，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中点，点F是DC的延长线上一点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的数量关系，并证明你的结论（3）问题解决：如图3，AB∥CD，点E在线段BC上，且BE：EC＝3：4．点F在线段AE上，且∠EFD ＝∠EAB，直接写出AB，DF，CD之间的数量关系．图1 图2 图38.（2019·中原名校大联考）如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，BE，点P为DC的中点，（1）【观察猜想】图1中，线段AP与BE的数量关系是，位置关系是．（2）【探究证明】把△ADE绕点A逆时针旋转到图2的位置，（1）中的猜想是否仍然成立？若成立请证明，否请说明理由；（3）【拓展延伸】把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出线段AP长度的最大值和最小值．图1 图29.（2018·新乡一模）如图1，在△ABC与△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠A是公共角.（1）BD与CE的数量关系是：；（2）把图1的△ABC绕点A旋转一定的角度，得到如图2所示的图形.①求证：BD＝CE；②BD与CE所在直线的夹角与∠DAE的数量关系是什么？说明理由.（3）若AD=10，AB=6，把图1中的△ABC绕点A顺时针旋转α度(0°<α≤360)直接写出BD长度的取值范围.图1 图210.（2019·河南模拟）【问题探索】（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D，E分别在AC、BC边上，DC=CE，连接DE、AE、BD，点M、N、P分别是AE、BD、AB的中点，连接PM、PN、MN. 探索BE与MN的数量关系. 聪明的小华推理发现PM、PN的关系为，最后推理得到BE与MN的数量关系为.【深入探究】（2）将△DEC绕点C逆时针旋转到如图2的位置，判断（1）中的结论是否仍然成立，如果成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；2020年中考数学三轮易错复习：专题12 类比、探究类综合题之全等知识【例1】（2019·济源一模）在菱形ABCD中，∠ABC=60°，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE，点E的位置随着点P的位置变化而变化．（1）探索发现如图1，当点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE．填空：BP与CE的数量关系是，CE与AD的位置关系是．（2）归纳证明当点E在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．（选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理）（3）拓展应用如图4，当点P在线段BD的延长线上时，连接BE，若AB=BE=ADPE 的面积．图1 图2图3 图4 【答案】（1）BP=CE，CE⊥AD；（2）（3）见解析.【解析】解：（1）连接AC，延长CE至AD，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴∠BAD=120°，∴∠BAC=60°，∠CAD=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∵△APE是等边三角形，∴AP=AE，∠PAE=60°，∴∠BAP=∠CAE，∴△BAP≌△CAE，∴BP=CE，∵∠ABC=60°，∴∠ABP=30°，∵△BAP≌△CAE，∴∠ABP=∠ACE=30°，∵∠CAD=60°，∴∠ACE+∠CAD=90°，即CD⊥AD.（2）结论仍然成立，理由如下：（以图2为例）连接AC，设CE与AD交于点H，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴△ABC和△ACD是等边三角形，∠ABD=∠CBD=30°，∴AB=AC，∠BAC=60°，∵△APE是等边三角形，∴AP=AE，∠PAE=60°，∴∠BAP=∠CAE，∴△BAP≌△CAE，∴BP=CE，∠ACE=∠ABP=30°，∵∠CAH=60°，∴∠AHC=90°，即CE⊥AD；（3）连接AC交BD于O，连接CE，由（2）知，CE⊥BC，∵AB=，BE=在Rt△BCF中，由勾股定理得：CE=8，由△BAP≌△CAE，得：BP=CE，BD=6，∴DP=BP－BD=2，AO在Rt△AOP中，由勾股定理得：AP=∴S=S△ADP+S△APE=(2122⨯【变式1-1】（2019·周口二模）在△ABC中，∠ABC为锐角，点M为射线AB上一动点，连接CM，以点C为直角顶点，以CM为直角边在CM右侧作等腰直角三角形CMN，连接NB．（1）如图1，图2，若△ABC为等腰直角三角形，问题初现：①当点M为线段AB上不与点A重合的一个动点，则线段BN，AM之间的位置关系是_____________，数量关系是______________；深入探究:②当点M在线段AB的延长线上时，判断线段BN，AM之间的位置关系和数量关系，并说明理由；类比拓展:（2）如图3，∠ACB≠90°，若当点M为线段AB上不与点A重合的一个动点，MP⊥CM交线段BN于点P，且∠CBA=45°，BC=BM=_________时，BP的最大值为__________．图1 图2 图3【答案】（1）BN⊥AM，BN=AM；（2）见解析，（3）2， 1.【解析】解：（1）由AC=BC，∠ACM=∠BCN，CM=CN，可证△ACM≌△BCN，∴BN=AM，∠A=∠CBN=45°，∴∠ABN=90°，即BN⊥AM.（2）BN⊥AM，BN=AM；理由如下：图1CBMNA BC图2图3CBA MNP∵△ABC 是等腰直角三角形，∴AC =BC ，∠A =∠ABC =45°，∠ACB =90°， 同理，∠NCM =90°，NC =MC , ∴∠ACM =∠BCN ， ∴△ACM ≌△BCN ，∴BN =AM ，∠A =∠CBN =45°， ∴∠ABN =90°，即BN ⊥AM .(3)过C 作CG ⊥BC 交BA 的延长线于G ，过C 作CH ⊥AB 于H ，如图所示，易证△GCM ≌△BCN ， 由（2）知，BN ⊥AB ， ∴△CHM ∽△MBP ，∴CH HMBM BP =, 即44BM BM BP-=, 设BM =x ， 则BP =()21214x -+， ∴当BM =2时，BP 取最小值，最小值为1.【例2】（2018·洛阳三模）在正方形ABCD 中，动点E 、F 分别从D 、C 两点出发，以相同的速度在直线AGDC，CB上移动.（1）如图1，当点E在边CD上自D向C移动，同时点F在边CB上自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，请你写出AE与DF的数量关系和位置关系，并说明理由；（2）如图2，当E，F分别在边CD，BC的延长线上移动时，连接AE，DF，（1）中的结论还成立吗？（请你直接回答“是”或“否”，不需证明）；连接AC，请你直接写出△ACE为等腰三角形时CE：CD的值；（3）如图3，当E，F分别在直线DC，CB上移动时，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动路径的草图．若AD=2，试求出线段CP的最大值．【答案】见解析.【解析】解：（1）AE=DF，AE⊥DF，理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=DC，∠ADE=∠DCF=90°，由题意知：DE=CF，∴△ADE≌△DCF，∴AE=DF，∠DAE=∠FDC，∵∠ADE=90°，∴∠ADP+∠CDF=90°，∴∠ADP+∠DAE=90°，∴∠APD=180°﹣90°=90°，∴AE⊥DF；（2）（1）中的结论还成立，CE：CD或2，理由如下：①如图，当AC=CE时，设正方形ABCD的边长为a，由勾股定理得：AC=CE a，则CE：CD a：a；②如图，当AE=AC时，设正方形ABCD的边长为a，由勾股定理得：AC=AE a，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC=90°，即AD⊥CE，∴DE=CD=a，∴CE：CD=2a：a=2；故，CE：CD或2；（3）∵点P在运动中∠APD=90°，∴点P的路径是以AD为直径的圆，如图，设AD的中点为Q，连接CQ并延长交圆Q于点P，此时CP的长度最大，在Rt△QDC中，由勾股定理得：QC，∴CP=QC+QP，即线段CP．【变式2-1】（2019·西华县一模）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，AB上的点，且CE=BF．连接DE，过点E作EG⊥DE，使EG=DE，连接FG，FC．（1）请判断：FG与CE的数量关系是，位置关系是；（2）如图2，若点E，F分别是边CB，BA延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请作出判断并给予证明；（3）如图3，若点E，F分别是边BC，AB延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请直接写出你的判断．图1 图2 图3【答案】（1）FG=CE，FG∥CE；（2）（3）见解析．【解析】解：（1）FG=CE，FG∥CE；∵BF=CE，BC=CD，∠FBC=∠DCE=90°，∴△BCF≌△CDE，∴∠DEC=∠CFB，∵∠CFB+∠FCB=90°，∴∠DEC+∠FCB=90°，即CF⊥DE，∵DE⊥EG，∴EG∥CF，∴EG=DE=CF，∴四边形FCEG是平行四边形，∴FG=CE，FG∥CE；（2）∵BF=CE，BC=CD，∠FBC=∠DCE=90°，∴△BCF≌△CDE，∴∠DEC=∠CFB，CF=DE，∵∠CFB+∠FCB=90°，∴∠DEC+∠FCB=90°，即CF⊥DE，∵DE⊥EG，∴EG∥CF，∴EG=DE=CF，∴四边形FCEG是平行四边形，∴FG=CE，FG∥CE；（3）成立．由上可证：△CBF≌△DCE，得：∠BCF=∠CDE，CF=DE，∵EG=DE，∴CF=EG，∵DE⊥EG∴∠DEC+∠CEG=90°∵∠CDE+∠DEC=90°∴∠CDE=∠CEG，∴∠BCF=∠CEG，∴CF∥EG，∴四边形CEGF平行四边形，∴FG∥CE，FG=CE．强化精炼：1.（2019·河南南阳一模）我们定义：如图1，在△ABC中，把AB绕点A顺时针旋转α（0°<α<180°）得到AB’，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC’，连接B’C’，当α+β=180°时，我们称△AB’C’是△ABC的“旋补三角形”，△AB’C’边B’C’上的中线AD是△ABC的旋补中线，点A叫旋补中心.特例感知：（1）在图2，图3中，△AB’C’是△ABC的“旋补三角形”，△AB’C’边B’C’上的中线AD是△ABC 的旋补中线，①如图2，当△ABC是等边三角形时，AD与BC的数量关系是②如图3，当∠BAC=90°，BC=8时，则AD的长为猜想论证：（2）如图1，当△ABC是任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明.【分析】（1）①由△ABC是等边三角形，得AB=BC=AC=AB’=AC’，∠BAC=60°，∠BAC+∠B’AC’=180°，得∠B’=∠C’=30°，即BC=2AD；②可利用“直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半”，证得：BC=2AD，AD=4；（2）BC=2AD，利用倍长中线构造全等三角形，延长AD至M使DM=AD，连接B’M，C’M，证得△ABC≌△B’AM，得BC=AM，BC=2AD.【解析】解：（1）①∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=AB’=AC’，∠BAC=60°，∵DB’=DC’，∴AD⊥B’C’，∵BAC+∠B’AC’=180°，∴∠B’AC’=120°，∴∠B’=∠C’=30°，∴BC=2AD，即：答案为BC=2AD.②∵∠BAC=90°，BAC+∠B’AC’=180°，∴∠B’AC’=∠BAC=90°∵AB=AB’，AC=AC’，∴△BAC≌△B’AC’，∴BC=B’C’，∵B’D=DC’，∴BC=2AD，∵BC=8，∴AD=4；（2）结论：BC=2AD，理由如下：如图，延长长AD至M使DM=AD，连接B’M，C’M，∵AD=DM，B’D=DC’，∴四边形AC’MB’是平行四边形，∴AC’=B’M=AC，∵∠BAC+∠B’AC’=180°，∠AB’M+∠B’AC’=180°，∴∠BAC=∠AB’M，∵AB=AB’，∴△BAC≌△AB’M，∴BC=AM，即BC=2AD.2.（2019·郑州外国语测试）已知如图1所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D在AB上，DE⊥AB 交BC于E，点F是AE的中点，（1）写出线段FD与线段FC的关系并证明；（2）如图2所示，将△BDE绕点B逆时针旋转α（0°＜α<90°），其它条件不变，线段FD与线段FC 的关系是否变化，写出结论并证明；（3）将△BDE绕点B逆时针旋转一周，如果BC=4，BE，直接写出线段BF的范围.【答案】见解析.【解析】解：（1）FD=FC，FD⊥FC，理由如下：由题意知：∠ADE=∠ACE=90°，AF=EF，∴DF=AF=EF=CF，∴∠FAD=∠FDA，∠FAC=∠FCA，∴∠DFE=∠FDA+∠FAD=2∠FAD，∠EFC=2∠FAC，∵CA=CB，∠ACB=90°，∴∠BAC=∠B=45°，∴∠DFC=∠EFD+∠EFC=2（∠FAD+∠FAC）=90°，∴FD=FC，FD⊥FC.（2）结论不变，理由如下：延长AC至M使得CM=AC，延长ED至N，使DN=DE，连接BN、BM、EM、AN，延长ME交AN于H，交AB于O，如图所示，∵BC⊥AM，AC=CM，∴AB=BM，同理得：BE=BN，∵∠ABM=∠EBN，∠NBA=∠EBM，∴△ABN≌△MBE，∴AN=EM，∠BAN=∠BME，∵AF=FE，AC=CM，∴CF=12EM，CF∥EM，同理，FD=12AN，FD∥AN，∴FD=FC，∵∠BME+∠BOM=90°，∠BOM=∠AOH，∴∠BAN+∠AOH=90°，∴∠AHO=90°，即AN⊥MH，∴FD⊥FC.（3）由题意知，当点E落在线段AB上时，BF的长最大，如图所示，此时BF，当点E落在AB的延长线上时，BF的长最小，如图所示，此时，BF，≤BF.3.（2019·偃师一模）特殊：（1）如图 1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°．作CM平分∠ACB 交AB于点M，点D为射线CM上一点，以点C为旋转中心将线段CD逆时针旋转90°得到线段CE，连接DE交射线CB于点F，连接BD，BE．填空：①线段BD，BE的数量关系为；②线段BC，DE的位置关系为．一般：（2）如图 2，在等腰三角形ABC中，∠ACB=α，作CM平分∠ACB交AB于点M，点D为△ABC 外部射线CM上一点，以点C为旋转中心将线段CD逆时针旋转α度得到线段CE，连接DE，BD，BE．请判断（1）中的结论是否成立，请说明理由．特殊：（3）如图 3，在等边三角形 ABC 中，作 BM 平分∠ABC 交 AC 于点 M ，点 D 为射线 BM 上一点，以点 B 为旋转中心将线段 BD 逆时针旋转 60°得到线段 BE ，连接 DE 交射线 BA 于点 F ，连接 AD ，AE ．若 AB =4，当△ADM 与△AFD 全等时，请直接写出 DE 的值．图1 图2图3【答案】（1）BD =BE ，BC ⊥DE ；（2）（3）见解析.【解析】解：（1）由题意知：∠ACM =∠BCM =45°，由旋转知，∠DCE =90°，CD =CE ，∴∠ECB =∠DCB =45°，∵BC =BC ，∴△BCD ≌△BCE ，∴BD =BE ，∵CD =CE ，∴BC 是线段DE 的垂直平分线，∴BC ⊥DE ，（2）成立，理由如下，∵CM 平分∠ACB ，∠ACB =α，∴∠ACM =∠BCM =2α，由旋转知，∠DCE =α，CD =CE ，∴∠BCD =∠BCE =2α又∵BC =BC ，∴△BCD ≌△BCE ，∴BD =BE ，∵CD =CE ，∴BC 是线段DE 的垂直平分线，∴BC ⊥DE .（3）①如图3，可证得：∠ABE =∠ABD =30°，AB ⊥DE ，由△ADM ≌△ADF ，得：∠FAD =∠MAD =30°，∴AF =BF =2，∴DE =2DF ，在Rt △ADF 中，DF =AF ·tan ∠DAF即DE. ②如下图所示，同理，得∠FBD =30°，AB =AD =4，∠ADF =∠ADM =30°，∴DE =2DF综上所述，DE4.（2019·省实验一模）观察猜想（1）如图①，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝3，点D 与点A 重合，点E 在边BC 上，连接DE ，将线段DE 绕点D 顺时针旋转90°得到线段DF ，连接BF ，BE 与BF 的位置关系是 ，BE +BF ＝ ；探究证明B（2）在（1）中，如果将点D沿AB方向移动，使AD＝1，其余条件不变，如图②，判断BE与BF的位置关系，并求BE+BF的值，请写出你的理由或计算过程；拓展延伸（3）如图③，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝a，点D在边BA的延长线上，BD＝n，连接DE，将线段DE 绕着点D顺时针旋转，旋转角∠EDF＝a，连接BF，则BE+BF的值是多少？请用含有n，a的式子直接写出结论．图1 图2 图3【答案】（1）BF⊥BE；BC；（2）（3）见解析.【解析】解：（1）∵∠EAF＝∠BAC＝90°，∴∠EAF－∠BAE＝∠BAC－∠BAE,∴∠BAF＝∠CAE，∵AF＝AE，AB＝AC，∴△BAF≌△CAE，∴∠ABF＝∠C，BF＝CE，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠C＝45°，∴∠FBE＝∠ABF+∠ABC＝90°，BC＝BE+EC＝BE+BF，故答案为: BF⊥BE，BC．（2）过D作DH∥AC交BC于H，∵DH∥AC，∴∠BDH＝∠A＝90°，△DBH是等腰直角三角形，由（1）可证得：BF ⊥BE ，BF +BE ＝BH ，∵AB ＝AC ＝3，AD ＝1，∴BD ＝DH ＝2，∴BH ＝，∴BF +BE ＝BH ＝；（3）过D 作DH ∥AC 交BC 的延长线于H ，作DM ⊥BC 于M ．∵AC ∥DH ，∴∠ACH ＝∠H ，∠BDH ＝∠BAC ＝α，∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB∴∠DBH ＝∠H ，∴DB ＝DH ，∵∠EDF ＝∠BDH ＝α，∴∠BDF ＝∠HDE ，∵DF ＝DE ，DB ＝DH ，∴△BDF ≌△HDE ，∴BF ＝EH ，∴BF +BE ＝EH +BE ＝BH ，∵DB ＝DH ，DM ⊥BH ，∴BM ＝MH ，∠BDM ＝∠HDM ，∴BM ＝MH ＝BD •sin2α． ∴BF +BE ＝BH ＝2n •sin 2α． 5.（2019·濮阳二模）在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝α，点D 为直线BC 上一动点，过点D 作DF ∥AC 交AB 于点F ，将AD 绕点D 顺时针旋转α得到ED ，连接BE ．（1）特例猜想如图1，当α＝90°时，试猜想：①AF与BE的数量关系是；②∠ABE＝；（2）拓展探究如图（2），当0°＜α＜90°时，请判断AF与BE的数量关系及∠ABE的度数，并说明理由．（3）解决问题如图（3），在△ABC中，AC＝BC，AB＝8，∠ACB＝α，点D在射线BC上，将AD绕点D顺时针旋转α得到ED，连接BE，当BD＝3CD时，请直接写出BE的长度．图1 图2 图3【答案】（1）AF＝BF，90°；（2）（3）见解析.【解析】解：（1）设AB交DE于O．∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠ABC＝45°，∵DF∥AC，∴∠FDB＝∠C＝90°，∴∠DFB＝∠DBF＝45°，∴DF＝DB，∵∠ADE＝∠FDB＝90°，∴∠ADF＝∠EDB，∵DA＝DE，∴△ADF≌△EDB，∴AF＝BE，∵∠AOD＝∠EOB，∴∠ABE＝∠ADO＝90°，所以答案为AF＝BF，90°．（2）结论：AF＝BE，∠ABE＝α．理由如下：∵DF‖AC∴∠ACB＝∠FDB＝α，∠CAB＝∠DFB，∵AC＝BC，∴∠ABC＝∠CAB，∴∠ABC＝∠DFB，∴DB＝DF，∵∠ADF＝∠ADE﹣∠FDE，∠EDB＝∠FDB﹣∠FDE，即∠ADF＝∠EDB，∵AD＝DE，∴△ADF≌△EDB，∴AF＝BE，∠AFD＝∠EBD∵∠AFD＝∠ABC+∠FDB，∠DBE＝∠ABD+∠ABE，∴∠ABE＝∠FDB＝α．（3）分两种情况讨论：①当点D在线段BC上时，由（2）可知：BE＝AF，∵DF∥AC，∴14 AF CDBA BC==，∵AB＝8，∴AF＝2，②当点D在BC的延长线上时，∵AC∥DF，∴12 AF CDBA BC==，∵AB＝8，∴AF＝4，即BE=4，综上所述，BE的长度为2或4．6.（2019·开封二模）问题发现如图1，△ABC是等边三角形，点D是边AD上的一点，过点D作DE∥AC交AC于E，则线段BD与CE有何数量关系？拓展探究如图2，将△ADE绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜360°），上面的结论是否仍然成立？如果成立，请就图中给出的情况加以证明．问题解决如果△ABC的边长等于AD＝2，直接写出当△ADE旋转到DE与AC所在的直线垂直时BD的长．图1 图2 备用图【答案】见解析．【解析】解：（1）如图1，BD＝CE，理由是：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∵DE∥BC，∴△ADE是等边三角形，即AD=AE，∴BD＝CE；（2）结论仍然成立，由图1得：AD＝AE，由旋转性质得：∠BAD＝∠CAE，∵AB=AC，∴△BAD≌△CAE，∴BD＝CE；（3）分两种情况讨论，①如图所示，过D作DG⊥AB，垂足为G，∵AF⊥DE，AD=AE，∴∠DAF＝∠EAF＝30°，∴∠BAD＝30°，由AD＝2，得：DG＝1，AG由AB＝BG，由勾股定理得：BD＝2．②如图，由（2）中证明可知：△BAD≌△CAE，∴BD＝CE，∵AD＝AE，DE⊥AC，∠ADE＝60°∴∠EAF＝∠FAD＝30°，∴EF＝FD＝12AD＝1，∴AF，∴CF＝AC+CF＝，在Rt△EFC中，由勾股定理得：EC＝，∴BD＝EC＝，综上所述，BD的长为2或．7.（2019·安阳二模）（1）问题发现：如图1，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，则AB，AD，DC之间的数量关系为．（2）问题探究：如图2，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中点，点F是DC的延长线上一点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的数量关系，并证明你的结论（3）问题解决：如图3，AB∥CD，点E在线段BC上，且BE：EC＝3：4．点F在线段AE上，且∠EFD ＝∠EAB，直接写出AB，DF，CD之间的数量关系．图1 图2 图3【答案】（1）AD＝AB+CD；（2）（3）见解析．【解析】解：（1）结论：AD＝AB+CD．理由：∵AB∥CF，∴∠CFE＝∠EAB，∵CE＝EB，∠CEF＝∠AEB，∴△CEF≌△BEA，∴AB＝CF．∵AF平分∠DAB，∴∠DAF＝∠EAB，∵∠EAB＝∠CFE，∴∠DAF＝∠DFA，∴AD＝DF，∵DF＝DC+CF＝CD+AB，∴AD＝AB+CD．（2）结论：AB＝AF+CF．理由：延长AE、DC交于G，∵AB∥DG，∴∠G＝∠EAB，∵CE＝EB，∠CEG＝∠BEA，∴△CEG≌△BEA，∴AB＝CG，∠G＝∠EAB，∵AE平分∠FAB，∴∠FAG＝∠EAB，∵∠G＝∠EAB，∴∠FAG＝∠G，∴FA＝FG，∵CG＝CF+FG＝CF+AF，∴AB＝AF+CF．（3）结论：AB＝34（CD+DF）．延长AE、CD交于G．∵CG∥AB，∴34BE ABCE CG==，∠G＝∠A，∴AB＝34 CG，∵∠DFE＝∠A，∴∠DFG＝∠G，∴DF＝DG，∴CD+DF＝CD+DG＝CG，∴AB＝34（CD+DF）．8.（2019·中原名校大联考）如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，BE，点P为DC的中点，（1）【观察猜想】图1中，线段AP与BE的数量关系是，位置关系是．（2）【探究证明】把△ADE绕点A逆时针旋转到图2的位置，（1）中的猜想是否仍然成立？若成立请证明，否请说明理由；（3）【拓展延伸】把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出线段AP长度的最大值和最小值．图1 图2【答案】（1）AP＝12BE，PA⊥BE；（2）（3）见解析．【解析】解：（1）设PA交BE于点O．∵AD＝AE，AC＝AB，∠DAC＝∠EAB，∴△DAC≌△EAB，∴BE＝CD，∠ACD＝∠ABE，∵∠DAC＝90°，DP＝PC，∴PA＝12CD＝PC＝PD，∴PA＝12BE，∠C＝∠PAE，∵∠CAP+∠BAO＝90°，∴∠ABO+∠BAO＝90°，∴∠AOB＝90°，∴PA⊥BE，（2）结论成立．理由：延长AP至M，使PM＝PA，连接MC，延长PA交BE于O．∵PA＝PM，PD＝PC，∠APD＝∠CPM，∴△APD≌△MPC，∴AD＝CM，∠ADP＝∠MCP，∴AD∥CM，∴∠DAC+∠ACM＝180°，∵∠BAC＝∠EAD＝90°，∴∠EAB＝∠ACM，∵AB＝AC，AE＝CM，∴△EAB≌△MCA，∴BE＝BM，∠CAM＝∠ABE，∵PA＝12AM，PA＝12BE，∵∠CAM+∠BAO＝90°，∴∠ABE+∠BAO＝90°，∴∠AOB＝90°，∴PA⊥BE．（3）∵AC＝10，CM＝4，∴10﹣4≤AM≤10+4，∴6≤AM≤14，∵AM＝2AP，∴3≤PA≤7．∴PA的最大值为7，最小值为3．9.（2018·新乡一模）如图1，在△ABC与△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠A是公共角.（1）BD与CE的数量关系是：；（2）把图1的△ABC绕点A旋转一定的角度，得到如图2所示的图形.①求证：BD＝CE；②BD与CE所在直线的夹角与∠DAE的数量关系是什么？说明理由.（3）若AD=10，AB=6，把图1中的△ABC绕点A顺时针旋转α度(0°<α≤360)直接写出BD长度的取值范围.图1 图2【答案】（1）=；（2）（3）见解析.【解析】解：∵AD =AE ，AB =BC ，∴AD －AB =AE －AC ，即BD =CE ；（2）①∵∠DAE =∠BAC ，∴∠DAE +∠BAE =∠BAC +∠BAE .即∠BAD =∠CAE .在△ABD 和△ACE 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△ACE （SAS ）∴BD=CE.②BD 与CE 所在直线的夹角与∠DAE 的度数相等.延长DB 交CE 于点F .∵△ABD ≌△ACE ，∴∠ADB =∠AEC∵∠AOD =∠EOF ， ∴180°-∠ADB -∠AOD =180°-∠AEC -∠EOF ，即∠DAE =∠DFE③当B 在线段AD 上时，BD 最小，最小值为10－6=4；当B 在线段DA 延长线上时，BD 最大，最大值为10+6=16，即4≤BD ≤16.10.（2019·河南模拟）【问题探索】（1）如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，点D ，E 分别在AC 、BC 边上，DC =CE ，连接DE 、AE 、BD ，点M 、N 、P 分别是AE 、BD 、AB 的中点，连接PM 、PN 、MN . 探索BE 与MN 的数量关系. 聪明的小华推理发现PM 、PN 的关系为 ，最后推理得到BE 与MN 的数量EC关系为.【深入探究】（2）将△DEC绕点C逆时针旋转到如图2的位置，判断（1）中的结论是否仍然成立，如果成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；【答案】见解析.【解析】解：（1）PM=PN，PM⊥PM；BE MN；∵AM=ME，AP=PB，∴PM∥BE，PM=12 BE，同理：PN∥AD，PN=12 AD，∵AC=BC，CD=CE，∴AD=BE，∴PM=PN，∵∠ACB=90°，∴AC⊥BC，∴∵PM∥BC，PN∥AC，∴PM⊥PN，∴△PMN的等腰直角三角形，∴MN PM，∴MN×12 BE，∴BE MN.（2）结论仍然成立．连接AD、延长BE交AD于点H．∵△ABC和△CDE是等腰直角三角形，∴CD=CE，CA=CB，∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACD=∠ECB，∴△ECB≌△DCA，∴BE=AD，∠DAC=∠EBC，∠AHB=180°-（∠HAB+∠ABH）=180°-（45°+∠HAC+∠ABH）=∠180°-（45°+∠HBC+∠ABH）=90°，∴BH⊥AD，∵M、N、P分别为AE、BD、AB的中点，∴PM∥BE，PM=12BE，PN∥AD，PN=12AD，∴PM=PN，∠MPN=90°，∴BE=2PM MN MN．。
2020年九年级数学备战中考,类比探究专练(带图解答案)
类比探究专练训练1、(2020年辉县，一摸）问题发现：如图，在正方形ABCD中，点E 是BC上的动点,点F是CD上的动点，∠EAF=45°，则线段BE,EF,DF 之间的数量关系是（）（截长补短）延长CB到G，使得BG=DF，再证全等（2）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，点E是1∠BAD，则线段BE,EF,DF BC上的动点，点F是CD上的动点，∠EAF=2之间有什么数量关系？并说明理由（3）①如第二个图，点E在CB的延长线上，F是直线CD上的动点，（2）中的其他条件不变，请直接写出线段BE,EF,DF之间的数量关系是（）②如下图，若∠B+∠D≠180°（2）中的其他条件不变，请直接写出线段BE,EF,DF之间的数量关系是（）旋转结构1、在△ABC和△ADE中，BA=BC,DA=DE,且∠ABC=∠ADE=α，点E在△ABC的内部，连接EC,EB,EA,BD，并且∠ACE+∠ABE=90°观察猜想：（1）如图，当α=60°时，线段BD和CE的数量关系为（），线段EA,EB,EC的数量关系为（）（2）如图，当α=90°时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明，若不成立，请说明理由（3）在（2）的条件下，当点E在线段CD上时，若BC=52,请直接写出△BDE 的面积222102522121=∴=∴=→===∴===∴BD m AB BC AD EC DE DE BD AE AD EC BD AEC ADB ΘΘΘ又∽△△/2（2019年郑州一中三模）等腰直角三角形ABC 中，AC=BC=24,E 为AC 中点，以CE 为斜边作如图所示等腰直角三角形CED ， （1）观察猜想：如图，过点D 作DF ⊥AE 于点F ，交AB 于点G ，线段CD 与BG 的关系为（ ）延长CD交AB于点H，CD⊥BG，且CD=BG（2）如图，将△CDE绕点C顺时针旋转到如图所示位置，过点D作DF⊥AE于点F，过点B作DE的平行线与直线FD交于点G，（1）中结论是否成立？请说明理由过点C作GH⊥CE，交ED的延长线于点H，△BCH和△ACE属于旋转全等，易证BH⊥AE，∵DF⊥AE，∴BH∥DF,∵BG∥HE，∴BHDG是平行四边形,∴CD⊥BG，且CD=BG（3）拓展延伸：如图所示，点E，D,G共线时，直接写出DG的长度3、（2019年周口二模）在△ABC中，∠ABC是锐角，点M在射线AB上运动，连接CM，将线段CM绕点C逆时针旋转90°，得到CN，连接MN．（1）问题初现：若BC=A C，∠ABC=90°，当M在线段AB上时（不与点A重合），如图1所示，请你直接写出线段BN和AM的位置关系是________，数量关系是__________；（2）深入探究：当M在线段AB的延长线上时，如图2所示，请你判断（1）中结论是否成立，并证明你的判断；（3）类比拓展：如图，∠ACB≠90°，点M在线段AB上运动且不与点A重合，MP⊥CM交线段BN于点P，且∠CBA=45°，BC=24，当BM=（）时，BP的最大值为（）/4、在△ABC中，若AB=AC，∠BAC=90°，D为直线BC上一动点（不与点B,C重合），以AD为腰作等腰直角三角形DAE，使∠DAE=90°，连接CE（1）观察猜想：如图1所示，当D在线段B C上时，BC和CE 的位置关系是（），CE,DC,BC之间的数量关系为（）EDCBA（2）数学思考：当D 在线段CB 的延长线上时，请你判断（1）中结论是否成立，并证明你的判断；（3）拓展延伸：当点D 在线段BC 的延长线上时，将△DAF 沿线段DE 翻折，使得点A 与点E 重合，连接CE,CF,若4CD=BC ，AC=22,请直接写出线段CF 的长CF235、在菱形ABCD中，∠ABC=60°，点P在射线BD上，以AP为边向右侧作等边△APF，点F的位置随着点P的位置变化而变化（1）当点F在菱形ABCD内部或边上时，连接CF,BP与CF的数量关系是（）CF与AD的位置关系是（）当点F在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立请证明；若不成立，请说明理由（3）当点P 在线段BD 的延长线上时，连接BF ，若AB=32,BF=192,求四边形ADPF 的面积6、如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,点D为射线BC 上任意一点，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接CE（1）如图，当点D在BC边上（不与点B,C重合）时，请直接写出∠BCE的度数（2） 如图，当点D 在BC 的延长线上时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由（3）如图，在（2）的条件下，连接ED 并延长，交AC 的延长线于点F,若AC=4,AD=6，请直接写出线段CF 的长594661353135324541=∴=∴==∴︒=∠+∠︒=∠+∠︒=∠=∠FC FA DC FDAC DA DA FA DACFAD F ∽△△，7、（2015年河南中考卷22题）如图1，在Rt △ABC 中，∠B =90°，BC =2AB =8，点D ，E 分别是边BC ，AC 的中点，连接DE ．将△EDC 绕点C 按顺时针方向旋转，记旋转角为α． （1）问题发现①当︒=0α时，_____________=BD AE； ②当︒=180α时，__________AEBD=． BCA图1D E2545252,4548,4==∴====∴=∴==BD AE EC AE DC BD AC BC AB251256125652,54==∴==∴==BD AE BD AE CE AC（2）拓展探究试判断：当0°≤α<360°时，DBAE的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明．EDAC图225854212154,8,4524,2===∴∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∠=∠=====∴==BC AC BD AE BCD ACE CA CE BCD ACE BC CD AC BC AB CE DC DE ∽△△Θ（3）问题解决当△EDC 旋转至A ，D ，E 三点共线时，直接写出线段BD 的长．备用图AC541181,41815421,41==∴∴∴====∴=====AC BD ABCD BC AD CD AB AD AC E D CD AB 是矩形由勾股定理算出/8、（2019年南阳模拟）（1）在等腰直角三角形ABC 和等腰直角三角形CFE 中，∠BAC=∠EFC=90°,当点E,A 重合时，BE,AF 的数量关系是（ ）（2）将△CEF 绕点C 旋转，连接BE,AF ，线段BE 和AF 的数量关系有无变化？仅就下图给出证明22121==∴∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∠=∠=ACBCAF BE ACF BCE CFCE ACF BCE BC AC ∽△△ （3）当AB=AC=2,△CEF 旋转到B,E,F 三点共线时，直角写出线段AF 的长⎪⎩⎪⎨⎧+=-=∴=⎪⎩⎪⎨⎧+=-==∴===∴131322626622222121AF AF AF BE BE BE BF BC EF CF ACF BCE 相似比是∽△△Θ最小时，底当且仅当PQ mm m m S S s ABCPQC A PQB 33213311=-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯=-= ()m m m m b a abb a 32302222•≥+∴≥-≥+Θ9、（2019年焦作一模）如图1，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD =AE ，连接DC ，BE ，点P 为DC 的中点．（1）观察猜想图1中，线段AP 与BE 的数量关系是________，位置关系是________； （2）探究证明把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，小航猜想（1）中的结论仍然成立，请你证明小航的猜想； （3）拓展延伸把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若AD =4，AB =10，请直接写出线段AP 的取值范围．PEDA BC 图1()BE AP BE CD AP ⊥==,21211()BE AP BE AP ⊥=,212倍长中线法：延长AP 到F ，使得PF=AP 易证AD=CF=AEACF BAE AC AB ACF BAE CF AE ςς≌∴⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠= ()410410213+≤≤-=BE BEAP/10、(2019年镇平三模）如图，已知直角三角形ABC ，∠ACB=90°，∠BAC=30°，点D 是AC 边上一点，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，连接BD ，点F 是BD 的中点，连接EF,CF（1）发现问题：线段EF,CF 之间的数量关系为（ ）；∠EFC 的度数为（ ） （2）拓展与探究：若将△AED 绕点A 按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜30°）如图所示，（1）中的结论还成立吗？请说明理由取AB,AD 的中点M,N ，易证ANFM 是平行四边形 ∴MF=AN=NE=ND NF=AM=MB=MC∠BMF=∠MAN=∠FND∴∠ENF=60°-∠FND=∠FMC=60°-∠BMFFCEF ENF FMC NFMC ENF FMC NE MF =∴∴⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=ςς≌ ()()︒=∠+∠+∠+∠=∠+∠+∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠+∠=∠120FBC ABD FCB MCF FCB FBC ABD MCF DFCABD MCF DFC NFD EFN EFC （3）拓展与运用：如图所示，将△AED 绕点A 旋转的过程中，当点D 落在AB 边上时，AB 边上另有一个点G ，AD=DG=GB,BC=3，连接EG ，请直接写出EG 的长度()735.05.222=+=EG11、（2019年新乡模拟）在等腰直角三角形ABC 和等腰直角三角形ADE 中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=4,AE=2,其中△ABC 固定，△ADE 绕点A 做旋转，点F,M,N 分别为线段BE,BC,CD 的中点，连接MN,NF（1）问题提出：如图，当AD 在线段AC 上，∠MNF 的度数为（ ）线段MN 和NF 的数量关系为（ ）辅助线作法：连接CE,BD,并延长BD交CE于点G易证△BAD≌△CAE,得到BD=CE,BD⊥CE由中位线定理知：MN和MF相等且垂直，∴∠MNF=45°（2）深入讨论：如图，当AD不在线段AC上时，请求出∠MNF的度数，线段MN和NF的数量关系辅助线作法：连接CE,BD,易证△BAD≌△CAE,得到BD=CE,BD⊥CE由中位线定理知：MN和MF相等且垂直，∴∠MNF=45°（3）拓展延伸：如图，△ADE持续旋转过程中，若CE与BD交点为P，则△BCP面积的最小值为（）以点A为圆心AD长为半径作圆，当PB与圆相切时，点P到BC的距离最小，△BCP的面积最小△ABD≌△ACE可证出ADPE为正方形12、(2019年宛城一模）已知在△ABC中，CA=CB，0°＜∠ACB≤90°。
2020年数学中考重难点突破之类比、拓展类探究
类比、拓展类探究1．(1)【观察猜想】如图①，点B、A、C在同一条直线上，DB⊥BC，EC⊥BC且∠DAE＝90°，AD＝AE，则线段BC、BD、CE之间的数量关系为________；(2)【问题解决】如图②，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CB＝4，AB＝2，以AC为直角边向外作等腰Rt△DAC，连接BD，求BD的长；(3)【拓展延伸】如图③，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，CB＝4，AB＝2，DC＝DA，请直接写出BD的长．第1题图解：(1)BC＝CE＋BD；【解法提示】∵∠B＝90°，∠DAE＝90°，∴∠D＋∠DAB＝∠DAB＋∠EAC＝90°，∴∠D＝∠EAC，∵∠B＝∠C＝90°，AD＝AE,∴△ADB≌△EAC，∴BD＝AC，EC＝AB，∴BC＝AB＋AC＝CE＋BD；(2)如解图①，过点D 作DE ⊥AB 交BA 的延长线于点E ，第1题解图①易证△ABC ≌△DEA ， ∴DE ＝AB ＝2，AE ＝BC ＝4， ∴BE ＝AB ＋AE ＝6，在Rt △BED 中，由勾股定理得BD ＝62＋22＝210； (3)BD 的长为3 2.【解法提示】如解图②，过点D 作DE ⊥BC 于点E ，作DF ⊥AB 交BA 的延长线于点F ，则四边形BEDF 为矩形．第1题解图②易证△CED ≌△AFD ， ∴CE ＝AF ，ED ＝DF ， ∴四边形BEDF 为正方形， ∴BE ＝DF ＝BF ＝DE . 设AF ＝x ，DF ＝y ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝42＋x ＝y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝3， ∴BF ＝2＋1＝3，DF ＝3，在Rt△BDF中，由勾股定理得BD＝32＋32＝3 2.2．已知点O是△ABC内任意一点，连接OA并延长到点E，使得AE＝OA，以OB，OC为邻边作▱OBFC，连接OF，与BC交于点H，连接EF.【问题发现】(1)如图①，若△ABC为等边三角形，线段EF与BC的位置关系是________，数量关系为________；【拓展探究】(2)如图②，若△ABC为等腰直角三角形(BC为斜边)，(1)中的两个结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出正确结论再给予证明；【解决问题】(3)如图③，若△ABC是等腰三角形，AB＝AC＝2，BC＝3，请你直接写出线段EF的长．第2题图解：(1)EF⊥BC，EF＝3BC；【解法提示】如解图①，连接AH，第2题解图①∵四边形OBFC是平行四边形，∴BH＝HC＝12BC，OH＝HF，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，AH⊥BC，∴AH＝32BC，∵OA＝AE，OH＝HF，∴AH是△OEF的中位线，∴AH∥EF，AH＝12EF，∴EF⊥BC，32BC＝12EF，∴EF⊥BC，EF＝3BC.(2)EF⊥BC仍然成立，但EF＝BC.证明：如解图②，连接AH，第2题解图②∵四边形OBFC是平行四边形，∴BH＝HC＝12BC，OH＝HF，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AH⊥BC，AH＝BH＝12BC，∵OA＝AE，OH＝HF，∴AH是△OEF的中位线，∴AH∥EF，AH＝12EF，∴EF⊥BC，12BC＝12EF，∴EF⊥BC，EF＝BC；(3)线段EF的长为7.【解法提示】如解图③，连接AH，第2题解图③∵四边形OBFC是平行四边形，∴BH＝HC＝12BC，OH＝HF，∵△ABC是等腰三角形，AB＝AC＝2，BC＝3，∴AH＝AB2－BH2＝7 2，∵OA＝AE，OH＝HF，∴AH是△OEF的中位线，∴AH＝12EF，∴EF＝2AH＝7.3．在等边△ABC中，F为BC的中点，D为BC上的动点，以AD为边作等边△ADE，过点F作AB的平行线FG，交AE于点G.【特例发现】(1)如图①，当点D 与点F 重合时，直线CE 和AB 的位置关系是________；DG 与AE 的位置关系是________．【类比探究】(2)如图②，当点D 移动到如图所示的位置时，上述结论还成立吗？如果成立，请写出证明过程；如果不成立，请说明理由．【拓展延伸】(3)如图③，在四边形ABCD 中，AB ＝AC ＝BC ，∠ADB ＝60°，过点A 作AE ⊥BD 于点E ，过点E 作EF ∥CD 交AC 于点F ，若AD ＝5，CD ＝32，请直接写出线段EF 的长度．第3题图解：(1)CE ∥AB ；DG ⊥AE .【解法提示】∵△ABC 与△ADE 为等边三角形， ∴AB ＝AC ，AF ＝AE ，∠BAC ＝∠F AE ＝∠ABF ＝60°， ∵∠BAC ＝∠BAF ＋∠F AC ，∠F AE ＝∠F AC ＋∠CAE ， ∴∠BAF ＝∠CAE ，∴△ABF ≌△ACE ，∴∠ACE ＝∠ABF ＝60°，∴∠BAC ＝∠ACE ，∴CE ∥AB ， ∵AB ∥FG ，∴CE ∥FG ∥AB ，∵点F 为BC 的中点，∴点G 为AE 的中点， ∵△AEF 为等边三角形，∴DG ⊥AE . (2)结论仍然成立．证明如下：∵△ABC 和△DAE 均为等边三角形， ∴∠BAC ＝∠DAE ＝60°，AB ＝AC ，AD ＝AE ， ∴∠BAD ＝∠CAE ，∴△ABD ≌△ACE ，∴∠ACE ＝∠ABF ＝60°，∴∠ACE ＝∠BAC ，∴AB ∥CE . ∵FG ∥AB ，∴AB ∥FG ∥CE ，∵点F 是BC 的中点，∴点G 是AE 的中点， ∵△ADE 为等边三角形，∴DG ⊥AE . (3)线段EF 的长为74.【解法提示】如解图，过点A 作AG ＝AD ，交BD 于点G ，延长EF 交AD 于点H ，第3题解图∵∠ADB ＝60°，AB ＝AC ＝BC ， ∴△ABC 和△ADG 均为等边三角形，∴∠BAC ＝∠DAG ＝∠AGD ＝60°，AG ＝AD ＝5， ∴∠BAG ＝∠CAD ，∠AGB ＝120°，∴△ABG ≌△ACD ，∴∠AGB ＝∠ADC ＝120°，∴∠CDE ＝120°－60°＝60°. 又∵∠AGD ＝60°，∴CD ∥AG . ∵EF ∥CD ，∴EF ∥CD ∥AG . 在等边△ADG 中，∵AE ⊥GD ，∴点E 是DG 的中点，∴点H 是AD 的中点， ∴EH 是△ADG 的中位线，∴EH ＝12AG ＝52. 在△ACD 中，∵FH ∥CD ，∴FH 是△ACD 的中位线，∴FH ＝12CD ＝34， ∴EF ＝EH －FH ＝52－34＝74. 4．【问题发现】(1)如图①，点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，∠EAF ＝45°，连接EF ，则线段BE 、EF 、DF 之间的数量关系为________；【拓展探究】(2)如图②，在△ADC 中，AD ＝2，CD ＝4，∠ADC 是一个不固定的角，以AC 为边向△ADC 的另一侧作等边△ABC ，连接BD ，则BD 的长是否存在最大值？若存在，请求出其最大值；若不存在，请说明理由；【解决问题】(3)如图③，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，BC ＝42，若BD ⊥CD ，垂足为点D ，则对角线AC 的长是否存在最大值？若存在，请直接写出其最大值；若不存在，请说明理由．第4题图解：(1)BE＋DF＝EF；【解法提示】如解图①，延长CD至点G，使得DG＝BE，第4题解图①∵在正方形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠ADG＝90°，∴△ABE≌△ADG，∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝45°，∠BAD＝90°，∴∠BAE＋∠DAF＝45°，∴∠DAG＋∠DAF＝45°，即∠GAF＝∠EAF，又∵AF＝AF，∴△AEF≌△AGF，∴EF＝GF＝DG＋DF＝BE＋DF.（2）存在．在等边△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝60°，如解图②，将△ABD绕着点B顺时针旋转60°，得到△BCE，连接DE.第4题解图②由旋转可得，CE＝AD＝2，BD＝BE，∠DBE＝60°，∴△DBE是等边三角形，∴DE＝BD，∵DE≤DC＋CE＝4＋2＝6，∴当D、C、E三点共线时，DE存在最大值，且最大值为6，∴BD的最大值为6；(3)存在，AC的最大值为22＋2 6.【解法提示】如解图③，以BC为边作等边△BCE，过点E作EF⊥BC于点F，连接DE，则BC＝BE，∠CBE＝60°.F第4题解图③∵AB＝AD，∠BAD＝60°，∴△ABD为等边三角形，∴AB＝BD，∠ABD＝60°.∴∠ABD＋∠CBD＝∠CBE＋∠CBD，即∠ABC＝∠DBE，∵AB＝BD，∠ABC＝∠DBE，BC＝BE，∴△ABC≌△DBE，∴AC ＝DE ，∵在等边△BCE 中，EF ⊥BC ， ∴BF ＝12BC ＝12×42＝22， ∴EF ＝3BF ＝3×22＝26，以BC 为直径作⊙F ，则点D 在⊙F 上，连接DF ， ∴DF ＝12BC ＝22，∴AC ＝DE ≤DF ＋EF ＝22＋26， 即AC 的最大值为22＋2 6. 5.【问题发现】(1)如图①，△ACB 和△DCE 均为等边三角形，点A 、D 、E 在同一直线上，连接BE ；填空：①∠AEB 的度数为________；②线段AD 、BE 之间的数量关系为________． 【拓展探究】(2)如图②，△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB ＝∠DCE ＝90°，点A 、D 、E 在同一直线上，CM 为△DCE 中DE 边上的高，连接BE .请判断∠AEB 的度数及线段CM 、AE 、BE 之间的数量关系，并说明理由；【解决问题】(3)如图③，在正方形ABCD 中，CD ＝2，若点P 满足PD ＝1，且∠BPD ＝90°，请直接写出．．．．点A 到BP 的距离．第5题图解：(1)①60°；②AD＝BE；【解法提示】①∵△ABC和△DCE均为等边三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝60°，∵∠ACD＋∠DCB＝∠DCB＋∠BCE＝60°，∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴∠ADC＝∠BEC，AD＝BE，∵∠CDE＝∠CED＝60°，∴∠ADC＝∠BEC＝120°，∴∠AEB＝∠BEC－∠CED＝60°.②由①得△ACD≌△BCE，∴AD＝BE.(2)∠AEB＝90°，AE＝BE＋2CM；理由：∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB－∠DCB＝∠DCE－∠DCB，即∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴AD＝BE，∠BEC＝∠ADC＝180°－45°＝135°，∴∠AEB＝∠BEC－∠CED＝135°－45°＝90°.在等腰直角三角形DCE中，CM为斜边DE上的高，∴CM＝DM＝ME，∴DE＝2CM，∴AE＝AD＋DE＝BE＋2CM.(3)3－12或3＋12.【解法提示】∵PD＝1，∠BPD＝90°，∴BP是以点D为圆心，以1为半径的⊙D的切线，点P为切点．第一种情况：如解图①，过点A作AM⊥BP于点M，过点A作AP的垂线，交BP于点P′，可证得△APD≌△AP′B，∴PD＝P′B＝1，AP′＝AP，∵CD＝2，∴BD＝2，∵PD＝1，∴PB＝3，∴AM＝12PP′＝12(PB－P′B)＝3－12.第5题解图第二种情况：如解图②，同理可得AM ＝12PP ′＝12(PB ＋BP ′)＝3＋12. 综上所述，点A 到BP 的距离为3－12或3＋12.6．如图①，以▱ABCD 的较短边CD 为一边作菱形CDEF ，使点F 落在边AD 上，连接BE ，交AF 于点G .(1)猜想BG 与EG 的数量关系，并说明理由； (2)延长DE ，BA 交于点H ，其他条件不变， ①如图②，若∠ADC ＝60°，求 DGBH 的值；②如图③，若∠ADC ＝α(0°<α<90°)，直接写出．．．．DG BH 的值．(用含α的三角函数表示)第6题图解：(1)BG ＝EG ； 理由如下：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∵四边形CDEF是菱形，∴EF＝CD，EF∥CD，∴AB＝EF，AB∥EF，∴∠BAG＝∠EFG，∠ABG＝∠FEG，∴△ABG≌△FEG(ASA)，∴BG＝EG；(2)①由(1)知△ABG≌△FEG，∴AG＝FG，设CD＝a，FG＝b，则AB＝a，AG＝b，∵四边形CDEF是菱形，∠ADC＝60°，∴△EFD是等边三角形，∠FDE＝60°，∴DF＝CD＝a，∵AB∥CD，∴∠HAD＝60°，∴△ADH是等边三角形，∴AH＝AD＝DF＋FG＋AG＝a＋2b，∴BH＝AB＋AH＝a＋a＋2b＝2a＋2b，∵DG＝DF＋FG＝a＋b，∴DGBH＝a＋b2a＋2b＝12；②DGBH＝cosα.【解法提示】如解图，分别过点C、H作CO⊥AD于点O，HN⊥AD于点N，第6题解图∵△ABG ≌△FEG ，∴AG ＝FG ， 设CD ＝a ，FG ＝b ，则AB ＝a ，AG ＝b ， ∵四边形CDEF 是菱形，∠ADC ＝α， ∴∠ADH ＝α，∴DF ＝2DO ＝2a cos α， ∴AD ＝DF ＋FG ＋AG ＝2a cos α＋2b ， ∵AB ∥CD ，∴∠HAD ＝∠ADC ＝α， ∴AN ＝12AD ＝a cos α＋b ， ∴AH ＝ANcos ∠HAD ＝a cos α＋b cos α，∴BH ＝AB ＋AH ＝a ＋a cos α＋b cos α＝2a cos α＋bcos α，∵DG ＝DF ＋FG ＝2a cos α＋b ， ∴DG BH ＝2a cos α＋b2a cos α＋b cos α＝cos α.7．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，点O 为AB 中点，点P 为直线BC 上的动点(不与点B 、C 重合)，连接OC 、OP ，将线段OP 绕点P 顺时针旋转60°，得到线段PQ ，连接BQ .(1)如图①，当点P 在线段BC 上时，线段BQ 与CP 的数量关系为________； (2)如图②，当点P 在CB 延长线上时，(1)中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；(3)如图③，当点P在BC延长线上时，若∠BPO＝15°，BP＝4，请直接写出BQ的长．第7题图解：(1)BQ＝CP；【解法提示】如解图①，连接OQ，第7题解图①∵PQ是由OP旋转60°得到的，∴△OPQ是等边三角形，∴∠POQ＝60°，OP＝OQ.∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∵点O是AB的中点，∴OC＝OB，∴△OCB是等边三角形，∴∠COB＝60°＝∠POQ，∴∠COP＝∠BOQ，∵CO＝BO，OP＝OQ，∴△COP≌△BOQ，∴CP＝BQ；(2)成立，证明如下：如解图②，连接OQ，第7题解图②∵线段PQ是由线段PO绕点P旋转60°得到的，∴△PQO是等边三角形，∴OQ＝OP，∠POQ＝60°.∵在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠ACB＝90°，∴∠ABC＝60°，∵点O是AB的中点，∴OC＝OB，∴△OBC是等边三角形，∴∠COB＝60°＝∠POQ，∴∠COB＋∠BOP＝∠BOP＋∠POQ，即∠COP＝∠BOQ，∵OC＝OB，PO＝OQ，∴△COP≌△BOQ，∴CP＝BQ；(3)BQ的长为43－4.【解法提示】如解图③，连接OQ，第7题解图③∵线段PQ是由线段PO绕点P旋转60°得到的，∴△PQO是等边三角形，∴∠POQ＝60°，PO＝OQ，由(2)知△OBC是等边三角形，∴OB＝OC，∠BOC＝∠POQ＝60°，∴∠BOQ＝∠COP，∴△COP≌△BOQ，∴CP＝BQ，∠CPO＝∠BQO，过Q作QD⊥BP于D，∵∠QPO＝∠PQO＝60°，∠BPO＝15°，∴∠QPD＝45°，∵∠QDP＝90°，∴∠PQD＝45°，∴PD＝DQ，∴∠DQO＝15°，∵∠BQO＝∠BPO＝15°，∴∠BQD＝30°，∴BQ＝2BD，PD＝QD＝3BD，∴BP＝DB＋PD＝BD＋3BD，∵BP＝4，∴BD＝23－2，∴BQ＝2BD＝43－4.8．在△ABC和△ADE中，BA＝BC，DA＝DE，且∠ABC＝∠ADE＝α，点E 在△ABC的内部，连接EC，EB和BD，并且∠ACE＋∠ABE＝90°.(1)如图①，当α＝60°时，线段BD与CE的数量关系为________，线段EA，EB，EC的数量关系为________；(2)如图②，当α＝90°时，请写出线段EA，EB，EC的数量关系，并说明理由；(3)在(2)的条件下，当点E在线段CD上时，若BC＝25，请直接写出△BDE 的面积．第8题图解：(1)BD＝CE；BE2＋CE2＝EA2；【解法提示】∵∠ABC＝∠ADE＝α＝60°，DA＝DE，BA＝BC，∴△ADE, △ABC是等边三角形，∴∠DAE＝∠BAC＝60°，∴∠DAB＝∠EAC，∵DA＝EA，BA＝AC，∴△DAB ≌△EAC ，∴BD ＝CE ，∠DBA ＝∠ECA ，∴∠DBA ＋∠ABE ＝∠ECA ＋∠ABE ＝90°，∴BD 2＋BE 2＝DE 2.∵△ADE 是等边三角形，∴DE ＝AE ，∴BD 2＋BE 2＝AE 2即EC 2＋EB 2＝EA 2.(2)12CE 2＋BE 2＝12AE 2；理由如下：∵∠ADE ＝∠ABC ＝90°，∴∠DAE ＝∠BAC ＝45°，AE ＝2AD ，AC ＝2AB ，∴∠DAB ＝∠EAC ，∴△DAB ∽△EAC ，∴∠DBA ＝∠ECA ，BD CE ＝AD AE ＝12， ∴∠DBE ＝90°，∴BD 2＋BE 2＝DE 2，即(22CE )2＋BE 2＝(22AE )2，则12CE 2＋BE 2＝12AE 2；(3)2.【解法提示】如解图，第8题解图∵∠EBC ＋∠EBA ＝90°，∴∠EBC ＝∠ECA ，∴∠EBC ＋∠ECB ＝∠ECA ＋∠ECB ＝∠BCA ＝45°，∵点D ，E ，C 在一条直线上，∴∠BED ＝45°，∵∠DBE ＝90°，∴∠BDE ＝45°，∴BD ＝BE ，设BD ＝x ，则DE ＝CE ＝AD ＝2x ，在Rt △ADC 中，AC ＝2BC ＝210，AD 2＋CD 2＝AC 2，即(2x )2＋(22x )2＝(210)2，解得x ＝2或x ＝－2(舍)．则S △BDE ＝12BD ·BE ＝12×2×2＝2.9．已知四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 边上的点，DE 与CF 交于点G .(1)如图①，若四边形ABCD 是矩形，且DE ⊥CF .求证：DE ·CD ＝CF ·AD ；(2)如图②，若四边形ABCD 是平行四边形．试探究：当∠B 与∠EGC 满足什么关系时，使得DE ·CD ＝CF ·AD 成立？并证明你的结论；(3)如图③，若BA ＝BC ＝3，DA ＝DC ＝4，∠BAD ＝90°，DE ⊥CF ，请直接写出DE CF 的值．第9题图(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠FDC＝90°，∵CF⊥DE，∴∠DGF＝90°，∴∠ADE＋∠CFD＝90°，∠ADE＋∠AED＝90°，∴∠CFD＝∠AED，∵∠A＝∠CDF，∴△AED∽△DFC，∴DECF＝ADCD，∴DE·CD＝CF·AD；(2)解：当∠B＋∠EGC＝180°时，DE·CD＝CF·AD成立．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠ADC，AD∥BC，∴∠B＋∠A＝180°，∵∠B＋∠EGC＝180°，∴∠A＝∠EGC＝∠FGD，∵∠FDG＝∠EDA，∴△DFG∽△DEA，∴DFDG＝DEDA，∵∠B＝∠ADC，∠B＋∠EGC＝180°，∠EGC＋∠DGC＝180°，∴∠CGD＝∠CDF，∵∠GCD＝∠DCF，∴△CGD∽△CDF，∴DFDG＝CFCD，∵DFDG＝DEDA，DFDG＝CFCD，∴DE·CD＝CF·AD，即当∠B＋∠EGC＝180°时，DE·CD＝CF·AD成立；(3)解：DECF＝2524.【解法提示】如解图，过C作CN⊥AD于N，CM⊥AB交AB延长线于M，连接BD，设CN＝x，第9题解图∵∠BAD＝90°，即AB⊥AD.∴∠A＝∠M＝∠CNA＝90°，∴四边形AMCN是矩形，∴AM＝CN，AN＝CM，在△BAD和△BCD中，⎩⎪⎨⎪⎧AD＝CDAB＝BCBD＝BD，∴△BAD≌△BCD(SSS)，∴∠BCD ＝∠A ＝90°，∴∠ABC ＋∠ADC ＝180°，∵∠ABC ＋∠CBM ＝180°，∴∠MBC ＝∠ADC ，∵∠CND ＝∠M ＝90°，∴△BCM ∽△DCN ，∴CM CN ＝BC CD ，∴CM x ＝34，∴CM ＝34x ，在Rt △CMB 中，CM ＝34x ，BM ＝AM －AB ＝x －3，由勾股定理得：BM 2＋CM 2＝BC 2，∴(x －3)2＋(34x )2＝32，解得x ＝0(舍去)，x ＝9625， ∴CN ＝9625，∵∠A ＝∠FGD ＝90°，∴∠AED ＋∠AFG ＝180°，∵∠AFG ＋∠NFC ＝180°，∴∠AED ＝∠CFN ，∵∠A ＝∠CNF ＝90°，∴△AED ∽△NFC ，∴DECF＝ADCN＝49625＝2524.10. 已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E分别在BC、AC边上，连接BE、AD交于点P.设AC＝kBD，CD＝kAE，k为常数，试探究∠APE的度数：(1)如图①，若k＝1，则∠APE的度数为；(2)如图②，若k＝3，试问(1)中的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，求出∠APE的度数；(3)如图③，若k＝3，且D、E分别在CB、CA的延长线上，(2)中的结论是否成立，请说明理由．第10题图解：(1)45°；(2)(1)中的结论不成立，理由如下：作AF∥CB，BF∥AD，AF、BF相交于点F，连接EF，交AD于点H，如解图①，∵AF∥CB，BF∥AD，第10题解图①∴∠FBE ＝∠APE ，∠F AC ＝∠C ＝90°，四边形ADBF 是平行四边形． 由题意知AC ＝3BD ，CD ＝3AE ，∴AC BD ＝CD AE ＝3，又∵BD ＝AF ，∴AC AF ＝CD AE ＝3，又∵∠F AC ＝∠C ＝90°，∴△F AE ∽△ACD ，∴AC AF ＝AD EF ＝BF EF ＝3，∠FEA ＝∠ADC ，又∵∠ADC ＋∠CAD ＝90°，∴∠FEA ＋∠CAD ＝90°＝∠EHD ，∵AD ∥BF ，∴∠EFB ＝90°，在Rt △EFB 中，tan ∠FBE ＝EF BF ＝33，∴∠FBE ＝30°，∴∠APE ＝30°，∴(1)中结论不成立；(3)(2)中的结论成立，其理由如下：如解图②，作EH ∥CD ，DH ∥BE ，DH 、EH 相交于点H ，连接AH ，第10题解图②∵EH ∥CD ，DH ∥BE ，∴∠APE ＝∠ADH ，∠HEC ＝∠C ＝90°，四边形EBDH 是平行四边形， ∴BE ＝DH ，EH ＝BD ，由题意知AC ＝3BD ，CD ＝3AE ，∴AC BD ＝CD AE ＝3，又∵BD ＝EH ，∴AC EH ＝CD AE ＝3，又∵∠HEA ＝∠C ＝90°，∴△ACD ∽△HEA ，∴AD AH ＝AC EH ＝3，∠ADC ＝∠HAE ，∠CAD ＋∠ADC ＝90°，∴∠HAE ＋∠CAD ＝90°，∴∠HAD ＝90°，在Rt △DAH 中，tan ∠ADH ＝AH AD ＝33，∴∠ADH ＝30°，∴∠APE ＝30°.。
2020中考数学重难点题型——12道几何探究题解析 (扫描版)
一、方程类
易错1：方程思想概念不清晰！
易错2：一元一次方程和一元二次方程
的概念以及解的情况
易错3：易忽略一元二次方程方程根的存在性
二、函数类
易错4：分析一次函数和二次函数的定义以及与X轴的交点情况
易错5：利用数学结合思想
分析抛物线最值和开口方向问题
易错6：利用数学结合思想
分析抛物线与坐标轴的交点情况
易错7：双曲线形成的简单三角形的面积与反比例系数之间的关系问题
易错8：数形结合，抛物线与坐标轴交点
韦达定理的运用
三、圆类
易错9：优弧和劣弧分类讨论
易错10：求两平行弦之间的距离分类讨论。
精品 中考数学 三轮复习资料 第3课 中考数学易错题
第3课 易错题中考数学该怎么合理安排作题的时间?中考数学一定要合理按排时间，也就是说该放弃的题目就要放弃。
中考毕竟是选拔性考试，有些题目会有一定的难度，对这个问题要有心理准备。
一般说一道选择题只能有一到两分钟的思路，如果超过3-4分钟还没有思路就应放弃。
后面的两道难题一般思考的时间在15－20分钟左右。
对于这样的题目要根据自己的实际，选择舍去，扬长避短，先做会的，将有限的时间用来得自己能得到的分数。
建议你在整个考试过程中前面的选择题、填空题、解答题要做一个查一个，提倡边做边审，力争一步到位节约时间，为后面的大题创造出更多的时间。
一 数与式易错题：1.若|x|=x ，则-x 一定是（ ）A.正数B.非负数C.负数D.非正数2.若A 与B 都是二次多项式，则A-B ：（1）一定是二次式；（2）可能是四次式；（3）可能是一次式；（4）可能是非零常数；（5）不可能是零．上述结论中，不正确的有（ ）个．A.5B.4C.3D.23.若|m|=3，|n|=7，且m-n ＞0，则m+n 的值是（ ）A.10B.4C.-10或-4D.4或-44.对任意实数y ，多项式151022+-y y 的值是一个（ ）A.负数B.非负数C.正数D.无法确定正负5.判断=÷61293（ ） A.1 B.(31)2 C.(31)6 D.(-6)2 6.对于实数a 、b ，给出以下三个判断：①若b a =，则 b a =; ②若b a <，则 b a <; ③若b a -=，则 22)(b a =-．其中正确的判断的个数是( )A.3B.2C.1D.07.如右图所示的数轴上，点B 与点C 关于点A 对称，A 、B 两点对应的实数是3和-1，则点C 所对应的实数是（ ）A.31+B.32+C.132-D.132+8.12的负平方根介于（ ）A.-5与-4之间B.-4与-3之间C.-3与-2之间D.-2与-1之间考试进行中，如何做好心理调节1．答题前（五分钟左右） 试卷拿到后，心情一般比较紧张。
中招考试几何类比探究题集锦一参考答案
中招考试几何类比探究题集锦（附参考答案）参考答案与试题解析一．解答题（共11小题）1．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=2∠DAE=2α．（1）如图1，若点D关于直线AE的对称点为F，求证：△ABD≌△ACF；（2）如图2，在（1）的条件下，若α=45°，求证：DE2=BD2+CE2；（3）如图3，若α=45°，点E在BC的延长线上，请直接写出DE2，BD2，CE2三者之间的等量关系．【解答】解：（1）∵点D关于直线AE的对称点为F，∴EF=DE，AF=AD，∠DAE=∠EAF=α∴∠CAE+∠CAF=α∵∠BAC=2∠DAE=2α．∴∠BAD+∠CAE=∠BAC﹣∠DAE=α，∴∠BAD=∠CAF，在△ABD和△ACF中，第1页（共33页）第2页（共33页）∴△ABD ≌△ACF （SAS ），（2）由（1）知，△ABD ≌△ACF （SAS ），∴CF=BD ，∠ACF=∠B ，∵AB=AC ，∠BAC=2α，α=45°，∴△ABC 是等腰直角三角形，∴∠B=∠ACB=45°，∴∠ECF=∠ACB +∠ACF=45°+45°=90°，在Rt △CEF 中，由勾股定理得，EF 2=CF 2+CE 2，∴DE 2=BD 2+CE 2，（3）DE 2=BD 2+CE 2；理由：如图，∵∠BAC=2∠DAE=2α．∴∠DAE=α，∵点D 关于直线AE 的对称点为F ，∴EF=DE ，AF=AD ，∠DAE=∠EAF=α∴∠CAF=∠EAF +∠CAE=α+∠CAE∴∠BAD=∠BAC ﹣∠DAC=2α﹣∠DAC=2α﹣（∠DAE ﹣∠CAE ）=2α﹣（α﹣∠CAE）=α+∠CAE∴∠BAD=∠CAF，在△ABD和△ACF中，∴△ABD≌△ACF（SAS），∴CF=BD，∠ACF=∠B，∵AB=AC，∠BAC=2α，α=45°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠B=∠ACB=45°，∴∠ECF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，在Rt△CEF中，由勾股定理得，EF2=CF2+CE2，∴DE2=BD2+CE2，2．（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．猜测DE、BD、CE三条线段之间的数量关系（直接写出结果即可）．（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问第（1）题中DE、BD、CE之间的关系是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF 均为等第3页（共33页）边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断线段DF、EF的数量关系，并说明理由．【解答】解：（1）DE=BD+CE．理由如下：如图1，∵BD⊥l，CE⊥l，∴∠BDA=∠AEC=90°又∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°，∠BAD+∠ABD=90°，∴∠CAE=∠ABD在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS）∴BD=AE，AD=CE，∵DE=AD+AE，∴DE=CE+BD；（2）如图2，∵∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°﹣α，第4页（共33页）∴∠CAE=∠ABD，在△ADB和△CEA中，，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE=BD，AD=CE，∴BD+CE=AE+AD=DE；（3）DF=EF．理由如下：由（2）知，△ADB≌△CAE，BD=EA，∠DBA=∠CAE，∵△ABF和△ACF均为等边三角形，∴∠ABF=∠CAF=60°，∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，∴∠DBF=∠FAE，∵BF=AF在△DBF和△EAF中，，∴△DBF≌△EAF（SAS），∴DF=EF，∠BFD=∠AFE，第5页（共33页）∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°，∴△DEF为等边三角形．∴DF=EF．3．（1）问题发现如图1，△ABC和△ADE均为等边三角形，点D在边BC上，连接CE．请填空：①∠ACE的度数为60°；②线段AC、CD、CE之间的数量关系为AC=CD+CE．（2）拓展探究如图2，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点D在边BC 上，连接CE．请判断∠ACE的度数及线段AC、CD、CE之间的数量关系，并说明理由．（3）解决问题如图3，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD=2，CD=1，AC与BD交于点E，请直接写出线段AC的长度．第6页（共33页）【解答】解：（1）①∵△ABC和△ADE均为等边三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=∠B=60°，∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD=∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE=∠B=60°，故答案为：60°；②线段AC、CD、CE之间的数量关系为：AC=CD+CE；理由是：由①得：△BAD≌△CAE，∴BD=CE，∵AC=BC=BD+CD，∴AC=CD+CE；故答案为：AC=CD+CE；（2）∠ACE=45°，AC=CD+CE，理由是：如图2，∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，且∠BAC=∠DAE=90°，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD=∠CAE，第7页（共33页）∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE，∠ACE=∠B=45°，∵BC=CD+BD，∴BC=CD+CE，∵在等腰直角三角形ABC中，BC=AC，∴AC=CD+CE；（3）如图3，过A作AC的垂线，交CB的延长线于点F，∵∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD=2，CD=1，∴BD=2，BC=，∵∠BAD=∠BCD=90°，∴∠BAD+∠BCD=180°，∴A、B、C、D四点共圆，∴∠ADB=∠ACB=45°，∴△ACF是等腰直角三角形，由（2）得：AC=BC+CD，∴AC===．第8页（共33页）4．【探究发现】如图1，△ABC是等边三角形，∠AEF=60°，EF交等边三角形外角平分线CF所在的直线于点F，当点E是BC的中点时，有AE=EF成立；【数学思考】某数学兴趣小组在探究AE、EF的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，通过验证得出如下结论：当点E是直线BC上（B，C除外）任意一点时（其它条件不变），结论AE=EF仍然成立．假如你是该兴趣小组中的一员，请你从“点E是线段BC上的任意一点”；“点E是线段BC延长线上的任意一点”；“点E是线段BC反向延长线上的任意一点”三种情况中，任选一种情况，在备用图1中画出图形，并证明AE=EF．【拓展应用】当点E在线段BC的延长线上时，若CE=BC，在备用图2中画出图形，并运用上述结论求出S△ABC ：S△AEF的值．【解答】证明：第一种情况：点E是线段BC上的任意一点，可作三种辅助线：方法一：如图1，在AB上截取AG，使AG=EC，连接EG，第9页（共33页）∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠B=∠ACB=60°．∵AG=EC，∴BG=BE，∴△BEG是等边三角形，∠BGE=60°，∴∠AGE=120°．∵FC是外角的平分线，∠ECF=120°=∠AGE．∵∠AEC是△ABE的外角，∴∠AEC=∠B+∠GAE=60°+∠GAE．∵∠AEC=∠AEF+∠FEC=60°+∠FEC，∴∠GAE=∠FEC．在△AGE和△ECF中，∴△AGE≌△ECF（ASA），∴AE=EF；方法二：在CA上截取CG=CE，连结GE，证明类似方法一；方法三：延长FC到G，使CG=CE，连结EG，易证△CEG是等边三角形，第10页（共33页）∴CE=EG，∠G=∠ACB=60°，∠CEG=∠AEF=60°，∴∠CEG+∠CEF=∠AEF+∠CEF，即∠GEF=∠AEC，∴△GEF≌△CEA，∴AE=EF．第二种情况：点E是线段BC延长线上的任意一点如图2，可作三种辅助线：①在CF上截取CG=CE，连接GE②延长AC到G，使CG=CE，连结EG；③或延长BA到G，使BG=BE，连结EG．第②种添加辅助线的方法证明如下：证明：延长AC到G，使CG=CE，连结EG，易证△CEG为等边三角形，∴∠G=∠ECF=60°，EG=CE，又∠AEG=∠CEG+∠AEC=60°+∠AEC，∠CEF=∠AEF+∠AEC=60°+∠AEC，第11页（共33页）∴∠AEG=∠CEF，∴△AEG≌△FEC，∴AE=EF．第三种情况：点E是线段BC反向延长线上的任意一点如图3，可作三种辅助线：①延长AB到G，使BG=BE，连结EG；②延长CF到G，使CG=CE，连结EG；③在CE上截取CG=CF，连结GF现就第①种添加辅助线的方法证明如下：证明：延长AB到G，使BG=BE，连结EG，易证△BEG为等边三角形，∴∠G=∠ECF=60°，第12页（共33页）∵∠AEB+∠BAE=∠ABC=60°，∠AEB+∠CEF=∠AEF=60°，∴∠BAE=∠CEF，∵AB=BC，BG=BE，∴AB+BG=BC+BE，即AG=CE，∴△AEG≌△EFC，∴AE=EF．拓展应用：如图4：作CH⊥AE于H点，∴∠AHC=90°．由数学思考得AE=EF，又∵∠AEF=60°，∴△AEF是等边三角形，∴△ABC∽△AEF．第13页（共33页）∵CE=BC=AC，△ABC是等边三角形，∴∠CAH=30°，AH=EH．∴CH=AC，AH=AC，AE=AC，∴．∴==．5．问题情境：在Rt△ABC中，AB=BC，∠B=90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点O放在斜边AC上，将三角板绕点O旋转．（1）操作发现：当点O为AC中点时：①如图1，三角板的两直角边分别交AB，BC于E、F两点，连接EF，猜想线段AE、CF与EF之间存在的等量关系：AE2+CF2=EF2（无需证明）；②如图2，三角板的两直角边分别交AB，BC延长线于E、F两点，连接EF，判断①中的结论是否成立．若成立，请证明；若不成立，请说明理由；第14页（共33页）（2）类比延伸：当点O不是AC中点时，如图3，三角板的两直角边分别交AB，BC于E、F两点，若=，请直接写出=．【解答】解：（1）①猜想：AE2+CF2=EF2，连接OB，如图1，∵AB=BC，∠ABC=90°，O点为AC的中点，∴OB=AC=OC，∠BOC=90°，∠ABO=∠BCO=45°．∵∠EOF=90°，∴∠EOB+∠BOF=∠FOC+∠BOF．∴∠EOB=∠FOC，在△OEB和△OFC中，，∴△OEB≌△OFC（ASA）．∴BE=CF，又∵BA=BC，∴AE=BF．在Rt△EBF中，∵∠EBF=90°，∴BF2+BE2=EF2，∴AE2+CF2=EF2；故答案为：AE2+CF2=EF2；第15页（共33页）②成立．证明：连结OB．如图2，∵AB=BC，∠ABC=90°，O点为AC的中点，∴OB=AC=OC，∠BOC=90°，∠ABO=∠BCO=45°．∵∠EOF=90°，∴∠EOB=∠FOC．在△OEB和△OFC中，，∴△OEB≌△OFC（ASA）．∴BE=CF，又∵BA=BC，∴AE=BF．在Rt△EBF中，∵∠EBF=90°，∴BF2+BE2=EF2，∴AE2+CF2=EF2；（2）=，如图3，过点O作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N．∵∠B=90°，第16页（共33页）∴∠MON=90°，∵∠EOF=90°，∴∠EOM=∠FON．∵∠EMO=∠FNO=90°，∴△OME∽△ONF，∴=，∵△AOM和△OCN为等腰直角三角形，∴△AOM∽△OCN，∴=，∵=，∴=，故答案为．第17页（共33页）第18页（共33页）6．阅读发现：（1）如图①，在Rt △ABC 和Rt △DBE 中，∠ABC=∠DBE=90°，AB=BC=3，BD=BE=1，连结CD ，AE ．易证：△BCD ≌△BAE ．（不需要证明） 提出问题：（2）在（1）的条件下，当BD ∥AE 时，延长CD 交AE 于点F ，如图②，求AF 的长．解决问题：（3）如图③，在Rt △ABC 和Rt △DBE 中，∠ABC=∠DBE=90°，∠BAC=∠DEB=30°，连结CD ，AE ．当∠BAE=45°时，点E 到AB 的距离EF 的长为2，求线段CD的长为 ．【解答】（2）解：如图②中，AB与CF交于点O．由（1）可知：△BCD≌△BAE，∴∠OAF=∠OCB，CD=AE，∵∠AOF=∠COB，∴∠AFO=∠CBO=90°，∴CF⊥AE，∵BD∥AE，∴BD⊥CF，在RT△CDB中，∵∠CDB=90°，BC=3，BD=1，∴CD=AE==2，∵∠BDF=∠DFE=∠DBE=90°，∴四边形EFDB是矩形，∴EF=BD=1，∴AF=AE﹣EF=2﹣1．（3）解：在RT△ABC，RT△EBD中，∵∠ABC=∠DBE=90°，∠BAC=∠DEB=30°，∴AB=BC，BE=BD，∴==，∵∠ABC=∠EBD=90°，∴∠ABE=∠DBC，∴△ABE∽△CBD，∴==，第19页（共33页）第20页（共33页）在RT △AEF 中，∵∠AFE=90°，∠EAF=45°，EF=2，∴AF=EF=2，AE=2，∴=，∴CD=．故答案为．7．如图1，两个完全相同的三角形纸片ABC 和DEC 重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°．（1）操作发现：如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：①线段DE与AC的位置关系是DE∥AC；②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是S1=S2．（2）猜想论证当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，请猜想（1）中S1与S2的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展探究已知∠ABC=60°，BD平分∠ABC，BD=CD，BC=9，DE∥AB交BC于点E（如图4）．若在射线BA上存在点F，使S△DCF=S△BDE，请求相应的BF的长．【解答】解：（1）①∵△DEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上，∴AC=CD，∵∠BAC=90°﹣∠B=90°﹣30°=60°，第21页（共33页）∴△ACD是等边三角形，∴∠ACD=60°，又∵∠CDE=∠BAC=60°，∴∠ACD=∠CDE，∴DE∥AC；故答案为：DE∥AC；②∵∠B=30°，∠C=90°，∴CD=AC=AB，∴BD=AD=AC，根据等边三角形的性质，△ACD的边AC、AD上的高相等，∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S1=S2=×2×2=2；故答案为：S1=S2；（2）如图，∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到，∴BC=CE，AC=CD，∵∠ACN+∠BCN=90°，∠DCM+∠BCN=180°﹣90°=90°，∴∠ACN=∠DCM，∵在△ACN和△DCM中，，第22页（共33页）∴△ACN≌△DCM（AAS），∴AN=DM，∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S1=S2；（3）如图，过点D作DF1∥BE，易求四边形BEDF1是菱形，所以BE=DF1，且BE、DF1上的高相等，此时S△DCF1=S△BDE；过点D作DF2⊥BD，∵∠ABC=60°，F1D∥BE，∴∠F2F1D=∠ABC=60°，∵BF1=DF1，∠F1BD=∠ABC=30°，∠F2DB=90°，∴∠F1DF2=∠ABC=60°，∴△DF1F2是等边三角形，∴DF1=DF2，∵BD=CD，∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，∴∠DBC=∠DCB=×60°=30°，∴∠CDF1=180°﹣∠BCD=180°﹣30°=150°，∠CDF2=360°﹣150°﹣60°=150°，∴∠CDF1=∠CDF2，第23页（共33页）∵在△CDF1和△CDF2中，，∴△CDF1≌△CDF2（SAS），∴点F2也是所求的点，∵∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，DE∥AB，∴∠DBC=∠BDE=∠ABD=×60°=30°，又∵BD=4，∴BE=×6÷cos30°=3÷=2，∴BF1=2，BF2=BF1+F1F2=2+2=4，故BF的长为2或4．8．问题解决：如图（1），将正方形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上一点E（不与点C，D 重合），压平后得到折痕MN．当时，求的值．类比归纳：第24页（共33页）在图（1）中，若，则的值等于；若，则的值等于；若（n 为整数），则的值等于．（用含n的式子表示）联系拓广：如图（2），将矩形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上一点E（不与点C，D 重合），压平后得到折痕MN，设，则的值等于．（用含m，n的式子表示）【解答】解：（1）方法一：如图（1﹣1），连接BM，EM，BE．由题设，得四边形ABNM和四边形FENM关于直线MN对称．∴MN垂直平分BE，∴BM=EM，BN=EN．∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠D=∠C=90°，设AB=BC=CD=DA=2．∵，∴CE=DE=1．第25页（共33页）设BN=x，则NE=x，NC=2﹣x．在Rt△CNE中，NE2=CN2+CE2．∴x2=（2﹣x）2+12，解得x=，即BN=．在Rt△ABM和在Rt△DEM中，AM2+AB2=BM2，DM2+DE2=EM2，∴AM2+AB2=DM2+DE2．设AM=y，则DM=2﹣y，∴y2+22=（2﹣y）2+12，解得y=，即AM=（6分）∴．方法二：同方法一，BN=．如图（1﹣2），过点N做NG∥CD，交AD于点G，连接BE．∵AD∥BC，∴四边形GDCN是平行四边形．∴NG=CD=BC．同理，四边形ABNG也是平行四边形．∴AG=BN=∵MN⊥BE，∴∠EBC+∠BNM=90度．∵NG⊥BC，∴∠MNG+∠BNM=90°，第26页（共33页）∴∠EBC=∠MNG．在△BCE与△NGM中，∴△BCE≌△NGM，EC=MG．∵AM=AG﹣MG，AM=﹣1=．∴．（2）如图1，当四边形ABCD为正方形时，连接BE，=，不妨令CD=CB=n，则CE=1，设BN=x，则EN=x，EN2=NC2+CE2，x2=（n﹣x）2+12，x=；作MH⊥BC于H，则MH=BC，又点B，E关于MN对称，则MN⊥BE，∠EBC+∠BNM=90°；而∠NMH+∠BNM=90°，故∠EBC=∠NMH，则△EBC≌△NMH，∴NH=EC=1，AM=BH=BN﹣NH=﹣1=则：==．故当=，则的值等于；若=，则的值等于；第27页（共33页）（3）若四边形ABCD为矩形，连接BE，=，不妨令CD=n，则CE=1；又==，则BC=mn，同样的方法可求得：BN=，BE⊥MN，易证得：△MHN∽△BCE．故=，=，HN=，故AM=BH=BN﹣HN=，故==．故答案为：；；；．第28页（共33页）第29页（共33页）9．阅读理解：如图1，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠B=90°，点P 在BC 边上，当∠APD=90°时，易证△ABP ∽△PCD ，从而得到BP•PC=AB•CD ，解答下列问题．（1）模型探究：如图2，在四边形ABCD 中，点P 在BC 边上，当∠B=∠C=∠APD 时，结论BP•PC=AB•CD 仍成立吗？试说明理由；（2）拓展应用：如图3，M 为AB 的中点，AE 与BD 交于点C ，∠DME=∠A=∠B=45°且DM 交AC 于F ，ME 交BC 于G ．AB=，AF=3，求FG 的长．【解答】解：（1）∵∠APC=∠APD +∠CPD ，∠APC=∠BAP +∠B （三角形外角定理），∠B=∠APD （已知），∴∠BAP=∠CPD，又∵∠B=∠C，∴△ABP∽△PCD∴=，∴BP•PC=AB•CD；（2）∵∠AFM=∠DME+∠E（三角形外角定理），∠DME=∠A（已知），∴∠AFM=∠A+∠E（等量代换），又∠BMG=∠A+∠E（三角形外角定理），∴∠AFM=∠BMG．∵∠A=∠B，∴△AMF∽△BGM．当∠A=∠B=45°时，∠ACB=180°﹣∠A﹣∠B=90°，即AC⊥BC且AC=BC．∵M为AB的中点，∴AM=BM=，AC=BC=4．又∵△AMF∽△BGM，∴，∴BG===，又∵，CF=4﹣3=1，∴．第30页（共33页）10．基本模型如下图，点B、P、C在同一直线上，若∠B=∠1=∠C=90°，则△ABP∽△PCD成立，（1）模型拓展如图1，点B、P、C在同一直线上，若∠B=∠1=∠C，则△ABP∽△PCD成立吗？为什么？（2）模型应用①如图2，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=1，AB=2，BC=4，在BC上截取BP=AD，作∠APQ=∠B，PQ交CD于点Q，求CQ的长；②如图3，正方形ABCD的边长为1，点P是线段BC上的动点，作∠APQ=90°，PQ交CD于Q，当P在何处时，线段CQ最长？最长是多少？【解答】解：（1）成立，∵∠A=180°﹣（∠B+∠APB），第31页（共33页）∠CPD=180°﹣（∠1+∠APB），∠B=∠1，∴∠A=∠CPD，∵∠B=∠C，∴△ABP∽△PCD；（2）①∵四边形ABCD是等腰梯形，∴∠B=∠C，∵∠B=∠APQ，∴∠B=∠APQ=∠C，由（1）知，△ABP∽△PCD，∴=，∴=，∴CQ=；②设BP=x，CQ=y．∵∠B=∠APQ=90°，∴△ABP∽△PCQ，∴=，即=，∴y=﹣x2+x=﹣（x﹣）2+，第32页（共33页）∴当x=时，y=，最大即当P是BC的中点时，CQ最长，最长为．第33页（共33页）。
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2020年中考数学三轮易错复习：专题13 类比、探究类综合题【例1】（2019·洛阳二模）如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=4，点D，E分别是边AB，AC的中点，连接DE，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角为α，BD，EC所在直线相交所成的锐角为β．（1）问题发现当α=0°时，CEBD= ，β=（2）拓展探究试判断：当0°≤α＜360°时，CEBD和β的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．（3）在△ADE旋转过程中，当DE∥AC时，直接写出此时△CBE的面积．图1 图2【变式1-1】（2019·洛阳三模）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，AB=10，D，E两点分别是AC，CB上的点，且CD=6，DE∥AB，将△CDE绕点C顺时针旋转一周，记旋转角为α．（1）问题发现①当α=0°时，ADEB= ；②当α=90°时，ADEB= ．（2）拓展探究请你猜想当△CDE在旋转的过程中，ADEB是否发生变化？根据图2证明你的猜想．（3）问题解决在将△CDE绕点C顺时针旋转一周的过程中，当AD时，BE= ，此时α= ．图1 图2【例2】（2019·南阳毕业测试）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC mAC n，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F．（1）探究发现：如图1，若m＝n，点E在线段AC上，则DEDF＝；（2）数学思考：①如图2，若点E在线段AC上，则DEDF＝（用含m，n的代数式表示）；②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明；图1 图2 图3 备用图【变式2-1】（2019·开封二模）如图1，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是边CD上的点，且CE＝4，过点E作CD的垂线，并在垂线上截取EF＝3，连接CF．将△CEF绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为a．（1）问题发现当a＝0°时，AF＝，BE＝，AEBE＝；（2）拓展探究试判断：当0°≤a°＜360°时，AEBE的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明．（3）问题解决当△CEF 旋转至A ，E ，F 三点共线时，直接写出线段BE 的长．图1 图2 备用图强化精炼1.（2018·河师大附中模拟）如图①，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，=1ABAC. 点P 是边BC 上一个动点（不与B 重合），∠P AD =90°，∠APD =∠B ，连接CD .填空：①PBCD= ;②∠ACD 的度数为 .（2）拓展探究如图②，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，=ABk AC. 点P 是边BC 上一个动点（不与B 重合），∠P AD =90°，∠APD =∠B ，连接CD . 请判断∠ACD 与∠B 的数量关系以及PB 与CD 之间的数量关系，并说明理由.（3）解决问题如图③，在△ABC 中，∠B =45°，AB ，BC =12，P 是边BC 上一动点（不与B 重合），∠P AD =∠BAC ，∠APD =∠B ，连接CD . 请直接写出所有CD 的长.① ② ③2.（2018·河南第一次大联考）如图1，在等边三角形ABC 中，点M 为BC 边上异于B 、C 的一点，以AM 为边作等边三角形AMN ，连接CN ，NC 与AB 的位置关系为__________；（2）深入探究：如图2，在等腰三角形ABC 中，BA =BC ，点M 为BC 边上异于B 、C 的一点，以AM 为边作等腰三角形AMN ，使∠ABC =∠AMN ，AM =MN ，连接CN ，试探究∠ABC 与∠ACN 的数量关系，并说明理由；（3）拓展延伸：如图3，在正方形ADBC中，AD=AC，点M为BC边上异于B、C的一点，以AM为边作正方形AMEF，点N为正方形AMEF的中点，连接CN，若BC=10，CN，试求EF的长．3.（2017·新野一模）如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°，点E，F分别是线段BC，AC的中点，连接EF．（1）说明线段BE与AF的位置关系和数量关系；（2）如图②，当△CEF绕点C顺时针旋转α（0°＜α＜90°）时，连接AF，BE，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；（3）如图③，当△CEF绕点C顺时针旋转α（0°＜α＜180°）时，延长FC交AB于点D，如果AD=6﹣α的度数．4.（2019·安阳一模）（1）问题发现：如图1，在等边△ABC中，点D为BC边上一动点，DE∥AB交AC于点E，将AD绕点D顺时针旋转60°得到DF，连接CF．则AE与FC的数量关系是__________，∠ACF的度数为_________．（2）拓展探究：如图2，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=60°，点D为BC边上一动点，DE∥AB交AC于点E，当∠ADF=∠ACF=90°时，求AEFC的值．（3）解决问题：如图3，在△ABC中，BC:AB=m，点D为BC的延长线上一点，过点D作DE∥AB交AC的延长线于点E ，直接写出当∠ADF =∠ACF =∠ABC 时AEFC 的值．图1 2 图35.（2019·南阳模拟）（1）【问题发现】如图1，△ABC 和△CEF 都是等腰直角三角形，∠BAC ＝∠EFC ＝90°，点E 与点A 重合，则线段BE 与AF 的数量关系为 ；（2）【拓展研究】在（1）的条件下，将△CEF 绕点C 旋转，连接BE ，AF ，线段BE 与AF 的数量关系有无变化？仅就图2的情形给出证明；（3）【问题发现】当AB ＝AC ＝2，△CEF 旋转到B ，E ，F 三点共线时候，直接写出线段AF 的长．图1 图2 备用图6.（2019·商丘二模）如图，在△ABC 和△ADE 中，∠BAC ＝∠DAE ＝90°，点P 为射线BD ，CE 的交点． （1）问题提出：如图1，若AD ＝AE ，AB ＝AC ． ①∠ABD 与∠ACE 的数量关系为 ； ②∠BPC 的度数为 ．（2）猜想论证：如图2，若∠ADE ＝∠ABC ＝30°，则（1）中的结论是否成立？请说明理由． （3）拓展延伸：在（1）的条件中，若AB ＝2，AD ＝1，若把△ADE 绕点A 旋转，当∠EAC ＝90°时，直接写出PB 的长．图1 图2 备用图7.（2019·名校模考）问题发现：图1ABC D EF图2AB C D EF图3AB CDEF（1）如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝k•AC（k＞1），D是AB上一点，DE∥BC，则BD，EC 的数量关系为．类比探究：（2）如图2，将△AED绕着点A顺时针旋转，旋转角为a（0°＜a＜90°），连接CE，BD，请问（1）中BD，EC的数量关系还成立吗？说明理由.拓展延伸：（3）如图3，在（2）的条件下，将△AED绕点A继续旋转，旋转角为a（a＞90°）．直线BD，CE交于F点，若AC＝1，AB，则当∠ACE＝15°时，BF•CF的值为．图1 图2 图38.（2019·枫杨外国语三模）已知，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，点D是直线AB上的动点，连接CD，以CD为边，在CD的左侧作等边△CDE，连接EB（1）问题发现：如图(1)，当CD⊥AB时，ED和EB的数量关系是 .（2）规律论证：如图(2)当点D在线段AB上运动时，(1)中ED，EB的数量关系是否仍然成立？若成立，请仅就图(2)加以证明；若不成立，请写出新的数量关系，并说明理由.（3）拓展应用：如图(3)当点D在直线AB上运动时，若AC，且△BCE恰好为等腰直角三角形时，请直接写出符合条件的AD的长.图1 图2 图39.（2017·郑州一模）如图，在矩形ABCD 中，E 为CD 的中点，F 为BE 上的一点，连结CF 并延长交AB 于点M ，MN ⊥CM 交射线AD 于点N ．（1）当F 为BE 中点时，求证：AM =CE ； （2）若2AB EF BC BF ==，求ANDN的值.10. (2019·郑州名校二模) 如图1，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD ＝AE ，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．（1）观察猜想：图1中，线段PM 与PN 的数量关系是 ，位置关系是 ； （2）探究证明：把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断△PMN 的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若AD ＝4，AB ＝10，请直接写出△PMN 面积的最大值．图1 图2参考答案2020年中考数学三轮易错复习：专题13 类比、探究类综合题【例1】（2019·洛阳二模）如图 1，在 Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB =BC =4，点 D ，E 分别是边 AB ，AC 的中点，连接 DE ，将△ADE 绕点 A 按顺时针方向旋转，记旋转角为 α，BD ，EC 所在直线相交所成的锐角为 β．（1）问题发现 当 α=0°时，CEBD= ，β=（2）拓展探究试判断：当0°≤α＜360°时，CEBD和β的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明． （3）在△ADE 旋转过程中，当 DE ∥AC 时，直接写出此时△CBE 的面积．图1 图2【答案】见解析.【解析】解：（1）由题意知，AC ，CE =AE ，BD =AD =2，∴CEBD，β=∠A =45°， （2）无变化，理由如下： 延长CE 交BD 于F ，∵△ABC 、△ADE 是等腰直角三角形，∴AC AEAB AD==DAE =∠BAC =45°， ∴∠DAB =∠CAE ， ∴△ABD ∽△ACE ，∴CE ACBD AB==, ∠ABD =∠ACE ， ∴∠CFB =45°， 即β=∠CFB =45°. (3)①如图所示，S =12BC ·BE =12×4×（）； ②如下图所示，S =12BC ·BE =12×4×（）； 综上所述，在△ADE 旋转过程中，DE ∥AC 时，此时△CBE 的面积为8－或.【变式1-1】（2019·洛阳三模）如图 1，在 Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =8，AB =10，D ，E 两点分别是ADAC ，CB 上的点，且 CD =6，DE ∥AB ，将△CDE 绕点 C 顺时针旋转一周，记旋转角为 α．（1）问题发现 ①当 α=0°时，ADEB = ； ②当 α=90°时，ADEB= ．（2）拓展探究请你猜想当△CDE 在旋转的过程中，ADEB是否发生变化？根据图2证明你的猜想． （3）问题解决在将△CDE 绕点 C 顺时针旋转一周的过程中，当 AD 时，BE = ，此时α= ．图1 图2【答案】（1）43，43；（2）见解析；（3）260或300.【解析】解：（1）∵AB =10，AC =8， ∴由勾股定理得：BC =6， ①∵DE ∥AB ，∴CD CEAC BC =, 即686CE =， ∴CE =92，∴BE =32，∴AD EB =43； ②由勾股定理得：AD =10，BE =152，∴ADEB=43；（2）不变化，理由如下：由题意知：△DCE∽△ACB，∴CD CE AC BC=，由旋转性质得：∠ACD=∠BCE，∴△ACD∽△BCE，∴AD AC BE BC=,即8463 ADBE==.（3）由(2)知43 ADBE=，∵AD，∴BE=2如图，过D作DF⊥AC于F，设AF=x，则CF=8－x，由勾股定理得：（）2－x2=62－（8－x）2，解得：x=5，即AF=5，CF=3，由CD=6，得∠FDC=30°，∴∠DCF=60°，即α=60°；同理可得，当α=300°时，AD，60°或300°.【例2】（2019·南阳毕业测试）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC mAC n，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F．（1）探究发现：如图1，若m＝n，点E在线段AC上，则DEDF＝；（2）数学思考：①如图2，若点E在线段AC上，则DEDF＝（用含m，n的代数式表示）；②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明；图1 图2 图3 备用图【答案】（1）1；（2）①mn；②见解析．【解析】解：（1）当m＝n时，即：BC＝AC，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，∵CD⊥AB，∴∠DCB+∠ABC＝90°，∴∠A＝∠DCB，∵∠FDE＝∠ADC＝90°，∴∠FDE﹣∠CDE＝∠ADC﹣∠CDE，即∠ADE＝∠CDF，∴△ADE∽△CDF，∴DEDF=ADCD，∵∠A＝∠DCB，∠ADC＝∠BDC＝90°，∴△ADC∽△CDB，∴ADCD=ACBC=1，即DEDF=1，（2）①由（1）中方法可证得：△ADE∽△CDF，△ADC∽△CDB，∴DEDF=ADCD=ACBC=nm，即DEDF=nm，②成立．∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，又∵CD⊥AB，∴∠DCB+∠ABC＝90°，∴∠A＝∠DCB，∵∠FDE＝∠ADC＝90°，∴∠FDE+∠CDE＝∠ADC+∠CDE，即∠ADE＝∠CDF，∴△ADE∽△CDF，∴DEDF=ADCD，∵∠A＝∠DCB，∠ADC＝∠BDC＝90°，∴△ADC∽△CDB，∴ADCD=ACBC=nm，∴DEDF=nm．【变式2-1】（2019·开封二模）如图1，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是边CD上的点，且CE＝4，过点E作CD的垂线，并在垂线上截取EF＝3，连接CF．将△CEF绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为a．（1）问题发现当a＝0°时，AF＝，BE＝，AEBE＝；（2）拓展探究试判断：当0°≤a°＜360°时，AEBE的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明．（3）问题解决当△CEF旋转至A，E，F三点共线时，直接写出线段BE的长．图1 图2 备用图【答案】（1）54；（2）（3）见解析；【解析】解：（1）当a＝0°时，过点F作FG⊥AD于G，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝∠BCE＝90°，AD＝BC＝8，AB＝CD＝6，由∠G＝∠EDG＝∠DEF＝90°，知四边形DEFG是矩形，∴DG＝EF＝3，AG＝11，∵CE＝4，CD＝6，∴FG＝DE＝2，Rt△AGF中，由勾股定理得：AF＝同理，BE＝∴AEBE=54.（2）AEBE的大小无变化，理由如下：连接AC，∵AB＝6，BC＝8，EF＝3，CE＝4，∴12EFAB=，12CEBC=，∴EFAB =CEBC ，∵∠CEF ＝∠ABC ＝90°，∴△CEF ∽△CBA ， ∴CFCEAC BC =，∠ECF ＝∠ACB ， ∴54CFACCE BC ==，∠ACF ＝∠BCE ，∴△ACF ∽△BCE ， ∴54AE CF BE CE ==，即AEBE 的大小无变化；（3）当△CEF 旋转至A ，E ，F 三点共线时，存在两种情况：①E 在A 、F 之间，如图，连接AC ，Rt △ABC 中，由勾股定理得：AC ＝10，同理得：CF ＝5，由（2）知：54AECFBE CE ==，Rt △AEC 中，由勾股定理得：AE ＝∴AF ＝AE +EF ＝，∴BE ＝45AF ＝45（；②点F 在A 、E 之间时，如图所示，连接AC ，同理得：AF ＝AE ﹣EF ＝3，∴BE ＝45AF ＝45（；综上所述，BE ． 强化精炼1.（2018·河师大附中模拟）如图①，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，=1AB AC . 点P 是边BC 上一个动点（不与B 重合），∠P AD =90°，∠APD =∠B ，连接CD . 填空：①PB CD = ;②∠ACD 的度数为 .（2）拓展探究如图②，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，=AB k AC. 点P 是边BC 上一个动点（不与B 重合），∠P AD =90°，∠APD =∠B ，连接CD . 请判断∠ACD 与∠B 的数量关系以及PB 与CD 之间的数量关系，并说明理由.（3）解决问题如图③，在△ABC 中，∠B =45°，AB ，BC =12，P 是边BC 上一动点（不与B 重合），∠P AD =∠BAC ，∠APD =∠B ，连接CD . 请直接写出所有CD 的长.① ② ③【答案】见解析.【解析】解：（1）∵AB =AC ，∠BAC =90°，∠P AD =90°，∴∠BAP =∠CAD ，∠B =45°，∵∠APD =∠B ，∴∠APD =∠ADP =45°，∴AP =AD ，∴△ABP ≌△ACD ，∴BP =CD ，∠ACD =∠B =45°， 即PB CD=1，∠ACD =45°， 故答案为：1，45°.（2）∠ACD =∠B ，PBCD =k ，理由如下：∵∠BAC =90°，∠P AD =90°，∠APD =∠B ，∴△ABC ∽△APD ， ∴=ABAPAC AD =k ，由∠BAP +∠P AC =∠P AC +∠CAD =90°，得：∠BAP =∠CAD ，∴△ABP ∽△CAD ，∴∠ACD =∠B ， ∴=PB ABCD AC =k .（3）①过A 作AH ⊥BC 于H ，如图所示，∵∠B =45°，∴△BAH 是等腰直角三角形，∵AB ，∴AH =BH =4，∵BC =12，∴CH =8，在Rt △ACH 中，由勾股定理得：AC ，在Rt △APH 中，由勾股定理得：PH =3，∴BP =1，∵∠P AD =∠BAC ，∠APD =∠B ，∴△ABC ∽△APD ， ∴=AB APAC AD ，由∠BAP +∠P AC =∠P AC +∠CAD ，得：∠BAP =∠CAD ，∴△ABP ∽△CAD ， ∴=PB AB CD AC，即1CD解得：CD ， ②如图所示，过A 作AH ⊥BC 于H ，同理可得：△ABP ∽△CAD ， ∴=PB AB CD AC，即7CD解得：CD综上所述，CD ，2. 2.（2018·河南第一次大联考）如图1，在等边三角形ABC 中，点M 为BC 边上异于B 、C 的一点，以AM 为边作等边三角形AMN ，连接CN ，NC 与AB 的位置关系为__________；（2）深入探究：如图2，在等腰三角形ABC 中，BA =BC ，点M 为BC 边上异于B 、C 的一点，以AM 为边作等腰三角形AMN ，使∠ABC =∠AMN ，AM =MN ，连接CN ，试探究∠ABC 与∠ACN 的数量关系，并说明理由；（3）拓展延伸：如图3，在正方形ADBC 中，AD =AC ，点M 为BC 边上异于B 、C 的一点，以AM 为边作正方形AMEF ，点N 为正方形AMEF 的中点，连接CN ，若BC =10，CN ，试求EF 的长．【答案】见解析.【解析】解：（1）NC∥AB；（2）∠ABC=∠ACN，理由如下：∵AB=BC，AM=MN，即AB:BC=AM:MN=1，又∠ABC=∠ACN，∴△ABC∽△AMN，∴AB AC AM AN=,∴∠BAC=12（180°－∠ABC），∵AM=MN，∴∠MAN=12（180°－∠AMN），由∠ABC=∠AMN，得∠BAC=∠MAN，∴∠BAM=∠CAN，又AB AC AM AN=,∴△ABM∽△ACN，∴∠ABC=∠ACN，(3)连接AB，AN，∵四边形ADBC，AMEF为正方形，∴∠ABC=∠BAC=45°，∠MAN=45°，∴∠BAM=∠CAN，由AB AM BC AN =, ∴AB BC AC AM AN AN==, ∴△ABM ∽△ACN ， ∴BM AB CN AC=,= ∴BM =2，∴CM =BC －BM =10－2=8，在Rt △AMC 中，由勾股定理得：AM =∴EF =AM =3.（2017·新野一模）如图①，在△ABC 中，∠ACB =90°，BC =2，∠A =30°，点E ，F 分别是线段BC ，AC 的中点，连接EF ．（1）说明线段BE 与AF 的位置关系和数量关系；（2）如图②，当△CEF 绕点C 顺时针旋转α（0°＜α＜90°）时，连接AF ，BE ，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；（3）如图③，当△CEF 绕点C 顺时针旋转α（0°＜α＜180°）时，延长FC 交AB 于点D ，如果AD =6﹣α的度数．【答案】见解析．【解析】（1）解：BE ⊥AF ，AF ；理由如下：在△ABC 中，∠ABC =90°，BC =2，∠A =30°，∴AC ，∵点E ，F 分别是线段BC ，AC 的中点， ∴BE ⊥AF ，BE =CE ，AF =CF ，∴AE ACBE BC=∴AF ；（2）解：（1）中的结论仍然成立，理由如下： ∵点E ，F 分别是线段BC ，AC 的中点，∴EC =12BC ，FC =12AC ，∴CE CF BC AC ==12， ∵∠BCE =∠ACF ， ∴△BEC ∽△AFC ，∴AE ACBE BC=CBE =∠CAF ， 延长BE 交AC 于点O ，交AF 于点M ，如图所示：∵∠BOC =∠AOM ，∠CBE =∠CAF ， ∴∠BCO =∠AMO =90°， 即BE ⊥AF ；（3）解：∵∠ACB =90°，BC =2，∠A =30°， ∴AB =2BC =4，∠B =60°，∴DB =AB ﹣AD =4﹣（6﹣）2， 过点D 作DH ⊥BC 于点H ，如图所示：∴BH =12DB1，DHDB =3又∵CH =BC ﹣BH =21）=3∴CH =DH ， ∴∠HCD =45°， ∴∠DCA =45°， ∴α=135°．4.（2019·安阳一模）（1）问题发现：如图1，在等边△ABC 中，点D 为BC 边上一动点，DE ∥AB 交AC 于点E ，将AD 绕点D 顺时针旋转60°得到DF ，连接CF ．则AE 与FC 的数量关系是__________，∠ACF 的度数为_________．（2）拓展探究：如图2，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，∠ACB =60°，点D 为BC 边上一动点，DE ∥AB 交AC 于点E ，当∠ADF =∠ACF =90°时，求AEFC的值． （3）解决问题：如图3，在△ABC 中，BC :AB =m ，点D 为BC 的延长线上一点，过点D 作DE ∥AB 交AC 的延长线于点E ，直接写出当∠ADF =∠ACF =∠ABC 时AEFC的值．图1 图2 图3 图1ABC D EF图2AB C D EF图3AB CDEF【答案】（1）AE =FC ，60；（2）（3）见解析； 【解析】解：（1）∵△ABC 是等边三角形，DE ∥AB ， ∴△DCE 是等边三角形， ∴CD =DE ，∠CDE =60°，由旋转性质知，AD =DF ，∠ADF =60°， ∴∠ADE =∠CDF ， ∴△ADE ≌△FDC ，∴AE =FC ，∠DCF =∠DEA =120°， ∴∠ACF =60°； （2）∵DE ∥AB ， ∴∠EDC =∠ABC =90°， ∵∠ADF =90°， ∴∠ADC =∠CDF ， ∵∠ACF =90°，即∠AED =∠EDC +∠ACB ，∠FCD =∠ACF +∠ACB ， ∴∠AED =∠FCD ， ∴△DAE ∽△DFC ， ∴AE DECF CD=, ∵DE ∥AB ， ∴△EDC ∽△ABC ，∴DE ABCD BC =,∴AE AB CF BC=(3)与（2）证明可得：AE AB CF BC ==1m. 5.（2019·南阳模拟）（1）【问题发现】如图1，△ABC 和△CEF 都是等腰直角三角形，∠BAC ＝∠EFC ＝90°，点E 与点A 重合，则线段BE 与AF 的数量关系为 ；（2）【拓展研究】在（1）的条件下，将△CEF 绕点C 旋转，连接BE ，AF ，线段BE 与AF 的数量关系有无变化？仅就图2的情形给出证明；（3）【问题发现】当AB ＝AC ＝2，△CEF 旋转到B ，E ，F 三点共线时候，直接写出线段AF 的长．图1 图2 备用图【答案】（1）BE AF ；（2）（3）见解析.【解析】解：（1）BE AF ． ∵△AFC 是等腰直角三角形，∴AC AF ∵AB ＝AC∴BE ＝AB AF ；（2）BE AF ，理由如下： 在Rt △ABC 中，AB ＝AC ， ∴∠ABC ＝∠ACB ＝45°，在Rt △EFC 中，∠FEC ＝∠FCE ＝45°，∠EFC ＝90°， ∴∠ABC ＝∠FEC =45°，∴sin ∠ABC ＝sin ∠FEC ， 即:AC CFBC CE=∵∠FEC ＝∠ACB ＝45°，∴∠FEC ﹣∠ACE ＝∠ACB ﹣∠ACE ． 即：∠FCA ＝∠ECB ． ∴△ACF ∽△BCE ，∴AC BEBC AF=∴BE AF ；（3）①当E 在B 、F 之间时，如图2，由（1）知，CF ＝EF ，在Rt △BCF 中，CF ，BC ＝，根据勾股定理得，BF∴BE ＝BF ﹣EF ，∵BE AF ，∴AF 1； ②当F 在B 、E 之间时，由（1）可证，△ACF ∽△BCE ，∴BC BEAC AF==∴BE AF ；由①知：CF ，BC ＝，BF∴BE ＝BF +EF ，BE AF ，∴AF ．当B ，E ，F 三点共线时，线段AF 1+1．6.（2019·商丘二模）如图，在△ABC 和△ADE 中，∠BAC ＝∠DAE ＝90°，点P 为射线BD ，CE 的交点． （1）问题提出：如图1，若AD ＝AE ，AB ＝AC ． ①∠ABD 与∠ACE 的数量关系为 ； ②∠BPC 的度数为 ．（2）猜想论证：如图2，若∠ADE ＝∠ABC ＝30°，则（1）中的结论是否成立？请说明理由． （3）拓展延伸：在（1）的条件中，若AB ＝2，AD ＝1，若把△ADE 绕点A 旋转，当∠EAC ＝90°时，直接写出PB的长．图1 图2 备用图【答案】（1）∠ABD=∠ACE，90°；（2）（3）见解析.【解析】解：（1）①∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，∴AB＝AC，AD＝AE，∠DAB＝∠CAE．∠ABC＝∠ACB＝45°∴△ADB≌△AEC∴∠ABD＝∠ACE，②∠BPC＝180°﹣∠ABD﹣∠ABC﹣∠BCP＝180°﹣45°﹣（∠BCP+∠ACE）=180°﹣45°﹣45°=90°；（2）（1）中结论成立，理由：在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，AB，同理，AD，∴AD AE AB CE，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∴△ADB∽△AEC．∴∠ABD＝∠ACE；∠BPC＝180°﹣∠ABD﹣∠ABC﹣∠BCP ＝180°﹣30°﹣60°=90°，（3）解：①当点E在线段AB上时，BE ＝AB ﹣AE ＝1．在Rt △AEC 中，由勾股定理得：CE 易证：△ADB ≌△AEC ． ∴∠DBA ＝∠ECA ． ∵∠PEB ＝∠AEC ， ∴△PEB ∽△AEC ．∴PB BEAC CE =， ∴2PB =∴PB ②当点E 在BA 延长线上时，BE ＝AB +AE ＝3． 同理得：PB BEAC CE=， ∴32PB CE=∴PB ，综上所述，PB 7.（2019·名校模考）问题发现：（1）如图1，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝k •AC （k ＞1），D 是AB 上一点，DE ∥BC ，则BD ，EC 的数量关系为 ．类比探究：（2）如图2，将△AED绕着点A顺时针旋转，旋转角为a（0°＜a＜90°），连接CE，BD，请问（1）中BD，EC的数量关系还成立吗？说明理由.拓展延伸：（3）如图3，在（2）的条件下，将△AED绕点A继续旋转，旋转角为a（a＞90°）．直线BD，CE交于F点，若AC＝1，AB，则当∠ACE＝15°时，BF•CF的值为．图1 图2 图3 【答案】（1）BD＝k•EC；（2）（3）见解析．【解析】解：（1）∵DE∥BC，∴BD CEAB AC=，AD AEAB AC=,即BD AD AB CE AE AC==,∵AB＝k•AC，∴BD＝k•EC；（2）成立，理由如下：连接BD由旋转的性质可知，∠BAD＝∠CAE∵AD ABAE AC==tan∠ADE，∴△ABD∽△ACE，∴BD ABCE AC=＝k，即：BD＝k•EC；（3）BF•CF的值为2或1；由（2）知△ABD∽△ACE∴∠ACE＝∠ABD＝15°∵∠ABC+∠ACB＝90°∴∠FBC+∠FCB＝90°∴∠BFC＝90°由∠BAC＝90°，AC＝1，AB ABC＝30°，∠ACB＝60°，BC＝2AC＝2，分两种情况讨论：①如图，此时，∠CBF＝30°+15°＝45°，BC＝2∴BF＝CF＝∴BF•CF＝2；②如图在BF上取点G，使∠BCG＝15°，则∠BCF＝75°，∠CBF＝∠ABC﹣∠ABD＝15°，∴∠CFB＝90°，∠GCF＝60°∴CG＝BG＝2CF，GF CF，BF=(2+ CF由勾股定理知：CF2+BF2＝BC2∴CF2+（CF2＝22，∴CF2＝2，∴BF•CF＝（CF2＝1，即：BF•CF＝2或1．8.（2019·枫杨外国语三模）已知，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，点D是直线AB上的动点，连接CD，以CD为边，在CD的左侧作等边△CDE，连接EB（1）问题发现：如图(1)，当CD⊥AB时，ED和EB的数量关系是 .（2）规律论证：如图(2)当点D在线段AB上运动时，(1)中ED，EB的数量关系是否仍然成立？若成立，请仅就图(2)加以证明；若不成立，请写出新的数量关系，并说明理由.（3）拓展应用：如图(3)当点D在直线AB上运动时，若AC，且△BCE恰好为等腰直角三角形时，请直接写出符合条件的AD的长.图1 图2 图3【答案】（1）ED=EB；（2）（3）见解析．【解析】解：（1）∵△CDE是等边三角形，∴∠CDE=60°，∵CD⊥AB，∴∠CDB=90°，∴∠BDE=30°，∵∠B=30°，∴∠BDE=∠B，∴ED=EB；（2）成立；过点C作CF⊥AB于F，过E作EH⊥BC于H，则∠CFB=∠EHC=90°，∵∠CBA=30°，∴∠BCF=60°，∵△CED是等边三角形，∴∠DCE=60°，CE=CD，∴∠ECH=∠DCF，∴△CDF≌△CEH，∴CH=CF，在Rt△CBF中，由∠CBF=30°，得：BC=2CF，∴BH=CH=CF，即H为BC中点，∵EH=EH，∠BHE=∠CHE=90°，∴△BEH≌△CEH，∴BE=CE，∵CE=DE，∴BE=DE；（3）过点C作CH⊥AB于H，如下图所示，由题意知：AC，∴AH，CHBC=2CHBE=CE=CD在Rt△CDH中，由勾股定理得：DH∴AD=DH－AH；②如图所示，同理可得：DH AH，∴AD=DH+AH；综上所述，符合条件的AD.9.（2017·郑州一模）如图，在矩形ABCD中，E为CD的中点，F为BE上的一点，连结CF并延长交AB于点M，MN⊥CM交射线AD于点N．（1）当F为BE中点时，求证：AM=CE；（2）若2AB EFBC BF==，求ANDN的值.【答案】见解析．【解析】解：（1）当F为BE中点时，即BF=EF，∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC，AB∥DC，∴∠MBF=∠CEF，∠BMF=∠ECF，∴△BMF≌△ECF，∴BM=EC．∵E为CD的中点，∴EC=12DC=12AB，∴AM=BM=EC；（2）设MB =x ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD =BC ，AB =DC ，∠A =∠ABC =∠BCD =90°，AB ∥DC ， ∴2CE EF BM BF==， ∴EC =2x ，∴AB =CD =2CE =4x ，AM =AB ﹣MB =3x ， 由2AB BC=，得BC =AD =2x ， ∵MN ⊥MC ，∴∠CMN =90°，∵∠A =90°，∴∠BMC =∠ANM ，∴△AMN ∽△BCM ， ∴AN AM BM CB =, ∴32AN x x x=， ∴AN =32x ，ND =AD ﹣AN =12x ， ∴AN DN=3. 10. (2019·郑州名校二模) 如图1，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD ＝AE ，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．（1）观察猜想：图1中，线段PM 与PN 的数量关系是 ，位置关系是 ；（2）探究证明：把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断△PMN 的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若AD ＝4，AB ＝10，请直接写出△PMN 面积的最大值．图1 图2 【答案】见解析.【解析】解：（1）∵点P，N是BC，CD的中点，∴PN∥BD，PN＝12 BD，同理：PM∥CE，PM＝12 CE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴BD＝CE，∴PM＝PN，∵PN∥BD，∴∠DPN＝∠ADC，∵PM∥CE，∴∠DPM＝∠DCA，∵∠BAC＝90°，∴∠ADC+∠ACD＝90°，∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCA+∠ADC＝90°，∴PM⊥PN，故答案为：PM＝PN，PM⊥PN；（2）△PMN是等腰直角三角形．由旋转性质知，∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE，∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE，由（1）中知：PN＝12BD，PM＝12CE，PM∥CE，PN∥BD，∴PM＝PN，∠DPM＝∠DCE，∠PNC＝∠DBC，∴△PMN是等腰三角形，∵∠DPN＝∠DCB+∠PNC＝∠DCB+∠DBC，∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCE+∠DCB+∠DBC＝∠BCE+∠DBC＝∠ACB+∠ACE+∠DBC＝∠ACB+∠ABD+∠DBC＝∠ACB+∠ABC＝90°，∴△PMN是等腰直角三角形；（3）由（2）知，△PMN是等腰直角三角形，PM＝PN＝12 BD，∴当PM最大时，即BD最大时，△PMN面积最大，∴点D在BA的延长线上，BD最大，最大值为：BD＝AB+AD＝14，即PM＝7，∴S△PMN最大＝12PM2＝492。