【全程复习方略】全国高考数学(理)一轮复习练习：选修4-1-2直线与圆的位置关系 (含答案解析)
高考数学大一轮复习 第二节 直线与圆的位置关系课件 理(选修4-1)
答案：π
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11
圆内接四边形的性质与判定
1．性质定理 1：圆的内接四边形的对角 互补 ． 2．性质定理 2：圆内接四边形的外角等于它 的 内角的对角 ． 3．判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个 四边形的四个顶点 共圆 ． 4．判定定理的推论：如果四边形的一个外角等于它的 内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．
答案：13
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16
与圆有关的比例线段
1．圆的切线的性质及判定定理 (1)定理：圆的切线 垂直于经过 切点 的半径．
(2)推论： ①推论 1：经过 圆心 且垂直于切线的直线必经过切点．
② 推 论 2 ： 经 过 切点 过 圆心 ．
且垂直于切线的直线必经
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17
2．与圆有、AC 是⊙O 的两条切线，切点分别为
B、C，D 是优弧B︵C 上的点，已知∠BAC＝80°，那么∠BDC
＝________.
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8
解析：连接 OB、OC，则 OB⊥AB，OC⊥AC，∴∠BOC ＝180°－∠BAC＝100°，∴∠BDC＝12∠BOC＝50°.
选考部分
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1
选修4-1
几何证明选讲
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2
第二节 直线与圆的位置关系
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3
主干知识·整合 热点命题·突破
课堂实效·检测 课时作业
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4
主干知识·整合 01
要点梳理 追根求源
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5
圆周角定理、圆心角定理和弦切角定理
1．圆周角定理及其推论
(1)定理：圆上一条弧所对的 圆周角 等于它所对的 圆心角 的一半．
2021年高考数学一轮复习 第2讲 直线与圆的位置关系同步检测 文 新人教A版选修4-1
2021年高考数学一轮复习第2讲直线与圆的位置关系同步检测文新人教A版选修4-1一、填空题1．如图，在圆内接四边形ABCD中，∠A＝60°，∠B＝90°，AB＝2，CD＝1，则BC＝________．解析延长BC交AD的延长线于P，∵∠B＝90°，∠A＝60°，∴∠P＝30°，∠CDP＝∠B＝90°.在Rt△CDP中，CD＝1，∴PC＝2.在Rt△ABP中，BP＝3AB＝23，∴BC＝BP－PC＝23－2.答案 23－22．如图，过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A，B，且PB＝7，C是圆上一点使得BC＝5，∠BAC＝∠APB，则AB＝________．解析由弦切角定理得∠PAB＝∠ACB，又因为∠BAC＝∠APB，所以△PAB∽△ACB，可得ABBC＝PBAB，将PB＝7，BC＝5代入得AB＝35.答案353. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝72°，⊙O过A、B两点且与BC相切于点B，与AC交于点D，连接BD，若BC＝5－1，则AC＝________.解析由题易知，∠C＝∠ABC＝72°，∠A＝∠DBC＝36°，所以△BCD ∽△ACB ， 又易知BD ＝AD ＝BC ，所以BC 2＝CD ·AC ＝(AC －BC )·AC ，解得AC ＝2.答案 24. 如图，已知Rt △ABC 的两条直角边AC ，BC 的长分别为3cm ，4 cm ，以AC 为直径的圆与AB 交于D ，则BD DA＝________.解析 ∵∠C ＝90°，AC 为圆的直径，∴BC 为圆的切线，AB 为圆的割线，∴BC 2＝BD ·AB ，即16＝BD ·5，解得BD ＝165， ∴DA ＝BA －BD ＝5－165＝95，∴BD DA ＝169. 答案 169 5. 如图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，延长AB 和DC 相交于点P ，若PB PA ＝12，PC PD ＝13，则BC AD的值为________． 解析 ∵∠P ＝∠P ，∠PCB ＝∠PAD ，∴△PCB ∽△PAD ，∴PB PD ＝PC PA ＝BC DA， ∵PB PA ＝12，PC PD ＝13，∴BC AD ＝66. 答案 666. 如图，在圆O 中，直径AB 与弦CD 垂直，垂足为E ，EF ⊥DB ，垂足为F ，若AB ＝6，AE ＝1，则DF ·DB ＝________.解析 由题意知，AB ＝6，AE ＝1，∴BE ＝5.∴CE ·DE ＝DE 2＝AE ·BE ＝5.在Rt △DEB 中，∵EF⊥DB ，∴由射影定理得DF ·DB ＝DE 2＝5.答案 57．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，∠BOD ＝110°，则∠BCD ＝______度．解析：∵∠BOD ＝110°，∠BAD ＝12∠BOD ， ∴∠BAD ＝55°.∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∴∠BAD ＋∠BCD ＝180°，∴∠BCD ＝125°.答案：1258. 如图，⊙O 和⊙O ′相交于A 、B 两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于C 、D .若BC ＝2，BD ＝4，则AB 的长为________．解析 ∵AC 、AD 分别是两圆的切线，∴∠C ＝∠2，∠1＝∠D ，∴△ACB ∽△DAB .∴BC AB ＝AB BD ， ∴AB 2＝BC ·BD ＝2×4＝8.∴AB ＝8＝22(舍去负值)．答案 2 2二、解答题9．如图，D ，E 分别为△ABC 边AB ，AC 的中点，直线DE 交△ABC 的外接圆于F ，G 两点．若CF ∥AB ，证明：(1)CD ＝BC ；(2)△BCD ∽△GBD .证明 (1)因为D ，E 分别为AB ，AC 的中点，所以DE ∥BC .又已知CF ∥AB ，故四边形BCFD 是平行四边形，所以CF ＝BD ＝AD .而CF ∥AD ，连结AF ，所以四边形ADCF 是平行四边形，故CD ＝AF .因为CF ∥AB ，所以BC ＝AF ，故CD ＝BC .(2)因为FG∥BC，故GB＝CF.由(1)可知BD＝CF，所以GB＝BD.所以∠BGD＝∠BDG.由BC＝CD知∠CBD＝∠CDB.而∠DGB＝∠EFC＝∠DBC，故△BCD∽△GBD.10．如图，已知AB是半圆的直径，D是AB上的一点，CD⊥AB，CD交半圆于点E，CT是半圆的切线，T是切点，求证：BE2＋CT2＝BC2.证明：连接AE，AF，∵AB是直径，∴∠AEB＝∠AFB＝90°，又∠CDB＝90°，∠ABF＝∠DBC，∴△DBC∽△FBA，∴ABCB＝BFBD，即AB·BD＝BC·BF，∵∠AEB＝90°，CD⊥AB，∴BE2＝BD·AB(射影定理)．∵CT是切线，CB是割线，∴CT2＝CF·CB.∴BC2－CT2＝BC2－CF·CB＝BC(BC－CF)＝BC·BF，∴BE2＝BC2－CT2，即BE2＋CT2＝BC2.22441 57A9 垩M25928 6548 效20655 50AF 傯%•h39770 9B5A 魚=230031 754F 畏37984 9460 鑠V31009 7921 礡。
高考数学 大一轮复习 第2节 直线与圆的位置关系课件 文 新人教版选修4-1
[对点练习]
如图 31 所示，已知 AB 为圆 O 的一条直径，以端点 B 为 圆心的圆交直线 AB 于 C、D 两点，交圆 O 于 E、F 两点，过 点 D 作垂直于 AD 的直线，交直线 AF 于 H 点．
图 31 (1)求证：B、D、H、F 四点共圆； (2)若 AC＝2，AF＝2 2，求△BDF 外接圆的半径．
图 28 (1)∠ACE＝∠BCD； (2)BC2＝BE·CD. 【思路点拨】 (1)由弦切角及圆周角定理求解． (2)先证明△BDC∽△ECB，再证 BC2＝BE·CD.
【证明】 (1)因为 AC ＝ BD ，所以∠BCD＝∠ABC. 又因为 EC 与圆相切于点 C，故∠ACE＝∠ABC. 所以∠ACE＝∠BCD. (2)因为∠ECB＝∠CDB，∠EBC＝∠BCD， 所以△BDC∽△ECB，故BBCE＝CBCD， 所以 BC2＝BE·CD.
(2)∵直线 AB 是⊙O 的切线， ∴∠BCD＝∠E，又∠CBD＝∠EBC， ∴△BCD∽△BEC，∴BBCE＝BBDC，BC2＝BD·BE， ∵tan∠CED＝CEDC＝12，△BCD∽△BEC，∴BBDC＝CEDC＝12， 设 BD＝x，则 BC＝2x， ∵BC2＝BD·BE，∴(2x)2＝x(x＋6)，∴BD＝2， ∴OA＝OB＝BD＋OD＝2＋3＝5.
解得 t＝32或－6(舍去)，则 AD＝32.
满分指导 21 与圆有关的证明问题 [典例剖析]
【典例】 (10 分)如图 34，EP 交圆于 E，C 两点，PD 切圆于 D，G 为 CE 上一点且 PG＝PD，连结 DG 并延长交圆 于点 A，作弦 AB 垂直 EP，垂足为 F.
图 34 (1)求证：AB 为圆的直径； (2)若 AC＝BD，求证：AB＝ED.
2021年高考数学大一轮复习 第二节 直线与圆的位置关系课时作业 理(选修4-1)
2021年高考数学大一轮复习第二节直线与圆的位置关系课时作业理（选修4-1）一、填空题1．如图，AB是⊙O的直径，MN与⊙O切于点C，AC＝12BC，则sin∠MCA＝________.解析：由弦切角定理得，∠MCA＝∠ABC，sin∠ABC＝AC AB＝ACAC2＋BC2＝AC5AC＝55.答案：5 52．(xx·湖南卷)如图，已知AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，AB＝3，BC＝22，则⊙O的半径等于________．解析：设线段AO交BC于点D延长AO交圆与另外一点E，则BD＝DC＝2，由三角形ABD 的勾股定理可得AD＝AB2－BD2＝1，由切割线定理可得BD·DC＝AD·DE⇒DE＝2，则直径AE＝3⇒r＝32，故填32.答案：3 23．如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P，若PBPA＝12，PCPD＝1 3，则BCAD的值为________．解析：∵∠P＝∠P，∠PCB＝∠PAD，∴△PCB∽△PAD，∴PBPD＝PCPA＝BCDA，∵PBPA＝12，PCPD＝13，∴BCAD＝66.答案：6 64．如图，D是圆O的直径AB延长线上一点，PD是圆O的切线，P是切点，∠D＝30°，AB＝4，BD＝2，PA＝________.解析：连接PO，因为PD是⊙O的切线，P是切点，∠D＝30°，所以∠POD＝60°，并且AO＝2，∠POA＝120°，PO＝2，在△POA中，由余弦定理知，PA＝2 3.答案：2 35．已知圆O的半径为3，从圆O外一点A引切线AD和割线ABC，圆心O到AC的距离为22，AB＝3，则切线AD的长为________．解析：取BC的中点E，连接OE，OB易知OE＝22，OB＝3，故BE＝32－222＝1，从而BC＝2，故AC＝5，由切割弦定理得AD2＝AB·AC，故AD2＝15，从而AD＝15.答案：156．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝72°，⊙O过A、B两点且与BC相切于点B，与AC交于点D，连接BD，若BC＝5－1，则AC＝________.解析：由题易知，∠C＝∠ABC＝72°，∠A＝∠DBC＝36°，所以△BCD∽△ACB，又易知BD＝AD＝BC，所以BC2＝CD·AC＝(AC－BC)·AC，解得AC＝2.答案：27．(xx·湖北卷)如图，P为⊙O外一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别为A，B.过PA的中点Q作割线交⊙O于C，D两点．若QC＝1，CD＝3，则PB＝________.解析：由切割线定理得QA2＝QC·QD＝1×(1＋3)＝4，∴QA＝2，PB＝PA＝2QA＝4.答案：48．高速公路上的隧道和桥梁较多．如上图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O 为圆心的圆的一部分，路面AB ＝10米，净高CD ＝7米，则此圆的半径________米．解析：设圆的半径为R 米，由题意得OD 2＋AD 2＝OA 2，即(7－R )2＋25＝R 2，解得R ＝377.答案：3779．如图，两个等圆⊙O 与⊙O ′外切，过O 作⊙O ′的两条切线OA ，OB ，A ，B 是切点，点C 在圆O ′上且不与点A ，B 重合，则∠ACB ＝________.解析：连接O ′A ，O ′B ，O ′O ，由⊙O 与⊙O ′外切且半径相等得O ′A ＝12O ′O ，又因O ′A⊥OA ，所以∠AOO ′＝30°，同理∠BOO ′＝30°，故∠AOB ＝60°，由四边形的内角和为360°得∠AO ′B ＝120°，故∠ACB ＝12∠AO ′B ＝60°.答案：60° 二、解答题10．(xx·新课标全国卷Ⅰ)如右图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB＝CE.(1)证明：∠D＝∠E；(2)设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，证明：△ADE为等边三角形．证明：(1)由题设知A，B，C，D四点共圆，所以∠D＝∠CBE.由已知得∠CBE＝∠E，故∠D＝∠E.(2)设BC的中点为N，连接MN，则由MB＝MC知MN⊥BC，故O在直线MN上．又AD不是⊙O的直径，M为AD的中点，故OM⊥AD，即MN⊥AD.所以AD∥BC，故∠A＝∠CBE.又∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E.由(1)知，∠D＝∠E，所以△ADE为等边三角形．11．如图，△ABC为圆的内接三角形，AB＝AC，BD为圆的弦，且BD∥AC.过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F.(1)求证：四边形ACBE为平行四边形；(2)若AE＝6，BD＝5，求线段CF的长．解：解：(1)证明：因为AE与圆相切于点A，所以∠BAE＝∠ACB.因为AB＝AC，所以∠ABC＝∠ACB.所以∠ABC＝∠BAE.所以AE∥BC.因为BD∥AC，所以四边形ACBE为平行四边形．(2)因为AE与圆相切于点A，所以AE2＝EB·(EB＋BD)，即62＝EB·(EB＋5)，解得BE＝4.根据(1)有AC＝BE＝4，BC＝AE＝6.设CF＝x，由BD∥AC，得ACBD ＝CF BF，即45＝x6－x，解得x＝83，即CF＝83.1．已知点C在圆O的直径BE的延长线上，直线CA与圆O相切于A，∠ACB的平分线分别交AB，AE于点D，F两点，若∠ACB＝20°，则∠AFD＝________.解析：因为AC为圆的切线，由弦切角定理，则∠B＝∠EAC，又因为CD平分∠ACB，则∠ACD＝∠BCD，所以∠B＋∠BCD＝∠EAC＋∠ACD，根据三角形外角定理，∠ADF＝∠AFD，因为BE是圆O的直径，则∠BAE＝90°，所以△ADF是等腰直角三角形，所以∠ADF＝∠AFD＝45°.答案：45°2．如图，AD，AE，BC分别与圆O切于点D，E，F，延长AF与圆O交于另一点G，给出下列三个结论：①AD＋AE＝AB＋BC＋CA；②AF·AG＝AD·AE；③△AFB∽△ADG.其中正确结论的序号是________．解析：由题意，根据切线长定理，有BD＝BF，CE＝CF，所以AD＋AE＝(AB＋BD)＋(AC＋CE)＝(AB＋BF)＋(AC＋CF)＝AB＋AC＋(BF＋CF)＝AB＋AC＋BC，所以①正确；因为AD，AE是圆的切线，根据切线长定理，有AD＝AE，又因为AG是圆的割线，所以根据切割线定理有AD2＝AF·AG＝AD·AE，所以②正确；根据弦切角定理有∠ADF＝∠AGD，又因为BD＝BF，所以∠BDF＝∠BFD＝∠ADF，在△AFB中，∠ABF＝2∠ADF＝2∠AGD，所以③错误．答案：①②3．(xx·辽宁卷)如图，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG＝PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F.(1)求证：AB为圆的直径；(2)若AC＝BD，求证：AB＝ED.证明：(1)因为PD＝PG，所以∠PDG＝∠PGD.由于PD为切线，故∠PDA＝∠DBA，又由于∠PGD＝∠EGA，故∠DBA＝∠EGA，所以∠DBA＋∠BAD＝∠EGA＋∠BAD，从而∠BDA＝∠PFA.由于AF⊥EP，所以∠PFA＝90°，于是∠BDA＝90°.故AB是直径．(2)连接BC，DC.由于AB是直径，故∠BDA＝∠ACB＝90°.在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB＝BA，AC＝BD，从而Rt△BDA≌Rt△ACB.于是∠DAB＝∠CBA.又因为∠DCB＝∠DAB，所以∠DCB＝∠CBA，故DC∥AB.由于AB⊥EP，所以DC⊥EP，∠DCE为直角．于是ED为直径．由(1)得ED＝AB.K<31664 7BB0 箰36044 8CCC 賌37915 941B 鐛$29878 74B6 璶19970 4E02 丂 26752 6880 梀28092 6DBC 涼l-i26306 66C2 曂。
高三数学一轮复习课时提能演练 选修41.2 直线与圆的位置关系 理 新课标
1.(2012·汕头模拟)如图：PA切圆O于点A，PA=4，PBC过圆心O，且与圆相交于B、C两点，AB∶AC=1∶2,则圆O的半径为______.2.如图AB、AC是⊙O的两条弦，∠A=30°，过点C的切线与OB的延长线交于点D，则∠D的度数为______.3.如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，F是AB的中点，CF的延长线交⊙O于点E，那么CF∶EF的值是______.4.(2011·广东高考)如图，过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A,B,且PB=7，C 是圆上一点使得BC=5，∠BAC=∠APB，则AB=______.5.圆外切等腰梯形的上底长为4 cm，圆的半径为3 cm，那么这个梯形的腰长是______.6.已知圆O的半径为3，从圆O外一点A引切线AD和割线ABC，圆心O到AC的距离为22,AB=3，则切线AD的长为____.7.(2012·中山模拟)如图，⊙O是△ABC的外接圆，过点C的切线交AB的延长线于点D，CD=27，AB=BC=3，则AC=______.8.如图，已知△ABC中，∠B=60°,CD⊥AB,AE⊥BC,则DE=______AC.9.(2011·天津高考)如图,已知圆中两条弦AB与CD相交于点F,E是AB延长线上一点，且DF=CF=2，AF∶FB∶BE=4∶2∶1.若CE与圆相切,则线段CE的长为______.10.如图，⊙O的弦ED，CB的延长线交于点A.若BD⊥AE,AB=4,BC=2,AD=3,则DE=______;CE=______.11.如图，PC是⊙O的切线，C为切点，PAB为割线，PC=4，PB=8，∠B=30°,则BC=______.12.如图，△ABC是圆内接三角形，PA切圆于点A，PB交圆于点D，若∠ABC=60°,PD=1,BD=8,则∠PAC=______,PA=______.13.(2011·湖南高考)如图所示，A，E是半圆周上的两个三等分点，直径BC=4，AD⊥BC，垂足为D，BE与AD相交于点F，则AF的长为______.14.如图所示，梯形ABCD内接于⊙O,AD∥BC,过B引⊙O的切线分别交DA、CA的延长线于E、F.已知BC=8，CD=5，AF=6，则EF的长为______.15.如图，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E.若△ABC的面积S=12AD·AE，则∠BAC=______.16.如图，已知A、B、C、D、E五点都在⊙O上，且AC为⊙O的直径，则∠A+∠B+∠C=______.17.如图所示，AB是⊙O的直径，MN与⊙O切于点C，AC=12 BC，则sin∠MCA=______.18.如图，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，CD=4，BD=8，则圆O的半径等于______.19.如图，已知AB是⊙O的直径，CD与AB相交于E，∠ACD=60°,∠ADC=45°，则∠AEC=______.20.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AP和过C的切线互相垂直，垂足为P，过B的切线交过C的切线于T，PB交⊙O于Q,若∠BTC=120°,AB=4,则PQ·PB=______. 21.如图，PA切⊙O于点A，割线PBC经过圆心O，OB=PB=1，OA绕点O逆时针旋转60°到OD ，则PD 的长为______. 22.如图，分别延长圆内接四边形ABCD 两 组对边相交于E 和F 两点，如果∠E=30°, ∠F=50°,那么∠A=______.23.如图，直线PQ 与⊙O 相切于点A ，AB 是⊙O 的弦，∠PAB 的平分线AC 交⊙O 于点C ，连接CB ，并延长与PQ 相交于Q 点，若AQ=6，AC=5，则弦AB 的长是______.24.如图，AB 为⊙O 的直径，CB 切⊙O 于B ，CD 切⊙O 于D ，交BA 的延长线于E ，若EA=1，ED=2，则BC 的长为______.答案解析1.【解析】∵PA 是切线，∴∠BAP=∠ACP,∵∠P=∠P, ∴△PAB ∽△PCA,则AB PA AC PC =,即142PC=,∴PC=8.设圆的半径为r,由切割线定理PA 2=PB ·PC 得，16=(8-2r)×8.解出r=3. 答案：32.【解析】连接OC ，因为CD 切圆O 于点C ，所以OC ⊥CD ，因为∠A=30°,所以∠COD=60°，所以∠D=30°. 答案：30°3.【解析】设正方形的边长为2a ， 则AF=BF=a,∴22CF BC BF 5a.=+= 又∵CF ·EF=AF ·BF,∴CF ·EF=a 2,∴25EF a 55a==,∴CF ∶EF=5∶1.答案：54.【解题指南】利用相似三角形对应边成比例，求得AB 的值.【解析】∵∠PAB=∠ACB,又∠BAC=∠APB，∴△ABP∽△CBA,∴AB PBBC AB=,从而AB2=PB·BC=7×5=35,∴AB=35.答案：355.【解析】如图，等腰梯形ABCD外切于⊙O，设M，N是梯形上、下底与⊙O相切的切点，作DP⊥AB，P为垂足，连接MN，易知MN过点O.根据圆的切线性质，DM=2 cm=PN,若设AN=x cm,则AD=(x+2) cm,AP=(x-2) cm.易知MN=DP=6 cm,所以在Rt△APD中，AD2=DP2+AP2，即(x+2)2=62+(x-2)2,解得9x2 =，故等腰梯形ABCD的腰长为x+2=6.5(cm).答案：6.5 cm6.【解析】作OE⊥BC垂足为E，连接OC，由题意知，OC=3，OE=22，则CE=BE=1，所以AC=5，由切割线定理得，AD2=AB·AC=15，所以AD=15.答案：157.【解析】∵CD是切线，∴CD2=BD·(BD+AB)，即28=BD2+3BD，∴BD=4，又∠1=∠A,∠D为公共角，∴△ACD∽△CBD,∴AC CD CB BD=,∴CB CD32737 AC.BD4⨯===答案：378.【解析】∵CD⊥AB,∠B=60°,∴∠BCD=30°,∴BD=12BC, 又∵AE ⊥BC,∴∠AEC=∠ADC, ∴A 、D 、E 、C 四点共圆， 又∠BED=∠BAC,又∠B 为公共角， ∴△BED ∽△BAC,∴DE BD 1CA BC 2==,即1DE AC 2=. 答案：129.【解题指南】利用相交弦及切线的比例关系求解.【解析】设BE=x,则AF=4x,FB=2x,因为AF ·FB=DF ·FC ，所以8x 2=2,x=12，又CE 2=BE ·AE ，即CE ==.答案:10.【解析】由圆的割线定理知：AB ·AC=AD ·AE ， ∴AE=8，∴DE=5，连接EB ，∵∠EDB=90°, ∴EB 为直径，∴∠ECB=90°. 由勾股定理，得EB 2=DB 2+ED 2=AB 2-AD 2+ED 2=16-9+25=32. 在Rt △ECB 中，EB 2=BC 2+CE 2=4+CE 2,∴CE 2=28，∴CE=答案：511.【解析】连接AC ，∵PC 2=PA ·PB ，∴PA=2，∠ACP=∠B=30°,在△PAC 中，由正弦定理得24sin30sin PAC=︒∠,∴sin ∠PAC=1,从而∠PAC=90°,∠P=60°,∠PCB=90°,∴BC =答案：12.【解析】∵PA 是圆的切线，∴∠PAC=∠ABC=60°,又PA2=PD·PB=1×(1+8)=9,所以PA=3.答案：60° 313.【解析】连接AB、AO、CE、OE，则△OAB,△OCE是边长为2的等边三角形，∠ABD=60°，AD=3232⨯=，BD=1212⨯=,在Rt△BEC中，∠BCE=60°,EC=1422⨯=,BE=3423⨯=.易知△BDF∽△BEC,∴DF BDEC BE=,∴DF=3,∴AF=AD-DF=23.答案：23 314.【解析】∵BE切⊙O于B，∴∠ABE=∠ACB. 又AD∥BC,∴∠EAB=∠ABC,∴△EAB∽△ABC,∴BE AB AC BC=.又AE∥BC,∴EF BEAF AC=,∴AB EFBC AF=.又AD∥BC,∴AB CD=，∴AB=CD，∴CD EF BC AF=，∴5EF86=，∴EF=301584=.答案：15 415.【解析】由已知条件，可得∠BAE=∠CAD. 因为∠AEB与∠ACD是同弧所对的圆周角，所以∠AEB=∠ACD.故△ABE∽△ADC.所以AB ADAE AC=，即AB·AC=AD·AE.又S=12AB·ACsin∠BAC,且S=12AD·AE，故AB·ACsin∠BAC=AD·AE，则sin ∠BAC=1.又∠BAC 为△ABC 的内角， 所以∠BAC=90°. 答案：90°16.【解析】∠A+∠B+∠C=12(CD 的度数+DE 的度数+EA 的度数)=12×180=90°. 答案：90°17.【解析】由弦切角定理得∠MCA=∠ABC, ∵sin ∠ABC=22AC 5.AB 55AC AC BC===+∴sin ∠MCA=5. 答案：5 18.【解析】由射影定理，得CD 2=AD ·BD ， 即42=AD ×8，∴AD=2，∴直径AB=2+8=10， ∴圆O 的半径等于5. 答案：519.【解析】连接BC ，由AB 是⊙O 的直径知∠ACB=90°, ∵∠ACD=60°,∴∠DCB=30°, BD 的度数=60°, ∵∠ADC=45°, ∴AC 的度数=90°， ∴∠AEC=12(BD 的度数+AC 的度数)=75°. 答案：75°20.【解析】连接OC 、AC ，则OC ⊥PC ，则O 、C 、T 、B 四点共圆，∠COB=60°, 故∠AOC=120°.由AO=OC=2知AC=23， 在Rt △APC 中，∠ACP=60°,因此PC=3.根据切割线定理得PQ·PB=PC2=3.答案：321.【解析】连接AB，∵PA切⊙O于点A，B为PO中点，∴AB=OB=OA，∴∠AOB=60°,∴∠POD=120°,方法一：在△POD中，由余弦定理得PD2=PO2+DO2-2PO·DOcos∠POD=4+1-4×(12-)=7,∴PD=7.方法二：过点D作DE⊥PC，垂足为E，∵∠POD=120°,∴∠DOC=60°，可得OE=12，DE=32，在Rt△PED中，∴PD=22253PE DE744+=+=.答案：722.【解析】由∠A+∠ADC+∠E=180°,∠A+∠ABC+∠F=180°,∠ADC+∠ABC=180°,∴∠A=12(180°-∠E-∠F)=50°.答案：50°23.【解析】∵PQ为切线，∴∠PAC=∠ABC, ∵AC是∠PAB的平分线，∴∠BAC=∠PAC.∴∠ABC=∠BAC,∴BC=AC=5,由切割线定理，可得AQ2=QB·QC，∴62=QB·(QB+5)，解得QB=4.∵∠QAB=∠QCA,∴△QAB∽△QCA,∴AB QA AC QC=,∴AB6545=+,解得10AB3=.答案：10 324.【解析】∵CE为⊙O的切线，D为切点，∴ED2=EA·EB.又∵EA=1,ED=2,∴EB=4,又∵CB、CD均为⊙O的切线，∴CD=CB.在Rt△EBC中，设BC=x,则EC=x+2.由勾股定理：EB2+BC2=EC2，得42+x2=(x+2)2,得x=3,∴BC=3.答案：3。
高考数学一轮复习 直线与圆的位置关系课件 新人教A版选修4-1
所以C，B，D，E四点共圆． (2)m＝4，n＝6时，方程x2－14x＋mn＝0的两根为x1＝2，x2 ＝12.故AD＝2，AB＝12. 取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂 线，两垂线相交于H点，连接DH.因为C，B，D，E四点共圆，所 以C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH. 由于∠A＝90° ，故GH∥AB，HF∥AC.
解析
∵EG平分∠E，∴∠FEC＝20° .
∴∠FCE＝∠CFG－∠FEC＝60° . ∵四边形ABCD内接于圆，∴∠A＝∠FCE＝60° .
答案
60°
2．如图所示，在△ABC中，∠C＝90° ，AB＝10，AC＝6， 以AC为直径的圆与斜边交于点P.则BP的长为________．
解析
连接CP，由推论2知∠CPA＝90° ，
点B在圆O上，BC＝2，∠BCD＝30° ，则圆O的面积为________．
1题图
2题图
(2)(2013· 重庆卷)如上图，在△ABC中，∠C＝90° ，∠A＝ 60° ，AB＝20，过C作△ABC的外接圆的切线CD，BD⊥CD，BD 与外接圆交于点E，则DE的长为________．
解析
由相交弦定理PA· PB＝PC· PD，代入数据得PC＝4，所 52 3 7 － ＝ . 2 2
2
以CD＝5，从而圆心O到弦CD的距离为
Байду номын сангаас答案
3 2
题型三
圆内接四边形的性质与判定
【例3】
(2013· 长春模拟)如图所示，D，E分别为△ABC的
边AB，AC上的点，且不与△ABC的顶点重合．已知AE的长为 m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2－14x＋mn＝0的 两个根．
高考数学一轮复习---直线与圆、圆与圆的位置关系知识点与题型复习
直线与圆、圆与圆的位置关系知识点与题型复习一、基础知识1．直线与圆的位置关系(半径为r ，圆心到直线的距离为d )Δ＜0 Δ＝0 Δ＞02．圆与圆的位置关系(两圆半径为r 1，r 2，d ＝|O 1O 2|)|r －r |＜d ＜二、常用结论(1)圆的切线方程常用结论①过圆x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.②过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2. ③过圆x 2＋y 2＝r 2外一点M (x 0，y 0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2. (2)直线被圆截得的弦长弦心距d 、弦长l 的一半12l 及圆的半径r 构成一直角三角形，且有r 2＝d 2＋221⎪⎭⎫⎝⎛l .三、考点解析考点一 直线与圆的位置关系 考法(一) 直线与圆的位置关系的判断例、直线l ：mx －y ＋1－m ＝0与圆C ：x 2＋(y －1)2＝5的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不确定[解题技法]判断直线与圆的位置关系的常见方法： (1)几何法：利用d 与r 的关系．(2)代数法：联立方程组，消元得一元二次方程之后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．考法(二) 直线与圆相切的问题例、(1)过点P (2,4)作圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的切线，则切线方程为( )A ．3x ＋4y －4＝0B ．4x －3y ＋4＝0C ．x ＝2或4x －3y ＋4＝0D ．y ＝4或3x ＋4y －4＝0 (2)已知圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0上存在两点关于直线l ：x ＋my ＋1＝0对称，经过点M (m ，m )作圆C 的切线，切点为P ，则|MP |＝________.考法(三) 弦长问题例、(1)若a 2＋b 2＝2c 2(c ≠0)，则直线ax ＋by ＋c ＝0被圆x 2＋y 2＝1所截得的弦长为( ) A.12 B ．1 C.22D.2 (2)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为( ) A ．4π B ．2π C ．9π D ．22π跟踪练习：1．已知圆的方程是x 2＋y 2＝1，则经过圆上一点M ⎪⎪⎭⎫⎝⎛2222，的切线方程是________． 2．若直线kx －y ＋2＝0与圆x 2＋y 2－2x －3＝0没有公共点，则实数k 的取值范围是________．3．设直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＋2x －my ＝0相交于A ，B 两点，若点A ，B 关于直线l ：x ＋y ＝0对称，则|AB |＝________.考点二 圆与圆的位置关系例、已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离变式练习：1．若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m ＝( )A ．21B ．19C ．9D ．－112.(变结论)若本例两圆的方程不变，则两圆的公共弦长为________．[解题技法]几何法判断圆与圆的位置关系的3步骤： (1)确定两圆的圆心坐标和半径长；(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d ，求r 1＋r 2，|r 1－r 2|； (3)比较d ，r 1＋r 2，|r 1－r 2|的大小，写出结论．课后作业1．若直线2x ＋y ＋a ＝0与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相切，则a 的值为( ) A ．±5 B ．±5 C ．3 D ．±32．与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋4y ＋12＝0，C 2：x 2＋y 2－14x －2y ＋14＝0都相切的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条3．直线y ＝kx ＋3被圆(x －2)2＋(y －3)2＝4截得的弦长为23，则直线的倾斜角为( ) A.π6或5π6 B ．－π3或π3 C ．－π6或π6 D.π64．过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝r 2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( ) A ．2x ＋y －5＝0 B ．2x ＋y －7＝0 C ．x －2y －5＝0 D ．x －2y －7＝05．若圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋6＝0上有且仅有三个点到直线x ＋ay ＋1＝0的距离为1，则实数a 的值为( ) A ．±1 B ．±24 C ．± 2 D ．±326．过点P (1，－2)作圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则AB 所在直线的方程为( ) A ．y ＝－34 B ．y ＝－12 C ．y ＝－32 D ．y ＝－147．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为________． 8．若P (2,1)为圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程为________． 9．过点P (－3,1)，Q (a,0)的光线经x 轴反射后与圆x 2＋y 2＝1相切，则a 的值为________．10．点P 在圆C 1：x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0上，点Q 在圆C 2：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0上，则|P Q |的最小值是________．11．已知圆C 1：x 2＋y 2－2x －6y －1＝0和圆C 2：x 2＋y 2－10x －12y ＋45＝0. (1)求证：圆C 1和圆C 2相交；(2)求圆C 1和圆C 2的公共弦所在直线的方程和公共弦长．12．已知圆C 经过点A (2，－1)，和直线x ＋y ＝1相切，且圆心在直线y ＝－2x 上． (1)求圆C 的方程；(2)已知直线l 经过原点，并且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程．提高练习1．过圆x 2＋y 2＝1上一点作圆的切线，与x 轴、y 轴的正半轴相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为( ) A. 2 B.3 C ．2 D ．32．在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l ：y ＝2x 上在第一象限内的点，B (5,0)，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若AB ―→·CD ―→＝0，则点A 的横坐标为________． 3．已知圆C ：x 2＋(y －a )2＝4，点A (1,0)．(1)当过点A 的圆C 的切线存在时，求实数a 的取值范围； (2)设AM ，AN 为圆C 的两条切线，M ，N 为切点，当|MN |＝455时，求MN 所在直线的方程．。
【师说】2016届高考数学(理)一轮课件：选修4-1-2直线与圆的位置关系
半圆(或直径)所 O为圆心，A、B、C 对的圆周角等于 为圆上三点，且BC ⑦______ 为圆的直径，则有 ∠BAC＝⑧
推论2
O为圆心，A、B、C 为圆上三点，且 对的弦为⑨____ ∠BAC＝90° ，则 BC为圆的⑩ 90° 的圆周角所
2.圆的切线
判 经过圆的半径的 定 外端且⑪____于 定 这条半径的直线 理 是圆的切线 性 质 定 理 O为圆心，A为圆上 一点，直线l经过点 A且⑫ OA，与⊙O 相交于点A，则直线 l是圆的一条切线，切 点为A
答案：3
1．圆周角
定理
圆周角的度数等于 ①____________ O为圆心，A、B、C 为圆上任意三点，则 有∠ACB＝②_____
同弧或等弧所对 的圆周角③ ______ 推 论 1 同圆或等圆中， 相等的圆周角所 对的弧⑤____ O为圆心，A、B、C、 D为圆上任意四点， 且∠CAD＝∠ACB， 则有⑥ O为圆心，A、B、C、D 为圆上任意四点，则有 ∠ACB＝∠ADB＝ ④
2 5 答案： 5
4．如图所示，过点P的直线与⊙O相交于A，B两点．若PA＝ 1，AB＝2，PO＝3，则⊙O的半径r＝________.
解析：设⊙O的半径为r(r>0)，
∵PA＝1，AB＝2， ∴PB＝PA＋AB＝3. 延长PO交⊙O于点C， 则PC＝PO＋r＝3＋r. 设PO交⊙O于点D，则PD＝3－r.
四边形ABCD内接于⊙O，A＋ C＝π，B＋D＝π
如果四边形的
28 ____， 判定 对角 ○
定理 则此四边形内 接于圆
在四边形ABCD中， A＋C＝π或B＋D＝π， 则四边形ABCD内接 于圆
答案：①它所对弧的圆心角度数的一半 1 ④2∠AOB ⑤相等 ⑥ ⑦90°
高考数学一轮复习 几何证明选讲 第二节 直线与圆的位置关系课件 理 选修4-1
[自我查验] 1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)同弧所对的圆心角与圆周角相等．( ) (2)若一个四边形的一个外角等于它的内角，则这个四边形的 四个顶点共圆．( ) (3)经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．( ) (4)弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角的一半．( ) (5)从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆 交点的两条线段长的乘积．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×
(2)由(1)知，AE＝AF， AD⊥EF， 故 AD 是 EF 的垂直平分线．又 EF 为⊙O 的弦，所以 O 在 AD 上．连接 OE，OM，则 OE⊥AE.
由 AG 等于⊙O 的半径得 AO＝2OE，所以∠OAE＝30°.
因此△ABC 和△AEF 都是等边三角形．
因为 AE＝2 3，所以 AO＝4，OE＝2.
因为 OM＝OE＝2，DM＝12MN＝ 3， .
所以四边形 EBCF 的面积为
12×103 32× 23－12×(2
3)2×
23＝163
3 .
[典题 2] 如图，CD 为△ABC 外接圆的切线，AB 的延长 线交直线 CD 于点 D，E、F 分别为弦 AB 与弦 AC 上的点，且 BC·AE＝DC·AF，B，E，F，C 四点共圆．
(2)设 CE＝1，AE＝x. 由已知得 AB＝2 3，BE＝ 12－x2. 由射影定理可得 AE2＝CE·BE， 即 x2＝ 12－x2，即 x4＋x2－12＝0. 解得 x＝ 3，所以∠ACB＝60°.
(1)圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出 角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小．
解析：由切割线定理，得 QA2＝QC·QD＝4⇒QA＝2， 则 PB＝PA＝2QA＝4. 答案：4
高考数学一轮复习第4讲 直线与圆、圆与圆的位置关系 (2)
第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系最新考纲考向预测1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断圆与圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.命题趋势考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系的判断；根据位置关系求参数的范围、最值、几何量的大小等．题型主要以选择题、填空题为主，要求相对较低，但内容很重要，有时也会在解答题中出现.核心素养直观想象、数学建模1．直线与圆的位置关系设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.方法位置关系几何法代数法相交d<r Δ>0相切d＝r Δ＝0相离d>r Δ<0 设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r2(r2>0)．方法位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况外离d>r1＋r2无解外切d＝r1＋r2一组实数解相交|r1－r2|<d<r1＋r2两组不同的实数解内切d＝|r1－r2|(r1≠r2) 一组实数解内含0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)无解常用结论1．圆的切线方程常用结论(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x ＋y0y＝r2.2．两圆相交时公共弦所在直线的方程设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，①圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，②若两圆相交，则有一条公共弦，其公共弦所在直线方程由①－②所得，即：(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0.3．直线与圆相交时，弦心距d，半径r，弦长的一半12l满足关系式r2＝d2＋⎝⎛⎭⎪⎫12l2.常见误区1．求圆的切线方程时，易忽视切线斜率k不存在的情形．2．对于圆与圆的位置关系，从交点的个数，也就是方程组的解的个数来判断，不一定能得到确切的结论．如当Δ＜0时，需要再根据图形判断两圆是外离，还是内含；当Δ＝0时，还需要判断两圆是外切，还是内切．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．()(2)若两个圆的方程组成的方程组无解，则这两个圆的位置关系为外切．()(3)联立两相交圆的方程，并消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．()答案：(1)√ (2)× (3)√2．直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＝1的位置关系为( ) A ．相切 B ．相交但直线不过圆心 C ．直线过圆心D ．相离解析：选B.圆心为(0，0)，到直线y ＝x ＋1即x －y ＋1＝0的距离d ＝12＝22，而0<22<1，但是圆心不在直线y ＝x ＋1上，所以直线与圆相交，但直线不过圆心．3．圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为( ) A ．内切 B ．相交 C ．外切D ．外离解析：选 B.两圆圆心分别为(－2，0)，(2，1)，半径分别为2和3，圆心距d ＝42＋1＝17.因为3－2<d <3＋2，所以两圆相交．4．(2020·高考天津卷)已知直线x －3y ＋8＝0和圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)相交于A ，B 两点．若|AB |＝6，则r 的值为________．解析：依题意得，圆心(0，0)到直线x －3y ＋8＝0的距离d ＝82＝4，因此r 2＝d 2＋(|AB|2)2＝25，又r >0，所以r ＝5.答案：55．(易错题)已知圆C ：x 2＋y 2＝9，过点P (3，1)作圆C 的切线，则切线方程为________．解析：由题意知P 在圆外，当切线斜率不存在时，切线方程为x ＝3，满足题意；当切线斜率存在时，设斜率为k ，所以切线方程为y －1＝k (x －3)，所以kx －y ＋1－3k ＝0，所以|k×0－0＋1－3k|k2＋（－1）2＝3，所以k ＝－43，所以切线方程为4x ＋3y －15＝0.综上，切线方程为x ＝3或4x ＋3y －15＝0.答案：x ＝3或4x ＋3y －15＝0直线与圆的位置关系[题组练透]1．已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外， 则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定解析：选B.因为M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，所以a 2＋b 2＞1，从而圆心O 到直线ax ＋by ＝1的距离d ＝|a·0＋b·0－1|a2＋b2＝1a2＋b2＜1，所以直线与圆相交．2．(2021·南充市第一次适应性考试)若过点A (4，0)的直线l 与圆(x －2)2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是( )A ．(－3，3)B ．[－3，3] C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 解析：选D.方法一：设直线l 的方程为y ＝k (x －4)，联立得⎩⎪⎨⎪⎧（x －2）2＋y2＝1，y ＝k （x －4），则(x －2)2＋k 2(x －4)2＝1，得(k 2＋1)x 2－(8k 2＋4)x ＋16k 2＋3＝0，根据题意知Δ＝(8k 2＋4)2－4(k 2＋1)(16k 2＋3)≥0⇒－33≤k ≤33.方法二：设直线l 的方程为y ＝k (x －4)，直线l 与圆有公共点，则圆心(2，0)到直线l：kx－y－4k＝0的距离d＝|2k－0－4k|k2＋1＝|2k|k2＋1≤1⇒4k2≤k2＋1⇒3k2≤1⇒－33≤k≤3 3.3．圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于1的点的个数为()A．1 B．2C．3 D．4解析：选 C.如图所示，因为圆心到直线的距离为|9＋12－11|5＝2，又因为圆的半径为3，所以直线与圆相交，故圆上到直线的距离为1的点有3个．判断直线与圆的位置关系的方法(1)几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小关系来判断．(2)代数法：联立直线与圆的方程，消元后得到关于x(或y)的一元二次方程，根据一元二次方程的解的个数(也就是方程组解的个数)来判断．①如果Δ<0，那么直线与圆相离；②如果Δ＝0，那么直线与圆相切；③如果Δ>0，那么直线与圆相交．直线与圆的综合问题角度一圆的切线问题(1)(2021·山东济宁第一中学质量检测)过点P(1，2)的直线与圆x2＋y2＝1相切，且与直线ax＋y－1＝0垂直，则实数a的值为()A．0 B．－43 C．0或43 D.43(2)(2020·山东烟台一模)设P为直线3x－4y＋4＝0上的动点，P A，PB为圆C：(x －2)2＋y2＝1的两条切线，A，B为切点，则四边形APBC面积的最小值为()A.3B．23C.5 D ．25【解析】 (1)当a ＝0时，直线ax ＋y －1＝0即直线y ＝1，此时过点P (1，2)且与直线y ＝1垂直的直线为x ＝1，并且x ＝1与圆相切，满足题意，所以a ＝0成立．当a ≠0时，过点P (1，2)且与直线ax ＋y －1＝0垂直的直线斜率为1a ，则直线方程为y －2＝1a (x －1)，即x －ay ＋2a －1＝0，再根据直线与圆相切，即圆心到直线的距离为1可得|2a －1|a2＋1＝1，解得a ＝43.故选C.(2)如图所示．圆C ：(x －2)2＋y 2＝1的圆心为C (2，0)，半径为1，P A ＝PB ，则S四边形APBC ＝2×12·PB ·CB ，又因为△PCB 为直角三角形，所以PB ＝PC2－CB2＝PC2－1，因此S四边形APBC＝PC2－1，要使四边形APBC 的面积最小，则PC 最小，当CP 垂直于直线3x －4y ＋4＝0时，CP 取最小值，即点C 到直线3x －4y ＋4＝0的距离，|PC |min ＝|3×2－4×0＋4|5＝2，故四边形APBC 面积的最小值为22－1＝3.故选A.【答案】 (1)C (2)A圆的切线方程的求法(1)几何法：设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d ，然后令d ＝r ，进而求出k ；(2)代数法：设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k .[注意] 求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，然后求切线方程．若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条(若通过上述方法只求出一个k，则说明另一条切线的斜率一定不存在，此时另一条切线的方程为x＝x0)．角度二圆的弦长问题(1)(2020·高考全国卷Ⅰ)已知圆x2＋y2－6x＝0，过点(1，2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为()A．1 B．2C．3 D．4(2)(2020·豫西南五校3月联考)已知圆C：(x－2)2＋y2＝4，直线l1：y＝3x，l2：y ＝kx－1，若l1，l2被圆C所截得的弦的长度之比为1∶2，则k的值为()A.3 B．1 C.12 D.33【解析】(1)将圆的方程x2＋y2－6x＝0化为标准方程(x－3)2＋y2＝9，设圆心为C，则C(3，0)，半径r＝3.设点(1，2)为点A，过点A(1，2)的直线为l，因为(1－3)2＋22<9，所以点A(1，2)在圆C的内部，则直线l与圆C必相交，设交点分别为B，D.易知当直线l⊥AC时，直线l被该圆所截得的弦的长度最小，设此时圆心C到直线l的距离为d，则d＝|AC|＝（3－1）2＋（0－2）2＝22，所以|BD|min＝2r2－d2＝232－（22）2＝2，即弦的长度的最小值为2，故选B.(2)圆C：(x－2)2＋y2＝4的圆心为C(2，0)，半径为2，圆心到直线l1：y＝3x的距离d1＝232＝3，所以l1被圆C所截得的弦长为24－3＝2.圆心到直线l2的距离d2＝|2k－1|k2＋1，所以l2被圆C所截得的弦长为4＝24－d22，所以d2＝0.所以2k－1＝0，解得k＝12，故选C.【答案】 (1)B (2)C求直线被圆截得的弦长的常用方法(1)几何法：用圆的几何性质求解，运用弦心距、半径及弦的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB |＝2r2－d2；(2)代数法：联立直线与圆的方程得方程组，消去一个未知数得一元二次方程，再利用根与系数的关系结合弦长公式求解，其公式为|AB |＝1＋k2|x 1－x 2|.1．过点P (0，1)的直线l 与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相交于A ，B 两点，若|AB |＝2，则该直线的斜率为( )A ．±1B ．±2C ．±3D ．±2解析：选A.由题意设直线l 的方程为y ＝kx ＋1.因为圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的圆心为(1，1)，半径r ＝1.又弦长|AB |＝2，所以圆心到直线l 的距离d ＝ r2－⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB|22＝1－12＝22，所以|k|k2＋1＝22，解得k ＝±1.故选A. 2．(多选)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－4x ＝0.若直线y ＝k (x ＋1)上存在一点P ，使过点P 所作的圆的两条切线互相垂直，则实数k 的取值可以是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选AB.由x 2＋y 2－4x ＝0，得(x －2)2＋y 2＝4，所以圆C 的圆心坐标为(2，0)，半径为2.过点P 所作的圆的两条切线互相垂直，所以点P 、圆心C 、两切点构成正方形，且正方形的边长为2，所以PC ＝22.又点P 在直线y ＝k (x ＋1)上，所以圆心到直线的距离d ＝|2k －0＋k|1＋k2≤22，解得－22≤k ≤22.故选AB.圆与圆的位置关系(1)(2020·重庆市七校联考)两圆x 2＋y 2＋4x －4y ＝0和x 2＋y 2＋2x －8＝0相交于两点M ，N ，则线段 MN 的长为( )A.355 B ．4 C.655D.1255(2)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离【解析】 (1)两圆方程相减，得直线MN 的方程为x －2y ＋4＝0，圆x 2＋y 2＋2x －8＝0的标准形式为(x ＋1)2＋y 2＝9，所以圆x 2＋y 2＋2x －8＝0的圆心为(－1，0)，半径为3，圆心(－1，0)到直线MN 的距离d ＝35，所以线段MN 的长为232－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝1255.故选D.(2)由题意得圆M 的标准方程为x 2＋(y －a )2＝a 2，圆心(0，a )到直线x ＋y ＝0的距离d ＝a2，所以2a2－a22＝22，解得a ＝2.圆M 与圆N 的圆心距|MN |＝2，小于两圆的半径之和3，大于两圆的半径之差1，故两圆相交．故选B.【答案】 (1)D (2)B圆与圆的位置关系的判断方法(1)几何法：由两圆的圆心距d 与半径R ，r (R ＞r )的关系来判断．d ＞R ＋r ⇔外离；d ＝R ＋r ⇔外切；R －r ＜d ＜R ＋r ⇔相交；d ＝R －r ⇔内切；d ＜R －r ⇔内含．(2)代数法：设圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0，圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0.对于方程组⎩⎨⎧x2＋y2＋D1x ＋E1y ＋F1＝0，x2＋y2＋D2x ＋E2y ＋F2＝0，如果该方程组没有实数解，那么两圆相离；如果该方程组有两组相同的实数解，那么两圆相切；如果该方程组有两组不同的实数解，那么两圆相交．[注意]判断圆与圆的位置关系时，一般不用代数法，因为利用代数法不能判断内切与外切，内含与外离；利用几何法的关键是判断圆心距|C1C2|与R＋r，R－r的关系．1．已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0与圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，若圆C1与圆C2相外切，则实数m＝________．解析：对于圆C1与圆C2的方程，配方得圆C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9，圆C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4，则圆C1的圆心C1(m，－2)，半径r1＝3，圆C2的圆心C2(－1，m)，半径r2＝2.因为圆C1与圆C2相外切，所以|C1C2|＝r1＋r2，即（m＋1）2＋（m＋2）2＝5，m2＋3m－10＝0，解得m＝－5或m＝2.答案：－5或22．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C过点A(0，－8)，且与圆x2＋y2－6x－6y ＝0相切于原点，则圆C的方程为____________．解析：将已知圆化为标准式得(x－3)2＋(y－3)2＝18，圆心为(3，3)，半径为32.由于两个圆相切于原点，连心线过切点，故圆C的圆心在直线y＝x上．由于圆C过点(0，0)，(0，－8)，所以圆心又在直线y＝－4上．联立y＝x和y＝－4，得圆心C的坐标(－4，－4)．又因为点(－4，－4)到原点的距离为42，所以圆C的方程为(x＋4)2＋(y＋4)2＝32，即x2＋y2＋8x＋8y＝0.答案：x2＋y2＋8x＋8y＝0[A级基础练]1．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是()A．[－3，－1] B．[－1，3]C．[－3，1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)|a－0＋1|≤解析：选 C.由题意可得，圆的圆心为(a，0)，半径为2，所以12＋（－1）2 2，即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1.2．圆x2－4x＋y2＝0与圆x2＋y2＋4x＋3＝0的公切线共有()A．1条 B．2条 C．3条 D．4条解析：选 D.圆x2－4x＋y2＝0，即(x－2)2＋y2＝4，其圆心坐标为(2，0)，半径为2；圆x2＋y2＋4x＋3＝0，即(x＋2)2＋y2＝1，其圆心坐标为(－2，0)，半径为1，则两圆的圆心距为4，两圆半径和为3，因为4>3，所以两圆的位置关系是外离，故两圆的公切线共有4条，故选D.3．(多选)已知直线x－2y＋a＝0与圆O：x2＋y2＝2相交于A，B两点(O为坐标原点)，且△AOB为等腰直角三角形，则实数a的值为()A．－6 B．－5 C.6 D.5解析：选BD.因为直线x－2y＋a＝0与圆O：x2＋y2＝2相交于A，B两点(O为坐标原点)，且△AOB为等腰直角三角形，所以O到直线AB的距离为1，由点到直线的＝1，所以a＝±5.距离公式可得|a|12＋（－2）24．在平面直角坐标系xOy中，以点(0，1)为圆心且与直线x－by＋2b＋1＝0相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为()A．x2＋(y－1)2＝4 B．x2＋(y－1)2＝2C．x2＋(y－1)2＝8 D．x2＋(y－1)2＝16解析：选B.直线x－by＋2b＋1＝0过定点P(－1，2)，如图．所以圆与直线x－by ＋2b＋1＝0相切于点P时，以点(0，1)为圆心的圆的半径最大，此时半径r为2，此时圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝2.故选B.5．(2020·宁夏银川一中一模)与3x＋4y＝0垂直，且与圆(x－1)2＋y2＝4相切的一条直线是()A．4x－3y＝6 B．4x－3y＝－6C．4x＋3y＝6 D．4x＋3y＝－6解析：选B.设与直线3x＋4y＝0垂直的直线方程为l：4x－3y＋m＝0(m∈R)，直线l与圆(x－1)2＋y2＝4相切，则圆心(1，0)到直线l的距离为半径2，即|4＋m|5＝2，所以m＝6或m＝－14，所以4x－3y＋6＝0或4x－3y－14＝0，结合选项可知B 正确，故选B.6．圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，3)处的切线方程为________．解析：圆的方程为(x－2)2＋y2＝4，圆心坐标为(2，0)，半径为2，点P在圆上，设切线方程为y－3＝k(x－1)，即kx－y－k＋3＝0，所以|2k－k＋3|k2＋1＝2，解得k＝33.所以切线方程为y－3＝33(x－1)，即x－3y＋2＝0.答案：x－3y＋2＝07．已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴．过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝________．解析：由于直线x＋ay－1＝0是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，所以圆心C(2，1)在直线x＋ay－1＝0上，所以2＋a－1＝0，所以a＝－1，所以A(－4，－1)．所以|AC|2＝36＋4＝40.又r＝2，所以|AB|2＝40－4＝36.所以|AB|＝6.答案：68．(2020·武昌区高三调研)过动点M 作圆C ：(x －2)2＋(y －2)2＝1的切线，N 为切点．若|MN |＝|MO |(O 为坐标原点)，则|MN |的最小值为________．解析：设M (x ，y )，因为|MN |＝|MO |，所以(x －2)2＋(y －2)2－1＝x 2＋y 2，整理得4x ＋4y －7＝0，即动点M 在直线4x ＋4y －7＝0上，所以|MN |的最小值就是|MO |的最小值，为742＋42＝728. 答案：7289．已知圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0.(1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝22时，求直线l 的方程．解：(1)根据题意，圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，则圆C 的标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，其圆心为(0，4)，半径r ＝2，若直线l 与圆C 相切，则有|4＋2a|1＋a2＝2，解得a ＝－34. (2)设圆心C 到直线l 的距离为d ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB|22＋d 2＝r 2，即2＋d 2＝4，解得d ＝2，则有d ＝|4＋2a|1＋a2＝2，解得a ＝－1或－7，则直线l 的方程为x －y ＋2＝0或7x －y ＋14＝0.10．圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，圆O 2的圆心坐标为(2，1)．(1)若圆O 1与圆O 2外切，求圆O 2的方程；(2)若圆O 1与圆O 2相交于A ，B 两点，且|AB |＝22，求圆O 2的方程．解：(1)因为圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，所以圆心O 1(0，－1)，半径r 1＝2. 设圆O 2的半径为r 2，由两圆外切知|O 1O 2|＝r 1＋r 2. 又|O 1O 2|＝（2－0）2＋（1＋1）2＝22，所以r 2＝|O 1O 2|－r 1＝22－2.所以圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝12－82.(2)设圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝r 2，①.又圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，② ①－②得AB 所在的直线方程为4x ＋4y ＋r 2－8＝0.设线段AB 的中点为H ，因为r 1＝2，所以|O 1H |＝r21－|AH |2＝2.又|O 1H |＝|4×0＋4×（－1）＋r22－8|42＋42＝|r22－12|42， 所以|r22－12|42＝2，解得r 2＝4或r 2＝20.所以圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4或(x －2)2＋(y －1)2＝20.[B 级 综合练]11．(多选)(2020·海南海口调研)设有一组圆C k ：(x －k ＋1)2＋(y －2k )2＝1，下列说法正确的是( )A ．这组圆的半径均为1B ．直线2x －y ＋2＝0平分所有的圆C kC ．存在无穷多条直线l 被所有的圆C k 截得的弦长相等D ．存在一个圆C k 与x 轴与y 轴均相切解析：选ABC.对于选项A ：由圆C k 的方程可知，这组圆的半径均为1，故A 正确；对于选项B ：圆C k 的圆心坐标为(k －1，2k )，因为2(k －1)－2k ＋2＝0，所以直线2x －y ＋2＝0过圆C k 的圆心，故B 正确；对于选项C ：由B 知，直线2x －y ＋2＝0平分所有的圆C k ，所以存在无数条与直线2x －y ＋2＝0平行或重合的直线(与直线2x －y ＋2＝0的距离小于1)被所有的圆C k 截得的弦长相等，故C 正确；对于选项D ：若圆C k 与x 轴和y 轴均相切，则⎩⎪⎨⎪⎧|k －1|＝1，|2k|＝1，无解，故D 错误．故选ABC. 12．(2020·四川五校联考)过直线x ＋y ＝0上一点P 作圆(x ＋1)2＋(y －5)2＝2的两条切线l 1，l 2，A ，B 为切点，当直线l 1，l 2关于直线x ＋y ＝0对称时，∠APB ＝( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：选 C.如图，设圆(x ＋1)2＋(y －5)2＝2的圆心为C (－1，5)，则点C 不在直线y ＝－x 上，要满足l 1，l 2关于直线y ＝－x 对称，则PC 必然垂直于直线y ＝－x ，所以k PC ＝1，则l PC ：y －5＝x＋1，即y ＝x ＋6，与y ＝－x 联立，得P (－3，3)．所以|PC |＝（－1＋3）2＋（5－3）2＝22，设∠APC ＝α，则∠APB ＝2α，sin α＝|AC||PC|＝222＝12，故α＝30°，所以∠APB ＝2α＝60°.故选C. 13．已知点P (2，2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．(1)求M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积．解：(1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，所以圆心为C (0，4)，半径为4.设M (x ，y )，则CM→＝(x ，y －4)，MP →＝(2－x ，2－y )． 由题设知CM →·MP→＝0，故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝2. 由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1，3)为圆心，2为半径的圆．由于|OP |＝|OM |， 故O 在线段PM 的垂直平分线上，又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM .因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为－13，故l 的方程为x ＋3y －8＝0.又|OM |＝|OP |＝22，O 到l 的距离为4105，所以|PM |＝4105，S △POM ＝12×4105×4105＝165，故△POM 的面积为165.14．已知圆C 经过(2，4)，(1，3)两点，圆心C 在直线x －y ＋1＝0上，过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C 相交于M ，N 两点．(1)求圆C 的方程；(2)①请问AM →·AN→是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由； ②若OM →·ON→＝12(O 为坐标原点)，求直线l 的方程． 解：(1)设圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧（2－a ）2＋（4－b ）2＝r2，（1－a ）2＋（3－b ）2＝r2，a －b ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，r ＝1，所以圆C 的方程为(x －2)2＋(y －3)2＝1. (2)①AM →·AN→为定值． 过点A (0，1)作直线AT 与圆C 相切，切点为T ，易得|AT |2＝7，所以AM →·AN →＝|AM →|·|AN→|cos 0°＝|AT |2＝7. 所以AM →·AN→为定值，且定值为7. ②依题意可知，直线l 的方程为y ＝kx ＋1，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋1代入(x －2)2＋(y －3)2＝1，并整理，得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0，所以x 1＋x 2＝4（1＋k ）1＋k2，x 1x 2＝71＋k2，所以OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k （1＋k ）1＋k2＋8＝12，即4k （1＋k ）1＋k2＝4，解得k ＝1.又当k ＝1时Δ>0，所以k ＝1，所以直线l 的方程为y ＝x ＋1.[C 级 创新练]15．(多选)已知圆C 1：x 2＋y 2＝r 2，圆C 2：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)交于不同的A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，下列结论正确的有( )A ．a (x 1－x 2)＋b (y 1－y 2)＝0B ．2ax 1＋2by 1＝a 2＋b 2C ．x 1＋x 2＝aD ．y 1＋y 2＝2b解析：选ABC.两圆方程相减可得直线AB 的方程为a 2＋b 2－2ax －2by ＝0，即2ax ＋2by ＝a 2＋b 2，故B 正确；分别把A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)代入2ax ＋2by ＝a 2＋b 2，得2ax 1＋2by 1＝a 2＋b 2，2ax 2＋2by 2＝a 2＋b 2，两式相减得2a (x 1－x 2)＋2b (y 1－y 2)＝0，即a (x 1－x 2)＋b (y 1－y 2)＝0，故A 正确；由圆的性质可知，线段AB 与线段C 1C 2互相平分，所以x 1＋x 2＝a ，y 1＋y 2＝b ，故C 正确．故选ABC.16．(2020·山东东营一中月考)瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中作△ABC ，△ABC 中，AB ＝AC ＝4，点B (－1，3)，点C (4，－2)，且其“欧拉线”与圆(x －3)2＋y 2＝r 2相切，则该圆的直径为( )A ．1 B. 2 C ．2 D ．2 2解析：选D.因为在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，所以BC 边上的高线、垂直平分线和中线合一，则△ABC 的“欧拉线”为边BC 的垂直平分线，因为点B (－1，3)，点C (4，－2)，所以BC 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，因为直线BC 的斜率为3＋2－1－4＝－1，所以BC 的垂直平分线的斜率为1，所以BC 的垂直平分线方程为y －12＝x －32，即x －y －1＝0，因为“欧拉线”与圆(x －3)2＋y 2＝r 2相切，所以可得圆心(3，0)到“欧拉线”的距离d ＝|3－0－1|2＝2＝r ，所以该圆的直径为22，故选D.。
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课时提升作业 七十四 直线与圆的位置关系 (45分钟 60分) 1.(2016·开封模拟)如图,AB是☉O的直径,弦CA,BD的延长线相交于点E,EF垂直BA的延长线于点F,连接FD.求证: (1)∠DEA=∠DFA. (2)AB2=BE·BD-AE·AC.
【证明】(1)连接AD,因为AB为圆的直径, 所以∠ADB=90°, 又EF⊥AB,∠AFE=90°, 则A,D,E,F四点共圆,所以∠DEA=∠DFA. (2)连接BC.由(1)知△ADB∽△EFB, 所以=, 即BD·BE=BA·BF, 又△ABC∽△AEF, 所以=, 即AB·AF=AE·AC, 所以BE·BD-AE·AC=BA·BF-AB·AF=AB·(BF-AF)=AB2. 【加固训练】(2015·广东高考改编)如图,AB为圆O的直径,点E为AB的延长线上一点,过
点E作圆O的切线,切点为点C,过点A作直线EC的垂线,垂足为点D.若AB=4,CE=2,求AD的长度. 【解析】连接ΟC,则ΟC⊥DE, 因为AD⊥DE,所以ΟC∥AD,
所以=, 由切割线定理得:CE2=BE·AE, 所以BE=12, 即BE2+4BE-12=0, 解得: BE=2或BE=-6(舍去),
所以AD===3. 2.(2016·安阳模拟)如图,直线PQ与☉O相切于点A,AB是☉O的弦,∠PAB的平分线AC交☉O于点C,连接CB,并延长与直线PQ相交于点Q,若AQ=6,AC=5.
(1)求证:QC2-QA2=BC·QC. (2)求弦AB的长. 【解析】(1)因为PQ与☉O相切于点A,由切割线定理得: QA2=QB·QC=(QC-BC)QC, 所以QC2-QA2=BC·QC. (2)由(1)可知,QA2=QB·QC=(QC-BC)QC. 因为PQ与☉O相切于点A,所以∠PAC=∠CBA,因为∠PAC=∠BAC,所以 ∠BAC=∠CBA. 所以AC=BC=5,又知AQ=6,所以QC=9. 由∠QAB=∠ACQ知△QAB∽△QCA, 所以=, 所以AB=. 3.(2016·临汾模拟)如图,CF是△ABC边AB上的高,FP⊥BC,FQ⊥AC.
(1)证明:A,B,P,Q四点共圆. (2)若CQ=4,AQ=1,PF=,求CB的长. 【解析】(1)连接QP,由已知C,P,F,Q四点共圆,所以∠QCF=∠QPF. 因为∠A+∠QCF=∠CPQ+∠QPF=90°, 所以∠A=∠CPQ.则四点A,B,P,Q共圆. (2)CF2=CQ×CA=4×5=20,在Rt△CPF中,
CP===, 又CP×CB=CF2,所以CB==6. 【加固训练】(2016·遵义模拟)如图,在正△ABC中,点D,E分别在边AC,AB上,且AD=AC,AE=AB,BD,CE相交于点F,连接DE.
(1)求证:A,E,F,D四点共圆. (2)若正△ABC的边长为2,求A,E,F,D所在圆的半径. 【解析】(1)因为AE=AB, 所以BE=AB. 因为在正△ABC中,AD=AC, 所以AD=BE. 又因为AB=BC,∠BAD=∠CBE, 所以△BAD≌△CBE, 所以∠ADB=∠BEC. 即∠ADF+∠AEF=π, 所以A,E,F,D四点共圆. (2)如图,取AE的中点G,连接GD,
则AG=GE=AE. 因为AE=AB, 所以AG=GE=AB=. 因为AD=AC=,∠DAE=60°, 所以△AGD为正三角形, 所以GD=AG=AD=, 即GA=GE=GD=. 所以点G是△AED外接圆的圆心, 且圆G的半径为. 由于A,E,F,D四点共圆, 即A,E,F,D四点共圆G,其半径为. 4.(2016·保定模拟)如图所示,已知☉O1与☉O2相交于A,B两点,过点A作☉O1的切线交☉O2于点C,过点B作两圆的割线,分别交☉O1,☉O2于点D,E,DE与AC相交于点P.
(1)求证:AD∥EC. (2)若AD是☉O2的切线,且PA=6,PC=2,BD=9,求AD的长. 【解析】(1)连接AB,因为AC是☉O1的切线,所以∠BAC=∠D, 又因为∠BAC=∠E, 所以∠D=∠E,所以AD∥EC. (2)因为PA是☉O1的切线,PD是☉O1的割线, 所以PA2=PB·PD, 所以62=PB·(PB+9), 所以PB=3, 在☉O2中由相交弦定理, 得PA·PC=BP·PE,所以PE=4. 因为AD是☉O2的切线, DE是☉O2的割线, 所以AD2=DB·DE=9×16,所以AD=12. 【加固训练】如图,AB是圆O的直径,且AB=6,CD是弦,BA,CD的延长线交于点P,PA=4,PD=5,求∠COD的大小.
【解析】由割线定理得,PA·PB=PC·PD, 因为PA=4,PD=5, 所以4×10=5·PC,所以PC=8, 所以CD=8-5=3, 所以△CDO是等边三角形,所以∠COD=60°. 5.(2016·郑州模拟)如图,P是☉O外一点,PA是切线,A为切点,割线PBC与☉O相交于点B,C,PC=2PA,D为PC的中点,AD的延长线交☉O于点E.
求证:(1)BE=EC.(2)AD·DE=2PB2. 【解析】(1)连接AB,AC.由题设知PA=PD,故∠PAD=∠PDA.因为∠PDA=∠DAC+ ∠DCA,∠PAD=∠BAD+∠PAB,∠DCA=∠PAB,所以∠DAC=∠BAD,从而=. 因此BE=EC. (2)由切割线定理得PA2=PB·PC.因为PA=PD=DC,所以DC=2PB,BD=PB. 由相交弦定理得AD·DE=BD·DC,所以AD·DE=2PB2. 6.如图,点A是以线段BC为直径的☉O上一点,AD⊥BC于点D,过点B作☉O的切线,与CA的延长线相交于点E,点G是AD的中点,连接CG并延长与BE相交于点F,连接AF并延长与CB的延长线相交于点P.
(1)求证:BF=EF. (2)求证:PA是☉O的切线. 【证明】(1)因为BE是☉O的切线, 所以EB⊥BC. 又因为AD⊥BC,所以AD∥BE. 可知△BFC∽△DGC,△FEC∽△GAC, 所以=,=, 所以=. 又因为G是AD的中点, 所以DG=AG,所以BF=EF. (2)如图,连接AO,AB.
因为BC是☉O的直径, 所以∠BAC=90°. 在Rt△BAE中, 由(1)得知F是斜边BE的中点, 所以AF=FB=EF. 所以∠FBA=∠FAB. 又因为OA=OB, 所以∠ABO=∠BAO. 因为BE是☉O的切线, 所以∠EBO=90°. 所以∠EBO=∠FBA+∠ABO=∠FAB+∠BAO=∠FAO=90°,所以PA是☉O的切线. 【加固训练】1.(2016·郑州模拟)如图,已知圆O是△ABC的外接圆,AB=BC,AD是BC边上的高,AE是圆O的直径.过点C作圆O的切线交BA的延长线于点F. (1)求证:AC·BC=AD·AE.
(2)若AF=2,CF=2,求AE的长.
【解析】(1)连接BE,由题意知△ABE为直角三角形. 因为∠ABE=∠ADC=90°, ∠AEB=∠ACB, △ABE∽△ADC, 所以=, 即AB·AC=AD·AE, 又AB=BC, 所以AC·BC=AD·AE. (2)因为FC是圆O的切线, 所以FC2=FA·FB,
又AF=2,CF=2, 所以BF=4,AB=BF-AF=2, 因为∠ACF=∠FBC, 又∠CFB=∠AFC, 所以△AFC∽△CFB, 所以=, 得AC==, 所以△ABC为等腰三角形, 过B作BH⊥AC于点H,
则cos∠ACD==, 所以sin∠ACD==sin∠AEB, 所以AE==. 2.(2016·邢台模拟)如图,△ABO三边上的点C,D,E都在☉O上,已知AB∥DE,AC=CB. (1)求证:直线AB是☉O的切线. (2)若AD=2,且tan∠ACD=,求☉O的半径r的长.
【解析】(1)如图所示,连接OC. 因为AB∥DE,所以=. 因为OD=OE,所以OA=OB. 因为AC=CB,所以OC⊥AB, 所以直线AB是☉O的切线. (2)延长AO交☉O于点F,连接CF. 由(1)可得∠ACD=∠F. 因为tan∠ACD=,所以tanF=. 因为△ACD∽△AFC,所以==, 而AD=2,所以AC=4. 由切割线定理可得:AC2=AD·(AD+2r), 所以42=2×(2+2r),解得r=3. 3.如图,直线AB为圆的切线,切点为点B,点C在圆上,∠ABC的平分线BE交圆于点E,DB垂直BE交圆于点D.
(1)证明:DB=DC. (2)设圆的半径为1,BC=,延长CE交AB于点F,求△BCF外接圆的半径. 【解析】(1)连接DE交BC于点G. 由弦切角定理得∠ABE=∠BCE,而∠ABE=∠CBE,故∠CBE=∠BCE,BE=CE.又因为DB⊥BE,所以DE为直径,∠DCE=90°, 由勾股定理得DB=DC. (2)由(1)知,∠CDE=∠BDE,DB=DC,
故DG是BC的中垂线,所以BG=. 设DE的中点为O,连接BO,则∠BOG=60°, 从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°, 所以CF⊥BF,
故Rt△BCF的外接圆的半径等于.