浙江专版2018-2019高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.1椭圆及其标准方程精品学案新人教A版选修2
(浙江专版)2018年高中数学第2部分复习课(二)圆锥曲线与方程学案新人教A版选修2_1
复习课(二) 圆锥曲线与方程标准方程在解答题中也会涉及，是高考解析几何的必考内容．[考点精要]椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程[典例] (1)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1，0)，离心率等于2，则C 的方程是( )A ．x 23＋y 24＝1B ．x 24＋y 23＝1C ．x 24＋y 22＝1D ．x 24＋y 23＝1 (2)已知抛物线y 2＝8x 的准线过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为________________．[解析] (1)右焦点为F (1,0)说明两层含义：椭圆的焦点在x 轴上；c ＝1．又离心率为c a ＝12，故a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3，故椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，故选D ． (2)由题意可知抛物线的准线方程为x ＝－2，∴双曲线的半焦距c ＝2．又双曲线的离心率为2，∴a ＝1，b ＝3，∴双曲线的方程为x 2－y 23＝1．[答案] (1)D (2)x 2－y 23＝1[类题通法]求圆锥曲线方程的一般步骤一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤． (1)定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置．(2)定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0)．(3)定量——由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小．[题组训练]1．(天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线过点(2，3)，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝47x 的准线上，则双曲线的方程为( )A ．x 221－y 228＝1 B ．x 228－y 221＝1 C ．x 23－y 24＝1D ．x 24－y 23＝1解析：选D 由双曲线的渐近线y ＝b ax 过点(2，3)， 可得3＝b a×2．①由双曲线的焦点(－a 2＋b 2，0)在抛物线y 2＝47x 的准线x ＝－7上，可得 a 2＋b 2＝7．②由①②解得a ＝2，b ＝3， 所以双曲线的方程为x 24－y 23＝1．2．(全国卷Ⅰ)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．解析：由题意知a ＝4，b ＝2，上、下顶点的坐标分别为(0,2)，(0，－2)，右顶点的坐标为(4,0)．由圆心在x 轴的正半轴上知圆过点(0,2)，(0，－2)，(4,0)三点．设圆的标准方程为(x －m )2＋y 2＝r 2(0<m <4，r >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋4＝r 2，－m 2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝32，r 2＝254.所以圆的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝2543．方程x 24－t ＋y 2t －1＝1表示曲线C ，给出以下命题：①曲线C 不可能为圆； ②若1<t <4，则曲线C 为椭圆； ③若曲线C 为双曲线，则t <1或t >4； ④若曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆，则1<t <52．其中真命题的序号是________(写出所有正确命题的序号)．解析：显然当t ＝52时，曲线为x 2＋y 2＝32，方程表示一个圆；而当1<t <4，且t ≠52时，方程表示椭圆；当t <1或t >4时，方程表示双曲线；而当1<t <52时，4－t >t －1>0，方程表示焦点在x 轴上的椭圆，故③④为真命题．答案：③④圆锥曲线的几何性质是圆锥曲线的核心内容，高考非常重视对圆锥曲线几何性质的考查，试卷中一般以选择题或者填空题的形式考查圆锥曲线的几何性质(主要是椭圆和双曲线的离心率)，在解答题中与圆锥曲线方程的其他知识一起进行综合考查．[考点精要]椭圆、双曲线、抛物线的几何性质[典例] (1)(山东高考)已知双曲线E ：a 2－b2＝1(a ＞0，b ＞0)，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________．(2)已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为________．[解析] (1)如图，由题意知|AB |＝2b2a，|BC |＝2c ．又2|AB |＝3|BC |，∴2×2b 2a＝3×2c ，即2b 2＝3ac ，∴2(c 2－a 2)＝3ac ，两边同除以a 2并整理得2e 2－3e －2＝0，解得e ＝2(负值舍去)．(2)设椭圆C 1和双曲线C 2的离心率分别为e 1和e 2，则e 1＝a 2－b 2a ，e 2＝a 2＋b 2a．因为e 1·e 2＝32，所以a 4－b 4a 2＝32，即⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 4＝14，∴b a ＝22． 故双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ＝±22x ， 即x ±2y ＝0．[答案] (1)2 (2)x ±2y ＝0 [类题通法]求解离心率三种方法(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x 轴上还是y 轴上都有关系式a 2－b 2＝c 2(a 2＋b 2＝c 2)以及e ＝ca，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法．(2)方程法：建立参数a 与c 之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法．(3)几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观．[题组训练]1．如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．其四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A ． 2B ． 3C ．32D ．62解析：选D 焦点F 1(－3，0)，F 2(3，0)， 在Rt △AF 1F 2中，|AF 1|＋|AF 2|＝4， |AF 1|2＋|AF 2|2＝12，所以可解得|AF 2|－|AF 1|＝22， 故a ＝2，所以双曲线的离心率e ＝32＝62，选D ． 2．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于________．解析：不妨设A 在x 轴上方，由于AB 过F 2且垂直于x 轴，因此可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a ，由OD ∥F 2B ，O 为F 1F 2的中点可得D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－b 22a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，－3b 22a ⎝⎛⎭⎪⎫2c ，－b 2a ，又AD ⊥F 1B ，2c 2＋3b 42a2＝0，即3b 4＝4a 2c 2，又b 2＝a 2－c 2，所以可得3(a2－c 2)＝2ac ，两边同时除以a 2，得3e 2＋2e －3＝0，解得e ＝33或－3，又e ∈(0,1)，故椭圆C 的离心率为33． 答案：333．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦距为2c ，右顶点为A ，抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ．若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c ，且|FA |＝c ，则双曲线的渐近线方程为________．解析：c 2＝a 2＋b 2，①由双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c 知，双曲线过点⎝⎛⎭⎪⎫c ，－p 2，即c 2a 2－p 24b 2＝1．② 由|FA |＝c ，得c 2＝a 2＋p 24，③由①③得p 2＝4b 2．④将④代入②，得c 2a 2＝2．∴a 2＋b 2a 2＝2，即ba＝1，故双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，即x ±y ＝0． 答案：x ±y ＝0高考试题中解析几何的解答题一般不会单纯考查圆锥曲线，试题中一般都有直线问题参与，这使得解析几何试题具有广泛的命题背景，当直线与圆锥曲线问题综合时就产生了如：直线与圆锥曲线的位置关系(相交、相切、相离)，直线与曲线交汇产生的一些几何量的范围和最值，动直线(或曲线)过定点等一系列热点问题，这些热点问题都是高考所重视的．[考点精要]直线与圆锥曲线有关的问题(1)直线与圆锥曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量y (或x )得到关于变量x (或y )的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式Δ，则有：Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交于两点；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切于一点；Δ<0⇔直线与圆锥曲线无交点．(2)直线l 截圆锥曲线所得的弦长|AB |＝＋k2x 1－x 22或⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2y 1－y 22，其中k 是直线l 的斜率，(x 1，y 1)，(x 2，y 2)是直线与圆锥曲线的两个交点A ，B 的坐标，且(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，x 1＋x 2，x 1x 2可由一元二次方程的根与系数的关系整体给出．[典例] 已知椭圆的一个顶点为A (0，－1)，焦点在x 轴上，若右焦点到直线x －y ＋22＝0的距离为3．(1)求椭圆的方程；(2)设椭圆与直线y ＝kx ＋m (k ≠0)相交于不同的两点M ，N ，当|AM |＝|AN |时，求m 的取值范围．[解] (1)依题意可设椭圆方程为x 2a2＋y 2＝1(a >1)，则右焦点F (a 2－1，0)， 由题设，知|a 2－1＋22|2＝3，解得a 2＝3，故所求椭圆的方程为x 23＋y 2＝1．(2)设点P 为弦MN 的中点，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 23＋y 2＝1，得(3k 2＋1)x 2＋6mkx ＋3(m 2－1)＝0， 由于直线与椭圆有两个交点， 所以Δ>0，即m 2<3k 2＋1， ① 所以x P ＝x M ＋x N2＝－3mk3k 2＋1，从而y P ＝kx P ＋m ＝m3k 2＋1，所以k AP ＝y P ＋1x P ＝－m ＋3k 2＋13mk，又|AM |＝|AN |，所以AP ⊥MN ，则－m ＋3k 2＋13mk ＝－1k，即2m ＝3k 2＋1， ②把②代入①得2m >m 2， 解得0<m <2， 由②得k 2＝2m －13>0，解得m >12，故所求m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2． [类题通法]有关直线与圆锥曲线综合问题的求解方法(1)将直线方程与圆锥曲线方程联立，化简后得到关于x (或y )的一元二次方程，则直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况：①相交：Δ>0⇔直线与椭圆相交；Δ>0⇒直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有Δ>0，如当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故Δ>0是直线与双曲线相交的充分不必要条件；Δ>0⇒直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有Δ>0，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故Δ>0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，而不是必要条件．②相切：Δ＝0⇔直线与椭圆相切；Δ＝0⇔直线与双曲线相切；Δ＝0⇔直线与抛物线相切．③相离：Δ<0⇔直线与椭圆相离；Δ<0⇔直线与双曲线相离；Δ<0⇔直线与抛物线相离． (2)直线与圆锥曲线的位置关系，涉及函数、方程、不等式、平面几何等诸多方面的知识，形成了求轨迹、最值、对称、取值范围、线段的长度等多种问题．解决此类问题应注意数形结合，以形辅数的方法；还要多结合圆锥曲线的定义，根与系数的关系以及“点差法”等．[题组训练]1．平面上一机器人在行进中始终保持与点F (1,0)的距离和到直线x ＝－1的距离相等．若机器人接触不到过点P (－1,0)且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是________．解析：设机器人所在位置为A (x ，y )，依题意得点A 在以F (1,0)为焦点，x ＝－1为准线的抛物线上，该抛物线的标准方程为y 2＝4x ．过点P (－1,0)，斜率为k 的直线为y ＝k (x ＋1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋k 得ky 2－4y ＋4k ＝0．当k ＝0时，显然不符合题意；当k ≠0时，依题意得Δ＝(－4)2－4k ·4k <0，化简得k 2－1>0，解得k >1或k <－1，因此k 的取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)2．平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)右焦点的直线x ＋y －3＝0交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12．(1)求M 的方程；(2)C ，D 为M 上两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值． 解：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，y 2－y 1x 2－x 1＝－1， 由此可得b 2x 2＋x 1a 2y 2＋y 1＝－y 2－y 1x 2－x 1＝1．因为x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，y 0x 0＝12，所以a 2＝2b 2．又由题意知，M 的右焦点为(3，0)，故a 2－b 2＝3．因此a 2＝6，b 2＝3． 所以M 的方程为x 26＋y 23＝1．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0， x 26＋y 23＝1解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝433，y ＝－33或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝ 3.因此|AB |＝463．由题意可设直线CD 的方程为y ＝x ＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－533<n <3，设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋n ，x 26＋y23＝1得3x 2＋4nx ＋2n 2－6＝0．于是x 3,4＝－2n ±－n 23．因为直线CD 的斜率为1，所以|CD |＝2|x 4－x 3|＝439－n 2．由已知，四边形ACBD 的面积S ＝12|CD |·|AB |＝869 9－n 2．当n ＝0时，S 取得最大值，最大值为863．所以四边形ACBD 面积的最大值为863．1．已知双曲线x 2a －y 2b＝1(a >0，b >0)的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率是( )A ．2B ． 3C ． 2D ．32解析：选C 由题可知y ＝b a x 与y ＝－b a x 互相垂直，可得－b a ·b a＝－1，则a ＝b ．由离心率的计算公式，可得e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a2＝2，e ＝2．2．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝±4x B ．y 2＝±8x C ．y 2＝4xD ．y 2＝8x解析：选B 由题可知抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a4，0，于是过焦点且斜率为2的直线的方程为y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 4，令x ＝0，可得点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a 2，所以S △OAF ＝12×|a |4×|a |2＝4，得a ＝±8，故抛物线的方程为y 2＝±8x ．3．已知一动圆P 与圆O ：x 2＋y 2＝1外切，而与圆C ：x 2＋y 2－6x ＋8＝0内切，则动圆的圆心P 的轨迹是( )A ．双曲线的一支B ．椭圆C ．抛物线D ．圆解析：选A 由题意，知圆C 的标准方程为(x －3)2＋y 2＝1，则圆C 与圆O 相离，设动圆P 的半径为R ．∵圆P 与圆O 外切而与圆C 内切，∴R >1，且|PO |＝R ＋1，|PC |＝R －1．又|OC |＝3，∴|PO |－|PC |＝2<|OC |，即点P 在以O ，C 为焦点的双曲线的右支上．4．我们把由半椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(x ≥0)与半椭圆y 2b 2＋x 2c2＝1(x <0)合成的曲线称作“果圆”(其中a 2＝b 2＋c 2，a >b >c >0)，如图所示，其中点F 0，F 1，F 2是相应椭圆的焦点．若△F 0F 1F 2是边长为1的等边三角形，则a ，b 的值分别为( )A ．72，1 B ．3，1 C ．5,3D ．5,4解析：选 A ∵|OF 2|＝b 2－c 2＝12，|OF 0|＝c ＝3|OF 2|＝32，∴b ＝1，∴a 2＝b 2＋c2＝1＋34＝74，得a ＝72．5．已知抛物线的方程为y 2＝4x ，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为d 1，到直线l 的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值为( )A ．522＋2B ．522＋1C ．522－2D ．522－1解析：选D 因为抛物线的方程为y 2＝4x ，所以焦点坐标为F (1,0)，准线方程为x ＝－1．因为点P 到y 轴的距离为d 1，所以到准线的距离为d 1＋1．又d 1＋1＝|PF |，所以d 1＋d 2＝d 1＋1＋d 2－1＝|PF |＋d 2－1．焦点F 到直线l 的距离记为d ，则d ＝|1－0＋4|2＝52＝522，而|PF |＋d 2≥d ＝522，所以d 1＋d 2＝|PF |＋d 2－1≥522－1，即d 1＋d 2的最小值为522－1． 6．双曲线与椭圆4x 2＋y 2＝64有公共焦点，它们的离心率互为倒数，则双曲线方程为( )A ．y 2－3x 2＝36B ．x 2－3y 2＝36C ．3y 2－x 2＝36D ．3x 2－y 2＝36 解析：选A 由4x 2＋y 2＝64得x 216＋y 264＝1， c 2＝64－16＝48，∴c ＝43，e ＝438＝32． ∴双曲线中，c ′＝43，e ′＝23＝c ′a ′． ∴a ′＝32c ′＝6，b ′2＝48－36＝12． ∴双曲线方程为y 236－x 212＝1，即y 2－3x 2＝36． 7．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，其上一点P (3，y )到两焦点的距离分别是6．5和3．5，则该椭圆的标准方程为________．解析：由椭圆的定义，知2a ＝6．5＋3．5＝10，a ＝5．又⎩⎪⎨⎪⎧ ＋c 2＋y 2＝6.52，－c 2＋y 2＝3.52，解得c ＝52， 从而b 2＝a 2－c 2＝754， 所以椭圆的标准方程为x 225＋4y 275＝1． 答案：x 225＋4y 275＝18．已知直线l 与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，O 4，则直线l 恒过的定点M 的坐标是________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＋y 1y 2＝－4．当直线l 的斜率不存在时，设其方程为x ＝x 0(x 0>0)，则x 20－4x 0＝－4，解得x 0＝2；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋b ，y 2＝4x ，得ky 2－4y ＋4b ＝0，得y 1y 2＝4b k ，则x 1x 2＝y 21y 2216＝b 2k 2，得b 2k 2＋4b k ＝－4，∴b k＝－2，有b ＝－2k ，直线y ＝kx －2k ＝k (x －2)恒过定点(2,0)．又直线x ＝2也恒过定点(2,0)，得点M 的坐标为(2,0)．答案：(2,0)9．已知A (0，－4)，B (3,2)，抛物线y 2＝x 上的点到直线AB 的最短距离为________．解析：直线AB 为2x －y －4＝0，设抛物线y 2＝x 上的点P (t ，t 2)，d ＝|2t －t 2－4|5＝t 2－2t ＋45＝t －2＋35≥35＝355． 答案：35510．如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的长、短轴端点分别为A ，B ，F 1，F 2分别是其左、右焦点．从椭圆上一点M 向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F 1(1)求椭圆的离心率e ；(2)设Q 是椭圆上异于左、右顶点的任意一点，求∠F 1QF 2的取值范围．解：(1)∵F 1(－c,0)，则x M ＝－c ，y M ＝b 2a， ∴k OM ＝－b 2ac． 由题意，知k AB ＝－ba，是共线向量，∴－b 2ac ＝－b a， ∴b ＝c ，得e ＝22． (2)设|F 1Q |＝r 1，|F 2Q |＝r 2，∠F 1QF 2＝θ，∴r 1＋r 2＝2a ．又|F 1F 2|＝2c ，由余弦定理，得cos θ＝r 21＋r 22－4c 22r 1r 2＝r 1＋r 22－2r 1r 2－4c 22r 1r 2＝a 2r 1r 2－1≥a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫r 1＋r 222－1＝0， 当且仅当r 1＝r 2时等号成立，∴cos θ≥0，∴θ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π2．11．如图，焦距为2的椭圆E 的两个顶点分别为A ，B n＝(2，－1)共线．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)若直线y ＝kx ＋m 与椭圆E 有两个不同的交点P 和Q ，且原点O 总在以PQ 为直径的圆的内部，求实数m 的取值范围．解：(1)因为2c ＝2，所以c ＝1(－a ，b )n ，所以2b ＝a ，所以2b 2＝b 2＋1，所以b 2＝1，a 2＝2，所以椭圆E 的标准方程为x 22＋y 2＝1． (2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，把直线方程y ＝kx ＋m 代入椭圆方程x 22＋y 2＝1， 消去y ，得(2k 2＋1)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0， 所以x 1＋x 2＝－4km 2k 2＋1，x 1x 2＝2m 2－22k 2＋1， Δ＝16k 2－8m 2＋8>0，即m 2<2k 2＋1，(*)因为原点O 总在以PQ 为直径的圆的内部，，即x 1x 2＋y 1y 2<0，又y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝m 2－2k 22k 2＋1， 由2m 2－22k 2＋1＋m 2－2k 22k 2＋1<0得m 2<23k 2＋23， 依题意且满足(*)得m 2<23， 故实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－63，63． 12．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝32，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4．(1)求椭圆的方程；(2)设直线l 与椭圆相交于不同的两点A ，B ．已知点A 的坐标为(－a,0)，点Q (0，y 0)在线段AB 4，求y 0的值．解：(1)由e ＝c a ＝32，得3a 2＝4c 2． 再由c 2＝a 2－b 2，得a ＝2b ． 由题意可知12×2a ×2b ＝4，即ab ＝2． 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ，ab ＝2，得a ＝2，b ＝1．所以椭圆的方程为x 24＋y 2＝1． (2)由(1)可知A (－2,0)．设B 点的坐标为(x 1，y 1)，直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)． 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k x ＋，x 24＋y 2＝1消去y 并整理，得 (1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋(16k 2－4)＝0． 由－2x 1＝16k 2－41＋4k 2，得x 1＝2－8k 21＋4k2． 从而y 1＝4k 1＋4k2． 设线段AB 的中点为M ，则M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 21＋4k 2，2k 1＋4k 2． 以下分两种情况：①当k ＝0时，点B 的坐标为(2,0)，线段AB 的垂直平分线为y (－2，－y 0)(2，－y 0)．4，得y 0＝±22．②当k ≠0时，线段AB 的垂直平分线方程为y －2k 1＋4k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8k 21＋4k 2． 令x ＝0，解得y 0＝－6k 1＋4k2．(－2，－y 0)(x 1，y 1－y 0)．2x 1－y 0(y 1－y 0) ＝－2×2－8k 21＋4k 2＋6k 1＋4k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 1＋4k 2＋6k 1＋4k 2＝4×16k 4＋15k 2－11＋4k 22＝4， 整理得7k 2＝2，故k ＝±147．所以y 0＝±2145． 综上，y 0＝±22或y 0＝±2145．。
(浙江专版)2018-2019高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.2 第1课时 抛物线及其标准
第1课时 双曲线的几何性质学习目标 1.了解双曲线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等).2.理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程.3.能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题．知识点一 双曲线的性质标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)y 2a 2－x 2b 2＝1 (a >0，b >0)图形性质范围 x ≥a 或x ≤－a y ≤－a 或y ≥a对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点坐标 A 1(－a,0)，A 2(a,0)A 1(0，－a )，A 2(0，a )渐近线 y ＝±b axy ＝±a bx离心率e ＝ca，e ∈(1，＋∞)，其中c ＝a 2＋b 2 a ，b ，c 间的关系c 2＝a 2＋b 2(c >a >0，c >b >0)知识点二 等轴双曲线思考 求下列双曲线的实半轴长、虚半轴长，并分析其共同点． (1)x 2－y 2＝1；(2)4x 2－4y 2＝1. 答案 (1)的实半轴长1，虚半轴长1 (2)的实半轴长12，虚半轴长12.它们的实半轴长与虚半轴长相等．梳理 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y ＝±x ，离心率为 2.(1)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的形状相同．(√)(2)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线相同．(×)(3)等轴双曲线的渐近线方程与双曲线方程有关．(×) (4)离心率是2的双曲线为等轴双曲线．(√)类型一 双曲线的性质例1 求双曲线9y 2－4x 2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．考点 双曲线的简单几何性质题点 由双曲线方程求a ，b ，c 及渐近线 解 双曲线的方程化为标准形式是x 29－y 24＝1，∴a 2＝9，b 2＝4，∴a ＝3，b ＝2，c ＝13. 又双曲线的焦点在x 轴上， ∴顶点坐标为(－3,0)，(3,0)， 焦点坐标为(－13，0)，(13，0)， 实轴长2a ＝6，虚轴长2b ＝4，离心率e ＝c a ＝133， 渐近线方程为y ＝±23x .引申探究求双曲线nx 2－my 2＝mn (m >0，n >0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．解 把方程nx 2－my 2＝mn (m >0，n >0)化为标准方程为x 2m －y 2n＝1(m >0，n >0)，由此可知，实半轴长a ＝m ， 虚半轴长b ＝n ，c ＝m ＋n ，焦点坐标为(m ＋n ，0)，(－m ＋n ，0)， 离心率e ＝c a＝m ＋nm＝1＋n m，顶点坐标为(－m ，0)，(m ，0)， 所以渐近线方程为y ＝±n mx ，即y ＝±mn m x .反思与感悟 由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤 (1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键． (2)由标准方程确定焦点位置，确定a ，b 的值．(3)由c 2＝a 2＋b 2求出c 的值，从而写出双曲线的几何性质．跟踪训练1 求双曲线9y 2－16x 2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．考点 双曲线的简单几何性质题点 由双曲线方程求a ，b ，c 及渐近线 解 把方程9y 2－16x 2＝144化为标准方程为y 242－x 232＝1.由此可知，实半轴长a ＝4，虚半轴长b ＝3；c ＝a 2＋b 2＝42＋32＝5，焦点坐标是(0，－5)，(0,5)； 离心率e ＝c a ＝54；渐近线方程为y ＝±43x .类型二 由双曲线的性质求标准方程例 2 (1)已知双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为( ) A.x 24－y 24＝1B.y 24－x 24＝1C.x 28－y 24＝1 D.y 28－x 24＝1 考点 双曲线的简单几何性质题点 由双曲线方程求a ，b ，c 及渐近线 答案 B解析 由已知，得双曲线的焦点在y 轴上，从而可设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．∵一个顶点为(0,2)，∴a ＝2.又实轴长与虚轴长之和等于焦距的2倍， ∴2a ＋2b ＝22c . 又a 2＋b 2＝c 2，∴b 2＝4，∴所求双曲线的方程为y 24－x 24＝1.(2)求与双曲线x 216－y 29＝1有共同的渐近线，并且经过点A (23，－3)的双曲线的方程．考点 双曲线的简单几何性质题点 由双曲线方程求a ，b ，c 及渐近线 解 双曲线x 216－y 29＝1的渐近线方程为y ＝±34x .当所求双曲线的焦点在x 轴上时，设所求双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．因为b a ＝34，所以b ＝34a .①因为点A (23，－3)在所求双曲线上，所以12a 2－9b2＝1.②联立①②得方程组无解． 当所求双曲线的焦点在y 轴上时，设所求双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，因为a b ＝34，所以a ＝34b .③因为点A (23，－3)在所求双曲线上，所以9a 2－12b2＝1.④由③④，得a 2＝94，b 2＝4，所以所求双曲线的方程为y 294－x 24＝1.反思与感悟 (1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式． (2)巧设双曲线方程的六种方法与技巧①焦点在x 轴上的双曲线的标准方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．②焦点在y 轴上的双曲线的标准方程可设为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)．③与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共焦点的双曲线方程可设为x 2a 2－λ－y 2b 2＋λ＝1(λ≠0，－b 2<λ<a 2)．④与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)．⑤渐近线为y＝kx的双曲线方程可设为k2x2－y2＝λ(λ≠0)．⑥渐近线为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)．跟踪训练2 (1)求与双曲线y 24－x 23＝1有共同的渐近线，且经过点M (3，－2)的双曲线的标准方程；(2)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝233，过点A (0，－b )和B (a,0)的直线与原点的距离为32，求此双曲线的标准方程． 考点 由双曲线的简单几何性质求方程题点 已知双曲线的焦距、渐近线求双曲线的方程 解 (1)设所求双曲线的方程为y 24－x 23＝λ(λ≠0)．∵点M (3，－2)在双曲线上， ∴44－93＝λ，即λ＝－2. ∴双曲线的标准方程为x 26－y 28＝1.(2)∵e ＝233，∴c a ＝233，∴a 2＋b 2a 2＝43，∴a 2＝3b 2.①又∵直线AB 的方程为bx －ay －ab ＝0， ∴d ＝|ab |a 2＋b2＝32，即4a 2b 2＝3(a 2＋b 2)．② 解①②组成的方程组，得a 2＝3，b 2＝1. ∴双曲线的标准方程为x 23－y 2＝1.类型三 求双曲线的离心率例3 已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，PQ 是经过F 1且垂直于x 轴的双曲线的弦，如果∠PF 2Q ＝90°，求双曲线的离心率． 考点 双曲线的离心率与渐近线 题点 求双曲线的离心率解 设F 1(c,0)，将x ＝c 代入双曲线的方程得c 2a 2－y 2b 2＝1，那么y ＝±b 2a.由|PF 2|＝|QF 2|，∠PF 2Q ＝90°，知|PF 1|＝|F 1F 2|，所以b 2a＝2c ，所以b 2＝2ac ，所以c 2－2ac －a 2＝0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2－2×c a－1＝0， 即e 2－2e －1＝0，所以e ＝1＋2或e ＝1－2(舍去)， 所以双曲线的离心率为1＋ 2.反思与感悟 求双曲线离心率的三种方法： (1)若可求得a ，c ，则直接利用e ＝c a求解． (2)若已知a ，b ，可直接利用e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2求解．(3)若得到的是关于a ，c 的齐次方程pc 2＋q ·ac ＋r ·a 2＝0(p ，q ，r 为常数，且p ≠0)，则转化为关于e 的方程pe 2＋q ·e ＋r ＝0求解．跟踪训练3 设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(b ＞a ＞0)的焦距为2c ，直线l 过点A (a,0)，B (0，b )两点，已知原点到直线l 的距离为34c ，则双曲线的离心率为________． 考点 双曲线的离心率与渐近线 题点 求双曲线的离心率 答案 2解析 如图所示，在△OAB 中， |OA |＝a ，|OB |＝b ，|OE |＝34c ， |AB |＝a 2＋b 2＝c .因为|AB |·|OE |＝|OA |·|OB |， 所以c ·34c ＝ab ，即34(a 2＋b 2)＝ab ， 两边同除以a 2，得34⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2－b a ＋34＝0， 解得ba ＝3或b a ＝33(舍去)， 所以e ＝ca ＝a 2＋b 2a 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝2.1．已知双曲线方程为x 2－8y 2＝32，则( )A ．实轴长为42，虚轴长为2B ．实轴长为82，虚轴长为4C ．实轴长为2，虚轴长为4 2D ．实轴长为4，虚轴长为8 2 考点 双曲线的简单几何性质 题点 由双曲线方程求a ，b ，c 答案 B解析 双曲线方程x 2－8y 2＝32化为标准方程为x 232－y 24＝1，可得a ＝42，b ＝2，所以双曲线的实轴长为82，虚轴长为4.2．下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y ＝±12x 的是( )A ．x 2－y 24＝1B ．x 24－y 2＝1C ．y 24－x 2＝1D ．y 2－x 24＝1考点 由双曲线的简单几何性质求方程题点 已知双曲线的焦距、渐近线求双曲线的方程 答案 D解析 从选项知，焦点在y 轴上的双曲线有y 24－x 2＝1与y 2－x 24＝1，而y 24－x 2＝1的渐近线方程是y ＝±2x ，y 2－x 24＝1的渐近线方程是y ＝±12x ，故选D.3．(2017·浙江余姚中学期中)设F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 是双曲线C 的右支上的点，射线PT 平分∠F 1PF 2，过原点O 作PT 的平行线交PF 1于点M ，若|MP |＝13|F 1F 2|，则双曲线C 的离心率为( )A.32B ．3C.2D. 3 答案 A4．与双曲线x 24－y 29＝1共渐近线且经过点M (26，6)的双曲线的标准方程为__________．答案x 28－y 218＝1 解析 设双曲线的标准方程为x 24－y 29＝t (t ≠0)，又经过点M (26，6)， ∴244－369＝t ，即t ＝2， 故所求双曲线的标准方程为x 28－y 218＝1.5．已知F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A (0,66)．当△APF 周长最小时，该三角形的面积为________． 考点 双曲线的简单几何性质 题点 由双曲线方程研究其他问题 答案 12 6解析 设左焦点为F 1，|PF |－|PF 1|＝2a ＝2，∴|PF |＝2＋|PF 1|，△APF 的周长为|AF |＋|AP |＋|PF |＝|AF |＋|AP |＋2＋|PF 1|，△APF 周长最小即为|AP |＋|PF 1|最小，当A ，P ，F 1在一条直线上时最小，过AF 1的直线方程为x －3＋y66＝1，与x 2－y 28＝1联立，解得P 点坐标为(－2,26)，此时S ＝－＝12 6.1．随着x 和y 趋向于无穷大，双曲线将无限地与渐近线接近，但永远没有交点；由渐近线方程可确定a 与b 或b 与a 的比值，但无法确定焦点位置．2．求渐近线的方程，常把双曲线的方程右边的常数写成0，分解因式即得渐近线方程，若已知渐近线方程mx ＋ny ＝0，求双曲线的方程，常将双曲线的方程设为x 2n 2－y 2m2＝λ(λ≠0)求解．3．与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)有共同渐近线的双曲线系的方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0，a ＞0，b ＞0).一、选择题1．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( ) A ．2B ．22C ．4D ．4 2 考点 双曲线的简单几何性质题点 由双曲线方程求a ，b ，c 及渐近线 答案 C解析 将双曲线化成标准形式为x 24－y 28＝1，得2a ＝4.2．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±12xD ．y ＝±22x 考点 双曲线的离心率与渐近线 题点 渐近线与离心率的关系 答案 B 解析 由e ＝c a＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝3，得⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝2.故渐近线方程为y ＝±2x ，故选B.3．设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则C 的离心率为( ) A. 2B.32C. 3D.62考点 双曲线的简单几何性质 题点 求双曲线的离心率 答案 C解析 不妨设|PF 1|＞|PF 2|，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ， 又|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，解得|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ， 则∠PF 1F 2是△PF 1F 2的最小内角，为30°， ∴|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 2F 1|2－2|PF 1||F 2F 1|cos 30°， ∴(2a )2＝(4a )2＋(2c )2－2×4a ×2c ×32， 化为e 2－23e ＋3＝0，解得e ＝ 3.4．设双曲线x 2a ＋y 29＝1的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为( )A ．－4B ．－3C ．2D ．1 考点 双曲线的简单几何性质题点 由双曲线方程求a ，b ，c 及渐近线 答案 A解析 ∵方程表示双曲线，∴a <0，标准方程为y 29－x 2－a＝1， ∴渐近线方程为y ＝±3－a x ， ∴3－a ＝32，解得a ＝－4. 5．等轴双曲线的一个焦点是F 1(－6,0)，则其标准方程为( )A.x 29－y 29＝1B.y 29－x 29＝1C.y 218－x 218＝1D.x 218－y 218＝1 考点 由双曲线的简单几何性质求方程题点 已知双曲线的焦距求方程答案 D解析 ∵等轴双曲线的一个焦点为F 1(－6,0)，∴c ＝6，∴2a 2＝36，a 2＝18，∴双曲线的标准方程为x 218－y 218＝1. 6．(2017·浙江名校联盟联考)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线l 与双曲线右支交于A ，B 两点(B 在第四象限)，若△ABF 1是B 为直角顶点的等腰直角三角形，设该双曲线的离心率为e ，则e 2为( ) A ．5－2 2 B ．5＋2 2 C ．4＋2 2 D ．4－2 2 答案 A 7．设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点，过点F 且斜率为－1的直线l 与双曲线C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若AB →＝－3AF →，则双曲线C 的离心率e 等于( )A.103B.52C.5D.343 考点 双曲线的简单几何性质题点 求双曲线的离心率答案 D解析 设F (c,0)，则过双曲线：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 且斜率为－1的直线l 的方程为y ＝－(x －c )，而渐近线方程是y ＝±b ax ， 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝c －x ，y ＝－b a x ，得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ac a －b ，－bc a －b ， 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝c －x ，y ＝b ax ，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫ac a ＋b ，bc a ＋b ， AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2abc a 2－b 2，－2abc a 2－b 2， AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫bc a ＋b ，－bc a ＋b ， 由AB →＝－3AF →，得⎝⎛⎭⎪⎫2abc a 2－b 2，－2abc a 2－b 2＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫bc a ＋b ，－bc a ＋b ， 则2abc a 2－b 2＝－3·bc a ＋b， 即b ＝53a ， 则c ＝a 2＋b 2＝343a ， 则e ＝ca ＝343，故选D. 二、填空题8．(2017·嘉兴一中期末)双曲线C ：x 2－4y 2＝1的焦距是________，双曲线C 的渐近线方程是__________． 答案 5 y ＝±12x 9．已知双曲线y 2－x 2m＝1(m ＞0)的离心率e ∈(1,2)，则m 的取值范围是________． 考点 双曲线的离心率与渐近线题点 双曲线离心率的取值范围答案 (0,3)解析 由双曲线y 2－x 2m ＝1(m ＞0)知，a ＝1，b ＝m ，所以e ＝c a ＝1＋m ，又e ∈(1,2)，所以1＜1＋m ＜2，解得0＜m ＜3. 10．(2017·金华一中月考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦点到其渐近线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为______________．答案 y ＝±2x11．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点F (－c,0)(c ＞0)作圆x 2＋y 2＝a 24的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若OE →＝12(OF →＋OP →)，则双曲线的离心率为________． 考点 双曲线的简单几何性质题点 求双曲线离心率答案 102解析 如图，设双曲线的右焦点为M ，连接PM .∵OE ⊥PF ，∴在Rt △OEF 中，|EF |＝c 2－a 24. 又OE →＝12(OF →＋OP →)， ∴E 是PF 的中点，∴|PF |＝2|EF |＝2c 2－a 24， |PM |＝2|OE |＝a .由双曲线的定义知，|PF |－|PM |＝2a ，∴2 c 2－a 24－a ＝2a ， ∴e ＝c a ＝102. 三、解答题12．已知双曲线的一条渐近线为x ＋3y ＝0，且与椭圆x 2＋4y 2＝64有相同的焦距，求双曲线的标准方程．考点 由双曲线的简单几何性质求方程题点 已知双曲线的焦距、渐近线求双曲线的方程解 椭圆方程为x 264＋y 216＝1，可知椭圆的焦距为8 3.①当双曲线的焦点在x 轴上时，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＝48，b a ＝33，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝36，b 2＝12.∴双曲线的标准方程为x 236－y 212＝1；②当双曲线的焦点在y 轴上时，设双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＝48，a b ＝33， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝12，b 2＝36.∴双曲线的标准方程为y 212－x 236＝1.由①②可知，双曲线的标准方程为 x 236－y 212＝1或y 212－x 236＝1.13．已知点A (0,1)，点P 在双曲线C ：x 22－y 2＝1上． (1)当|PA |最小时，求点P 的坐标；(2)过点A 的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于M ，N 两点，O 为坐标原点，若△OMN 的面积为23，求直线l 的方程．考点 双曲线的简单几何性质题点 由双曲线方程研究其他问题解 (1)设P (x ，y )，则|PA |＝x 2＋(y －1)2 ＝2＋2y 2＋(y －1)2＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫y －132＋83， 当y ＝13时，|PA |最小， 故所求点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫±253，13. (2)由题知直线l 的斜率存在，故可设l 的方程为y ＝kx ＋1，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，与双曲线方程联立得(1－2k 2)x 2－4kx －4＝0，则Δ＝16(1－k 2)＞0且－41－2k 2＜0，即k 2＜12. 由根与系数的关系得x 1＋x 2＝4k 1－2k 2，x 1x 2＝－41－2k2， ∴|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝16(1－k )21－2k 2， S △OMN ＝12×1×|x 1－x 2|＝12·16(1－k 2)1－2k2＝23， 解得k 2＝14或k 2＝23(舍去)，即k ＝±12， ∴l 的方程为x －2y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0.四、探究与拓展 14．已知F 1，F 2分别是双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( ) A. 2B.32C. 3D ．2考点 双曲线的简单几何性质题点 求双曲线的离心率答案 A解析 因为MF 1与x 轴垂直，所以|MF 1|＝b 2a. 又sin ∠MF 2F 1＝13，所以|MF 1||MF 2|＝13， 即|MF 2|＝3|MF 1|.由双曲线的定义，得2a ＝|MF 2|－|MF 1|＝2|MF 1|＝2b 2a， 所以b 2＝a 2，所以c 2＝b 2＋a 2＝2a 2，所以离心率e ＝c a ＝ 2. 15．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a ＞0)，直线l ：x ＋y ＝1，双曲线C 与直线l 有两个不同交点A ，B ，直线l 与y 轴交点为P .(1)求离心率e 的取值范围；(2)若PA →＝512PB →，求a 的值． 考点 双曲线的简单几何性质题点 由双曲线方程研究其他问题解 (1)由双曲线C 与直线l 相交于两个不同的点，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2＝1，x ＋y ＝1有两个不同的解， 消去y 并整理，得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0，①∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠0，Δ＝4a 4＋8a 2(1－a 2)＞0， 解得－2＜a ＜2且a ≠±1. 又∵a ＞0，∴0＜a ＜2且a ≠1.∵双曲线的离心率e ＝1＋a 2a ＝1a 2＋1， ∵0＜a ＜2且a ≠1，∴e ＞62且e ≠2，∴双曲线C 的离心率e 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫62， 2∪(2，＋∞)．(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，易得P (0,1)． ∵PA →＝512PB →， ∴(x 1，y 1－1)＝512(x 2，y 2－1)， 由此可得x 1＝512x 2. ∵x 1，x 2都是方程①的根，且1－a 2≠0， ∴x 1＋x 2＝1712x 2＝－2a21－a 2.x 1x 2＝512x 22＝－2a21－a 2，消去x 2得－2a 21－a 2＝28960，即a 2＝289169.又∵a ＞0，∴a ＝1713.。
2018年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.1 椭圆的标准方程课件1 新人教B版选修2-1
F1 O F2
x
O
x
F1
标准方程 焦点坐标
x2 + y2 = 1a > b > 0
a2 b2
y2 + x2 = 1a > b > 0
a2 b2
F1 -c , 0，F2 c , 0 F1 0,- c，F2 0,c
a、b、c 的关系
a2=b2+c2
焦点位置的判断 哪个分母大，焦点就在哪个轴上
（五）尝试应用
根据下列椭圆方程，写出a，b，c的值，
并指出焦点的坐标：
（1） x2 y2 1；
16 9
（1） a
；
（2）
y2 x2 1 25 16
（2） a
；
b
；
b
；
c
；
c
；
焦点坐标为
. 焦点坐标为
.
（六）典例分析
例1、已知椭圆的两个焦点的坐标分别
是F1(-
2、0),F2（2，0）,并且经过点P
5 2
2.2.1 椭圆及其标准方程（1）
（一）认识椭圆
（二）动手试验
(1)取一条一定长的细绳. (2)把它的两端用图钉固定在画板上 (3) 用铅笔尖把绳子拉直，使笔尖在纸 板上慢慢移动，画出什么图形？
（三）概念透析
椭圆的定义
平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数
（大于|F1F2 |）的点的轨迹叫椭圆.
，-
3 2
，
求椭圆的标准方程。
（六）典例分析
例1、已知椭圆的两个焦点的坐标分别
是F1(-
2、0),F2（2，0）,并且经过点P
5 2
，-
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2019-2020学年浙江高二人A数学选修2-1第二章 圆锥曲线与方程_2.2.1 椭圆及其标准方程
2.2 椭圆2.2.1 椭圆及其标准方程1.(2018·福建期末)设F1(-4,0),F2(4,0)为定点,动点M满足|MF1|+|MF2|=8,则动点M的轨迹是( D )(A)椭圆(B)直线(C)圆(D)线段解析:若点M与F1,F2可以构成一个三角形,则|MF1|+|MF2|>|F1F2|,因为|F1F2|=8,动点M满足|MF1|+|MF2|=8,所以点M在线段F1F2上.故选D.2.设F1,F2是椭圆+=1的焦点,P是椭圆上的点,则△PF1F2的周长是( B )(A)16 (B)18 (C)20 (D)不确定解析:由方程+=1知a=5,b=3,所以c=4,所以|PF1|+|PF2|=2a=10,|F1F2|=2c=8,所以△PF1F2的周长为18.故选B.3.命题甲:动点P到两定点A,B的距离之和|PA|+|PB|=2a(a>0,常数);命题乙:P点轨迹是椭圆.则命题甲是命题乙的( B )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分且必要条件(D)既不充分又不必要条件解析:利用椭圆定义.若P点轨迹是椭圆,则|PA|+|PB|=2a(a>0,常数),所以甲是乙的必要条件.反过来,若|PA|+|PB|=2a(a>0,常数)是不能推出P点轨迹是椭圆的. 这是因为:仅当2a>|AB|时,P点轨迹才是椭圆;而当2a=|AB|时,P点轨迹是线段AB;当2a<|AB|时,P点无轨迹,所以甲不是乙的充分条件. 综上,甲是乙的必要不充分条件.故选B.4.以两条坐标轴为对称轴的椭圆过点P(,-4)和Q(-,3),则此椭圆的方程是( A )(A)+x2=1 (B)+y2=1(C)+y2=1或x2+=1 (D)以上都不对解析:设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),则解得所以椭圆方程为x2+=1.故选A.5.(2018·海淀区校级期末)已知方程+=1表示的曲线是椭圆,则实数m的取值范围是( B )(A)(-1,2) (B)(-1,)∪(,2)(C)(-1,) (D)(,2)解析:根据题意,方程+=1表示的曲线是椭圆,则解得-1<m<2,且m≠,故m的取值范围为(-1,)∪(,2).故选B.6.已知椭圆的焦点是F1,F2,P是椭圆上的一个动点,如果延长F1P到Q,使得|PQ|=|PF2|,那么动点Q的轨迹是( A )(A)圆(B)椭圆(C)抛物线(D)无法确定解析:由题意得|PF1|+|PF2|=2a(a为大于零的常数,且2a>|F1F2|), |PQ|=|PF2|,所以|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PQ|=2a,即|F1Q|=2a.所以动点Q到定点F1的距离等于定长2a,故动点Q的轨迹是圆.故选A.7.已知椭圆x2sin α-y2cos α=1(0≤α<2π)的焦点在y轴上,则α的取值范围是( D )(A)(π,π) (B)(,π)(C)(,π) (D)(,π)解析:椭圆x2sin α-y2cos α=1(0≤α<2π)化为标准方程,得+=1,因为它的焦点在y轴上,所以所以0<-cos α<sin α,因为0≤α<2π,所以<α<.故选D.8.已知P是椭圆+=1(0<n<5)上除顶点外的一点,F1是椭圆的左焦点,若|+|=8,则点P到该椭圆左焦点的距离为( C )(A)6 (B)4 (C)2 (D)解析:设椭圆右焦点是F2,PF1的中点为N,则+=2,所以|+|=2||=8,所以||=4,又O为F1F2中点,所以ON为△PF1F2的中位线,所以|PF2|=2||=8,由方程可知a=5,所以|PF1|=2a-|PF2|=2×5-8=2.故选C.9.椭圆+=1上一点P到椭圆左焦点的距离为7,则点P到右焦点的距离为.解析:根据椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a,所以7+|PF2|=20,解得|PF2|=20-7=13.答案:1310.椭圆的两焦点为F1(-4,0),F2(4,0),点P在椭圆上,若△PF1F2的面积最大为12,则椭圆方程为.解析:如图,当P在y轴上时△PF1F2的面积最大,所以×8b=12,所以b=3.又因为c=4,所以a2=b2+c2=25.所以椭圆的标准方程为+=1.答案:+=111.方程+=10,化简的结果是.解析:因为方程+=10表示平面内到定点F1(-2,0),F2(2,0)的距离的和是常数10(10>4)的点的轨迹,所以它的轨迹是以F1,F2为焦点,2a=10,焦距2c=4的椭圆,所以a=5,c=2,b==,所以椭圆的方程是+=1,即为化简的结果.答案:+=112.(2018·兰州校级期末)已知点A,B的坐标分别为(-5,0),(5,0),直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积是-,则点M的轨迹方程为 .解析:设M(x,y),因为A(-5,0),B(5,0),所以k AM=(x≠-5),k BM=(x≠5).由已知,·=-,化简,得4x2+9y2=100(x≠±5).即+=1(x≠±5).答案:+=1(x≠±5)13.求满足下列条件的椭圆的标准方程.(1)两个焦点的坐标分别是(-4,0)和(4,0),且椭圆经过点(5,0);(2)焦点在y轴上,且经过两个点(0,2)和(1,0).解:(1)因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为+=1 (a>b>0).将点(5,0)代入上式解得a=5,又c=4,所以b2=a2-c2=25-16=9.故椭圆的标准方程为+=1.(2)因为椭圆的焦点在y轴上,所以设它的标准方程为+=1(a>b>0).因为椭圆经过点(0,2)和(1,0),所以⇒故椭圆的标准方程为+x2=1.14.△ABC的三边a>b>c且成等差数列,A,C两点的坐标分别是(-1,0), (1,0),求顶点的轨迹.解:由条件△ABC的三边a>b>c且成等差数列,A,C两点的坐标分别是(-1,0),(1,0),得a+c=2b,即BC+BA=4>2, 所以B满足椭圆的定义,所以2a=4,2c=2, 2b=2,B的轨迹方程为+=1,又因为a>b>c,所以BC>AB,所以x<0,又因为B,A,C不能在同一直线上,所以x≠-2,所以顶点B的轨迹方程为+=1(-2<x<0).轨迹是两段椭圆弧.15.P是椭圆+y2=1上的点,F1,F2是椭圆的两个焦点.(1)当∠F1PF2=60°时,求△F1PF2的面积;(2)当∠F1PF2为钝角时,求点P横坐标的取值范围.解:(1)由椭圆的定义,得|PF1|+|PF2|=4, ①且F 1(-,0),F2(,0).在△F1PF2中,由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos 60°.②由①②得|PF1||PF2|=.所以=|PF 1||PF2|sin∠F1PF2=.(2)设点P(x,y),由已知∠F1PF2为钝角,得·<0,所以(x+,y)·(x-,y)<0,又y2=1-,所以x2<2,解得-<x<,所以点P横坐标的取值范围是(-,).16.(2018·成都模拟)已知A,B是椭圆C:+=1上关于坐标原点O对称的两个点,P,M,N是椭圆C异于A,B的点,且AP∥OM,BP∥ON,则△MON的面积为( C )(A)(B)(C)(D)解析:A(0,3),B(0,-3),P(-5,0),则直线OM,ON的方程分别为y=x,y=-x,所以M(,),N(,-),所以S△MON=××=.故选C.17.已知椭圆C:+=1,M,N是坐标平面内的两点,且M与C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在C上,则|AN|+|BN|等于( B )(A)4 (B)8 (C)12 (D)16解析:设MN的中点为D,椭圆C的左、右焦点分别为F1,F2,如图,连接DF1,DF2,因为F1是MA的中点,D是MN的中点,所以F1D是△MAN的中位线,则|DF1|=|AN|,同理|DF2|=|BN|,所以|AN|+|BN|=2(|DF1|+|DF2|),因为D在椭圆上,所以根据椭圆的定义知|DF1|+|DF2|=4,所以|AN|+|BN|=8.故选B.18.已知P为椭圆+=1上的一点,M,N分别为圆(x+3)2+y2=1和圆(x-3)2+y2=4上的点,则|PM|+|PN|的最小值为.解析:由题意知椭圆的两个焦点F1,F2分别是两圆的圆心,且|PF1|+|PF2|=10,从而|PM|+|PN|的最小值为|PF1|+|PF2|-1-2=7.答案:719.若椭圆C1:+=1(a1>b1>0)和椭圆C2:+=1(a2>b2>0)的焦点相同且a1>a2,给出如下五个结论:①椭圆CC2一定没有公共点;②>;③-=-;④a1-a2<b1-b2;⑤椭圆C1比椭圆C2更“圆”.其中正确的序号为.解析:-==<0,所以<,=-即-=由③得=答案:①③④⑤20.已知动圆M和定圆C1:x2+(y-3)2=64相内切,并且外切于定圆C2:x2+(y+3)2=4,求动圆圆心M的轨迹方程.解:设动圆M的半径为r,圆心M(x,y),两定圆圆心C1(0,3),C2(0,-3),半径r1=8,r2=2.则|MC1|=8-r,|MC2|=r+2.故|MC1|+|MC2|=(8-r)+(r+2)=10.又|C1C2|=6,则动圆圆心M的轨迹是椭圆,设其方程为+=1(a>b>0),且焦点为C1(0,3),C2(0,-3),2a=10,即a=5,c=3,则b2=a2-c2=25-9=16.所以动圆圆心M的轨迹方程是+=1.。
浙江专版2018-2019高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.2第2课时椭圆的几何性质及应用精品学案新人教A版选修2
第2课时 椭圆的几何性质及应用学习目标 1.进一步巩固椭圆的简单几何性质.2.掌握直线与椭圆的位置关系等知识.3.会判断直线与椭圆的位置关系．知识点一 点与椭圆的位置关系思考 类比点与圆的位置关系的判定，你能给出点P (x 0，y 0)与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的位置关系的判定吗？答案 当P 在椭圆外时，x 20a 2＋y 20b 2>1；当P 在椭圆上时，x 20a 2＋y 20b 2＝1；当P 在椭圆内时，x 20a 2＋y 20b2<1.梳理 设P (x 0，y 0)，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则点P 与椭圆的位置关系如下表所示：知识点二 直线与椭圆的位置关系思考 类比直线与圆的位置关系，给出直线与椭圆的位置关系． 答案 有三种位置关系：相离、相切和相交． 梳理 判断直线和椭圆位置关系的方法直线y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的位置关系的判断方法：联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y2b2＝1，消去y ，得关于x 的一元二次方程．当Δ＞0时，方程有两个不同解，直线与椭圆相交； 当Δ＝0时，方程有两个相同解，直线与椭圆相切； 当Δ＜0时，方程无解，直线与椭圆相离． 知识点三 弦长公式设直线l ：y ＝kx ＋m (k ≠0，m 为常数)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)相交，两个交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则线段AB 叫做直线l 截椭圆所得的弦，线段AB 的长度叫做弦长．弦长公式：|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，其中x 1＋x 2与x 1x 2均可由根与系数的关系得到．(1)若直线的斜率一定，则当直线过椭圆的中心时，弦长最大．(√) (2)直线x 2－y ＝1被椭圆x 24＋y 2＝1截得的弦长为 5.(√)(3)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与点P (b,0)，过点P 可作出该椭圆的一条切线．(×)(4)直线y ＝k (x －a )与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的位置关系是相交．(√)类型一 点、直线与椭圆位置关系的判断 命题角度1 点与椭圆位置关系的判断例1 已知点P (k,1)，椭圆x 29＋y 24＝1，点在椭圆外，则实数k 的取值范围为____________．考点 椭圆的简单几何性质 题点 点与椭圆的位置关系答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－332∪⎝ ⎛⎭⎪⎫332，＋∞解析 由题可知k 29＋14>1， 解得k <－332或k >332.引申探究若将本例中P 点坐标改为“P (1，k )”呢？ 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－423∪⎝ ⎛⎭⎪⎫423，＋∞解析 由19＋k 24>1，解得k 2>329，即k <－423或k >423.反思与感悟 处理点与椭圆位置关系问题时，紧扣判定条件，然后转化为解不等式等问题，注意求解过程与结果的准确性．跟踪训练1 已知点(3,2)在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上，则( )A ．点(－3，－2)不在椭圆上B ．点(3，－2)不在椭圆上C ．点(－3,2)在椭圆上D ．以上都不正确考点 椭圆的简单几何性质 题点 点与椭圆的位置关系 答案 C解析 由已知，得9a 2＋4b2＝1，只有选项C 正确．命题角度2 直线与椭圆位置关系的判断例2 对不同的实数m ，讨论直线y ＝x ＋m 与椭圆x 24＋y 2＝1的位置关系．考点 直线与椭圆的位置关系 题点 直线与椭圆的公共点个数问题解 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y ，得5x 2＋8mx ＋4m 2－4＝0，Δ＝(8m )2－4×5×(4m 2－4)＝16×(5－m 2)． 当－5＜m ＜5时，Δ＞0，直线与椭圆相交； 当m ＝－5或m ＝5时，Δ＝0，直线与椭圆相切； 当m ＜－5或m ＞5时，Δ＜0，直线与椭圆相离．反思与感悟 判断直线与椭圆位置关系时，准确计算出判别式Δ是解题关键．跟踪训练2 在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0，2)且斜率为k 的直线l 与椭圆x 22＋y2＝1有两个不同的交点P 和Q ，求k 的取值范围． 考点 直线与椭圆的位置关系题点 直线与椭圆的公共点个数问题解 由已知条件知直线l 的方程为y ＝kx ＋2， 代入椭圆方程得x 22＋(kx ＋2)2＝1，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋k 2x 2＋22kx ＋1＝0，直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于Δ＝8k 2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋k 2＝4k 2－2＞0，解得k ＜－22或k ＞22， 所以k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－22∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞. 类型二 弦长问题例3 已知椭圆4x 2＋5y 2＝20的一个焦点为F ，过点F 且倾斜角为45°的直线l 交椭圆于A ，B 两点，求弦长|AB |.考点 直线与椭圆的位置关系题点 直线与椭圆相交求弦长与三角形面积 解 椭圆的标准方程为x 25＋y 24＝1，a ＝5，b ＝2，c ＝1，∴直线l 的方程为y ＝x ＋1(不失一般性，设l 过左焦点)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，4x 2＋5y 2＝20，消去y ，得9x 2＋10x －15＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－109，x 1x 2＝－53，|AB |＝2|x 1－x 2|＝2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1092－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝2×8109＝1659. 反思与感悟 求解弦长时，需正确记忆公式内容，其次，准确得到x 1＋x 2和x 1x 2的值．跟踪训练3 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，且椭圆与直线x ＋2y ＋8＝0相交于P ，Q 两点，若|PQ |＝10，求椭圆方程．考点 由椭圆的简单几何性质求方程 题点 由椭圆的几何特征求方程解 ∵e ＝32，∴b 2＝14a 2， ∴椭圆方程为x 2＋4y 2＝a 2， 与x ＋2y ＋8＝0联立消去y ， 得2x 2＋16x ＋64－a 2＝0， 由Δ＞0，得a 2＞32，由弦长公式，得10＝54×[64－2(64－a 2)]，∴a 2＝36，b 2＝9， ∴椭圆方程为x 236＋y 29＝1.类型三 椭圆中的最值(或范围)问题 例4 已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m .(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围； (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程． 考点 直线与椭圆的位置关系题点 椭圆中的定点、定值、取值范围问题解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋y 2＝1，y ＝x ＋m ，消去y ，得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0， 因为直线与椭圆有公共点， 所以Δ＝4m 2－20(m 2－1)≥0，解得－52≤m ≤52. (2)设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点， 由(1)知，5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0， 所以x 1＋x 2＝－2m 5，x 1x 2＝15(m 2－1)，所以|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝2(x 1－x 2)2＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤4m 225－45(m 2－1)＝2510－8m 2. 所以当m ＝0时，|AB |最大，此时直线方程为y ＝x . 反思与感悟 求最值问题的基本策略(1)求解形如|PA |＋|PB |的最值问题，一般通过椭圆的定义把折线转化为直线，当且仅当三点共线时|PA |＋|PB |取得最值．(2)求解形如|PA |的最值问题，一般通过二次函数的最值求解，此时一定要注意自变量的取值范围．(3)求解形如ax ＋by 的最值问题，一般通过数形结合的方法转化为直线问题解决． (4)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围．跟踪训练4 已知动点P (x ，y )在椭圆x 225＋y 216＝1上，若点A 的坐标为(3,0)，|AM →|＝1，且PM →·AM →＝0，求|PM →|的最小值． 考点 直线与椭圆的位置关系题点 椭圆中的定点、定值、取值范围问题解 由|AM →|＝1，A (3,0)，知点M 在以A (3,0)为圆心，1为半径的圆上运动， ∵PM →·AM →＝0且P 在椭圆上运动，∴PM ⊥AM ，即PM 为⊙A 的切线，连接PA (如图)，则|PM →|＝|PA →|2－|A M →|2＝|P A →|2－1 ，∴当|PA →|min ＝a －c ＝5－3＝2时，|PM →|min ＝ 3.1．若直线l ：2x ＋by ＋3＝0过椭圆C ：10x 2＋y 2＝10的一个焦点，则b 的值是( ) A ．－1 B ．12 C ．－1或1D ．－12或12考点 由椭圆方程研究简单几何性质 题点 由椭圆几何特征求参数 答案 C解析 易知椭圆x 2＋y 210＝1的焦点为F 1(0，－3)，F 2(0,3)，所以b ＝1或－1.2．已知椭圆的方程是x 2＋2y 2－4＝0，则以M (1,1)为中点的弦所在直线的方程是( ) A ．x ＋2y －3＝0 B ．2x ＋y －3＝0 C ．x －2y ＋3＝0D ．2x －y ＋3＝0考点 直线与椭圆的位置关系 题点 求椭圆中的直线方程答案 A解析 由题意易知所求直线的斜率存在，设过点M (1,1)的直线方程为y ＝k (x －1)＋1，即y ＝kx ＋1－k .由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2－4＝0，y ＝kx ＋1－k ，消去y ，得(1＋2k 2)x 2＋(4k －4k 2)x ＋2k 2－4k －2＝0，所以x 1＋x 22＝12×4k 2－4k 1＋2k2＝1，解得k ＝－12，所以所求直线方程为y ＝－12x ＋32，即x ＋2y －3＝0.3．(2017·牌头中学期中)设F 1(－c,0)，F 2(c,0)分别是椭圆x 2a ＋y 2b ＝1(a >b >0)的左、右焦点，若在直线x ＝a 2c上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，33 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1 答案 D解析 方法一 由题意知F 1(－c,0)，F 2(c,0)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，y ，∵PF 1的中垂线过点F 2，∴|F 1F 2|＝|F 2P |， 即2c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c －c 2＋y 2，整理得y 2＝3c 2＋2a 2－a 4c 2. ∵y 2≥0，∴3c 2＋2a 2－a 4c2≥0，即3e 2－1e 2＋2≥0，解得e ≥33.又∵0<e <1， ∴e 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1. 方法二 设直线x ＝a 2c 与x 轴交于M 点，则|F 1F 2|＝|F 2P |≥|MF 2|，即2c ≥a 2c －c ，整理得13≤e 2<1，又∵0<e <1，∴33≤e <1. ∴椭圆离心率的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1.故选D. 4．已知以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为_____________． 考点 直线与椭圆的位置关系 题点 直线与椭圆的公共点个数问题 答案 27解析 由题意可设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2a 2－4＝1(a ＞2)，与直线方程x ＋3y ＋4＝0联立，得4(a 2－3)y 2＋83(a 2－4)y ＋(16－a 2)(a 2－4)＝0， 由Δ＝0，得a ＝7， 所以椭圆的长轴长为27.5．椭圆x 23＋y 2＝1被直线x －y ＋1＝0所截得的弦长|AB |＝________.考点 直线与椭圆的位置关系题点 直线与椭圆相交求弦长与三角形面积 答案322解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，x 23＋y 2＝1，得交点为(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12，则|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122＝322.解决椭圆中点弦问题的三种方法(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决．(2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系．(3)共线法：利用中点坐标公式，如果弦的中点为P (x 0，y 0)，设其一交点为A (x ，y )，则另一交点为B (2x 0－x,2y 0－y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，(2x 0－x )2a 2＋(2y 0－y )2b 2＝1，两式作差即得所求直线方程．一、选择题1．点A (a,1)在椭圆x 24＋y 22＝1的内部，则a 的取值范围是( )A ．－2＜a ＜ 2B ．a ＜－2或a ＞ 2C ．－2＜a ＜2D ．－1＜a ＜1考点 椭圆的简单几何性质 题点 点与椭圆的位置关系 答案 A解析 由题意，得a 24＋12＜1，即a 2＜2，解得－2＜a ＜ 2.2．已知直线l ：x ＋y －3＝0，椭圆x 24＋y 2＝1，则直线与椭圆的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．相切或相交考点 直线与椭圆的位置关系 题点 直线与椭圆的位置关系判定 答案 C3．(2017·牌头中学期中)斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( )A ．2B.455 C.4105 D.8105答案 C解析 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝x ＋t ，消去y ，得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0，则x 1＋x 2＝－85t ，x 1x 2＝4(t 2－1)5.∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－85t 2－4×4(t 2－1)5＝4255－t 2. 当t ＝0时，|AB |max ＝4105.4．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则椭圆C 的离心率为( ) A.63 B.33C.23D.13考点 椭圆的离心率问题题点 求a ，b ，c 的齐次关系式得离心率 答案 A解析 以线段A 1A 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝a 2， 该圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，∴|b ×0－a ×0＋2ab |b 2＋(－a )2＝a ，即2b ＝a 2＋b 2， ∴a 2＝3b 2，∵a 2＝b 2＋c 2，∴c 2a 2＝23，∴e ＝c a ＝63.5．直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 23＝1有两个公共点，则m 的取值范围是( )A ．m ＞1B ．m ＞1且m ≠3C ．m ＞3D ．m ＞0且m ≠3考点 直线与椭圆的位置关系 题点 直线与椭圆位置关系的判断 答案 B解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，x 2m ＋y23＝1，可得(3＋m )x 2＋4mx ＋m ＝0，∴Δ＝(4m )2－4m (3＋m )>0，解得m >1或m <0. 又∵m >0且m ≠3，∴m >1且m ≠3.6．已知A ，B 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)长轴的两个端点，M ，N 是椭圆上关于x 轴对称的两点，直线AM ，BN 的斜率分别为k 1，k 2(k 1k 2≠0)，若椭圆的离心率为32，则|k 1|＋|k 2|的最小值为( )A ．1B.2C.32D. 3 考点 直线与椭圆的位置关系题点 椭圆中的定点、定值、取值范围问题答案 A解析 设M (x ，y )，N (x ，－y )(－a ＜x ＜a )，则k 1＝y x ＋a ，k 2＝y a －x ， 又因为椭圆的离心率为32， 所以b a ＝1－e 2＝12， |k 1|＋|k 2|＝|y |x ＋a ＋|y |a －x ≥2y 2a 2－x 2＝2ba ＝1，故选A. 7．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，四个顶点构成的四边形的面积为12，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且线段AB 的中点为M (－2,1)，则直线l 的斜率为( ) A.13B.32C.12D.1考点 直线与椭圆的位置关系题点 求椭圆中的直线方程答案 C 解析 因为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的离心率为32， 四个顶点构成的四边形的面积为12，所以⎩⎪⎨⎪⎧e ＝c a ＝32，2ab ＝12，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝23，b ＝3，所以椭圆的方程为x 212＋y 23＝1， 因为直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且线段AB 的中点为M (－2,1)，所以设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4，y 1＋y 2＝2，又因为⎩⎪⎨⎪⎧ x 2112＋y 213＝1，x 2212＋y 223＝1，两式相减，得112(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋13(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0， 所以－13(x 1－x 2)＋23(y 1－y 2)＝0， 所以直线l 的斜率为k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝12，故选C. 二、填空题8．(2017·牌头中学期中)过椭圆x 216＋y 24＝1内一点P (3,1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是__________．答案 3x ＋4y －13＝0解析 设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，由于A ，B 两点均在椭圆上，故x 2116＋y 214＝1，x 2216＋y 224＝1， 两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)16＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)4＝0. 又∵P 是A ，B 的中点，∴x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝2，∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－34. ∴直线AB 的方程为y －1＝－34(x －3)． 即3x ＋4y －13＝0.9．若直线mx ＋ny ＝4与圆x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为________．考点 直线与椭圆的位置关系题点 直线与椭圆的公共点个数问题答案 2解析 因为直线mx ＋ny ＝4与圆x 2＋y 2＝4没有交点，所以|－4|m 2＋n 2>2，所以m 2＋n 2<4， 即点P (m ，n )在以原点为圆心，以2为半径的圆内(不包含边界)，故过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1有两个交点． 10．设椭圆中心在坐标原点，A (2,0)，B (0,1)是它的两个顶点，直线y ＝kx (k >0)与线段AB相交于点D ，与椭圆相交于E ，F 两点．若ED →＝6DF →，则k 的值为________．考点 由椭圆方程研究简单几何性质题点 由椭圆几何特征求参数答案 23或38解析 依题意得椭圆的方程为x 24＋y 2＝1， 直线AB ，EF 的方程分别为x ＋2y ＝2，y ＝kx (k >0)．如图，设D (x 0，kx 0)，E (x 1，kx 1)，F (x 2，kx 2)，其中x 1<x 2，则x 1，x 2满足方程(1＋4k 2)x 2＝4，故x 2＝－x 1＝21＋4k 2.由ED →＝6DF →知，x 0－x 1＝6(x 2－x 0)，得x 0＝17(6x 2＋x 1) ＝57x 2＝1071＋4k2. 由点D 在直线AB 上知，x 0＋2kx 0＝2，x 0＝21＋2k， 所以21＋2k ＝1071＋4k 2， 化简得24k 2－25k ＋6＝0， 由此解得k ＝23或k ＝38. 11．(2017·嘉兴一中期末)若P 为椭圆x 216＋y 215＝1上任意一点，EF 为圆N ：(x －1)2＋y 2＝4的任意一条直径，则PE →·PF →的取值范围是________．答案 [5,21]三、解答题12．已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率． (1)求椭圆C 2的方程；(2)设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆C 1和C 2上，OB →＝2OA →，求直线AB 的方程．考点 直线与椭圆的位置关系题点 求椭圆中的直线方程解 (1)由已知可设椭圆C 2的方程为 y 2a 2＋x 24＝1(a >2)， 其离心率为32，故a 2－4a ＝32，解得a ＝4， 故椭圆C 2的方程为y 216＋x 24＝1. (2)若将A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )，由OB →＝2OA →及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .将y ＝kx 代入到x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4， 所以x 2A ＝41＋4k2. 将y ＝kx 代入到y 216＋x 24＝1中，得(4＋k 2)x 2＝16， 所以x 2B ＝164＋k2. 又由OB →＝2OA →，得x 2B ＝4x 2A ，即164＋k 2＝161＋4k2， 解得k ＝±1.故直线AB 的方程为x －y ＝0或x ＋y ＝0. 13．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，椭圆上任意一点到右焦点F 的距离的最大值为2＋1.(1)求椭圆的方程；(2)已知点C (m,0)是线段OF 上异于O ，F 的一个定点(O 为坐标原点)，是否存在过点F 且与x 轴不垂直的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，使得|AC |＝|BC |，并说明理由．考点 直线与椭圆的位置关系题点 椭圆中的定点、定值、取值范围问题解 (1)由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧ e ＝c a ＝22，a ＋c ＝2＋1，解得⎩⎨⎧ a ＝2，c ＝1，∴b ＝1，∴椭圆的方程为x 22＋y 2＝1. (2)由(1)得F (1,0)，∴0＜m ＜1.假设存在满足题意的直线l ，设l 为y ＝k (x －1)，代入到x 22＋y 2＝1中，得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1，① ∴y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－2)＝－2k 2k 2＋1. 设AB 的中点为M ，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 22k 2＋1，－k 2k 2＋1. ∵|AC |＝|BC |，∴CM ⊥AB ，即k CM k AB ＝－1，∴4k 22k 2＋1－2m ＋－2k 2k 2＋1·k ＝0等价于(1－2m )k 2＝m ， ∴当0＜m ＜12时，k ＝± m 1－2m ， 即存在满足条件的直线l ；当12≤m ＜1时，k 不存在，即不存在满足条件的直线l . 四、探究与拓展14．已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F ，直线l ：x ＝2，点A ∈l ，线段AF 交C 于点B ，若FA →＝3FB →，则|AF →|＝________.考点 由椭圆方程研究简单几何性质题点 由椭圆方程研究其他几何性质答案 2 解析 设点A (2，n )，B (x 0，y 0)．由椭圆C ：x 22＋y 2＝1，知a 2＝2，b 2＝1， 所以c 2＝1，即c ＝1，所以右焦点F (1,0)，所以由FA →＝3FB →得(1，n )＝3(x 0－1，y 0)，所以1＝3(x 0－1)且n ＝3y 0，所以x 0＝43，y 0＝13n . 将x 0，y 0代入到x 22＋y 2＝1中， 得12×⎝ ⎛⎭⎪⎫432＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 2＝1， 解得n 2＝1，所以|AF →|＝(2－1)2＋n 2＝1＋1＝ 2. 15．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点P (2，3)，且它的离心率为12. (1)求椭圆E 的标准方程；(2)与圆(x －1)2＋y 2＝1相切的直线l ：y ＝kx ＋t (k ∈R ，t ∈R )交椭圆E 于M ，N 两点，若椭圆E 上一点C 满足OM →＋ON →＝λOC →(O 为坐标原点)，求实数λ的取值范围．考点 直线与椭圆的位置关系题点 直线与椭圆的公共点个数问题解 (1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)， 由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋3b 2＝1，c a ＝12，c 2＝a 2－b 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝8，b 2＝6， 所以椭圆E 的标准方程为x 28＋y 26＝1. (2)因为直线l ：y ＝kx ＋t 与圆(x －1)2＋y 2＝1相切， 所以|t ＋k |1＋k 2＝1，所以2k ＝1－t 2t(t ≠0)． 把y ＝kx ＋t 代入x 28＋y 26＝1，并整理得(3＋4k 2)x 2＋8ktx ＋(4t 2－24)＝0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝－8kt 3＋4k 2， y 1＋y 2＝kx 1＋t ＋kx 2＋t ＝k (x 1＋x 2)＋2t ＝6t 3＋4k 2. 因为λOC →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，所以C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8kt (3＋4k 2)λ，6t (3＋4k 2)λ， 又因为点C 在椭圆E 上，所以8k 2t 2(3＋4k 2)2λ2＋6t 2(3＋4k 2)2λ2＝1， 可得λ2＝2t 23＋4k 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 22＋1t2＋1， 因为t 2＞0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 22＋1t2＋1＞1， 所以0＜λ2＜2，所以λ的取值范围为(－2，0)∪(0，2)．。
浙江专版2018_2019高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.1双曲线及其标准方程学案新人教A版选修2_120180829113
2.3.1 双曲线及其标准方程学习目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单问题．知识点一 双曲线的定义思考 若取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，把笔尖放在点M处，拉开或闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，那么曲线上的点应满足怎样的几何条件？答案 如图，曲线上的点满足条件：|MF1|－|MF2|＝常数；如果改变一下笔尖位置，使|MF2|－|MF1|＝常数，可得到另一条曲线．梳理 (1)平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距；(2)关于“小于|F1F2|”：①若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)；②若将“小于|F1F2|”改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹不存在．(3)若将“绝对值”去掉，其余条件不变，则动点的轨迹只有双曲线的一支．(4)若常数为零，其余条件不变，则点的轨迹是线段F1F2的中垂线．知识点二 双曲线的标准方程思考 双曲线中a，b，c的关系如何？与椭圆中a，b，c的关系有何不同？答案 双曲线标准方程中，b2＝c2－a2，即c2＝a2＋b2，其中c>a，c>b，a与b的大小关系不确定；而在椭圆中b2＝a2－c2，即a2＝b2＋c2，其中a>b>0，a>c，c与b大小不确定．梳理 (1)双曲线两种形式的标准方程焦点所在的坐标轴x 轴 y 轴 标准方程－＝1 x 2a 2y 2b 2(a >0，b >0)－＝1 y 2a 2x 2b 2(a >0，b >0)图形焦点坐标F 1(－c,0)， F 2(c,0)F 1(0，－c )， F 2(0，c )a ，b ，c 的关系式a 2＋b 2＝c 2(2)焦点F 1，F 2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，若x 2项的系数为正，则焦点在x 轴上；若y 2项的系数为正，那么焦点在y 轴上．(1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线．(×) (2)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)的距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．(×) (3)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．(×)类型一 双曲线定义的应用例1 (1)若双曲线E ：－＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|x 29y 216＝3，则|PF 2|等于( ) A ．11 B ．9 C ．5D ．3考点 双曲线的定义 题点 双曲线定义的应用 答案 B解析 由双曲线的定义，得||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝6， 即|3－|PF 2||＝6，解得|PF 2|＝9(负值舍去)，故选B.(2)设F 1，F 2分别是双曲线x 2－＝1的左、右焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝y 2244|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于( ) A ．4 B ．8 23C ．24D ．48考点 双曲线的定义 题点 双曲线定义的应用 答案 C解析 由题意，得Error! 解得Error!又由|F 1F 2|＝10，可得△PF 1F 2是直角三角形， 则12PF F S V ＝×|PF 1|×|PF 2|＝24.12反思与感悟 焦点F 1，F 2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，若x 2项的系数为正，则焦点在x 轴上；若y 2项的系数为正，那么焦点在y 轴上．双曲线的焦点位置不确定时可设其标准方程为Ax 2＋By 2＝1(AB ＜0)．跟踪训练1 在△ABC 中，已知|AB |＝4，A (－2，0)，B (2，0)，且内角A ，B ，C 满222足sin B －sin A ＝sin C ，求顶点C 的轨迹方程．12考点 双曲线的定义 题点 双曲线定义的应用解 由sin B －sin A ＝sin C 及正弦定理，12可得b －a ＝，c2从而有|CA |－|CB |＝|AB |＝2＜|AB |，122由双曲线的定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支． ∵a ＝，c ＝2， 22∴b 2＝c 2－a 2＝6，∴顶点C 的轨迹方程为－＝1(x ＞)．x 22y 262类型二 求双曲线的标准方程例2 求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)焦距为26，且经过点M (0,12)；(2)双曲线上两点P 1，P 2的坐标分别为(3，－4)，.2(94，5)考点 双曲线的标准方程的求法 题点 待定系数法求双曲线的标准方程解 (1)∵双曲线经过点M (0,12)，∴M (0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上，且a ＝12.又2c ＝26，∴c ＝13，∴b 2＝c 2－a 2＝25. ∴双曲线的标准方程为－＝1.y 2144x 225(2)设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)， 则Error!解得Error! ∴双曲线的标准方程为－＝1.y 216x 29反思与感悟 待定系数法求方程的步骤(1)定型：确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x 轴还是y 轴． (2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式，①若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)．②与双曲线－＝1(a >0，b >0)共焦点的双曲线的标准方程可设为－＝1(－x 2a 2y 2b 2x 2a 2－k y 2b 2＋k b 2<k <a 2)．(3)计算：利用题中条件列出方程组，求出相关值． (4)结论：写出双曲线的标准方程． 跟踪训练2 (1)求以椭圆＋＝1的短轴的两个端点为焦点，且过点A (4，－5)的双曲线x 216y 29的标准方程； (2)已知双曲线过P ，Q 两点，求双曲线的标准方程． (3，154)(－163，5)考点 双曲线的标准方程的求法 题点 待定系数法求双曲线的标准方程解 (1)由题意，知双曲线的两焦点为F 1(0，－3)，F 2(0,3)．设双曲线方程为－＝1(a ＞0，b ＞0)，y 2a 2x 2b2将点A (4，－5)代入双曲线方程，得－＝1.25a216b 2又a 2＋b 2＝9，解得a 2＝5，b 2＝4， 所以双曲线的标准方程为－＝1.y 25x 24(2)若焦点在x 轴上，设双曲线的方程为－＝1(a ＞0，b ＞0)，x 2a 2y 2b2所以Error!解得Error!(舍去)． 若焦点在y 轴上，设双曲线的方程为－＝1(a ＞0，b ＞0)，y 2a 2x 2b2将P ，Q 两点坐标代入可得Error!解得Error! 所以双曲线的标准方程为－＝1.y 29x 216综上，双曲线的标准方程为－＝1.y 29x 216类型三 双曲线定义及标准方程的应用例3 在相距2000m 的两个哨所A ，B ，听到远处传来的炮弹爆炸声．已知当时的声速是330m/s ，在A 哨所听到爆炸声的时间比在B 哨所迟4s ，试判断爆炸点在什么样的曲线上，并求出曲线的方程．考点 双曲线的标准方程的求法 题点 定义法求双曲线的标准方程解 设爆炸点为P ，由已知可得|PA |－|PB |＝330×4＝1 320＞0. 因为|AB |＝2 000＞1 320，所以点P 在以A ，B 为焦点的双曲线的靠近B 处的那一支上，建立如图所示的平面直角坐标系，使A ，B 两点在x 轴上，以线段AB 的中点为坐标原点．由2a ＝1 320,2c ＝2 000，得a ＝660，c ＝1 000，b 2＝c 2－a 2＝564 400. 因此，点P 所在曲线的方程是－＝1(x ≥660)．x 2435 600y 2564 400反思与感悟 可以结合双曲线的性质，建立平面直角坐标系，然后结合双曲线的定义，建立关系式，然后化简，求出相应的方程．。
2019-2020学年浙江高二人A数学选修2-1第二章 圆锥曲线与方程_2.2.1 椭圆及其标准方程(讲义)
2.2.1 椭圆及其标准方程课标要求:1.了解椭圆标准方程的推导.2.理解椭圆的定义及椭圆的标准方程.3.掌握用定义和待定系数法求椭圆的标准方程.1.椭圆的定义(1)椭圆的定义我们把平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆(ellipse).这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距. (2)椭圆定义的集合设点M是椭圆上的任意一点,点F1,F2是椭圆的焦点,则由椭圆的定义知,椭圆就是集合P={M||MF1|+|MF2|=常数,常数>|F1F2|>0}.注意:对定义中限制条件“常数(大于|F1F2|)”的理解(1)当动点M满足|MF1|+|MF2|=常数>|F1F2|时,动点M的轨迹为椭圆.(2)当动点M满足|MF1|+|MF2|=常数=|F1F2|时,动点M的轨迹为以F1,F2为两端点的线段.(3)当动点M满足|MF1|+|MF2|=常数<|F1F2|时,动点M的轨迹不存在.(4)此定义是推导椭圆方程的依据.(5)理解椭圆定义要紧扣“到两定点距离之和为定值且大于两定点间的距离”.2.椭圆的标准方程(1)标准方程的两种形式形式:22x a +22y b =1(a>b>0)表示中心在原点,焦点在x 轴上的椭圆的标准方程,其中b 2=a 2-c 2. 形式:22y a +22x b =1 (a>b>0)表示中心在原点,焦点在y 轴上的椭圆的标准方程,其中b 2=a 2-c 2.(2)椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系注意:椭圆标准方程的推导,要充分利用椭圆的对称性,当且仅当椭圆的中心为坐标原点,其焦点在坐标轴上时,椭圆的方程才具有标准形式.(1)标准方程中根据x 2,y 2对应的分母的大小可以确定椭圆的焦点在哪条坐标轴上,x 2对应的分母大,焦点就在x 轴上;y 2对应的分母大,焦点就在y 轴上.(2)标准方程中的两个参数a,b 确定了椭圆的形状和大小,是椭圆定形的条件,a,b,c 三个量满足a 2=b 2+c 2,恰好是一个直角三角形的三条边,构成如图的直角三角形,称为椭圆的“特征三角形”.椭圆的特征三角形清晰地反映了参数a,b,c 的几何意义. (3)椭圆两种标准方程的统一形式椭圆的两种标准方程可以写成统一形式:Ax 2+By 2=1(其中A>0,B>0,A ≠B).方程Ax 2+By 2=1(其中A>0,B>0,A ≠B)包含椭圆的焦点在x 轴上和焦点在y 轴上两种情况,方程可变形为21x A +21y B=1,当1A >1B ,即B>A 时,表示焦点在x 轴上的椭圆; 当1A <1B,即B<A 时,表示焦点在y 轴上的椭圆. (4)椭圆的一般方程当ABC ≠0时,方程Ax 2+By 2=C 可以变形为2x C A+2yCB=1,由此可以看出方程Ax 2+By 2=C 表示椭圆的充要条件是ABC ≠0,且A,B,C 同号,A ≠B.此时称方程Ax 2+By 2=C 为椭圆的一般方程. (5)共焦点的椭圆系方程与椭圆22x a +22y b =1(a>b>0)有公共焦点的椭圆方程为22x a λ++22y b λ+=1(a>b>0);与椭圆22y a +22x b =1(a>b>0)有公共焦点的椭圆方程为22y a λ++22x b λ+=1(a>b>0). 3.椭圆的焦点三角形 (1)焦点三角形的概念设M 是椭圆上一点,F 1,F 2为椭圆的焦点,当点M,F 1,F 2不在同一条直线上时,它们构成一个三角形——焦点三角形,如图所示. (2)焦点三角形的常用公式 ①焦点三角形的周长L=2a+2c.②在△MF 1F 2中,由余弦定理可得|F 1F 2|2=|MF 1|2+|MF 2|2-2|MF 1||MF 2|cos ∠F 1MF 2.③焦点三角形的面积12F MF S∆=12|MF 1||MF 2|sin ∠F 1MF 2=b 2tan 122F MF∠.1.(2018·吉林期末)已知椭圆216x +28y =1上的一点M 到椭圆的一个焦点的距离等于2,那么点M 到椭圆的另一个焦点的距离等于( C ) (A)2 (B)4 (C)6 (D)8解析:因为椭圆216x +28y =1,所以a 2=16,得椭圆的长轴2a=8,因为点M 到它的一个焦点的距离等于2,到两个焦点的距离之和为2a, 所以点M 到另一个焦点的距离等于2a-2=6.故选C.2.(2019·金城江区校级月考)已知椭圆225x +29y =1的两个焦点分别为F 1,F 2,斜率不为0的直线l 过点F 1,且交椭圆于A,B 两点,则△ABF 2的周长为( C ) (A)10 (B)16 (C)20 (D)25解析:由椭圆225x +29y =1,得a=5,如图,由椭圆定义可得,△ABF 2的周长为|AF 1|+|AF 2|+|BF 1|+|BF 2|=4a=20. 故选C.3.方程24x k -+210y k-=1表示焦点在x 轴上的椭圆,则实数k 的取值范围是( C )(A)(4,+∞) (B)(4,7) (C)(7,10) (D)(4,10) 解析:由已知,k-4>10-k>0,解得7<k<10.故选C.4.(2018·三明二模)已知中心是坐标原点的椭圆C 过点),且它的一个焦点为(2,0),则C 的标准方程为 . 解析:根据题意,椭圆的一个焦点为(2,0),则c=2,设椭圆的方程为22x a +224y a -=1,又由椭圆经过点),则有21a +2454a -=1,解得a 2=5,则椭圆的方程为25x +y 2=1. 答案:25x +y 2=15.(2018·宁德期末)已知椭圆C:216x +212y =1,F 1,F 2分别为椭圆的两焦点,点P 在椭圆上,且|PF 2|=3,则△PF 1F 2的面积为 . 解析:由题意椭圆C:216x +212y =1,得a=4,|PF 1|+|PF 2|=8,因为|PF 2|=3,所以|PF 1|=5, 因为|F 1F 2|=4, 所以PF 2⊥F 1F 2,所以△PF 1F 2的面积为12×4×3=6.答案:6题型一 椭圆定义的理解及应用[例1] (1)(2018·龙岗区期末)已知△ABC 的周长为20,且顶点B(0,-4),C(0,4),则顶点A 的轨迹方程是( )(A)236x +220y =1(x ≠0)(B)220x +236y =1(x ≠0)(C)26x +220y =1(x ≠0) (D)220x+26y =1(x ≠0)(2)设P是椭圆225x +2754y =1上一点,F 1,F 2是椭圆的焦点,若∠F 1PF 2=60°,则△F 1PF 2的面积为 .解析:(1)因为△ABC 的周长为20,顶点B(0,-4),C(0,4), 所以BC=8,AB+AC=20-8=12, 因为12>8,所以点A 到两个定点的距离之和等于定值, 所以点A 的轨迹是椭圆, 因为a=6,c=4,所以b 2=20,所以椭圆的方程是220x +236y =1(x ≠0).故选B.解析:(2)由椭圆方程知,a 2=25,b 2=754,所以c 2=254,所以c=52,2c=5.在△PF 1F 2中,|F 1F 2|2=|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1|·|PF 2|cos 60°, 即25=|PF 1|2+|PF 2|2-|PF 1|·|PF 2|.① 由椭圆的定义得10=|PF 1|+|PF 2|, 所以100=|PF 1|2+|PF 2|2+2|PF 1|·|PF 2|.② ②-①,得3|PF 1|·|PF 2|=75, 所以|PF 1|·|PF 2|=25,所以12F PF S∆=12|PF 1|·|PF 2|·sin 60°.答案:(1)B变式探究1:若将本例(2)中椭圆方程改为“212x+23y =1”,其他条件不变,求△F 1PF 2的面积. 解:可得在△F 1PF 2中,|F 1F 2|2=|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1||PF 2|·cos 60°, 即36=|PF 1|2+|PF 2|2-|PF 1|·|PF 2|,① 由椭圆的定义得|PF1|+|PF 2所以48=|PF 1|2+|PF 2|2+2|PF 1|·|PF 2|,② 由①②得|PF 1|·|PF 2|=4. 所以12F PF S∆=12|PF 1|·|PF 2|·sin 60°.变式探究2:在本例(2)中,若把椭圆方程改为“24x +23y =1”,把∠F 1PF 2=60°,改为“∠PF 1F 2=90°”,其余条件不变,求△PF 1F 2的面积.解:椭圆方程24x +23y =1,则a=2,c=1,由椭圆定义,得|PF 1|+|PF 2|=2a=4,且|F 1F 2|=2,在△PF 1F 2中,∠PF 1F 2=90°. 所以|PF 2|2=|PF 1|2+|F 1F 2|2.从而(4-|PF 1|)2=|PF 1|2+4,则|PF 1|=32,因此12PF F S=12·|F 1F 2|·|PF 1|=32.故所求△PF 1F 2的面积为32.(1)对于涉及椭圆上一点到其焦点的距离问题,常常考虑运用椭圆的定义,即椭圆上一点到两焦点的距离之和为定值2a. (2)与焦点三角形有关的问题,常考虑定义、余弦定理相结合求解,注意方程思想的应用.即时训练1-1:(1) (2018·绥滨县校级期中)如图所示,A 是圆O 内一定点,B 是圆周上一个动点,AB 的中垂线CD 与OB 交于E,则点E 的轨迹是( )(A)圆 (B)椭圆 (C)双曲线 (D)抛物线(2)已知圆C 1的方程为(x+1)2+y 2=18,圆C 2的方程为(x-1)2+y 2=498,动圆M 与C 1外切且与C 2内切,则动圆圆心M 的轨迹方程是 .解析:(1)根据垂直平分线的性质可得|EA|=|EB|, 所以|EO|+|EA|=|OB|>|OA|,即点E 到点O 与点A 的距离之和等于圆的半径|OB|, 且|OB|>|OA|,根据椭圆的定义可得点E 的轨迹是以点O 和点A 为焦点的椭圆. 故选B.解析:(2)由条件知C 1(-1,0),C 2(1,0),r 12设M 点坐标为(x,y),动圆半径为r, 则由题意可知|MC 12所以|MC1|+|MC 2所以由椭圆定义知,动点M 的轨迹是以C 1(-1,0),C 2(1,0)为焦点的椭圆,且所以2=1,故动圆圆心M 的轨迹方程为22x +y 2=1.答案:(1)B (2)22x +y 2=1 题型二 椭圆标准方程的理解 [例2] (1)(2019·金山区一模)已知方程22x m +22y m =1表示焦点在x 轴上的椭圆,则m 的取值范围是( ) (A)(-∞,-1)∪(2,+∞) (B)(-2,+∞) (C)(-1,2)(D)(2,+∞)∪(-2,-1)(2)已知P 为椭圆C 上一点,F1,F 2为椭圆的焦点,且|F 1F 2,若|PF 1|与|PF 2|的等差中项为|F 1F 2|,则椭圆C 的标准方程为( )(A)212x +29y =1 (B)212x +29y =1或29x +212y =1(C)29x +212y=1 (D)248x +245y =1或245x +248y =1解析:(1)椭圆的焦点在x 轴上, 所以m 2>2+m, 即m 2-2-m>0, 解得m>2或m<-1, 又因为2+m>0,所以m>-2,所以m 的取值范围为m>2或-2<m<-1. 故选D.解析:(2)由已知2c=|F1F 2所以.因为2a=|PF1|+|PF 2|=2|F 1F 2所以.所以b 2=a 2-c 2=9.故椭圆C的标准方程是212x +29y =1或29x +212y =1.故选B.求参数的范围就是根据条件列出以参数为未知量的不等式(组)或方程(组),把问题转化为不等式(组)或方程(组)的求解问题. 本题如果未知焦点所在的位置,就要分两种情形分别列式求解. 即时训练2-1:(1)已知方程252x m-+21y m -=1表示焦点在y 轴上的椭圆,则实数m 的取值范围为 ;(2)如果椭圆5x 2+ky 2=5的一个焦点是(0,2),那么k= . 解析:(1)由题意知,实数m 满足|m|-1>5-2m,且5-2m>0,可知当m ≤0时无解;当m>0时,2<m<52.综上2<m<52.解析:(2)由椭圆5x 2+ky 2=5得21x +25y k=1,由题意a 2=5k,b 2=1,c=2.又a 2=b 2+c 2,所以5k =1+4,所以k=1.答案:(1)(2,52) (2)1 题型三 求椭圆的标准方程[例3] 求满足下列条件的椭圆的标准方程. (1)a=5,c=2,焦点在y 轴上;(2)焦距为8,椭圆上一点到两焦点的距离之和为12; (3)经过两点A(0,2)和B(12).解:(1)因为a=5,c=2, 所以b 2=a 2-c 2=25-4=21. 又因为椭圆的焦点在y 轴上,所以椭圆的标准方程为225y +221x =1.解:(2)由题知2c=8,2a=12,所以a=6,c=4. 所以b 2=a 2-c 2=36-16=20.当椭圆的焦点在x 轴上时,椭圆的方程为236x +220y =1;当椭圆的焦点在y 轴上时,椭圆的方程为236y +220x=1.解:(3)设所求椭圆的方程为mx 2+ny 2=1(m>0,n>0且m ≠n). 因为椭圆经过两点A(0,2),B(12所以041,131,4n m n +=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得1,1.4m n =⎧⎪⎨=⎪⎩所以所求椭圆的方程为x 2+24y=1.求椭圆方程的方法(1)求椭圆的方程,可以利用定义求出参数a,b,c 其中的两个量;也可以用待定系数法构造三者之间的关系.但是要注意先确定焦点所在的位置,其主要步骤可归纳为“先定位,后定量”.(2)当焦点位置不确定时,可设椭圆方程为mx 2+ny 2=1(m>0,n>0,m ≠n).因为它包括焦点在x 轴上(m<n)和焦点在y 轴上(m>n)两类情况,所以可以避免分类讨论,从而达到了简化运算的目的. 即时训练3-1:求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)两个焦点的坐标分别是(-2,0),(2,0),椭圆上一点P 到两焦点距离之和等 于6;(2)椭圆的焦点为F 1(0,-5),F 2(0,5),点P(3,4)是椭圆上的一个点; (3)经过两点解:(1)法一 设P(x,y)是所求椭圆上的一点,整理得5x 2+9y 2=45,即29x +25y =1. 法二 因为2a=6,2c=4,所以a=3,c=2. 所以b 2=a 2-c 2=5.所以所求的椭圆方程为29x +25y =1.解:(2)法一 焦点为F 1(0,-5),F 2(0,5),可设椭圆方程为22y a +22x b =1(a>b>0).,所以,又c=5,所以b 2=40-25=15.所以椭圆方程为240y +215x =1.法二 焦点为F 1(0,-5),F 2(0,5),设椭圆方程为22ya +2225x a-=1, 又点P(3,4)在椭圆上,所以216a +2925a-=1, 所以a 2=40或a 2=10(舍去),所以椭圆方程为240y +215x =1.解:(3)法一 若焦点在x 轴上,设椭圆的标准方程为22x a +22yb =1 (a>b>0).由已知条件得2222421,1141,4a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得2211,811,4a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以所求椭圆的标准方程为28x +24y =1.若焦点在y 轴上,设椭圆的标准方程为22y a +22x b =1(a>b>0).由已知条件得2222421,1141,4b a b a ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得2211,811.4b a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即a 2=4,b 2=8,则a 2<b 2,与题设中a>b>0矛盾,舍去.综上,所求椭圆的标准方程为28x +24y =1.法二 设椭圆的一般方程为Ax 2+By 2=1(A>0,B>0,A ≠B).将两点代入,得421,141,4A B A B +=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得1,81.4A B ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以所求椭圆的标准方程为28x +24y =1.。
(浙江专版)2018-2019高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.2 第1课时 椭圆的几何性质
第1课时椭圆的几何性质学习目标 1.依据椭圆的方程研究椭圆的几何性质，并正确地画出它的图形.2.依据几何条件求出椭圆方程，并利用椭圆方程研究它的性质、图形．知识点一椭圆的范围、对称性和顶点思考在画椭圆图形时，怎样才能画的更准确些？答案在画椭圆时，可先画一个矩形，矩形的顶点为(－a，b)，(a，b)，(－a，－b)，(a，－b)．梳理椭圆的简单几何性质焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)图形焦点坐标(±c,0)(0，±c)对称性关于x轴、y轴轴对称，关于坐标原点中心对称顶点坐标A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0) 范围|x|≤a，|y|≤b |x|≤b，|y|≤a 长轴、短轴长轴A1A2长为2a，短轴B1B2长为2b知识点二 椭圆的离心率椭圆的焦距与长轴长的比c a 称为椭圆的离心率，记为e ＝c a，因为a ＞c ，故椭圆离心率e 的取值范围为(0,1)，当e 越近于1时，椭圆越扁，当e 越近于0时，椭圆越圆．(1)椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的长轴长是a .(×)(2)椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆．(×)(3)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长分别为10,8，则椭圆的方程为x 225＋y 216＝1.(×)(4)设F 为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点，M 为其上任一点，则|MF |的最大值为a ＋c (c为椭圆的半焦距)．(√)类型一 椭圆的简单几何性质例1 求椭圆m 2x 2＋4m 2y 2＝1(m ＞0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率． 考点 椭圆的简单几何性质题点 椭圆的顶点、焦点、长短轴、对称性 解 由已知得x 21m 2＋y 214m 2＝1(m ＞0)，因为0＜m 2＜4m 2， 所以1m 2＞14m2，所以椭圆的焦点在x 轴上，并且长半轴长a ＝1m，短半轴长b ＝12m ，半焦距c ＝32m ，所以椭圆的长轴长2a ＝2m ，短轴长2b ＝1m，焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32m ，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫32m ，0， 顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1m ，0，⎝⎛⎭⎪⎫0，－12m ，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12m ，离心率e ＝c a ＝32m 1m＝32.反思与感悟 从椭圆的标准方程出发，分清其焦点位置，然后再写出相应的性质． 跟踪训练1 已知椭圆C 1：x 2100＋y 264＝1，设椭圆C 2与椭圆C 1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C 2的焦点在y 轴上．(1)求椭圆C 1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率； (2)写出椭圆C 2的方程，并研究其性质． 考点 椭圆的简单几何性质题点 椭圆的顶点、焦点、长短轴、对称性 解 (1)由椭圆C 1：x 2100＋y 264＝1，可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标为(6,0)，(－6,0)，离心率e ＝35.(2)椭圆C 2：y 2100＋x 264＝1.性质如下：①范围：－8≤x ≤8，－10≤y ≤10；②对称性：关于x 轴、y 轴、原点对称；③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)；④焦点：(0,6)，(0，－6)；⑤离心率：e ＝35.类型二 由几何性质求椭圆的标准方程例2 (1)椭圆以两坐标轴为对称轴，并且过点(0,13)，(－10，0)，则焦点坐标为( ) A ．(±13,0) B ．(0，±10) C ．(0，±13)D ．(0，±69)考点 椭圆的简单几何性质题点 椭圆的顶点、焦点、长短轴、对称性 答案 D解析 由题意知，椭圆的焦点在y 轴上， 且a ＝13，b ＝10，则c ＝a 2－b 2＝69，故选D.(2)已知椭圆中心在原点，一个焦点为F (－23，0)，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是___________________． 考点 椭圆的简单几何性质题点 椭圆的顶点、焦点、长短轴、对称性答案x 216＋y 24＝1 解析 由已知，得焦点在x 轴上，且⎩⎨⎧a ＝2b ，c ＝23，a 2－b 2＝c 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝4，a 2＝16，∴所求椭圆的标准方程为x 216＋y 24＝1.反思与感悟 此类问题应由所给的几何性质充分找出a ，b ，c 所应满足的关系式，进而求出a ，b ，在求解时，需注意椭圆的焦点位置．跟踪训练2 根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆方程： (1)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)；(2)焦点在x 轴上，一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，且半焦距为6. 考点 由椭圆的简单几何性质求方程 题点 由椭圆的几何特征求方程解 (1)当焦点在x 轴上时，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝a ，4a 2＋36b2＝1，解得⎩⎨⎧a ＝237，b ＝37，∴椭圆方程为x 2148＋y 237＝1. 同样地可求出当焦点在y 轴上时， 椭圆方程为x 213＋y 252＝1.故所求的椭圆方程为x 2148＋y 237＝1或x 213＋y 252＝1.(2)依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧b ＝c ，c ＝6，∴b ＝c ＝6， ∴a 2＝b 2＋c 2＝72，∴所求的椭圆方程为x 272＋y 236＝1.类型三 求椭圆的离心率例3 如图，设椭圆的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，求椭圆的离心率．考点 椭圆的离心率问题题点 求a ，b ，c 的齐次关系式得离心率解 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．∵F 1(－c,0)，∴P (－c ，y p )，代入椭圆方程得c 2a 2＋y 2p b 2＝1，∴y 2p ＝b 4a2， ∴|PF 1|＝b 2a ＝|F 1F 2|，即b 2a＝2c ，∴c 2＋2ac －a 2＝0，又∵b 2＝a 2－c 2，∴a 2－c 2a＝2c ，∴c 2＋2ac －a 2＝0，∴e 2＋2e －1＝0，又∵0＜e ＜1，∴e ＝2－1.反思与感悟 求解椭圆的离心率，其实质就是构建a ，b ，c 之间的关系式，再结合b 2＝a 2－c 2，从而得到a ，c 之间的关系式，进而确定其离心率．跟踪训练3 设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( ) A.36B.13C.12D.33考点 椭圆的离心率问题 题点 求a ，b ，c 得离心率 答案 D解析 由题意可设|PF 2|＝m (m ＞0)，结合条件可知|PF 1|＝2m ，|F 1F 2|＝3m ，故离心率e ＝c a＝2c 2a ＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝3m 2m ＋m ＝33.1．椭圆9x 2＋y 2＝36的短轴长为( ) A ．2B ．4C ．6D ．12 考点 椭圆的简单几何性质题点 椭圆的顶点、焦点、长短轴、对称性 答案 B解析 原方程可化为x 24＋y 236＝1，所以b 2＝4，b ＝2，从而短轴长为2b ＝4.2．若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( ) A.12 B.32 C.34D.64考点 椭圆的离心率问题 题点 求a ，b ，c 得离心率 答案 A解析 不妨设椭圆的左、右焦点分别为F 1，F 2，B 为椭圆的上顶点． 依题意可知，△BF 1F 2是正三角形． ∵在Rt △OBF 2中，|OF 2|＝c ， |BF 2|＝a ，∠OF 2B ＝60°，∴cos 60°＝c a ＝12，即椭圆的离心率e ＝12，故选A.3．(2017·嘉兴一中期末)中心在坐标原点的椭圆，焦点在x 轴上，焦距为4，离心率为22，则该椭圆的方程为( ) A.x 216＋y 212＝1 B.x 212＋y 28＝1 C.x 212＋y 24＝1 D.x 28＋y 24＝1 答案 D4．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，两顶点分别是(4,0)，(0,2)，则此椭圆的方程是______________． 考点 由椭圆的简单几何性质求方程 题点 由椭圆的几何性质求方程 答案x 216＋y 24＝1 解析 由已知，得a ＝4，b ＝2，且椭圆的焦点在x 轴上，所以椭圆的方程是x 216＋y 24＝1.5．求椭圆25x 2＋16y 2＝400的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标． 考点 由椭圆方程研究简单几何性质题点 由椭圆的方程求顶点、焦点、长短轴、离心率解将椭圆方程变形为y225＋x216＝1，得a＝5，b＝4，所以c＝3，故椭圆的长轴长和短轴长分别为2a＝10,2b＝8，离心率e＝ca＝35，焦点坐标为(0，－3)，(0,3)，顶点坐标为(0，－5)，(0,5)，(－4,0)，(4,0)．求椭圆离心率及范围的两种方法(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝ca求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝ca求解．(2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围．一、选择题1．已知椭圆的方程为2x2＋3y2＝m(m>0)，则此椭圆的离心率为( )A.13B.33C.22D.12考点由椭圆方程研究简单几何性质题点由椭圆的方程求顶点、焦点、长短轴、离心率答案 B解析由2x2＋3y2＝m(m>0)，得x2m2＋y2m3＝1，∴c2＝m2－m3＝m6，∴e2＝13，∴e＝33.2．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程是( )A.x22＋y24＝1 B.x2＋y26＝1C.x26＋y2＝1 D.x28＋y25＝1考点 由椭圆的简单几何性质求方程 题点 由椭圆的几何性质求方程 答案 B解析 由已知c ＝5，b ＝1，故椭圆的标准方程为y 26＋x 2＝1.3．椭圆4x 2＋49y 2＝196的长轴长、短轴长、离心率依次是( ) A ．7,2，357B ．14,4，357C ．7,2，57D ．14,4，－57考点 由椭圆方程研究简单几何性质题点 由椭圆的方程求顶点、焦点、长短轴、离心率 答案 B解析 先将椭圆方程化为标准形式为x 249＋y 24＝1，其中b ＝2，a ＝7，c ＝3 5.4．焦点在x 轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为45，则椭圆的方程为( ) A.x 236＋y 216＝1 B.x 216＋y 236＝1 C.x 26＋y 24＝1 D.y 26＋x 24＝1 考点 由椭圆的简单几何性质求方程 题点 由椭圆的几何特征求方程 答案 A解析 依题意得c ＝25，a ＋b ＝10，又a 2＝b 2＋c 2，所以解得a ＝6，b ＝4.5．若焦点在x 轴上的椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为12，则m 等于( )A.3B.32C.83D.23考点 由椭圆方程研究简单几何性质 题点 由椭圆的几何特征求方程 答案 B解析 ∵a 2＝2，b 2＝m ，e ＝ca＝1－b 2a 2＝1－m 2＝12，∴m ＝32. 6．椭圆(m ＋1)x 2＋my 2＝1的长轴长是( )A.2m －1m －1B.－2－mmC.2m mD ．－21－mm －1考点 由椭圆方程研究简单几何性质题点 由椭圆的方程求顶点、焦点、长短轴、离心率 答案 C解析 椭圆方程可化简为x 211＋m ＋y 21m＝1， 由题意，知m >0，∴11＋m <1m ，∴a ＝m m， ∴椭圆的长轴长2a ＝2mm.7．设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则椭圆E 的离心率为( ) A.12B.23C.34D.45考点 椭圆的离心率问题 题点 求a ，b ，c 得离心率 答案 C解析 设直线x ＝3a2与x 轴交于点M ，则∠PF 2M ＝60°，在Rt △PF 2M 中，|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，|F 2M |＝3a 2－c ，故cos60°＝|F 2M ||PF 2|＝3a 2－c2c ＝12，解得c a ＝34，故离心率e ＝34.二、填空题8．A 为y 轴上一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，△AF 1F 2为正三角形，且AF 1的中点B 恰好在椭圆上，则此椭圆的离心率为________． 考点 椭圆的离心率问题 题点 求a ，b ，c 得离心率答案 3－1解析 如图，连接BF 2.因为△AF 1F 2为正三角形，且B 为线段AF 1的中点， 所以F 2B ⊥BF 1.又因为∠BF 2F 1＝30°，|F 1F 2|＝2c ，所以|BF 1|＝c ，|BF 2|＝3c ， 由椭圆定义得|BF 1|＋|BF 2|＝2a ， 即c ＋3c ＝2a ，所以c a＝3－1， 所以椭圆的离心率e ＝3－1.9．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12作圆x 2＋y 2＝1的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程是____________． 考点 由椭圆的简单几何性质求方程 题点 由椭圆的几何特征求方程 答案x 25＋y 24＝1 解析 ∵x ＝1是圆x 2＋y 2＝1的一条切线， ∴椭圆的右焦点为(1,0)，即c ＝1.设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，则k OP ＝12，∵OP ⊥AB ，∴k AB ＝－2，则直线AB 的方程为y ＝－2(x －1)，它与y 轴的交点为(0,2)．∴b ＝2，a 2＝b 2＋c 2＝5，故椭圆的方程为x 25＋y 24＝1.10．设椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________． 考点 椭圆的离心率问题 题点 求a ，b ，c 得离心率 答案2－1解析 因为△F 1PF 2为等腰直角三角形，所以|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，|PF 1|＝22c ，又由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以22c ＋2c ＝2a ，即(2＋1)c ＝a ， 于是e ＝c a＝12＋1＝2－1.11．在△ABC 中，tan A ＝13，B ＝π4.若椭圆E 以AB 为长轴，且过点C ，则椭圆E 的离心率是_______．考点 椭圆的离心率问题 题点 求a ，b ，c 得离心率答案 63解析 由tan A ＝13，得sin A ＝1010，cos A ＝31010. 又B ＝π4，∴sin B ＝22，cos B ＝22， 则sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B＝1010×22＋31010×22＝255. 由正弦定理，得|BC |∶|CA |∶|AB |＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝1∶5∶2 2.不妨取|BC |＝1，|CA |＝5，|AB |＝2 2.以AB 所在直线为x 轴，AB 中点O 为原点建立直角坐标系(C 在x 轴上方)，D 是C 在AB 上的射影．易求得|AD |＝322，|OD |＝22，|CD |＝22， ∴点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22. 设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)， 则a 2＝2，且12a 2＋12b 2＝1，解得b 2＝23， ∴c 2＝a 2－b 2＝2－23＝43， ∴e 2＝c 2a 2＝23，∴e ＝63. 三、解答题12．已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2＝m (m ＞0)，其焦距与长轴长的比值是32，求m 的值及椭圆的长轴长、短轴长及顶点坐标．考点 由椭圆方程研究简单几何性质题点 由椭圆方程求顶点、焦点、长短轴、离心率 解 椭圆方程可化为x 2m ＋y 2mm ＋3＝1. 因为m ＞0，所以m －mm ＋3＝m (m ＋2)m ＋3＞0，所以m ＞m m ＋3，所以a 2＝m ，b 2＝m m ＋3， 所以c ＝a 2－b 2＝m (m ＋2)m ＋3. 由ca ＝32，得m ＋2m ＋3＝32，解得m ＝1， 所以a ＝1，b ＝12，则椭圆的标准方程为x 2＋y 214＝1， 所以椭圆的长轴长为2，短轴长为1，四个顶点的坐标分别为(－1,0)，(1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.13．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1，F 2，斜率为k 的直线l 过左焦点F 1且与椭圆的交点为A ，B ，与y 轴的交点为C ，且B 为线段CF 1的中点，若|k |≤142，求椭圆离心率e 的取值范围．考点 由椭圆方程研究简单几何性质题点 由椭圆的几何特征求参数解 依题意得F 1(－c,0)，直线l ：y ＝k (x ＋c )，则C (0，kc )．因为点B 为线段CF 1的中点，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c 2，kc 2. 因为点B 在椭圆上，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－c 22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫kc 22b 2＝1，即c 24a 2＋k 2c 24(a 2－c 2)＝1. 所以e 24＋k 2e 24(1－e 2)＝1，所以k 2＝(4－e 2)(1－e 2)e 2. 由|k |≤142，得k 2≤72，即(4－e 2)(1－e 2)e 2≤72， 所以2e 4－17e 2＋8≤0.解得12≤e 2≤8. 因为0<e <1，所以12≤e 2<1，即22≤e <1， 即e 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1. 四、探究与拓展 14．已知c 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的半焦距，则b ＋c a的取值范围是( ) A ．(1＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(1，2)D ．(1，2]考点 由椭圆方程研究简单几何性质题点 由椭圆的几何特征求参数答案 D解析 椭圆的中心、一个短轴的顶点、一个焦点构成一个直角三角形，两直角边长分别为b ，c ，斜边为a ，由直角三角形的两直角边之和大于斜边得b ＋c ＞a ，∴b ＋c a ＞1，又∵⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋c a 2＝b 2＋c 2＋2bc a 2≤2(b 2＋c 2)a 2＝2(当且仅当b ＝c 时，取等号)，∴1＜b ＋c a ≤2，故选D. 15．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，|AF 1|＝3|F 1B |.(1)若|AB |＝4，△ABF 2的周长为16，求|AF 2|；(2)若cos ∠AF 2B ＝35，求椭圆E 的离心率． 考点 椭圆离心率问题题点 求a ，b ，c 得离心率解 (1)由|AF 1|＝3|F 1B |，|AB |＝4，得|AF 1|＝3，|F 1B |＝1.因为△ABF 2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a ＝16，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝8，故|AF 2|＝8－3＝5.(2)设|F 1B |＝k ，则k ＞0且|AF 1|＝3k ，|AB |＝4k .由椭圆定义，得|AF 2|＝2a －3k ，|BF 2|＝2a －k .在△ABF 2中，由余弦定理，得|AB |2＝|AF 2|2＋|BF 2|2－2|AF 2|·|BF 2|·cos∠AF 2B ，即(4k )2＝(2a －3k )2＋(2a －k )2－65(2a －3k )·(2a －k )， 化简可得(a ＋k )(a －3k )＝0，而a ＋k ＞0，故a ＝3k .于是有|AF 2|＝3k ＝|AF 1|，|BF 2|＝5k .因此|BF 2|2＝|F 2A |2＋|AB |2，可得F 1A ⊥F 2A ，故△AF 1F 2为等腰直角三角形．从而c ＝22a ，所以椭圆E 的离心率e ＝c a ＝22.。
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2.2.1 椭圆及其标准方程学习目标 1.理解椭圆的定义.2.掌握椭圆的标准方程及标准方程的推导过程．知识点一椭圆的定义思考给你两个图钉，一根无弹性的细绳，一张纸板，一支铅笔，如何画出一个椭圆？答案在纸板上固定两个图钉，绳子的两端固定在图钉上，绳长大于两图钉间的距离，笔尖贴近绳子，将绳子拉紧，移动笔尖即可画出椭圆．梳理(1)平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．(2)椭圆的定义用集合语言叙述为：P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a,2a>|F1F2|}．(3)2a与|F1F2|的大小关系所确定的点的轨迹如下表：知识点二椭圆的标准方程思考在椭圆的标准方程中a>b>c一定成立吗？答案不一定，只需a>b，a>c即可，b，c的大小关系不确定．梳理(1)椭圆标准方程的两种形式(2)椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系(3)根据方程判断椭圆的焦点位置及求焦点坐标判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中x 2项和y 2项的分母哪个更大一些，即“谁大在谁上”．如方程为y 25＋x 24＝1的椭圆，焦点在y 轴上，而且可求出焦点坐标F 1(0，－1)，F 2(0,1)，焦距|F 1F 2|＝2.(1)已知F 1(－4,0)，F 2(4,0)，平面内到F 1，F 2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆．(×) (2)已知F 1(－4,0)，F 2(4,0)，平面内到F 1，F 2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆．(×) (3)平面内到点F 1(－4,0)，F 2(4,0)两点的距离之和等于点M (5,3)到F 1，F 2的距离之和的点的轨迹是椭圆．(√)(4)平面内到点F 1(－4,0)，F 2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆．(×)类型一 椭圆定义的应用例1 点P (－3,0)是圆C ：x 2＋y 2－6x －55＝0内一定点，动圆M 与已知圆相内切且过P 点，判断圆心M 的轨迹． 考点 椭圆的定义 题点 椭圆定义的应用解 方程x 2＋y 2－6x －55＝0化成标准形式为(x －3)2＋y 2＝64，圆心为(3,0)，半径r ＝8.因为动圆M 与已知圆相内切且过P 点，所以|MC |＋|MP |＝r ＝8，根据椭圆的定义，动点M 到两定点C ，P 的距离之和为定值8>6＝|CP |，所以动点M 的轨迹是椭圆． 引申探究若将本例中圆C 的方程改为：x 2＋y 2－6x ＝0且点P (－3,0)为其外一定点，动圆M 与已知圆C 相外切且过P 点，求动圆圆心M 的轨迹方程．解 设M (x ，y )，由题意可知，圆C ：(x －3)2＋y 2＝9， 圆心C (3,0)，半径r ＝3.由|MC |＝|MP |＋r ，故|MC |－|MP |＝r ＝3， 即(x －3)2＋(y －0)2－(x ＋3)2＋(y －0)2＝3， 整理得x 294－y 2274＝1(x <0)．反思与感悟 椭圆是在平面内定义的，所以“平面内”这一条件不能忽视． 定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量．常数2a 必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是判断一曲线是否为椭圆的限制条件．跟踪训练1 (1)下列命题是真命题的是________．(将所有真命题的序号都填上) ①已知定点F 1(－1,0)，F 2(1,0)，则满足|PF 1|＋|PF 2|＝2的点P 的轨迹为椭圆； ②已知定点F 1(－2,0)，F 2(2,0)，则满足|PF 1|＋|PF 2|＝4的点P 的轨迹为线段； ③到定点F 1(－3,0)，F 2(3,0)的距离相等的点的轨迹为椭圆． 考点 椭圆的定义 题点 椭圆定义的应用 答案 ②解析 ①2<2，故点P 的轨迹不存在；②因为2a ＝|F 1F 2|＝4，所以点P 的轨迹是线段F 1F 2；③到定点F 1(－3，0)，F 2(3,0)的距离相等的点的轨迹是线段F 1F 2的垂直平分线(y 轴)． (2)已知一动圆M 与圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，与圆C 2：(x －3)2＋y 2＝81内切，试求动圆圆心M 的轨迹方程． 考点 椭圆的定义 题点 椭圆定义的应用解 由题意可知C 1(－3,0)，r 1＝1，C 2(3,0)，r 2＝9， 设M (x ，y )，半径为R ， 则|MC 1|＝1＋R ，|MC 2|＝9－R ， 故|MC 1|＋|MC 2|＝10，由椭圆定义知，点M 的轨迹是一个以C 1，C 2为焦点的椭圆，且a ＝5，c ＝3，故b 2＝a 2－c 2＝16.故所求动圆圆心M 的轨迹方程为x 225＋y 216＝1.类型二 椭圆的标准方程例2 求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12的椭圆的标准方程．考点 椭圆定义及标准方程的应用 题点 椭圆标准方程的应用解 方法一 ①当椭圆焦点在x 轴上时，可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧ ⎝ ⎛⎭⎪⎫132a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132b ＝1，0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝15，b 2＝14.由a >b >0，知不合题意，故舍去；②当椭圆焦点在y 轴上时，可设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)． 依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫132a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132b 2＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－122a 2＋0＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝14，b 2＝15.所以所求椭圆的标准方程为y 214＋x 215＝1.方法二 设椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )． 则⎩⎪⎨⎪⎧19m ＋19n ＝1，14n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5，n ＝4.所以所求椭圆的方程为5x 2＋4y 2＝1，故椭圆的标准方程为y 214＋x 215＝1.引申探究求与椭圆x 225＋y 29＝1有相同焦点，且过点(3，15)的椭圆方程．解 由题意可设其方程为x 225＋λ＋y 29＋λ＝1(λ>－9)，又椭圆过点(3，15)，将此点代入椭圆方程，得 λ＝11(λ＝－21舍去)， 故所求的椭圆方程为x 236＋y 220＝1.反思与感悟 (1)若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x 轴上和在y 轴上两种情况讨论，也可设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ≠n ，m >0，n >0)．(2)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)有公共焦点的椭圆方程为x 2a 2＋λ＋y 2b 2＋λ＝1(a >b >0，b 2>－λ)，与椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)有公共焦点的椭圆方程为y 2a 2＋λ＋x 2b 2＋λ＝1(a >b >0，b 2>－λ)．跟踪训练2 求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)椭圆的两个焦点坐标分别为F 1(－4,0)，F 2(4,0)，椭圆上一点P 到两焦点的距离之和等于10；(2)椭圆过点(3,2)，(5,1)；(3)椭圆的焦点在x 轴上，且经过点(2,0)和点(0,1)． 考点 椭圆标准方程的求法 题点 定义法求椭圆的标准方程解 (1)设其标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．由题意可知2a ＝10，c ＝4，故b 2＝a 2－c 2＝9， 故所求椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.(2)设椭圆的一般方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )，则⎩⎪⎨⎪⎧9A ＋4B ＝1，25A ＋B ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝391，B ＝1691.故所求椭圆的标准方程为x 2913＋y 29116＝1. (3)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．由⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＝1，1b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1. 类型三 求与椭圆有关的轨迹方程例3 已知B ，C 是两个定点，|BC |＝8，且△ABC 的周长等于18.求这个三角形的顶点A 的轨迹方程．考点 椭圆标准方程的求法 题点 定义法求椭圆的标准方程解 以过B ，C 两点的直线为x 轴，线段BC 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，如图所示．由|BC |＝8可知点B (－4,0)，C (4,0)．由|AB |＋|AC |＋|BC |＝18， 得|AB |＋|AC |＝10>8＝|BC |，因此，点A 的轨迹是以B ，C 为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a ＝10，但点A 不在x 轴上． 由a ＝5，c ＝4，得b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9.所以点A 的轨迹方程为x 225＋y 29＝1(y ≠0)．反思与感悟 求与椭圆有关的轨迹方程常用的方法：(1)定义法：若动点的轨迹特点符合某一基本轨迹(如椭圆、圆等)的定义，则可用定义直接求解．(2)直接法：将动点满足的几何条件或者等量关系直接坐标化，列出等式后化简，得出动点的轨迹方程．(3)相关点法：根据相关点所满足的方程，通过转换求出动点轨迹的方程．跟踪训练3 如图，设定点A (6,2)，P 是椭圆x 225＋y 29＝1上的动点，求线段AP 的中点M 的轨迹方程． 考点 椭圆标准方程的求法 题点 定义法求椭圆的标准方程 解 设M (x ，y )，P (x 1，y 1)． ∵M 为线段AP 的中点，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x －6，y 1＝2y －2，又∵x 2125＋y 219＝1， ∴点M 的轨迹方程为(x －3)225＋(y －1)29＝14.1．椭圆x 225＋y 2＝1上一点P 到一个焦点的距离为2，则点P 到另一个焦点的距离为( )A ．5B ．6C ．7D ．8 考点 椭圆的标准方程题点 由椭圆的标准方程求焦点、焦距 答案 D解析 设椭圆的左、右焦点分别为F 1，F 2，|PF 1|＝2， 结合椭圆定义|PF 2|＋|PF 1|＝10，可得|PF 2|＝8.2．已知椭圆的焦点为(－1,0)和(1,0)，点P (2,0)在椭圆上，则椭圆的方程为( ) A.x 24＋y 23＝1 B.x 24＋y 2＝1 C.y 24＋x 23＝1 D.y 24＋x 2＝1 考点 椭圆标准方程的求法 题点 待定系数法求椭圆的标准方程 答案 A解析 c ＝1，a ＝12×((2＋1)2＋0＋(2－1)2＋0)＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝3，∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.3．设F 1，F 2是椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1，则△F 1PF 2的面积＝________.考点 椭圆定义及其标准方程的应用 题点 椭圆定义及其标准方程的综合应用 答案 4解析 由椭圆方程，得a ＝3，b ＝2，c ＝ 5. ∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6且|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1， ∴|PF 1|＝4，|PF 2|＝2， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2， ∴△PF 1F 2是直角三角形，故△F 1PF 2的面积为12|PF 1|·|PF 2|＝12×2×4＝4.4．在椭圆x 23＋y 2＝1中，有一沿直线运动的粒子从一个焦点F 2出发经椭圆反射后经过另一个焦点F 1，再次被椭圆反射后又回到F 2，则该粒子在整个运动过程中经过的路程为________． 考点 椭圆定义及其标准方程的应用 题点 椭圆定义及其标准方程的综合应用 答案 4 3解析 把粒子运动轨迹表示出来，可知整个路程为4a ，即4 3.5．若△ABC 的三边长a ，b ，c 成等差数列，且b ＝6，求顶点B 的轨迹方程． 考点 椭圆标准方程的求法 题点 定义法求椭圆的标准方程解 以直线AC 为x 轴，AC 的中点为原点，建立平面直角坐标系，设A (－3,0)，C (3,0)，B (x ，y )，则|BC |＋|AB |＝a ＋c ＝2b ＝2|AC |＝12， ∴B 点的轨迹是以A ，C 为焦点的椭圆， 且a ′＝6，c ′＝3，b ′2＝27. 故所求的轨迹方程为x 236＋y 227＝1(y ≠0)．1．平面内到两定点F 1，F 2的距离之和为常数，即|MF 1|＋|MF 2|＝2a ， 当2a ＞|F 1F 2|时，轨迹是椭圆； 当2a ＝|F 1F 2|时，轨迹是一条线段F 1F 2； 当2a ＜|F 1F 2|时，轨迹不存在．2．所谓椭圆的标准方程，指的是焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点；在x 2a 2＋y 2b 2＝1与y 2a 2＋x 2b 2＝1这两个标准方程中，都有a >b >0的要求，如方程x 2m ＋y 2n＝1(m >0，n >0，m ≠n )就不能确定焦点在哪个轴上；分清两种形式的标准方程，可与直线截距式x a ＋yb＝1类比，如x 2a 2＋y 2b2＝1中，由于a >b ，所以在x 轴上的“截距”更大，因而焦点在x 轴上(即看x 2，y 2分母的大小)．3．对于求解椭圆的标准方程一般有两种方法：一是通过待定系数法求解，二是通过椭圆的定义进行求解．一、选择题1．平面内，F 1，F 2是两个定点，“动点M 满足|MF 1→|＋|MF 2→|为常数”是“M 的轨迹是椭圆”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件考点 椭圆的定义 题点 椭圆定义的应用 答案 B解析 当|MF 1→|＋|MF 2→|＞|F 1F 2→|时，M 的轨迹才是椭圆．2．已知方程x 23＋k ＋y 22－k ＝1表示椭圆，则k 的取值范围为( )A ．k >－3且k ≠－12B ．－3<k <2且k ≠－12C ．k >2D ．k <－3 答案 B解析 由题意，知需满足⎩⎪⎨⎪⎧3＋k >0，2－k >0，3＋k ≠2－k ，解得－3<k <2且k ≠－12. 3．已知椭圆x 2100＋y 264＝1的左焦点为F 1，一动直线过椭圆右焦点F 2且与椭圆交于点M ，N ，则△F 1MN 的周长为( )A ．16B ．20C ．32D ．40 考点 椭圆的定义题点 椭圆定义的应用答案 D解析 结合椭圆的定义，知a ＝10，且△F 1MN 的周长为4a ＝40.4．已知△ABC 的周长为20，且顶点B (0，－4)，C (0,4)，则顶点A 的轨迹方程是( )A.x 236＋y 220＝1(x ≠0) B.x 220＋y 236＝1(x ≠0) C.x 26＋y 220＝1(x ≠0) D.x 220＋y 26＝1(x ≠0) 考点 椭圆定义及其标准方程的应用题点 椭圆定义及其标准方程的综合应用答案 B解析 由|AB |＋|AC |＝12＞|BC |＝8，得点A 的轨迹是以B ，C 为焦点的椭圆(x ≠0)．5．P 是椭圆x 216＋y 29＝1上一点，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，若|PF 1|·|PF 2|＝12，则∠F 1PF 2的大小为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°考点 椭圆定义及其标准方程的应用题点 椭圆定义及其标准方程的综合应用答案 B解析 因为|PF 1|＋|PF 2|＝8，cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1||PF 2|－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝12.又因为∠F 1PF 2∈[0，π)，所以∠F 1PF 2＝π3. 6．已知椭圆x 24＋y 22＝1上有一点P ，F 1，F 2是椭圆的左、右焦点，若△F 1PF 2为直角三角形，则这样的点P 有( )A ．3个B ．4个C ．6个D ．8个 考点 椭圆定义及其标准方程的应用题点 椭圆标准方程的应用答案 C解析 当∠PF 1F 2为直角时，根据椭圆的对称性知，这样的点P 有2个；同理当∠PF 2F 1为直角时，这样的点P 有2个；当P 点为椭圆的短轴端点时，∠F 1PF 2最大，且为直角，此时这样的点P 有2个．故符合要求的点P 有6个．7．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，M 为椭圆上一动点，F 1为椭圆的左焦点，则线段MF 1的中点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．线段D ．直线 考点 椭圆的定义题点 椭圆定义的应用答案 B解析 由题意，知|PO |＝12|MF 2|，|PF 1|＝12|MF 1|， 又|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，所以|PO |＋|PF 1|＝a >|F 1O |＝c ，故由椭圆的定义，知P 点的轨迹是椭圆．二、填空题8．已知椭圆的焦点在y 轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为215，则此椭圆的标准方程为_______________．考点 椭圆的标准方程题点 由定义求标准方程答案 y 216＋x 2＝1 解析 由已知2a ＝8,2c ＝215，所以a ＝4，c ＝15，所以b2＝a2－c2＝16－15＝1. 又椭圆的焦点在y轴上，所以椭圆的标准方程为y216＋x2＝1.9．已知中心在原点，长轴在x 轴上，一焦点与短轴两端点连线互相垂直，焦点与长轴上较近顶点的距离为4(2－1)，则此椭圆方程是____________．答案 x 232＋y 216＝1 解析 由题意，得⎩⎨⎧ a －c ＝4(2－1)，b ＝c ，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧ a ＝42，b ＝4，所以椭圆方程为x 232＋y 216＝1. 10．设F 1，F 2分别为椭圆x 23＋y 2＝1的左、右焦点，点A ，B 在椭圆上，若F 1A →＝5F 2B →，则点A 的坐标是________．考点 椭圆定义及其标准方程的应用题点 椭圆标准方程的应用答案 (0，±1)解析 根据题意，设A 点坐标为(m ，n )，B 点坐标为(c ，d )． F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，其坐标分别为(－2，0)，(2，0)，可得F 1A →＝(m ＋2，n )，F 2B →＝(c －2，d )．∵F 1A →＝5F 2B →，∴c ＝m ＋625，d ＝n 5. ∵点A ，B 都在椭圆上，∴m 23＋n 2＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋62523＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 52＝1. 解得m ＝0，n ＝±1，故点A 坐标为(0，±1)．11．若点O 和点F 分别为椭圆x 22＋y 2＝1的中心和右焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则|OP |2＋|PF |2的最小值为________．考点 椭圆定义及其标准方程的应用题点 椭圆标准方程的应用答案 2解析 由题意可知，O (0,0)，F (1,0)，设P (2cos α，sin α)，则|OP |2＋|PF |2＝2cos 2α＋sin 2α＋(2cos α－1)2＋sin 2α＝2cos 2α－22cos α＋3＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α－222＋2， 所以当cos α＝22时，|OP |2＋|PF |2取得最小值2. 三、解答题12．已知F 1(－c,0)，F 2(c,0)为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 在椭圆上，且△PF 1F 2的面积为22b 2，求cos ∠F 1PF 2的值． 考点 椭圆定义及其标准方程的应用题点 椭圆定义及其标准方程的综合应用解 依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ |PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1||PF 2|＝4a 2，|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos ∠F 1PF 2＝4c 2，整理得|PF 1|·|PF 2|＝2b 21＋cos ∠F 1PF 2. ∵△PF 1F 2的面积为22b 2， ∴12×2b 21＋cos ∠F 1PF 2×sin ∠F 1PF 2＝22b 2， ∴1＋cos ∠F 1PF 2＝2sin ∠F 1PF 2，又∵sin 2∠F 1PF 2＋cos 2∠F 1PF 2＝1， ∴cos ∠F 1PF 2＝13(cos ∠F 1PF 2＝－1舍去)． 13．已知椭圆8x 281＋y 236＝1上一点M 的纵坐标为2. (1)求M 的横坐标；(2)求过M 且与x 29＋y 24＝1共焦点的椭圆的方程． 考点 椭圆标准方程的求法题点 待定系数法求椭圆的标准方程 解 (1)把M 的纵坐标代入8x 281＋y 236＝1， 得8x 281＋436＝1，即x 2＝9，解得x ＝±3，即M 的横坐标为3或－3. (2)椭圆x 29＋y 24＝1的焦点在x 轴上且c 2＝9－4＝5.设所求椭圆的方程为x 2a 2＋y 2a 2－5＝1(a 2＞5)， 把M 点坐标代入椭圆方程，得9a 2＋4a 2－5＝1， 解得a 2＝15(a 2＝3舍去)．故所求椭圆的方程为x 215＋y 210＝1. 四、探究与拓展14．已知椭圆x 23＋y 24＝1的两个焦点为F 1，F 2，M 是椭圆上一点，且|MF 1|－|MF 2|＝1，则△MF 1F 2是( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形考点 椭圆的定义题点 椭圆定义的应用答案 B解析 由椭圆定义，知|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝4，且已知|MF 1|－|MF 2|＝1，所以|MF 1|＝52，|MF 2|＝32. 又|F 1F 2|＝2c ＝2，所以有|MF 1|2＝|MF 2|2＋|F 1F 2|2，因此∠MF 2F 1＝90°，即△MF 1F 2为直角三角形．15．如图所示，△ABC 的底边BC ＝12，其他两边AB 和AC 上中线的和为30，求此三角形重心G 的轨迹方程，并求顶点A 的轨迹方程．考点 椭圆标准方程的求法题点 定义法求椭圆的标准方程解 以BC 边所在直线为x 轴，BC 边中点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则B (6,0)，C (－6,0)，CE ，BD 为AB ，AC 边上的中线，则|BD |＋|CE |＝30.由重心性质可知，|GB |＋|GC |＝23(|BD |＋|CE |)＝20＞12. ∵B ，C 是两个定点，G 点到B ，C 的距离和等于定值20，且20＞12＝|BC |，∴G 点的轨迹是椭圆，B ，C 是椭圆焦点，∴2c ＝|BC |＝12，c ＝6,2a ＝20，a ＝10，b 2＝a 2－c 2＝102－62＝64，故G 点的轨迹方程为x 2100＋y 264＝1(x ≠±10)． 设G (x ′，y ′)，A (x ，y )，则有x ′2100＋y ′264＝1. 由重心坐标公式知⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝x 3，y ′＝y 3，故A 点轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 32100＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 3264＝1，即x 2900＋y 2576＝1(x ≠±30).。